प्रथम स्तर

अंकगणितीय प्रगति. विस्तृत सिद्धांतउदाहरणों के साथ (2019)

संख्यात्मक क्रम

तो चलिए बैठ जाते हैं और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए:
आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं (हमारे मामले में, उन्हें)। कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितनी संख्याएँ लिखते हैं, हम हमेशा कह सकते हैं कि उनमें से कौन सी पहली है, कौन सी दूसरी है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्यात्मक क्रम
उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या केवल एक अनुक्रम संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन दूसरी संख्याएँ नहीं हैं। दूसरी संख्या (-वें नंबर की तरह) हमेशा समान होती है।
संख्या के साथ संख्या को अनुक्रम का -वाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य - इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक वाला एक ही अक्षर:।

हमारे मामले में:

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्यात्मक क्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और समान है।
उदाहरण के लिए:

आदि।
इस तरह के संख्यात्मक क्रम को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है।
शब्द "प्रगति" रोमन लेखक बोथियस द्वारा 6 वीं शताब्दी की शुरुआत में पेश किया गया था और एक व्यापक अर्थ में एक अंतहीन संख्यात्मक अनुक्रम के रूप में समझा गया था। "अंकगणित" नाम को निरंतर अनुपात के सिद्धांत से स्थानांतरित किया गया था, जिसमें प्राचीन यूनानी लगे हुए थे।

यह एक संख्यात्मक क्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या के साथ जोड़ा गया है। इस संख्या को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है।

यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या अनुक्रम अंकगणितीय प्रगति हैं और कौन से नहीं हैं:

एक)
बी)
सी)
डी)

समझ गया? हमारे उत्तरों की तुलना करें:
हैअंकगणितीय प्रगति - बी, सी।
नहीं हैअंकगणितीय प्रगति - ए, डी।

आइए दी गई श्रेणी () पर वापस लौटते हैं और इसके वें सदस्य का मान ज्ञात करने का प्रयास करते हैं। मौजूद दोइसे खोजने का तरीका।

1. विधि

हम श्रेढ़ी संख्या के पिछले मान में तब तक जोड़ सकते हैं जब तक कि हम श्रेढ़ी के वें पद तक नहीं पहुँच जाते। यह अच्छा है कि हमारे पास सारांशित करने के लिए बहुत कुछ नहीं है - केवल तीन मान:

तो, वर्णित अंकगणितीय प्रगति का -वाँ सदस्य बराबर है।

2. विधि

यदि हमें श्रेढ़ी के वें पद का मान ज्ञात करने की आवश्यकता हो तो क्या होगा? योग करने में हमें एक घंटे से अधिक का समय लग जाता, और यह तथ्य नहीं है कि संख्याओं को जोड़ते समय हमने गलतियाँ नहीं की होंगी।
बेशक, गणितज्ञ एक ऐसा तरीका लेकर आए हैं जिसमें आपको अंकगणितीय प्रगति के अंतर को पिछले मूल्य में जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। खींची गई तस्वीर को करीब से देखें ... निश्चित रूप से आपने पहले ही एक निश्चित पैटर्न देखा है, अर्थात्:

उदाहरण के लिए, देखते हैं कि इस अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य का मान क्या बनता है:


दूसरे शब्दों में:

इस अंकगणितीय प्रगति के सदस्य के मूल्य को स्वतंत्र रूप से खोजने का प्रयास करें।

परिकलित? उत्तर के साथ अपनी प्रविष्टियों की तुलना करें:

ध्यान दें कि आपको ठीक वही संख्या मिली है जो पिछली पद्धति में थी, जब हमने अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों को पिछले मान में क्रमिक रूप से जोड़ा था।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपित" करने का प्रयास करें - आइए इसे शामिल करें सामान्य फ़ॉर्मऔर पाओ:

अंकगणितीय प्रगति समीकरण।

अंकगणितीय प्रगति या तो बढ़ रही है या घट रही है।

की बढ़ती- प्रगति जिसमें शर्तों का प्रत्येक बाद का मूल्य पिछले एक से अधिक है।
उदाहरण के लिए:

अवरोही- प्रगति जिसमें शर्तों का प्रत्येक बाद का मूल्य पिछले एक से कम है।
उदाहरण के लिए:

व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग अंकगणितीय प्रगति के बढ़ते और घटते दोनों पदों की गणना में किया जाता है।
आइए इसे व्यवहार में देखें।
हमें एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है जिसमें शामिल हैं निम्नलिखित संख्याएँ: आइए देखें कि यदि हम इसकी गणना करते समय अपने सूत्र का उपयोग करते हैं तो इस अंकगणितीय प्रगति की -वीं संख्या क्या होगी:

तब से:

इस प्रकार, हम आश्वस्त थे कि सूत्र अंकगणितीय प्रगति को घटाने और बढ़ाने दोनों में काम करता है।
इस अंकगणितीय प्रगति के -वें और -वें सदस्यों को स्वयं खोजने का प्रयास करें।

आइए परिणामों की तुलना करें:

अंकगणितीय प्रगति संपत्ति

आइए कार्य को जटिल करें - हम अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति प्राप्त करते हैं।
मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित शर्त दी गई है:
- अंकगणितीय प्रगति, मान ज्ञात करें।
आप कहते हैं, यह आसान है, और उस सूत्र के अनुसार गिनना शुरू करें जिसे आप पहले से जानते हैं:

चलो, ए, फिर:

बिल्कुल सही। यह पता चला है कि हम पहले पाते हैं, फिर इसे पहले नंबर में जोड़ते हैं और जो हम ढूंढ रहे हैं उसे प्राप्त करते हैं। यदि प्रगति को छोटे मूल्यों द्वारा दर्शाया गया है, तो इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन क्या होगा यदि हमें स्थिति में संख्याएँ दी गई हैं? सहमत हूँ, गणना में गलतियाँ होने की संभावना है।
अब सोचिए, क्या किसी सूत्र का प्रयोग करके इस समस्या को एक ही चरण में हल करना संभव है? बेशक, हां, और हम इसे अभी बाहर लाने की कोशिश करेंगे।

आइए अंकगणितीय प्रगति के वांछित शब्द को निरूपित करें, क्योंकि हम इसे खोजने का सूत्र जानते हैं - यह वही सूत्र है जो हमने शुरुआत में निकाला था:
, फिर:

• प्रगति का पिछला सदस्य है:
• प्रगति की अगली अवधि है:

आइए प्रगति के पिछले और अगले सदस्यों का योग करें:

यह पता चला है कि प्रगति के पिछले और बाद के सदस्यों का योग उनके बीच स्थित प्रगति के सदस्य के मूल्य का दोगुना है। दूसरे शब्दों में, ज्ञात पिछले और लगातार मूल्यों के साथ एक प्रगति सदस्य के मूल्य को खोजने के लिए, उन्हें जोड़ना और विभाजित करना आवश्यक है।

यह सही है, हमें वही नंबर मिला है। चलो सामग्री ठीक करते हैं। प्रगति के मूल्य की गणना स्वयं करें, क्योंकि यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है।

बहुत बढ़िया! आप प्रगति के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं! यह केवल एक सूत्र का पता लगाने के लिए बना हुआ है, जो कि किंवदंती के अनुसार, सभी समय के महानतम गणितज्ञों में से एक, "गणितज्ञों का राजा" - कार्ल गॉस, आसानी से खुद के लिए कटौती करता है ...

जब कार्ल गॉस 9 वर्ष के थे, शिक्षक, जो अन्य कक्षाओं में छात्रों के काम की जाँच में व्यस्त थे, ने पाठ में निम्नलिखित कार्य पूछा: “सभी के योग की गणना करो प्राकृतिक संख्यासे तक (अन्य स्रोतों के अनुसार) समावेशी। शिक्षक को क्या आश्चर्य हुआ जब उनके एक छात्र (यह कार्ल गॉस थे) ने एक मिनट के बाद कार्य का सही उत्तर दिया, जबकि डेयरडेविल के अधिकांश सहपाठियों ने लंबी गणना के बाद गलत परिणाम प्राप्त किया ...

युवा कार्ल गॉस ने एक पैटर्न देखा जिसे आप आसानी से देख सकते हैं।
मान लें कि हमारे पास अंकगणितीय प्रगति है जिसमें -ti सदस्य शामिल हैं: हमें अंकगणितीय प्रगति के दिए गए सदस्यों का योग खोजने की आवश्यकता है। बेशक, हम मैन्युअल रूप से सभी मानों का योग कर सकते हैं, लेकिन क्या होगा यदि हमें कार्य में इसकी शर्तों का योग खोजने की आवश्यकता है, जैसा कि गॉस खोज रहे थे?

आइए हमें दी गई प्रगति को चित्रित करें। हाइलाइट की गई संख्याओं को ध्यान से देखें और उनके साथ विभिन्न गणितीय संक्रियाएँ करने का प्रयास करें।


कोशिश की? आपने क्या देखा? सही ढंग से! उनका योग बराबर है

अब उत्तर दीजिए, हमें दी गई श्रेढ़ी में ऐसे कितने जोड़े होंगे? बेशक, सभी संख्याओं का ठीक आधा, यानी।
इस तथ्य के आधार पर कि अंकगणितीय प्रगति के दो पदों का योग बराबर है, और समान समान जोड़े हैं, हम पाते हैं कि कुल योग बराबर है:
.
इस प्रकार, किसी अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग का सूत्र होगा:

कुछ समस्याओं में, हम वें पद को नहीं जानते हैं, लेकिन हम प्रगति के अंतर को जानते हैं। योग सूत्र में, वें सदस्य के सूत्र को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें।
तुम्हें क्या मिला?

बहुत बढ़िया! अब कार्ल गॉस को दी गई समस्या पर वापस आते हैं: अपने लिए गणना करें कि -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है, और -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग।

आपको कितना मिला?
गॉस ने पाया कि शर्तों का योग बराबर है, और शर्तों का योग। क्या आपने ऐसा फैसला किया है?

वास्तव में, एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग का सूत्र प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक डायोफैंटस द्वारा तीसरी शताब्दी में सिद्ध किया गया था, और इस समय के दौरान, मजाकिया लोगों ने अंकगणितीय प्रगति के गुणों का उपयोग ताकत और मुख्य के साथ किया।
उदाहरण के लिए, कल्पना कीजिए प्राचीन मिस्रऔर उस समय का सबसे बड़ा निर्माण स्थल - एक पिरामिड का निर्माण ... आंकड़ा इसका एक पक्ष दिखाता है।

आप कहते हैं कि यहां प्रगति कहां है? ध्यान से देखें और पिरामिड दीवार की प्रत्येक पंक्ति में रेत ब्लॉकों की संख्या में एक पैटर्न खोजें।


अंकगणितीय प्रगति क्यों नहीं? गणना करें कि एक दीवार बनाने के लिए कितने ब्लॉकों की आवश्यकता होगी यदि ब्लॉक ईंटों को आधार में रखा गया हो। मुझे उम्मीद है कि आप मॉनिटर पर अपनी उंगली घुमाकर गिनती नहीं करेंगे, क्या आपको आखिरी फॉर्मूला याद है और अंकगणितीय प्रगति के बारे में हमने जो कुछ कहा है?

इस मामले में, प्रगति इस तरह दिखती है:
अंकगणितीय प्रगति अंतर।
अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संख्या।
आइए अपने डेटा को अंतिम फ़ार्मुलों में बदलें (हम 2 तरीकों से ब्लॉक की संख्या की गणना करते हैं)।

विधि 1।

विधि 2।

और अब आप मॉनिटर पर भी गणना कर सकते हैं: प्राप्त मूल्यों की तुलना हमारे पिरामिड में मौजूद ब्लॉकों की संख्या से करें। क्या यह सहमत था? शाबाश, आपने अंकगणितीय प्रगति के वें पदों के योग में महारत हासिल कर ली है।
बेशक, आप आधार पर ब्लॉकों से पिरामिड नहीं बना सकते, लेकिन से? इस शर्त के साथ दीवार बनाने के लिए कितनी रेत की ईंटों की जरूरत है, इसकी गणना करने का प्रयास करें।
क्या आप संभाल पाओगे?
सही उत्‍तर है → ब्लॉक

कसरत करना

कार्य:

1. माशा गर्मी के लिए आकार में हो रही है। हर दिन वह स्क्वैट्स की संख्या में इजाफा करती हैं। माशा हफ्तों में कितनी बार स्क्वाट करेगी अगर उसने पहली बार वर्कआउट किया।
2. में निहित सभी विषम संख्याओं का योग क्या है।
3. लॉग को संग्रहीत करते समय, लंबरजैक उन्हें इस तरह से ढेर कर देते हैं कि प्रत्येक शीर्ष परत में पिछले एक की तुलना में एक कम लॉग होता है। एक चिनाई में कितने लट्ठे हैं, यदि चिनाई का आधार लट्ठे हैं।

उत्तर:

1. आइए अंकगणितीय प्रगति के पैरामीटर परिभाषित करें। इस मामले में
   (सप्ताह = दिन)।

   उत्तर:दो सप्ताह में, माशा को दिन में एक बार स्क्वाट करना चाहिए।

2. पहली विषम संख्या, अंतिम संख्या।
   अंकगणितीय प्रगति अंतर।
   विषम संख्याओं की संख्या - आधी, हालांकि, अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करके इस तथ्य की जांच करें:

   संख्याओं में विषम संख्याएँ होती हैं।
   हम उपलब्ध डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

   उत्तर:में निहित सभी विषम संख्याओं का योग बराबर है।

3. पिरामिड के बारे में समस्या को याद करें। हमारे मामले के लिए, चूंकि प्रत्येक शीर्ष परत एक लॉग से कम हो जाती है, केवल परतों का एक गुच्छा होता है, अर्थात।
   डेटा को सूत्र में बदलें:

   उत्तर:चिनाई में लॉग हैं।

उपसंहार

1. - एक संख्यात्मक क्रम जिसमें आसन्न संख्याओं का अंतर समान और बराबर होता है। यह बढ़ रहा है और घट रहा है।
2. सूत्र ढूँढनासमांतर श्रेढ़ी का वां सदस्य सूत्र द्वारा लिखा जाता है - , जहाँ श्रेढ़ी में संख्याओं की संख्या है।
3. अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति- - कहाँ - प्रगति में संख्याओं की संख्या।
4. अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का योगदो तरह से पाया जा सकता है:
   
   , जहां मानों की संख्या है।

अंकगणितीय प्रगति। औसत स्तर

संख्यात्मक क्रम

आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितनी चाहें उतनी संख्याएँ हो सकती हैं। लेकिन आप हमेशा बता सकते हैं कि उनमें से कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, और इसी तरह, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है।

संख्यात्मक क्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या निर्दिष्ट की जा सकती है।

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संख्या एक निश्चित प्राकृतिक संख्या से जुड़ी हो सकती है, और केवल एक। और हम इस संख्या को इस सेट से किसी अन्य संख्या को निर्दिष्ट नहीं करेंगे।

संख्या के साथ संख्या को अनुक्रम का -वाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य - इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक वाला एक ही अक्षर:।

यह बहुत सुविधाजनक है अगर अनुक्रम का -वाँ सदस्य किसी सूत्र द्वारा दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र

अनुक्रम सेट करता है:

और सूत्र निम्न क्रम है:

उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है (यहाँ पहला शब्द बराबर है, और अंतर)। या (, अंतर)।

nवाँ पद सूत्र

हम आवर्तक को एक सूत्र कहते हैं, जिसमें -वें पद का पता लगाने के लिए, आपको पिछले या कई पिछले लोगों को जानने की आवश्यकता है:

उदाहरण के लिए, इस तरह के एक सूत्र का उपयोग करके प्रगति के वें पद को खोजने के लिए, हमें पिछले नौ की गणना करनी होगी। उदाहरण के लिए, चलो। फिर:

अच्छा, अब यह स्पष्ट हो गया कि सूत्र क्या है?

प्रत्येक पंक्ति में, हम जोड़ते हैं, किसी संख्या से गुणा करते हैं। किसलिए? बहुत सरल: यह वर्तमान सदस्य ऋण की संख्या है:

अब और अधिक आरामदायक, है ना? हम जाँच:

अपने लिए तय करें:

अंकगणितीय प्रगति में, nवें पद के लिए सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

पहला कार्यकाल बराबर है। और क्या फर्क है? और यहाँ क्या है:

(आखिरकार, इसे अंतर कहा जाता है क्योंकि यह प्रगति के क्रमिक सदस्यों के अंतर के बराबर है)।

तो सूत्र है:

तो सौवाँ पद है:

से लेकर तक की सभी प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

किंवदंती के अनुसार, महान गणितज्ञ कार्ल गॉस ने 9 साल के लड़के होने के नाते कुछ ही मिनटों में इस राशि की गणना की। उसने देखा कि पहली और आखिरी संख्या का योग बराबर है, दूसरी और अंतिम संख्या का योग समान है, अंत से तीसरी और तीसरी संख्या का योग समान है, और इसी तरह आगे भी। ऐसे कितने जोड़े हैं? यह सही है, सभी संख्याओं की संख्या का ठीक आधा, यानी। इसलिए,

किसी अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग का सामान्य सूत्र होगा:

उदाहरण:
सभी दो अंकों के गुणकों का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

ऐसी पहली संख्या यह है। प्रत्येक अगले को पिछले एक में एक संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, हमारे लिए ब्याज की संख्या पहले पद और अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति बनाती है।

इस श्रेणी के लिए वें पद का सूत्र है:

प्रगति में कितने पद हैं यदि वे सभी दो अंकों के होने चाहिए?

बहुत आसान: ।

प्रगति का अंतिम कार्यकाल बराबर होगा। फिर योग:

उत्तर: ।

अब आप ही निर्णय लीजिये:

1. हर दिन एथलीट पिछले दिन की तुलना में 1 मी अधिक दौड़ता है। यदि वह पहले दिन किमी मी दौड़े तो वह सप्ताहों में कितने किलोमीटर दौड़ेगा?
2. एक साइकिल चालक पिछले एक की तुलना में हर दिन अधिक मील की सवारी करता है। पहले दिन उन्होंने किमी. का सफर तय किया। एक किलोमीटर की दूरी तय करने के लिए उसे कितने दिन गाड़ी चलानी होगी? यात्रा के अंतिम दिन वह कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा?
3. स्टोर में रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल उतनी ही कम हो जाती है। निर्धारित करें कि रूबल के लिए बिक्री के लिए रखे गए रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल कितनी कम हो जाती है, छह साल बाद इसे रूबल के लिए बेच दिया गया था।

उत्तर:

1. यहां सबसे महत्वपूर्ण बात अंकगणितीय प्रगति को पहचानना और इसके पैरामीटर निर्धारित करना है। इस मामले में, (सप्ताह = दिन)। आपको इस प्रगति की पहली शर्तों का योग निर्धारित करने की आवश्यकता है:
   .
   उत्तर:
2. यहाँ यह दिया गया है :, इसे खोजना आवश्यक है।
   जाहिर है, आपको पिछली समस्या के समान योग सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
   .
   मान बदलें:

   जड़ स्पष्ट रूप से फिट नहीं है, इसलिए उत्तर।
   आइए -वें सदस्य के सूत्र का उपयोग करके अंतिम दिन में तय की गई दूरी की गणना करें:
   (किमी).
   उत्तर:

3. दिया गया: । पाना: ।
   यह आसान नहीं होता है:
   (रगड़ना)।
   उत्तर:

अंकगणितीय प्रगति। संक्षेप में मुख्य के बारे में

यह एक संख्यात्मक क्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं का अंतर समान और बराबर होता है।

अंकगणितीय प्रगति बढ़ रही है () और घट रही है ()।

उदाहरण के लिए:

अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य को खोजने का सूत्र

एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है, जहां प्रगति में संख्याओं की संख्या होती है।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति

प्रगति के सदस्य को ढूंढना आसान हो जाता है यदि उसके पड़ोसी सदस्य ज्ञात हों - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहाँ है।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का योग

योग ज्ञात करने के दो तरीके हैं:

मूल्यों की संख्या कहां है।

मूल्यों की संख्या कहां है।

क्या मुख्य मुद्दासूत्र?

यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोई उसके नंबर से" एन" .

बेशक, आपको पहला कार्यकाल जानने की जरूरत है एक 1और प्रगति अंतर डी, ठीक है, इन मापदंडों के बिना, आप एक विशिष्ट प्रगति नहीं लिख सकते।

इस फॉर्मूले को याद कर लेना (या धोखा देना) काफी नहीं है। इसके सार को आत्मसात करना और सूत्र को विभिन्न समस्याओं में लागू करना आवश्यक है। हाँ, और सही समय पर मत भूलना, हाँ ...) कैसे भूलना नहीं- मुझे नहीं पता। परंतु कैसे याद करेंअगर जरूरत पड़ी तो मैं आपको एक संकेत दूंगा। उन लोगों के लिए जो पाठ को अंत तक सीखते हैं।)

तो, चलिए अंकगणितीय प्रगति के एन-वें सदस्य के सूत्र से निपटते हैं।

सामान्य रूप में एक सूत्र क्या है - हम कल्पना करते हैं।) एक अंकगणितीय प्रगति, एक सदस्य संख्या, एक प्रगति अंतर क्या है - पिछले पाठ में स्पष्ट रूप से बताया गया है। अगर आपने इसे नहीं पढ़ा है तो देख लें। वहां सब कुछ सरल है। यह पता लगाना बाकी है वां सदस्य.

सामान्य रूप से प्रगति को संख्याओं की एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है:

एक 1, एक 2, एक 3, एक 4, एक 5, .....

एक 1- अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को दर्शाता है, एक 3- तीसरा सदस्य एक 4- चौथा, और इसी तरह। यदि हम पाँचवें कार्यकाल में रुचि रखते हैं, तो मान लें कि हम साथ काम कर रहे हैं एक 5, अगर एक सौ बीसवीं - से एक 120.

सामान्य रूप से कैसे परिभाषित करें कोईएक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य, एस कोईसंख्या? बहुत आसान! ऐशे ही:

एक

यह वही है एक अंकगणितीय प्रगति का n-वाँ सदस्य।पत्र एन के तहत सभी सदस्यों की संख्या एक साथ छिपी हुई है: 1, 2, 3, 4, और इसी तरह।

और ऐसा रिकॉर्ड हमें क्या देता है? जरा सोचिए, उन्होंने नंबर की जगह एक खत लिख दिया...

यह अंकन हमें अंकगणितीय प्रगति के साथ काम करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण देता है। अंकन का उपयोग करना एक, हम जल्दी से पा सकते हैं कोईसदस्य कोईअंकगणितीय प्रगति। और प्रगति में हल करने के लिए कार्यों का एक समूह। आप आगे देखेंगे।

अंकगणितीय प्रगति के nवें सदस्य के सूत्र में:

एक एन = एक 1 + (एन-1)घ

एक 1- अंकगणितीय प्रगति का पहला सदस्य;

एन- सदस्य संख्या।

सूत्र किसी भी प्रगति के प्रमुख मापदंडों को जोड़ता है: एक ; एक 1; डीतथा एन. इन मापदंडों के आसपास, सभी पहेलियाँ प्रगति में घूमती हैं।

nवाँ पद सूत्र का उपयोग एक विशिष्ट प्रगति लिखने के लिए भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समस्या में यह कहा जा सकता है कि स्थिति द्वारा प्रगति दी गई है:

एन = 5 + (एन -1) 2।

ऐसी समस्या भ्रमित भी कर सकती है ... कोई श्रृंखला नहीं है, कोई अंतर नहीं है ... लेकिन, स्थिति की तुलना सूत्र से करने पर, यह पता लगाना आसान है कि इस प्रगति में ए 1 \u003d 5, और डी \u003d 2।

और यह और भी अधिक क्रोधित हो सकता है!) यदि हम एक ही स्थिति लें: एक एन = 5 + (एन-1) 2,हाँ, कोष्ठक खोलो और समान दो? हमें एक नया सूत्र मिलता है:

ए = 3 + 2एन।

यह केवल सामान्य नहीं, बल्कि एक विशिष्ट प्रगति के लिए। यहीं पर गड्ढा होता है। कुछ लोग सोचते हैं कि पहला पद तीन है। हालांकि वास्तव में पहला सदस्य एक पांच है... थोड़ा कम हम इस तरह के एक संशोधित सूत्र के साथ काम करेंगे।

प्रगति के कार्यों में एक और अंकन है - एक एन + 1. यह, आपने अनुमान लगाया है, प्रगति का "एन प्लस द फर्स्ट" शब्द है। इसका अर्थ सरल और हानिरहित है।) यह प्रगति का एक सदस्य है, जिसकी संख्या संख्या n से एक से अधिक है। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी समस्या में लेते हैं एकपांचवां कार्यकाल, फिर एक एन + 1छठे सदस्य होंगे। आदि।

सबसे अधिक बार पदनाम एक एन + 1पुनरावर्ती सूत्रों में होता है। इस भयानक शब्द से डरो मत!) यह अंकगणितीय प्रगति की अवधि को व्यक्त करने का एक तरीका है पिछले एक के माध्यम से।मान लीजिए कि आवर्ती सूत्र का उपयोग करके हमें इस रूप में अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

एक एन + 1 = एक एन +3

ए 2 = ए 1 + 3 = 5 + 3 = 8

एक 3 = एक 2 + 3 = 8 + 3 = 11

चौथा - तीसरे के माध्यम से, पांचवां - चौथे के माध्यम से, और इसी तरह। और तुरंत कैसे गिनें, बीसवाँ पद कहें, एक 20? लेकिन कोई रास्ता नहीं!) जबकि 19वाँ ​​पद ज्ञात नहीं है, 20वाँ पद गिना नहीं जा सकता है। इसमें है मौलिक अंतर nवें पद के सूत्र से आवर्ती सूत्र। रिकर्सिव के माध्यम से ही काम करता है पिछलापद, और nवें पद का सूत्र - के माध्यम से सबसे पहलाऔर अनुमति देता है तुरंतकिसी भी सदस्य को उसकी संख्या से खोजें। संख्याओं की पूरी श्रृंखला को क्रम से नहीं गिनना।

एक अंकगणितीय प्रगति में, एक पुनरावर्ती सूत्र को आसानी से एक नियमित सूत्र में बदला जा सकता है। लगातार शब्दों की एक जोड़ी गिनें, अंतर की गणना करें डी,यदि आवश्यक हो, तो पहला कार्यकाल खोजें एक 1, सूत्र को सामान्य रूप में लिखें, और उसके साथ काम करें। जीआईए में ऐसे कार्य अक्सर पाए जाते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के एन-वें सदस्य के सूत्र का अनुप्रयोग।

आरंभ करने के लिए, विचार करें प्रत्यक्ष आवेदनसूत्र। पिछले पाठ के अंत में एक समस्या थी:

एक अंकगणितीय प्रगति (एन) दी गई है। एक 121 ज्ञात करें यदि a 1 =3 और d=1/6 है।

अंकगणितीय प्रगति के अर्थ के आधार पर, इस समस्या को बिना किसी सूत्र के हल किया जा सकता है। जोड़ें, हाँ जोड़ें ... एक या दो घंटे।)

और सूत्र के अनुसार समाधान में एक मिनट से भी कम समय लगेगा। आप इसे समय दे सकते हैं।) हम तय करते हैं।

शर्तें सूत्र का उपयोग करने के लिए सभी डेटा प्रदान करती हैं: ए 1 \u003d 3, डी \u003d 1/6।यह देखना बाकी है कि क्या एन।कोई बात नहीं! हमें खोजने की जरूरत है एक 121. यहाँ हम लिखते हैं:

ध्यान दीजिए! इंडेक्स के बजाय एनएक विशिष्ट संख्या दिखाई दी: 121। जो काफी तार्किक है।) हम अंकगणितीय प्रगति के सदस्य में रुचि रखते हैं संख्या एक सौ इक्कीस।यह हमारा होगा एन।यही अर्थ है एन= 121 हम आगे सूत्र में, कोष्ठक में स्थानापन्न करेंगे। सूत्र में सभी संख्याओं को प्रतिस्थापित करें और गणना करें:

एक 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

यही सब है इसके लिए। जितनी जल्दी कोई पाँच सौ दसवाँ सदस्य, और एक हज़ार तीसरा, कोई भी पा सकता है। हम इसके बजाय डालते हैं एनपत्र के सूचकांक में वांछित संख्या " एक"और कोष्ठक में, और हम विचार करते हैं।

मैं आपको सार याद दिलाता हूं: यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोईएक अंकगणितीय प्रगति की अवधि उसके नंबर से" एन" .

आइए समस्या को समझदारी से हल करें। मान लें कि हमें निम्नलिखित समस्या है:

समांतर श्रेढ़ी का पहला पद ज्ञात कीजिए (a n) यदि a 17 =-2; डी = -0.5।

यदि आपको कोई कठिनाई आती है, तो मैं पहला कदम सुझाऊंगा। अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र लिखिए!हाँ हाँ। हाथ से लिखें, ठीक आपकी नोटबुक में:

एक एन = एक 1 + (एन-1)घ

और अब, सूत्र के अक्षरों को देखते हुए, हम समझते हैं कि हमारे पास क्या डेटा है और क्या गायब है? उपलब्ध डी = -0.5,सत्रहवां सदस्य है ... सब कुछ? अगर आपको लगता है कि बस इतना ही है तो आप समस्या का समाधान नहीं कर सकते, जी हां...

हमारा भी एक नंबर है एन! हालत में एक 17 = -2छुपे हुए दो विकल्प।यह सत्रहवें सदस्य (-2) और इसकी संख्या (17) दोनों का मान है। वे। एन = 17।यह "छोटी चीज़" अक्सर सिर के पिछले हिस्से से फिसल जाती है, और इसके बिना, ("छोटी चीज़" के बिना, सिर नहीं!) समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। हालांकि ... और बिना सिर के भी।)

अब हम बेवकूफी से अपने डेटा को सूत्र में बदल सकते हैं:

एक 17 \u003d एक 1 + (17-1) (-0.5)

ओह हां, एक 17हम जानते हैं कि यह -2 है। ठीक है, चलिए इसे डालते हैं:

-2 \u003d ए 1 + (17-1) (-0.5)

वह, संक्षेप में, सब है। यह सूत्र से अंकगणितीय प्रगति की पहली अवधि को व्यक्त करने और गणना करने के लिए बनी हुई है। आपको जवाब मिलता है: एक 1 = 6।

इस तरह की तकनीक - एक सूत्र लिखना और केवल ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करना - इसमें बहुत मदद करता है सरल कार्य. ठीक है, आपको निश्चित रूप से एक सूत्र से एक चर को व्यक्त करने में सक्षम होना चाहिए, लेकिन क्या करें !? इस कौशल के बिना गणित का अध्ययन बिल्कुल नहीं किया जा सकता है ...

एक अन्य लोकप्रिय समस्या:

समांतर श्रेढ़ी का अंतर ज्ञात कीजिए (a n) यदि a 1 =2; एक 15 = 12।

हम क्या कर रहे हैं? आप हैरान होंगे, हम सूत्र लिखते हैं!)

एक एन = एक 1 + (एन-1)घ

हम जो जानते हैं उस पर विचार करें: ए 1 = 2; एक 15 =12; और (विशेष हाइलाइट!) एन = 15। सूत्र में स्थानापन्न करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें:

12=2 + (15-1)डी

चलो अंकगणित करते हैं।)

12=2 + 14डी

डी=10/14 = 5/7

यह सही जवाब है।

तो, कार्य एक एन, एक 1तथा डीनिर्णय लिया। यह सीखना बाकी है कि संख्या कैसे ज्ञात करें:

संख्या 99 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है, जहां 1 = 12; डी = 3। इस सदस्य की संख्या ज्ञात कीजिए।

हम ज्ञात मात्राओं को nवें पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

एक n = 12 + (n-1) 3

पहली नज़र में, यहाँ दो अज्ञात राशियाँ हैं: एक एन और एन।परंतु एकसंख्या के साथ प्रगति का कुछ सदस्य है एन... और प्रगति के इस सदस्य को हम जानते हैं! यह 99 है। हम उसकी संख्या नहीं जानते। एन,तो यह संख्या भी खोजने की जरूरत है। सूत्र में प्रगति पद 99 को प्रतिस्थापित करें:

99 = 12 + (एन-1) 3

हम सूत्र से व्यक्त करते हैं एन, हमें लगता है कि। हमें उत्तर मिलता है: एन = 30।

और अब उसी विषय पर एक समस्या, लेकिन अधिक रचनात्मक):

निर्धारित करें कि संख्या 117 अंकगणितीय प्रगति का सदस्य होगा (एन):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

आइए सूत्र को फिर से लिखें। क्या, कोई विकल्प नहीं है? हम्म... हमें आँखों की आवश्यकता क्यों है?) क्या हम प्रगति के पहले सदस्य को देखते हैं? हम देखते हैं। यह -3.6 है। आप सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं: ए 1 \u003d -3.6।अंतर डीश्रृंखला से ज्ञात किया जा सकता है? यदि आप जानते हैं कि अंकगणितीय प्रगति का अंतर क्या है तो यह आसान है:

डी = -2.4 - (-3.6) = 1.2

हाँ, हमने सबसे आसान काम किया। यह एक अज्ञात संख्या से निपटने के लिए बनी हुई है एनऔर एक समझ से बाहर संख्या 117। पिछली समस्या में, कम से कम यह ज्ञात था कि यह दी गई प्रगति की अवधि थी। लेकिन यहाँ हम यह भी नहीं जानते कि ... कैसे हो !? खैर, कैसे हो, कैसे हो... अपनी रचनात्मक क्षमताओं को चालू करें!)

हम मान लीजिएआखिरकार, वह 117 हमारी प्रगति का एक सदस्य है। किसी अनजान नंबर से एन. और, पिछली समस्या की तरह, आइए इस संख्या को खोजने का प्रयास करें। वे। हम सूत्र लिखते हैं (हाँ-हाँ!)) और अपनी संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं:

117 = -3.6 + (एन-1) 1.2

फिर से हम सूत्र से व्यक्त करते हैंएन, हम गिनते हैं और प्राप्त करते हैं:

उफ़! नंबर निकला आंशिक!डेढ़ सौ। और भिन्नात्मक संख्या क्रम में नहीं हो सकता।हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं? हाँ! संख्या 117 नहीं हैहमारी प्रगति का सदस्य। यह कहीं 101वें और 102वें सदस्य के बीच है। यदि संख्या प्राकृतिक निकली, अर्थात। सकारात्मक पूर्णांक, तो संख्या मिली संख्या के साथ प्रगति का सदस्य होगी। और हमारे मामले में, समस्या का उत्तर होगा: ना।

GIA के वास्तविक संस्करण पर आधारित कार्य:

अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:

एक n \u003d -4 + 6.8n

श्रेढ़ी का पहला और दसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

यहां प्रगति को असामान्य तरीके से सेट किया गया है। किसी प्रकार का सूत्र... होता है।) तथापि, यह सूत्र (जैसा कि मैंने ऊपर लिखा है) - अंकगणितीय प्रगति के एन-वें सदस्य का सूत्र भी!वह अनुमति भी देती है प्रगति के किसी भी सदस्य को उसकी संख्या से खोजें।

हम पहले सदस्य की तलाश कर रहे हैं। वह जो सोचता है। कि पहला पद माइनस चार है, मोटे तौर पर गलत है!) क्योंकि समस्या में सूत्र संशोधित है। इसमें अंकगणितीय प्रगति का पहला पद छुपे हुए।कुछ नहीं, हम इसे अभी खोज लेंगे।)

पिछले कार्यों की तरह ही, हम स्थानापन्न करते हैं एन = 1इस सूत्र में:

ए 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

यहां! पहला पद 2.8 है, न कि -4!

इसी तरह, हम दसवें पद की तलाश कर रहे हैं:

एक 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

यही सब है इसके लिए।

और अब, उन लोगों के लिए जिन्होंने इन पंक्तियों को पढ़ा है, वादा किया गया बोनस।)

मान लीजिए, एक कठिन युद्ध की स्थिति में, GIA या एकीकृत राज्य परीक्षा, आप भूल गए उपयोगी सूत्रएक अंकगणितीय प्रगति का nवाँ सदस्य। कुछ मन में आता है, लेकिन किसी तरह अनिश्चित ... चाहे एनवहाँ, या एन + 1, या एन-1...हो कैसे!?

शांत! यह सूत्र निकालना आसान है। बहुत सख्त नहीं है, लेकिन सुनिश्चित करने के लिए और सही निर्णययह काफी है!) निष्कर्ष के लिए, अंकगणितीय प्रगति के प्राथमिक अर्थ को याद रखना और कुछ मिनटों का समय देना पर्याप्त है। आपको बस एक चित्र बनाने की जरूरत है। विस्तृत जानकारी के लिए।

हम एक संख्यात्मक अक्ष बनाते हैं और उस पर पहले वाले को चिह्नित करते हैं। दूसरा, तीसरा, आदि सदस्य। और अंतर नोट करें डीसदस्यों के बीच। ऐशे ही:

हम चित्र को देखते हैं और सोचते हैं: दूसरा पद किसके बराबर है? दूसरा एक डी:

एक 2 = एक 1 + 1 डी

तीसरा कार्यकाल क्या है? तीसराटर्म पहले टर्म प्लस के बराबर है दो डी.

एक 3 = एक 1 + 2 डी

क्या आपको यह समझ आया? मैं व्यर्थ में कुछ शब्दों को बोल्ड में नहीं डालता। ठीक है, एक और कदम।)

चौथा कार्यकाल क्या है? चौथीटर्म पहले टर्म प्लस के बराबर है तीन डी.

एक 4 = एक 1 + 3 डी

यह महसूस करने का समय है कि अंतराल की संख्या, यानी। डी, हमेशा आप जिस सदस्य की तलाश कर रहे हैं, उसकी संख्या से एक कम एन. यानी संख्या तक एन, अंतराल की संख्याहोगा एन-1।तो, सूत्र होगा (कोई विकल्प नहीं!):

एक एन = एक 1 + (एन-1)घ

सामान्यतः दृश्य चित्र गणित की अनेक समस्याओं को हल करने में बहुत सहायक होते हैं। चित्रों की उपेक्षा मत करो। लेकिन अगर चित्र बनाना मुश्किल है, तो ... केवल एक सूत्र!) इसके अलावा, nवें पद का सूत्र आपको गणित के संपूर्ण शक्तिशाली शस्त्रागार को समाधान - समीकरणों, असमानताओं, प्रणालियों, आदि से जोड़ने की अनुमति देता है। आप समीकरण में तस्वीर नहीं लगा सकते...

स्वतंत्र निर्णय के लिए कार्य।

वार्म-अप के लिए:

1. अंकगणितीय श्रेणी में (a n) a 2 =3; ए 5 \u003d 5.1। एक 3 खोजें।

संकेत: चित्र के अनुसार, समस्या 20 सेकंड में हल हो जाती है ... सूत्र के अनुसार, यह अधिक कठिन हो जाता है। लेकिन सूत्र में महारत हासिल करने के लिए यह अधिक उपयोगी है।) धारा 555 में, इस समस्या को चित्र और सूत्र दोनों द्वारा हल किया गया है। अंतर महसूस करें!)

और यह अब वार्म-अप नहीं है।)

2. अंकगणितीय प्रगति में (एन) ए 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. a 3 ज्ञात कीजिये।

क्या, चित्र बनाने की अनिच्छा?) फिर भी! यह सूत्र में बेहतर है, हाँ...

3. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:ए 1 \u003d -5.5; एक एन + 1 = एक एन +0.5। इस श्रेणी का एक सौ पच्चीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

इस कार्य में, प्रगति को आवर्तक तरीके से दिया जाता है। लेकिन एक सौ पच्चीसवें पद तक की गिनती ... हर कोई ऐसा कारनामा नहीं कर सकता।) लेकिन nवें पद का सूत्र हर किसी की शक्ति के भीतर है!

4. एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है (एक एन):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

श्रेणी के सबसे छोटे धनात्मक पद की संख्या ज्ञात कीजिए।

5. कार्य 4 की स्थिति के अनुसार, श्रेणी के सबसे छोटे धनात्मक और सबसे बड़े ऋणात्मक सदस्यों का योग ज्ञात कीजिए।

6. बढ़ती अंकगणितीय प्रगति की पांचवीं और बारहवीं शर्तों का उत्पाद -2.5 है, और तीसरी और ग्यारहवीं शर्तों का योग शून्य है। एक 14 खोजें।

सबसे आसान काम नहीं है, हाँ ...) यहाँ "उंगलियों पर" विधि काम नहीं करेगी। आपको सूत्र लिखने हैं और समीकरणों को हल करना है।

उत्तर (विवाद में):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

हो गई? यह अच्छा है!)

सब कुछ नहीं चलता? हो जाता है। वैसे लास्ट टास्क में एक सूक्ष्म बात है। समस्या को पढ़ते समय ध्यान देने की आवश्यकता होगी। और तर्क।

इन सभी समस्याओं के समाधान की धारा 555 में विस्तार से चर्चा की गई है। और चौथे के लिए फंतासी तत्व, और छठे के लिए सूक्ष्म क्षण, और एनवें पद के सूत्र के लिए किसी भी समस्या को हल करने के लिए सामान्य दृष्टिकोण - सब कुछ चित्रित किया गया है। मेरा सुझाव है।

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

एक संख्यात्मक अनुक्रम की अवधारणा का अर्थ है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या किसी वास्तविक मूल्य से मेल खाती है। संख्याओं की ऐसी श्रृंखला मनमाना हो सकती है और कुछ गुण हो सकते हैं - एक प्रगति। बाद के मामले में, अनुक्रम के प्रत्येक बाद के तत्व (सदस्य) की गणना पिछले एक का उपयोग करके की जा सकती है।

एक अंकगणितीय प्रगति संख्यात्मक मानों का एक क्रम है जिसमें इसके पड़ोसी सदस्य एक ही संख्या से एक दूसरे से भिन्न होते हैं (श्रृंखला के सभी तत्व, 2 से शुरू होकर, समान गुण होते हैं)। यह संख्या - पिछले और बाद के सदस्य के बीच का अंतर - स्थिर है और इसे प्रगति अंतर कहा जाता है।

प्रगति अंतर: परिभाषा

एक अनुक्रम पर विचार करें जिसमें j मान A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से संबंधित है। एक अंकगणितीय प्रगति, इसकी परिभाषा के अनुसार, एक अनुक्रम है, जिसमें a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - ए (जे -1) = डी। डी का मान इस प्रगति का वांछित अंतर है।

डी = ए (जे) - ए (जे -1)।

आवंटन:

• एक वर्धमान क्रम, जिस स्थिति में d > 0. उदाहरण: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• घटती हुई प्रगति, फिर डी< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

प्रगति और उसके मनमाने तत्वों का अंतर

अगर प्रगति के 2 स्वैच्छिक सदस्य (i-th, k-th) ज्ञात हैं, तो इस क्रम के लिए अंतर संबंध के आधार पर स्थापित किया जा सकता है:

ए (i) = ए (के) + (आई - के) * डी, इसलिए डी = (ए (आई) - ए (के)) / (आई-के)।

प्रगति अंतर और इसकी पहली अवधि

यह अभिव्यक्ति अज्ञात मान को केवल उन मामलों में निर्धारित करने में मदद करेगी जहां अनुक्रम तत्व की संख्या ज्ञात है।

प्रगति अंतर और उसका योग

प्रगति का योग इसकी शर्तों का योग है। इसके पहले j तत्वों के कुल मान की गणना करने के लिए, संबंधित सूत्र का उपयोग करें:

एस(जे) =((ए(1) + ए(जे))/2)*जे, लेकिन चूंकि a(j) = a(1) + d(j – 1), फिर S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2ए(1) + डी(-1))/2)*जे.

अंकगणितीय प्रगति की समस्याएं प्राचीन काल से मौजूद हैं। वे प्रकट हुए और समाधान की मांग की, क्योंकि उनकी एक व्यावहारिक आवश्यकता थी।

इसलिए, प्राचीन मिस्र के एक पपाइरी में, जिसमें गणितीय सामग्री है - राइंड पेपिरस (XIX सदी ईसा पूर्व) - में निम्नलिखित कार्य शामिल हैं: रोटी के दस उपायों को दस लोगों में विभाजित करें, बशर्ते कि उनमें से प्रत्येक के बीच का अंतर एक हो एक उपाय का आठवां।

और प्राचीन यूनानियों के गणितीय कार्यों में अंकगणितीय प्रगति से संबंधित सुरुचिपूर्ण प्रमेय हैं। तो, अलेक्जेंड्रिया के हाइपसिकल्स (दूसरी शताब्दी, जिन्होंने कई दिलचस्प समस्याओं को संकलित किया और यूक्लिड के "तत्वों" में चौदहवीं पुस्तक को जोड़ा, ने विचार तैयार किया: "सदस्यों की एक समान संख्या के साथ एक अंकगणितीय प्रगति में, दूसरी छमाही के सदस्यों का योग वर्ग 1/2 सदस्यों द्वारा 1 के सदस्यों के योग से अधिक है।

अनुक्रम a को निरूपित किया जाता है। अनुक्रम की संख्याओं को इसके सदस्य कहा जाता है और आमतौर पर सूचकांक वाले अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है जो इस सदस्य की क्रम संख्या (a1, a2, a3 ... पढ़ें: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd") और इसी तरह)।

अनुक्रम अनंत या परिमित हो सकता है।

एक अंकगणितीय प्रगति क्या है? इसे पिछले शब्द (n) को उसी संख्या d के साथ जोड़कर प्राप्त किया गया समझा जाता है, जो कि प्रगति का अंतर है।

अगर डी<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, तो इस तरह की प्रगति को बढ़ती हुई माना जाता है।

एक अंकगणितीय प्रगति को परिमित कहा जाता है यदि इसके पहले कुछ पदों को ही ध्यान में रखा जाए। बहुत पर बड़ी संख्या में Member पहले से ही एक अनंत प्रगति है।

किसी भी अंकगणितीय प्रगति को निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

an =kn+b, जबकि b और k कुछ संख्याएँ हैं।

कथन, जो विपरीत है, बिल्कुल सत्य है: यदि अनुक्रम एक समान सूत्र द्वारा दिया गया है, तो यह बिल्कुल अंकगणितीय प्रगति है, जिसमें गुण हैं:

1. प्रगति का प्रत्येक सदस्य पिछले सदस्य और अगले सदस्य का अंकगणितीय माध्य है।
2. विपरीत: यदि, दूसरे पद से शुरू होकर, प्रत्येक पद पिछले पद और अगले पद का अंकगणितीय माध्य है, अर्थात यदि शर्त पूरी होती है, तो दिया गया क्रम अंकगणितीय प्रगति है। यह समानता एक ही समय में प्रगति का संकेत है, इसलिए इसे आमतौर पर प्रगति की एक विशिष्ट संपत्ति कहा जाता है।
   उसी तरह, प्रमेय जो इस संपत्ति को दर्शाता है वह सच है: एक अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है, अगर यह समानता अनुक्रम के किसी भी सदस्य के लिए सच है, जो दूसरे से शुरू होती है।

एक समांतर श्रेढ़ी की किन्हीं चार संख्याओं के लिए अभिलाक्षणिक गुण सूत्र a + am = ak + al द्वारा व्यक्त किया जा सकता है यदि n + m = k + l (m, n, k प्रगति की संख्याएँ हैं)।

अंकगणितीय प्रगति में, कोई भी आवश्यक (Nth) पद निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करके पाया जा सकता है:

उदाहरण के लिए: अंकगणितीय प्रगति में पहला पद (a1) दिया गया है और तीन के बराबर है, और अंतर (d) चार के बराबर है। आपको इस श्रेढ़ी का पैंतालीसवाँ पद ज्ञात करना है। a45 = 1+4(45-1)=177

सूत्र a = ak + d(n - k) आपको इसके किसी भी k-वें सदस्य के माध्यम से अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य को निर्धारित करने की अनुमति देता है, बशर्ते कि यह ज्ञात हो।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की राशि (अंतिम श्रेणी के पहले एन सदस्यों को मानते हुए) की गणना निम्नानुसार की जाती है:

एसएन = (ए1+एएन) एन/2।

यदि पहला पद भी ज्ञात हो, तो गणना के लिए दूसरा सूत्र सुविधाजनक होता है:

एसएन = ((2ए1+डी(एन-1))/2)*एन।

अंकगणितीय प्रगति का योग जिसमें एन शब्द शामिल हैं, निम्नानुसार गणना की जाती है:

गणना के लिए सूत्रों का चुनाव कार्यों की शर्तों और प्रारंभिक डेटा पर निर्भर करता है।

किसी भी संख्या की प्राकृतिक श्रृंखला जैसे 1,2,3,...,n,... अंकगणितीय प्रगति का सबसे सरल उदाहरण है।

अंकगणितीय प्रगति के अलावा, एक ज्यामितीय भी है, जिसके अपने गुण और विशेषताएं हैं।

प्रथम स्तर

अंकगणितीय प्रगति। उदाहरणों के साथ विस्तृत सिद्धांत (2019)

संख्यात्मक क्रम

तो चलिए बैठ जाते हैं और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए:
आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं (हमारे मामले में, उन्हें)। कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितनी संख्याएँ लिखते हैं, हम हमेशा कह सकते हैं कि उनमें से कौन सी पहली है, कौन सी दूसरी है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्यात्मक क्रम
उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या केवल एक अनुक्रम संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन दूसरी संख्याएँ नहीं हैं। दूसरी संख्या (-वें नंबर की तरह) हमेशा समान होती है।
संख्या के साथ संख्या को अनुक्रम का -वाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य - इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक वाला एक ही अक्षर:।

हमारे मामले में:

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्यात्मक क्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और समान है।
उदाहरण के लिए:

आदि।
इस तरह के संख्यात्मक क्रम को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है।
शब्द "प्रगति" रोमन लेखक बोथियस द्वारा 6 वीं शताब्दी की शुरुआत में पेश किया गया था और एक व्यापक अर्थ में एक अंतहीन संख्यात्मक अनुक्रम के रूप में समझा गया था। "अंकगणित" नाम को निरंतर अनुपात के सिद्धांत से स्थानांतरित किया गया था, जिसमें प्राचीन यूनानी लगे हुए थे।

यह एक संख्यात्मक क्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या के साथ जोड़ा गया है। इस संख्या को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है।

यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या अनुक्रम अंकगणितीय प्रगति हैं और कौन से नहीं हैं:

एक)
बी)
सी)
डी)

समझ गया? हमारे उत्तरों की तुलना करें:
हैअंकगणितीय प्रगति - बी, सी।
नहीं हैअंकगणितीय प्रगति - ए, डी।

आइए दी गई श्रेणी () पर वापस लौटते हैं और इसके वें सदस्य का मान ज्ञात करने का प्रयास करते हैं। मौजूद दोइसे खोजने का तरीका।

1. विधि

हम श्रेढ़ी संख्या के पिछले मान में तब तक जोड़ सकते हैं जब तक कि हम श्रेढ़ी के वें पद तक नहीं पहुँच जाते। यह अच्छा है कि हमारे पास सारांशित करने के लिए बहुत कुछ नहीं है - केवल तीन मान:

तो, वर्णित अंकगणितीय प्रगति का -वाँ सदस्य बराबर है।

2. विधि

यदि हमें श्रेढ़ी के वें पद का मान ज्ञात करने की आवश्यकता हो तो क्या होगा? योग करने में हमें एक घंटे से अधिक का समय लग जाता, और यह तथ्य नहीं है कि संख्याओं को जोड़ते समय हमने गलतियाँ नहीं की होंगी।
बेशक, गणितज्ञ एक ऐसा तरीका लेकर आए हैं जिसमें आपको अंकगणितीय प्रगति के अंतर को पिछले मूल्य में जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। खींची गई तस्वीर को करीब से देखें ... निश्चित रूप से आपने पहले ही एक निश्चित पैटर्न देखा है, अर्थात्:

उदाहरण के लिए, देखते हैं कि इस अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य का मान क्या बनता है:


दूसरे शब्दों में:

इस अंकगणितीय प्रगति के सदस्य के मूल्य को स्वतंत्र रूप से खोजने का प्रयास करें।

परिकलित? उत्तर के साथ अपनी प्रविष्टियों की तुलना करें:

ध्यान दें कि आपको ठीक वही संख्या मिली है जो पिछली पद्धति में थी, जब हमने अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों को पिछले मान में क्रमिक रूप से जोड़ा था।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपण" करने का प्रयास करें - हम इसे एक सामान्य रूप में लाते हैं और प्राप्त करते हैं:

अंकगणितीय प्रगति समीकरण।

अंकगणितीय प्रगति या तो बढ़ रही है या घट रही है।

की बढ़ती- प्रगति जिसमें शर्तों का प्रत्येक बाद का मूल्य पिछले एक से अधिक है।
उदाहरण के लिए:

अवरोही- प्रगति जिसमें शर्तों का प्रत्येक बाद का मूल्य पिछले एक से कम है।
उदाहरण के लिए:

व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग अंकगणितीय प्रगति के बढ़ते और घटते दोनों पदों की गणना में किया जाता है।
आइए इसे व्यवहार में देखें।
हमें निम्नलिखित संख्याओं से मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

तब से:

इस प्रकार, हम आश्वस्त थे कि सूत्र अंकगणितीय प्रगति को घटाने और बढ़ाने दोनों में काम करता है।
इस अंकगणितीय प्रगति के -वें और -वें सदस्यों को स्वयं खोजने का प्रयास करें।

आइए परिणामों की तुलना करें:

अंकगणितीय प्रगति संपत्ति

आइए कार्य को जटिल करें - हम अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति प्राप्त करते हैं।
मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित शर्त दी गई है:
- अंकगणितीय प्रगति, मान ज्ञात करें।
आप कहते हैं, यह आसान है, और उस सूत्र के अनुसार गिनना शुरू करें जिसे आप पहले से जानते हैं:

चलो, ए, फिर:

बिल्कुल सही। यह पता चला है कि हम पहले पाते हैं, फिर इसे पहले नंबर में जोड़ते हैं और जो हम ढूंढ रहे हैं उसे प्राप्त करते हैं। यदि प्रगति को छोटे मूल्यों द्वारा दर्शाया गया है, तो इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन क्या होगा यदि हमें स्थिति में संख्याएँ दी गई हैं? सहमत हूँ, गणना में गलतियाँ होने की संभावना है।
अब सोचिए, क्या किसी सूत्र का प्रयोग करके इस समस्या को एक ही चरण में हल करना संभव है? बेशक, हां, और हम इसे अभी बाहर लाने की कोशिश करेंगे।

आइए अंकगणितीय प्रगति के वांछित शब्द को निरूपित करें, क्योंकि हम इसे खोजने का सूत्र जानते हैं - यह वही सूत्र है जो हमने शुरुआत में निकाला था:
, फिर:

• प्रगति का पिछला सदस्य है:
• प्रगति की अगली अवधि है:

आइए प्रगति के पिछले और अगले सदस्यों का योग करें:

यह पता चला है कि प्रगति के पिछले और बाद के सदस्यों का योग उनके बीच स्थित प्रगति के सदस्य के मूल्य का दोगुना है। दूसरे शब्दों में, ज्ञात पिछले और लगातार मूल्यों के साथ एक प्रगति सदस्य के मूल्य को खोजने के लिए, उन्हें जोड़ना और विभाजित करना आवश्यक है।

यह सही है, हमें वही नंबर मिला है। चलो सामग्री ठीक करते हैं। प्रगति के मूल्य की गणना स्वयं करें, क्योंकि यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है।

बहुत बढ़िया! आप प्रगति के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं! यह केवल एक सूत्र का पता लगाने के लिए बना हुआ है, जो कि किंवदंती के अनुसार, सभी समय के महानतम गणितज्ञों में से एक, "गणितज्ञों का राजा" - कार्ल गॉस, आसानी से खुद के लिए कटौती करता है ...

जब कार्ल गॉस 9 वर्ष के थे, तो अन्य कक्षाओं के छात्रों के काम की जाँच में व्यस्त शिक्षक ने पाठ में निम्नलिखित कार्य पूछा: "सभी प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना (अन्य स्रोतों के अनुसार) तक सम्मिलित करें। " शिक्षक को क्या आश्चर्य हुआ जब उनके एक छात्र (यह कार्ल गॉस थे) ने एक मिनट के बाद कार्य का सही उत्तर दिया, जबकि डेयरडेविल के अधिकांश सहपाठियों ने लंबी गणना के बाद गलत परिणाम प्राप्त किया ...

युवा कार्ल गॉस ने एक पैटर्न देखा जिसे आप आसानी से देख सकते हैं।
मान लें कि हमारे पास अंकगणितीय प्रगति है जिसमें -ti सदस्य शामिल हैं: हमें अंकगणितीय प्रगति के दिए गए सदस्यों का योग खोजने की आवश्यकता है। बेशक, हम मैन्युअल रूप से सभी मानों का योग कर सकते हैं, लेकिन क्या होगा यदि हमें कार्य में इसकी शर्तों का योग खोजने की आवश्यकता है, जैसा कि गॉस खोज रहे थे?

आइए हमें दी गई प्रगति को चित्रित करें। हाइलाइट की गई संख्याओं को ध्यान से देखें और उनके साथ विभिन्न गणितीय संक्रियाएँ करने का प्रयास करें।


कोशिश की? आपने क्या देखा? सही ढंग से! उनका योग बराबर है

अब उत्तर दीजिए, हमें दी गई श्रेढ़ी में ऐसे कितने जोड़े होंगे? बेशक, सभी संख्याओं का ठीक आधा, यानी।
इस तथ्य के आधार पर कि अंकगणितीय प्रगति के दो पदों का योग बराबर है, और समान समान जोड़े हैं, हम पाते हैं कि कुल योग बराबर है:
.
इस प्रकार, किसी अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग का सूत्र होगा:

कुछ समस्याओं में, हम वें पद को नहीं जानते हैं, लेकिन हम प्रगति के अंतर को जानते हैं। योग सूत्र में, वें सदस्य के सूत्र को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें।
तुम्हें क्या मिला?

बहुत बढ़िया! अब कार्ल गॉस को दी गई समस्या पर वापस आते हैं: अपने लिए गणना करें कि -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है, और -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग।

आपको कितना मिला?
गॉस ने पाया कि शर्तों का योग बराबर है, और शर्तों का योग। क्या आपने ऐसा फैसला किया है?

वास्तव में, एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग का सूत्र प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक डायोफैंटस द्वारा तीसरी शताब्दी में सिद्ध किया गया था, और इस समय के दौरान, मजाकिया लोगों ने अंकगणितीय प्रगति के गुणों का उपयोग ताकत और मुख्य के साथ किया।
उदाहरण के लिए, प्राचीन मिस्र और उस समय के सबसे बड़े निर्माण स्थल की कल्पना करें - एक पिरामिड का निर्माण ... चित्र इसका एक पक्ष दिखाता है।

आप कहते हैं कि यहां प्रगति कहां है? ध्यान से देखें और पिरामिड दीवार की प्रत्येक पंक्ति में रेत ब्लॉकों की संख्या में एक पैटर्न खोजें।


अंकगणितीय प्रगति क्यों नहीं? गणना करें कि एक दीवार बनाने के लिए कितने ब्लॉकों की आवश्यकता होगी यदि ब्लॉक ईंटों को आधार में रखा गया हो। मुझे उम्मीद है कि आप मॉनिटर पर अपनी उंगली घुमाकर गिनती नहीं करेंगे, क्या आपको आखिरी फॉर्मूला याद है और अंकगणितीय प्रगति के बारे में हमने जो कुछ कहा है?

इस मामले में, प्रगति इस तरह दिखती है:
अंकगणितीय प्रगति अंतर।
अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संख्या।
आइए अपने डेटा को अंतिम फ़ार्मुलों में बदलें (हम 2 तरीकों से ब्लॉक की संख्या की गणना करते हैं)।

विधि 1।

विधि 2।

और अब आप मॉनिटर पर भी गणना कर सकते हैं: प्राप्त मूल्यों की तुलना हमारे पिरामिड में मौजूद ब्लॉकों की संख्या से करें। क्या यह सहमत था? शाबाश, आपने अंकगणितीय प्रगति के वें पदों के योग में महारत हासिल कर ली है।
बेशक, आप आधार पर ब्लॉकों से पिरामिड नहीं बना सकते, लेकिन से? इस शर्त के साथ दीवार बनाने के लिए कितनी रेत की ईंटों की जरूरत है, इसकी गणना करने का प्रयास करें।
क्या आप संभाल पाओगे?
सही उत्‍तर है → ब्लॉक

कसरत करना

कार्य:

1. माशा गर्मी के लिए आकार में हो रही है। हर दिन वह स्क्वैट्स की संख्या में इजाफा करती हैं। माशा हफ्तों में कितनी बार स्क्वाट करेगी अगर उसने पहली बार वर्कआउट किया।
2. में निहित सभी विषम संख्याओं का योग क्या है।
3. लॉग को संग्रहीत करते समय, लंबरजैक उन्हें इस तरह से ढेर कर देते हैं कि प्रत्येक शीर्ष परत में पिछले एक की तुलना में एक कम लॉग होता है। एक चिनाई में कितने लट्ठे हैं, यदि चिनाई का आधार लट्ठे हैं।

उत्तर:

1. आइए अंकगणितीय प्रगति के पैरामीटर परिभाषित करें। इस मामले में
   (सप्ताह = दिन)।

   उत्तर:दो सप्ताह में, माशा को दिन में एक बार स्क्वाट करना चाहिए।

2. पहली विषम संख्या, अंतिम संख्या।
   अंकगणितीय प्रगति अंतर।
   विषम संख्याओं की संख्या - आधी, हालांकि, अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करके इस तथ्य की जांच करें:

   संख्याओं में विषम संख्याएँ होती हैं।
   हम उपलब्ध डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

   उत्तर:में निहित सभी विषम संख्याओं का योग बराबर है।

3. पिरामिड के बारे में समस्या को याद करें। हमारे मामले के लिए, चूंकि प्रत्येक शीर्ष परत एक लॉग से कम हो जाती है, केवल परतों का एक गुच्छा होता है, अर्थात।
   डेटा को सूत्र में बदलें:

   उत्तर:चिनाई में लॉग हैं।

उपसंहार

1. - एक संख्यात्मक क्रम जिसमें आसन्न संख्याओं का अंतर समान और बराबर होता है। यह बढ़ रहा है और घट रहा है।
2. सूत्र ढूँढनासमांतर श्रेढ़ी का वां सदस्य सूत्र द्वारा लिखा जाता है - , जहाँ श्रेढ़ी में संख्याओं की संख्या है।
3. अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति- - कहाँ - प्रगति में संख्याओं की संख्या।
4. अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का योगदो तरह से पाया जा सकता है:
   
   , जहां मानों की संख्या है।

अंकगणितीय प्रगति। औसत स्तर

संख्यात्मक क्रम

आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितनी चाहें उतनी संख्याएँ हो सकती हैं। लेकिन आप हमेशा बता सकते हैं कि उनमें से कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, और इसी तरह, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है।

संख्यात्मक क्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या निर्दिष्ट की जा सकती है।

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संख्या एक निश्चित प्राकृतिक संख्या से जुड़ी हो सकती है, और केवल एक। और हम इस संख्या को इस सेट से किसी अन्य संख्या को निर्दिष्ट नहीं करेंगे।

संख्या के साथ संख्या को अनुक्रम का -वाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर कहते हैं (उदाहरण के लिए,), और इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य - इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक वाला एक ही अक्षर:।

यह बहुत सुविधाजनक है अगर अनुक्रम का -वाँ सदस्य किसी सूत्र द्वारा दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र

अनुक्रम सेट करता है:

और सूत्र निम्न क्रम है:

उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है (यहाँ पहला शब्द बराबर है, और अंतर)। या (, अंतर)।

nवाँ पद सूत्र

हम आवर्तक को एक सूत्र कहते हैं, जिसमें -वें पद का पता लगाने के लिए, आपको पिछले या कई पिछले लोगों को जानने की आवश्यकता है:

उदाहरण के लिए, इस तरह के एक सूत्र का उपयोग करके प्रगति के वें पद को खोजने के लिए, हमें पिछले नौ की गणना करनी होगी। उदाहरण के लिए, चलो। फिर:

अच्छा, अब यह स्पष्ट हो गया कि सूत्र क्या है?

प्रत्येक पंक्ति में, हम जोड़ते हैं, किसी संख्या से गुणा करते हैं। किसलिए? बहुत सरल: यह वर्तमान सदस्य ऋण की संख्या है:

अब और अधिक आरामदायक, है ना? हम जाँच:

अपने लिए तय करें:

अंकगणितीय प्रगति में, nवें पद के लिए सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

पहला कार्यकाल बराबर है। और क्या फर्क है? और यहाँ क्या है:

(आखिरकार, इसे अंतर कहा जाता है क्योंकि यह प्रगति के क्रमिक सदस्यों के अंतर के बराबर है)।

तो सूत्र है:

तो सौवाँ पद है:

से लेकर तक की सभी प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

किंवदंती के अनुसार, महान गणितज्ञ कार्ल गॉस ने 9 साल के लड़के होने के नाते कुछ ही मिनटों में इस राशि की गणना की। उसने देखा कि पहली और आखिरी संख्या का योग बराबर है, दूसरी और अंतिम संख्या का योग समान है, अंत से तीसरी और तीसरी संख्या का योग समान है, और इसी तरह आगे भी। ऐसे कितने जोड़े हैं? यह सही है, सभी संख्याओं की संख्या का ठीक आधा, यानी। इसलिए,

किसी अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग का सामान्य सूत्र होगा:

उदाहरण:
सभी दो अंकों के गुणकों का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

ऐसी पहली संख्या यह है। प्रत्येक अगले को पिछले एक में एक संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, हमारे लिए ब्याज की संख्या पहले पद और अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति बनाती है।

इस श्रेणी के लिए वें पद का सूत्र है:

प्रगति में कितने पद हैं यदि वे सभी दो अंकों के होने चाहिए?

बहुत आसान: ।

प्रगति का अंतिम कार्यकाल बराबर होगा। फिर योग:

उत्तर: ।

अब आप ही निर्णय लीजिये:

1. हर दिन एथलीट पिछले दिन की तुलना में 1 मी अधिक दौड़ता है। यदि वह पहले दिन किमी मी दौड़े तो वह सप्ताहों में कितने किलोमीटर दौड़ेगा?
2. एक साइकिल चालक पिछले एक की तुलना में हर दिन अधिक मील की सवारी करता है। पहले दिन उन्होंने किमी. का सफर तय किया। एक किलोमीटर की दूरी तय करने के लिए उसे कितने दिन गाड़ी चलानी होगी? यात्रा के अंतिम दिन वह कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा?
3. स्टोर में रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल उतनी ही कम हो जाती है। निर्धारित करें कि रूबल के लिए बिक्री के लिए रखे गए रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल कितनी कम हो जाती है, छह साल बाद इसे रूबल के लिए बेच दिया गया था।

उत्तर:

1. यहां सबसे महत्वपूर्ण बात अंकगणितीय प्रगति को पहचानना और इसके पैरामीटर निर्धारित करना है। इस मामले में, (सप्ताह = दिन)। आपको इस प्रगति की पहली शर्तों का योग निर्धारित करने की आवश्यकता है:
   .
   उत्तर:
2. यहाँ यह दिया गया है :, इसे खोजना आवश्यक है।
   जाहिर है, आपको पिछली समस्या के समान योग सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
   .
   मान बदलें:

   जड़ स्पष्ट रूप से फिट नहीं है, इसलिए उत्तर।
   आइए -वें सदस्य के सूत्र का उपयोग करके अंतिम दिन में तय की गई दूरी की गणना करें:
   (किमी).
   उत्तर:

3. दिया गया: । पाना: ।
   यह आसान नहीं होता है:
   (रगड़ना)।
   उत्तर:

अंकगणितीय प्रगति। संक्षेप में मुख्य के बारे में

यह एक संख्यात्मक क्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं का अंतर समान और बराबर होता है।

अंकगणितीय प्रगति बढ़ रही है () और घट रही है ()।

उदाहरण के लिए:

अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य को खोजने का सूत्र

एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है, जहां प्रगति में संख्याओं की संख्या होती है।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति

प्रगति के सदस्य को ढूंढना आसान हो जाता है यदि उसके पड़ोसी सदस्य ज्ञात हों - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहाँ है।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का योग

योग ज्ञात करने के दो तरीके हैं:

मूल्यों की संख्या कहां है।

मूल्यों की संख्या कहां है।