अंकगणितीय प्रगति अंतर सूत्र। एक अंकगणितीय प्रगति का योग

हाँ, हाँ: अंकगणितीय प्रगति आपके लिए कोई खिलौना नहीं है :)

ठीक है, दोस्तों, यदि आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो आंतरिक कैप साक्ष्य मुझे बताता है कि आप अभी भी नहीं जानते हैं कि अंकगणितीय प्रगति क्या है, लेकिन आप वास्तव में (नहीं, इस तरह: SOOOOO!) जानना चाहते हैं। इसलिए, मैं आपको लंबे परिचयों से परेशान नहीं करूंगा और तुरंत व्यापार में उतर जाऊंगा।

शुरू करने के लिए, कुछ उदाहरण। संख्याओं के कई सेटों पर विचार करें:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

इन सभी सेटों में क्या समानता है? पहली नज़र में, कुछ भी नहीं। लेकिन असल में कुछ है। अर्थात्: प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से उसी संख्या से भिन्न होता है.

अपने लिए न्याय करो। पहला सेट केवल लगातार संख्याएं हैं, प्रत्येक पिछले एक से अधिक है। दूसरे मामले में, आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर पहले से ही पाँच के बराबर है, लेकिन यह अंतर अभी भी स्थिर है। तीसरे मामले में, सामान्य रूप से जड़ें होती हैं। हालांकि, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, जबकि $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, यानी। जिस स्थिति में प्रत्येक अगला तत्व $\sqrt(2)$ से बढ़ जाता है (और डरो मत कि यह संख्या तर्कहीन है)।

अत: ऐसे सभी क्रमों को अंकगणितीय श्रेढ़ी कहा जाता है। आइए एक सख्त परिभाषा दें:

परिभाषा। संख्याओं का एक क्रम जिसमें प्रत्येक अगली संख्या पिछले एक से बिल्कुल समान मात्रा में भिन्न होती है, अंकगणितीय प्रगति कहलाती है। वह राशि जिसके द्वारा संख्याएँ भिन्न होती हैं, प्रगति अंतर कहलाती है और इसे अक्सर $d$ अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है।

नोटेशन: $\left(((a)_(n)) \right)$ प्रगति ही है, $d$ इसका अंतर है।

और बस कुछ महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ। सबसे पहले, प्रगति को ही माना जाता है व्यवस्थितसंख्याओं का क्रम: उन्हें उसी क्रम में पढ़ने की अनुमति है जिसमें वे लिखे गए हैं - और कुछ नहीं। आप संख्याओं को पुनर्व्यवस्थित या स्वैप नहीं कर सकते।

दूसरे, अनुक्रम या तो परिमित या अनंत हो सकता है। उदाहरण के लिए, सेट (1; 2; 3) स्पष्ट रूप से एक परिमित अंकगणितीय प्रगति है। लेकिन अगर आप कुछ लिखते हैं (1; 2; 3; 4; ...) - यह पहले से ही एक अनंत प्रगति है। चार के बाद दीर्घवृत्त, जैसा कि यह था, संकेत करता है कि बहुत सारी संख्याएँ आगे बढ़ती हैं। असीमित कई, उदाहरण के लिए। :)

मैं यह भी नोट करना चाहूंगा कि प्रगति बढ़ रही है और घट रही है। हम पहले ही बढ़ते हुए देख चुके हैं - एक ही सेट (1; 2; 3; 4; ...)। घटती हुई प्रगति के उदाहरण यहां दिए गए हैं:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ठीक है, ठीक है: अंतिम उदाहरण अत्यधिक जटिल लग सकता है। लेकिन बाकी, मुझे लगता है, आप समझते हैं। इसलिए, हम नई परिभाषाएँ प्रस्तुत करते हैं:

परिभाषा। एक अंकगणितीय प्रगति कहलाती है:

1. बढ़ रहा है अगर प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से अधिक है;
2. घट रहा है, अगर, इसके विपरीत, प्रत्येक बाद वाला तत्व पिछले एक से कम है।

इसके अलावा, तथाकथित "स्थिर" अनुक्रम हैं - उनमें एक ही दोहराई जाने वाली संख्या होती है। उदाहरण के लिए, (3; 3; 3; ...).

केवल एक ही प्रश्न शेष है: एक बढ़ती हुई प्रगति को एक घटती हुई प्रगति से कैसे अलग किया जाए? सौभाग्य से, यहाँ सब कुछ केवल संख्या $d$ के चिन्ह पर निर्भर करता है, अर्थात। प्रगति मतभेद:

1. यदि $d \gt 0$, तो प्रगति बढ़ रही है;
2. यदि $d \lt 0$, तो प्रगति स्पष्ट रूप से घट रही है;
3. अंत में, मामला $d=0$ है - इस मामले में पूरी प्रगति समान संख्याओं के एक स्थिर अनुक्रम में कम हो जाती है: (1; 1; 1; 1; ...), आदि।

आइए उपरोक्त तीन घटती प्रगति के लिए $d$ के अंतर की गणना करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, किसी भी दो आसन्न तत्वों (उदाहरण के लिए, पहले और दूसरे) को लेना और दाईं ओर की संख्या से बाईं ओर की संख्या को घटाना पर्याप्त है। यह ऐसा दिखाई देगा:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$।

जैसा कि आप देख सकते हैं, तीनों मामलों में अंतर वास्तव में नकारात्मक निकला। और अब जब हमने कमोबेश परिभाषाओं का पता लगा लिया है, तो यह पता लगाने का समय आ गया है कि प्रगति का वर्णन कैसे किया जाता है और उनके पास क्या गुण हैं।

प्रगति के सदस्य और आवर्तक सूत्र

चूंकि हमारे अनुक्रम के तत्वों का आदान-प्रदान नहीं किया जा सकता है, उन्हें क्रमांकित किया जा सकता है:

\[\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)=\बाएं\( ((ए)_(1)),\ ((ए)_(2)),((ए)_(3 )),... \सही\)\]

इस सेट के अलग-अलग तत्वों को प्रगति के सदस्य कहा जाता है। उन्हें एक संख्या की सहायता से इस प्रकार इंगित किया जाता है: पहला सदस्य, दूसरा सदस्य, और इसी तरह।

इसके अलावा, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, प्रगति के पड़ोसी सदस्य सूत्र द्वारा संबंधित हैं:

\[((ए)_(एन))-((ए)_(एन-1))=d\Rightarrow ((ए)_(एन))=((ए)_(एन-1))+डी \]

संक्षेप में, प्रगति का $n$वाँ पद ज्ञात करने के लिए, आपको $n-1$वाँ पद और अंतर $d$ जानने की आवश्यकता है। इस तरह के एक सूत्र को आवर्तक कहा जाता है, क्योंकि इसकी मदद से आप केवल पिछले एक (और वास्तव में, सभी पिछले वाले) को जानकर किसी भी संख्या का पता लगा सकते हैं। यह बहुत असुविधाजनक है, इसलिए एक अधिक पेचीदा सूत्र है जो किसी भी गणना को पहले पद और अंतर तक कम कर देता है:

\[((ए)_(एन))=((ए)_(1))+\बाएं(एन-1 \दाएं)d\]

आप शायद इस फॉर्मूले से पहले आ चुके हैं। वे इसे सभी प्रकार की संदर्भ पुस्तकों और रेशेबनिकों में देना पसंद करते हैं। और गणित पर किसी भी समझदार पाठ्यपुस्तक में, यह सबसे पहले में से एक है।

हालाँकि, मेरा सुझाव है कि आप थोड़ा अभ्यास करें।

टास्क नंबर 1। पहले तीन पद लिखिए अंकगणितीय प्रगति$\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)$ अगर $((ए)_(1))=8,डी=-5$।

समाधान। तो, हम पहले शब्द $((a)_(1))=8$ और प्रगति अंतर $d=-5$ जानते हैं। आइए अभी दिए गए सूत्र का उपयोग करें और $n=1$, $n=2$ और $n=3$ को प्रतिस्थापित करें:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(एन))=((ए)_(1))+\बाएं(एन-1 \दाएं)d; \\ & ((ए)_(1))=((ए)_(1))+\बाएं(1-1 \दाएं)डी=((ए)_(1))=8; \\ & ((ए)_(2))=((ए)_(1))+\बाएं(2-1 \दाएं)d=((ए)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((ए)_(3))=((ए)_(1))+\बाएं(3-1 \दाएं)d=((ए)_(1))+2d=8-10= -2। \\ \end(संरेखित करें)\]

उत्तर: (8; 3; -2)

बस इतना ही! ध्यान दें कि हमारी प्रगति कम हो रही है।

बेशक, $n=1$ को प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता था - हम पहले से ही पहले शब्द को जानते हैं। हालाँकि, इकाई को प्रतिस्थापित करके, हमने यह सुनिश्चित किया कि पहले पद के लिए भी हमारा सूत्र काम करता है। अन्य मामलों में, सब कुछ साधारण अंकगणित में आ गया।

टास्क नंबर 2। अंकगणितीय प्रगति के पहले तीन पद लिखिए यदि इसका सातवाँ पद -40 है और इसका सत्रहवाँ पद -50 है।

समाधान। हम समस्या की स्थिति को सामान्य शब्दों में लिखते हैं:

\[((ए)_(7))=-40;\क्वाड ((ए)_(17))=-50.\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(7))=((ए)_(1))+6d \\ & ((ए)_(17))=((ए) _(1))+16d \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित) और ((ए)_(1))+6d=-40 \\ और ((ए)_(1))+16d=-50 \\ \अंत(संरेखित) \सही।\]

मैंने सिस्टम का चिन्ह लगाया क्योंकि इन आवश्यकताओं को एक साथ पूरा किया जाना चाहिए। और अब हम ध्यान दें कि यदि हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाते हैं (हमें ऐसा करने का अधिकार है, क्योंकि हमारे पास एक प्रणाली है), तो हमें यह मिलता है:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(1))+16d-\बाएं(((ए)_(1))+6d \दाएं)=-50-\बाएं(-40 \दाएं); \\ & ((ए)_(1))+16डी-((ए)_(1))-6डी=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&डी=-1. \\ \end(संरेखित करें)\]

ठीक उसी तरह, हमने प्रगति अंतर पाया! यह सिस्टम के किसी भी समीकरण में पाई गई संख्या को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है। उदाहरण के लिए, पहले में:

\[\begin(मैट्रिक्स) ((ए)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \डाउनएरो \\ ((ए)_(1))-6=-40; \\ ((क)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(मैट्रिक्स)\]

अब, पहले पद और अंतर को जानने के बाद, यह दूसरे और तीसरे पद को खोजने के लिए बना रहता है:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(2))=((ए)_(1))+डी=-34-1=-35; \\ & ((ए)_(3))=((ए)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(संरेखित करें)\]

तैयार! समस्या हल हो गई।

उत्तर: (-34; -35; -36)

हमारे द्वारा खोजी गई प्रगति की एक जिज्ञासु संपत्ति पर ध्यान दें: यदि हम $n$th और $m$th शब्द लेते हैं और उन्हें एक-दूसरे से घटाते हैं, तो हमें संख्या $n-m$ से गुणा की गई प्रगति का अंतर मिलता है:

\[((ए)_(एन))-((ए)_(एम))=d\cdot \बाएं(एन-एम \दाएं)\]

सरल लेकिन बहुत उपयोगी संपत्ति, जिसे आपको निश्चित रूप से जानने की आवश्यकता है - इसकी मदद से आप प्रगति में कई समस्याओं के समाधान में तेजी ला सकते हैं। यहाँ उस के लिए उज्ज्वलउदाहरण:

टास्क नंबर 3। समांतर श्रेढ़ी का पाँचवाँ पद 8.4 है, और इसका दसवाँ पद 14.4 है। इस श्रेणी का पंद्रहवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान। चूँकि $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, और हमें $((a)_(15))$ खोजने की आवश्यकता है, हम निम्नलिखित नोट करते हैं:

\[\शुरू(संरेखित करें) & ((ए)_(15))-((ए)_(10))=5d; \\ & ((ए)_(10))-((ए)_(5))=5d. \\ \end(संरेखित करें)\]

लेकिन शर्त के अनुसार $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, इसलिए $5d=6$, जहां से हमारे पास है:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(15))-14,4=6; \\ & ((ए)_(15))=6+14.4=20.4। \\ \end(संरेखित करें)\]

उत्तर: 20.4

बस इतना ही! हमें समीकरणों की किसी भी प्रणाली की रचना करने और पहले पद और अंतर की गणना करने की आवश्यकता नहीं थी - सब कुछ सिर्फ कुछ पंक्तियों में तय किया गया था।

अब आइए एक अन्य प्रकार की समस्या पर विचार करें - प्रगति के नकारात्मक और सकारात्मक सदस्यों की खोज। यह कोई रहस्य नहीं है कि यदि प्रगति बढ़ती है, जबकि इसकी पहली अवधि नकारात्मक है, तो अभी या बाद में इसमें सकारात्मक शब्द दिखाई देंगे। और इसके विपरीत: घटती हुई प्रगति की शर्तें जल्द या बाद में नकारात्मक हो जाएंगी।

उसी समय, इस क्षण को "माथे पर" ढूंढना हमेशा संभव होता है, क्रमिक रूप से तत्वों के माध्यम से छंटनी। अक्सर, समस्याओं को इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि सूत्रों को जाने बिना, गणना में कई शीट लगेंगी - जब तक हमें उत्तर नहीं मिल जाता, तब तक हम सो जाते हैं। इसलिए, हम इन समस्याओं को तेजी से हल करने का प्रयास करेंगे।

टास्क नंबर 4। एक अंकगणितीय श्रेढ़ी में कितने ऋणात्मक पद -38.5; -35.8; ...?

समाधान। तो, $((ए)_(1))=-38.5$, $((ए)_(2))=-35.8$, जिससे हम तुरंत अंतर पाते हैं:

ध्यान दें कि अंतर सकारात्मक है, इसलिए प्रगति बढ़ रही है। पहला पद ऋणात्मक है, इसलिए वास्तव में किसी बिंदु पर हम धनात्मक संख्याओं पर ठोकर खाएँगे। एकमात्र सवाल यह है कि ऐसा कब होगा।

आइए जानने की कोशिश करते हैं: किस समय तक (यानी कब तक प्राकृतिक संख्या$n$) शर्तों की नकारात्मकता संरक्षित है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन)) \lt 0\Rightarrow ((ए)_(1))+\बाएं (n-1 \दाएं)d \lt 0; \\ & -38.5+\बाएं(n-1 \दाएं)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \बाएं| \cdot 10 \सही। \\ & -385+27\cdot \बाएं(n-1 \दाएं) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(संरेखित करें)\]

अंतिम पंक्ति को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। तो हम जानते हैं कि $n \lt 15\frac(7)(27)$। दूसरी ओर, संख्या के केवल पूर्णांक मान हमारे अनुरूप होंगे (इसके अलावा: $n\in \mathbb(N)$), इसलिए सबसे बड़ी स्वीकार्य संख्या ठीक $n=15$ है, और किसी भी स्थिति में 16 नहीं है।

कार्य संख्या 5। अंकगणितीय प्रगति में $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$। इस श्रेढ़ी के प्रथम धनात्मक पद की संख्या ज्ञात कीजिए।

यह पिछले वाले के समान ही समस्या होगी, लेकिन हम $((a)_(1))$ नहीं जानते हैं। लेकिन पड़ोसी शब्द ज्ञात हैं: $((a)_(5))$ और $((a)_(6))$, इसलिए हम आसानी से प्रगति अंतर पा सकते हैं:

इसके अलावा, आइए मानक सूत्र का उपयोग करके पहले और अंतर के संदर्भ में पांचवें पद को व्यक्त करने का प्रयास करें:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(एन))=((ए)_(1))+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot डी; \\ & ((ए)_(5))=((ए)_(1))+4d; \\ & -150=((ए)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((ए)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(संरेखित करें)\]

अब हम पिछली समस्या के अनुरूप आगे बढ़ते हैं। हमें पता चलता है कि हमारे अनुक्रम में सकारात्मक संख्याएँ किस बिंदु पर दिखाई देंगी:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन))=-162+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56। \\ \end(संरेखित करें)\]

इस असमिका का न्यूनतम पूर्णांक हल संख्या 56 है।

कृपया ध्यान दें कि पिछले कार्य में सब कुछ सख्त असमानता तक कम कर दिया गया था, इसलिए विकल्प $n=55$ हमारे अनुरूप नहीं होगा।

अब जब हमने सरल समस्याओं को हल करना सीख लिया है, तो आइए अधिक जटिल समस्याओं पर चलते हैं। लेकिन पहले, अंकगणितीय प्रगति की एक और बहुत ही उपयोगी संपत्ति सीखें, जो भविष्य में हमें बहुत समय और असमान कोशिकाओं को बचाएगी। :)

अंकगणित माध्य और समान इंडेंट

बढ़ती अंकगणितीय प्रगति के लगातार कई पदों पर विचार करें $\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)$। आइए उन्हें एक संख्या रेखा पर चिह्नित करने का प्रयास करें:

संख्या रेखा पर अंकगणितीय प्रगति सदस्य

मैंने विशेष रूप से मनमाने सदस्यों को नोट किया $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, और कोई नहीं $((a)_(1)) , \ ((ए)_(2)),\ ((ए)_(3))$ वगैरह। क्योंकि जो नियम अब मैं आपको बताऊंगा वह किसी भी "सेगमेंट" के लिए समान रूप से काम करता है।

और नियम बहुत ही सरल है। आइए पुनरावर्ती सूत्र को याद करें और इसे सभी चिह्नित सदस्यों के लिए लिखें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन-2))=((ए)_(एन-3))+डी; \\ & ((ए)_(एन-1))=((ए)_(एन-2))+डी; \\ & ((ए)_(एन))=((ए)_(एन-1))+डी; \\ & ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ & ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन+1))+डी; \\ \end(संरेखित करें)\]

हालाँकि, इन समानताओं को अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है:

\[\शुरू(संरेखित करें) & ((ए)_(एन-1))=((ए)_(एन))-डी; \\ & ((ए)_(एन-2))=((ए)_(एन))-2डी; \\ & ((ए)_(एन-3))=((ए)_(एन))-3डी; \\ & ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ & ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन))+2d; \\ & ((ए)_(एन+3))=((ए)_(एन))+3डी; \\ \end(संरेखित करें)\]

अच्छा, तो क्या? लेकिन तथ्य यह है कि शर्तें $((a)_(n-1))$ और $((a)_(n+1))$ से समान दूरी पर हैं $((a)_(n)) $ . और यह दूरी $d$ के बराबर है। $((a)_(n-2))$ और $((a)_(n+2))$ शर्तों के बारे में भी यही कहा जा सकता है - उन्हें $((a)_(n) से भी हटा दिया गया है )$ उसी दूरी से जो $2d$ के बराबर है। आप अनिश्चित काल तक जारी रख सकते हैं, लेकिन चित्र अच्छी तरह से अर्थ दिखाता है

प्रगति के सदस्य केंद्र से समान दूरी पर स्थित हैं

हमारे लिए इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि यदि पड़ोसी नंबर ज्ञात हैं तो आप $((ए)_(एन))$ पा सकते हैं:

\[((ए)_(एन))=\frac(((ए)_(एन-1))+((ए)_(एन+1)))(2)\]

हमने एक शानदार कथन निकाला है: अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य पड़ोसी सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है! इसके अलावा, हम अपने $((a)_(n))$ से बाईं ओर और दाईं ओर एक कदम से नहीं, बल्कि $k$ चरणों से विचलित हो सकते हैं - और फिर भी सूत्र सही होगा:

\[((ए)_(एन))=\frac(((ए)_(एन-के))+((ए)_(एन+के)))(2)\]

वे। हम कुछ $((a)_(150))$ आसानी से पा सकते हैं यदि हम $((a)_(100))$ और $((a)_(200))$ जानते हैं, क्योंकि $((a)_ (150))=\frac(((ए)_(100))+((ए)_(200)))(2)$। पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि यह तथ्य हमें कुछ भी उपयोगी नहीं देता है। हालांकि, व्यवहार में, अंकगणितीय माध्य के उपयोग के लिए कई कार्य विशेष रूप से "तेज" होते हैं। नज़र रखना:

टास्क नंबर 6। $X$ के सभी मान ज्ञात कीजिए जैसे कि संख्याएँ $-6((x)^(2))$, $x+1$ और $14+4((x)^(2))$ के लगातार सदस्य हैं एक अंकगणितीय प्रगति (निर्दिष्ट क्रम में)।

समाधान। चूंकि ये संख्याएं प्रगति के सदस्य हैं, अंकगणितीय माध्य स्थिति उनके लिए संतुष्ट है: केंद्रीय तत्व $x+1$ पड़ोसी तत्वों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(संरेखित करें)\]

यह क्लासिक निकला द्विघात समीकरण. इसकी जड़ें: $x=2$ और $x=-3$ उत्तर हैं।

उत्तर: -3; 2.

टास्क नंबर 7। $$ के मान ज्ञात कीजिए कि संख्याएं $-1;4-3;(()^(2))+1$ एक अंकगणितीय प्रगति (उस क्रम में) बनाती हैं।

समाधान। फिर से, हम मध्य पद को पड़ोसी शब्दों के अंकगणितीय माध्य के संदर्भ में व्यक्त करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \बाएं| \cdot 2\दाएं.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(संरेखित करें)\]

एक और द्विघात समीकरण। और फिर से दो जड़ें: $x=6$ और $x=1$।

उत्तर 1; 6.

यदि किसी समस्या को हल करने की प्रक्रिया में आपको कुछ क्रूर संख्याएँ मिलती हैं, या आप पाए गए उत्तरों की शुद्धता के बारे में पूरी तरह से सुनिश्चित नहीं हैं, तो एक अद्भुत ट्रिक है जो आपको जाँचने की अनुमति देती है: क्या हमने समस्या को सही ढंग से हल किया?

मान लीजिए कि समस्या 6 में हमें उत्तर -3 और 2 मिले। हम कैसे जांच सकते हैं कि ये उत्तर सही हैं? आइए बस उन्हें मूल स्थिति में प्लग करें और देखें कि क्या होता है। मैं आपको याद दिला दूं कि हमारे पास तीन नंबर ($-6(()^(2))$, $+1$ और $14+4(()^(2))$) हैं, जो एक अंकगणितीय प्रगति का निर्माण करना चाहिए। स्थानापन्न $x=-3$:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \ अंत (संरेखित करें) \]

हमें संख्याएँ मिलीं -54; -2; 50 जो 52 से भिन्न है निस्संदेह एक अंकगणितीय प्रगति है। $x=2$ के लिए भी ऐसा ही होता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \ अंत (संरेखित करें) \]

फिर से प्रगति, लेकिन 27 के अंतर के साथ। इस प्रकार, समस्या सही ढंग से हल हो गई है। जो लोग चाहते हैं वे अपने दम पर दूसरे कार्य की जाँच कर सकते हैं, लेकिन मैं अभी कहूँगा: वहाँ भी सब कुछ सही है।

सामान्य तौर पर, अंतिम कार्यों को हल करते समय, हम दूसरे पर ठोकर खा गए दिलचस्प तथ्य, जिसे भी याद रखने की आवश्यकता है:

यदि तीन संख्याएँ ऐसी हैं कि दूसरी पहली और अंतिम का औसत है, तो ये संख्याएँ अंकगणितीय श्रेढ़ी बनाती हैं।

भविष्य में, इस कथन को समझने से हम समस्या की स्थिति के आधार पर आवश्यक प्रगति का शाब्दिक रूप से "निर्माण" कर सकेंगे। लेकिन इससे पहले कि हम इस तरह के "निर्माण" में संलग्न हों, हमें एक और तथ्य पर ध्यान देना चाहिए, जो कि पहले से ही माना जा चुका है।

समूहीकरण और तत्वों का योग

आइए फिर से संख्या रेखा पर वापस जाएं। हम प्रगति के कई सदस्यों पर ध्यान देते हैं, जिनके बीच, शायद। बहुत सारे अन्य सदस्यों के लायक:

संख्या रेखा पर 6 तत्व अंकित हैं

आइए $((a)_(n))$ और $d$ के संदर्भ में "लेफ्ट टेल" और $((a)_(k))$ और $ के संदर्भ में "राइट टेल" को व्यक्त करने का प्रयास करें घ $। यह बहुत सरल है:

\[\शुरू (संरेखित) और ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ & ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन))+2d; \\ & ((ए)_(के-1))=((ए)_(के))-डी; \\ & ((ए)_(के-2))=((ए)_(के))-2डी। \\ \end(संरेखित करें)\]

अब ध्यान दें कि निम्नलिखित योग समान हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन))+((ए)_(के))=एस; \\ & ((ए)_(एन+1))+((ए)_(के-1))=((ए)_(एन))+डी+((ए)_(के))-डी= एस; \\ & ((ए)_(एन+2))+((ए)_(के-2))=((ए)_(एन))+2d+((ए)_(के))-2डी= एस। \ अंत (संरेखित करें) \]

सीधे शब्दों में कहें, अगर हम प्रगति के शुरुआती दो तत्वों पर विचार करते हैं, जो कुल मिलाकर $S$ के बराबर हैं, और फिर हम इन तत्वों से विपरीत दिशाओं में कदम रखना शुरू करते हैं (एक दूसरे की ओर या इसके विपरीत दूर जाने के लिए), तब जिन तत्वों पर हम ठोकर खाएंगे उनका योग भी बराबर होगा$स$। इसे रेखांकन के रूप में सबसे अच्छा दर्शाया जा सकता है:

समान इंडेंट समान योग देते हैं

इस तथ्य को समझने से हम समस्याओं को मौलिक रूप से और अधिक हल कर पाएंगे उच्च स्तरऊपर चर्चा की तुलना में जटिलता। उदाहरण के लिए, ये:

टास्क नंबर 8। अंकगणितीय प्रगति का अंतर निर्धारित करें जिसमें पहला पद 66 है, और दूसरे और बारहवें पदों का गुणनफल सबसे छोटा संभव है।

समाधान। आइए हम जो कुछ भी जानते हैं उसे लिखें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(1))=66; \\&डी =? \\ & ((ए)_(2))\cdot ((ए)_(12))=\मिनट। \ अंत (संरेखित करें) \]

इसलिए, हम $ d $ की प्रगति के अंतर को नहीं जानते हैं। दरअसल, संपूर्ण समाधान अंतर के आसपास बनाया जाएगा, क्योंकि उत्पाद $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

\[\शुरू(संरेखित करें) & ((ए)_(2))=((ए)_(1))+डी=66+डी; \\ & ((ए)_(12))=((ए)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((ए)_(2))\cdot ((ए)_(12))=\बाएं(66+d \दाएं)\cdot \बाएं(66+11d \दाएं)= \\ & =11 \cdot \बाएं(d+66 \दाएं)\cdot \बाएं(d+6 \दाएं). \ अंत (संरेखित करें) \]

टैंक में उन लोगों के लिए: मैंने दूसरे ब्रैकेट में से सामान्य कारक 11 लिया है। इस प्रकार, वांछित उत्पाद चर $d$ के संबंध में एक द्विघात फलन है। इसलिए, फ़ंक्शन $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ पर विचार करें - इसका ग्राफ शाखाओं के साथ एक पैराबोला होगा, क्योंकि यदि हम कोष्ठक खोलते हैं, तो हमें मिलता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और f\बाएं (डी \दाएं)=11\बाएं (((डी)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \दाएं)= \\ और =11(( डी)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(संरेखित)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, उच्चतम पद वाला गुणांक 11 है - यह एक सकारात्मक संख्या है, इसलिए हम वास्तव में शाखाओं के साथ एक परवलय के साथ काम कर रहे हैं:

अनुसूची द्विघात फंक्शन- परवलय

कृपया ध्यान दें: यह परवलय अपने शीर्ष पर भुज $((d)_(0))$ के साथ अपना न्यूनतम मान लेता है। बेशक, हम इस भुज की गणना कर सकते हैं मानक योजना(एक सूत्र $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) है, लेकिन यह नोट करना अधिक उचित होगा कि वांछित शीर्ष समरूपता के अक्ष पर स्थित है पैराबोला, इसलिए बिंदु $((d) _(0))$ समीकरण की जड़ों से समान दूरी पर है $f\left(d \right)=0$:

\[\शुरू (संरेखित करें) और f\बाएं (डी\दाएं)=0; \\ & 11\cdot \बाएं(d+66 \दाएं)\cdot \बाएं(d+6 \दाएं)=0; \\ & ((डी)_(1))=-66;\क्वाड ((डी)_(2))=-6. \\ \end(संरेखित करें)\]

यही कारण है कि मुझे कोष्ठक खोलने की कोई जल्दी नहीं थी: मूल रूप में, जड़ों को खोजना बहुत आसान था। इसलिए, भुज संख्या -66 और -6 के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

\[((डी)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

हमें खोजी गई संख्या क्या देती है? इसके साथ, आवश्यक उत्पाद लेता है सबसे छोटा मूल्य(वैसे, हमने $((y)_(\min ))$ की गणना नहीं की - हमें ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है)। साथ ही, यह संख्या प्रारंभिक प्रगति का अंतर है, अर्थात। हमें जवाब मिल गया। :)

उत्तर :-36

टास्क नंबर 9। संख्याओं $-\frac(1)(2)$ और $-\frac(1)(6)$ के बीच तीन संख्याएँ डालें ताकि दी गई संख्याओं के साथ मिलकर वे अंकगणितीय प्रगति बना सकें।

समाधान। वास्तव में, हमें पाँच संख्याओं का एक क्रम बनाने की आवश्यकता है, जिसमें पहली और अंतिम संख्या पहले से ही ज्ञात हो। चर $x$, $y$ और $z$ द्वारा लापता संख्याओं को निरूपित करें:

\[\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)=\बाएं\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \दाएं\ )\]

ध्यान दें कि संख्या $y$ हमारे अनुक्रम का "मध्य" है - यह संख्या $x$ और $z$ से समान दूरी पर है, और संख्या $-\frac(1)(2)$ और $-\frac से (1)(6)$। और अगर संख्या $x$ और $z$ से हम अंदर हैं इस पलहम $y$ प्राप्त नहीं कर सकते हैं, तो प्रगति के अंत के साथ स्थिति अलग है। अंकगणितीय माध्य याद रखें:

अब, $y$ जानने के बाद, हम शेष संख्याएँ ज्ञात करेंगे। ध्यान दें कि $x$ $-\frac(1)(2)$ और $y=-\frac(1)(3)$ के बीच स्थित है। इसीलिए

इसी तरह तर्क करते हुए, हम शेष संख्या ज्ञात करते हैं:

तैयार! हमें तीनों नंबर मिले। आइए उन्हें उत्तर में उस क्रम में लिखें जिसमें उन्हें मूल संख्याओं के बीच डाला जाना चाहिए।

उत्तर: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

टास्क नंबर 10। संख्या 2 और 42 के बीच, कई संख्याएँ सम्मिलित करें, जो दी गई संख्याओं के साथ मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं, यदि यह ज्ञात है कि सम्मिलित संख्याओं में से पहली, दूसरी और अंतिम संख्या का योग 56 है।

समाधान। एक और भी कठिन कार्य, जो, हालांकि, पिछले वाले की तरह ही हल किया जाता है - अंकगणितीय माध्य के माध्यम से। समस्या यह है कि हम ठीक से नहीं जानते कि कितनी संख्याएँ सम्मिलित की जाएँ। इसलिए, निश्चितता के लिए, हम मानते हैं कि सम्मिलित करने के बाद बिल्कुल $n$ संख्याएँ होंगी, और उनमें से पहली 2 है, और अंतिम 42 है। इस मामले में, वांछित अंकगणितीय प्रगति को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

\[\लेफ्ट(((ए)_(एन)) \राइट)=\लेफ्ट\( 2;((ए)_(2));((ए)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((ए)_(2))+((ए)_(3))+((ए)_(एन-1))=56\]

हालाँकि, ध्यान दें कि संख्याएँ $((a)_(2))$ और $((a)_(n-1))$ किनारों पर खड़ी संख्या 2 और 42 से एक दूसरे की ओर एक कदम आगे बढ़कर प्राप्त की जाती हैं। , अर्थात्। अनुक्रम के केंद्र में। और इसका मतलब यह है

\[((ए)_(2))+((ए)_(एन-1))=2+42=44\]

लेकिन तब उपरोक्त अभिव्यक्ति को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(2))+((ए)_(3))+((ए)_(एन-1))=56; \\ & \बाएं(((ए)_(2))+((ए)_(एन-1)) \दाएं)+((ए)_(3))=56; \\ & 44+((ए)_(3))=56; \\ & ((ए)_(3))=56-44=12. \\ \end(संरेखित करें)\]

$((a)_(3))$ और $((a)_(1))$ को जानने के बाद, हम आसानी से प्रगति अंतर पा सकते हैं:

\[\शुरू(संरेखित करें) & ((ए)_(3))-((ए)_(1))=12-2=10; \\ & ((ए)_(3))-((ए)_(1))=\बाएं(3-1 \दाएं)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \end(संरेखित करें)\]

यह केवल शेष सदस्यों को खोजने के लिए बनी हुई है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(1))=2; \\ & ((ए)_(2))=2+5=7; \\ & ((ए)_(3))=12; \\ & ((ए)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((ए)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((ए)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((ए)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((ए)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((ए)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(संरेखित करें)\]

इस प्रकार, पहले से ही 9वें चरण में हम अनुक्रम के बाईं ओर आएंगे - संख्या 42। कुल मिलाकर, केवल 7 संख्याएँ सम्मिलित की जानी थीं: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

उत्तर: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

प्रगति के साथ पाठ कार्य

अंत में, मैं कुछ पर विचार करना चाहूंगा सरल कार्य. ठीक है, सरल के रूप में: अधिकांश छात्रों के लिए जो स्कूल में गणित का अध्ययन करते हैं और जो ऊपर लिखा गया है उसे नहीं पढ़ा है, ये कार्य एक इशारे की तरह लग सकते हैं। फिर भी, यह ऐसे कार्य हैं जो गणित में ओजीई और यूएसई में आते हैं, इसलिए मेरा सुझाव है कि आप उनसे खुद को परिचित करें।

टास्क नंबर 11। टीम ने जनवरी में और प्रत्येक में 62 भागों का उत्पादन किया अगले महीनेपिछले एक की तुलना में 14 भागों का अधिक उत्पादन किया। नवंबर में ब्रिगेड ने कितने पुर्जों का उत्पादन किया?

समाधान। जाहिर है, महीने के हिसाब से चित्रित भागों की संख्या एक बढ़ती हुई अंकगणितीय प्रगति होगी। और:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(1))=62;\क्वाड डी=14; \\ & ((ए)_(एन))=62+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot 14. \\ \end(संरेखित करें)\]

नवंबर साल का 11वां महीना है, इसलिए हमें $((a)_(11))$ खोजने की जरूरत है:

\[((ए)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

इसलिए नवंबर में 202 पुर्जों का निर्माण किया जाएगा।

कार्य संख्या 12। बुकबाइंडिंग वर्कशॉप ने जनवरी में 216 किताबों की बाउंडिंग की, और हर महीने इसने पिछले महीने की तुलना में 4 और किताबों की बाउंडिंग की। दिसंबर में कार्यशाला में कितनी पुस्तकों की जिल्दसाजी हुई?

समाधान। सब एक जैसे:

$\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(1))=216;\क्वाड डी=4; \\ & ((ए)_(एन))=216+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot 4. \\ \end(संरेखित करें)$

दिसंबर साल का आखिरी, 12वां महीना है, इसलिए हम $((a)_(12))$ की तलाश कर रहे हैं:

\[((ए)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ये रहा जवाब- दिसंबर में 260 किताबों की जिल्दसाजी होगी।

ठीक है, अगर आपने इसे अभी तक पढ़ा है, तो मैं आपको बधाई देने की जल्दबाजी करता हूं: आपने अंकगणितीय प्रगति में "युवा लड़ाकू पाठ्यक्रम" सफलतापूर्वक पूरा कर लिया है। हम सुरक्षित रूप से अगले पाठ पर जा सकते हैं, जहां हम प्रगति योग सूत्र का अध्ययन करेंगे, साथ ही इससे महत्वपूर्ण और बहुत उपयोगी परिणाम भी।

इससे पहले कि हम फैसला करना शुरू करें अंकगणितीय प्रगति की समस्याएं, विचार करें कि संख्या क्रम क्या है, क्योंकि एक अंकगणितीय प्रगति है विशेष मामलासंख्या अनुक्रम।

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक संख्यात्मक सेट है, जिसके प्रत्येक तत्व का अपना सीरियल नंबर होता है. इस सेट के तत्वों को अनुक्रम के सदस्य कहा जाता है। एक अनुक्रम तत्व की क्रमिक संख्या एक सूचकांक द्वारा इंगित की जाती है:

अनुक्रम का पहला तत्व;

अनुक्रम का पांचवां तत्व;

- अनुक्रम का "नवां" तत्व, अर्थात संख्या n पर तत्व "कतार में खड़ा"।

एक अनुक्रम तत्व के मान और उसकी क्रमिक संख्या के बीच एक निर्भरता है। इसलिए, हम एक अनुक्रम को एक फ़ंक्शन के रूप में मान सकते हैं जिसका तर्क अनुक्रम के एक तत्व की क्रमिक संख्या है। दूसरे शब्दों में, कोई ऐसा कह सकता है अनुक्रम प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है:

अनुक्रम तीन तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है:

1 . तालिका का उपयोग करके अनुक्रम निर्दिष्ट किया जा सकता है।इस मामले में, हम केवल अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य का मान निर्धारित करते हैं।

उदाहरण के लिए, किसी ने व्यक्तिगत समय प्रबंधन करने का फैसला किया, और सबसे पहले यह गणना करने के लिए कि वह सप्ताह के दौरान VKontakte पर कितना समय व्यतीत करता है। तालिका में समय लिखकर, वह सात तत्वों से युक्त अनुक्रम प्राप्त करेगा:

तालिका की पहली पंक्ति में सप्ताह के दिन की संख्या होती है, दूसरी - मिनटों में समय। हम देखते हैं कि, यानी सोमवार को किसी ने VKontakte पर 125 मिनट बिताए, यानी गुरुवार को - 248 मिनट, और, यानी शुक्रवार को केवल 15।

2 . nth सदस्य सूत्र का उपयोग करके अनुक्रम निर्दिष्ट किया जा सकता है।

इस मामले में, इसकी संख्या पर अनुक्रम तत्व के मूल्य की निर्भरता सीधे सूत्र के रूप में व्यक्त की जाती है।

उदाहरण के लिए, यदि, तब

दी गई संख्या के साथ अनुक्रम तत्व का मान ज्ञात करने के लिए, हम तत्व संख्या को nवें सदस्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

यदि तर्क का मान ज्ञात है तो हमें किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात करने की आवश्यकता होने पर हम ऐसा ही करते हैं। हम इसके बजाय फ़ंक्शन के समीकरण में तर्क के मान को प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि, उदाहरण के लिए, , वह

एक बार फिर, मैं ध्यान देता हूं कि एक क्रम में, एक मनमाना संख्यात्मक फ़ंक्शन के विपरीत, केवल एक प्राकृतिक संख्या एक तर्क हो सकती है।

3 . अनुक्रम को एक सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है जो अनुक्रम के सदस्य के मूल्य की संख्या n के साथ पिछले सदस्यों के मूल्य पर निर्भरता को व्यक्त करता है। इस मामले में, इसके मूल्य को खोजने के लिए केवल एक अनुक्रम सदस्य की संख्या जानना हमारे लिए पर्याप्त नहीं है। हमें अनुक्रम के पहले सदस्य या पहले कुछ सदस्यों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम पर विचार करें ,

हम किसी क्रम के सदस्यों के मान ज्ञात कर सकते हैं अनुक्रम में, तीसरे से शुरू:

अर्थात्, हर बार अनुक्रम के nवें सदस्य का मान ज्ञात करने के लिए, हम पिछले दो पर लौटते हैं। अनुक्रमण के इस तरीके को कहा जाता है आवर्तक, लैटिन शब्द से पुनरावृत्ति- वापस लौटें।

अब हम अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित कर सकते हैं। एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम का एक साधारण विशेष मामला है।

अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या के साथ जोड़ा जाता है।

नंबर कहा जाता है एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर. अंकगणितीय प्रगति का अंतर धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।

यदि शीर्षक="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} की बढ़ती.

उदाहरण के लिए, 2; 5; 8; ग्यारह;...

यदि , तो अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक पद पिछले वाले से कम है, और प्रगति है घट.

उदाहरण के लिए, 2; -1; -4; -7;...

यदि , तो श्रेणी के सभी सदस्य समान संख्या के बराबर हैं, और श्रेणी है अचल.

उदाहरण के लिए, 2;2;2;2;...

अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति:

आइए तस्वीर देखें।

हमने देखा कि

, और उस समय पर ही

इन दो समानताओं को जोड़ने पर, हम पाते हैं:

.

समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें:

तो, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, दो पड़ोसी लोगों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

इसके अलावा, चूंकि

, और उस समय पर ही

, वह

, और इसलिए

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य शीर्षक से शुरू होता है="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

वें सदस्य सूत्र।

हम देखते हैं कि अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के लिए निम्नलिखित संबंध हैं:

और अंत में

हमें मिला nवें पद का सूत्र।

महत्वपूर्ण!अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को और के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। पहले पद और अंकगणितीय प्रगति के अंतर को जानने के बाद, आप इसके किसी भी सदस्य को ढूंढ सकते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग।

एक मनमाना अंकगणितीय प्रगति में, चरम शब्दों से समान रूप से दूरी वाले शब्दों का योग एक दूसरे के बराबर होता है:

एन सदस्यों के साथ अंकगणितीय प्रगति पर विचार करें। मान लीजिए कि इस श्रेणी के n सदस्यों का योग बराबर है।

श्रेढ़ी के पदों को पहले संख्याओं के आरोही क्रम में और फिर अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

आइए इसे पेयर करें:

प्रत्येक कोष्ठक में योग है, जोड़े की संख्या n है।

हम पाते हैं:

इसलिए, अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

विचार करना अंकगणितीय प्रगति समस्याओं को हल करना.

1 . अनुक्रम nवें सदस्य के सूत्र द्वारा दिया गया है: . सिद्ध कीजिए कि यह क्रम एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए सिद्ध करें कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों के बीच का अंतर एक ही संख्या के बराबर है।

हमने पाया है कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों का अंतर उनकी संख्या पर निर्भर नहीं करता है और एक स्थिरांक है। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, यह अनुक्रम अंकगणितीय प्रगति है।

2 . अंकगणितीय प्रगति -31 दी गई है; -27;...

a) श्रेढ़ी के 31 पद ज्ञात कीजिए।

बी) निर्धारित करें कि क्या संख्या 41 इस प्रगति में शामिल है।

ए)हमने देखा कि ;

आइए हमारी प्रगति के लिए nवें पद के लिए सूत्र लिखें।

सामान्य रूप में

हमारे मामले में , इसीलिए

एक अंकगणितीय प्रगति का योग।

अंकगणितीय प्रगति का योग एक साधारण बात है। अर्थ और सूत्र दोनों में। लेकिन इस विषय पर सभी प्रकार के कार्य हैं। प्राथमिक से काफी ठोस तक।

सबसे पहले, योग के अर्थ और सूत्र से निपटते हैं। और फिर हम फैसला करेंगे। आपकी अपनी खुशी के लिए।) योग का अर्थ कम करना जितना आसान है। अंकगणितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के लिए, आपको केवल इसके सभी सदस्यों को सावधानीपूर्वक जोड़ना होगा। यदि ये शब्द कम हैं, तो आप बिना किसी सूत्र के जोड़ सकते हैं। लेकिन अगर बहुत कुछ है, या बहुत कुछ है ... जोड़ कष्टप्रद है।) इस मामले में, सूत्र बचाता है।

योग सूत्र सरल है:

आइए जानें कि सूत्र में किस प्रकार के अक्षर शामिल हैं। इससे काफी कुछ साफ हो जाएगा।

एस एन एक अंकगणितीय प्रगति का योग है। जोड़ परिणाम सभीसदस्यों, के साथ पहलाद्वारा अंतिम।क्या यह महत्वपूर्ण है। बिल्कुल जोड़ो सभीसदस्यों को एक पंक्ति में, बिना अंतराल और कूद के। और, बिल्कुल, से शुरू पहला।पहेली में, जैसे कि तीसरे और आठवें पदों का योग ज्ञात करना, या पाँचवें से बीसवें पदों का योग - प्रत्यक्ष आवेदनसूत्र निराशाजनक हैं।)

एक 1 - पहलाप्रगति के सदस्य। यहाँ सब कुछ स्पष्ट है, यह सरल है पहलापंक्ति नंबर।

एक- अंतिमप्रगति के सदस्य। पंक्ति की अंतिम संख्या। बहुत जाना-पहचाना नाम नहीं है, लेकिन जब राशि के लिए लागू किया जाता है, तो यह बहुत उपयुक्त होता है। तब आप अपने लिए देखेंगे।

एन अंतिम सदस्य का नंबर है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि सूत्र में यह संख्या जोड़े गए शब्दों की संख्या के साथ मेल खाता है।

आइए अवधारणा को परिभाषित करें अंतिमसदस्य एक. भरने का प्रश्न: किस प्रकार का सदस्य होगा अंतिम,अगर दिया गया अनंतअंकगणितीय प्रगति?

एक आश्वस्त उत्तर के लिए, आपको अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ को समझने की आवश्यकता है और ... असाइनमेंट को ध्यान से पढ़ें!)

अंकगणितीय प्रगति का योग खोजने के कार्य में, अंतिम शब्द हमेशा प्रकट होता है (प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से), जो सीमित होना चाहिए।अन्यथा, एक परिमित, विशिष्ट राशि बस मौजूद नहीं है।समाधान के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि किस प्रकार की प्रगति दी गई है: परिमित या अनंत। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कैसे दिया जाता है: संख्याओं की एक श्रृंखला द्वारा, या nवें सदस्य के सूत्र द्वारा।

सबसे महत्वपूर्ण बात यह समझना है कि सूत्र प्रगति के पहले पद से संख्या वाले पद तक काम करता है एन।दरअसल, सूत्र का पूरा नाम इस प्रकार है: अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग।इन सबसे पहले सदस्यों की संख्या, यानी एन, केवल कार्य द्वारा निर्धारित किया जाता है। कार्य में, यह सभी मूल्यवान जानकारी अक्सर एन्क्रिप्ट की जाती है, हाँ ... लेकिन कुछ भी नहीं, नीचे दिए गए उदाहरणों में हम इन रहस्यों को उजागर करेंगे।)

अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए कार्यों के उदाहरण।

सबसे पहले, उपयोगी जानकारी:

अंकगणितीय प्रगति के योग के कार्यों में मुख्य कठिनाई है सही परिभाषासूत्र तत्व।

असाइनमेंट के लेखक इन तत्वों को असीम कल्पना के साथ एन्क्रिप्ट करते हैं।) यहां मुख्य बात डरना नहीं है। तत्वों के सार को समझना, उन्हें समझने के लिए पर्याप्त है। आइए कुछ उदाहरणों को विस्तार से देखें। आइए एक वास्तविक जीआईए पर आधारित कार्य से शुरू करें।

1. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है: a n = 2n-3.5। पहले 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

अच्छी नौकरी। आसान।) सूत्र के अनुसार राशि निर्धारित करने के लिए, हमें क्या जानने की आवश्यकता है? प्रथम सदस्य एक 1, पिछला कार्यकाल एक, हाँ अंतिम अवधि की संख्या एन।

अंतिम सदस्य संख्या कहाँ से प्राप्त करें एन? हाँ, उसी जगह, हालत में! यह कहते हैं कि योग खोजें पहले 10 सदस्य।अच्छा, वह कौन सा नंबर होगा अंतिम,दसवां सदस्य?) आप विश्वास नहीं करेंगे, उसका नंबर दसवां है!) इसलिए, इसके बजाय एकहम सूत्र में स्थानापन्न करेंगे एक 10, लेकिन इसके बजाय एन- दस। दोबारा, अंतिम सदस्य की संख्या सदस्यों की संख्या के समान होती है।

यह तय होना बाकी है एक 1और एक 10. यह nवें पद के सूत्र द्वारा आसानी से परिकलित किया जाता है, जो समस्या कथन में दिया गया है। पता नहीं कैसे करना है? पिछले पाठ पर जाएँ, इसके बिना - कुछ भी नहीं।

एक 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

एक 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

एस एन = एस 10.

हमें अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र के सभी तत्वों का अर्थ पता चला। यह उन्हें स्थानापन्न करने और गिनने के लिए बना हुआ है:

इसके लिए यही सब कुछ है। उत्तर : 75.

GIA पर आधारित एक अन्य कार्य। थोड़ा और जटिल:

2. अंकगणितीय प्रगति (एन) दी गई है, जिसका अंतर 3.7 है; ए 1 \u003d 2.3। पहले 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हम तुरंत योग सूत्र लिखते हैं:

यह सूत्र हमें किसी भी सदस्य का मान उसकी संख्या से ज्ञात करने की अनुमति देता है। हम एक साधारण प्रतिस्थापन की तलाश कर रहे हैं:

एक 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

यह अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र में सभी तत्वों को प्रतिस्थापित करने और उत्तर की गणना करने के लिए बनी हुई है:

उत्तर: 423.

वैसे, योग सूत्र में अगर के बजाय एककेवल nवें पद के सूत्र को प्रतिस्थापित करें, हम पाते हैं:

हम समान देते हैं, हमें अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग के लिए एक नया सूत्र मिलता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कोई ज़रूरत नहीं है nवाँ पद एक. कुछ कामों में यह सूत्र बहुत मदद करता है, जी हां... आप इस सूत्र को याद कर सकते हैं। और आप इसे सही समय पर वापस ले सकते हैं, जैसा कि यहाँ है। आखिरकार, योग के सूत्र और nवें पद के सूत्र को हर तरह से याद किया जाना चाहिए।)

अब संक्षिप्त एन्क्रिप्शन के रूप में कार्य):

3. तीन के गुणक वाली सभी धनात्मक दो अंकों की संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

कैसे! कोई पहला सदस्य नहीं, कोई अंतिम नहीं, कोई प्रगति नहीं... कैसे जीना है!?

आपको अपने दिमाग से सोचना होगा और अंकगणितीय प्रगति के योग के सभी तत्वों को स्थिति से बाहर निकालना होगा। दो अंकों की संख्या क्या होती है - हम जानते हैं। उनमें दो संख्याएँ होती हैं।) दो अंकों की संख्या क्या होगी पहला? 10, संभवतः।) आखिरी बातदो अंकों की संख्या? 99, बिल्कुल! तीन अंक वाले उसका अनुसरण करेंगे ...

तीन का गुणज... हम्म... ये ऐसी संख्याएँ हैं जो तीन से समान रूप से विभाज्य हैं, यहाँ! दस तीन से विभाज्य नहीं है, 11 विभाज्य नहीं है... 12... विभाज्य है! तो, कुछ उभर रहा है। आप समस्या की स्थिति के अनुसार पहले से ही एक श्रृंखला लिख ​​सकते हैं:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

क्या यह श्रृंखला अंकगणितीय प्रगति होगी? निश्चित रूप से! प्रत्येक शब्द पिछले एक से कड़ाई से तीन से भिन्न होता है। यदि पद में 2, या 4 जोड़ा जाता है, मान लीजिए परिणाम, अर्थात् एक नई संख्या अब 3 से विभाजित नहीं होगी। आप ढेर के लिए अंकगणितीय प्रगति के अंतर को तुरंत निर्धारित कर सकते हैं: डी = 3।उपयोगी!)

इसलिए, हम कुछ प्रगति मापदंडों को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

नम्बर क्या होगा एनअंतिम सदस्य? जो कोई भी सोचता है कि 99 गलत है ... संख्याएं - वे हमेशा एक पंक्ति में जाती हैं, और हमारे सदस्य शीर्ष तीन पर कूदते हैं। वे मेल नहीं खाते।

यहाँ दो समाधान हैं। एक तरीका सुपर मेहनती के लिए है। आप प्रगति, संख्याओं की पूरी श्रृंखला को चित्रित कर सकते हैं, और अपनी उंगली से शब्दों की संख्या गिन सकते हैं।) दूसरा तरीका विचारशील के लिए है। आपको nवें पद के सूत्र को याद रखना होगा। यदि सूत्र को हमारी समस्या पर लागू किया जाता है, तो हम पाते हैं कि 99 श्रेढ़ी का तीसवां सदस्य है। वे। एन = 30।

हम अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र को देखते हैं:

हम देखते हैं और आनन्दित होते हैं।) हमने समस्या की स्थिति से राशि की गणना के लिए आवश्यक सब कुछ निकाल लिया:

एक 1= 12.

एक 30= 99.

एस एन = एस 30.

जो बचता है वह प्राथमिक अंकगणित है। सूत्र में संख्याओं को प्रतिस्थापित करें और गणना करें:

उत्तर: 1665

एक अन्य प्रकार की लोकप्रिय पहेलियाँ:

4. एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

बीसवीं से चौंतीसवीं तक की शर्तों का योग ज्ञात कीजिए।

हम योग सूत्र को देखते हैं और ... हम परेशान हैं।) सूत्र, मैं आपको याद दिला दूं, योग की गणना करता है पहले सेसदस्य। और समस्या में आपको योग की गणना करने की आवश्यकता है बीसवीं के बाद से ...फॉर्मूला काम नहीं करेगा।

आप निश्चित रूप से पूरी प्रगति को एक पंक्ति में चित्रित कर सकते हैं, और सदस्यों को 20 से 34 तक रख सकते हैं। लेकिन ... किसी तरह यह मूर्खतापूर्ण और लंबे समय के लिए निकलता है, है ना?)

एक और अधिक सुरुचिपूर्ण समाधान है। आइए हमारी श्रृंखला को दो भागों में तोड़ते हैं। पहला भाग होगा पहले कार्यकाल से उन्नीसवीं तक।दूसरा हिस्सा - बीस से चौंतीस।यह स्पष्ट है कि यदि हम पहले भाग के पदों के योग की गणना करें एस 1-19, इसे दूसरे भाग के सदस्यों के योग में जोड़ते हैं एस 20-34, हम पहले पद से चौंतीसवें पद की प्रगति का योग प्राप्त करते हैं एस 1-34. इस कदर:

एस 1-19 + एस 20-34 = एस 1-34

इससे पता चलता है कि योग खोजने के लिए एस 20-34सरल घटाव द्वारा किया जा सकता है

एस 20-34 = एस 1-34 - एस 1-19

दाहिनी ओर के दोनों योगों पर विचार किया जाता है पहले सेसदस्य, यानी मानक योग सूत्र उन पर काफी लागू होता है। क्या हम शुरू कर रहे हैं?

हम कार्य की स्थिति से प्रगति पैरामीटर निकालते हैं:

डी = 1.5।

एक 1= -21,5.

पहले 19 और पहले 34 पदों का योग निकालने के लिए हमें 19वें और 34वें पदों की आवश्यकता होगी। हम उन्हें nवें पद के सूत्र के अनुसार गिनते हैं, जैसा कि समस्या 2 में है:

एक 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

एक 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

वहाँ कुछ नहीं बचा है। 34 पदों के योग में से 19 पदों के योग को घटाइए:

एस 20-34 = एस 1-34 - एस 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

उत्तर: 262.5

एक महत्वपूर्ण नोट! इस समस्या को हल करने में एक बहुत ही उपयोगी विशेषता है। सीधी गणना के बजाय आपको क्या चाहिए (S 20-34),हमने गिना क्या, ऐसा प्रतीत होता है, इसकी आवश्यकता नहीं है - एस 1-19।और फिर उन्होंने निश्चय किया एस 20-34, पूर्ण परिणाम से अनावश्यक को हटाना। ऐसा "कानों के साथ झगड़ा" अक्सर बुरी पहेली में बचाता है।)

इस पाठ में, हमने उन समस्याओं की जाँच की जिनके लिए अंकगणितीय प्रगति के योग का अर्थ समझना पर्याप्त है। ठीक है, आपको कुछ सूत्रों को जानने की जरूरत है।)

प्रायोगिक उपकरण:

अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए किसी भी समस्या को हल करते समय, मैं इस विषय से दो मुख्य सूत्र तुरंत लिखने की सलाह देता हूं।

nवें पद का सूत्र:

ये सूत्र आपको तुरंत बताएंगे कि समस्या को हल करने के लिए क्या देखना है, किस दिशा में सोचना है। मदद करता है।

और अब स्वतंत्र समाधान के कार्य।

5. दो अंकों की उन सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो तीन से विभाज्य नहीं हैं।

कूल?) समस्या 4 के नोट में संकेत छिपा है। ठीक है, समस्या 3 मदद करेगी।

6. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है: a 1 =-5.5; एक एन + 1 = एक एन +0.5। पहले 24 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

असामान्य?) यह एक आवर्ती सूत्र है। आप इसके बारे में पिछले पाठ में पढ़ सकते हैं। लिंक को नज़रअंदाज़ न करें, ऐसी पहेलियाँ अक्सर GIA में पाई जाती हैं।

7. वासिया ने छुट्टी के लिए पैसे बचाए। जितना 4550 रूबल! और मैंने सबसे प्यारे व्यक्ति (खुद को) को कुछ दिनों की खुशी देने का फैसला किया)। अपने आप को कुछ भी नकारे बिना खूबसूरती से जिएं। पहले दिन 500 रूबल खर्च करें, और बाद के प्रत्येक दिन पिछले एक की तुलना में 50 रूबल अधिक खर्च करें! जब तक पैसा खत्म नहीं हो जाता। वास्या को कितने दिनों का सुख मिला?

क्या यह मुश्किल है?) कार्य 2 से एक अतिरिक्त सूत्र मदद करेगा।

उत्तर (अव्यवस्था में): 7, 3240, 6।

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कोई व्यक्ति "प्रगति" शब्द को सावधानी के साथ, वर्गों से एक बहुत ही जटिल शब्द के रूप में मानता है उच्च गणित. इस बीच, सबसे सरल अंकगणितीय प्रगति टैक्सी काउंटर का काम है (जहां वे अभी भी बने हुए हैं)। और सार को समझने के लिए (और गणित में "सार को समझने के लिए" से अधिक महत्वपूर्ण कुछ भी नहीं है) एक अंकगणितीय अनुक्रम इतना मुश्किल नहीं है, कुछ प्राथमिक अवधारणाओं का विश्लेषण किया है।

गणितीय संख्या अनुक्रम

संख्यात्मक अनुक्रम को संख्याओं की एक श्रृंखला कहने की प्रथा है, जिनमें से प्रत्येक की अपनी संख्या होती है।

और 1 अनुक्रम का पहला सदस्य है;

और 2 अनुक्रम का दूसरा सदस्य है;

और 7 क्रम का सातवाँ सदस्य है;

और n अनुक्रम का nवाँ सदस्य है;

हालांकि, आंकड़ों और संख्याओं का कोई मनमाना सेट हमें रूचि नहीं देता है। हम अपना ध्यान एक संख्यात्मक अनुक्रम पर केंद्रित करेंगे जिसमें n-वें सदस्य का मान एक निर्भरता द्वारा इसकी क्रमिक संख्या से संबंधित होता है जिसे गणितीय रूप से स्पष्ट रूप से तैयार किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में: nवीं संख्या का संख्यात्मक मान n का कुछ कार्य है।

ए - संख्यात्मक अनुक्रम के एक सदस्य का मूल्य;

n इसकी क्रम संख्या है;

f(n) एक ऐसा कार्य है जहां संख्यात्मक अनुक्रम n में क्रमिक तर्क है।

परिभाषा

एक अंकगणितीय प्रगति को आमतौर पर एक संख्यात्मक अनुक्रम कहा जाता है जिसमें प्रत्येक बाद की अवधि समान संख्या से पिछले एक की तुलना में अधिक (कम) होती है। अंकगणितीय अनुक्रम के nवें सदस्य के लिए सूत्र इस प्रकार है:

एन - अंकगणितीय प्रगति के वर्तमान सदस्य का मूल्य;

एक n+1 - अगली संख्या का सूत्र;

डी - अंतर (एक निश्चित संख्या)।

यह निर्धारित करना आसान है कि यदि अंतर सकारात्मक है (डी> 0), तो विचाराधीन श्रृंखला के प्रत्येक बाद के सदस्य पिछले एक से अधिक होंगे, और ऐसी अंकगणितीय प्रगति बढ़ती जा रही है।

नीचे दिए गए ग्राफ़ में, यह देखना आसान है कि संख्या क्रम को "बढ़ता हुआ" क्यों कहा जाता है।

ऐसे मामलों में जहां अंतर नकारात्मक है (डी<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

निर्दिष्ट सदस्य का मूल्य

कभी-कभी अंकगणितीय प्रगति के कुछ मनमाना शब्द a n का मान निर्धारित करना आवश्यक होता है। आप पहले से वांछित अंकगणितीय प्रगति के सभी सदस्यों के मूल्यों की क्रमिक गणना करके ऐसा कर सकते हैं। हालांकि, यह तरीका हमेशा स्वीकार्य नहीं होता है, उदाहरण के लिए, पांच हजारवें या आठ मिलियनवें पद का मान ज्ञात करना आवश्यक है। पारंपरिक गणना में लंबा समय लगेगा। हालांकि, कुछ सूत्रों का उपयोग करके एक विशिष्ट अंकगणितीय प्रगति की जांच की जा सकती है। एनवें पद के लिए एक सूत्र भी है: अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का मूल्य प्रगति के अंतर के साथ प्रगति के पहले सदस्य के योग के रूप में निर्धारित किया जा सकता है, वांछित सदस्य की संख्या से गुणा, शून्य से एक .

बढ़ने और घटने की प्रगति के लिए सूत्र सार्वभौमिक है।

किसी दिए गए सदस्य के मूल्य की गणना करने का एक उदाहरण

आइए अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य का मान ज्ञात करने की निम्नलिखित समस्या को हल करें।

स्थिति: मापदंडों के साथ एक अंकगणितीय प्रगति है:

अनुक्रम का पहला सदस्य 3 है;

संख्या श्रृंखला में अंतर 1.2 है।

कार्य: 214 शब्दों का मान ज्ञात करना आवश्यक है

समाधान: किसी दिए गए सदस्य का मान निर्धारित करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

ए(एन) = ए1 + डी(एन-1)

समस्या कथन से डेटा को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास:

ए (214) = ए 1 + डी (एन -1)

ए (214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

उत्तर: अनुक्रम का 214वाँ सदस्य 258.6 के बराबर है।

इस गणना पद्धति के लाभ स्पष्ट हैं - संपूर्ण समाधान 2 पंक्तियों से अधिक नहीं लेता है।

सदस्यों की दी गई संख्या का योग

बहुत बार, किसी अंकगणितीय श्रृंखला में, इसके कुछ खंडों के मूल्यों का योग निर्धारित करना आवश्यक होता है। इसमें प्रत्येक पद के मानों की गणना करने और फिर उनका योग करने की भी आवश्यकता नहीं है। यह विधि तब लागू होती है जब जिन पदों का योग मिलना चाहिए उनकी संख्या कम होती है। अन्य मामलों में, निम्न सूत्र का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

1 से n तक अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का योग पहले और nth सदस्यों के योग के बराबर है, सदस्य संख्या n से गुणा किया जाता है और दो से विभाजित किया जाता है। यदि सूत्र में n-th सदस्य का मान लेख के पिछले पैराग्राफ से अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हम प्राप्त करते हैं:

गणना उदाहरण

उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित शर्तों के साथ एक समस्या का समाधान करें:

अनुक्रम का पहला पद शून्य है;

अंतर 0.5 है।

समस्या में, 56 से 101 तक श्रृंखला की शर्तों का योग निर्धारित करना आवश्यक है।

समाधान। आइए प्रगति का योग निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

सबसे पहले, हम अपनी समस्या की दी गई शर्तों को सूत्र में प्रतिस्थापित करके प्रगति के 101 सदस्यों के मूल्यों का योग निर्धारित करते हैं:

एस 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

स्पष्ट रूप से, 56वें ​​से 101वें तक की प्रगति के पदों का योग ज्ञात करने के लिए, S 55 को S 101 से घटाना आवश्यक है।

एस 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

तो इस उदाहरण के लिए अंकगणितीय प्रगति का योग है:

एस 101 - एस 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

अंकगणितीय प्रगति के व्यावहारिक अनुप्रयोग का उदाहरण

लेख के अंत में, पहले पैराग्राफ में दिए गए अंकगणितीय अनुक्रम के उदाहरण पर लौटते हैं - एक टैक्सीमीटर (टैक्सी कार मीटर)। आइए ऐसे उदाहरण पर विचार करें।

टैक्सी (जिसमें 3 किमी शामिल है) में प्रवेश करने पर 50 रूबल का खर्च आता है। प्रत्येक बाद के किलोमीटर का भुगतान 22 रूबल / किमी की दर से किया जाता है। यात्रा दूरी 30 किमी. यात्रा की लागत की गणना करें।

1. आइए पहले 3 किमी को छोड़ दें, जिसकी कीमत लैंडिंग लागत में शामिल है।

30 - 3 = 27 कि.मी.

2. आगे की गणना अंकगणितीय संख्या श्रृंखला को पार्स करने से ज्यादा कुछ नहीं है।

सदस्य संख्या यात्रा की गई किलोमीटर की संख्या है (पहले तीन को घटाकर)।

सदस्य का मूल्य योग है।

इस समस्या का पहला पद 1 = 50 रूबल के बराबर होगा।

प्रगति अंतर डी = 22 पी।

हमारे लिए रुचि की संख्या - अंकगणितीय प्रगति के (27 + 1) वें सदस्य का मूल्य - 27 किलोमीटर के अंत में मीटर रीडिंग - 27.999 ... = 28 किमी।

एक 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

मनमाने ढंग से लंबी अवधि के लिए कैलेंडर डेटा की गणना कुछ संख्यात्मक अनुक्रमों का वर्णन करने वाले सूत्रों पर आधारित होती है। खगोल विज्ञान में, कक्षा की लंबाई ज्यामितीय रूप से खगोलीय पिंड की दूरी पर प्रकाशमान होने पर निर्भर करती है। इसके अलावा, सांख्यिकी और गणित की अन्य अनुप्रयुक्त शाखाओं में विभिन्न संख्यात्मक श्रृंखलाओं का सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है।

एक अन्य प्रकार का संख्या अनुक्रम ज्यामितीय है

एक ज्यामितीय प्रगति एक अंकगणितीय, परिवर्तन की दर की तुलना में एक बड़ी विशेषता है। यह कोई संयोग नहीं है कि राजनीति, समाजशास्त्र, चिकित्सा में, अक्सर, किसी विशेष घटना के प्रसार की उच्च गति को दिखाने के लिए, उदाहरण के लिए, एक महामारी के दौरान एक बीमारी, वे कहते हैं कि प्रक्रिया तेजी से विकसित होती है।

ज्यामितीय संख्या श्रृंखला का एन-वां सदस्य पिछले एक से भिन्न होता है जिसमें इसे किसी स्थिर संख्या से गुणा किया जाता है - भाजक, उदाहरण के लिए, पहला सदस्य 1 है, भाजक क्रमशः 2 है, फिर:

एन = 1: 1 ∙ 2 = 2

एन = 2: 2 ∙ 2 = 4

एन = 3: 4 ∙ 2 = 8

एन = 4: 8 ∙ 2 = 16

एन = 5: 16 ∙ 2 = 32,

बी एन - ज्यामितीय प्रगति के वर्तमान सदस्य का मूल्य;

ख n+1 - ज्यामितीय प्रगति के अगले सदस्य का सूत्र;

क्यू एक ज्यामितीय प्रगति (स्थिर संख्या) का भाजक है।

यदि एक अंकगणितीय प्रगति का ग्राफ एक सीधी रेखा है, तो ज्यामितीय एक थोड़ा अलग चित्र बनाता है:

जैसा कि अंकगणित के मामले में, एक ज्यामितीय प्रगति में एक स्वेच्छ सदस्य के मान के लिए एक सूत्र है। ज्यामितीय प्रगति का कोई भी n-वाँ पद पहले पद के गुणनफल के बराबर होता है और प्रगति के भाजक को n की शक्ति से घटाकर एक कर दिया जाता है:

उदाहरण। हमारे पास 3 के बराबर पहली अवधि के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है और 1.5 के बराबर प्रगति का भाजक है। श्रेढ़ी का 5वां पद ज्ञात कीजिए

बी 5 \u003d बी 1 ∙ क्यू (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

सदस्यों की दी गई संख्या का योग भी एक विशेष सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जाता है। एक ज्यामितीय प्रगति के पहले n सदस्यों का योग प्रगति के nवें सदस्य और उसके भाजक के उत्पाद और प्रगति के पहले सदस्य के बीच के अंतर के बराबर है, जो भाजक द्वारा एक घटाकर विभाजित किया जाता है:

यदि b n को ऊपर चर्चा किए गए सूत्र का उपयोग करके प्रतिस्थापित किया जाता है, तो विचार की गई संख्या श्रृंखला के पहले n सदस्यों के योग का मान रूप ले लेगा:

उदाहरण। गुणोत्तर श्रेढ़ी पहले पद के बराबर 1 से शुरू होती है। हर को 3 के बराबर सेट किया गया है। आइए पहले आठ पदों का योग ज्ञात करें।

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

उदाहरण के लिए, अनुक्रम \(2\); \(5\); \(8\); \(ग्यारह\); \(14\)... एक अंकगणितीय प्रगति है, क्योंकि प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से तीन से भिन्न होता है (तीन जोड़कर पिछले एक से प्राप्त किया जा सकता है):

इस क्रम में, अंतर \(d\) धनात्मक है (\(3\) के बराबर), और इसलिए प्रत्येक अगला पद पिछले वाले से बड़ा है। ऐसी प्रगति कहलाती है की बढ़ती.

हालाँकि, \(d\) एक ऋणात्मक संख्या भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति में \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... क्रमागत अंतर \(d\) माइनस सिक्स के बराबर है।

और इस स्थिति में, प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से छोटा होगा। ये प्रगति कहलाती हैं घटते.

अंकगणितीय प्रगति संकेतन

प्रगति को एक छोटे लैटिन अक्षर से दर्शाया जाता है।

वे संख्याएँ जो एक श्रेढ़ी बनाती हैं उसे कहते हैं सदस्यों(या तत्व)।

उन्हें अंकगणितीय प्रगति के समान अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, लेकिन क्रम में तत्व संख्या के बराबर संख्यात्मक सूचकांक के साथ।

उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति \(a_n = \बाएं\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) में \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) वगैरह।

दूसरे शब्दों में, प्रगति के लिए \(a_n = \बाएं\(2; 5; 8; 11; 14…\दाएं\)\)

अंकगणितीय प्रगति पर समस्याओं को हल करना

सिद्धांत रूप में, उपरोक्त जानकारी पहले से ही अंकगणितीय प्रगति पर लगभग किसी भी समस्या को हल करने के लिए पर्याप्त है (ओजीई में पेश किए गए लोगों सहित)।

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी गई है (b_1=7; d=4\)। खोजें \(b_5\).
समाधान:

उत्तर: \(b_5=23\)

उदाहरण (ओजीई)। समांतर श्रेढ़ी के पहले तीन पद दिए गए हैं: \(62; 49; 36…\) इस श्रेढ़ी के पहले ऋणात्मक पद का मान ज्ञात कीजिए।
समाधान:

	हमें अनुक्रम के पहले तत्व दिए गए हैं और जानते हैं कि यह अंकगणितीय प्रगति है। अर्थात्, प्रत्येक तत्व पड़ोसी से समान संख्या में भिन्न होता है। पिछले तत्व को अगले तत्व से घटाकर पता करें: \(d=49-62=-13\)।
	अब हम अपनी प्रगति को वांछित (पहले नकारात्मक) तत्व में पुनर्स्थापित कर सकते हैं।
	तैयार। आप उत्तर लिख सकते हैं।

उत्तर: \(-3\)

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति के कई लगातार तत्व दिए गए हैं: \(...5; x; 10; 12.5...\) अक्षर \(x\) द्वारा निरूपित तत्व का मान ज्ञात करें।
समाधान:

	\(x\) खोजने के लिए, हमें यह जानना होगा कि अगला तत्व पिछले वाले से कितना भिन्न है, दूसरे शब्दों में, प्रगति अंतर। आइए इसे दो ज्ञात पड़ोसी तत्वों से खोजें: \(d=12.5-10=2.5\)।
	और अब हम बिना किसी समस्या के ढूंढ रहे हैं: \(x=5+2.5=7.5\)।
	तैयार। आप उत्तर लिख सकते हैं।

उत्तर: \(7,5\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति निम्नलिखित शर्तों द्वारा दी गई है: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) इस श्रेणी के पहले छह पदों का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

हमें प्रगति के पहले छह पदों का योग ज्ञात करने की आवश्यकता है। लेकिन हम उनका अर्थ नहीं जानते, हमें केवल पहला तत्व दिया गया है। इसलिए, हम पहले हमें दिए गए मूल्यों का उपयोग करके बदले में मूल्यों की गणना करते हैं: \(एन=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \ (एन = 2 \); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \ (एन = 3 \); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) और जिन छह तत्वों की हमें आवश्यकता है, उनकी गणना करने के बाद, हम उनका योग पाते हैं।

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

अनुरोधित राशि मिल गई है।

उत्तर: \(S_6=9\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय श्रेणी में \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). इस प्रगति का अंतर ज्ञात कीजिए।
समाधान:

उत्तर: \ (डी = 7 \)।

महत्वपूर्ण अंकगणितीय प्रगति सूत्र

जैसा कि आप देख सकते हैं, कई अंकगणितीय प्रगति की समस्याओं को केवल मुख्य बात को समझकर हल किया जा सकता है - कि एक अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की एक श्रृंखला है, और इस श्रृंखला में प्रत्येक अगला तत्व उसी संख्या को पिछले एक में जोड़कर प्राप्त किया जाता है (अंतर) प्रगति का)।

हालांकि, कभी-कभी ऐसी स्थितियां होती हैं जब "माथे पर" हल करना बहुत असुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, कल्पना कीजिए कि पहले ही उदाहरण में, हमें पांचवां तत्व \(b_5\) नहीं, बल्कि तीन सौ छियासीवां \(b_(386)\) खोजना है। यह क्या है, हम \ (385 \) बार चार जोड़ते हैं? या कल्पना करें कि अंतिम उदाहरण में, आपको पहले तिहत्तर तत्वों का योग खोजने की आवश्यकता है। गिनती भ्रमित कर रही है ...

इसलिए, ऐसे मामलों में, वे "माथे पर" हल नहीं करते हैं, लेकिन अंकगणितीय प्रगति के लिए प्राप्त विशेष सूत्रों का उपयोग करते हैं। और मुख्य हैं श्रेढ़ी के nवें पद के सूत्र और पहले पदों के योग \(n\) के सूत्र।

\(n\)वें सदस्य के लिए सूत्र: \(a_n=a_1+(n-1)d\), जहां \(a_1\) प्रगति का पहला सदस्य है;
\(n\) - आवश्यक तत्व की संख्या;
\(a_n\) संख्या \(n\) के साथ प्रगति का सदस्य है।

यह सूत्र हमें कम से कम तीन सौवें, यहां तक ​​कि दस लाखवें तत्व को जल्दी से खोजने की अनुमति देता है, केवल पहले और प्रगति के अंतर को जानने के लिए।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी गई है: \(b_1=-159\); \(डी=8,2\). खोजें \(b_(246)\)।
समाधान:

उत्तर: \(b_(246)=1850\).

पहले n पदों के योग का सूत्र है: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), जहां

\(a_n\) अंतिम योग पद है;

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी गई है \(a_n=3.4n-0.6\)। इस श्रेणी के पहले \(25\) पदों का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		पहले पच्चीस तत्वों के योग की गणना करने के लिए, हमें पहले और पच्चीसवें पद का मान जानना होगा। हमारी प्रगति इसकी संख्या (विवरण देखें) के आधार पर nवें पद के सूत्र द्वारा दी गई है। आइए \(n\) को एक से बदलकर पहले तत्व की गणना करें।
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		अब \(n\) के बजाय पच्चीस को प्रतिस्थापित करके पच्चीसवाँ पद ज्ञात करते हैं।
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		खैर, अब हम बिना किसी समस्या के आवश्यक राशि की गणना करते हैं।
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		जवाब तैयार है।

उत्तर: \(S_(25)=1090\).

पहले शब्दों के योग \(n\) के लिए, आप एक और सूत्र प्राप्त कर सकते हैं: आपको केवल \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) के स्थान पर \(a_n=a_1+(n-1)d\) का सूत्र रखें। हम पाते हैं:

पहले n पदों के योग का सूत्र है: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), जहां

\(S_n\) - पहले तत्वों का आवश्यक योग \(n\);
\(a_1\) योग किया जाने वाला पहला पद है;
\(डी\) - प्रगति अंतर;
\(n\) - योग में तत्वों की संख्या।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति के पहले \(33\)-पूर्व पदों का योग ज्ञात कीजिए: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
समाधान:

उत्तर: \(S_(33)=-231\).

अधिक जटिल अंकगणितीय प्रगति समस्याएं

अब आपके पास लगभग सभी अंकगणितीय प्रगति समस्या को हल करने के लिए आवश्यक सभी जानकारी है। आइए उन समस्याओं पर विचार करके विषय को समाप्त करें जिनमें आपको न केवल सूत्र लागू करने की आवश्यकता है, बल्कि थोड़ा सोचने की भी आवश्यकता है (गणित में, यह उपयोगी हो सकता है ☺)

उदाहरण (ओजीई)। श्रेणी के सभी ऋणात्मक पदों का योग ज्ञात कीजिए: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
समाधान:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		कार्य पिछले वाले के समान ही है। हम उसी तरह हल करना शुरू करते हैं: पहले हम \(d\) पाते हैं।
\(डी=ए_2-ए_1=-19-(-19.3)=0.3\)		अब हम योग के सूत्र में \(d\) स्थानापन्न करेंगे ... और यहाँ एक छोटी सी बारीकियाँ सामने आती हैं - हम \(n\) नहीं जानते हैं। दूसरे शब्दों में, हम नहीं जानते कि कितने शब्दों को जोड़ने की आवश्यकता होगी। कैसे पता करें? हमें सोचना चाहिए। जब हम पहले सकारात्मक तत्व पर पहुंचेंगे तो हम तत्वों को जोड़ना बंद कर देंगे। यही है, आपको इस तत्व की संख्या का पता लगाने की जरूरत है। कैसे? आइए अंकगणितीय प्रगति के किसी भी तत्व की गणना के लिए सूत्र लिखें: \(a_n=a_1+(n-1)d\) हमारे मामले के लिए।
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		हमें \(a_n\) शून्य से बड़ा होना चाहिए। आइए जानें कि यह किस लिए \(n\) होगा।
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((एन-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		हम असमानता के दोनों पक्षों को \(0,3\) से विभाजित करते हैं।
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		हम माइनस एक को स्थानांतरित करते हैं, संकेतों को बदलना नहीं भूलते
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		कम्प्यूटिंग...
\(n>65,333...\)		…और यह पता चला है कि पहले सकारात्मक तत्व की संख्या \(66\) होगी। तदनुसार, अंतिम नकारात्मक में \(n=65\) है। ज़रुरत पड़े तो, आइए इसकी जाँच करें।
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		इस प्रकार, हमें पहले \(65\) तत्वों को जोड़ने की आवश्यकता है।
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		जवाब तैयार है।

उत्तर: \(S_(65)=-630.5\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी गई है: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)वें से \(42\) तक का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	इस समस्या में, आपको तत्वों का योग खोजने की भी आवश्यकता है, लेकिन पहले से नहीं, बल्कि \(26\)वें से शुरू करना है। हमारे पास इसका कोई फॉर्मूला नहीं है। कैसे तय करें? आसान - \(26\)वें से \(42\)वें तक का योग प्राप्त करने के लिए, आपको पहले \(1\)वें से \(42\)वें तक का योग ज्ञात करना होगा, और फिर उसमें से योग घटाना होगा पहले से \ (25\)वें (चित्र देखें)।
	हमारी प्रगति के लिए \(a_1=-33\), और अंतर \(d=4\) (आखिरकार, हम अगले तत्व को खोजने के लिए पिछले तत्व में चार जोड़ते हैं)। यह जानने के बाद, हम पहले \(42\)-उह तत्वों का योग पाते हैं।
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	अब पहले \(25\)-वें तत्वों का योग।
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	और अंत में, हम उत्तर की गणना करते हैं।
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

उत्तर: \(एस=1683\).

एक अंकगणितीय प्रगति के लिए, कई और सूत्र हैं जिन पर हमने इस लेख में उनकी कम व्यावहारिक उपयोगिता के कारण विचार नहीं किया है। हालाँकि, आप उन्हें आसानी से पा सकते हैं।