त्रिकोणमितीय कार्यों के सटीक मूल्य। साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट - ओजीई और यूएसई में आपको जो कुछ जानने की जरूरत है
लेख में, हम पूरी तरह से समझेंगे कि यह कैसा दिखता है मेज़ त्रिकोणमितीय मान, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट. 0,30,45,60,90,...,360 डिग्री के कोण से त्रिकोणमितीय फलनों के मूल मान पर विचार करें। और आइए देखें कि त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्य की गणना में इन तालिकाओं का उपयोग कैसे करें।
पहले विचार करें कोसाइन, साइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की तालिका 0, 30, 45, 60, 90,... डिग्री के कोण से। इन मात्राओं की परिभाषा 0 और 90 डिग्री के कोणों के कार्यों के मूल्य को निर्धारित करना संभव बनाती है:
पाप 0 0 \u003d 0, cos 0 0 \u003d 1. टीजी 00 \u003d 0, 00 का कोटैंजेंट अपरिभाषित होगा
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, 90 0 की स्पर्शरेखा अपरिभाषित होगी
यदि हम समकोण त्रिभुज लेते हैं जिनके कोण 30 से 90 डिग्री के होते हैं। हम पाते हैं:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = 3
पाप 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, टीजी 45 0 = 1, सीटीजी 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, ctg 60 0 = √3/3
हम फॉर्म में सभी प्राप्त मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं त्रिकोणमितीय तालिका:
ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा की तालिका!
यदि हम कास्ट फॉर्मूला का उपयोग करते हैं, तो हमारी तालिका बढ़ जाएगी, 360 डिग्री तक के कोणों के मान जोड़े जाएंगे। ऐसा दिखेगा:
साथ ही, आवर्तता के गुणों के आधार पर, तालिका को बढ़ाया जा सकता है यदि हम कोणों को 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z से बदल दें, जिसमें z एक पूर्णांक है। इस तालिका में, एक ही वृत्त में बिंदुओं के संगत सभी कोणों के मान की गणना करना संभव है।
आइए स्पष्ट रूप से देखें कि समाधान में तालिका का उपयोग कैसे करें।
सब कुछ बहुत सरल है। चूंकि हमें जिस मूल्य की आवश्यकता है, वह उन कोशिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर है जिनकी हमें आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, आइए 60 डिग्री के कोण का कॉस लें, तालिका में यह इस तरह दिखेगा:
त्रिकोणमितीय कार्यों के मुख्य मूल्यों की अंतिम तालिका में, हम उसी तरह कार्य करते हैं। लेकिन इस तालिका में यह पता लगाना संभव है कि 1020 डिग्री के कोण से स्पर्शरेखा कितनी होगी, यह = -√3 आइए चेक करते हैं 1020 0 = 300 0 +360 0 *2। आइए तालिका खोजें।
ब्रैडिस टेबल। साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के लिए।
ब्रैडीज़ की तालिकाओं को कई भागों में विभाजित किया जाता है, उनमें कोसाइन और साइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की तालिकाएँ होती हैं - जिन्हें दो भागों में विभाजित किया जाता है (90 डिग्री तक के कोण का tg और छोटे कोणों का ctg)।
ज्या और कोज्या
कोण टीजी 00 से 760 तक, कोण सीटीजी 140 से 900 तक।
900 तक टीजी और छोटे कोण सीटीजी।
आइए जानें कि समस्याओं को हल करने में ब्रैडिस टेबल का उपयोग कैसे करें।
आइए पदनाम पाप खोजें (बाएं किनारे से कॉलम में पदनाम) 42 मिनट (पदनाम शीर्ष रेखा पर है)। पार करके हम एक पदनाम की तलाश कर रहे हैं, यह = 0.3040 है।
मिनटों के मूल्यों को छह मिनट के अंतराल के साथ इंगित किया जाता है, क्या होगा यदि हमें जिस मूल्य की आवश्यकता है वह इस अंतराल के भीतर आता है। चलो 44 मिनट लेते हैं, और तालिका में केवल 42 हैं। हम आधार के रूप में 42 लेते हैं और दाईं ओर अतिरिक्त कॉलम का उपयोग करते हैं, दूसरा सुधार लेते हैं और 0.3040 + 0.0006 में जोड़ते हैं तो हमें 0.3046 मिलता है।
पाप 47 मिनट के साथ, हम आधार के रूप में 48 मिनट लेते हैं और उसमें से 1 सुधार घटाते हैं, अर्थात 0.3057 - 0.0003 = 0.3054
कॉस की गणना करते समय, हम पाप के समान काम करते हैं, केवल हम तालिका की निचली पंक्ति को आधार के रूप में लेते हैं। उदाहरण के लिए कॉस 20 0 = 0.9397
90 0 तक के कोण का मान tg और छोटे कोण का खाट सही है और उनमें कोई सुधार नहीं है। उदाहरण के लिए, टीजी 78 0 37 मिनट = 4.967 . खोजें
और सीटीजी 20 0 13 मिनट = 25.83
खैर, यहां हमने मुख्य त्रिकोणमितीय तालिकाओं पर विचार किया है। हमें उम्मीद है कि यह जानकारी आपके लिए बेहद उपयोगी थी। टेबल पर आपके प्रश्न, यदि कोई हों, टिप्पणियों में लिखना सुनिश्चित करें!
नोट: वॉल फेंडर - दीवारों की सुरक्षा के लिए एक फेंडर बोर्ड। लिंक वॉललेस फ्रेमलेस फेंडर (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) का अनुसरण करें और अधिक जानकारी प्राप्त करें।
कोण 0, 30, 45, 60, 90, ... डिग्री के लिए बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की तालिका
फ़ंक्शन $\sin$, $\cos$, $\tan$, और $\cot$ की त्रिकोणमितीय परिभाषाओं से, कोण $0$ और $90$ डिग्री के लिए उनके मान ज्ञात कर सकते हैं:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ परिभाषित नहीं;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ परिभाषित नहीं है।
स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में, समकोण त्रिभुजों का अध्ययन करते समय, कोणों के त्रिकोणमितीय फलन $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ और $90°$ पाए जाते हैं।
डिग्री और रेडियन में निर्दिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के पाए गए मान क्रमशः ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) याद रखने और उपयोग में आसानी के लिए एक तालिका में दर्ज किया जाता है जिसे कहा जाता है त्रिकोणमितीय तालिका, त्रिकोणमितीय कार्यों के बुनियादी मूल्यों की तालिकाआदि।
कमी सूत्रों का उपयोग करते समय, त्रिकोणमितीय तालिकाक्रमशः $360°$ और $2\pi$ रेडियन तक विस्तारित किया जा सकता है:
त्रिकोणमितीय फलनों की आवर्तता गुणों को लागू करते हुए, प्रत्येक कोण जो पहले से ज्ञात $360°$ से भिन्न होता है, की गणना की जा सकती है और एक तालिका में दर्ज किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कोण $0°$ के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का कोण $0°+360°$ के लिए और कोण $0°+2 \cdot 360°$ के लिए और कोण $0°+3 \ के लिए समान मान होगा। cdot 360°$ और आदि।
त्रिकोणमितीय तालिका का उपयोग करके, आप एक इकाई वृत्त के सभी कोणों के मान निर्धारित कर सकते हैं।
स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में, त्रिकोणमितीय समस्याओं को हल करने की सुविधा के लिए त्रिकोणमितीय तालिका में एकत्रित त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल मूल्यों को याद रखना माना जाता है।
तालिका का उपयोग करना
तालिका में, आवश्यक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन और कोण या रेडियन के मान को खोजने के लिए पर्याप्त है जिसके लिए इस फ़ंक्शन की गणना करने की आवश्यकता है। फ़ंक्शन के साथ पंक्ति और मान के साथ कॉलम के चौराहे पर, हमें दिए गए तर्क के त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का वांछित मान मिलता है।
चित्र में आप देख सकते हैं कि $\cos60°$ का मान कैसे ज्ञात किया जाए जो $\frac(1)(2)$ के बराबर है।
विस्तारित त्रिकोणमितीय तालिका का उपयोग इसी तरह किया जाता है। इसका उपयोग करने का लाभ, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, लगभग किसी भी कोण के त्रिकोणमितीय कार्य की गणना है। उदाहरण के लिए, आप आसानी से मान $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 पा सकते हैं °$:
बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की ब्रैडिस सारणी
डिग्री के पूर्णांक मान और मिनटों के पूर्णांक मान के लिए किसी भी कोण मान के त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की गणना करने की क्षमता ब्रैडिस तालिकाओं का उपयोग करती है। उदाहरण के लिए, मान $\cos34°7"$ खोजें। तालिकाओं को 2 भागों में विभाजित किया गया है: $\sin$ और $\cos$ मानों की तालिका और $\tan$ और $\ की तालिका खाट $ मूल्य।
ब्रैडिस तालिकाएं 4 दशमलव स्थानों तक की सटीकता के साथ त्रिकोणमितीय कार्यों का अनुमानित मान प्राप्त करना संभव बनाती हैं।
ब्रैडिस टेबल्स का उपयोग करना
साइन के लिए ब्रैडीज़ की तालिकाओं का उपयोग करते हुए, हम $\sin17°42"$ पाते हैं। ऐसा करने के लिए, साइन और कोसाइन की तालिका के बाईं ओर के कॉलम में हम डिग्री का मान पाते हैं - $17°$, और में शीर्ष पंक्ति में हम मिनटों का मान पाते हैं - $42"$। उनके चौराहे पर, हमें वांछित मूल्य मिलता है:
$\sin17°42"=0.304$।
$\sin17°44"$ का मान ज्ञात करने के लिए, आपको तालिका के दाईं ओर सुधार का उपयोग करने की आवश्यकता है। इस स्थिति में, $42"$ के मान में, जो तालिका में है, आपको एक जोड़ना होगा $2"$ के लिए सुधार, जो $0.0006$ के बराबर है। हमें मिलता है:
$\sin17°44"=0.304+0.0006=0.3046$।
$\sin17°47"$ का मान ज्ञात करने के लिए, हम तालिका के दाईं ओर सुधार का भी उपयोग करते हैं, केवल इस मामले में हम $\sin17°48"$ के मान को आधार के रूप में लेते हैं और इसके लिए सुधार घटाते हैं $1"$:
$\sin17°47"=0.3057-0.0003=0.3054$।
कोसाइन की गणना करते समय, हम समान क्रियाएं करते हैं, लेकिन हम दाहिने कॉलम में डिग्री और तालिका के निचले कॉलम में मिनट देखते हैं। उदाहरण के लिए, $\cos20°=0.9397$।
$90°$ तक के टेंगेंट मानों और छोटे कोण कोटेंजेंट के लिए कोई सुधार नहीं है। उदाहरण के लिए, आइए $\tan 78°37"$ खोजें, जो तालिका के अनुसार $4,967$ है।
साइन (), कोसाइन (), स्पर्शरेखा (), कोटैंजेंट () की अवधारणाएं कोण की अवधारणा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। इन्हें अच्छी तरह से समझने के लिए, पहली नज़र में, जटिल अवधारणाएँ (जो कई स्कूली बच्चों में डरावनी स्थिति का कारण बनती हैं), और यह सुनिश्चित करें कि "शैतान उतना डरावना नहीं है जितना कि उसे चित्रित किया गया है", आइए शुरुआत से ही शुरू करें और समझें कोण की अवधारणा।
कोण की अवधारणा: रेडियन, डिग्री
आइए तस्वीर को देखें। वेक्टर एक निश्चित राशि से बिंदु के सापेक्ष "मुड़ गया"। तो प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष इस घूर्णन का माप होगा कोना.
कोण की अवधारणा के बारे में आपको और क्या जानने की आवश्यकता है? खैर, कोण की इकाइयाँ, बिल्कुल!
कोण, ज्यामिति और त्रिकोणमिति दोनों में, डिग्री और रेडियन में मापा जा सकता है।
वृत्त के भाग के बराबर वृत्ताकार चाप पर आधारित वृत्त का केंद्रीय कोण (एक डिग्री) पर कोण होता है। इस प्रकार, पूरे वृत्त में वृत्ताकार चापों के "टुकड़े" होते हैं, या वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर होता है।
यानी ऊपर की आकृति में एक ऐसा कोण दिखाया गया है जो बराबर है, यानी यह कोण परिधि के आकार के एक वृत्ताकार चाप पर आधारित है।
रेडियन में एक कोण एक वृत्त में केंद्रीय कोण कहलाता है, जो एक वृत्ताकार चाप पर आधारित होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। अच्छा, समझे? अगर नहीं तो आइए देखते हैं तस्वीर।
तो, आंकड़ा एक रेडियन के बराबर कोण दिखाता है, यानी यह कोण एक गोलाकार चाप पर आधारित होता है, जिसकी लंबाई सर्कल के त्रिज्या के बराबर होती है (लंबाई लंबाई या त्रिज्या के बराबर होती है) लंबाई के बराबरआर्क्स)। इस प्रकार, चाप की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
रेडियन में केंद्रीय कोण कहां है।
अच्छा, यह जानकर, क्या आप उत्तर दे सकते हैं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोणों में कितने रेडियन हैं? हां, इसके लिए आपको वृत्त की परिधि का सूत्र याद रखना होगा। वहाँ है वो:
खैर, अब इन दो सूत्रों को सहसंबंधित करते हैं और प्राप्त करते हैं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर है। अर्थात्, मान को डिग्री और रेडियन में सहसंबंधित करने पर, हमें वह मिलता है। क्रमश, । जैसा कि आप देख सकते हैं, "डिग्री" के विपरीत, "रेडियन" शब्द छोड़ा गया है, क्योंकि माप की इकाई आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होती है।
कितने रेडियन हैं? सही बात है!
समझ गया? फिर आगे तेज करें:
कोई कठिनाई? फिर देखो जवाब:
समकोण त्रिभुज: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, एक कोण की कोटैंजेंट
तो, कोण की अवधारणा के साथ पता चला। लेकिन एक कोण की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट क्या है? आइए इसका पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम मदद करेंगे सही त्रिकोण.
एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह पक्ष है जो समकोण के विपरीत स्थित है (हमारे उदाहरण में, यह पक्ष है); पैर दो शेष भुजाएँ हैं और (वे जो से सटे हैं) समकोण), इसके अलावा, अगर हम पैरों को कोण के सापेक्ष मानते हैं, तो पैर है आसन्न पैर, और पैर विपरीत है। तो, अब इस प्रश्न का उत्तर देते हैं: एक कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट क्या हैं?
कोण की ज्याकर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।
हमारे त्रिकोण में।
कोण की कोज्या- यह कर्ण से सटे (करीबी) पैर का अनुपात है।
हमारे त्रिकोण में।
कोण स्पर्शरेखा- यह विपरीत (दूर) पैर से आसन्न (करीब) का अनुपात है।
हमारे त्रिकोण में।
एक कोण का कोटैंजेंट- यह आसन्न (करीबी) पैर से विपरीत (दूर) का अनुपात है।
हमारे त्रिकोण में।
ये परिभाषाएं आवश्यक हैं याद करना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किस से विभाजित करना है, आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि स्पर्शरेखातथा कोटैंजेंटकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसतथा कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह एक:
कोसाइन → स्पर्श करें → स्पर्श करें → आसन्न;
Cotangent→स्पर्श करें→स्पर्श करें→आसन्न।
सबसे पहले, यह याद रखना आवश्यक है कि एक त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट इन पक्षों की लंबाई (एक कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। भरोसा मत करो? फिर तस्वीर को देखकर सुनिश्चित करें:
उदाहरण के लिए, एक कोण की कोज्या पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, एक त्रिभुज से: , लेकिन हम एक त्रिभुज से किसी कोण की कोज्या की गणना कर सकते हैं: . आप देखिए, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान होता है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटेंजेंट के मान पूरी तरह से कोण के परिमाण पर निर्भर करते हैं।
यदि आप परिभाषाओं को समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें ठीक करें!
नीचे दी गई आकृति में दिखाए गए त्रिभुज के लिए, हम पाते हैं।
अच्छा, क्या आपको मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएं: कोने के लिए समान गणना करें।
इकाई (त्रिकोणमितीय) वृत्त
डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त पर विचार किया। ऐसे वृत्त को कहते हैं एक. यह त्रिकोणमिति के अध्ययन में बहुत उपयोगी है। इसलिए, हम इस पर थोड़ा और विस्तार से ध्यान केंद्रित करते हैं।
जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सर्कल बनाया गया है कार्तीय प्रणालीनिर्देशांक। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर होती है, जबकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित होता है, त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय होती है (हमारे उदाहरण में, यह त्रिज्या है)।
वृत्त का प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष के साथ समन्वय और अक्ष के साथ समन्वय। ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उन्हें इस विषय से क्या लेना-देना है? ऐसा करने के लिए, समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखें। ऊपर की आकृति में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। एक त्रिभुज पर विचार करें। यह आयताकार है क्योंकि यह अक्ष के लंबवत है।
त्रिभुज से किसके बराबर होता है? सही बात है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि इकाई वृत्त की त्रिज्या है, और इसलिए, . इस मान को हमारे कोसाइन सूत्र में बदलें। यहाँ क्या होता है:
और त्रिभुज से किसके बराबर होता है? ठीक है, बिल्कुल, ! इस सूत्र में त्रिज्या का मान रखें और प्राप्त करें:
तो, क्या आप मुझे बता सकते हैं कि वृत्त से संबंधित बिंदु के निर्देशांक क्या हैं? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? और अगर आप इसे महसूस करते हैं और सिर्फ संख्याएं हैं? यह किस समन्वय से मेल खाता है? खैर, निश्चित रूप से, समन्वय! यह किस समन्वय से मेल खाता है? यह सही है, समन्वय! इस प्रकार, बिंदु।
और फिर क्या बराबर हैं और? यह सही है, आइए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की उपयुक्त परिभाषाओं का उपयोग करें और उसे प्राप्त करें, a.
क्या होगा अगर कोण बड़ा है? यहाँ, उदाहरण के लिए, जैसा कि इस चित्र में है:
इस उदाहरण में क्या बदल गया है? आइए इसका पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें: एक कोण (एक कोण के निकट के रूप में)। किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्श रेखा और कोटंगेंट का मान क्या होता है? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय फलनों की संगत परिभाषाओं का पालन करते हैं:
ठीक है, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक से मेल खाता है; कोण की कोज्या का मान - निर्देशांक; और संगत अनुपात के लिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घुमाव पर लागू होते हैं।
यह पहले ही उल्लेख किया जा चुका है कि त्रिज्या सदिश की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की धनात्मक दिशा के अनुदिश होती है। अब तक हमने इस वेक्टर को वामावर्त घुमाया है, लेकिन अगर हम इसे दक्षिणावर्त घुमाते हैं तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित आकार का कोण भी मिलेगा, लेकिन केवल यह नकारात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाते समय, हम प्राप्त करते हैं सकारात्मक कोण, और दक्षिणावर्त घुमाते समय - नकारात्मक।
तो, हम जानते हैं कि वृत्त के चारों ओर त्रिज्या सदिश का एक संपूर्ण परिक्रमण या है। क्या त्रिज्या सदिश को बारी-बारी से घुमाना संभव है? ठीक है, बेशक आप कर सकते हैं! इसलिए, पहले मामले में, त्रिज्या वेक्टर एक पूर्ण क्रांति करेगा और स्थिति या पर रुक जाएगा।
दूसरे मामले में, यानी त्रिज्या वेक्टर तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और स्थिति या पर रुक जाएगा।
इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कोण जो भिन्न होते हैं या (जहां कोई पूर्णांक है) त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप होते हैं।
नीचे दिया गया चित्र एक कोण दिखाता है। एक ही छवि कोने से मेल खाती है, और इसी तरह। इस सूची को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र से लिखा जा सकता है या (जहां कोई पूर्णांक है)
अब, बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानने और यूनिट सर्कल का उपयोग करके, यह उत्तर देने का प्रयास करें कि मान किसके बराबर हैं:
आपकी सहायता के लिए यहां एक इकाई मंडल है:
कोई कठिनाई? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:
यहां से, हम कोण के कुछ मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, चलो क्रम में शुरू करते हैं: कोना निर्देशांक के साथ एक बिंदु से मेल खाता है, इसलिए:
अस्तित्व में नहीं है;
इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोने क्रमशः निर्देशांक वाले बिंदुओं के अनुरूप हैं। यह जानकर, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को संबंधित बिंदुओं पर निर्धारित करना आसान है। पहले इसे स्वयं आजमाएं, फिर उत्तरों की जांच करें।
उत्तर:
अस्तित्व में नहीं है
अस्तित्व में नहीं है
अस्तित्व में नहीं है
अस्तित्व में नहीं है
इस प्रकार, हम निम्नलिखित तालिका बना सकते हैं:
इन सभी मूल्यों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है। यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:
लेकिन नीचे दी गई तालिका में दिए गए कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान, याद किया जाना चाहिए:
डरो मत, अब हम एक उदाहरण दिखाएंगे बल्कि संबंधित मूल्यों की सरल याद:
इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, कोण के तीनों मापों () के साथ-साथ कोण के स्पर्शरेखा के मान के लिए साइन के मूल्यों को याद रखना महत्वपूर्ण है। इन मूल्यों को जानने के बाद, पूरी तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी आसान है - कोसाइन मान तीरों के अनुसार स्थानांतरित किए जाते हैं, अर्थात्:
यह जानकर, आप के लिए मूल्यों को पुनर्स्थापित कर सकते हैं। अंश " " का मिलान होगा और हर " " का मिलान होगा। चित्र में दिखाए गए तीरों के अनुसार कोटैंजेंट मूल्यों को स्थानांतरित किया जाता है। यदि आप इसे समझते हैं और तीर के साथ आरेख को याद करते हैं, तो यह तालिका से संपूर्ण मान को याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।
एक वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक
क्या एक वृत्त पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है, वृत्त के केंद्र के निर्देशांक, उसकी त्रिज्या और घूमने के कोण को जानना?
ठीक है, बेशक आप कर सकते हैं! आइए बाहर लाते हैं किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का सामान्य सूत्र.
यहाँ, उदाहरण के लिए, हमारे पास ऐसा एक वृत्त है:
हमें दिया गया है कि बिंदु वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। बिंदु को डिग्री से घुमाकर प्राप्त किए गए बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।
जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु का समन्वय खंड की लंबाई से मेल खाता है। खंड की लंबाई वृत्त के केंद्र के निर्देशांक से मेल खाती है, अर्थात यह बराबर है। एक खंड की लंबाई कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त की जा सकती है:
फिर हमारे पास उस बिंदु के लिए निर्देशांक है।
उसी तर्क से, हम बिंदु के लिए y निर्देशांक का मान ज्ञात करते हैं। इस तरह,
तो में सामान्य दृष्टि सेबिंदु निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:
मंडल केंद्र निर्देशांक,
सर्कल त्रिज्या,
त्रिज्या वेक्टर के रोटेशन का कोण।
जैसा कि आप देख सकते हैं, हम जिस इकाई सर्कल पर विचार कर रहे हैं, उसके लिए ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य हैं, और त्रिज्या एक के बराबर है:
अच्छा, आइए स्वाद के लिए इन फ़ार्मुलों को आज़माएँ, एक वृत्त पर अंक खोजने का अभ्यास करें?
1. एक बिंदु को चालू करने से प्राप्त इकाई वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
2. एक इकाई वृत्त पर एक बिंदु को घुमाकर प्राप्त किए गए बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
3. एक इकाई वृत्त पर एक बिंदु को चालू करने पर प्राप्त एक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
4. बिंदु - वृत्त का केंद्र। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। प्रारंभिक त्रिज्या सदिश को घुमाकर प्राप्त किए गए बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।
5. बिंदु - वृत्त का केंद्र। वृत्त की त्रिज्या बराबर होती है। प्रारंभिक त्रिज्या सदिश को घुमाकर प्राप्त किए गए बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।
वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक खोजने में परेशानी हो रही है?
इन पांच उदाहरणों को हल करें (या समाधान को अच्छी तरह से समझें) और आप सीखेंगे कि उन्हें कैसे खोजना है!
1.
यह देखा जा सकता है। और हम जानते हैं कि शुरुआती बिंदु के पूर्ण मोड़ से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जब मुड़ते समय। यह जानने के बाद, हम बिंदु के वांछित निर्देशांक पाते हैं:
2. सर्कल एक बिंदु पर एक केंद्र के साथ इकाई है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:
यह देखा जा सकता है। हम जानते हैं कि शुरुआती बिंदु के दो पूर्ण घुमावों से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जब मुड़ते समय। यह जानने के बाद, हम बिंदु के वांछित निर्देशांक पाते हैं:
साइन और कोसाइन सारणीबद्ध मान हैं। हम उनके मूल्यों को याद करते हैं और प्राप्त करते हैं:
इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।
3. सर्कल एक बिंदु पर एक केंद्र के साथ इकाई है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:
यह देखा जा सकता है। आइए चित्र में माना गया उदाहरण चित्रित करें:
त्रिज्या और के बराबर अक्ष के साथ कोण बनाती है। यह जानते हुए कि कोसाइन और साइन के सारणीबद्ध मूल्य समान हैं, और यह निर्धारित करने के बाद कि कोसाइन यहां एक नकारात्मक मान लेता है, और साइन सकारात्मक है, हमारे पास है:
विषय में त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने के सूत्रों का अध्ययन करते समय इसी तरह के उदाहरणों का अधिक विस्तार से विश्लेषण किया जाता है।
इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।
4.
त्रिज्या वेक्टर के रोटेशन का कोण (शर्त के अनुसार)
साइन और कोसाइन के संबंधित संकेतों को निर्धारित करने के लिए, हम एक इकाई सर्कल और एक कोण बनाते हैं:
जैसा कि आप देख सकते हैं, मान, यानी धनात्मक है, और मान, अर्थात् ऋणात्मक है। संबंधित त्रिकोणमितीय कार्यों के सारणीबद्ध मूल्यों को जानने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:
आइए प्राप्त मूल्यों को हमारे सूत्र में बदलें और निर्देशांक खोजें:
इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।
5. इस समस्या को हल करने के लिए, हम सामान्य रूप में सूत्रों का उपयोग करते हैं, जहाँ
वृत्त के केंद्र के निर्देशांक (हमारे उदाहरण में,
सर्कल त्रिज्या (शर्त के अनुसार)
त्रिज्या वेक्टर के रोटेशन का कोण (शर्त के अनुसार)।
सभी मानों को सूत्र में रखें और प्राप्त करें:
और - तालिका मान। हम उन्हें याद करते हैं और उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।
सारांश और बुनियादी सूत्र
कोण की ज्या कर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।
कोण की कोज्या कर्ण के निकटवर्ती (करीबी) पैर का अनुपात है।
एक कोण की स्पर्शरेखा विपरीत (दूर) पैर का आसन्न (करीब) से अनुपात है।
कोण का कोटैंजेंट आसन्न (करीबी) पैर का विपरीत (दूर) का अनुपात है।
पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, एलिया के प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किए, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जिस समय के दौरान अकिलीज़ इतनी दूरी चलाता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।
यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।
गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ता है, तो समय पूरी तरह से रुक जाता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।
अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"
इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:
जिस समय में अकिलीस को एक हजार कदम चलने में लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।
यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह नहीं है पूरा समाधानसमस्या। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।
ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:
एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि वह हर क्षण विरामावस्था में होता है, और चूँकि वह प्रत्येक क्षण विरामावस्था में होता है, इसलिए वह सदैव विरामावस्था में रहता है।
इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम करता है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से अलग-अलग समय पर दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन दूरी निर्धारित करने के लिए उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (बेशक, आपको गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) . मैं किस पर ध्यान केंद्रित करना चाहता हूं विशेष ध्यान, यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि वे अन्वेषण के लिए अलग-अलग अवसर प्रदान करते हैं।
बुधवार, 4 जुलाई 2018
बहुत अच्छी तरह से विकिपीडिया में सेट और मल्टीसेट के बीच के अंतरों का वर्णन किया गया है। हम देखो।
जैसा कि आप देख सकते हैं, "सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते", लेकिन यदि सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। विवेकशील प्राणी बेतुकेपन के ऐसे तर्क को कभी नहीं समझेंगे। यह बात करने वाले तोते और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिसमें मन "पूरी तरह से" शब्द से अनुपस्थित है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, अपने बेतुके विचारों का हमें प्रचार करते हैं।
एक बार की बात है, पुल का निर्माण करने वाले इंजीनियर पुल के परीक्षणों के दौरान पुल के नीचे एक नाव में थे। पुल ढह गया तो उसकी रचना के मलबे के नीचे औसत दर्जे का इंजीनियर मर गया। यदि पुल भार का सामना कर सकता है, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुलों का निर्माण किया।
कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "माइंड मी, आई एम इन द हाउस" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है", एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह गर्भनाल धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।
हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश डेस्क पर बैठे हैं, वेतन दे रहे हैं। यहाँ एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसके लिए पूरी राशि गिनते हैं और उसे अपनी मेज पर अलग-अलग ढेर में रख देते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "गणितीय वेतन सेट" देते हैं। हम गणित की व्याख्या करते हैं कि वह शेष बिल तभी प्राप्त करेगा जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।
सबसे पहले, डिप्टी का तर्क काम करेगा: "आप इसे दूसरों पर लागू कर सकते हैं, लेकिन मुझ पर नहीं!" इसके अलावा, आश्वासन शुरू हो जाएगा कि एक ही मूल्यवर्ग के बैंक नोटों पर अलग-अलग बैंकनोट नंबर हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। खैर, हम वेतन को सिक्कों में गिनते हैं - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं होती है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को आक्षेप में याद करना शुरू कर देगा: अलग सिक्केगंदगी की एक अलग मात्रा होती है, क्रिस्टल संरचना और प्रत्येक सिक्के के परमाणुओं की व्यवस्था अद्वितीय होती है...
और अब मेरे पास सबसे ब्याज पूछो: वह सीमा कहाँ है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व समुच्चय के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ शेमस द्वारा तय किया जाता है, यहां विज्ञान भी करीब नहीं है।
यहाँ देखो। हम समान क्षेत्र वाले फुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। खेतों का क्षेत्रफल समान है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम उन्हीं स्टेडियमों के नामों पर विचार करें तो हमें बहुत कुछ मिलता है, क्योंकि नाम अलग-अलग होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक ही समय में एक सेट और एक मल्टीसेट दोनों है। कितना सही? और यहाँ गणितज्ञ-शमन-शुलर अपनी आस्तीन से एक तुरुप का इक्का निकालता है और हमें एक सेट या एक मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी मामले में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।
यह समझने के लिए कि आधुनिक शेमैन सेट थ्योरी के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से बांधते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको बिना किसी "एक पूरे के रूप में बोधगम्य" या "एक पूरे के रूप में बोधगम्य नहीं" के बिना दिखाऊंगा।
रविवार, 18 मार्च 2018
एक संख्या के अंकों का योग तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन वे उसके लिए शेमस हैं, अपने वंशजों को उनके कौशल और ज्ञान को सिखाने के लिए, अन्यथा शमां बस मर जाएंगे।
क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ खोजने का प्रयास करें। वह मौजूद नहीं है। गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिससे आप किसी भी संख्या के अंकों का योग ज्ञात कर सकें। आखिरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में, कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन शेमस इसे मूल रूप से कर सकते हैं।
आइए जानें कि दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, मान लें कि हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करना होगा? आइए क्रम में सभी चरणों पर विचार करें।
1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिखिए। हमने क्या किया है? हमने संख्या को एक संख्या ग्राफिक प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।
2. हमने एक प्राप्त तस्वीर को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काट दिया। चित्र काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।
3. अलग-अलग ग्राफिक वर्णों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।
4. परिणामी संख्याओं को जोड़ें। अब वह गणित है।
संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले शेमस के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं। लेकिन वह सब नहीं है।
गणित की दृष्टि से इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में अंक लिखते हैं। तो, में विभिन्न प्रणालियाँगणना करने पर एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। 12345 की एक बड़ी संख्या के साथ, मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, लेख से 26 नंबर पर विचार करें। आइए इस नंबर को बाइनरी, ऑक्टल, डेसीमल और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम में लिखें। हम माइक्रोस्कोप के तहत प्रत्येक चरण पर विचार नहीं करेंगे, हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइए परिणाम देखें।
जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह ऐसा है जैसे किसी आयत का क्षेत्रफल मीटर और सेंटीमीटर में ज्ञात करना आपको पूरी तरह से अलग परिणाम देगा।
सभी संख्या प्रणालियों में शून्य समान दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है कि . गणितज्ञों के लिए एक प्रश्न: गणित में यह कैसे दर्शाया जाता है कि जो एक संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए, संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? शेमस के लिए, मैं इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए, नहीं। वास्तविकता केवल संख्या के बारे में नहीं है।
प्राप्त परिणाम को इस बात का प्रमाण माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणाली संख्याओं के मापन की इकाइयाँ हैं। आखिरकार, हम माप की विभिन्न इकाइयों के साथ संख्याओं की तुलना नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा के माप की विभिन्न इकाइयों के साथ एक ही क्रिया की तुलना करने के बाद अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।
असली गणित क्या है? यह तब होता है जब गणितीय क्रिया का परिणाम संख्या के मूल्य, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।
आउच! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- जवान महिला! यह स्वर्ग में आरोहण पर आत्माओं की अनिश्चितकालीन पवित्रता का अध्ययन करने के लिए एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर निंबस और ऊपर तीर। और क्या शौचालय?
महिला... शीर्ष पर एक प्रभामंडल और नीचे एक तीर नर है।
यदि आपके पास दिन में कई बार आपकी आंखों के सामने चमकती डिजाइन कला का ऐसा काम है,
तब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आप अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन पाते हैं:
व्यक्तिगत रूप से, मैं अपने आप को एक शिकार करने वाले व्यक्ति (एक तस्वीर) में शून्य से चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं (कई चित्रों की संरचना: ऋण चिह्न, संख्या चार, डिग्री पदनाम)। और मैं इस लड़की को मूर्ख नहीं मानता जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों की धारणा का एक चाप स्टीरियोटाइप है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है।
1A "माइनस फोर डिग्री" या "वन ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में "पोपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। वे लोग जो लगातार इस संख्या प्रणाली में काम करते हैं, स्वचालित रूप से संख्या और अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में देखते हैं।