एक विमान पर सीधी रेखा के साथ सबसे सरल समस्याएँ। रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था। रेखाओं के बीच का कोण। प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण: परिभाषा, खोजने के उदाहरण

परिभाषा।यदि दो रेखाएँ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 दी हों, तो तेज़ कोनेइन पंक्तियों के बीच परिभाषित किया जाएगा

दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि k 1 = k 2 । दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि k 1 = -1/ k 2 ।

प्रमेय।सीधी रेखाएँ Ax + Vy + C \u003d 0 और A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 समानांतर हैं जब गुणांक A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB आनुपातिक हैं। यदि С 1 = λС भी है, तो रेखाएँ संपाती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

इस रेखा के लंबवत

परिभाषा।बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली रेखा और रेखा y \u003d kx + b के लंबवत समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी

प्रमेय।यदि एक बिंदु M(x 0, y 0) दिया गया है, तो रेखा की दूरी Ax + Vy + C \u003d 0 के रूप में परिभाषित की गई है

.

सबूत।मान लें कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई रेखा पर गिराए गए लंब का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

(1)

x 1 और y 1 निर्देशांकों को समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण एक सीधी रेखा का समीकरण है जो गुजरता है दिया गया बिंदु M 0 किसी दी गई रेखा के लंबवत है। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को रूप में बदलते हैं:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

तब, हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

इन भावों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण. रेखाओं के बीच का कोण निर्धारित करें: y = -3 x + 7; वाई = 2 एक्स + 1।

के 1 \u003d -3; के2 = 2; टीजीφ = ; φ= पी /4।

उदाहरण. दिखाएं कि रेखाएं 3x - 5y + 7 = 0 और 10x + 6y - 3 = 0 लंबवत हैं।

समाधान. हम पाते हैं: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण. त्रिभुज के शीर्ष A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई के लिए समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम भुजा AB का समीकरण ज्ञात करते हैं: ; 4 एक्स = 6 वाई - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

वांछित ऊँचाई का समीकरण है: Ax + By + C = 0 या y = kx + b। कश्मीर =। फिर वाई =। इसलिये ऊँचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: जहां से बी = 17. कुल:।

उत्तर: 3x + 2y - 34 = 0।

किसी दिए गए दिशा में दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण। दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण। दो रेखाओं के बीच का कोण। समानांतरता और दो रेखाओं की लंबता की स्थिति। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , वाई 1) किसी दिए गए दिशा में, ढलान द्वारा निर्धारित क,

वाई - वाई 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण एक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की एक पेंसिल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , वाई 1), जिसे बीम का केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , वाई 1) और बी(एक्स 2 , वाई 2) इस प्रकार लिखा जाता है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण एतथा बीवह कोण है जिससे पहली सीधी रेखा को घुमाया जाना चाहिए एइन रेखाओं के चौराहे के बिंदु के चारों ओर वामावर्त जब तक कि यह दूसरी पंक्ति के साथ मेल नहीं खाता बी. यदि ढलान समीकरणों द्वारा दो रेखाएँ दी गई हैं

वाई = क 1 एक्स + बी 1 ,

वाई = क 2 एक्स + बी 2 , (4)

तो उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अंश के अंश में, पहली सीधी रेखा का ढलान दूसरी सीधी रेखा के ढलान से घटाया जाता है।

यदि एक सीधी रेखा के समीकरण दिए गए हैं सामान्य दृष्टि से

ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0,

ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 = 0, (6)

उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

4. दो रेखाओं की समानता के लिए शर्तें:

a) यदि रेखाएँ समीकरणों (4) द्वारा ढलान के साथ दी गई हैं, तो उनकी समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति उनके ढलानों की समानता है:

क 1 = क 2 . (8)

बी) उस स्थिति के लिए जब सामान्य रूप (6) में समीकरणों द्वारा लाइनें दी जाती हैं, उनके समानांतरवाद के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनके समीकरणों में संबंधित वर्तमान निर्देशांक पर गुणांक आनुपातिक हैं, अर्थात।

5. दो रेखाओं के लंबवत होने की शर्तें:

क) इस मामले में जब रेखाएँ समीकरणों (4) द्वारा ढलान के साथ दी जाती हैं, तो उनकी लंबवतता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि वे ढलान कारकपरिमाण में व्युत्क्रम हैं और संकेत में विपरीत हैं, अर्थात

इस स्थिति को रूप में भी लिखा जा सकता है

क 1 क 2 = -1. (11)

ख) यदि सीधी रेखाओं के समीकरण सामान्य रूप (6) में दिए गए हैं, तो उनकी लंबवतता (आवश्यक और पर्याप्त) की समानता को पूरा करने की शर्त है

ए 1 ए 2 + बी 1 बी 2 = 0. (12)

6. समीकरणों की प्रणाली (6) को हल करके दो रेखाओं के चौराहे के बिंदु के निर्देशांक पाए जाते हैं। रेखाएँ (6) यदि और केवल यदि प्रतिच्छेद करती हैं

1. बिंदु M से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण लिखिए, जिनमें से एक दी गई रेखा l के समानांतर और दूसरी लंबवत है।

गणित की परीक्षा की तैयारी कर रहे प्रत्येक छात्र के लिए "रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना" विषय को दोहराना उपयोगी होगा। जैसा कि आँकड़े दिखाते हैं, प्रमाणन परीक्षण पास करते समय, स्टीरियोमेट्री के इस खंड में कार्य कठिनाइयाँ पैदा करते हैं एक बड़ी संख्या मेंछात्र। साथ ही, सीधी रेखाओं के बीच कोण खोजने की आवश्यकता वाले कार्य यूएसई में बुनियादी और प्रोफ़ाइल दोनों स्तरों पर पाए जाते हैं। इसका मतलब है कि हर किसी को उन्हें हल करने में सक्षम होना चाहिए।

बुनियादी क्षण

अंतरिक्ष में रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था 4 प्रकार की होती है। वे संयोग कर सकते हैं, प्रतिच्छेद कर सकते हैं, समानांतर या प्रतिच्छेद कर सकते हैं। उनके बीच का कोण तीव्र या सीधा हो सकता है।

एकीकृत राज्य परीक्षा में लाइनों के बीच के कोण को खोजने के लिए या, उदाहरण के लिए, समाधान में, मास्को और अन्य शहरों में स्कूली बच्चे स्टीरियोमेट्री के इस खंड में समस्याओं को हल करने के लिए कई तरीकों का उपयोग कर सकते हैं। आप शास्त्रीय निर्माणों द्वारा कार्य को पूरा कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, यह स्टीरियोमेट्री के मूल सिद्धांतों और प्रमेयों को सीखने लायक है। कार्य को एक समतलमितीय समस्या में लाने के लिए छात्र को तार्किक रूप से तर्क करने और चित्र बनाने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

आप आवेदन करके वेक्टर-समन्वय विधि का भी उपयोग कर सकते हैं सरल सूत्र, नियम और एल्गोरिदम। इस मामले में मुख्य बात सभी गणनाओं को सही ढंग से करना है। शकोल्कोवो शैक्षिक परियोजना आपको रूढ़िवादिता और स्कूल पाठ्यक्रम के अन्य वर्गों में समस्याओं को हल करने में अपने कौशल को सुधारने में मदद करेगी।

अनुदेश

टिप्पणी

अवधि त्रिकोणमितीय समारोहस्पर्शरेखा 180 डिग्री के बराबर है, जिसका अर्थ है कि सीधी रेखाओं के झुकाव के कोण इस मान से अधिक नहीं हो सकते हैं।

उपयोगी सलाह

यदि ढलान गुणांक एक दूसरे के बराबर हैं, तो ऐसी रेखाओं के बीच का कोण 0 है, क्योंकि ऐसी रेखाएँ या तो मेल खाती हैं या समानांतर हैं।

क्रॉसिंग लाइनों के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए, चौराहे पर समानांतर स्थानांतरण की विधि द्वारा दोनों लाइनों (या उनमें से एक) को एक नई स्थिति में स्थानांतरित करना आवश्यक है। उसके बाद, आपको परिणामी प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करना चाहिए।

आपको चाहिये होगा

• शासक, सही त्रिकोण, पेंसिल, प्रोट्रैक्टर।

अनुदेश

तो, सदिश V = (a, b, c) और समतल A x + B y + C z = 0 दिया जाए, जहाँ A, B और C सामान्य N के निर्देशांक हैं। फिर कोण की कोज्या α वैक्टर V और N के बीच है: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))।

डिग्री या रेडियन में कोण के मान की गणना करने के लिए, आपको परिणामी अभिव्यक्ति से कोसाइन के व्युत्क्रम फ़ंक्शन की गणना करने की आवश्यकता है, अर्थात। आर्ककोसाइन: α \u003d आर्ककोस ((ए ए + बी बी + सी सी) / (√ (ए² + बी² + सी²) √ (ए² + बी² + सी²)))।

उदाहरण: खोजो कोनाके बीच वेक्टर(5, -3, 8) और विमान, दिया गया सामान्य समीकरण 2 x - 5 y + 3 z = 0. हलः समतल N = (2, -5, 3) के सामान्य सदिश के निर्देशांक लिखिए। उपरोक्त सूत्र में सभी ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°।

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एक सीधी रेखा जिसमें एक वृत्त है आम बात, वृत्त की स्पर्श रेखा है। स्पर्शरेखा की एक और विशेषता यह है कि यह हमेशा स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत होती है, यानी स्पर्शरेखा और त्रिज्या एक सीधी रेखा बनाते हैं कोना. यदि वृत्त AB और AC पर दो स्पर्श रेखाएँ एक बिंदु A से खींची जाएँ, तो वे सदैव एक दूसरे के बराबर होती हैं। स्पर्शरेखाओं के बीच कोण की परिभाषा ( कोना ABC) पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके निर्मित किया गया है।

अनुदेश

कोण निर्धारित करने के लिए, आपको वृत्त OB और OS की त्रिज्या और वृत्त के केंद्र से स्पर्शरेखा की उत्पत्ति के बिंदु की दूरी - O जानने की आवश्यकता है। इसलिए, कोण ABO और ACO बराबर हैं, त्रिज्या OB , उदाहरण के लिए, 10 सेमी, और वृत्त AO के केंद्र की दूरी 15 सेमी है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार सूत्र द्वारा स्पर्शरेखा की लंबाई निर्धारित करें: AB = वर्गमूल AO2 से - OB2 या 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

अंतरिक्ष में रेखाएँ दी जाएँ एलतथा एम. अंतरिक्ष के किसी बिंदु A से होकर हम सीधी रेखाएँ खींचते हैं एल 1 || एलतथा एम 1 || एम(चित्र। 138)।

ध्यान दें कि बिंदु A को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है, विशेष रूप से, यह दी गई रेखाओं में से किसी एक पर स्थित हो सकता है। अगर सीधा एलतथा एमप्रतिच्छेद करते हैं, तो A को इन रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु के रूप में लिया जा सकता है ( एल 1 = एलतथा एम 1 = म).

असमांतर रेखाओं के बीच का कोण एलतथा एमसीधी रेखाओं को प्रतिच्छेद करने से बनने वाले आसन्न कोणों में से सबसे छोटा मान है एल 1 तथा एम 1 (एल 1 || एल, एम 1 || एम). समानांतर रेखाओं के बीच का कोण शून्य माना जाता है।

रेखाओं के बीच का कोण एलतथा एम\(\widehat((l;m)) \) द्वारा चिह्नित। परिभाषा से यह इस प्रकार है कि यदि इसे डिग्री में मापा जाता है, तो 0 ° < \(\वाइडहाट((एल;एम)) \) < 90°, और यदि रेडियन में है, तो 0 < \(\वाइडहाट((एल;एम)) \) < π / 2 .

एक कार्य।घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 दिया गया है (चित्र 139)।

सीधी रेखाओं AB और DC 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

सीधे एबी और डीसी 1 क्रॉसिंग। चूँकि रेखा DC, रेखा AB के समांतर है, परिभाषा के अनुसार, रेखाओं AB और DC 1 के बीच का कोण \(\widehat(C_(1)DC)\) के बराबर है।

इसलिए \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

प्रत्यक्ष एलतथा एमबुलाया सीधा, अगर \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. उदाहरण के लिए, घन में

रेखाओं के बीच के कोण की गणना।

अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना करने की समस्या उसी तरह हल हो जाती है जैसे कि विमान में। रेखाओं के बीच के कोण को φ से निरूपित करें एल 1 तथा एल 2 , और ψ के माध्यम से - दिशा वैक्टर के बीच का कोण एक तथा बी ये सीधी रेखाएँ।

तो अगर

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (चित्र 206.6), तो φ = 180° - ψ। यह स्पष्ट है कि दोनों स्थितियों में समानता cos φ = |cos ψ| सत्य है। सूत्र के अनुसार (गैर-शून्य वैक्टर ए और बी के बीच कोण का कोसाइन बराबर है डॉट उत्पादइन सदिशों को उनकी लंबाई के गुणनफल से विभाजित करने पर) हमारे पास है

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

फलस्वरूप,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

लाइनों को अपने द्वारा दिया जाने दें विहित समीकरण

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; तथा \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

फिर सूत्र का उपयोग करके रेखाओं के बीच का कोण φ निर्धारित किया जाता है

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

यदि कोई एक रेखा (या दोनों) गैर-कैनोनिकल समीकरणों द्वारा दी गई है, तो कोण की गणना करने के लिए, आपको इन पंक्तियों के दिशा वैक्टर के निर्देशांक खोजने की आवश्यकता है, और फिर सूत्र (1) का उपयोग करें।

कार्य 1।रेखाओं के बीच कोण की गणना करें

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;and\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

सीधी रेखाओं के दिशात्मक वैक्टर में निर्देशांक होते हैं:

ए \u003d (-√2; √2; -2), बी = (√3 ; √3 ; √6 ).

सूत्र (1) से हम पाते हैं

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

अत: इन रेखाओं के बीच का कोण 60° है।

कार्य 2।रेखाओं के बीच कोण की गणना करें

$$ \begin(मामलों)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(मामलों) और \begin(मामलों)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(मामले) $$

गाइड वेक्टर के पीछे एक पहली पंक्ति लो वेक्टर उत्पादसामान्य वैक्टर एन 1 = (3; 0; -12) और एन 2 = (1; 1; -3) तल इस रेखा को परिभाषित करते हैं। सूत्र \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) से हम पाते हैं

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

इसी तरह, हम दूसरी सीधी रेखा की दिशा सदिश पाते हैं:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

लेकिन सूत्र (1) वांछित कोण के कोसाइन की गणना करता है:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

अत: इन रेखाओं के बीच का कोण 90° होता है।

कार्य 3।त्रिकोणीय पिरामिड MAVS में, किनारे MA, MB और MC परस्पर लंबवत हैं, (चित्र। 207);

उनकी लंबाई क्रमशः 4, 3, 6 के बराबर है। बिंदु D मध्य [MA] है। रेखाओं CA और DB के बीच का कोण φ ज्ञात कीजिए।

बता दें कि SA और DB रेखाओं SA और DB के दिशा सदिश हैं।

आइए बिंदु M को निर्देशांक की उत्पत्ति के रूप में लें। कार्य की स्थिति से, हमारे पास ए (4; 0; 0), बी (0; 0; 3), सी (0; 6; 0), डी (2; 0; 0) है। इसलिए \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). हम सूत्र (1) का उपयोग करते हैं:

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

कोसाइन की तालिका के अनुसार, हम पाते हैं कि सीधी रेखाओं CA और DB के बीच का कोण लगभग 72 ° है।

एक। दो रेखाएँ दी गई हैं। ये रेखाएँ, जैसा कि अध्याय 1 में बताया गया था, विभिन्न धनात्मक और ऋणात्मक कोण बनाती हैं, जो न्यून या अधिक कोण हो सकते हैं। इनमें से किसी एक कोण को जानकर हम कोई दूसरा कोण आसानी से खोज सकते हैं।

वैसे तो इन सभी कोणों के लिए स्पर्श रेखा का अंकीय मान समान होता है, अन्तर केवल चिह्न में हो सकता है।

रेखाओं के समीकरण। संख्याएँ पहली और दूसरी पंक्तियों के निर्देशक सदिशों के अनुमान हैं। इन सदिशों के बीच का कोण सीधी रेखाओं द्वारा निर्मित कोणों में से एक के बराबर है। इसलिए, सदिशों के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए समस्या कम हो जाती है, हम प्राप्त करते हैं

सरलता के लिए, हम एक न्यून धनात्मक कोण को समझने के लिए दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण पर सहमत हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, चित्र 53 में)।

तब इस कोण की स्पर्श रेखा सदैव धनात्मक होगी। इस प्रकार, यदि सूत्र (1) के दाईं ओर एक ऋण चिह्न प्राप्त होता है, तो हमें इसे त्याग देना चाहिए, अर्थात केवल निरपेक्ष मान रखना चाहिए।

उदाहरण। रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

सूत्र (1) द्वारा हमारे पास है

साथ। यदि यह इंगित किया जाता है कि कोण की कौन सी भुजा इसकी शुरुआत है और कौन सी इसका अंत है, तो हमेशा कोण की दिशा को वामावर्त गिनते हुए, हम सूत्रों (1) से कुछ और निकाल सकते हैं। जैसा कि चित्र से देखना आसान है। 53 सूत्र के दाईं ओर प्राप्त चिह्न (1) इंगित करेगा कि कौन सा - तीव्र या अधिक - कोण पहली के साथ दूसरी पंक्ति बनाता है।

(वास्तव में, चित्र 53 से हम देखते हैं कि पहली और दूसरी दिशा के वैक्टर के बीच का कोण या तो रेखाओं के बीच के वांछित कोण के बराबर है, या उससे ± 180° भिन्न है।)

डी। यदि रेखाएँ समांतर हैं, तो उनकी दिशा सदिश भी समांतर हैं।दो सदिशों के समांतरता की स्थिति को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं!

दो रेखाओं के समानांतर होने के लिए यह एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।

उदाहरण। प्रत्यक्ष

समानांतर हैं क्योंकि

इ। यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो उनकी दिशा सदिश भी लंबवत हैं। दो सदिशों की लंबवतता की स्थिति को लागू करते हुए, हम दो रेखाओं की लंबवतता की स्थिति प्राप्त करते हैं, अर्थात्

उदाहरण। प्रत्यक्ष

लंबवत क्योंकि

समांतरता और लंबवतता की शर्तों के संबंध में, हम निम्नलिखित दो समस्याओं को हल करेंगे।

एफ। किसी बिंदु से होकर किसी रेखा के समानांतर एक रेखा खींचिए

निर्णय इस प्रकार किया जाता है। चूंकि वांछित रेखा दिए गए एक के समानांतर है, तो इसके निर्देशन वेक्टर के लिए हम दी गई रेखा के समान ही ले सकते हैं, अर्थात, प्रक्षेपण ए और बी के साथ एक वेक्टर और फिर वांछित रेखा का समीकरण लिखा जाएगा रूप में (§ 1)

उदाहरण। एक सीधी रेखा के समानांतर एक बिंदु (1; 3) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण

अगला होगा!

जी। दी गई रेखा के लम्बवत बिंदु से एक रेखा खींचिए

यहां, अनुमान ए के साथ एक वेक्टर और एक निर्देशन वेक्टर के रूप में लेना अब उपयुक्त नहीं है, लेकिन इसके लिए एक वेक्टर लंबवत जीतना आवश्यक है। इसलिए इस सदिश के अनुमानों को इस शर्त के अनुसार चुना जाना चाहिए कि दोनों सदिश लंबवत हैं, यानी शर्त के अनुसार

इस स्थिति को अनंत तरीकों से पूरा किया जा सकता है, क्योंकि यहां दो अज्ञात के साथ एक समीकरण है। लेकिन इसे लेने का सबसे आसान तरीका है। फिर वांछित रेखा का समीकरण फॉर्म में लिखा जाएगा।

उदाहरण। एक लंब रेखा में एक बिंदु (-7; 2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

निम्नलिखित होगा (दूसरे सूत्र के अनुसार)!

एच। उस स्थिति में जब रेखाएँ प्रपत्र के समीकरणों द्वारा दी गई हों