जटिल अंशों को कैसे जोड़ें। भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव। साधारण भिन्नों का जोड़ और घटाव

यह पाठ जोड़ और घटाव को कवर करेगा। बीजीय भिन्नसाथ विभिन्न भाजक. हम पहले से ही जानते हैं कि विभिन्न हरों के साथ सामान्य भिन्नों को कैसे जोड़ना और घटाना है। ऐसा करने के लिए, अंशों को एक सामान्य हर में कम किया जाना चाहिए। यह पता चला है कि बीजीय अंश समान नियमों का पालन करते हैं। उसी समय, हम पहले से ही जानते हैं कि बीजीय अंशों को एक सामान्य हर में कैसे कम किया जाए। भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ना और घटाना 8वीं कक्षा के पाठ्यक्रम में सबसे महत्वपूर्ण और कठिन विषयों में से एक है। इसके अलावा, यह विषय बीजगणित पाठ्यक्रम के कई विषयों में मिलेगा, जिसका आप भविष्य में अध्ययन करेंगे। पाठ के भाग के रूप में, हम विभिन्न हरों के साथ बीजीय भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियमों का अध्ययन करेंगे, साथ ही कई विशिष्ट उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे।

के लिए सबसे सरल उदाहरण पर विचार करें साधारण अंश.

उदाहरण 1अंश जोड़ें:।

समाधान:

भिन्नों को जोड़ने का नियम याद रखें। आरंभ करने के लिए, भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए। साधारण भिन्नों के लिए सामान्य भाजक है आम एकाधिक(LCM) मूल हरों का।

परिभाषा

कम से कम प्राकृतिक संख्या, जो संख्याओं और से एक साथ विभाज्य है।

एलसीएम को खोजने के लिए, हर को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना आवश्यक है, और फिर उन सभी अभाज्य कारकों का चयन करें जो दोनों हर के विस्तार में शामिल हैं।

; . फिर संख्याओं के LCM में दो 2s और दो 3s शामिल होने चाहिए: .

उभयनिष्ठ हर को खोजने के बाद, प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजना आवश्यक है (वास्तव में, समान भाजक को संगत भिन्न के हर से विभाजित करें)।

फिर प्रत्येक अंश को परिणामी अतिरिक्त कारक से गुणा किया जाता है। भिन्न से प्राप्त होते हैं एक ही भाजक, जोड़ और घटाना जो हमने पिछले पाठों में सीखा था।

हम पाते हैं: .

उत्तर:.

अब विभिन्न हरों वाली बीजीय भिन्नों को जोड़ने पर विचार करें। पहले उन भिन्नों पर विचार करें जिनके हर संख्याएँ हैं।

उदाहरण 2अंश जोड़ें:।

समाधान:

समाधान एल्गोरिथ्म बिल्कुल पिछले उदाहरण के समान है। इन भिन्नों के लिए एक सामान्य भाजक खोजना आसान है: और उनमें से प्रत्येक के लिए अतिरिक्त कारक।

.

उत्तर:.

तो चलिए बनाते हैं विभिन्न हरों के साथ बीजीय अंशों को जोड़ने और घटाने के लिए एल्गोरिथ्म:

1. भिन्नों का सबसे छोटा उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए।

2. प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड ज्ञात कीजिए (इस भिन्न के हर द्वारा सामान्य हर को विभाजित करके)।

3. अंशों को उपयुक्त अतिरिक्त कारकों से गुणा करें।

4. समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियमों का उपयोग करके भिन्नों को जोड़ें या घटाएं।

अब एक ऐसे उदाहरण पर विचार करें जिसमें हर में भिन्न हों, जिनमें से शाब्दिक व्यंजक हों।

उदाहरण 3अंश जोड़ें:।

समाधान:

चूँकि दोनों हर में शाब्दिक व्यंजक समान हैं, इसलिए आपको संख्याओं के लिए एक उभयनिष्ठ भाजक ढूँढ़ना चाहिए। अंतिम आम भाजक इस तरह दिखेगा: . तो इस उदाहरण का समाधान है:

उत्तर:.

उदाहरण 4अंशों को घटाना: .

समाधान:

यदि आप एक सामान्य भाजक का चयन करते समय "धोखा" नहीं दे सकते (आप इसका कारक नहीं बना सकते हैं या संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग नहीं कर सकते हैं), तो आपको एक सामान्य भाजक के रूप में दोनों अंशों के हर के उत्पाद को लेना होगा।

उत्तर:.

सामान्य तौर पर, ऐसे उदाहरणों को हल करते समय, सबसे कठिन कार्य एक सामान्य भाजक को खोजना होता है।

आइए एक अधिक जटिल उदाहरण देखें।

उदाहरण 5सरल करें:।

समाधान:

एक सामान्य भाजक को खोजते समय, आपको पहले मूल भिन्नों के हरों को गुणनखंडित करने का प्रयास करना चाहिए (सामान्य भाजक को सरल बनाने के लिए)।

इस विशेष मामले में:

फिर सामान्य भाजक को निर्धारित करना आसान है: .

हम अतिरिक्त कारक निर्धारित करते हैं और इस उदाहरण को हल करते हैं:

उत्तर:.

अब हम भिन्न हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियम निर्धारित करेंगे।

उदाहरण 6सरल करें:।

समाधान:

उत्तर:.

उदाहरण 7सरल करें:।

समाधान:

.

उत्तर:.

अब एक उदाहरण पर विचार करें जिसमें दो नहीं, बल्कि तीन भिन्न जोड़े जाते हैं (आखिरकार, जोड़ और घटाव के नियम अधिकअंश समान रहते हैं)।

उदाहरण 8सरल करें:।

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने के मुद्दे का अध्ययन स्कूल के विषय बीजगणित; आठवीं कक्षा में और कभी-कभी बच्चों को समझना मुश्किल हो जाता है। भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग करें:

भिन्नों को घटाने की प्रक्रिया जोड़ के समान है, क्योंकि यह पूरी तरह से क्रिया के सिद्धांत की नकल करती है।

सबसे पहले, हम सबसे छोटी संख्या की गणना करते हैं जो एक और दूसरे भाजक दोनों का गुणज है।

दूसरे, हम प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को एक निश्चित संख्या से गुणा करते हैं, जो हमें हर को दिए गए न्यूनतम सामान्य हर में लाने की अनुमति देगा।

तीसरा, घटाव प्रक्रिया स्वयं होती है, जब, परिणामस्वरूप, हर को दोहराया जाता है, और दूसरे अंश का अंश पहले से घटाया जाता है।

उदाहरण: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 पूर्णांक 1/6

पहले आपको उन्हें एक ही हर में लाना होगा, और फिर उन्हें घटाना होगा। उदाहरण के लिए, 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4। या, कठिन, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15। क्या आपको यह समझाने की ज़रूरत है कि भिन्नों को एक सामान्य हर में कैसे घटाया जाता है?

विभिन्न हरों के साथ साधारण अंशों को जोड़ने या घटाने जैसे संचालन में, एक साधारण नियम लागू होता है - इन अंशों के हर को एक संख्या में घटा दिया जाता है, और ऑपरेशन स्वयं अंश में संख्याओं के साथ किया जाता है। यही है, भिन्नों को एक सामान्य भाजक मिलता है और वे एक में संयुक्त प्रतीत होते हैं। मनमाना अंशों के लिए एक आम भाजक ढूँढना आमतौर पर दूसरे अंश के हर द्वारा प्रत्येक अंश को गुणा करने के लिए नीचे आता है। लेकिन सरल मामलों में, आप तुरंत ऐसे कारक ढूंढ सकते हैं जो भिन्नों के हरों को समान संख्या में लाएंगे।

भिन्न घटाव उदाहरण: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21

कई वयस्क पहले ही भूल चुके हैं भिन्न हर के साथ भिन्नों को कैसे घटाएं, लेकिन यह क्रिया प्राथमिक गणित से संबंधित है।

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाना, आपको उन्हें एक सामान्य हर में लाने की आवश्यकता है, अर्थात, हर के सबसे छोटे सामान्य गुणकों को खोजें, फिर अंशों को कम से कम सामान्य गुणक और हर के अनुपात के बराबर अतिरिक्त कारकों से गुणा करें।

अंशों के संकेत संरक्षित हैं। भिन्नों के हर के समान होने के बाद, आप घटा सकते हैं, और फिर, यदि संभव हो, तो भिन्न को घटा सकते हैं।

ऐलेना, क्या आपने स्कूल गणित के पाठ्यक्रम को दोहराने का फैसला किया?)))

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, उन्हें पहले एक ही हर में घटाया जाना चाहिए, और फिर घटाया जाना चाहिए। सबसे आसान विकल्प: पहली भिन्न के अंश और हर को दूसरी भिन्न के हर से गुणा करें, और दूसरी भिन्न के अंश और हर को पहले भिन्न के हर से गुणा करें। समान हर वाले दो भिन्न प्राप्त करें। अब हम पहली भिन्न के अंश में से दूसरी भिन्न का अंश घटाते हैं, और उनका हर समान होता है।

उदाहरण के लिए, तीन पांचवां घटा दो सातवां, इक्कीस पैंतीसवें घटाए गए दस पैंतीसवें के बराबर है और यह ग्यारह पैंतीसवें के बराबर है।

यदि हर बड़ी संख्या है, तो आप उनका सबसे छोटा सार्व गुणक ज्ञात कर सकते हैं, अर्थात्। एक संख्या जो एक और दूसरे हर दोनों से विभाज्य होगी। और दोनों भिन्नों को एक सामान्य हर (कम से कम सामान्य गुणक) में लाएं

भिन्न हर के साथ भिन्नों को कैसे घटाना है कार्य बहुत सरल है - हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं और फिर अंश में घटाव करते हैं।

इन भिन्नों के आगे पूर्णांक होने पर बहुत से लोगों को कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है, इसलिए मैं यह दिखाना चाहता था कि निम्नलिखित उदाहरण के साथ यह कैसे करना है:

एक पूर्णांक भाग और भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव

पहले हम पूरे भागों को घटाते हैं 8-5 = 3 (तीन बार पहले अंश के पास रहता है);

हम भिन्नों को एक सामान्य हर 6 में लाते हैं (यदि पहले अंश का अंश दूसरे से बड़ा है, तो हम घटाते हैं और पूर्णांक भाग के पास लिखते हैं, हमारे मामले में हम आगे बढ़ते हैं);

हम पूर्णांक भाग 3 को 2 और 1 में विघटित करते हैं;

1 को भिन्न 6/6 के रूप में लिखा जाता है;

6/6+3/6-4/6 हम आम भाजक 6 के नीचे लिखते हैं और अंश में क्रिया करते हैं;

पाया परिणाम 2 5/6 लिखिए।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि भिन्नों को घटाया जाता है यदि उनका हर समान हो। इसलिए, जब हमारे पास अलग-अलग हरों के साथ भिन्न होते हैं, तो उन्हें केवल एक सामान्य हर में लाया जाना चाहिए, जो करना मुश्किल नहीं है। हमें बस प्रत्येक भिन्न के अंश का गुणनखंड करना है और सबसे छोटे सामान्य गुणज की गणना करनी है, जो शून्य नहीं होना चाहिए। प्राप्त अतिरिक्त कारकों से अंशों को गुणा करना न भूलें, लेकिन यहां सुविधा के लिए एक उदाहरण दिया गया है:



यदि आप भिन्न हर वाले भिन्नों को घटाना चाहते हैं, तो पहले आपको इन दोनों भिन्नों के लिए एक उभयनिष्ठ हर खोजना होगा। और फिर पहले भिन्न के अंश में से दूसरा घटाएं। यह एक नया अंश निकलता है, एक नए मूल्य के साथ।

जहाँ तक मुझे तीसरी कक्षा के गणित के पाठ्यक्रम से याद है, भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, आपको पहले सामान्य भाजक की गणना करने और उसे लाने की आवश्यकता है, और फिर अंशों को एक दूसरे से घटाया जाता है और हर समान रहता है।

भिन्न हर वाले भिन्नों को घटाने के लिए, हमें सबसे पहले इन भिन्नों का सबसे छोटा उभयनिष्ठ हर ज्ञात करना होगा।

आइए एक उदाहरण देखें:



बड़ी संख्या 25 को छोटे 20 से भाग दें। विभाज्य नहीं है। इसलिए हम हर 25 को ऐसी संख्या से गुणा करते हैं कि परिणामी योग को 20 से विभाजित किया जा सके। यह संख्या 4 होगी। 25x4 \u003d 100। 100:20=5. इस प्रकार, हमें सबसे छोटा आम भाजक - 100 मिला।

अब हमें प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम नए भाजक को पुराने से विभाजित करते हैं।

9 को 4 = 36 से गुणा करें। 7 को 5 = 35 से गुणा करें।

एक सामान्य भाजक होने पर, हम घटाते हैं, जैसा कि उदाहरण में दिखाया गया है, और परिणाम प्राप्त करते हैं।

भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को समझना एक बच्चे के लिए कठिन होता है। ज्यादातर लोगों को दिक्कत होती है। "पूर्णांक के साथ भिन्नों का जोड़" विषय का अध्ययन करते समय, बच्चा स्तब्ध हो जाता है, जिससे कार्य को हल करना मुश्किल हो जाता है। कई उदाहरणों में, किसी क्रिया को करने से पहले गणनाओं की एक श्रृंखला की जानी चाहिए। उदाहरण के लिए, भिन्नों को रूपांतरित करें या अनुवाद करें अनुचित अंशसही को।

बच्चे को स्पष्ट रूप से समझाएं। तीन सेब लें, जिनमें से दो पूरे होंगे, और तीसरे को 4 भागों में काटा जाएगा। कटे हुए सेब से एक टुकड़ा अलग करें, और शेष तीन को दो साबुत फलों के बगल में रख दें। हमें एक तरफ सेब और दूसरी तरफ 2 मिलते हैं। अगर हम उन्हें मिला दें, तो हमें तीन पूरे सेब मिलते हैं। आइए 2 सेब को ¼ से कम करने का प्रयास करें, यानी, एक और टुकड़ा हटा दें, हमें 2 2/4 सेब मिलते हैं।

आइए भिन्नों वाली क्रियाओं पर करीब से नज़र डालें, जिनमें पूर्णांक शामिल हैं:

सबसे पहले, आइए एक सामान्य हर के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के लिए गणना नियम को याद करें:

पहली नज़र में, सब कुछ आसान और सरल है। लेकिन यह केवल उन अभिव्यक्तियों पर लागू होता है जिन्हें रूपांतरण की आवश्यकता नहीं होती है।

एक व्यंजक का मान कैसे ज्ञात करें जहाँ हर भिन्न हो

कुछ कार्यों में, एक व्यंजक का मान ज्ञात करना आवश्यक होता है जहाँ हर भिन्न हो। एक विशिष्ट मामले पर विचार करें:
3 2/7+6 1/3

इस व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए, इसके लिए हम दो भिन्नों के लिए एक उभयनिष्ठ हर पाते हैं।

संख्या 7 और 3 के लिए, यह 21 है। हम पूर्णांक भागों को समान छोड़ देते हैं, और भिन्नात्मक भागों को घटाकर 21 कर देते हैं, इसके लिए हम पहली भिन्न को 3 से गुणा करते हैं, दूसरे को 7 से, हमें प्राप्त होता है:
6/21+7/21, यह मत भूलो कि पूरे हिस्से रूपांतरण के अधीन नहीं हैं। नतीजतन, हम एक भाजक के साथ दो अंश प्राप्त करते हैं और उनके योग की गणना करते हैं:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
क्या होगा यदि जोड़ का परिणाम एक अनुचित अंश है जिसमें पहले से ही एक पूर्णांक भाग है:
2 1/3+3 2/3
इस मामले में, हम पूर्णांक भागों और भिन्नात्मक भागों को जोड़ते हैं, हमें मिलता है:
5 3/3, जैसा कि आप जानते हैं, 3/3 एक है, इसलिए 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

योग खोजने के साथ, सब कुछ स्पष्ट है, आइए घटाव का विश्लेषण करें:

जो कुछ कहा गया है, उससे मिश्रित संख्याओं पर संचालन का नियम इस प्रकार है, जो इस तरह लगता है:

• यदि भिन्नात्मक व्यंजक में से किसी पूर्णांक को घटाना आवश्यक हो, तो दूसरी संख्या को भिन्न के रूप में निरूपित करना आवश्यक नहीं है, यह केवल पूर्णांक भागों पर कार्य करने के लिए पर्याप्त है।

आइए भावों के मूल्य की गणना स्वयं करने का प्रयास करें:

आइए "एम" अक्षर के तहत उदाहरण पर करीब से नज़र डालें:

4 5/11-2 8/11, पहली भिन्न का अंश दूसरे से छोटा है। ऐसा करने के लिए, हम पहले भिन्न से एक पूर्णांक लेते हैं, हमें प्राप्त होता है,
3 5/11+11/11=3 पूरे 16/11, पहले अंश से दूसरा घटाएं:
3 16/11-2 8/11=1 संपूर्ण 8/11

• कार्य पूरा करते समय सावधान रहें, अनुचित अंशों को मिश्रित अंशों में परिवर्तित करना न भूलें, पूरे भाग को हाइलाइट करें। ऐसा करने के लिए, अंश के मान को हर के मान से विभाजित करना आवश्यक है, फिर जो हुआ वह पूर्णांक भाग की जगह लेता है, शेष अंश अंश होगा, उदाहरण के लिए:

19/4=4 , जाँच करें: 4*4+3=19, हर में 4 अपरिवर्तित रहता है।

संक्षेप:

भिन्नों से संबंधित कार्य के साथ आगे बढ़ने से पहले, यह विश्लेषण करना आवश्यक है कि यह किस प्रकार की अभिव्यक्ति है, समाधान के सही होने के लिए अंश पर कौन से परिवर्तन करने की आवश्यकता है। अधिक तर्कसंगत समाधान खोजें। कठिन रास्ते पर मत जाओ। सभी कार्यों की योजना बनाएं, पहले ड्राफ्ट संस्करण में निर्णय लें, फिर स्कूल नोटबुक में स्थानांतरित करें।

भिन्नात्मक व्यंजकों को हल करते समय भ्रम से बचने के लिए अनुक्रम नियम का पालन करना आवश्यक है। बिना जल्दबाजी के सब कुछ सावधानी से तय करें।

अंशों के साथ क्रियाएँ।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

तो, भिन्न क्या हैं, भिन्नों के प्रकार, परिवर्तन - हमें याद आया। आइए मुख्य प्रश्न से निपटें।

आप अंशों के साथ क्या कर सकते हैं?हाँ, सब कुछ सामान्य संख्याओं जैसा ही है। जोड़ें, घटाएं, गुणा करें, भाग दें।

इन सभी क्रियाओं के साथ दशमलवभिन्नों के साथ संक्रियाएं पूर्णांकों वाले संक्रियाओं से भिन्न नहीं होती हैं। असल में, यही वे दशमलव के लिए अच्छे हैं। केवल एक चीज यह है कि आपको अल्पविराम को सही ढंग से लगाने की जरूरत है।

मिश्रित संख्या, जैसा कि मैंने कहा, अधिकांश कार्यों के लिए बहुत कम उपयोग के हैं। उन्हें अभी भी साधारण अंशों में परिवर्तित करने की आवश्यकता है।

और यहाँ क्रियाओं के साथ हैं साधारण अंशहोशियार होगा। और भी बहुत कुछ महत्वपूर्ण! मैं तुम्हें याद दिलाना चाहता हूं: अक्षरों, ज्याओं, अज्ञात आदि के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाली सभी क्रियाएं और आगे भी सामान्य भिन्नों वाली क्रियाओं से भिन्न नहीं हैं! साधारण भिन्नों वाली संक्रियाएं सभी बीजगणितों का आधार होती हैं। यही कारण है कि हम यहां इस सभी अंकगणित का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

भिन्नों का जोड़ और घटाव।

हर कोई एक ही हर के साथ भिन्न जोड़ (घटाना) कर सकता है (मुझे वास्तव में उम्मीद है!) खैर, मैं आपको याद दिला दूं कि मैं पूरी तरह से भुलक्कड़ हूं: जोड़ने (घटाने) पर, भाजक नहीं बदलता है। परिणाम का अंश देने के लिए अंशों को जोड़ा (घटाया) जाता है। टाइप:

संक्षेप में, में सामान्य दृष्टि से:

क्या होगा यदि भाजक अलग हैं? फिर, भिन्न के मुख्य गुण का उपयोग करते हुए (यहाँ यह फिर से काम आया!), हम हर को समान बनाते हैं! उदाहरण के लिए:

यहाँ हमें भिन्न 2/5 से भिन्न 4/10 बनाना था। केवल हरों को समान बनाने के उद्देश्य से। मैं ध्यान देता हूं, केवल 2/5 और 4/10 के मामले में एक ही अंश! केवल 2/5 हमारे लिए असहज है, और 4/10 भी कुछ नहीं है।

वैसे, गणित में किसी भी कार्य को हल करने का यही सार है। जब हम बाहर हों असुविधाजनकभाव करते हैं वही, लेकिन हल करने के लिए और अधिक सुविधाजनक.

एक और उदाहरण:

स्थिति समान है। यहां हम 16 में से 48 बनाते हैं। सरल गुणन द्वारा 3 पर। यह सब स्पष्ट है। लेकिन यहाँ हम कुछ इस तरह से आते हैं:

हो कैसे?! सात में से नौ बनाना मुश्किल है! लेकिन हम होशियार हैं, हम नियम जानते हैं! आइए रूपांतरित करें हर एकभिन्न ताकि भाजक समान हों। इसे "एक सामान्य भाजक को कम करना" कहा जाता है:

कैसे! मुझे 63 के बारे में कैसे पता चला? बहुत आसान! 63 एक ऐसी संख्या है जो एक ही समय में 7 और 9 से समान रूप से विभाज्य है। ऐसी संख्या हमेशा हरों को गुणा करके प्राप्त की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि हम किसी संख्या को 7 से गुणा करते हैं, तो परिणाम निश्चित रूप से 7 से विभाजित होगा!

यदि आपको कई भिन्नों को जोड़ने (घटाने) की आवश्यकता है, तो इसे जोड़े में, चरण दर चरण करने की कोई आवश्यकता नहीं है। आपको बस उस हर को खोजने की जरूरत है जो सभी भिन्नों के लिए सामान्य है, और प्रत्येक भिन्न को इसी हर में लाना है। उदाहरण के लिए:

और आम भाजक क्या होगा? बेशक, आप 2, 4, 8 और 16 को गुणा कर सकते हैं। हमें 1024 मिलते हैं। दुःस्वप्न। यह अनुमान लगाना आसान है कि संख्या 16 2, 4 और 8 से पूर्णतः विभाज्य है। इसलिए, इन संख्याओं से 16 प्राप्त करना आसान है। यह संख्या सामान्य हर होगी। आइए 1/2 को 8/16 में, 3/4 को 12/16 में बदल दें, इत्यादि।

वैसे, अगर हम 1024 को एक सामान्य भाजक के रूप में लेते हैं, तो सब कुछ भी काम करेगा, अंत में सब कुछ कम हो जाएगा। गणना के कारण केवल सभी को यह अंत नहीं मिलेगा ...

उदाहरण को स्वयं हल करें। लॉगरिदम नहीं... यह 29/16 होना चाहिए।

तो, अंशों का जोड़ (घटाव) स्पष्ट है, मुझे आशा है? बेशक, अतिरिक्त मल्टीप्लायरों के साथ, छोटे संस्करण में काम करना आसान है। लेकिन यह आनंद उन्हें मिलता है जिन्होंने निचले ग्रेड में ईमानदारी से काम किया ... और कुछ भी नहीं भूले।

और अब हम वही क्रिया करेंगे, लेकिन भिन्नों के साथ नहीं, बल्कि . के साथ भिन्नात्मक भाव. यहां मिलेंगे नए रेक, हां...

इसलिए, हमें दो भिन्नात्मक व्यंजकों को जोड़ने की आवश्यकता है:

हमें हरों को समान बनाने की आवश्यकता है। और सिर्फ मदद से गुणा! तो भिन्न का मुख्य गुण कहता है। इसलिए, मैं हर के पहले भिन्न में x में एक नहीं जोड़ सकता। (लेकिन यह अच्छा होगा!) लेकिन अगर आप हर को गुणा करते हैं, तो आप देखते हैं, सब कुछ एक साथ बढ़ेगा! तो हम नीचे लिखते हैं, अंश की रेखा, ऊपर एक खाली जगह छोड़ते हैं, फिर इसे जोड़ते हैं, और नीचे हर के उत्पाद को लिखते हैं, ताकि भूलना न भूलें:

और, ज़ाहिर है, हम दाईं ओर कुछ भी गुणा नहीं करते हैं, हम कोष्ठक नहीं खोलते हैं! और अब, दाईं ओर के आम भाजक को देखते हुए, हम सोचते हैं: पहली भिन्न में हर x (x + 1) प्राप्त करने के लिए, हमें इस भिन्न के अंश और हर को (x + 1) से गुणा करना होगा। . और दूसरे भिन्न में - x. आपको यह मिलता है:

टिप्पणी! कोष्ठक यहाँ हैं! यह वह रेक है जिस पर कई कदम चलते हैं। कोष्ठक नहीं, बिल्कुल, लेकिन उनकी अनुपस्थिति। कोष्ठक प्रकट होते हैं क्योंकि हम गुणा करते हैं पूराअंश और पूराहर! और उनके अलग-अलग टुकड़े नहीं ...

दायीं ओर के अंश में हम अंशों का योग लिखते हैं, सब कुछ अंकीय भिन्नों की तरह होता है, फिर हम दाहिनी ओर के अंश में कोष्ठक खोलते हैं, अर्थात्। सब कुछ गुणा करें और पसंद करें। आपको हर में कोष्ठक खोलने की आवश्यकता नहीं है, आपको कुछ गुणा करने की आवश्यकता नहीं है! सामान्य तौर पर, हर (किसी भी) में उत्पाद हमेशा अधिक सुखद होता है! हम पाते हैं:

यहां हमें जवाब मिला। प्रक्रिया लंबी और कठिन लगती है, लेकिन यह अभ्यास पर निर्भर करती है। उदाहरणों को हल करें, इसकी आदत डालें, सब कुछ सरल हो जाएगा। जिन लोगों ने आवंटित समय में भिन्नों में महारत हासिल कर ली है, ये सभी ऑपरेशन एक हाथ से मशीन पर करें!

और एक और नोट। कई प्रसिद्ध रूप से भिन्नों से निपटते हैं, लेकिन उदाहरणों पर लटके रहते हैं पूरेसंख्याएं। प्रकार: 2 + 1/2 + 3/4= ? एक ड्यूस कहाँ बांधें? कहीं भी जकड़ने की जरूरत नहीं है, आपको एक ड्यूस से एक अंश बनाने की जरूरत है। यह आसान नहीं है, यह बहुत आसान है! 2=2/1. इस प्रकार सं. किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। अंश ही संख्या है, भाजक एक है। 7 7/1 है, 3 3/1 है और इसी तरह। अक्षरों के साथ भी ऐसा ही है। (ए + बी) \u003d (ए + बी) / 1, एक्स \u003d एक्स / 1, आदि। और फिर हम इन भिन्नों के साथ सभी नियमों के अनुसार कार्य करते हैं।

खैर, इसके अलावा - भिन्नों के घटाव पर, ज्ञान ताज़ा हो गया था। भिन्नों का एक प्रकार से दूसरे प्रकार में परिवर्तन - दोहराया। आप भी चेक कर सकते हैं। क्या हम थोड़ा समझौता करेंगे?)

गणना करें:

उत्तर (अव्यवस्था में):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

भिन्नों का गुणा / भाग - अगले पाठ में। भिन्न के साथ सभी कार्यों के लिए कार्य भी हैं।

अगर आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

आपका बच्चा लाया गृहकार्यस्कूल से और आप नहीं जानते कि इसे कैसे हल किया जाए? तो यह मिनी ट्यूटोरियल आपके लिए है!

दशमलव कैसे जोड़ें

किसी कॉलम में दशमलव भिन्नों को जोड़ना अधिक सुविधाजनक होता है। अतिरिक्त प्रदर्शन करने के लिए दशमलव भागआपको एक सरल नियम का पालन करना होगा:

• अंक अंक के नीचे होना चाहिए, अल्पविराम के नीचे अल्पविराम।

जैसा कि आप उदाहरण में देख सकते हैं, पूरी इकाइयाँ एक दूसरे के अधीन हैं, दसवां और सौवां एक दूसरे के अधीन हैं। अब हम अल्पविराम को अनदेखा करते हुए संख्याएँ जोड़ते हैं। अल्पविराम के साथ क्या करना है? अल्पविराम को उस स्थान पर स्थानांतरित कर दिया जाता है जहां वह पूर्णांकों के निर्वहन में खड़ा था।

समान हर वाले भिन्नों को जोड़ना

एक सामान्य हर के साथ जोड़ करने के लिए, आपको हर को अपरिवर्तित रखना होगा, अंशों का योग ज्ञात करना होगा और एक अंश प्राप्त करना होगा, जो कि कुल राशि होगी।

एक सामान्य गुणक ज्ञात करके भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ना

ध्यान देने वाली पहली बात भाजक है। भाजक भिन्न होते हैं, चाहे एक दूसरे से विभाज्य हो, चाहे वे अभाज्य संख्याएँ हों। सबसे पहले आपको एक आम भाजक लाने की जरूरत है, ऐसा करने के कई तरीके हैं:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, इस उदाहरण को हल करने के लिए, हमें कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने की आवश्यकता है जो 2 हर से विभाज्य हो। a और b के सबसे छोटे गुणज को निरूपित करना - LCM (a; b)। इस उदाहरण में एलसीएम (3;4)=12. जाँच करें: 12:3=4; 12:4=3.
• हम कारकों को गुणा करते हैं और परिणामी संख्याओं का योग करते हैं, हमें 13/12 - एक अनुचित अंश मिलता है।

• एक अनुचित भिन्न को उचित में बदलने के लिए, हम अंश को हर से विभाजित करते हैं, हमें पूर्णांक 1 मिलता है, शेष 1 अंश होता है और 12 हर होता है।

क्रॉस गुणन का उपयोग करके भिन्नों को जोड़ना

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, "क्रॉस बाय क्रॉस" सूत्र के अनुसार एक और तरीका है। यह हर को बराबर करने का एक गारंटीकृत तरीका है, इसके लिए आपको अंशों को एक भिन्न के हर से गुणा करना होगा और इसके विपरीत। यदि आप केवल पर हैं आरंभिक चरणभिन्नों को सीखना, तो यह विधि सबसे आसान और सबसे सटीक है, विभिन्न हरों के साथ भिन्नों को जोड़ने पर सही परिणाम कैसे प्राप्त करें।