एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें? क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें

मान लें कि T ऊपरी अर्ध-तल में स्थित एक वक्रीय समलम्बाकार के भुज अक्ष के चारों ओर घूर्णन द्वारा निर्मित क्रांति का एक निकाय है और भुज अक्ष से घिरा है, सीधी रेखाएँ x=a और x=b और एक सतत कार्य y का आलेख = एफ (एक्स)।

आइए साबित करें कि यह क्रांति का पिंड क्यूबेबल है और इसका आयतन सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,।

सबसे पहले, हम यह साबित करते हैं कि क्रांति का यह निकाय नियमित है यदि हम विमान ओयज़ को क्रांति की धुरी के लंबवत \ Pi के रूप में लेते हैं। ध्यान दें कि Oyz तल से x दूरी पर स्थित खंड त्रिज्या f(x) का एक वृत्त है और इसका क्षेत्रफल S(x) \pi f^2(x) (चित्र 46) है। इसलिए, f(x) की निरंतरता के कारण फलन S(x) निरंतर है। अगला, अगर एस(x_1)\leqslant एस(x_2), तो इसका मतलब है कि। लेकिन विमान Oyz पर वर्गों के अनुमान त्रिज्या के वृत्त हैं f(x_1) तथा f(x_2) केंद्र के साथ O , और से f(x_1)\leqslant f(x_2)यह इस प्रकार है कि त्रिज्या f(x_1) का वृत्त त्रिज्या f(x_2) के वृत्त में समाहित है।

तो, रोटेशन का शरीर नियमित है। इसलिए, यह घनीय है और इसके आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,।

यदि एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज नीचे और ऊपर से दोनों वक्रों से घिरा हुआ था y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , तो

वी= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,।

उस स्थिति में जब घूर्णन आकृति की सीमा पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दी जाती है, उस स्थिति में परिक्रमण निकाय के आयतन की गणना के लिए सूत्र (3) का भी उपयोग किया जा सकता है। इस मामले में, किसी को संकेत के तहत चर के परिवर्तन का उपयोग करना होगा समाकलन परिभाषित करें.

कुछ मामलों में क्रांति के निकायों को सीधे गोलाकार सिलेंडरों में नहीं, बल्कि एक अलग प्रकार के आंकड़ों में विघटित करना सुविधाजनक हो जाता है।

उदाहरण के लिए, आइए खोजें y-अक्ष के चारों ओर एक वक्रीय समलम्ब को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन. सबसे पहले, आइए एक आयत को y# की ऊँचाई के साथ घुमाकर प्राप्त आयतन ज्ञात करें, जिसके आधार पर खंड स्थित है। यह आयतन दो सीधे वृत्ताकार बेलनों के आयतनों के बीच के अंतर के बराबर है

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\बड़ा)।

लेकिन अब यह स्पष्ट है कि वांछित मात्रा का अनुमान ऊपर और नीचे से इस प्रकार है:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,।

इससे यह आसानी से अनुसरण करता है y-अक्ष के चारों ओर परिक्रमण पिंड के आयतन के लिए सूत्र:

वी=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,।

उदाहरण 4त्रिज्या R की एक गेंद का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान।व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मूल पर केन्द्रित त्रिज्या R के एक वृत्त पर विचार करेंगे। यह वृत्त, ऑक्स अक्ष के चारों ओर घूमता है, एक गेंद बनाता है। वृत्त समीकरण x^2+y^2=R^2 है, इसलिए y^2=R^2-x^2 । y-अक्ष के परितः वृत्त की सममिति को देखते हुए, हम पहले वांछित आयतन का आधा पाते हैं

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \बाएं।(\pi\!\बाएं(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\बाएं(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

इसलिए, पूरे गोले का आयतन है \frac(4)(3)\pi R^3.

उदाहरण 5एक शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी ऊँचाई h है और आधार की त्रिज्या r है।

समाधान।हम एक समन्वय प्रणाली चुनते हैं ताकि ऑक्स अक्ष ऊंचाई h (चित्र 47) के साथ मेल खाता हो, और हम शंकु के शीर्ष को मूल के रूप में लेते हैं। तब रेखा OA के समीकरण को y=\frac(r)(h)\,x के रूप में लिखा जा सकता है।

सूत्र (3) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

वी=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \बाएं।(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ फ़्रैक(\pi)(3)\,r^2h\,.

उदाहरण 6एस्ट्रोइड के भुज अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए \begin(मामलों)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,\end(मामलों)(चित्र 48)।

समाधान।आइए एक क्षुद्रग्रह का निर्माण करें। y-अक्ष के बारे में सममित रूप से स्थित क्षुद्रग्रह के ऊपरी भाग के आधे भाग पर विचार करें। सूत्र (3) का उपयोग करके और निश्चित अभिन्न चिह्न के तहत चर को बदलते हुए, हम नए चर t के लिए एकीकरण की सीमा पाते हैं।

अगर x=a\cos^3t=0 , फिर t=\frac(\pi)(2) , और अगर x=a\cos^3t=a , तो t=0 । दिया है कि y^2=a^2\sin^6t and dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, हम पाते हैं:

वी=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

एस्ट्रोइड के घूमने से बनने वाले पूरे पिंड का आयतन होगा \frac(32\pi)(105)\,a^3.

उदाहरण 7एब्सिस्सा अक्ष और साइक्लॉयड के पहले आर्च से घिरे एक वक्रीय समलम्बाकार के y-अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए। \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

समाधान।हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं: वी=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, और वेरिएबल को इंटीग्रल साइन के तहत बदलें, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि साइक्लोइड का पहला आर्क तब बनता है जब वेरिएबल t 0 से 2\pi में बदल जाता है। इस तरह,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2) )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\बाएं(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\right)= 6\pi^3a^3. \ अंत (गठबंधन)

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गणना करने के लिए ActiveX नियंत्रण सक्षम होना चाहिए!

पाठ का प्रकार: संयुक्त।

पाठ का उद्देश्य:इंटीग्रल का उपयोग करके क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना करना सीखें।

कार्य:

• कई ज्यामितीय आकृतियों से वक्रीय समलंबों का चयन करने की क्षमता को समेकित करना और वक्ररेखीय समलंबों के क्षेत्रों की गणना करने का कौशल विकसित करना;
• त्रि-आयामी आकृति की अवधारणा से परिचित हों;
• क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना करना सीखें;
• विकास में योगदान तार्किक सोच, सक्षम गणितीय भाषण, चित्र के निर्माण में सटीकता;
• विषय में रुचि पैदा करने के लिए, संचालन में गणितीय अवधारणाएंऔर छवियां, अंतिम परिणाम प्राप्त करने में इच्छाशक्ति, स्वतंत्रता, दृढ़ता पैदा करने के लिए।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

सामूहिक अभिवादन। पाठ के उद्देश्यों के छात्रों के लिए संचार।

प्रतिबिंब। शांत राग।

मैं आज के पाठ की शुरुआत एक दृष्टांत से करना चाहूंगा। “एक बुद्धिमान व्यक्ति था जो सब कुछ जानता था। एक व्यक्ति यह सिद्ध करना चाहता था कि ऋषि सब कुछ नहीं जानता। अपने हाथों में तितली को पकड़कर उसने पूछा: "मुनि, मुझे बताओ, मेरे हाथों में कौन सी तितली है: मृत या जीवित?" और वह खुद सोचता है: “यदि जीवित कहे, कि मैं उसे मार डालूंगा, और यदि मुर्दा कहे, तो मैं उसे जाने दूंगा।” ऋषि ने सोचा, उत्तर दिया: "सब आपके हाथ मे है"। (प्रस्तुति।फिसलना)

- इसलिए, आइए आज फलदायी रूप से काम करें, ज्ञान का एक नया भंडार प्राप्त करें, और हम अर्जित कौशल और क्षमताओं को बाद के जीवन और व्यावहारिक गतिविधियों में लागू करेंगे। "सब आपके हाथ मे है"।

द्वितीय. पहले सीखी गई सामग्री की पुनरावृत्ति।

आइए पहले अध्ययन की गई सामग्री के मुख्य बिंदुओं की समीक्षा करें। ऐसा करने के लिए, आइए कार्य करें "अनावश्यक शब्द हटाएं।"(फिसलना।)

(छात्र इरेज़र की सहायता से I.D. में जाता है, अतिरिक्त शब्द हटा देता है।)

- सही ढंग से "विभेदक"। शेष शब्दों को एक सामान्य शब्द में नाम देने का प्रयास करें। (समाकलन गणित।)

- आइए याद करते हैं अभिन्न कलन से संबंधित मुख्य चरणों और अवधारणाओं को ..

"गणितीय गुच्छा"।

व्यायाम। पास बहाल करें। (छात्र बाहर आता है और कलम से आवश्यक शब्द लिखता है।)

- हम बाद में इंटीग्रल के आवेदन पर एक रिपोर्ट सुनेंगे।

नोटबुक में काम करें।

- न्यूटन-लीबनिज फॉर्मूला अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी आइजैक न्यूटन (1643-1727) और जर्मन दार्शनिक गॉटफ्रीड लाइबनिज (1646-1716) द्वारा विकसित किया गया था। और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि गणित वह भाषा है जिसे प्रकृति स्वयं बोलती है।

- विचार करें कि व्यावहारिक कार्यों को हल करने में इस सूत्र का उपयोग कैसे किया जाता है।

उदाहरण 1: रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

समाधान: आइए निर्देशांक तल पर फलनों के ग्राफ़ बनाते हैं . मिलने वाली आकृति के क्षेत्र का चयन करें।

III. नई सामग्री सीखना।

- स्क्रीन पर ध्यान दें। पहली तस्वीर में क्या दिखाया गया है? (फिसलना) (आकृति एक सपाट आकृति दिखाती है।)

दूसरी तस्वीर में क्या दिखाया गया है? क्या यह आंकड़ा सपाट है? (फिसलना) (आकृति एक त्रि-आयामी आकृति दिखाती है।)

अंतरिक्ष में, पृथ्वी पर और में रोजमर्रा की जिंदगीहम न केवल सपाट आंकड़ों के साथ, बल्कि त्रि-आयामी लोगों से भी मिलते हैं, लेकिन ऐसे निकायों की मात्रा की गणना कैसे करें? उदाहरण के लिए, किसी ग्रह का आयतन, धूमकेतु, उल्कापिंड आदि।

- आयतन और मकान बनाने और एक बर्तन से दूसरे बर्तन में पानी डालने के बारे में सोचें। वॉल्यूम की गणना के लिए नियम और तरीके उत्पन्न होने चाहिए थे, एक और बात यह है कि वे कितने सटीक और न्यायसंगत थे।

छात्र संदेश। (ट्यूरिना वेरा।)

वर्ष 1612 ऑस्ट्रियाई शहर लिंज़ के निवासियों के लिए बहुत फलदायी था, जहाँ तत्कालीन प्रसिद्ध खगोलशास्त्री जोहान्स केपलर विशेष रूप से अंगूर के लिए रहते थे। लोग शराब के बैरल तैयार कर रहे थे और जानना चाहते थे कि व्यावहारिक रूप से उनकी मात्रा कैसे निर्धारित की जाए। (स्लाइड 2)

- इस प्रकार, केप्लर के विचारित कार्यों ने अनुसंधान की एक पूरी धारा की शुरुआत की, जो 17 वीं शताब्दी की अंतिम तिमाही में समाप्त हुई। आई. न्यूटन और जी.वी. के कार्यों में डिजाइन। लाइबनिज डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस। उस समय से, परिमाण चर के गणित ने गणितीय ज्ञान की प्रणाली में एक अग्रणी स्थान ले लिया है।

- तो आज हम ऐसी व्यावहारिक गतिविधियों में लगे रहेंगे, इसलिए,

हमारे पाठ का विषय: "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना।" (फिसलना)

- आप निम्नलिखित कार्य को पूरा करके क्रांति के निकाय की परिभाषा सीखेंगे।

"भूलभुलैया"।

भूलभुलैया (ग्रीक शब्द) का अर्थ है कालकोठरी में जाना। एक भूलभुलैया पथों, मार्गों, कमरों का एक जटिल नेटवर्क है जो एक दूसरे के साथ संवाद करते हैं।

लेकिन परिभाषा "दुर्घटनाग्रस्त", तीर के रूप में संकेत थे।

व्यायाम। भ्रमित करने वाली स्थिति से बाहर निकलने का रास्ता खोजें और परिभाषा लिखें।

फिसलना। "निर्देश कार्ड" वॉल्यूम की गणना।

एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके, आप एक शरीर की मात्रा की गणना कर सकते हैं, विशेष रूप से, क्रांति का एक शरीर।

क्रांति का पिंड एक पिंड है जो अपने आधार के चारों ओर एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड को घुमाकर प्राप्त किया जाता है (चित्र 1, 2)

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्रों में से एक द्वारा की जाती है:

1. एक्स-अक्ष के आसपास।

2. , यदि वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का घूर्णन y-अक्ष के चारों ओर।

प्रत्येक छात्र को एक निर्देश कार्ड प्राप्त होता है। शिक्षक मुख्य बिंदुओं पर प्रकाश डालता है।

शिक्षक ब्लैकबोर्ड पर उदाहरणों के समाधान की व्याख्या करता है।

ए.एस. पुश्किन की प्रसिद्ध परी कथा के एक अंश पर विचार करें "द टेल ऑफ़ ज़ार साल्टन, उनके गौरवशाली और पराक्रमी बेटे प्रिंस गिविडोन साल्टानोविच और सुंदर राजकुमारी लेबेड" (स्लाइड 4):

…..
और एक शराबी दूत लाया
उसी दिन, आदेश है:
"ज़ार अपने लड़कों को आदेश देता है,
बिना समय गंवाए,
और रानी और संतान
चुपके से पानी के रसातल में डाल दिया।”
करने के लिए कुछ नहीं है: बॉयर्स,
संप्रभु के बारे में शोक मनाते हुए
और युवा रानी
उनके बेडरूम में भीड़ आ गई।
घोषित की गई शाही वसीयत-
उसकी और उसके बेटे की किस्मत खराब है,
फरमान को जोर से पढ़ें
और उसी समय रानी
उन्होंने मुझे मेरे बेटे के साथ एक बैरल में डाल दिया,
प्रार्थना की, लुढ़का
और उन्होंने मुझे ओकियन में जाने दिया -
इसलिए डी ज़ार साल्टन का आदेश दिया।

बैरल का आयतन कितना होना चाहिए ताकि रानी और उसका बेटा उसमें फिट हो सकें?

- निम्नलिखित कार्यों पर विचार करें

1. रेखाओं से घिरे एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के y-अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0।

उत्तर: 1163 सेमी 3 .

भुज के चारों ओर एक परवलयिक समलम्ब को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए वाई =, एक्स = 4, वाई = 0।

चतुर्थ। नई सामग्री फिक्सिंग

उदाहरण 2. पंखुड़ी के x-अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें वाई \u003d एक्स 2, वाई 2 \u003d एक्स।

आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्लॉट करें। y=x2, y2=x. अनुसूची वाई 2 = एक्सरूप में बदलना आप= .

हमारे पास है वी \u003d वी 1 - वी 2आइए प्रत्येक फ़ंक्शन की मात्रा की गणना करें

- अब, आइए मास्को में शबोलोव्का पर एक रेडियो स्टेशन के लिए टॉवर को देखें, जिसे एक अद्भुत रूसी इंजीनियर, मानद शिक्षाविद वी। जी। शुखोव की परियोजना के अनुसार बनाया गया है। इसमें भाग होते हैं - क्रांति के हाइपरबोलाइड। इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक आसन्न मंडलियों को जोड़ने वाली रेक्टिलिनियर धातु की छड़ से बना है (चित्र 8, 9)।

- समस्या पर विचार करें।

अतिपरवलय के चापों को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए अपनी काल्पनिक धुरी के चारों ओर, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 8, जहां

घनक्षेत्र इकाइयों

समूह असाइनमेंट। छात्र कार्यों के साथ बहुत कुछ खींचते हैं, व्हाटमैन पेपर पर चित्र बनाए जाते हैं, समूह के प्रतिनिधियों में से एक काम का बचाव करता है।

पहला समूह।

मार! मार! एक और हिट!
एक गेंद गेट में उड़ती है - बॉल!
और यह एक तरबूज की गेंद है
हरा, गोल, स्वादिष्ट।
बेहतर देखो - क्या गेंद है!
यह मंडलियों से बना है।
तरबूज के हलकों में काटें
और उनका स्वाद लें।

द्वारा परिबद्ध फलन के OX अक्ष के चारों ओर घूर्णन द्वारा प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए

गलती! बुकमार्क परिभाषित नहीं है।

- मुझे बताओ, कृपया, हम इस आंकड़े के साथ कहां मिलते हैं?

मकान। समूह 1 के लिए कार्य। सिलेंडर (फिसल पट्टी) .

"सिलेंडर - यह क्या है?" मैंने पापा से पूछा।
बाप हँसा: ऊपर की टोपी हैट है।
एक सही विचार रखने के लिए,
सिलेंडर, मान लीजिए, एक टिन कैन है।
स्टीमर का पाइप एक सिलेंडर है,
हमारी छत पर भी पाइप,

सभी पाइप एक सिलेंडर के समान हैं।
और मैंने ऐसा उदाहरण दिया -
मेरे प्यारे बहुरूपदर्शक
आप उससे नजरें नहीं हटा सकते।
यह भी एक सिलेंडर जैसा दिखता है।

- व्यायाम। एक फ़ंक्शन प्लॉट करने और वॉल्यूम की गणना करने के लिए होमवर्क।

दूसरा समूह। कोन (फिसल पट्टी).

माँ ने कहा: और अब
शंकु के बारे में मेरी कहानी होगी।
एक उच्च टोपी में Stargazer
साल भर तारे गिनते रहते हैं।
शंकु - स्टारगेज़र की टोपी।
वह वही है। समझा? यही बात है।
माँ मेज पर थी
उसने बोतलों में तेल डाला।
- फ़नल कहाँ है? कोई फ़नल नहीं।
नज़र। किनारे पर खड़े न हों।
- माँ, मैं जगह से नहीं हटूँगा,
मुझे शंकु के बारे में और बताएं।
- कीप पानी के डिब्बे के शंकु के रूप में होती है।
चलो, मुझे जल्दी ढूंढो।
मुझे फ़नल नहीं मिला
लेकिन माँ ने एक थैला बनाया,
कार्डबोर्ड को अपनी अंगुली के चारों ओर लपेटें
और चतुराई से एक पेपर क्लिप के साथ बांधा गया।
तेल बरस रहा है, माँ खुश है
कोन एकदम सही निकला।

व्यायाम। एक्स-अक्ष के चारों ओर घूर्णन द्वारा प्राप्त शरीर की मात्रा की गणना करें

मकान। दूसरे समूह के लिए कार्य। पिरामिड(फिसल पट्टी)।

मैंने तस्वीर देखी। इस तस्वीर में
रेतीले रेगिस्तान में एक पिरामिड है।
पिरामिड में सब कुछ असाधारण है,
इसमें कुछ रहस्य और रहस्य है।
रेड स्क्वायर पर स्पैस्काया टॉवर
बच्चे और वयस्क दोनों अच्छी तरह से जाने जाते हैं।
मीनार को देखो - दिखने में साधारण,
उसके ऊपर क्या है? पिरामिड!

व्यायाम।होमवर्क एक फ़ंक्शन प्लॉट करता है और पिरामिड की मात्रा की गणना करता है

- हमने इंटीग्रल का उपयोग करके निकायों के आयतन के मूल सूत्र के आधार पर विभिन्न निकायों के आयतन की गणना की।

यह एक और पुष्टि है कि निश्चित अभिन्न गणित के अध्ययन के लिए कुछ आधार है।

"अब चलो थोड़ा आराम करते हैं।"

एक युगल खोजें।

गणितीय डोमिनोज़ राग बजाता है।

"जिस राह को वो खुद ढूंढ रहे थे वो कभी नहीं भूलेगा..."

अनुसंधान कार्य। अर्थशास्त्र और प्रौद्योगिकी में अभिन्न का अनुप्रयोग।

मजबूत शिक्षार्थियों और गणित फुटबॉल के लिए टेस्ट।

गणित सिम्युलेटर।

2. किसी दिए गए फलन के सभी प्रतिअवकलजों के समुच्चय को कहते हैं

ए) अनिश्चितकालीन अभिन्न

बी) समारोह,

बी) भेदभाव।

7. रेखाओं से घिरे एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के भुज अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए:

डी / जेड। क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना करें।

प्रतिबिंब।

रूप में प्रतिबिंब की स्वीकृति Cinquain(पांच पंक्तियाँ)।

पहली पंक्ति - विषय का नाम (एक संज्ञा)।

दूसरी पंक्ति - संक्षेप में विषय का विवरण, दो विशेषण।

तीसरी पंक्ति - इस विषय में तीन शब्दों में कार्रवाई का विवरण।

चौथी पंक्ति - चार शब्दों का एक वाक्यांश, विषय के प्रति दृष्टिकोण (एक संपूर्ण वाक्य) को दर्शाता है।

5वीं पंक्ति एक पर्यायवाची है जो विषय के सार को दोहराती है।

1. मात्रा।
2. निश्चित अभिन्न, अभिन्न कार्य।
3. हम निर्माण करते हैं, घुमाते हैं, गणना करते हैं।
4. एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज (इसके आधार के चारों ओर) को घुमाकर प्राप्त किया गया पिंड।
5. क्रांति का शरीर (3 डी ज्यामितीय शरीर)।

निष्कर्ष (फिसल पट्टी).

• एक निश्चित अभिन्न गणित के अध्ययन के लिए एक प्रकार का आधार है, जो व्यावहारिक सामग्री की समस्याओं को हल करने में एक अनिवार्य योगदान देता है।
• विषय "इंटीग्रल" स्पष्ट रूप से गणित और भौतिकी, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र और प्रौद्योगिकी के बीच संबंध को दर्शाता है।
• विकास आधुनिक विज्ञानअभिन्न के उपयोग के बिना अकल्पनीय। इस संबंध में, माध्यमिक विशिष्ट शिक्षा के ढांचे के भीतर इसका अध्ययन शुरू करना आवश्यक है!

ग्रेडिंग। (टिप्पणी के साथ।)

महान उमर खय्याम एक गणितज्ञ, कवि और दार्शनिक हैं। वह अपने भाग्य का स्वामी बनने का आह्वान करता है। सुनिए उनके काम का एक अंश:

तुम कहते हो यह जीवन एक क्षण है।
इसकी सराहना करें, इससे प्रेरणा लें।
जैसे आप इसे खर्च करेंगे, वैसे ही यह बीत जाएगा।
मत भूलो: वह तुम्हारी रचना है।

क्रांति के ठोसों के आयतन ज्ञात करने के लिए समाकलकों का उपयोग करना

गणित की व्यावहारिक उपयोगिता इस तथ्य के कारण है कि बिना

विशिष्ट गणितीय ज्ञान से उपकरण के सिद्धांतों और आधुनिक तकनीक के उपयोग को समझना मुश्किल हो जाता है। अपने जीवन में प्रत्येक व्यक्ति को जटिल गणनाएँ करनी होती हैं, आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले उपकरणों का उपयोग करना होता है, संदर्भ पुस्तकों में आवश्यक सूत्र खोजना होता है और समस्याओं को हल करने के लिए सरल एल्गोरिदम की रचना करनी होती है। पर आधुनिक समाजअधिक विशिष्टताओं की आवश्यकता उच्च स्तरशिक्षा गणित के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग से जुड़ी है। इस प्रकार, एक स्कूली बच्चे के लिए, गणित एक व्यावसायिक रूप से महत्वपूर्ण विषय बन जाता है। एल्गोरिथम सोच के निर्माण में गणित की अग्रणी भूमिका होती है, यह किसी दिए गए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करने और नए एल्गोरिदम को डिजाइन करने की क्षमता लाता है।

क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना के लिए इंटीग्रल का उपयोग करने के विषय का अध्ययन करते हुए, मेरा सुझाव है कि वैकल्पिक कक्षाओं के छात्र इस विषय पर विचार करें: "इंटीग्रल्स का उपयोग करके क्रांति के निकायों की मात्रा।" इस विषय से निपटने के लिए यहां कुछ दिशानिर्देश दिए गए हैं:

1. समतल आकृति का क्षेत्रफल।

बीजगणित के पाठ्यक्रम से, हम जानते हैं कि व्यावहारिक समस्याओं ने एक निश्चित समाकलन की अवधारणा को जन्म दिया..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

एक टूटी हुई रेखा y=f(x), ऑक्स अक्ष, सीधी रेखाओं x=a और x=b से घिरी हुई ऑक्स अक्ष के चारों ओर एक वक्रीय समलम्बाकार के घूर्णन द्वारा गठित क्रांति के एक पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम गणना करते हैं सूत्र द्वारा

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. सिलेंडर का आयतन।

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" चौड़ाई="401" ऊंचाई="355">शंकु को घुमाकर प्राप्त किया जाता है सही त्रिकोण ABC(C=90) ऑक्स अक्ष के चारों ओर जिस पर टांग AC स्थित है।

खंड AB रेखा y=kx+c पर स्थित है, जहां https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

चलो a=0, b=H (H शंकु की ऊंचाई है), फिर Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">।

5. एक काटे गए शंकु का आयतन।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज ABCD (CDOx) को ऑक्स अक्ष के चारों ओर घुमाकर एक छोटा शंकु प्राप्त किया जा सकता है।

खंड AB रेखा y=kx+c पर स्थित है, जहां , सी = आर।

चूंकि रेखा बिंदु A (0; r) से होकर गुजरती है।

इस प्रकार, सीधी रेखा https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src="> जैसी दिखती है

मान लीजिए a=0, b=H (H काटे गए शंकु की ऊंचाई है), फिर https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. गेंद का आयतन।

गेंद को x-अक्ष के चारों ओर केंद्र (0;0) वाले वृत्त को घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है। x-अक्ष के ऊपर स्थित अर्धवृत्त समीकरण द्वारा दिया गया है

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

उदाहरण 3

एक सपाट आंकड़ा दिया गया रेखाओं से घिरा हुआ , , .

1) इन रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

ध्यान!भले ही आप केवल दूसरा पैराग्राफ पढ़ना चाहें, पहले आवश्यक रूप सेपहला पढ़ो!

समाधान: कार्य में दो भाग होते हैं। चलो वर्ग से शुरू करते हैं।

1) आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन परवलय की ऊपरी शाखा को परिभाषित करता है, और फ़ंक्शन परवलय की निचली शाखा को परिभाषित करता है। हमारे सामने एक तुच्छ परवलय है, जो "अपनी तरफ है।"

वांछित आकृति, जिसका क्षेत्र खोजना है, नीले रंग में छायांकित है।

किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसे "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है। इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रों के योग के रूप में पाया जाता है:

- खंड पर ;

- खंड पर।

इसीलिए:

एक अधिक तर्कसंगत समाधान है: इसमें संक्रमण शामिल है उलटा कार्यऔर अक्ष के साथ एकीकरण।

उलटा कार्यों को कैसे पास करें? मोटे तौर पर, आपको "x" को "y" के माध्यम से व्यक्त करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, आइए परवलय से निपटें:

यह पर्याप्त है, लेकिन आइए सुनिश्चित करें कि वही फ़ंक्शन निचली शाखा से प्राप्त किया जा सकता है:

एक सीधी रेखा के साथ, सब कुछ आसान है:

अब धुरी को देखें: कृपया समय-समय पर अपने सिर को 90 डिग्री के दाईं ओर झुकाएं जैसा कि आप समझाते हैं (यह मजाक नहीं है!)। हमें जिस आकृति की आवश्यकता है वह खंड पर है, जिसे लाल बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। इसके अलावा, खंड पर, सीधी रेखा परवलय के ऊपर स्थित होती है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्र आपके लिए पहले से परिचित सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए: . सूत्र में क्या बदलाव आया है? केवल एक पत्र, और कुछ नहीं।

! टिप्पणी : अक्ष एकीकरण सीमा व्यवस्था की जानी चाहिएसख्ती से नीचे से ऊपर तक !

क्षेत्र ढूँढना:

खंड पर, इसलिए:

ध्यान दें कि मैंने एकीकरण कैसे किया, यह सबसे तर्कसंगत तरीका है, और असाइनमेंट के अगले पैराग्राफ में यह स्पष्ट होगा कि क्यों।

एकीकरण की शुद्धता पर संदेह करने वाले पाठकों के लिए, मुझे व्युत्पन्न मिलेंगे:

मूल एकीकरण प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया जाता है।

उत्तर:

2) इस आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़ा अलग डिज़ाइन में फिर से तैयार करूँगा:

तो, नीले रंग में छायांकित आकृति अक्ष के चारों ओर घूमती है। परिणाम एक "होवरिंग तितली" है जो अपनी धुरी के चारों ओर घूमती है।

क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम अक्ष के साथ एकीकृत करेंगे। पहले हमें व्युत्क्रम कार्यों पर आगे बढ़ने की आवश्यकता है। यह पहले ही किया जा चुका है और पिछले पैराग्राफ में विस्तार से वर्णित किया गया है।

अब हम अपने सिर को फिर से दाईं ओर झुकाते हैं और अपने फिगर का अध्ययन करते हैं। जाहिर है, क्रांति के शरीर की मात्रा को मात्राओं के बीच के अंतर के रूप में पाया जाना चाहिए।

हम अक्ष के चारों ओर लाल रंग में परिचालित आकृति को घुमाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक छोटा शंकु बनता है। आइए इस वॉल्यूम को द्वारा निरूपित करें।

गोलाकार आकृति को घुमाएं हरे में, अक्ष के चारों ओर और क्रांति के प्राप्त शरीर के आयतन द्वारा निरूपित।

हमारे तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह पिछले अनुच्छेद के सूत्र से किस प्रकार भिन्न है? अक्षरों में ही।

और यहाँ एकीकरण का लाभ है जिसके बारे में मैं कुछ समय पहले बात कर रहा था, इसे खोजना बहुत आसान है 4 शक्ति के लिए प्रारंभिक रूप से एकीकृत और बढ़ाने की तुलना में।

उत्तर:

ध्यान दें कि यदि एक ही सपाट आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, तो क्रांति का एक पूरी तरह से अलग शरीर, एक अलग, स्वाभाविक रूप से, आयतन का निकलेगा।

उदाहरण 7

वक्रों से घिरी आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बनने वाले शरीर के आयतन की गणना करें।

समाधान: आइए एक चित्र बनाते हैं:

साथ ही, हम कुछ अन्य कार्यों के रेखांकन से परिचित होते हैं। सम फलन का ऐसा रोचक आलेख....

क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के उद्देश्य से, यह आंकड़ा के दाहिने आधे हिस्से का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है, जिसे मैंने नीले रंग में छायांकित किया था। दोनों फलन सम हैं, उनके रेखांकन अक्ष के प्रति सममित हैं, और हमारी आकृति भी सममित है। तो छायांकित दाहिना भाग, अक्ष के चारों ओर घूमते हुए, निश्चित रूप से बाएं अप्रकाशित भाग के साथ मेल खाएगा।

I. क्रांति के निकायों की मात्रा। G. M. Fikhtengol'ts* की पाठ्यपुस्तक के अनुसार अध्याय XII, p°p° 197, 198 का ​​प्रारंभिक अध्ययन करें * p° 198 में दिए गए उदाहरणों का विस्तार से विश्लेषण करें।

508. दीर्घवृत्त के घूर्णन द्वारा x-अक्ष के चारों ओर बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें।

इस तरह,

530. साइनसॉइड y \u003d sin x के बिंदु X \u003d 0 से बिंदु X \u003d के अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाली सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

531. ऊँचाई h और त्रिज्या r वाले एक शंकु के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना कीजिए।

532. द्वारा गठित सतह क्षेत्र की गणना करें

क्षुद्रग्रह x3 -) - y* - a3 का x-अक्ष के चारों ओर घूमना।

533. x-अक्ष के चारों ओर वक्र 18 y-x(6-x)r के लूप के व्युत्क्रमण द्वारा गठित सतह के क्षेत्रफल की गणना करें।

534. वृत्त X2 - j - (y-3)2 = 4 के x-अक्ष के चारों ओर घूमने से उत्पन्न टोरस की सतह का पता लगाएं।

535. वृत्त के घूर्णन द्वारा गठित सतह के क्षेत्रफल की गणना करें X = एक लागत, y = ऑक्स अक्ष के चारों ओर असिंट।

536. वक्र x = 9t2, y = St - 9t3 के अक्ष के चारों ओर लूप के घूमने से बनने वाले सतह के क्षेत्र की गणना करें।

537. वक्र x = e * sint, y = el अक्ष के चारों ओर चाप के घूमने से बनने वाले पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

टी = 0 से टी = -।

538. दिखाएँ कि चक्रज x = a (q> - sin ), y = a (I - cos ) के चाप के ओय अक्ष के चारों ओर घूमने से उत्पन्न सतह, 16 u2 o2 के बराबर है।

539. कार्डियोइड को ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त सतह का पता लगाएं।

540. लेमनिसकेट के घूमने से बनने वाले पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर।

अध्याय IV के लिए अतिरिक्त कार्य

समतल आकृतियों के क्षेत्रफल

541. एक वक्र से घिरे क्षेत्र का संपूर्ण क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और अक्ष ओह।

542. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

और अक्ष ओह।

543. पहले चतुर्थांश में स्थित और वक्र से घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल का भाग ज्ञात कीजिए

एल समन्वय अक्ष।

544. के भीतर स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

लूप:

545. वक्र के एक लूप से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

546. लूप के अंदर के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

547. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

और अक्ष ओह।

548. वक्र से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

और अक्ष ओह।

549. ऑक्सर अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

सीधे और वक्र