दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन। प्रतिच्छेदन का कोण और बिंदु

लम्बवत रेखा

यह कार्य संभवतः स्कूली पाठ्यपुस्तकों में सबसे लोकप्रिय और मांग में से एक है। इस विषय पर आधारित कार्य विविध हैं। यह दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की परिभाषा है, यह मूल रेखा पर किसी भी कोण पर एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण की परिभाषा है।

हम अपनी गणना में प्राप्त डेटा का उपयोग करके इस विषय को कवर करेंगे

यहीं पर एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण का एक समीकरण में परिवर्तन हुआ ढलान कारकऔर इसके विपरीत, और दी गई शर्तों के अनुसार सीधी रेखा के शेष मापदंडों का निर्धारण।

यह पृष्ठ जिन समस्याओं के लिए समर्पित है, उन्हें हल करने के लिए हमारे पास क्या कमी है?

1. दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोणों में से एक की गणना के लिए सूत्र।

यदि हमारे पास दो सीधी रेखाएँ हैं जो समीकरणों द्वारा दी गई हैं:

फिर कोणों में से एक की गणना इस प्रकार की जाती है:

2. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली ढलान वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

सूत्र 1 से, हम दो सीमावर्ती राज्य देख सकते हैं

ए) जब तब और इसलिए ये दो दी गई रेखाएं समानांतर होती हैं (या संपाती होती हैं)

ख) जब , तब , और इसलिए ये रेखाएँ लंबवत होती हैं, अर्थात वे समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।

किसी दी गई सीधी रेखा को छोड़कर, ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए प्रारंभिक डेटा क्या हो सकता है?

एक रेखा पर एक बिंदु और वह कोण जिस पर दूसरी रेखा उसे काटती है

पंक्ति का दूसरा समीकरण

एक बॉट कौन से कार्य हल कर सकता है?

1. दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं (स्पष्ट रूप से या परोक्ष रूप से, उदाहरण के लिए, दो बिंदुओं द्वारा)। प्रतिच्छेदन बिंदु और उन कोणों की गणना करें जिन पर वे प्रतिच्छेद करते हैं।

2. एक सीधी रेखा, एक सीधी रेखा पर एक बिंदु और एक कोण दिया गया है। एक सीधी रेखा का समीकरण निर्धारित करें जो किसी दी गई रेखा को एक निर्दिष्ट कोण पर काटती है

उदाहरण

समीकरणों द्वारा दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं। इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु और वे कोण ज्ञात कीजिए जिन पर वे प्रतिच्छेद करती हैं

लाइन_पी ए=11;बी=-5;सी=6,के=3/7;बी=-5

हमें निम्नलिखित परिणाम मिलता है

पहली पंक्ति का समीकरण

y = 2.2 x + (1.2)

दूसरी पंक्ति का समीकरण

y = 0.4285714285714 x + (-5)

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन कोण (डिग्री में)

-42.357454705937

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

x=-3.5

y=-6.5

यह न भूलें कि दो पंक्तियों के पैरामीटर अल्पविराम से अलग होते हैं, और प्रत्येक पंक्ति के पैरामीटर अर्धविराम से अलग होते हैं।

रेखा दो बिंदुओं (1:-4) और (5:2) से होकर गुजरती है। उस सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (-2:-8) से होकर गुजरती है और मूल रेखा को 30 डिग्री के कोण पर काटती है।

एक सीधी रेखा हमें ज्ञात है, क्योंकि जिन दो बिंदुओं से होकर वह गुजरती है वे ज्ञात हैं।

दूसरी सीधी रेखा का समीकरण निर्धारित करना बाकी है। एक बिंदु हमें ज्ञात है, और दूसरे के बजाय, वह कोण दर्शाया गया है जिस पर पहली रेखा दूसरे को काटती है।

ऐसा लगता है कि सब कुछ ज्ञात है, लेकिन यहां मुख्य बात गलती न करना है। हम x-अक्ष और रेखा के बीच नहीं, बल्कि पहली और दूसरी रेखाओं के बीच के कोण (30 डिग्री) के बारे में बात कर रहे हैं।

इसके लिए हम इस तरह पोस्ट करते हैं. आइए पहली पंक्ति के पैरामीटर निर्धारित करें, और पता लगाएं कि यह x-अक्ष को किस कोण पर काटती है।

रेखा xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

सामान्य समीकरण Ax+By+C = 0

गुणांक ए = -6

कारक बी = 4

गुणांक सी = 22

गुणांक ए= 3.6666666666667

गुणांक बी = -5.5

गुणांक k = 1.5

अक्ष पर झुकाव का कोण (डिग्री में) f = 56.309932474019

गुणांक पी = 3.0508510792386

गुणांक q = 2.5535900500422

बिंदुओं के बीच की दूरी=7.211102550928

हम देखते हैं कि पहली रेखा अक्ष को एक कोण पर काटती है 56.309932474019 डिग्री।

स्रोत डेटा यह बिल्कुल नहीं बताता कि दूसरी पंक्ति पहली को कैसे काटती है। आख़िरकार, शर्तों को पूरा करने वाली दो रेखाएँ खींचना संभव है, पहली 30 डिग्री दक्षिणावर्त घुमाई गई, और दूसरी 30 डिग्री वामावर्त।

आइए उन्हें गिनें

यदि दूसरी रेखा को घड़ी की विपरीत दिशा में 30 डिग्री घुमाया जाता है, तो दूसरी रेखा में x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन की डिग्री होगी 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 डिग्री

लाइन_पी xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

दिए गए मापदंडों के अनुसार सीधी रेखा के पैरामीटर

सामान्य समीकरण Ax+By+C = 0

गुणांक ए = 23.011106998916

कारक बी = -1.4840558255286

गुणांक सी = 34.149767393603

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण x/a+y/b = 1

गुणांक ए= -1.4840558255286

गुणांक बी = 23.011106998916

कोणीय गुणांक y = kx + b के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण

गुणांक k = 15.505553499458

अक्ष पर झुकाव का कोण (डिग्री में) f = 86.309932474019

रेखा का सामान्य समीकरण x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0

गुणांक पी = -1.4809790664999

गुणांक q = 3.0771888256405

बिंदुओं के बीच की दूरी=23.058912962428

बिंदु से रेखा की दूरी li =

अर्थात्, हमारी दूसरी पंक्ति का समीकरण y= है 15.505553499458x+ 23.011106998916

एक मिनट से भी कम समय में, मैंने एक नई वर्डोव फ़ाइल बनाई और ऐसे रोमांचक विषय पर काम जारी रखा। आपको कामकाजी मनोदशा के क्षणों को पकड़ने की ज़रूरत है, इसलिए कोई गीतात्मक परिचय नहीं होगा। वहाँ गद्यात्मक पिटाई होगी =)

दो सीधे स्थान हो सकते हैं:

1) अंतरप्रजनन;

2) बिंदु पर प्रतिच्छेद करें;

3) समानांतर रहें;

4) मिलान.

केस #1 अन्य मामलों से मौलिक रूप से अलग है। दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं यदि वे एक ही तल में न हों।. एक हाथ ऊपर उठाएं और दूसरे हाथ को आगे की ओर फैलाएं - यहां प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक उदाहरण दिया गया है। बिंदु 2-4 में, रेखाएँ आवश्यक रूप से स्थित होती हैं एक विमान में.

अंतरिक्ष में रेखाओं की सापेक्ष स्थिति का पता कैसे लगाएं?

दो सीधी जगहों पर विचार करें:

- सीधा, बिंदुऔर दिशा वेक्टर ;
एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर द्वारा परिभाषित एक सीधी रेखा है।

बेहतर समझ के लिए, आइए एक योजनाबद्ध चित्र बनाएं:

उदाहरण के तौर पर चित्र में तिरछी रेखाएँ दिखाई गई हैं।

इन रेखाओं से कैसे निपटें?

चूंकि बिंदु ज्ञात हैं, इसलिए वेक्टर को ढूंढना आसान है।

अगर सीधा है परिवारों के बीच का, फिर वैक्टर समतलीय नहीं(पाठ देखें सदिशों की रैखिक (गैर) निर्भरता। सदिश आधार), जिसका अर्थ है कि उनके निर्देशांक से बना सारणिक अशून्य है। या, जो वास्तव में वही है, शून्य से भिन्न होगा: .

मामले संख्या 2-4 में, हमारा निर्माण एक विमान में "गिरता है", जबकि वैक्टर समतलीय, और मिश्रित उत्पाद रैखिक है आश्रित सदिशशून्य के बराबर: .

हम एल्गोरिदम का और विस्तार करते हैं। चलिए ऐसा दिखावा करते हैं इसलिए, रेखाएँ या तो प्रतिच्छेद करती हैं, या समानांतर होती हैं, या संपाती होती हैं।

यदि दिशा सदिश समरेख, तो रेखाएँ या तो समानांतर हैं या संपाती हैं। अंतिम कील के रूप में, मैं निम्नलिखित तकनीक का प्रस्ताव करता हूं: हम एक सीधी रेखा का कोई भी बिंदु लेते हैं और उसके निर्देशांक को दूसरी सीधी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं; यदि निर्देशांक "पहुँचे" हैं, तो रेखाएँ मेल खाती हैं, यदि वे "पहुँचे नहीं" हैं, तो रेखाएँ समानांतर हैं।

एल्गोरिथ्म का कोर्स सरल है, लेकिन व्यावहारिक उदाहरणफिर भी दर्द नहीं होगा:

उदाहरण 11

हिसाब लगाना आपसी व्यवस्थादो सीधी रेखाएँ

समाधान: जैसा कि ज्यामिति की कई समस्याओं में होता है, समाधान को बिंदु दर बिंदु व्यवस्थित करना सुविधाजनक होता है:

1) हम समीकरणों से बिंदु और दिशा सदिश निकालते हैं:

2) वेक्टर खोजें:

इस प्रकार, सदिश समतलीय होते हैं, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ एक ही तल में होती हैं और प्रतिच्छेद कर सकती हैं, समानांतर हो सकती हैं या संपाती हो सकती हैं।

4) संरेखता के लिए दिशा सदिशों की जाँच करें।

आइए इन सदिशों के संगत निर्देशांकों से एक प्रणाली बनाएं:

से सब लोगसमीकरण का तात्पर्य है कि, इसलिए, प्रणाली सुसंगत है, सदिशों के संगत निर्देशांक आनुपातिक हैं, और सदिश संरेख हैं।

निष्कर्ष: रेखाएँ समानांतर या संपाती होती हैं।

5) पता लगाएँ कि क्या रेखाओं में उभयनिष्ठ बिंदु हैं। आइए पहली सीधी रेखा से संबंधित एक बिंदु लें और उसके निर्देशांकों को सीधी रेखा के समीकरणों में प्रतिस्थापित करें:

इस प्रकार, सामान्य बिंदुसीधी रेखाएँ नहीं होती हैं, और उनके पास समानांतर होने के अलावा कोई विकल्प नहीं होता है।

उत्तर:

के लिए एक दिलचस्प उदाहरण स्वतंत्र समाधान:

उदाहरण 12

रेखाओं की सापेक्ष स्थिति ज्ञात कीजिए

यह स्वयं करने का उदाहरण है. ध्यान दें कि दूसरी पंक्ति में पैरामीटर के रूप में अक्षर है। तर्क में। सामान्य स्थिति में, ये दो अलग-अलग रेखाएँ हैं, इसलिए प्रत्येक पंक्ति का अपना पैरामीटर होता है।

और फिर से मैं आपसे आग्रह करता हूं कि उदाहरणों को न छोड़ें, मैं समझूंगा कि मेरे द्वारा प्रस्तावित कार्य यादृच्छिक से बहुत दूर हैं ;-)

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के साथ समस्याएँ

पाठ के अंतिम भाग में, मैं अधिकतम संख्या पर विचार करने का प्रयास करूँगा विभिन्न कार्यअंतरिक्ष रेखाओं के साथ. इस मामले में, कहानी के आरंभिक क्रम का सम्मान किया जाएगा: पहले हम प्रतिच्छेदी रेखाओं के साथ समस्याओं पर विचार करेंगे, फिर प्रतिच्छेदी रेखाओं के साथ, और अंत में हम अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं के बारे में बात करेंगे। हालाँकि, मुझे कहना होगा कि इस पाठ के कुछ कार्यों को एक साथ सीधी रेखाओं के कई मामलों के लिए तैयार किया जा सकता है, और इस संबंध में, अनुभाग को पैराग्राफ में विभाजित करना कुछ हद तक मनमाना है। सरल उदाहरण हैं, और भी हैं जटिल उदाहरणऔर उम्मीद है कि हर किसी को वह मिलेगा जो उन्हें चाहिए।

कटी हुई रेखाएँ

मैं आपको याद दिलाता हूं कि यदि कोई समतल नहीं है जिसमें वे दोनों स्थित हैं तो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं। जब मैं अभ्यास के बारे में सोच रहा था, तो एक राक्षसी कार्य मेरे दिमाग में आया, और अब मुझे आपके ध्यान में चार सिर वाले एक अजगर को प्रस्तुत करते हुए खुशी हो रही है:

उदाहरण 13

सीधी रेखाएँ दी गई हैं। आवश्यक:

क) सिद्ध करें कि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं;

बी) दी गई रेखाओं के लंबवत बिंदु से गुजरने वाली रेखा के समीकरण खोजें;

ग) एक सीधी रेखा के समीकरण बनाएं जिसमें शामिल हो सामान्य लम्बवतप्रतिच्छेदी रेखाएँ;

d) रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें।

समाधान: सड़क चलने से ही समझ में आएगी:

a) आइए हम सिद्ध करें कि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। आइए इन सीधी रेखाओं के बिंदु और दिशा सदिश ज्ञात करें:

आइए वेक्टर खोजें:

गणना करना वैक्टर का मिश्रित उत्पाद:

तो वेक्टर समतलीय नहीं, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे सिद्ध करना था।

संभवतः, सभी ने लंबे समय से देखा है कि तिरछी रेखाओं के लिए, सत्यापन एल्गोरिथ्म सबसे छोटा हो जाता है।

बी) आइए उस रेखा के समीकरण खोजें जो बिंदु से होकर गुजरती है और रेखाओं के लंबवत है। आइए एक योजनाबद्ध चित्र बनाएं:

विविधता के लिए, मैंने एक सीधा पोस्ट किया पीछेसीधी रेखाएं, देखें कि क्रॉसिंग बिंदुओं पर यह कैसे थोड़ा मिट जाता है। संकर नस्ल? हां, सामान्य स्थिति में, रेखा "डी" मूल रेखाओं के साथ प्रतिच्छेद करेगी। यद्यपि इस पलहमें अभी कोई दिलचस्पी नहीं है, हमें बस एक लंबवत रेखा बनाने की जरूरत है और बस इतना ही।

प्रत्यक्ष "डी" के बारे में क्या ज्ञात है? इससे संबंधित बात ज्ञात है. दिशा वेक्टर गायब है.

शर्त के अनुसार, रेखा रेखाओं के लंबवत होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि इसका दिशा वेक्टर दिशा वैक्टर के लिए ओर्थोगोनल होगा। उदाहरण संख्या 9 से पहले से ही परिचित मकसद, हम पाते हैं वेक्टर उत्पाद:

आइए बिंदु और दिशात्मक वेक्टर द्वारा सीधी रेखा "डी" के समीकरण बनाएं:

तैयार। सिद्धांत रूप में, कोई भी हर में चिह्न बदल सकता है और फॉर्म में उत्तर लिख सकता है , लेकिन इसकी कोई जरूरत नहीं है.

जाँच करने के लिए, बिंदु के निर्देशांक को सीधी रेखा के प्राप्त समीकरणों में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है, फिर उपयोग करना वैक्टर का डॉट उत्पादसुनिश्चित करें कि वेक्टर वास्तव में दिशा वैक्टर "पीई वन" और "पीई टू" के लिए ऑर्थोगोनल है।

एक उभयनिष्ठ लंब वाली रेखा के समीकरण कैसे ज्ञात करें?

ग) यह समस्या अधिक कठिन है. मेरा सुझाव है कि नौसिखिए इस पैराग्राफ को छोड़ दें, मैं विश्लेषणात्मक ज्यामिति के प्रति आपकी सच्ची सहानुभूति को ठंडा नहीं करना चाहता =) वैसे, अधिक तैयार पाठकों के लिए भी इंतजार करना बेहतर हो सकता है, तथ्य यह है कि जटिलता के संदर्भ में उदाहरण होना चाहिए लेख में अंतिम स्थान पर रखा जाए, लेकिन प्रस्तुतिकरण के तर्क के अनुसार इसे यहां स्थित होना चाहिए।

इसलिए, सीधी रेखा के समीकरणों को खोजना आवश्यक है, जिसमें तिरछी रेखाओं का उभयनिष्ठ लंब शामिल होता है।

एक रेखा खंड है जो दी गई रेखाओं को जोड़ता है और दी गई रेखाओं के लंबवत है:

यहाँ हमारा सुंदर आदमी है: - प्रतिच्छेदी रेखाओं का उभयनिष्ठ लंब। वह अकेला है. इसके जैसा कोई दूसरा नहीं है. हमें एक सीधी रेखा के समीकरण भी बनाने होंगे जिसमें एक दिया गया खंड शामिल हो।

प्रत्यक्ष "उह" के बारे में क्या ज्ञात है? इसका दिशा सदिश ज्ञात है, जो पिछले पैराग्राफ में पाया गया है। लेकिन, दुर्भाग्य से, हम सीधी रेखा "एम" से संबंधित एक भी बिंदु नहीं जानते हैं, हम लंबवत - बिंदुओं के सिरों को नहीं जानते हैं। यह लंब रेखा दो मूल रेखाओं को कहाँ काटती है? अफ़्रीका, अंटार्कटिका? स्थिति की प्रारंभिक समीक्षा और विश्लेषण से, यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि समस्या को कैसे हल किया जाए... लेकिन सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों के उपयोग से जुड़ी एक मुश्किल चाल है।

आइए बिंदुवार निर्णय लें:

1) आइए पहली सीधी रेखा के समीकरणों को पैरामीट्रिक रूप में फिर से लिखें:

आइए एक बिंदु पर विचार करें. हम निर्देशांक नहीं जानते. लेकिन. यदि कोई बिंदु किसी दी गई रेखा से संबंधित है, तो उसके निर्देशांक इसके अनुरूप होते हैं, इसे द्वारा निरूपित करें। तब बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार लिखे जाएंगे:

जीवन बेहतर हो रहा है, एक अज्ञात - आख़िरकार, तीन अज्ञात नहीं।

2) वही आक्रोश दूसरे बिंदु पर भी किया जाना चाहिए। आइए हम दूसरी सीधी रेखा के समीकरणों को पैरामीट्रिक रूप में फिर से लिखें:

यदि कोई बिंदु किसी दी गई रेखा से संबंधित है, तो एक बहुत ही विशिष्ट अर्थ के साथइसके निर्देशांक को पैरामीट्रिक समीकरणों को संतुष्ट करना होगा:

या:

3) वेक्टर, पहले पाए गए वेक्टर की तरह, रेखा का निर्देशन वेक्टर होगा। पाठ में प्राचीन काल से ही दो बिंदुओं से एक वेक्टर की रचना कैसे की जाती है, इस पर विचार किया गया था डमी के लिए वेक्टर. अब अंतर यह है कि सदिशों के निर्देशांक इसके साथ लिखे जाते हैं अज्ञात मानपैरामीटर. तो क्या हुआ? कोई भी वेक्टर की शुरुआत के संबंधित निर्देशांक को वेक्टर के अंत के निर्देशांक से घटाने से मना नहीं करता है।

दो बिंदु हैं: .

एक वेक्टर ढूँढना:

4) चूँकि दिशा सदिश संरेख होते हैं, तो एक सदिश को दूसरे के माध्यम से कुछ आनुपातिकता गुणांक "लैम्ब्डा" के साथ रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है:

या समन्वय के अनुसार:

यह सबसे साधारण निकला रैखिक समीकरणों की प्रणालीतीन अज्ञात के साथ, जो मानक रूप से हल करने योग्य है, उदाहरण के लिए, क्रैमर विधि. लेकिन यहां थोड़ा खून बहाकर निकलने का अवसर है, तीसरे समीकरण से हम "लैम्ब्डा" व्यक्त करेंगे और इसे पहले और दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे:

इस प्रकार: , और "लैम्ब्डा" की हमें आवश्यकता नहीं है। यह तथ्य कि मापदंडों का मान समान निकला, शुद्ध संयोग है।

5) आकाश पूरी तरह से साफ हो जाता है, पाए गए मूल्यों को प्रतिस्थापित करें हमारे स्थानों के लिए:

दिशा वेक्टर की विशेष रूप से आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इसका समकक्ष पहले ही मिल चुका है।

बाद लंबा रास्ताजाँच करना हमेशा मज़ेदार होता है।

:

सही समानताएँ प्राप्त होती हैं।

बिंदु के निर्देशांकों को समीकरणों में रखें :

सही समानताएँ प्राप्त होती हैं।

6) अंतिम राग: हम एक बिंदु (आप ले सकते हैं) और एक निर्देशित वेक्टर के लिए एक सीधी रेखा के समीकरण बनाएंगे:

सिद्धांत रूप में, आप पूर्णांक निर्देशांक के साथ एक "अच्छा" बिंदु चुन सकते हैं, लेकिन यह कॉस्मेटिक है।

प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?

घ) हमने ड्रैगन का चौथा सिर काट दिया।

विधि एक. रास्ता भी नहीं, छोटा सा है विशेष मामला. प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी उनके उभयनिष्ठ लंब की लंबाई के बराबर होती है: .

उभयनिष्ठ लम्ब के चरम बिंदु पिछले पैराग्राफ में पाया गया, और कार्य प्राथमिक है:

विधि दो. व्यवहार में, अक्सर सामान्य लंब के सिरे अज्ञात होते हैं, इसलिए एक अलग दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है। दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के माध्यम से समानांतर तल खींचना संभव है, और दिए गए तलों के बीच की दूरी दी गई रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर है। विशेष रूप से, इन तलों के बीच एक सामान्य लंब चिपक जाता है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के दौरान, उपरोक्त विचारों से, तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए एक सूत्र प्राप्त किया गया था:
(हमारे अंक "उन्हें एक, दो" के बजाय हम सीधी रेखाओं के मनमाने बिंदु ले सकते हैं)।

सदिशों का मिश्रित उत्पादपैराग्राफ "ए" में पहले से ही पाया गया: .

वैक्टर का क्रॉस उत्पादपैराग्राफ "बी" में पाया गया: , इसकी लंबाई की गणना करें:

इस प्रकार:

ट्राफियों को गर्व से एक पंक्ति में रखें:

उत्तर:
ए) , इसलिए, रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था;
बी) ;
वी) ;
जी)

प्रतिच्छेदी रेखाओं के बारे में और क्या कहा जा सकता है? उनके बीच एक कोण परिभाषित किया गया है। लेकिन अगले पैराग्राफ में सार्वभौमिक कोण सूत्र पर विचार करें:

प्रतिच्छेदी सीधी रेखाएँ आवश्यक रूप से एक ही तल में होती हैं:

पहला विचार यह है कि अपनी पूरी ताकत से चौराहे के बिंदु पर झुकें। और तुरंत मैंने सोचा, अपने आप को सही इच्छाओं से वंचित क्यों करें?! आइए अभी इस पर कूदें!

स्थानिक रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण 14

रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए

समाधान: आइए रेखाओं के समीकरणों को पैरामीट्रिक रूप में फिर से लिखें:

इस पाठ के उदाहरण संख्या 7 में इस कार्य पर विस्तार से विचार किया गया है (देखें)। अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरण). और सीधी रेखाएँ, वैसे, मैंने उदाहरण संख्या 12 से ली हैं। मैं झूठ नहीं बोलूँगा, मैं नई रेखाओं का आविष्कार करने के लिए बहुत आलसी हूँ।

समाधान मानक है और जब हमने तिरछी रेखाओं के सामान्य लंब के समीकरणों पर काम किया तो इसका सामना पहले ही किया जा चुका है।

रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु रेखा से संबंधित होता है, इसलिए इसके निर्देशांक इस रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों को संतुष्ट करते हैं, और वे इसके अनुरूप होते हैं एक बहुत ही विशिष्ट पैरामीटर मान:

लेकिन वही बिंदु दूसरी पंक्ति का है, इसलिए:

हम संगत समीकरणों को बराबर करते हैं और सरलीकरण करते हैं:

तीन की एक प्रणाली रेखीय समीकरणदो अज्ञात के साथ. यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं (जैसा कि उदाहरण 12 में सिद्ध है), तो सिस्टम आवश्यक रूप से सुसंगत है और इसका एक अद्वितीय समाधान है। इसे सुलझाया जा सकता है गॉस विधि, लेकिन हम इस तरह के किंडरगार्टन अंधभक्ति के साथ पाप नहीं करेंगे, आइए इसे आसान करें: पहले समीकरण से हम "ते शून्य" व्यक्त करते हैं और इसे दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

पिछले दो समीकरण मूलतः एक जैसे ही निकले और उनसे यह पता चलता है कि . तब:

आइए पैरामीटर के पाए गए मान को समीकरणों में प्रतिस्थापित करें:

उत्तर:

जाँच करने के लिए, हम पैरामीटर के पाए गए मान को समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं:
जाँचने के लिए आवश्यक समान निर्देशांक प्राप्त किए गए। सूक्ष्म पाठक रेखाओं के मूल विहित समीकरणों में बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

वैसे, इसके विपरीत करना संभव था: "es शून्य" के माध्यम से बिंदु ढूंढें, और इसे "te शून्य" के माध्यम से जांचें।

एक प्रसिद्ध गणितीय संकेत कहता है: जहां सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन की चर्चा होती है, वहां हमेशा लंब की गंध आती है।

किसी दिए गए स्थान पर लंबवत स्थान की रेखा कैसे बनाएं?

(रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं)

उदाहरण 15

a) रेखा के लंबवत एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा के समीकरण बनाएं (रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं)।

बी) बिंदु से रेखा तक की दूरी ज्ञात करें।

टिप्पणी : खंड "रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं" - महत्वपूर्ण. बिंदु के माध्यम से
अनंत संख्या में लंबवत रेखाएं खींचना संभव है जो रेखा "एल" के साथ प्रतिच्छेद करेंगी। एकमात्र समाधान तब होता है जब किसी दिए गए बिंदु से लंबवत एक रेखा खींची जाती है दोदी गई सीधी रेखाएँ (उदाहरण संख्या 13, पैराग्राफ "बी" देखें)।

ए) समाधान: अज्ञात रेखा को . से निरूपित करें। आइए एक योजनाबद्ध चित्र बनाएं:

रेखा के बारे में क्या ज्ञात है? शर्त के अनुसार एक अंक दिया गया है। एक सीधी रेखा के समीकरण बनाने के लिए दिशा सदिश ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसे वेक्टर के रूप में, वेक्टर काफी उपयुक्त है, और हम इससे निपटेंगे। अधिक सटीक रूप से, आइए इसे पूरी तरह से समझें अज्ञात अंतवेक्टर।

1) हम इसके निर्देशन वेक्टर को सीधी रेखा "एल" के समीकरणों से निकालेंगे, और हम समीकरणों को पैरामीट्रिक रूप में फिर से लिखेंगे:

कई लोगों ने अनुमान लगाया कि अब तीसरी बार किसी पाठ में जादूगर को अपनी टोपी से एक सफेद हंस मिलेगा। अज्ञात निर्देशांक वाले एक बिंदु पर विचार करें। बिंदु के बाद से, इसके निर्देशांक सीधी रेखा "एल" के पैरामीट्रिक समीकरणों को संतुष्ट करते हैं और वे एक विशिष्ट पैरामीटर मान के अनुरूप होते हैं:

या एक पंक्ति में:

2) शर्त के अनुसार, रेखाएँ लंबवत होनी चाहिए, इसलिए, उनके दिशा सदिश ओर्थोगोनल हैं। और यदि सदिश ओर्थोगोनल हैं, तो उनके अदिश उत्पादशून्य के बराबर:

क्या हुआ? एक अज्ञात के साथ सबसे सरल रैखिक समीकरण:

3) पैरामीटर का मान ज्ञात है, आइए बिंदु खोजें:

और दिशा वेक्टर:
.

4) हम बिंदु और दिशा वेक्टर द्वारा सीधी रेखा के समीकरण बनाएंगे :

अनुपात के हर भिन्नात्मक निकले, और ठीक यही स्थिति है जब भिन्नों से छुटकारा पाना उचित है। मैं बस उन्हें -2 से गुणा कर दूंगा:

उत्तर:

टिप्पणी : समाधान का अधिक कठोर अंत इस प्रकार तैयार किया गया है: हम एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण बनाते हैं . वास्तव में, यदि कोई वेक्टर एक सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर है, तो उसके संरेख वाला वेक्टर स्वाभाविक रूप से इस सीधी रेखा का एक निर्देशित वेक्टर भी होगा।

सत्यापन में दो चरण होते हैं:

1) ऑर्थोगोनैलिटी के लिए रेखाओं के दिशा सदिशों की जाँच करें;

2) हम प्रत्येक सीधी रेखा के समीकरणों में बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते हैं, उन्हें यहां और वहां दोनों जगह "फिट" होना चाहिए।

विशिष्ट कार्रवाइयों के बारे में बहुत चर्चा हुई, इसलिए मैंने एक मसौदे की जांच की।

वैसे, मैं एक और सनक भूल गया - सीधी रेखा "एल" के संबंध में बिंदु "एन" के सममित बिंदु "मुकदमा" का निर्माण करना। हालाँकि, एक अच्छा "फ्लैट एनालॉग" है, जो लेख में पाया जा सकता है समतल पर सीधी रेखा की सबसे सरल समस्याएँ. यहां, सारा अंतर अतिरिक्त "Z" निर्देशांक में होगा।

अंतरिक्ष में एक बिंदु से एक रेखा की दूरी कैसे ज्ञात करें?

बी) समाधान: एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात करें।

विधि एक. दी गई दूरीलम्ब की लंबाई के बिल्कुल बराबर: . समाधान स्पष्ट है: यदि बिंदु ज्ञात हैं , वह:

विधि दो. व्यावहारिक समस्याओं में, लंब का आधार अक्सर एक रहस्य होता है, इसलिए तैयार सूत्र का उपयोग करना अधिक तर्कसंगत है।

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है:
, सीधी रेखा "एल" का दिशा वेक्टर कहां है, और - मनमानाकिसी दी गई रेखा पर एक बिंदु.

1) सीधी रेखा के समीकरणों से हमें दिशा वेक्टर और सबसे सुलभ बिंदु मिलता है।

2) स्थिति से पता चलता है बिंदु, वेक्टर को तेज करें:

3) आइए खोजें वेक्टर उत्पादऔर इसकी लंबाई की गणना करें:

4) दिशा वेक्टर की लंबाई की गणना करें:

5) इस प्रकार, एक बिंदु से एक रेखा की दूरी:

समन्वय विधि का उपयोग करके कुछ ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है। अक्सर, किसी को समतल पर दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक की तलाश करनी होती है, लेकिन कभी-कभी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक हो जाता है। इस लेख में, हम उस बिंदु के निर्देशांक खोजने से निपटेंगे जिस पर दो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं।

पेज नेविगेशन.

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु एक परिभाषा है।

आइए सबसे पहले दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को परिभाषित करें।

इस प्रकार, सामान्य समीकरणों द्वारा समतल पर परिभाषित दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए, दी गई रेखाओं के समीकरणों से बनी प्रणाली को हल करना आवश्यक है।

आइए एक उदाहरण समाधान पर विचार करें.

उदाहरण।

समीकरण x-9y+14=0 और 5x-2y-16=0 द्वारा समतल में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं।

समाधान।

हमें रेखाओं के दो सामान्य समीकरण दिए गए हैं, हम उनसे एक प्रणाली बनाएंगे: . परिणामी समीकरण प्रणाली का समाधान आसानी से मिल जाता है यदि इसका पहला समीकरण चर x के संबंध में हल किया जाता है और इस अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है:

समीकरणों की प्रणाली का पाया गया समाधान हमें दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के वांछित निर्देशांक देता है।

उत्तर:

एम 0 (4, 2) x-9y+14=0 और 5x-2y-16=0 .

इसलिए, समतल पर सामान्य समीकरणों द्वारा परिभाषित दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना, दो अज्ञात चर वाले दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए कम किया जाता है। लेकिन क्या होगा यदि समतल पर रेखाएँ सामान्य समीकरणों द्वारा नहीं, बल्कि एक अलग प्रकार के समीकरणों द्वारा दी गई हों (देखें)। समतल पर सीधी रेखा के समीकरण के प्रकार)? इन मामलों में, आप पहले कर सकते हैं रेखाओं के समीकरणों को सामान्य रूप में लाएँ, और उसके बाद प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें।

उदाहरण।

और ।

समाधान।

दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने से पहले, हम उनके समीकरणों को कम करते हैं सामान्य रूप से देखें. इससे स्थानांतरित करें सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण इस सीधी रेखा का सामान्य समीकरण इस प्रकार है:

अब खर्च करते हैं आवश्यक कार्रवाईसाथ रेखा का विहित समीकरण :

इस प्रकार, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के वांछित निर्देशांक प्रपत्र के समीकरणों की प्रणाली का समाधान हैं . हम इसे हल करने के लिए उपयोग करते हैं:

उत्तर:

एम 0 (-5, 1)

समतल में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का एक और तरीका है। इसका उपयोग तब सुविधाजनक होता है जब किसी एक पंक्ति को प्रपत्र के पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दिया जाता है , और दूसरा - एक अलग रूप की सीधी रेखा का समीकरण। इस स्थिति में, किसी अन्य समीकरण में, चर x और y के बजाय, आप व्यंजकों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं और , जिससे वह मान प्राप्त करना संभव होगा जो दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से मेल खाता है। इस मामले में, रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक होते हैं।

आइए पिछले उदाहरण से रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार ज्ञात करें।

उदाहरण।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें और ।

समाधान।

प्रत्यक्ष अभिव्यक्ति के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

परिणामी समीकरण को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है। यह मान रेखाओं के उभयनिष्ठ बिंदु से मेल खाता है और । हम पैरामीट्रिक समीकरणों में सीधी रेखा को प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक की गणना करते हैं:
.

उत्तर:

म0(-5,1) .

तस्वीर को पूरा करने के लिए एक और बिंदु पर चर्चा की जानी चाहिए.

समतल में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने से पहले, यह सुनिश्चित करना उपयोगी होता है कि दी गई रेखाएँ वास्तव में प्रतिच्छेद करती हैं। यदि यह पता चलता है कि मूल रेखाएँ मेल खाती हैं या समानांतर हैं, तो ऐसी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने का कोई सवाल ही नहीं उठता।

आप निश्चित रूप से, इस तरह की जांच के बिना कर सकते हैं, और तुरंत फॉर्म के समीकरणों की एक प्रणाली बना सकते हैं और इसे हल करें. यदि समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान है, तो यह उस बिंदु के निर्देशांक देता है जिस पर मूल रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं। यदि समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मूल रेखाएँ समानांतर हैं (क्योंकि वास्तविक संख्या x और y की ऐसी कोई जोड़ी नहीं है जो एक साथ दी गई रेखाओं के दोनों समीकरणों को संतुष्ट कर सके)। समीकरणों की प्रणाली के समाधानों के अनंत सेट की उपस्थिति से, यह निष्कर्ष निकलता है कि मूल रेखाओं में अनंत रूप से कई बिंदु समान होते हैं, अर्थात वे मेल खाते हैं।

आइए ऐसे उदाहरण देखें जो इन स्थितियों में फिट बैठते हों।

उदाहरण।

पता लगाएँ कि क्या रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, और यदि वे प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें।

समाधान।

दिए गए समीकरणरेखाएँ समीकरणों के अनुरूप हैं और . आइए इन समीकरणों से बनी प्रणाली को हल करें .

यह स्पष्ट है कि सिस्टम के समीकरण एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किए जाते हैं (सिस्टम का दूसरा समीकरण पहले से उसके दोनों भागों को 4 से गुणा करके प्राप्त किया जाता है), इसलिए, समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं। इस प्रकार, समीकरण एक ही रेखा को परिभाषित करते हैं, और हम इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के बारे में बात नहीं कर सकते हैं।

उत्तर:

समीकरण और आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी में एक ही सीधी रेखा निर्धारित करते हैं, इसलिए हम चौराहे बिंदु के निर्देशांक खोजने के बारे में बात नहीं कर सकते हैं।

उदाहरण।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और , अगर संभव हो तो।

समाधान।

समस्या की स्थिति यह स्वीकार करती है कि रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं कर सकती हैं। आइए इन समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं। इसके समाधान के लिए लागू, क्योंकि यह आपको समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता या असंगतता स्थापित करने की अनुमति देता है, और यदि यह संगत है, तो समाधान ढूंढें:

गॉस विधि के प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम के बाद प्रणाली का अंतिम समीकरण गलत समानता में बदल गया, इसलिए, समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मूल रेखाएँ समानांतर हैं, और हम इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के बारे में बात नहीं कर सकते हैं।

दूसरा उपाय.

आइए जानें कि दी गई रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं या नहीं।

- सामान्य वेक्टर सीधा , और वेक्टर रेखा का एक सामान्य सदिश है . आइए निष्पादन की जाँच करें और : समानता सत्य है, इसलिए, दी गई रेखाओं के सामान्य सदिश संरेख होते हैं। फिर, ये रेखाएँ समानांतर या संपाती होती हैं। इस प्रकार, हम मूल रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक नहीं पा सकते हैं।

उत्तर:

दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना असंभव है, क्योंकि ये रेखाएँ समानांतर हैं।

उदाहरण।

रेखाओं 2x-1=0 के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं।

समाधान।

हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं जो दी गई रेखाओं के सामान्य समीकरण हैं: . समीकरणों की इस प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न है , इसलिए समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है, जो दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन को इंगित करता है।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हमें सिस्टम को हल करने की आवश्यकता है:

परिणामी समाधान हमें रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक देता है, अर्थात, 2x-1=0 और .

उत्तर:

अंतरिक्ष में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक समान रूप से पाए जाते हैं।

आइए उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण।

समीकरणों द्वारा अंतरिक्ष में दिए गए दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें और .

समाधान।

हम दी गई रेखाओं के समीकरणों से समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं: . इस प्रणाली का समाधान हमें अंतरिक्ष में रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के वांछित निर्देशांक देगा। आइए हम समीकरणों की लिखित प्रणाली का हल खोजें।

सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का रूप है , और विस्तारित .

आइए परिभाषित करें ए और मैट्रिक्स टी की रैंक। हम उपयोग करते हैं

मान लीजिए कि दो रेखाएँ दी गई हैं और उनका प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना आवश्यक है। चूँकि यह बिंदु दी गई दो रेखाओं में से प्रत्येक से संबंधित है, इसके निर्देशांक को पहली रेखा के समीकरण और दूसरी रेखा के समीकरण दोनों को संतुष्ट करना चाहिए।

इस प्रकार, दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, समीकरणों की प्रणाली को हल करना चाहिए

उदाहरण 1. रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए तथा

समाधान। हम समीकरणों की प्रणाली को हल करके वांछित प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक पाएंगे

प्रतिच्छेदन बिंदु M के निर्देशांक हैं

आइए हम दिखाते हैं कि इसके समीकरण से एक सीधी रेखा कैसे बनाई जाती है। एक रेखा खींचने के लिए उसके दो बिंदुओं को जानना पर्याप्त है। इनमें से प्रत्येक बिंदु को आलेखित करने के लिए, हम उसके एक निर्देशांक को एक मनमाना मान देते हैं, और फिर समीकरण से हम दूसरे निर्देशांक का संगत मान ज्ञात करते हैं।

मैं फ़िन सामान्य समीकरणचूँकि वर्तमान निर्देशांक पर दोनों गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं, तो इस रेखा के निर्माण के लिए निर्देशांक अक्षों के साथ इसके प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को खोजना सबसे अच्छा है।

उदाहरण 2. एक सीधी रेखा बनाइये।

समाधान। x-अक्ष के साथ इस रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, हम उनके समीकरणों को एक साथ हल करते हैं:

और हमें मिलता है. इस प्रकार, भुज अक्ष के साथ इस सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन का बिंदु M (3; 0) पाया गया (चित्र 40)।

फिर दी गई रेखा के समीकरण और y-अक्ष के समीकरण को संयुक्त रूप से हल करना

हम y-अक्ष के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं। अंत में, हम इसके दो बिंदुओं M और से एक रेखा बनाते हैं