जीवन में कभी-कभी ऐसे हालात होते हैं जब आपको लंबे समय से भूले हुए स्कूली ज्ञान की तलाश में अपनी याददाश्त में तल्लीन करना पड़ता है। उदाहरण के लिए, आपको एक त्रिकोणीय आकार के भूमि भूखंड का क्षेत्रफल निर्धारित करने की आवश्यकता है, या एक अपार्टमेंट या एक निजी घर में अगली मरम्मत की बारी आ गई है, और आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि इसमें कितनी सामग्री लगेगी त्रिकोणीय आकार वाली सतह के लिए। एक समय था जब आप इस तरह की समस्या को कुछ मिनटों में हल कर सकते थे, और अब आप यह याद करने की पूरी कोशिश कर रहे हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निर्धारित किया जाए?

आपको इस बारे में चिंता करने की ज़रूरत नहीं है! आखिरकार, यह बिल्कुल सामान्य है जब मानव मस्तिष्क लंबे समय से अप्रयुक्त ज्ञान को किसी दूरस्थ कोने में स्थानांतरित करने का निर्णय लेता है, जहां से इसे निकालना कभी-कभी इतना आसान नहीं होता है। ताकि आपको इस तरह की समस्या को हल करने के लिए भूले हुए स्कूली ज्ञान की खोज में परेशानी न हो, इस लेख में शामिल हैं विभिन्न तरीके, जिससे त्रिभुज का वांछित क्षेत्रफल ज्ञात करना आसान हो जाता है।

यह सर्वविदित है कि त्रिभुज एक प्रकार का बहुभुज है जो न्यूनतम . तक सीमित होता है संभावित संख्यापक्ष। सिद्धांत रूप में, किसी भी बहुभुज को उसके शीर्षों को उन खंडों से जोड़कर कई त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है जो उसकी भुजाओं को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। इसलिए त्रिभुज को जानकर आप लगभग किसी भी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

जीवन में होने वाले सभी संभावित त्रिभुजों में, निम्नलिखित विशेष प्रकारों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: और आयताकार।

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सबसे आसान तरीका यह है कि जब इसका एक कोना सही हो, यानी समकोण त्रिभुज के मामले में। यह देखना आसान है कि यह आधा आयत है। इसलिए, इसका क्षेत्रफल उन भुजाओं के आधे गुणनफल के बराबर है, जो उनके बीच एक समकोण बनाती हैं।

यदि हम एक त्रिभुज की ऊँचाई जानते हैं, जो उसके एक शीर्ष से विपरीत दिशा में कम है, और इस भुजा की लंबाई, जिसे आधार कहा जाता है, तो क्षेत्रफल की गणना ऊँचाई और आधार के आधे गुणनफल के रूप में की जाती है। यह निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके लिखा गया है:

एस = 1/2*बी*एच, जिसमें

S त्रिभुज का वांछित क्षेत्रफल है;

b, h - क्रमशः त्रिभुज की ऊँचाई और आधार।

समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करना इतना आसान है, क्योंकि ऊँचाई विपरीत भुजा को समद्विभाजित करेगी, और इसे आसानी से मापा जा सकता है। यदि क्षेत्र निर्धारित किया जाता है, तो एक समकोण बनाने वाली भुजा की लंबाई को ऊंचाई के रूप में लेना सुविधाजनक होता है।

यह सब निश्चित रूप से अच्छा है, लेकिन यह कैसे निर्धारित किया जाए कि त्रिभुज का कोई एक कोना सही है या नहीं? अगर हमारे फिगर का साइज छोटा है तो आप बिल्डिंग एंगल, ड्रॉइंग ट्राएंगल, पोस्टकार्ड या आयताकार शेप वाली दूसरी वस्तु का इस्तेमाल कर सकते हैं।

लेकिन क्या होगा अगर हमारे पास त्रिभुज है भूमि का भाग? इस मामले में, निम्नानुसार आगे बढ़ें: प्रस्तावित के ऊपर से गिनें समकोणएक तरफ, 3 (30 सेमी, 90 सेमी, 3 मीटर) की दूरी गुणक और दूसरी तरफ, 4 (40 सेमी, 160 सेमी, 4 मीटर) की दूरी गुणक समान अनुपात में मापा जाता है। अब आपको इन दो खंडों के अंतिम बिंदुओं के बीच की दूरी को मापने की आवश्यकता है। यदि मान 5 (50 सेमी, 250 सेमी, 5 मीटर) का गुणज है, तो यह तर्क दिया जा सकता है कि कोण सही है।

यदि हमारी आकृति की तीनों भुजाओं में से प्रत्येक की लंबाई का मान ज्ञात हो, तो हीरोन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है। इसका एक सरल रूप होने के लिए, एक नए मान का उपयोग किया जाता है, जिसे अर्ध-परिधि कहा जाता है। यह हमारे त्रिभुज की सभी भुजाओं का योग है, जो आधे में विभाजित है। अर्ध-परिधि की गणना के बाद, आप सूत्र का उपयोग करके क्षेत्र निर्धारित करना शुरू कर सकते हैं:

एस = वर्ग (पी (पी-ए) (पी-बी) (पी-सी)), कहा पे

वर्ग- वर्गमूल;

p अर्ध-परिधि का मान है (p =(a+b+c)/2);

ए, बी, सी - त्रिभुज के किनारे (भुजाएँ)।

लेकिन क्या होगा अगर त्रिभुज है अनियमित आकार? यहां दो संभावित तरीके हैं। इनमें से पहला यह है कि ऐसी आकृति को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करने का प्रयास किया जाए, जिनके क्षेत्रफलों का योग अलग-अलग परिकलित किया जाता है, और फिर जोड़ा जाता है। या, यदि दोनों पक्षों के बीच का कोण और इन भुजाओं का आकार ज्ञात हो, तो सूत्र लागू करें:

एस = 0.5 * एबी * पापसी, जहां

ए, बी - त्रिभुज की भुजाएँ;

c इन भुजाओं के बीच का कोण है।

बाद वाला मामला व्यवहार में दुर्लभ है, लेकिन फिर भी, जीवन में सब कुछ संभव है, इसलिए उपरोक्त सूत्र अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा। आपकी गणना के साथ शुभकामनाएँ!

विपरीत शीर्ष से) और परिणामी उत्पाद को दो से विभाजित करें। रूप में यह इस तरह दिखता है:

एस = ½ * ए * एच,

कहाँ पे:
S त्रिभुज का क्षेत्रफल है,
a इसकी भुजा की लंबाई है,
h इस तरफ कम की गई ऊंचाई है।

साइड की लंबाई और ऊंचाई समान इकाइयों में प्रस्तुत की जानी चाहिए। इस मामले में, त्रिभुज का क्षेत्रफल संबंधित "" इकाइयों में निकलेगा।

उदाहरण।
20 सेमी लंबे स्केलीन त्रिभुज की एक भुजा पर, विपरीत शीर्ष से 10 सेमी लंबा एक लंब नीचे किया जाता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल आवश्यक है।
समाधान।
एस = ½ * 20 * 10 = 100 (सेमी²)।

यदि आप किसी स्केलीन त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोण को जानते हैं, तो सूत्र का उपयोग करें:

एस = ½ * ए * बी * पापγ,

जहां: ए, बी दो मनमानी पक्षों की लंबाई हैं, और γ उनके बीच का कोण है।

व्यवहार में, उदाहरण के लिए, भूमि को मापते समय, उपरोक्त सूत्रों का उपयोग कभी-कभी कठिन होता है, क्योंकि इसके लिए अतिरिक्त निर्माण और कोणों की माप की आवश्यकता होती है।

यदि आप एक विषमबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई जानते हैं, तो हीरोन के सूत्र का उपयोग करें:

एस = √ (पी (पी-ए) (पी-बी) (पी-सी)),

a, b, c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं,
р - अर्ध-परिधि: p = (a+b+c)/2.

यदि, सभी भुजाओं की लंबाई के अतिरिक्त, त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात हो, तो निम्न संहत सूत्र का प्रयोग करें:

जहां: r खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या है (p अर्ध-परिधि है)।

परिचालित वृत्त के एक विषमकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल और उसकी भुजाओं की लंबाई की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें:

जहाँ: R परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।

यदि त्रिभुज की भुजाओं में से एक की लंबाई और तीन कोण ज्ञात हैं (सिद्धांत रूप में, दो पर्याप्त हैं - तीसरे के मान की गणना त्रिभुज के तीन कोणों के योग की समानता से की जाती है - 180º), तो उपयोग करें सूत्र:

एस = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

जहाँ α भुजा a के सम्मुख कोण का मान है;
β, त्रिभुज के शेष दो कोणों के मान हैं।

क्षेत्र सहित विभिन्न तत्वों को खोजने की आवश्यकता त्रिकोण, हमारे युग से कई सदियों पहले खगोलविदों के बीच दिखाई दिए प्राचीन ग्रीस. वर्ग त्रिकोणगणना की जा सकती है विभिन्न तरीकेविभिन्न सूत्रों का उपयोग करना। गणना विधि किन तत्वों पर निर्भर करती है त्रिकोणज्ञात।

अनुदेश

यदि शर्त से हम दोनों पक्षों b, c और उनके द्वारा बनाए गए कोण के मान ज्ञात करें?, तो क्षेत्रफल त्रिकोणएबीसी सूत्र द्वारा पाया जाता है:
एस = (बीसीएसआईएन?)/2।

यदि शर्त से हम दोनों पक्षों a, b और उनके द्वारा नहीं बने कोण के मान ज्ञात करें?, तो क्षेत्रफल त्रिकोणएबीसी निम्नानुसार पाया जाता है:
कोण ढूँढना ?, पाप? = bsin? / a, आगे की मेज पर हम कोण को ही निर्धारित करते हैं।
एक कोण ढूँढना? = 180°-?-?.
S = (absin?)/2 का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

अगर शर्त से हम केवल तीन पक्षों के मूल्यों को जानते हैं त्रिकोणए, बी और सी, फिर क्षेत्र त्रिकोणएबीसी सूत्र द्वारा पाया जाता है:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , जहां p सेमीपरिमीटर p = (a+b+c)/2 है

अगर समस्या की स्थिति से हम ऊंचाई जानते हैं त्रिकोण h और वह भुजा जिससे यह ऊँचाई कम की जाती है, तो क्षेत्रफल त्रिकोणएबीसी सूत्र द्वारा:
एस = आह (ए) / 2 = बीएच (बी) / 2 = सीएच (सी) / 2।

अगर हम पक्षों के मूल्यों को जानते हैं त्रिकोणए, बी, सी और दिए गए के पास परिबद्ध की त्रिज्या त्रिकोणआर, तो इसका क्षेत्रफल त्रिकोणएबीसी सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
एस = एबीसी / 4 आर।
यदि तीन भुजाएँ a, b, c और अंकित की त्रिज्या ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल त्रिकोणएबीसी सूत्र द्वारा पाया जाता है:
एस = पीआर, जहां पी सेमीपेरीमीटर है, पी = (ए+बी+सी)/2।

यदि ABC समबाहु है, तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
एस = (ए ^ 2 वी 3) / 4।
यदि त्रिभुज ABC समद्विबाहु है, तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
एस = (सीवी(4ए^2-सी^2))/4, जहां सी है त्रिकोण.
यदि त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है, तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
एस = एबी/2, जहां ए और बी पैर हैं त्रिकोण.
यदि त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
एस = सी^2/4 = ए^2/2, जहां सी कर्ण है त्रिकोण, ए = बी - पैर।

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स्रोत:

• त्रिभुज के क्षेत्रफल को कैसे मापें

टिप 3: यदि आप कोण जानते हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए केवल एक पैरामीटर (कोण का मान) जानना पर्याप्त नहीं है ट्रे वर्ग . यदि कोई है अतिरिक्त आयाम, फिर क्षेत्र का निर्धारण करने के लिए, आप उन सूत्रों में से एक को चुन सकते हैं जिनमें कोण के मान का उपयोग ज्ञात चरों में से एक के रूप में भी किया जाता है। सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले कुछ फ़ार्मुलों को नीचे सूचीबद्ध किया गया है।

अनुदेश

यदि, दोनों पक्षों द्वारा बने कोण (γ) के अतिरिक्त ट्रे वर्ग , इन भुजाओं की लंबाई (A और B) भी ज्ञात हैं, तो वर्ग(एस) आंकड़े पक्ष की लंबाई के आधे उत्पाद और इस ज्ञात कोण की साइन के रूप में परिभाषित किए जा सकते हैं: एस = ½ × ए × बी × पाप (γ)।

त्रिभुज है ज्यामितीय आकृति, जिसमें तीन रेखाएँ होती हैं जो उन बिंदुओं पर जुड़ती हैं जो एक ही रेखा पर नहीं होती हैं। रेखाओं के संयोजन बिंदु त्रिभुज के शीर्ष होते हैं, जिन्हें निरूपित किया जाता है लैटिन अक्षरों के साथ(उदाहरण के लिए, ए, बी, सी)। त्रिभुज की जोड़ने वाली सीधी रेखाओं को खंड कहा जाता है, जिन्हें आमतौर पर लैटिन अक्षरों में भी दर्शाया जाता है। निम्नलिखित प्रकार के त्रिभुज हैं:

• आयताकार।
• कुंद।
• तीक्ष्ण कोण वाला।
• बहुमुखी प्रतिभा संपन्न।
• समबाहु।
• समद्विबाहु।

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सामान्य सूत्र

लंबाई और ऊंचाई के लिए त्रिभुज क्षेत्र सूत्र

एस = ए * एच / 2,
जहाँ a त्रिभुज की भुजा की लंबाई है जिसका क्षेत्रफल ज्ञात करना है, h आधार तक खींची गई ऊँचाई की लंबाई है।

हीरोन का सूत्र

एस=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
जहाँ वर्गमूल है, p त्रिभुज का अर्धपरिधि है, a,b,c त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई है। त्रिभुज के अर्धपरिमाप की गणना सूत्र p=(a+b+c)/2 का उपयोग करके की जा सकती है।

कोण और खंड की लंबाई के संदर्भ में त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

एस = (ए * बी * पाप (α)) / 2,
कहाँ पे बी, सी isत्रिभुज की भुजाओं की लंबाई, sin (α) दोनों पक्षों के बीच के कोण की ज्या है।

एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र जो खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या और तीन भुजाओं को दिया गया है

एस = पी * आर,
जहाँ p उस त्रिभुज का अर्धपरिधि है जिसका क्षेत्रफल ज्ञात करना है, r इस त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है।

एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र जिसमें तीन भुजाएँ दी गई हैं और एक वृत्त की त्रिज्या उसके चारों ओर परिचालित है

एस= (ए*बी*सी)/4*आर,
जहाँ a,b,c त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई है, R त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।

बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक में त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

बिंदुओं के कार्तीय निर्देशांक xOy प्रणाली में निर्देशांक हैं, जहां x भुज है और y कोटि है। एक समतल पर कार्तीय निर्देशांक प्रणाली xOy को परस्पर लंबवत संख्यात्मक अक्षों कहा जाता है ऑक्स और ओए बिंदु O पर एक सामान्य संदर्भ बिंदु के साथ। यदि इस विमान पर बिंदुओं के निर्देशांक A (x1, y1), B (x2,) के रूप में दिए गए हैं। y2) और C (x3, y3), तो आप निम्न सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं, जो इससे प्राप्त होता है वेक्टर उत्पाददो वैक्टर।
एस = |(x1 - x3) (y2 - y3) - (x2 - x3) (y1 - y3)|/2,
कहाँ || मॉड्यूल के लिए खड़ा है।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

एक समकोण त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसका एक कोण 90 डिग्री होता है। एक त्रिभुज में केवल एक ही ऐसा कोण हो सकता है।

दो पैरों पर एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

एस=ए*बी/2,
जहां ए, बी पैरों की लंबाई है। पैरों को समकोण से सटे पक्ष कहा जाता है।

कर्ण और न्यून कोण दिए गए समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

एस = ए * बी * पाप (α) / 2,
जहाँ a, b त्रिभुज की टाँगें हैं, और sin(α) उस कोण की ज्या है जिस पर रेखाएँ a, b प्रतिच्छेद करती हैं।

पैर और विपरीत कोण द्वारा एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

एस = ए*बी/2*टीजी(बीटा),
जहाँ a, b त्रिभुज के पैर हैं, tg(β) उस कोण की स्पर्शरेखा है जिस पर पैर a, b जुड़े हुए हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें

एक समद्विबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी दो बराबर भुजाएँ होती हैं। इन भुजाओं को भुजाएँ कहते हैं और दूसरी भुजा आधार कहलाती है। समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए आप निम्न में से किसी एक सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए मूल सूत्र

एस = एच * सी / 2,
जहाँ c त्रिभुज का आधार है, h आधार से नीचे किए गए त्रिभुज की ऊँचाई है।

पार्श्व पक्ष और आधार पर एक समद्विबाहु त्रिभुज का सूत्र

एस=(सी/2)* (ए*ए – सी*सी/4),
जहाँ c त्रिभुज का आधार है, a समद्विबाहु त्रिभुज की किसी एक भुजा का मान है।

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

एक समबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
एस = (√3*ए*ए)/4,
जहाँ a समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई है।

उपरोक्त सूत्र आपको त्रिभुज के आवश्यक क्षेत्र की गणना करने की अनुमति देंगे। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि त्रिभुजों की रिक्ति की गणना करने के लिए, त्रिभुज के प्रकार और गणना के लिए उपयोग किए जा सकने वाले उपलब्ध डेटा को ध्यान में रखना चाहिए।

ज्यामिति में कुछ कार्यों, या अधिक सटीक रूप से, प्लानिमेट्री में, किसी दिए गए आंकड़े के क्षेत्र को खोजने की आवश्यकता होती है। किसी भी आकृति का क्षेत्र समस्या का अंतिम लक्ष्य और अधिक जटिल सूत्र में प्रतिस्थापन के लिए आवश्यक मध्यवर्ती गणना दोनों हो सकता है। अक्सर ऐसी समस्याओं में उन्हें एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कहा जाता है। प्रारंभिक डेटा भिन्न हो सकता है। कुछ मामलों में, त्रिभुज की कुछ भुजाएँ और उससे खींची गई ऊँचाई का मान ज्ञात होता है, दूसरों में - त्रिभुज की परिधि, और इसी तरह।

मान लीजिए कि आपको एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कहा जाता है यदि तीन भुजाएँ ज्ञात हों। ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हीरोन के सूत्र का उपयोग किया जाता है। इस सूत्र का उपयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको पहले त्रिभुज (n) के अर्ध-परिधि की गणना करनी होगी। तीनों पक्षों का अर्थ जानकर ऐसा करना प्राथमिक है। आपको त्रिभुज के सभी पक्षों को समेटने की आवश्यकता है - यह इसकी परिधि होगी, और फिर परिणामी मान को दो से विभाजित करें। उसके बाद, त्रिभुज के तीन दिए गए पक्षों में से प्रत्येक की लंबाई के मूल्यों को बारी-बारी से सेमीपरिमीटर के मान से घटाना आवश्यक है, अर्थात, n से घटाएं, फिर n से b घटाएं, और, अंत में, c को n से घटाएं।

प्राप्त तीन अंतरों को आपस में गुणा किया जाना चाहिए और इस उत्पाद को अर्ध-परिधि के मान से फिर से गुणा किया जाना चाहिए। उपरोक्त सभी क्रियाओं को करने और गुणन का परिणाम प्राप्त करने के बाद, इस परिणाम से वर्गमूल निकालना आवश्यक है। वर्गमूल निकालने के बाद जो संख्या प्राप्त होगी वह दिए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा। संक्षेप में, त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र होगा: क्षेत्रफल (S) \u003d का वर्गमूल (n * (n-a) * (n-b) * (n-s)) । जैसा कि सूत्र से समझा जा सकता है, पक्षों के ज्ञात मूल्यों के साथ एक त्रिभुज खोजने का प्रश्न हल करना बहुत आसान है।

उदाहरण के लिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें यदि 3 भुजाएँ ज्ञात हों: भुजा a 3 सेंटीमीटर, भुजा b 4 सेंटीमीटर और भुजा c 2 सेंटीमीटर है। इस त्रिभुज की परिधि a + b + c \u003d 3 सेंटीमीटर + 4 सेंटीमीटर + 2 सेंटीमीटर \u003d 9 सेमी के बराबर होगी। तो अर्ध-परिधि 9: 2 \u003d 4.5 सेंटीमीटर हमें मिलती है: S \u003d वर्गमूल of (4.5 सेंटीमीटर * (4.5 सेंटीमीटर - 3 सेंटीमीटर) * (4.5 सेंटीमीटर - 4 सेंटीमीटर) * (4.5 सेंटीमीटर - 2 सेंटीमीटर)) = 2.9 वर्ग सेंटीमीटर

लेकिन क्या होगा यदि पक्षों के मूल्यों को न केवल जाना जाता है, बल्कि यह भी संकेत दिया जाता है कि वे समस्या की स्थिति के अनुसार समान हैं? इस मामले में, एक त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें यदि सभी भुजाएँ ज्ञात हों और साथ ही वे समान हों? बेशक, आप ऊपर चर्चा किए गए बगुला सूत्र का उपयोग करके भी इसकी गणना कर सकते हैं, लेकिन यदि इस तरह के त्रिकोण के लिए एक और सूत्र प्राप्त किया जाता है, तो अतिरिक्त गणना क्यों की जाती है, जो कि बहुत अधिक है सरल सूत्रबगुला। इस सूत्र के अनुसार, आपको पहले संख्या 3 के वर्गमूल की गणना करनी चाहिए, फिर त्रिभुज की भुजा की लंबाई के मान को दूसरी शक्ति तक बढ़ाएँ, इस मान को संख्या 3 के मूल से दूसरी शक्ति से गुणा करें और गुणा के परिणामस्वरूप प्राप्त गुणनफल को संख्या 4 से भाग दें। आपको दिए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल प्राप्त होता है। लिखे जाने पर, यह सूत्र इस तरह दिखता है: S=(a^2*root(3)) /4

मान लीजिए कि एक त्रिभुज है जिसकी भुजा की लंबाई 3 सेंटीमीटर के बराबर है। इस सूत्र का उपयोग करके, आप ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल प्राप्त कर सकते हैं: S \u003d (3 ^ 2 * जड़ (3)) / 4 \u003d 3.9 वर्ग सेंटीमीटर। यह जांचने के लिए कि किसी विशेष त्रिभुज के क्षेत्रफल के मान की गणना सही ढंग से की गई है या नहीं, आप बगुला सूत्र का उपयोग करके अतिरिक्त गणना कर सकते हैं और परिणामों की तुलना कर सकते हैं।

अर्ध-परिधि (पी) \u003d (3 + 3 + 3) / 2 \u003d 4.5 सेंटीमीटर। हेरॉन के सूत्र के अनुसार है: S \u003d वर्गमूल (4.5 सेंटीमीटर * (4.5 सेंटीमीटर - 3 सेंटीमीटर) * (4.5 सेंटीमीटर - 3 सेंटीमीटर) * (4.5 सेंटीमीटर - 3 सेंटीमीटर)) \u003d 3 .9 वर्ग सेंटीमीटर। विभिन्न सूत्रों द्वारा ज्ञात क्षेत्र के दोनों मान मेल खाते हैं। अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल सही है। किसी अन्य समस्या को हल करते समय, आपको स्थिति में डेटा को ध्यान में रखना चाहिए और इन डेटा के अनुरूप सूत्र का उपयोग करना चाहिए।

त्रिभुज का क्षेत्रफल - समस्या समाधान के सूत्र और उदाहरण

नीचे दिया गया हैं एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्रजो किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयुक्त हैं, चाहे उसके गुण, कोण या आयाम कुछ भी हों। सूत्र चित्र के रूप में प्रस्तुत किए गए हैं, यहां आवेदन या उनकी शुद्धता के औचित्य के लिए स्पष्टीकरण दिए गए हैं। साथ ही, एक अलग आंकड़ा सूत्र में अक्षर प्रतीकों और ड्राइंग में ग्राफिक प्रतीकों के पत्राचार को दर्शाता है।

टिप्पणी . यदि त्रिभुज में विशेष गुण (समद्विबाहु, आयताकार, समबाहु) हैं, तो आप नीचे दिए गए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, साथ ही साथ विशेष सूत्र जो केवल इन गुणों वाले त्रिभुजों के लिए सही हैं:

• "एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र"

त्रिभुज क्षेत्र सूत्र

सूत्रों के लिए स्पष्टीकरण:
ए, बी, सी- त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई जिसका क्षेत्रफल हम ज्ञात करना चाहते हैं
आर- त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या
आर- त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या
एच- त्रिभुज की ऊँचाई, नीचे की ओर की ओर
पी- एक त्रिभुज का अर्धपरिधि, उसकी भुजाओं का योग 1/2 (परिधि)
α - त्रिभुज की भुजा a के सम्मुख कोण
β - त्रिभुज की भुजा b के सम्मुख कोण
γ - त्रिभुज की भुजा c के विपरीत कोण
एच एक, एच बी , एच सी- त्रिभुज की ऊँचाई, नीचे की ओर a, b, c

कृपया ध्यान दें कि दिया गया अंकन ऊपर दिए गए आंकड़े से मेल खाता है, ताकि ज्यामिति में एक वास्तविक समस्या को हल करते समय, आपके लिए दृष्टि से स्थानापन्न करना आसान हो जाए सही जगहसूत्र सही मान।

• त्रिभुज का क्षेत्रफल है त्रिभुज की ऊँचाई का आधा गुणनफल और उस भुजा की लंबाई जिस पर यह ऊँचाई कम की जाती है(सूत्र 1)। इस सूत्र की शुद्धता को तार्किक रूप से समझा जा सकता है। आधार तक कम की गई ऊंचाई एक मनमाना त्रिभुज को दो आयताकारों में विभाजित कर देगी। यदि हम उनमें से प्रत्येक को आयाम b और h के साथ एक आयत में पूरा करते हैं, तो, जाहिर है, इन त्रिभुजों का क्षेत्रफल आयत के ठीक आधे क्षेत्रफल के बराबर होगा (Spr = bh)
• त्रिभुज का क्षेत्रफल है इसकी दो भुजाओं का आधा गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या का आधा(सूत्र 2) (नीचे इस सूत्र का उपयोग करके किसी समस्या को हल करने का एक उदाहरण देखें)। इस तथ्य के बावजूद कि यह पिछले वाले से अलग लगता है, इसे आसानी से इसमें बदला जा सकता है। यदि हम कोण B से भुजा b तक की ऊँचाई कम करते हैं, तो यह पता चलता है कि भुजा a और कोण की ज्या का गुणनफल सही त्रिकोणहमारे द्वारा खींचे गए त्रिभुज की ऊंचाई के बराबर, जो हमें पिछला सूत्र देगा
• एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है के माध्यम से कामएक वृत्त की त्रिज्या का आधा जो उसमें अंकित है, उसकी सभी भुजाओं की लंबाई के योग से(सूत्र 3), दूसरे शब्दों में, आपको त्रिभुज के अर्ध-परिधि को उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या से गुणा करना होगा (इस तरह से याद रखना आसान है)
• एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके चारों ओर परिचालित वृत्त की 4 त्रिज्याओं से उसकी सभी भुजाओं के गुणनफल को विभाजित करके पाया जा सकता है (सूत्र 4)
• फॉर्मूला 5 एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं की लंबाई और उसके अर्ध-परिधि (इसकी सभी भुजाओं के योग का आधा) के संदर्भ में ज्ञात कर रहा है।
• हीरोन का सूत्र(6) एक अर्धपरिमापी की अवधारणा का उपयोग किए बिना, केवल पक्षों की लंबाई के माध्यम से एक ही सूत्र का प्रतिनिधित्व है
• एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल त्रिभुज की भुजा के वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है और इस भुजा से सटे कोणों की ज्या इस भुजा के विपरीत कोण की दोहरी ज्या से विभाजित होती है (सूत्र 7)
• एक मनमाना त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके चारों ओर परिचालित एक वृत्त के दो वर्गों और उसके प्रत्येक कोण की ज्याओं के गुणनफल के रूप में पाया जा सकता है। (फॉर्मूला 8)
• यदि एक भुजा की लंबाई और उससे सटे दो कोणों का परिमाण ज्ञात हो, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल इस भुजा के वर्ग के रूप में पाया जा सकता है, जो इनके कोटंगेंट के दोहरे योग से विभाजित होता है। कोण (सूत्र 9)
• यदि केवल त्रिभुज की प्रत्येक ऊँचाई की लंबाई ज्ञात हो (सूत्र 10), तो ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल इन ऊँचाइयों की लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है, जैसा कि हेरॉन के सूत्र द्वारा
• फॉर्मूला 11 आपको गणना करने की अनुमति देता है एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके शीर्षों के निर्देशांक के अनुसार, जो प्रत्येक कोने के लिए (x;y) मान के रूप में दिए गए हैं। कृपया ध्यान दें कि परिणामी मान को मोडुलो लिया जाना चाहिए, क्योंकि व्यक्तिगत (या सभी) कोने के निर्देशांक नकारात्मक मूल्यों के क्षेत्र में हो सकते हैं

टिप्पणी. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्यामिति में समस्याओं को हल करने के उदाहरण निम्नलिखित हैं। यदि आपको ज्यामिति में एक समस्या को हल करने की आवश्यकता है, जो यहां नहीं है - इसके बारे में फोरम में लिखें। समाधान में, "वर्गमूल" प्रतीक के बजाय sqrt() फ़ंक्शन का उपयोग किया जा सकता है, जिसमें sqrt वर्गमूल प्रतीक है, और मूल अभिव्यक्ति को कोष्ठक में दर्शाया गया है.कभी-कभी प्रतीक का उपयोग सरल मूल भावों के लिए किया जा सकता है √

एक कार्य। दो भुजाओं का क्षेत्रफल और उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए

त्रिभुज की भुजाएँ 5 और 6 सेमी हैं। उनके बीच का कोण 60 डिग्री है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए.

समाधान.

इस समस्या को हल करने के लिए, हम पाठ के सैद्धांतिक भाग से सूत्र संख्या दो का उपयोग करते हैं।
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोण की ज्या के माध्यम से पाया जा सकता है और इसके बराबर होगा
एस=1/2 अब पाप γ

चूंकि हमारे पास समाधान के लिए सभी आवश्यक डेटा हैं (सूत्र के अनुसार), हम केवल समस्या कथन के मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
एस=1/2*5*6*पाप60

मूल्यों की तालिका में त्रिकोणमितीय फलनव्यंजक में ज्या का मान 60 डिग्री खोजें और प्रतिस्थापित करें। यह तीन बटा दो के मूल के बराबर होगा.
एस = 15 3 / 2

उत्तर: 7.5 3 (शिक्षक की आवश्यकताओं के आधार पर, 15 3/2 छोड़ना संभव है)

एक कार्य। एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा 3 सेमी है।

समाधान ।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

एस = 1/4 वर्ग ((ए + बी + सी) (बी + सी - ए) (ए + सी - बी) (ए + बी -सी))

चूँकि a \u003d b \u003d c, एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र रूप लेगा:

एस = 3 / 4 * a2

एस = 3 / 4 * 3 2

उत्तर: 9 √3 / 4.

एक कार्य। भुजाओं की लंबाई बदलते समय क्षेत्रफल में परिवर्तन

यदि त्रिभुज की भुजाओं को चौगुना कर दिया जाए तो त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना गुना बढ़ जाएगा?

समाधान.

चूँकि त्रिभुज की भुजाओं की विमाएँ हमारे लिए अज्ञात हैं, समस्या को हल करने के लिए हम यह मानेंगे कि भुजाओं की लंबाई क्रमशः मनमानी संख्या a, b, c के बराबर है। फिर, समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं, और फिर हम एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं जिसकी भुजाएँ चार गुना बड़ी होती हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात हमें समस्या का उत्तर देगा।

इसके बाद, हम चरणों में समस्या के समाधान का पाठ्य विवरण देते हैं। हालांकि, अंत में, वही समाधान ग्राफिकल रूप में प्रस्तुत किया जाता है जो धारणा के लिए अधिक सुविधाजनक होता है। जो लोग चाहते हैं वे तुरंत समाधान छोड़ सकते हैं।

हल करने के लिए, हम बगुला सूत्र का उपयोग करते हैं (पाठ के सैद्धांतिक भाग में ऊपर देखें)। यह इस तरह दिख रहा है:

एस = 1/4 वर्ग ((ए + बी + सी) (बी + सी - ए) (ए + सी - बी) (ए + बी -सी))
(नीचे दी गई तस्वीर की पहली पंक्ति देखें)

एक मनमाना त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई चर a, b, c द्वारा दी गई है।
यदि भुजाओं को 4 गुना बढ़ा दिया जाए, तो नए त्रिभुज c का क्षेत्रफल होगा:

एस 2 = 1/4 वर्ग ((4 ए + 4 बी + 4 सी) (4 बी + 4 सी - 4 ए) (4 ए + 4 सी - 4 बी) (4 ए + 4 बी -4 सी))
(नीचे चित्र में दूसरी पंक्ति देखें)

जैसा कि आप देख सकते हैं, 4 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है जिसे के अनुसार सभी चार व्यंजकों से कोष्ठक से निकाला जा सकता है सामान्य नियमअंक शास्त्र।
फिर

एस 2 = 1/4 वर्ग (4 * 4 * 4 * 4 (ए + बी + सी) (बी + सी - ए) (ए + सी - बी) (ए + बी -सी)) - चित्र की तीसरी पंक्ति पर
एस 2 = 1/4 वर्ग (256 (ए + बी + सी) (बी + सी - ए) (ए + सी - बी) (ए + बी -सी)) - चौथी पंक्ति

संख्या 256 से वर्गमूल पूरी तरह से निकाला जाता है, इसलिए हम इसे जड़ के नीचे से निकालेंगे
एस 2 = 16 * 1/4 वर्ग ((ए + बी + सी) (बी + सी - ए) (ए + सी - बी) (ए + बी -सी))
एस 2 = 4 वर्ग ((ए + बी + सी) (बी + सी - ए) (ए + सी - बी) (ए + बी -सी))
(नीचे दिए गए चित्र की पांचवीं पंक्ति देखें)

समस्या में उत्पन्न प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमारे लिए परिणामी त्रिभुज के क्षेत्रफल को मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल से विभाजित करना पर्याप्त है।
हम व्यंजकों को एक दूसरे में विभाजित करके और परिणामी भिन्न को घटाकर क्षेत्रफल अनुपात निर्धारित करते हैं।