लघुगणकीय असमानताओं को हल करने के नियम। लघुगणकीय असमानताओं को हल करना

परिचय

गणनाओं को तेज़ और सरल बनाने के लिए लघुगणक का आविष्कार किया गया था। लघुगणक का विचार अर्थात संख्याओं को एक ही आधार की घात के रूप में व्यक्त करने का विचार मिखाइल स्टिफ़ेल का है। लेकिन स्टिफ़ेल के समय गणित इतना विकसित नहीं था और लघुगणक के विचार को अपना विकास नहीं मिला। लॉगरिदम का आविष्कार बाद में स्कॉटिश वैज्ञानिक जॉन नेपियर (1550-1617) और स्विस जॉबस्ट बर्गी (1552-1632) द्वारा एक साथ और स्वतंत्र रूप से किया गया था। नेपियर 1614 में इस काम को प्रकाशित करने वाले पहले व्यक्ति थे। "लघुगणक की अद्भुत तालिका का विवरण" शीर्षक से, नेपियर का लघुगणक का सिद्धांत काफी पूर्ण मात्रा में दिया गया था, लघुगणक की गणना करने की विधि सबसे सरल तरीके से दी गई थी, इसलिए लघुगणक के आविष्कार में नेपियर की योग्यताएं बर्गी की तुलना में अधिक हैं। बर्गी ने नेपियर के साथ ही टेबल पर काम किया, लेकिन कब काउन्हें गुप्त रखा और केवल 1620 में प्रकाशित किया। नेपियर ने 1594 के आसपास लघुगणक के विचार में महारत हासिल की। हालाँकि तालिकाएँ 20 साल बाद प्रकाशित हुईं। सबसे पहले, उन्होंने अपने लघुगणक को "कृत्रिम संख्याएँ" कहा और उसके बाद ही इन "कृत्रिम संख्याओं" को एक शब्द "लघुगणक" में बुलाने का प्रस्ताव रखा, जो ग्रीक में "सहसंबद्ध संख्याएँ" हैं, एक को अंकगणितीय प्रगति से लिया गया है, और दूसरे को इसके लिए विशेष रूप से चयनित ज्यामितीय प्रगति से लिया गया है। रूसी भाषा में पहली तालिकाएँ 1703 में प्रकाशित हुईं। 18वीं सदी के एक उल्लेखनीय शिक्षक की भागीदारी के साथ। एल. एफ. मैग्निट्स्की। लघुगणक के सिद्धांत के विकास में सेंट पीटर्सबर्ग के शिक्षाविद् लियोनार्ड यूलर के कार्य का बहुत महत्व था। वह लघुगणक को घातांक के व्युत्क्रम के रूप में मानने वाले पहले व्यक्ति थे, उन्होंने "लघुगणक का आधार" और "मेंटिसा" शब्द पेश किए। ब्रिग्स ने आधार 10 के साथ लघुगणक की तालिकाएँ संकलित कीं। दशमलव तालिकाएँ व्यावहारिक उपयोग के लिए अधिक सुविधाजनक हैं, उनका सिद्धांत नेपियर के लघुगणक की तुलना में सरल है। इसीलिए दशमलव लघुगणककभी-कभी ब्रिग्स भी कहा जाता है। "विशेषतावादी" शब्द ब्रिग्स द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

उन दूर के समय में, जब बुद्धिमान लोगों ने पहली बार अज्ञात मात्रा वाली समानताओं के बारे में सोचना शुरू किया था, तब शायद अभी तक कोई सिक्के या बटुए नहीं थे। लेकिन दूसरी ओर, ढेर, साथ ही बर्तन, टोकरियाँ भी थीं, जो अज्ञात संख्या में वस्तुओं वाले कैश-भंडार की भूमिका के लिए बिल्कुल उपयुक्त थीं। प्राचीन में गणितीय समस्याएँमेसोपोटामिया, भारत, चीन, ग्रीस, अज्ञात मात्राओं ने बगीचे में मोरों की संख्या, झुंड में बैलों की संख्या, संपत्ति को विभाजित करते समय ध्यान में रखी गई चीजों की समग्रता को व्यक्त किया। गुप्त ज्ञान में दीक्षित शास्त्री, अधिकारी और पुजारी, गिनती के विज्ञान में अच्छी तरह से प्रशिक्षित, ऐसे कार्यों को काफी सफलतापूर्वक पूरा करते थे।

जो सूत्र हमारे पास आए हैं, उनसे संकेत मिलता है कि प्राचीन वैज्ञानिकों के पास अज्ञात मात्राओं की समस्याओं को हल करने के लिए कुछ सामान्य तरीके थे। हालाँकि, एक भी पपीरस, एक भी मिट्टी की गोली इन तकनीकों का विवरण नहीं देती है। लेखक केवल कभी-कभार ही अपनी संख्यात्मक गणनाओं को निम्न टिप्पणियों के साथ प्रदान करते हैं जैसे: "देखो!", "यह करो!", "आपको यह सही लगा।" इस अर्थ में, अपवाद अलेक्जेंड्रिया (III सदी) के ग्रीक गणितज्ञ डायोफैंटस का "अंकगणित" है - उनके समाधानों की व्यवस्थित प्रस्तुति के साथ समीकरणों को संकलित करने के लिए समस्याओं का एक संग्रह।

हालाँकि, 9वीं शताब्दी के बगदाद विद्वान का काम समस्याओं को हल करने के लिए पहला मैनुअल बन गया जो व्यापक रूप से जाना जाने लगा। मुहम्मद बिन मूसा अल-ख्वारिज्मी। इस ग्रंथ के अरबी शीर्षक से "अल-जबर" शब्द - "किताब अल-जबर वल-मुकाबला" ("पुनर्स्थापना और कंट्रास्टिंग की पुस्तक") - अंततः प्रसिद्ध शब्द "बीजगणित" में बदल गया, और अल-ख्वारिज्मी का काम स्वयं समीकरणों को हल करने के विज्ञान के विकास में शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य किया।

लघुगणकीय समीकरण और असमानताएँ

1. लघुगणकीय समीकरण

वह समीकरण जिसमें लघुगणक के चिह्न के नीचे या उसके आधार पर कोई अज्ञात हो, कहलाता है लघुगणकीय समीकरण.

सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण प्रपत्र का समीकरण है

लकड़ी का लट्ठा ए एक्स = बी . (1)

कथन 1. यदि ए > 0, ए≠ 1, किसी वास्तविक के लिए समीकरण (1)। बीएकमात्र समाधान है एक्स = ए बी .

उदाहरण 1. समीकरण हल करें:

ए) लॉग 2 एक्स= 3, बी) लॉग 3 एक्स= -1, सी)

समाधान। कथन 1 का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं a) एक्स= 2 3 या एक्स= 8; बी) एक्स= 3 -1 या एक्स= 1/3; सी)

या एक्स = 1.

हम लघुगणक के मुख्य गुण प्रस्तुत करते हैं।

पी1. मूल लघुगणकीय पहचान:

कहाँ ए > 0, ए≠ 1 और बी > 0.

आर2. सकारात्मक कारकों के उत्पाद का लघुगणक योग के बराबर हैइन कारकों के लघुगणक:

लकड़ी का लट्ठा ए एन 1 · एन 2 = लॉग ए एन 1 + लॉग ए एन 2 (ए > 0, ए ≠ 1, एन 1 > 0, एन 2 > 0).

टिप्पणी। अगर एन 1 · एन 2 > 0, तब गुण P2 का रूप लेता है

लकड़ी का लट्ठा ए एन 1 · एन 2 = लॉग ए |एन 1 | +लॉग ए |एन 2 | (ए > 0, ए ≠ 1, एन 1 · एन 2 > 0).

पी3. दो धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होता है

(ए > 0, ए ≠ 1, एन 1 > 0, एन 2 > 0).

टिप्पणी। अगर

, (जो इसके बराबर है एन 1 एन 2 > 0) तो गुण P3 का रूप ले लेता है (ए > 0, ए ≠ 1, एन 1 एन 2 > 0).

पी4. किसी धनात्मक संख्या की घात का लघुगणक घातांक के गुणनफल और इस संख्या के लघुगणक के बराबर होता है:

लकड़ी का लट्ठा ए एन क = कलकड़ी का लट्ठा ए एन (ए > 0, ए ≠ 1, एन > 0).

टिप्पणी। अगर क- सम संख्या ( क = 2एस), वह

लकड़ी का लट्ठा ए एन 2एस = 2एसलकड़ी का लट्ठा ए |एन | (ए > 0, ए ≠ 1, एन ≠ 0).

पी5. दूसरे आधार पर जाने का सूत्र है:

(ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, बी ≠ 1, एन > 0),

विशेषकर यदि एन = बी, हम पाते हैं

(ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, बी ≠ 1). (2)

P4 और P5 के गुणों का उपयोग करके इसे प्राप्त करना आसान है निम्नलिखित गुण

(ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी ≠ 0), (3) (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी ≠ 0), (4) (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0, सी ≠ 0), (5)

और यदि (5) में सी- सम संख्या ( सी = 2एन), घटित होना

(बी > 0, ए ≠ 0, |ए | ≠ 1). (6)

हम लघुगणकीय फ़ंक्शन के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं एफ (एक्स) = लॉग ए एक्स :

1. लघुगणकीय फलन का डोमेन धनात्मक संख्याओं का समुच्चय है।

2. लघुगणकीय फ़ंक्शन के मानों की सीमा वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

3. कब ए> 1 लॉगरिदमिक फ़ंक्शन सख्ती से बढ़ रहा है (0)।< एक्स 1 < एक्स 2 लॉग ए एक्स 1 < logए एक्स 2), और 0 पर< ए < 1, - строго убывает (0 < एक्स 1 < एक्स 2 लॉग ए एक्स 1 > लॉग ए एक्स 2).

4 लॉग ए 1 = 0 और लॉग करें ए ए = 1 (ए > 0, ए ≠ 1).

5. यदि ए> 1, तो लघुगणकीय फलन ऋणात्मक है एक्स(0;1) और के लिए सकारात्मक है एक्स(1;+∞), और यदि 0< ए < 1, то логарифмическая функция положительна при एक्स (0;1) और के लिए नकारात्मक है एक्स (1;+∞).

6. यदि ए> 1, तो लघुगणक फलन ऊपर की ओर उत्तल है, और यदि ए(0;1) - नीचे की ओर उत्तल।

निम्नलिखित कथन (उदाहरण के लिए देखें) का उपयोग लघुगणकीय समीकरणों को हल करने में किया जाता है।

किसी असमानता को लघुगणकीय कहा जाता है यदि उसमें कोई लघुगणकीय फलन हो।

लघुगणकीय असमानताओं को हल करने की विधियाँ दो चीजों को छोड़कर किसी से भिन्न नहीं हैं।

सबसे पहले, लघुगणकीय असमानता से असमानता की ओर बढ़ते समय लघुगणकीय कार्यचाहिए परिणामी असमानता के संकेत का पालन करें. यह निम्नलिखित नियम का पालन करता है.

यदि लघुगणकीय फ़ंक्शन का आधार $1$ से अधिक है, तो लघुगणकीय असमानता से सबलॉगरिदमिक कार्यों की असमानता में जाने पर, असमानता चिह्न संरक्षित रहता है, और यदि यह $1$ से कम है, तो इसे उलट दिया जाता है।

दूसरे, किसी भी असमानता का समाधान एक अंतराल है, और इसलिए, उप-लघुगणकीय कार्यों की असमानता के समाधान के अंत में, दो असमानताओं की एक प्रणाली बनाना आवश्यक है: इस प्रणाली की पहली असमानता उप-लघुगणकीय कार्यों की असमानता होगी, और दूसरी लघुगणकीय असमानता में शामिल लघुगणकीय कार्यों की परिभाषा के क्षेत्र का अंतराल होगी।

अभ्यास।

आइए असमानताओं को हल करें:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

लघुगणक का आधार $2>1$ है, इसलिए चिह्न नहीं बदलता है। लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x\in )