विचरण उदाहरण। प्रसरण और मानक विचलन

समूहीकृत डेटा के लिए अवशिष्ट फैलाव- इंट्राग्रुप फैलाव का औसत:

जहाँ 2 j, j-वें समूह का अंतर-समूह प्रसरण है।

असमूहीकृत डेटा के लिए अवशिष्ट फैलावसन्निकटन सटीकता का एक उपाय है, अर्थात। मूल डेटा के लिए प्रतिगमन रेखा का सन्निकटन:
जहां y(t) प्रवृत्ति समीकरण के अनुसार पूर्वानुमान है; y t - गतिकी की प्रारंभिक श्रृंखला; n अंकों की संख्या है; p प्रतिगमन समीकरण (व्याख्यात्मक चर की संख्या) के गुणांकों की संख्या है।
इस उदाहरण में इसे कहा जाता है विचरण का निष्पक्ष अनुमान.

उदाहरण 1। टैरिफ श्रेणियों द्वारा एक संघ के तीन उद्यमों के श्रमिकों का वितरण निम्नलिखित आंकड़ों की विशेषता है:

टैरिफ श्रेणीकार्यरत	उद्यम में श्रमिकों की संख्या
	उद्यम 1	उद्यम 2	उद्यम 3
1	50	20	40
2	100	80	60
3	150	150	200
4	350	300	400
5	200	150	250
6	150	100	150

परिभाषित करना:
1. प्रत्येक उद्यम के लिए फैलाव (इंट्राग्रुप फैलाव);
2. इंट्राग्रुप फैलाव का औसत;
3. इंटरग्रुप फैलाव;
4. कुल विचरण।

समाधान।
समस्या को हल करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, यह पता लगाना आवश्यक है कि कौन सी विशेषता प्रभावी है और कौन सी तथ्यात्मक है। विचाराधीन उदाहरण में, प्रभावी विशेषता "टैरिफ श्रेणी" है, और कारक विशेषता "उद्यम की संख्या (नाम)" है।
फिर हमारे पास तीन समूह (उद्यम) हैं जिनके लिए समूह औसत और इंट्राग्रुप भिन्नताओं की गणना करना आवश्यक है:

कंपनी	समूह औसत,	समूह के भीतर विचरण,
1	4	1,8

इंट्राग्रुप प्रसरणों का औसत ( अवशिष्ट फैलाव) सूत्र द्वारा परिकलित:

जहां आप गणना कर सकते हैं:
या:

फिर:
कुल फैलाव इसके बराबर होगा: s 2 \u003d 1.6 + 0 \u003d 1.6।
निम्नलिखित दो सूत्रों में से एक का उपयोग करके कुल विचरण की गणना भी की जा सकती है:

व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय, अक्सर एक संकेत से निपटना पड़ता है जो केवल दो वैकल्पिक मान लेता है। इस मामले में, वे किसी विशेषता के किसी विशेष मूल्य के वजन के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, बल्कि कुल में इसके हिस्से के बारे में बात कर रहे हैं। यदि अध्ययन के तहत विशेषता वाली जनसंख्या इकाइयों के अनुपात को "द्वारा निरूपित किया जाता है" आर", और नहीं - के माध्यम से" क्यू”, तब फैलाव की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:
एस 2 = पी × क्यू

उदाहरण # 2। ब्रिगेड के छह कर्मचारियों के आउटपुट के आंकड़ों के आधार पर, अंतरसमूह विचरण का निर्धारण करें और उनकी श्रम उत्पादकता पर कार्य शिफ्ट के प्रभाव का मूल्यांकन करें यदि कुल विचरण 12.2 है।

कार्यरत ब्रिगेड की संख्या	वर्किंग आउटपुट, पीसी।
	पहली पाली में	दूसरी पाली में
1	18	13
2	19	14
3	22	15
4	20	17
5	24	16
6	23	15

समाधान. प्रारंभिक आंकड़े

एक्स	f1	f2	च 3	f4	f5	f6	कुल
1	18	19	22	20	24	23	126
2	13	14	15	17	16	15	90
कुल	31	33	37	37	40	38

फिर हमारे पास 6 समूह हैं जिनके लिए समूह माध्य और इंट्राग्रुप प्रसरणों की गणना करना आवश्यक है।
1. प्रत्येक समूह का औसत मान ज्ञात कीजिए.







2. प्रत्येक समूह का माध्य वर्ग ज्ञात कीजिए.







हम एक तालिका में गणना के परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं:

समूह संख्या	समूह औसत	इंट्राग्रुप विचरण
1	1.42	0.24
2	1.42	0.24
3	1.41	0.24
4	1.46	0.25
5	1.4	0.24
6	1.39	0.24

3. इंट्राग्रुप विचरणसमूह में अंतर्निहित कारक को छोड़कर, सभी कारकों के प्रभाव में समूह के भीतर अध्ययन (परिणामी) विशेषता के परिवर्तन (भिन्नता) की विशेषता है:
हम सूत्र का उपयोग करके इंट्राग्रुप फैलाव के औसत की गणना करते हैं:


4. इंटरग्रुप विचरणसमूह में अंतर्निहित एक कारक (तथ्यात्मक विशेषता) के प्रभाव में अध्ययन (परिणामस्वरूप) विशेषता के परिवर्तन (भिन्नता) की विशेषता है।
इंटरग्रुप फैलाव को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

कहाँ पे


फिर

कुल विचरणबिना किसी अपवाद के सभी कारकों (तथ्यात्मक लक्षण) के प्रभाव में अध्ययन (परिणामस्वरूप) विशेषता के परिवर्तन (भिन्नता) की विशेषता है। समस्या की स्थिति से, यह 12.2 के बराबर है।
अनुभवजन्य सहसंबंध संबंधमापता है कि परिणामी विशेषता के कुल उतार-चढ़ाव का कितना हिस्सा अध्ययन किए गए कारक के कारण होता है। यह भाज्य विचरण का कुल विचरण का अनुपात है:

हम अनुभवजन्य सहसंबंध संबंध निर्धारित करते हैं:

सुविधाओं के बीच संबंध कमजोर या मजबूत (करीबी) हो सकते हैं। उनके मानदंड का मूल्यांकन चाडॉक पैमाने पर किया जाता है:
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 हमारे उदाहरण में, फीचर वाई फैक्टर एक्स के बीच संबंध कमजोर है
निर्धारण गुणांक।

आइए निर्धारण के गुणांक को परिभाषित करें:

इस प्रकार, 0.67% भिन्नता लक्षणों के बीच अंतर के कारण है, और 99.37% अन्य कारकों के कारण है।
निष्कर्ष: इस मामले में, श्रमिकों का उत्पादन एक विशेष पाली में काम पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात। उनकी श्रम उत्पादकता पर कार्य शिफ्ट का प्रभाव महत्वपूर्ण नहीं है और अन्य कारकों के कारण है।

उदाहरण #3। औसत के आधार पर वेतनऔर श्रमिकों के दो समूहों के लिए इसके मान से वर्ग विचलन, प्रसरण जोड़ने के लिए नियम लागू करके कुल विचरण ज्ञात करें:

समाधान:
समूह के भीतर भिन्नताओं का औसत

इंटरग्रुप फैलाव को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


कुल विचरण होगा: 480 + 13824 = 14304

फैलाव अनियमित चर - किसी दिए गए के फैलाव का एक उपाय अनियमित चर, वह है, वह विचलनसे गणितीय अपेक्षा. आँकड़ों में, विचरण को दर्शाने के लिए अक्सर अंकन (सिग्मा वर्ग) का उपयोग किया जाता है। प्रसरण का वर्गमूल कहलाता है मानक विचलनया मानक प्रसार। मानक विचलन को उन्हीं इकाइयों में मापा जाता है जो यादृच्छिक चर के रूप में होती हैं, और विचरण को उस इकाई के वर्गों में मापा जाता है।

यद्यपि पूरे नमूने का अनुमान लगाने के लिए केवल एक मान (जैसे माध्य या मोड और माध्यिका) का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक है, यह दृष्टिकोण आसानी से गलत निष्कर्ष निकाल सकता है। इस स्थिति का कारण स्वयं मूल्य में नहीं है, बल्कि यह तथ्य है कि एक मान किसी भी तरह से डेटा मूल्यों के प्रसार को नहीं दर्शाता है।

उदाहरण के लिए, नमूने में:

औसत 5 है।

हालांकि, नमूने में 5 के मान के साथ कोई तत्व नहीं है। आपको यह जानने की आवश्यकता हो सकती है कि नमूने का प्रत्येक तत्व अपने औसत मूल्य के कितना करीब है। या, दूसरे शब्दों में, आपको मूल्यों के विचरण को जानना होगा। डेटा किस हद तक बदल गया है, यह जानकर आप बेहतर व्याख्या कर सकते हैं अर्थ, मंझलातथा फ़ैशन. नमूना मूल्यों में परिवर्तन की डिग्री उनके विचरण और मानक विचलन की गणना करके निर्धारित की जाती है।

विचरण और विचरण का वर्गमूल, जिसे मानक विचलन कहा जाता है, नमूना माध्य से माध्य विचलन की विशेषता है। इन दो राशियों में सबसे महत्वपूर्ण है मानक विचलन. इस मान को उस औसत दूरी के रूप में दर्शाया जा सकता है जिस पर तत्व नमूने के मध्य तत्व से हैं।

विक्षेपण की अर्थपूर्ण व्याख्या करना कठिन है। हालांकि, इस मान का वर्गमूल मानक विचलन है और व्याख्या के लिए अच्छी तरह से उधार देता है।

मानक विचलन की गणना पहले विचरण का निर्धारण करके और फिर प्रसरण के वर्गमूल की गणना करके की जाती है।

उदाहरण के लिए, चित्र में दिखाए गए डेटा सरणी के लिए, निम्नलिखित मान:

चित्र 1

यहाँ, वर्ग अंतर का माध्य 717.43 है। मानक विचलन प्राप्त करने के लिए इस संख्या का वर्गमूल निकालना ही शेष रह जाता है।

परिणाम लगभग 26.78 होगा।

यह याद रखना चाहिए कि मानक विचलन की व्याख्या उस औसत दूरी के रूप में की जाती है जिस पर तत्व नमूना माध्य से होते हैं।

मानक विचलन दर्शाता है कि माध्य पूरे नमूने का कितनी अच्छी तरह वर्णन करता है।

मान लीजिए कि आप एक पीसी को असेंबल करने के लिए उत्पादन विभाग के प्रमुख हैं। तिमाही रिपोर्ट कहती है कि पिछली तिमाही का आउटपुट 2500 पीसी था। यह बुरा है या अच्छा? आपने रिपोर्ट में इस डेटा के लिए मानक विचलन प्रदर्शित करने के लिए कहा (या रिपोर्ट में यह कॉलम पहले से मौजूद है)। मानक विचलन संख्या, उदाहरण के लिए, 2000 है। विभाग के प्रमुख के रूप में यह आपके लिए स्पष्ट हो जाता है कि उत्पादन लाइन को बेहतर नियंत्रण की आवश्यकता है (पीसी की संख्या में बहुत अधिक विचलन इकट्ठा किया जा रहा है)।

याद रखें कि जब मानक विचलन बड़ा होता है, तो डेटा व्यापक रूप से माध्य के चारों ओर बिखरा होता है, और जब मानक विचलन छोटा होता है, तो यह माध्य के करीब होता है।

चार सांख्यिकीय डीआईएसपी कार्य(), वीएआरपी (), एसटीडीईवी () और एसटीडीईवी () - कोशिकाओं की एक श्रेणी में संख्याओं के विचरण और मानक विचलन की गणना करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। इससे पहले कि आप किसी डेटा सेट के विचरण और मानक विचलन की गणना कर सकें, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि डेटा जनसंख्या का प्रतिनिधित्व करता है या जनसंख्या का एक नमूना। सामान्य जनसंख्या से नमूने के मामले में, VARP() और STDEV() फ़ंक्शंस का उपयोग किया जाना चाहिए, और सामान्य जनसंख्या के मामले में, VARP() और STDEV() फ़ंक्शंस का उपयोग किया जाना चाहिए:

जनसंख्या	समारोह
	वीएआरपी ()
	एसटीडीएलॉन्ग ()
नमूना
	वारी ()
	एसटीडीईवी ()

फैलाव (साथ ही मानक विचलन), जैसा कि हमने नोट किया, इंगित करता है कि डेटा सेट में शामिल मान अंकगणितीय माध्य के आसपास किस हद तक बिखरे हुए हैं।

विचरण या मानक विचलन का एक छोटा मान इंगित करता है कि सभी डेटा अंकगणितीय माध्य के आसपास केंद्रित है, और इन मानों का एक बड़ा मान इंगित करता है कि डेटा मानों की एक विस्तृत श्रृंखला में बिखरा हुआ है।

विचरण को सार्थक रूप से व्याख्या करना कठिन है (एक छोटे मूल्य का क्या अर्थ है, एक बड़ा मूल्य?) प्रदर्शन कार्य 3आपको ग्राफ़ पर नेत्रहीन रूप से डेटा सेट के लिए विचरण का अर्थ दिखाने की अनुमति देगा।

कार्य

· अभ्यास 1।

· 2.1. अवधारणाएं दें: भिन्नता और मानक विचलन; सांख्यिकीय डेटा प्रोसेसिंग में उनका प्रतीकात्मक पदनाम।

· 2.2. चित्र 1 के अनुसार एक वर्कशीट तैयार करें और आवश्यक गणना करें।

· 2.3. परिकलनों में प्रयुक्त होने वाले मूल सूत्र दीजिए

· 2.4. सभी संकेतन की व्याख्या करें ( , , )

· 2.5. समझाना व्यावहारिक मूल्यविचरण और मानक विचलन की अवधारणा।

कार्य 2.

1.1. अवधारणाएं दें: सामान्य जनसंख्या और नमूना; सांख्यिकीय डेटा प्रोसेसिंग में उनके प्रतीकात्मक पदनाम की गणितीय अपेक्षा और अंकगणितीय माध्य।

1.2. चित्र 2 के अनुसार, एक वर्कशीट तैयार करें और गणना करें।

1.3. परिकलनों में प्रयुक्त होने वाले मूल सूत्र (सामान्य जनसंख्या तथा प्रतिदर्श के लिए) दीजिए।

चित्र 2

1.4. समझाएं कि नमूने में अंकगणितीय साधनों के ऐसे मान 46.43 और 48.78 के रूप में प्राप्त करना क्यों संभव है (फ़ाइल परिशिष्ट देखें)। समाप्त करने के लिए।

कार्य 3.

डेटा के एक अलग सेट के साथ दो नमूने हैं, लेकिन उनके लिए औसत समान होगा:

चित्र तीन

3.1. चित्र 3 के अनुसार एक वर्कशीट तैयार करें और आवश्यक गणना करें।

3.2. मूल गणना सूत्र दें।

3.3. चित्र 4, 5 के अनुसार आलेख बनाएँ।

3.4. परिणामी निर्भरता की व्याख्या करें।

3.5. इन दो नमूनों के लिए समान गणना करें।

प्रारंभिक नमूना 11119999

दूसरे नमूने के मूल्यों का चयन करें ताकि दूसरे नमूने के लिए अंकगणितीय माध्य समान हो, उदाहरण के लिए:

दूसरे नमूने के लिए मान स्वयं चुनें। गणनाओं को व्यवस्थित करें और अंक 3, 4, 5 की तरह प्लॉटिंग करें। मुख्य सूत्र दिखाएँ जो गणना में उपयोग किए गए थे।

उपयुक्त निष्कर्ष निकालें।

सभी कार्यों को सभी आवश्यक आंकड़े, ग्राफ, सूत्र और संक्षिप्त स्पष्टीकरण के साथ एक रिपोर्ट के रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए।

नोट: ग्राफ के निर्माण को आंकड़ों और संक्षिप्त व्याख्याओं के साथ समझाया जाना चाहिए।

हालांकि, यादृच्छिक चर के अध्ययन के लिए अकेले यह विशेषता अभी तक पर्याप्त नहीं है। दो निशानेबाजों की कल्पना करें जो एक लक्ष्य पर शूटिंग कर रहे हैं। एक सटीक रूप से शूट करता है और केंद्र के करीब हिट करता है, और दूसरा ... केवल मज़े करना और लक्ष्य बनाना भी नहीं। लेकिन मजे की बात यह है कि औसतपरिणाम बिल्कुल पहले शूटर जैसा ही होगा! यह स्थिति सशर्त रूप से निम्नलिखित यादृच्छिक चर द्वारा सचित्र है:

"स्नाइपर" गणितीय अपेक्षा के बराबर है, हालांकि, "दिलचस्प व्यक्ति" के लिए: - यह भी शून्य है!

इस प्रकार, यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कितनी दूर छितरा हुआलक्ष्य (उम्मीद) के केंद्र के सापेक्ष गोलियां (एक यादृच्छिक चर के मान)। ठीक और बिखरनेलैटिन से केवल के रूप में अनुवादित फैलाव .

आइए देखें कि पाठ के पहले भाग के उदाहरणों में से एक में यह संख्यात्मक विशेषता कैसे निर्धारित की जाती है:

वहां हमें इस खेल की निराशाजनक गणितीय अपेक्षा मिली, और अब हमें इसके विचरण की गणना करनी है, जो लक्षितके माध्यम से ।

आइए जानें कि औसत मूल्य के सापेक्ष जीत/हार कितनी दूर "बिखरे हुए" हैं। जाहिर है, इसके लिए हमें गणना करने की आवश्यकता है मतभेदके बीच एक यादृच्छिक चर के मूल्यऔर उसकी गणितीय अपेक्षा:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

अब परिणामों का योग करना आवश्यक प्रतीत होता है, लेकिन यह तरीका अच्छा नहीं है - इस कारण से कि बाईं ओर के दोलन एक दूसरे को दाईं ओर के दोलनों के साथ रद्द कर देंगे। तो, उदाहरण के लिए, "शौकिया" शूटर (उपरोक्त उदाहरण)मतभेद हो जाएगा , और जब जोड़ा जाएगा तो वे शून्य देंगे, इसलिए हमें उसकी शूटिंग के बिखरने का कोई अनुमान नहीं मिलेगा।

इस झुंझलाहट को दूर करने के लिए, विचार करें मॉड्यूलमतभेद, लेकिन तकनीकी कारणजब वे चुकता होते हैं तो दृष्टिकोण ने जड़ें जमा ली हैं। तालिका में समाधान की व्यवस्था करना अधिक सुविधाजनक है:

और यहाँ यह गणना करने के लिए भीख माँगता है भारित औसतवर्ग विचलन का मान। यह क्या है? यह उनका है अपेक्षित मूल्य, जो बिखरने का उपाय है:

– परिभाषाफैलाव। परिभाषा से यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि विचरण ऋणात्मक नहीं हो सकता- अभ्यास के लिए ध्यान दें!

आइए याद रखें कि अपेक्षा कैसे प्राप्त करें। चुकता अंतरों को संबंधित संभावनाओं से गुणा करें (तालिका निरंतरता):
- लाक्षणिक रूप से बोलना, यह "कर्षण बल" है,
और परिणामों को सारांशित करें:

क्या आपको नहीं लगता कि जीत की पृष्ठभूमि में परिणाम बहुत बड़ा निकला? यह सही है - हम वर्ग कर रहे थे, और अपने खेल के आयाम पर लौटने के लिए, हमें वर्गमूल लेने की आवश्यकता है। इस मान को कहा जाता है मानक विचलन और ग्रीक अक्षर "सिग्मा" द्वारा दर्शाया गया है:

कभी-कभी इस अर्थ को कहा जाता है मानक विचलन .

इसका अर्थ क्या है? यदि हम गणितीय अपेक्षा से बाईं ओर और दाईं ओर माध्य से विचलन करते हैं मानक विचलन:

- तो इस अंतराल पर यादृच्छिक चर के सबसे संभावित मान "केंद्रित" होंगे। हम वास्तव में क्या देख रहे हैं:

हालांकि, ऐसा हुआ कि बिखरने के विश्लेषण में लगभग हमेशा फैलाव की अवधारणा के साथ काम करते हैं। आइए देखें कि खेलों के संबंध में इसका क्या अर्थ है। यदि निशानेबाजों के मामले में हम लक्ष्य के केंद्र के सापेक्ष हिट की "सटीकता" के बारे में बात कर रहे हैं, तो यहां फैलाव दो चीजों की विशेषता है:

सबसे पहले, यह स्पष्ट है कि जैसे-जैसे दरें बढ़ती हैं, विचरण भी बढ़ता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि हम 10 गुना वृद्धि करते हैं, तो गणितीय अपेक्षा 10 गुना बढ़ जाएगी, और विचरण 100 गुना बढ़ जाएगा (जैसे ही यह एक द्विघात मान होता है). लेकिन ध्यान दें कि खेल के नियम नहीं बदले हैं! केवल दरें बदल गई हैं, मोटे तौर पर बोलते हुए, हम 10 रूबल की शर्त लगाते थे, अब 100।

दूसरा, अधिक दिलचस्प बिंदु यह है कि विचरण खेल की शैली की विशेषता है। खेल दरों को मानसिक रूप से ठीक करें किसी निश्चित स्तर पर, और देखें कि यहाँ क्या है:

एक कम विचरण खेल एक सतर्क खेल है। खिलाड़ी सबसे विश्वसनीय योजनाओं का चयन करता है, जहां वह एक बार में बहुत अधिक नहीं हारता/जीतता है। उदाहरण के लिए, रूले में लाल/काली प्रणाली (लेख का उदाहरण 4 देखें यादृच्छिक चर) .

उच्च विचरण खेल। उसे अक्सर कहा जाता है फैलावखेल। यह खेल की एक साहसिक या आक्रामक शैली है जहां खिलाड़ी "एड्रेनालाईन" योजनाओं को चुनता है। चलो कम से कम याद करते हैं "मार्टिंगेल", जिसमें दांव पर लगी रकम पिछले पैराग्राफ के "शांत" खेल से अधिक परिमाण के आदेश हैं।

पोकर में स्थिति सांकेतिक है: तथाकथित हैं तंगजो खिलाड़ी सतर्क रहते हैं और अपने खेल कोष से "हिलाते" हैं (बैंकरोल). आश्चर्य नहीं कि उनके बैंकरोल में ज्यादा उतार-चढ़ाव नहीं होता (कम विचरण)। इसके विपरीत, यदि किसी खिलाड़ी का विचरण अधिक है, तो वह आक्रामक है। वह अक्सर जोखिम लेता है, बड़े दांव लगाता है और दोनों एक बड़े बैंक को तोड़ सकता है और टुकड़ों में जा सकता है।

विदेशी मुद्रा में भी यही होता है, और इसी तरह - बहुत सारे उदाहरण हैं।

इसके अलावा, सभी मामलों में इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि खेल एक पैसे के लिए है या हजारों डॉलर के लिए। हर स्तर के अपने निम्न और उच्च विचरण वाले खिलाड़ी होते हैं। खैर, औसत जीत के लिए, जैसा कि हम याद करते हैं, "जिम्मेदार" अपेक्षित मूल्य.

आपने शायद ध्यान दिया होगा कि विचरण का पता लगाना एक लंबी और श्रमसाध्य प्रक्रिया है। लेकिन गणित उदार है:

प्रसरण ज्ञात करने का सूत्र

यह सूत्र सीधे विचरण की परिभाषा से लिया गया है, और हम इसे तुरंत प्रचलन में लाते हैं। मैं ऊपर से हमारे खेल के साथ प्लेट की नकल करूंगा:

और मिली उम्मीद।

हम दूसरे तरीके से विचरण की गणना करते हैं। सबसे पहले, आइए गणितीय अपेक्षा खोजें - यादृच्छिक चर का वर्ग। द्वारा गणितीय अपेक्षा की परिभाषा:

इस मामले में:

इस प्रकार, सूत्र के अनुसार:

जैसा कि वे कहते हैं, अंतर महसूस करें। और व्यवहार में, निश्चित रूप से, सूत्र को लागू करना बेहतर है (जब तक कि शर्त की आवश्यकता न हो)।

हम हल करने और डिजाइन करने की तकनीक में महारत हासिल करते हैं:

उदाहरण 6

इसकी गणितीय अपेक्षा, प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

यह कार्य हर जगह पाया जाता है, और, एक नियम के रूप में, सार्थक अर्थ के बिना चला जाता है।
आप संख्या के साथ कई प्रकाश बल्बों की कल्पना कर सकते हैं जो कुछ संभावनाओं के साथ पागलखाने में प्रकाश करते हैं :)

समाधान: तालिका में मुख्य गणनाओं को संक्षेप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है। सबसे पहले, हम प्रारंभिक डेटा को शीर्ष दो पंक्तियों में लिखते हैं। फिर हम उत्पादों की गणना करते हैं, फिर और अंत में सही कॉलम में रकम:

दरअसल, लगभग सब कुछ तैयार है। तीसरी पंक्ति में, एक तैयार गणितीय अपेक्षा तैयार की गई थी: .

फैलाव की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

और अंत में, मानक विचलन:
- व्यक्तिगत रूप से, मैं आमतौर पर 2 दशमलव स्थानों तक घूमता हूं।

सभी गणना एक कैलकुलेटर पर की जा सकती है, और इससे भी बेहतर - एक्सेल में:

यहां गलत होना मुश्किल है :)

उत्तर:

जो चाहते हैं वे अपने जीवन को और भी सरल बना सकते हैं और मेरा लाभ उठा सकते हैं कैलकुलेटर (प्रदर्शन), जो न केवल इस समस्या को तुरंत हल करता है, बल्कि निर्माण भी करता है विषयगत ग्राफिक्स (जल्दी आना). कार्यक्रम कर सकते हैं पुस्तकालय में डाउनलोड करें- यदि आपने कम से कम एक अध्ययन सामग्री डाउनलोड की है, या प्राप्त करते हैं एक और तरीका. परियोजना का समर्थन करने के लिए धन्यवाद!

कार्यों की एक जोड़ी स्वतंत्र समाधान:

उदाहरण 7

परिभाषा के अनुसार पिछले उदाहरण के यादृच्छिक चर के प्रसरण की गणना करें।

और एक समान उदाहरण:

उदाहरण 8

एक असतत यादृच्छिक चर अपने स्वयं के वितरण कानून द्वारा दिया जाता है:

हां, यादृच्छिक चर के मान काफी बड़े हो सकते हैं (से उदाहरण असली काम) , और यहां, यदि संभव हो तो, एक्सेल का उपयोग करें। वैसे, उदाहरण 7 में - यह तेज़, अधिक विश्वसनीय और अधिक सुखद है।

समाधान और उत्तर पृष्ठ के निचले भाग में।

पाठ के दूसरे भाग के समापन में, हम एक और विशिष्ट कार्य का विश्लेषण करेंगे, कोई एक छोटा सा रिबास भी कह सकता है:

उदाहरण 9

एक असतत यादृच्छिक चर केवल दो मान ले सकता है: और , तथा । संभाव्यता, गणितीय अपेक्षा और विचरण ज्ञात हैं।

समाधान: आइए अज्ञात संभावना से शुरू करते हैं। चूंकि एक यादृच्छिक चर केवल दो मान ले सकता है, तो संबंधित घटनाओं की संभावनाओं का योग:

और तब से ।

यह खोजना बाकी है ..., कहना आसान है :) लेकिन ओह ठीक है, यह शुरू हो गया। गणितीय अपेक्षा की परिभाषा के अनुसार:
- ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें:

- और इस समीकरण से और कुछ नहीं निकाला जा सकता है, सिवाय इसके कि आप इसे सामान्य दिशा में फिर से लिख सकते हैं:

या:

आगे की कार्रवाइयों के बारे में, मुझे लगता है कि आप अनुमान लगा सकते हैं। आइए सिस्टम बनाएं और हल करें:

दशमलव- यह, ज़ाहिर है, एक पूर्ण अपमान है; दोनों समीकरणों को 10 से गुणा करें:

और 2 से विभाजित करें:

यह ज़्यादा बेहतर है। पहले समीकरण से हम व्यक्त करते हैं:
(यह आसान तरीका है)- दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें:

हम निर्माण कर रहे हैं वर्गऔर सरलीकरण करें:

हम इससे गुणा करते हैं:

नतीजतन, द्विघात समीकरण, इसका विभेदक ज्ञात कीजिए:
- उत्तम!

और हमें दो समाधान मिलते हैं:

1) अगर , फिर ;

2) अगर , फिर ।

मूल्यों की पहली जोड़ी शर्त को संतुष्ट करती है। उच्च संभावना के साथ, सब कुछ सही है, लेकिन, फिर भी, हम वितरण कानून लिखते हैं:

और एक जाँच करें, अर्थात्, अपेक्षा का पता लगाएं:

संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक विशेष शाखा है जिसका अध्ययन केवल उच्च शिक्षण संस्थानों के छात्र ही करते हैं। क्या आपको गणना और सूत्र पसंद हैं? क्या आप सामान्य वितरण, पहनावा की एन्ट्रापी, गणितीय अपेक्षा और असतत यादृच्छिक चर के विचरण के साथ परिचित होने की संभावनाओं से डरते नहीं हैं? तब यह विषय आपके लिए बहुत रुचिकर होगा। आइए नजर डालते हैं कुछ सबसे महत्वपूर्ण मूल अवधारणाविज्ञान की यह शाखा।

आइए मूल बातें याद रखें

यहां तक ​​कि अगर आपको संभाव्यता सिद्धांत की सबसे सरल अवधारणाएं याद हैं, तो लेख के पहले पैराग्राफ की उपेक्षा न करें। तथ्य यह है कि बुनियादी बातों की स्पष्ट समझ के बिना, आप नीचे चर्चा किए गए सूत्रों के साथ काम करने में सक्षम नहीं होंगे।

तो, कुछ यादृच्छिक घटना है, कुछ प्रयोग है। किए गए कार्यों के परिणामस्वरूप, हम कई परिणाम प्राप्त कर सकते हैं - उनमें से कुछ अधिक सामान्य हैं, अन्य कम सामान्य हैं। एक घटना की संभावना एक प्रकार के वास्तव में प्राप्त परिणामों की संख्या का अनुपात है कुल गणनासंभव। केवल इस अवधारणा की शास्त्रीय परिभाषा को जानने के बाद, आप निरंतर यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और फैलाव का अध्ययन करना शुरू कर सकते हैं।

औसत

स्कूल में वापस, गणित के पाठों में, आपने अंकगणितीय माध्य के साथ काम करना शुरू किया। इस अवधारणा का व्यापक रूप से संभाव्यता सिद्धांत में उपयोग किया जाता है, और इसलिए इसे अनदेखा नहीं किया जा सकता है। हमारे लिए मुख्य बात इस पलयह है कि हम गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर के विचरण के सूत्रों में इसका सामना करेंगे।

हमारे पास संख्याओं का एक क्रम है और हम अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना चाहते हैं। हमारे लिए जो कुछ भी आवश्यक है वह सब कुछ उपलब्ध है और अनुक्रम में तत्वों की संख्या से विभाजित करना है। मान लीजिए हमारे पास 1 से 9 तक की संख्याएँ हैं। तत्वों का योग 45 होगा, और हम इस मान को 9 से विभाजित करेंगे। उत्तर: - 5।

फैलाव

वैज्ञानिक शब्दों में, विचरण अंकगणित माध्य से प्राप्त विशेषता मानों के विचलन का औसत वर्ग है। एक को बड़े लैटिन अक्षर D से दर्शाया जाता है। इसकी गणना करने के लिए क्या आवश्यक है? अनुक्रम के प्रत्येक तत्व के लिए, हम उपलब्ध संख्या और अंकगणितीय माध्य के बीच अंतर की गणना करते हैं और इसे वर्ग करते हैं। जिस घटना पर हम विचार कर रहे हैं, उसके लिए उतने ही मूल्य होंगे जितने परिणाम हो सकते हैं। अगला, हम प्राप्त सभी चीजों को सारांशित करते हैं और अनुक्रम में तत्वों की संख्या से विभाजित करते हैं। यदि हमारे पास पांच संभावित परिणाम हैं, तो पांच से विभाजित करें।

विचरण में ऐसे गुण भी होते हैं जिन्हें समस्याओं को हल करते समय इसे लागू करने के लिए आपको याद रखने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, यदि यादृच्छिक चर को X गुना बढ़ा दिया जाता है, तो विचरण वर्ग के X गुना बढ़ जाता है (अर्थात, X*X)। यह कभी भी शून्य से कम नहीं होता है और मूल्यों को एक समान मान ऊपर या नीचे स्थानांतरित करने पर निर्भर नहीं करता है। साथ ही, स्वतंत्र परीक्षणों के लिए, योग का प्रसरण, प्रसरणों के योग के बराबर होता है।

अब हमें निश्चित रूप से एक असतत यादृच्छिक चर के प्रसरण और गणितीय अपेक्षा के उदाहरणों पर विचार करने की आवश्यकता है।

मान लीजिए कि हम 21 प्रयोग चलाते हैं और 7 अलग-अलग परिणाम प्राप्त करते हैं। हमने उनमें से प्रत्येक को क्रमशः 1,2,2,3,4,4 और 5 बार देखा। भिन्नता क्या होगी?

सबसे पहले, हम अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं: तत्वों का योग, निश्चित रूप से, 21 है। हम इसे 7 से विभाजित करते हैं, 3 प्राप्त करते हैं। अब हम मूल क्रम में प्रत्येक संख्या से 3 घटाते हैं, प्रत्येक मान को वर्ग करते हैं, और परिणाम एक साथ जोड़ते हैं . यह 12 निकला। अब हमारे लिए संख्या को तत्वों की संख्या से विभाजित करना बाकी है, और, ऐसा प्रतीत होता है, बस। लेकिन वहां एक जाल है! आइए इसकी चर्चा करते हैं।

प्रयोगों की संख्या पर निर्भरता

यह पता चला है कि विचरण की गणना करते समय, हर दो संख्याओं में से एक हो सकता है: या तो एन या एन -1। यहां एन अनुक्रम में किए गए प्रयोगों की संख्या या तत्वों की संख्या है (जो अनिवार्य रूप से वही बात है)। यह किस पर निर्भर करता है?

यदि परीक्षणों की संख्या सैकड़ों में मापी जाती है, तो हमें N को हर में रखना चाहिए। यदि इकाइयों में, तो N-1। वैज्ञानिकों ने सीमा को काफी प्रतीकात्मक रूप से खींचने का फैसला किया: आज यह संख्या 30 के साथ चलती है। यदि हमने 30 से कम प्रयोग किए हैं, तो हम राशि को एन -1 से विभाजित करेंगे, और यदि अधिक, तो एन द्वारा।

एक कार्य

आइए विचरण और अपेक्षा की समस्या को हल करने के अपने उदाहरण पर वापस जाएं। हमें 12 की एक मध्यवर्ती संख्या मिली, जिसे N या N-1 से विभाजित करना था। चूंकि हमने 21 प्रयोग किए, जो कि 30 से कम हैं, हम दूसरा विकल्प चुनेंगे। तो उत्तर है: विचरण 12/2 = 2 है।

अपेक्षित मूल्य

आइए दूसरी अवधारणा पर चलते हैं, जिस पर हमें इस लेख में विचार करना चाहिए। गणितीय अपेक्षा संगत संभावनाओं से गुणा किए गए सभी संभावित परिणामों को जोड़ने का परिणाम है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि प्राप्त मूल्य, साथ ही विचरण की गणना का परिणाम, पूरे कार्य के लिए केवल एक बार प्राप्त किया जाता है, चाहे उसमें कितने भी परिणाम क्यों न माने जाएं।

गणितीय अपेक्षा सूत्र काफी सरल है: हम परिणाम लेते हैं, इसे इसकी संभावना से गुणा करते हैं, इसे दूसरे, तीसरे परिणाम आदि के लिए जोड़ते हैं। इस अवधारणा से संबंधित हर चीज की गणना करना आसान है। उदाहरण के लिए, गणितीय अपेक्षाओं का योग योग की गणितीय अपेक्षा के बराबर होता है। काम के लिए भी यही सच है। संभाव्यता सिद्धांत में प्रत्येक मात्रा ऐसे सरल कार्यों को करने की अनुमति नहीं देती है। आइए एक कार्य लें और उन दो अवधारणाओं के मूल्य की गणना करें जिनका हमने एक साथ अध्ययन किया है। इसके अलावा, हम सिद्धांत से विचलित थे - यह अभ्यास करने का समय है।

एक और उदाहरण

हमने 50 परीक्षण चलाए और 10 प्रकार के परिणाम प्राप्त किए - संख्या 0 से 9 - अलग-अलग प्रतिशत में दिखाई दे रहे हैं। ये क्रमशः हैं: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%। याद रखें कि संभावनाएं प्राप्त करने के लिए, आपको प्रतिशत मानों को 100 से विभाजित करने की आवश्यकता है। इस प्रकार, हमें 0.02 मिलता है; 0.1 आदि आइए हम एक यादृच्छिक चर के प्रसरण और गणितीय अपेक्षा के लिए समस्या को हल करने का एक उदाहरण प्रस्तुत करते हैं।

हम प्राथमिक विद्यालय से याद किए गए सूत्र का उपयोग करके अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं: 50/10 = 5।

आइए अब प्रायिकताओं को "टुकड़ों में" परिणामों की संख्या में अनुवाद करें ताकि इसे गिनना अधिक सुविधाजनक हो सके। हमें 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 और 9 मिलते हैं। प्राप्त प्रत्येक मान से अंकगणितीय माध्य घटाएं, जिसके बाद हम प्राप्त परिणामों में से प्रत्येक का वर्ग करते हैं। उदाहरण के रूप में पहले तत्व के साथ इसे कैसे करें देखें: 1 - 5 = (-4)। आगे: (-4) * (-4) = 16. अन्य मूल्यों के लिए, ये ऑपरेशन स्वयं करें। अगर आपने सब कुछ ठीक किया, तो सब कुछ जोड़ने के बाद आपको 90 मिलते हैं।

आइए 90 को N से विभाजित करके विचरण और माध्य की गणना जारी रखें। हम N को क्यों चुनते हैं और N-1 को नहीं? यह सही है, क्योंकि किए गए प्रयोगों की संख्या 30 से अधिक है। तो: 90/10 = 9। हमें फैलाव मिला। अगर आपको कोई दूसरा नंबर मिलता है, तो निराश न हों। सबसे अधिक संभावना है, आपने गणना में एक सामान्य त्रुटि की है। आपने जो लिखा है उसे दोबारा जांचें, और निश्चित रूप से सब कुछ ठीक हो जाएगा।

अंत में, आइए गणितीय अपेक्षा सूत्र को याद करें। हम सभी गणना नहीं देंगे, हम केवल वही उत्तर लिखेंगे जिसके साथ आप सभी आवश्यक प्रक्रियाओं को पूरा करने के बाद जांच कर सकते हैं। अपेक्षित मान 5.48 होगा। हम केवल याद करते हैं कि पहले तत्वों के उदाहरण का उपयोग करके संचालन कैसे किया जाता है: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... और इसी तरह। जैसा कि आप देख सकते हैं, हम परिणाम के मूल्य को इसकी संभावना से गुणा करते हैं।

विचलन

फैलाव और गणितीय अपेक्षा से संबंधित एक अन्य अवधारणा मानक विचलन है। यह या तो चिह्नित है लैटिन अक्षरों के साथएसडी, या ग्रीक लोअरकेस "सिग्मा"। यह अवधारणादिखाता है कि मूल्य केंद्रीय विशेषता से औसतन कैसे विचलित होते हैं। इसका मान ज्ञात करने के लिए, आपको विचरण के वर्गमूल की गणना करनी होगी।

यदि आप एक सामान्य वितरण की साजिश रचते हैं और उस पर सीधे वर्ग विचलन देखना चाहते हैं, तो यह कई चरणों में किया जा सकता है। छवि के आधे हिस्से को मोड (केंद्रीय मान) के बाईं या दाईं ओर ले जाएं, क्षैतिज अक्ष पर लंबवत खींचें ताकि परिणामी आंकड़ों के क्षेत्र बराबर हों। वितरण के मध्य और क्षैतिज अक्ष पर परिणामी प्रक्षेपण के बीच के खंड का मान मानक विचलन होगा।

सॉफ़्टवेयर

जैसा कि सूत्रों के विवरण और प्रस्तुत उदाहरणों से देखा जा सकता है, विचरण और गणितीय अपेक्षा की गणना अंकगणित की दृष्टि से सबसे आसान प्रक्रिया नहीं है। समय बर्बाद न करने के लिए, उच्चतर में उपयोग किए जाने वाले कार्यक्रम का उपयोग करना समझ में आता है शिक्षण संस्थानों- इसे "आर" कहा जाता है। इसमें ऐसे कार्य हैं जो आपको सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत से कई अवधारणाओं के मूल्यों की गणना करने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए, आप मानों के वेक्टर को परिभाषित करते हैं। यह निम्नानुसार किया जाता है: वेक्टर<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

आखिरकार

फैलाव और गणितीय अपेक्षाएं हैं जिनके बिना भविष्य में कुछ भी गणना करना मुश्किल है। विश्वविद्यालयों में व्याख्यान के मुख्य पाठ्यक्रम में, उन्हें विषय के अध्ययन के पहले महीनों में ही माना जाता है। इन सरल अवधारणाओं की समझ की कमी और उनकी गणना करने में असमर्थता के कारण ही कई छात्र तुरंत कार्यक्रम में पिछड़ने लगते हैं और बाद में सत्र में खराब अंक प्राप्त करते हैं, जो उन्हें छात्रवृत्ति से वंचित करता है।

इस लेख में प्रस्तुत किए गए कार्यों के समान कार्यों को हल करने के लिए, दिन में कम से कम एक सप्ताह में आधे घंटे का अभ्यास करें। फिर, किसी भी संभाव्यता सिद्धांत परीक्षण पर, आप बाहरी युक्तियों और चीट शीट के बिना उदाहरणों का सामना करेंगे।

आँकड़ों में भिन्नता के मुख्य सामान्यीकरण संकेतक फैलाव और मानक विचलन हैं।

फैलाव it अंकगणित औसत कुल माध्य से प्रत्येक विशेषता मान का वर्ग विचलन। विचरण को सामान्यतः विचलनों का माध्य वर्ग कहा जाता है और इसे 2 दर्शाया जाता है। प्रारंभिक डेटा के आधार पर, विचरण की गणना अंकगणितीय माध्य, सरल या भारित से की जा सकती है:

 भारित (सरल) फैलाव;

भारित विचरण।

मानक विचलननिरपेक्ष आयामों की एक सामान्यीकरण विशेषता है विविधताओं कुल में विशेषता। यह उसी इकाइयों में संकेत के रूप में व्यक्त किया जाता है (मीटर, टन, प्रतिशत, हेक्टेयर, आदि में)।

मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है और इसे द्वारा निरूपित किया जाता है:

 भारित मानक विचलन;

भारित मानक विचलन।

मानक विचलन माध्य की विश्वसनीयता का माप है। मानक विचलन जितना छोटा होगा, अंकगणितीय माध्य उतना ही बेहतर होगा जो संपूर्ण प्रतिनिधित्व वाली आबादी को दर्शाता है।

मानक विचलन की गणना विचरण की गणना से पहले की जाती है।

भारित विचरण की गणना करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:

1) अंकगणितीय भारित औसत निर्धारित करें:

2) औसत से विकल्पों के विचलन की गणना करें:

3) माध्य से प्रत्येक विकल्प के विचलन का वर्ग करें:

4) वर्ग विचलन को भार (आवृत्तियों) से गुणा करें:

5) प्राप्त कार्यों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:

6) परिणामी राशि को भार के योग से विभाजित किया जाता है:

उदाहरण 2.1

अंकगणितीय भारित औसत की गणना करें:

माध्य और उनके वर्गों से विचलन के मान तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। आइए भिन्नता को परिभाषित करें:

मानक विचलन के बराबर होगा:

यदि स्रोत डेटा को अंतराल के रूप में प्रस्तुत किया जाता है वितरण श्रृंखला , तो आपको पहले सुविधा का असतत मान निर्धारित करना होगा, और फिर वर्णित विधि को लागू करना होगा।

उदाहरण 2.2

आइए हम गेहूं की उपज द्वारा सामूहिक खेत के बोए गए क्षेत्र के वितरण के आंकड़ों पर अंतराल श्रृंखला के लिए विचरण की गणना दिखाते हैं।

अंकगणित माध्य है:

आइए विचरण की गणना करें:

6.3. व्यक्तिगत डेटा के सूत्र के अनुसार फैलाव की गणना

गणना तकनीक फैलाव जटिल, और विकल्पों और आवृत्तियों के बड़े मूल्यों के लिए बोझिल हो सकता है। फैलाव गुणों का उपयोग करके गणना को सरल बनाया जा सकता है।

फैलाव में निम्नलिखित गुण होते हैं।

1. एक चर विशेषता के भार (आवृत्तियों) में एक निश्चित संख्या में कमी या वृद्धि से फैलाव नहीं बदलता है।

2. प्रत्येक विशेषता मान को समान स्थिर मान से घटाना या बढ़ाना लेकिनफैलाव नहीं बदलता है।

3. प्रत्येक फीचर वैल्यू को एक निश्चित संख्या में घटाना या बढ़ाना कमें विचरण को क्रमशः घटाता या बढ़ाता है क 2 बार मानक विचलन में कएक बार।

4. एक मनमाना मूल्य के सापेक्ष एक विशेषता का प्रसरण हमेशा औसत और मनमाना मूल्यों के बीच अंतर के वर्ग द्वारा अंकगणितीय माध्य के सापेक्ष विचरण से अधिक होता है:

यदि एक लेकिन 0, तो हम निम्नलिखित समानता पर पहुँचते हैं:

यानी, किसी फीचर का वेरिएंस फीचर वैल्यू के माध्य वर्ग और माध्य के वर्ग के बीच के अंतर के बराबर होता है।

प्रसरण की गणना करते समय प्रत्येक गुण का अकेले या दूसरों के साथ संयोजन में उपयोग किया जा सकता है।

विचरण की गणना करने की प्रक्रिया सरल है:

1) निर्धारित करें अंकगणित औसत :

2) समांतर माध्य का वर्ग करें:

3) श्रृंखला के प्रत्येक प्रकार के विचलन का वर्ग करें:

एक्स मैं 2 .

4) विकल्पों के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए:

5) विकल्पों के वर्गों के योग को उनकी संख्या से विभाजित करें, अर्थात औसत वर्ग निर्धारित करें:

6) विशेषता के माध्य वर्ग और माध्य के वर्ग के बीच का अंतर निर्धारित करें:

उदाहरण 3.1हमारे पास श्रमिकों की उत्पादकता पर निम्नलिखित आंकड़े हैं:

आइए निम्नलिखित गणना करें: