हार्मोनिक दोलनों का विस्थापन। हार्मोनिक दोलन और उनकी विशेषताएं

उतार चढ़ावआंदोलनों या प्रक्रियाओं को कहा जाता है जो समय में एक निश्चित पुनरावृत्ति की विशेषता है। उतार-चढ़ाव आसपास की दुनिया में व्यापक हैं और इसकी प्रकृति बहुत अलग हो सकती है। ये मैकेनिकल (पेंडुलम), इलेक्ट्रोमैग्नेटिक (ऑसिलेटरी सर्किट) और अन्य प्रकार के दोलन हो सकते हैं।
मुक्त, या अपनादोलनों को दोलन कहा जाता है जो एक बाहरी प्रभाव द्वारा संतुलन से बाहर लाए जाने के बाद स्वयं के लिए छोड़ी गई प्रणाली में होते हैं। एक धागे पर लटकी हुई गेंद का दोलन एक उदाहरण है।

विशेष भूमिकादोलन प्रक्रियाओं में है सबसे सरल तरीकाउतार-चढ़ाव - हार्मोनिक कंपन। हार्मोनिक कंपनविभिन्न प्रकृति के दोलनों के अध्ययन में एक एकीकृत दृष्टिकोण का आधार बनाते हैं, क्योंकि प्रकृति और प्रौद्योगिकी में होने वाले दोलन अक्सर हार्मोनिक के करीब होते हैं, और एक अलग रूप की आवधिक प्रक्रियाओं को हार्मोनिक दोलनों के सुपरपोजिशन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

हार्मोनिक कंपन ऐसे दोलन कहलाते हैं, जिनमें दोलन का मान नियमानुसार समय के साथ बदलता रहता है साइनसया कोज्या.

हार्मोनिक कंपन समीकरणकी तरह लगता है:

जहाँ एक - दोलन आयाम (संतुलन की स्थिति से प्रणाली के सबसे बड़े विचलन का मूल्य); -परिपत्र (चक्रीय) आवृत्ति। समय-समय पर बदलते कोज्या तर्क - कहा जाता है दोलन चरण . दोलन का चरण संतुलन की स्थिति से दोलन मात्रा के विस्थापन को निर्धारित करता है इस पलसमय टी. अचर समय t = 0 पर प्रावस्था का मान है और इसे कहा जाता है दोलन का प्रारंभिक चरण . प्रारंभिक चरण का मूल्य संदर्भ बिंदु की पसंद से निर्धारित होता है। x मान -A से +A तक के मान ले सकता है।

समय अंतराल टी, जिसके बाद दोलन प्रणाली के कुछ राज्यों को दोहराया जाता है, दोलन की अवधि कहा जाता है . कोसाइन 2π की अवधि के साथ एक आवधिक कार्य है, इसलिए, समय की अवधि में T, जिसके बाद दोलन चरण 2π के बराबर वृद्धि प्राप्त करेगा, हार्मोनिक दोलन करने वाले सिस्टम की स्थिति दोहराई जाएगी। T समय की इस अवधि को हार्मोनिक दोलनों की अवधि कहा जाता है।

हार्मोनिक दोलनों की अवधि है : टी = 2π/ ।

प्रति इकाई समय में दोलनों की संख्या कहलाती है दोलन आवृत्ति ν.
हार्मोनिक कंपन की आवृत्ति के बराबर है: = 1/टी। आवृत्ति इकाई हेटर्स(हर्ट्ज) - प्रति सेकंड एक दोलन।

वृत्तीय आवृत्ति = 2π/T = 2πν 2π सेकंड में दोलनों की संख्या देता है।

ग्राफिक रूप से, हार्मोनिक दोलनों को t पर x की निर्भरता के रूप में दर्शाया जा सकता है (चित्र 1.1.A), और घूर्णन आयाम विधि (वेक्टर आरेख विधि)(चित्र.1.1.बी) .

घूर्णन आयाम विधि आपको हार्मोनिक दोलनों के समीकरण में शामिल सभी मापदंडों की कल्पना करने की अनुमति देती है। वास्तव में, यदि आयाम वेक्टर लेकिनकोण पर x-अक्ष पर स्थित है (चित्र 1.1 देखें। B), तो x-अक्ष पर इसका प्रक्षेपण बराबर होगा: x = Acos(φ)। कोण प्रारंभिक चरण है। यदि वेक्टर लेकिनदोलनों की वृत्ताकार आवृत्ति के बराबर कोणीय वेग के साथ रोटेशन में डालें, फिर वेक्टर के अंत का प्रक्षेपण x-अक्ष के साथ आगे बढ़ेगा और -A से +A तक के मान लेगा, और इस प्रक्षेपण का समन्वय कानून के अनुसार समय के साथ बदलेगा:
.

इस प्रकार, वेक्टर की लंबाई हार्मोनिक दोलन के आयाम के बराबर है, प्रारंभिक क्षण में वेक्टर की दिशा एक्स-अक्ष के साथ दोलन के प्रारंभिक चरण के बराबर कोण बनाती है, और दिशा में परिवर्तन समय के साथ कोण हार्मोनिक दोलनों के चरण के बराबर है। जिस समय के लिए आयाम वेक्टर एक पूर्ण क्रांति करता है वह हार्मोनिक दोलनों की अवधि T के बराबर होता है। प्रति सेकंड वेक्टर के चक्करों की संख्या दोलन आवृत्ति के बराबर होती है।

(अव्य. आयाम- परिमाण) - यह संतुलन की स्थिति से दोलन करने वाले शरीर का सबसे बड़ा विचलन है।

एक पेंडुलम के लिए, यह अधिकतम दूरी है जो गेंद अपनी संतुलन स्थिति (नीचे चित्र) से चलती है। छोटे आयामों वाले दोलनों के लिए, इस दूरी को चाप 01 या 02 की लंबाई के साथ-साथ इन खंडों की लंबाई के रूप में लिया जा सकता है।

दोलन आयाम को लंबाई - मीटर, सेंटीमीटर, आदि की इकाइयों में मापा जाता है। दोलन ग्राफ पर, आयाम को साइनसॉइडल वक्र के अधिकतम (मॉड्यूलो) कोटि के रूप में परिभाषित किया जाता है, (नीचे चित्र देखें)।

दोलन काल।

दोलन अवधि- यह समय की सबसे छोटी अवधि है जिसके बाद प्रणाली, दोलन करते हुए, फिर से उसी स्थिति में लौट आती है जिसमें वह समय के प्रारंभिक क्षण में थी, जिसे मनमाने ढंग से चुना गया था।

दूसरे शब्दों में, दोलन अवधि ( टी) वह समय है जिसके लिए एक पूर्ण दोलन होता है। उदाहरण के लिए, नीचे दिए गए चित्र में, पेंडुलम के वजन को संतुलन बिंदु के माध्यम से सबसे दाहिने बिंदु से स्थानांतरित करने में लगने वाला समय है हेसबसे बाएं बिंदु पर और बिंदु के माध्यम से वापस हेफिर से सबसे दाईं ओर।

दोलन की पूरी अवधि के लिए, इसलिए, शरीर चार आयामों के बराबर पथ की यात्रा करता है। दोलन अवधि को समय - सेकंड, मिनट आदि की इकाइयों में मापा जाता है। दोलन अवधि को प्रसिद्ध दोलन ग्राफ से निर्धारित किया जा सकता है, (नीचे चित्र देखें)।

"दोलन अवधि" की अवधारणा, कड़ाई से बोलते हुए, केवल तभी मान्य होती है जब दोलन मात्रा के मूल्यों को एक निश्चित अवधि के बाद, यानी हार्मोनिक दोलनों के लिए बिल्कुल दोहराया जाता है। हालाँकि, यह अवधारणा लगभग दोहराई जाने वाली मात्राओं के मामलों पर भी लागू होती है, उदाहरण के लिए, के लिए नम दोलन.

दोलन आवृत्ति।

दोलन आवृत्तिसमय की प्रति इकाई दोलनों की संख्या है, उदाहरण के लिए, 1 s में।

आवृत्ति की SI इकाई का नाम है हेटर्स(हर्ट्ज) जर्मन भौतिक विज्ञानी जी. हर्ट्ज़ (1857-1894) के सम्मान में। यदि दोलन आवृत्ति ( वी) के बराबर है 1 हर्ट्ज, तो इसका मतलब है कि हर सेकंड के लिए एक दोलन होता है। आवृत्ति और दोलनों की अवधि संबंधों से संबंधित हैं:

दोलनों के सिद्धांत में, अवधारणा का भी उपयोग किया जाता है चक्रीय, या वृत्ताकार आवृत्ति ω . यह सामान्य आवृत्ति से संबंधित है वीऔर दोलन अवधि टीअनुपात:

.

चक्रीय आवृत्तिप्रति दोलनों की संख्या है 2πसेकंड।

हार्मोनिक कंपन

समारोह रेखांकन एफ(एक्स) = पाप ( एक्स) तथा जी(एक्स) = क्योंकि ( एक्स) कार्तीय तल पर।

हार्मोनिक दोलन- उतार-चढ़ाव जिसमें एक भौतिक (या कोई अन्य) मात्रा साइनसॉइडल या कोसाइन कानून के अनुसार समय के साथ बदलती है। हार्मोनिक दोलनों के गतिज समीकरण का रूप है

,

कहाँ पे एक्स- समय t पर संतुलन की स्थिति से दोलन बिंदु का विस्थापन (विचलन); लेकिन- दोलन आयाम, यह वह मान है जो संतुलन की स्थिति से दोलन बिंदु के अधिकतम विचलन को निर्धारित करता है; ω - चक्रीय आवृत्ति, 2π सेकंड के भीतर होने वाले पूर्ण दोलनों की संख्या दिखाने वाला मान - दोलनों का पूर्ण चरण, - दोलनों का प्रारंभिक चरण।

विभेदक रूप में सामान्यीकृत हार्मोनिक दोलन

(इसका कोई गैर-तुच्छ समाधान अंतर समीकरण- चक्रीय आवृत्ति के साथ एक हार्मोनिक दोलन होता है)

कंपन के प्रकार

हार्मोनिक गति में विस्थापन, वेग और त्वरण के समय में विकास

• मुक्त कंपनप्रणाली को संतुलन से बाहर लाने के बाद प्रणाली की आंतरिक शक्तियों की कार्रवाई के तहत बनाई जाती हैं। मुक्त दोलनों के हार्मोनिक होने के लिए, यह आवश्यक है कि दोलन प्रणाली रैखिक हो (वर्णित रेखीय समीकरणगति), और ऊर्जा का कोई अपव्यय नहीं था (बाद में भीगना होगा)।
• मजबूर कंपनएक बाहरी आवधिक बल के प्रभाव में प्रदर्शन किया। उनके लिए हार्मोनिक होने के लिए, यह पर्याप्त है कि ऑसीलेटरी सिस्टम रैखिक हो (गति के रैखिक समीकरणों द्वारा वर्णित), और बाहरी बल समय के साथ हार्मोनिक ऑसीलेशन के रूप में बदलता है (यानी, इस बल की समय निर्भरता साइनसॉइडल है) .

आवेदन पत्र

निम्नलिखित कारणों से हार्मोनिक कंपन अन्य सभी प्रकार के कंपनों से अलग हैं:

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

साहित्य

• भौतिक विज्ञान। भौतिकी / एड की प्राथमिक पाठ्यपुस्तक। जी एस लैंसबर्ग। - तीसरा संस्करण। - एम।, 1962। - टी। 3.
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• ए एम अफोनिन।यांत्रिकी की भौतिक नींव। - ईडी। एमएसटीयू आई.एम. बॉमन, 2006।
• गोरेलिक जी.एस.कंपन और लहरें। ध्वनिकी, रेडियोभौतिकी और प्रकाशिकी का परिचय। - एम।: फ़िज़मैटलिट, 1959. - 572 पी।

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

• कम्यून मालबोर्क
• अफ्रीका के लोग

देखें कि "हार्मोनिक कंपन" अन्य शब्दकोशों में क्या हैं:

हार्मोनिक दोलन आधुनिक विश्वकोश

हार्मोनिक कंपन- हार्मोनिक दोलन, एक भौतिक मात्रा में आवधिक परिवर्तन जो साइन कानून के अनुसार होते हैं। ग्राफिक रूप से, हार्मोनिक दोलनों को एक साइनसॉइड वक्र द्वारा दर्शाया जाता है। हार्मोनिक दोलन आवर्त गति का सबसे सरल प्रकार है, जिसकी विशेषता है ... सचित्र विश्वकोश शब्दकोश

हार्मोनिक कंपन- उतार-चढ़ाव जिसमें एक भौतिक मात्रा समय के साथ साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार बदल जाती है। आलेखीय रूप से G. to. को एक साइनसॉइड या कोसाइन वक्र द्वारा दर्शाया जाता है (अंजीर देखें।); उन्हें इस रूप में लिखा जा सकता है: x = असिन (ωt + ) या x ... महान सोवियत विश्वकोश

हार्मोनिक दोलन- हार्मोनिक दोलन, आवधिक गति जैसे पेंडुलम की गति, परमाणु दोलन या विद्युत परिपथ में दोलन। एक पिंड बिना ढके हार्मोनिक दोलन करता है जब वह एक रेखा के साथ दोलन करता है, उसी से चलता है ... ... वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

हार्मोनिक दोलन- उतार-चढ़ाव, जिस पर शारीरिक। (या कोई अन्य) मान साइनसॉइडल कानून के अनुसार समय के साथ बदलता है: x=Asin(wt+j), जहां x दिए गए में दोलन मान का मान है। समय का क्षण t (यांत्रिक G. to. के लिए, उदाहरण के लिए, विस्थापन या गति, के लिए ... ... भौतिक विश्वकोश

हार्मोनिक कंपन- यांत्रिक कंपन, जिसमें सामान्यीकृत समन्वय और (या) सामान्यीकृत गति समय पर रैखिक रूप से निर्भर तर्क के साथ साइन के अनुपात में बदल जाती है। [अनुशंसित शर्तों का संग्रह। अंक 106. यांत्रिक कंपन। विज्ञान अकादमी... तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

हार्मोनिक दोलन- उतार-चढ़ाव, जिस पर शारीरिक। (या कोई अन्य) मात्रा साइनसॉइडल कानून के अनुसार समय में बदलती है, जहां एक्स समय टी पर दोलन मात्रा का मान है (यांत्रिक जी के लिए, उदाहरण के लिए, विद्युत वोल्टेज और वर्तमान के लिए विस्थापन और गति) .. . भौतिक विश्वकोश

हार्मोनिक दोलन- (देखें), जिसमें भौतिक। मूल्य समय के साथ साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार बदलता है (उदाहरण के लिए, परिवर्तन (देखें) और दोलन के दौरान गति (देखें) या परिवर्तन (देखें) और विद्युत जी के साथ वर्तमान ताकत। से।) ... महान पॉलिटेक्निक विश्वकोश

हार्मोनिक दोलन- कानून के अनुसार समय t में दोलन मान x (उदाहरण के लिए, संतुलन की स्थिति से पेंडुलम का विचलन, प्रत्यावर्ती धारा सर्किट में वोल्टेज, आदि) में परिवर्तन की विशेषता है: x = असिन (?t + ?), जहां ए हार्मोनिक दोलनों का आयाम है, ? कोना… … बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

हार्मोनिक कंपन- 19. हार्मोनिक दोलन दोलन जिसमें दोलन मात्रा के मान कानून के अनुसार समय में बदलते हैं स्रोत ... मानक और तकनीकी दस्तावेज की शर्तों की शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक

हार्मोनिक दोलन- नियत कालीन उतार-चढ़ाव, क्रिख के साथ भौतिक समय में परिवर्तन। परिमाण ज्या या कोज्या के नियम के अनुसार होता है (चित्र देखें): s = असिन (wt + f0), जहाँ s अपने cf से उतार-चढ़ाव वाले मान का विचलन है। (संतुलन) मूल्य, ए = स्थिरांक आयाम, डब्ल्यू = स्थिरांक परिपत्र ... बड़ा विश्वकोश पॉलिटेक्निक शब्दकोश

यांत्रिकी में पिंडों के स्थानान्तरण और घूर्णी गतियों के साथ-साथ दोलन गतियाँ भी काफी रुचिकर हैं। यांत्रिक कंपन निकायों के आंदोलनों को कहा जाता है जो नियमित अंतराल पर बिल्कुल (या लगभग) दोहराते हैं। एक दोलनशील पिंड की गति का नियम समय के कुछ आवधिक कार्य द्वारा दिया जाता है एक्स = एफ (टी) इस फ़ंक्शन का ग्राफिक प्रतिनिधित्व समय में दोलन प्रक्रिया के पाठ्यक्रम का एक दृश्य प्रतिनिधित्व देता है।

सरल ऑसिलेटरी सिस्टम के उदाहरण स्प्रिंग या गणितीय लोलक पर भार हैं (चित्र 2.1.1)।

यांत्रिक कंपन, किसी अन्य की दोलन प्रक्रियाओं की तरह भौतिक प्रकृति, हो सकता है नि: शुल्कतथा मजबूर. मुक्त कंपन प्रभाव में बने हैं आंतरिक बलप्रणाली को संतुलन से बाहर लाने के बाद प्रणाली। स्प्रिंग पर भार का दोलन या लोलक का दोलन मुक्त दोलन हैं। कार्रवाई के तहत कंपन बाहरीसमय-समय पर बदलती शक्तियों को कहा जाता है मजबूर .

सबसे सरल प्रकार की ऑसिलेटरी प्रक्रिया सरल होती है हार्मोनिक कंपन , जो समीकरण द्वारा वर्णित हैं

एक्स = एक्सएम कॉस (ω टी + φ 0).

यहां एक्स- संतुलन की स्थिति से शरीर का विस्थापन, एक्सएम - दोलन आयाम, यानी संतुलन की स्थिति से अधिकतम विस्थापन, ω - चक्रीय या वृत्ताकार आवृत्ति संकोच, टी- समय। कोज्या चिह्न = ω . के तहत मान टी+ 0 कहा जाता है अवस्थाहार्मोनिक प्रक्रिया। पर टी= 0 = 0 , इसलिए 0 को कहा जाता है पहला भाग. न्यूनतम समय अंतराल जिसके बाद शरीर की गति को दोहराया जाता है, कहलाता है दोलन की अवधि टी. दोलन की अवधि के लिए व्युत्क्रम भौतिक मात्रा कहलाती है दोलन आवृत्ति:

दोलन आवृत्ति एफदिखाता है कि 1 सेकंड में कितने कंपन होते हैं। आवृत्ति इकाई - हेटर्स(हर्ट्ज)। दोलन आवृत्ति एफचक्रीय आवृत्ति ω और दोलन अवधि . से संबंधित है टीअनुपात:

अंजीर पर। 2.1.2 हार्मोनिक स्पंदनों के साथ नियमित अंतराल पर शरीर की स्थिति को दर्शाता है। इस तरह के चित्र को एक दोलनशील पिंड को प्रकाश की छोटी आवधिक चमक के साथ प्रकाशित करके प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त किया जा सकता है ( स्ट्रोबोस्कोपिक लाइटिंग) तीर समय में विभिन्न बिंदुओं पर शरीर के वेग वैक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं।

चावल। 2.1.3 एक हार्मोनिक प्रक्रिया के ग्राफ पर होने वाले परिवर्तनों को दिखाता है यदि या तो दोलनों का आयाम बदलता है एक्समी, या अवधि टी(या आवृत्ति एफ), या प्रारंभिक चरण 0।

जब शरीर एक सीधी रेखा (अक्ष) के साथ दोलन करता है बैल) वेग सदिश हमेशा इस सीधी रेखा के अनुदिश निर्देशित होता है। वेग = एक्सशरीर की गति अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित होती है

गणित में . पर अनुपात की सीमा ज्ञात करने की प्रक्रिया टी→ 0 को फलन के अवकलज का परिकलन कहा जाता है एक्स (टी) समय तक टीऔर के रूप में या के रूप में निरूपित एक्स"(टी) या अंत में के रूप में। गति के हार्मोनिक नियम के लिए व्युत्पन्न की गणना निम्नलिखित परिणाम की ओर ले जाती है:

कोज्या तर्क में शब्द + / 2 के प्रकट होने का अर्थ है प्रारंभिक चरण में परिवर्तन। वेग के अधिकतम मॉड्यूलो मान = एक्समी उन क्षणों में प्राप्त होता है जब शरीर संतुलन की स्थिति से गुजरता है ( एक्स= 0)। त्वरण को इसी तरह परिभाषित किया गया है एक = एकएक्सहार्मोनिक कंपन वाले शरीर:

इसलिए त्वरण एकफ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर है ( टी) समय तक टी, या फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न एक्स (टी) गणना देते हैं:

इस व्यंजक में ऋण चिह्न का अर्थ है कि त्वरण एक (टी) हमेशा ऑफ़सेट का विपरीत चिन्ह होता है एक्स (टी), और इसलिए, न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, शरीर को हार्मोनिक दोलन करने के लिए प्रेरित करने वाला बल हमेशा संतुलन की स्थिति की ओर निर्देशित होता है ( एक्स = 0).

>> हार्मोनिक कंपन

§ 22 हार्मोनिक दोलन

यह जानना कि एक दोलनशील पिंड का त्वरण और समन्वय कैसे संबंधित है, गणितीय विश्लेषण के आधार पर समय पर निर्देशांक की निर्भरता का पता लगाना संभव है।

त्वरण समय के संबंध में निर्देशांक का दूसरा व्युत्पन्न है।एक बिंदु की तात्कालिक गति, जैसा कि आप गणित के पाठ्यक्रम से जानते हैं, समय के संबंध में बिंदु के निर्देशांक का व्युत्पन्न है। एक बिंदु का त्वरण समय के संबंध में उसके वेग का व्युत्पन्न है, या समय के संबंध में निर्देशांक का दूसरा व्युत्पन्न है। इसलिए, समीकरण (3.4) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

जहां x " समय के संबंध में निर्देशांक का दूसरा व्युत्पन्न है। समीकरण (3.11) के अनुसार, मुक्त दोलनों के दौरान, x निर्देशांक समय के साथ बदलता है जिससे समय के संबंध में निर्देशांक का दूसरा अवकलज स्वयं निर्देशांक के समानुपाती होता है और इसके संकेत के विपरीत होता है।

गणित के पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है कि साइन और कोसाइन के दूसरे व्युत्पन्न उनके तर्क के संबंध में विपरीत चिह्न के साथ लिए गए कार्यों के समानुपाती होते हैं। गणितीय विश्लेषण में, यह सिद्ध होता है कि किसी अन्य फलन में यह गुण नहीं है। यह सब अनुमति देता है अच्छे कारण के साथदावा करें कि एक निकाय का समन्वय जो मुक्त दोलन करता है, समय के साथ साइन या पेसिन के नियम के अनुसार बदलता है। चित्र 3.6 कोज्या नियम के अनुसार समय के साथ एक बिंदु के निर्देशांक में परिवर्तन को दर्शाता है।

समय के आधार पर भौतिक मात्रा में आवधिक परिवर्तन, साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार होने वाले, हार्मोनिक दोलन कहलाते हैं।

दोलन आयाम।हार्मोनिक दोलनों का आयाम संतुलन की स्थिति से शरीर के सबसे बड़े विस्थापन का मॉड्यूल है।

आयाम हो सकता है विभिन्न अर्थइस पर निर्भर करता है कि हम समय के प्रारंभिक क्षण में शरीर को संतुलन की स्थिति से कितना विस्थापित करते हैं, या शरीर को किस गति की सूचना दी जाती है। आयाम प्रारंभिक स्थितियों, या शरीर को प्रदान की गई ऊर्जा द्वारा निर्धारित किया जाता है। लेकिन साइन मॉड्यूल और कोसाइन मॉड्यूल के अधिकतम मान एक के बराबर हैं। इसलिए, समीकरण (3.11) का हल केवल ज्या या कोज्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है। यह एक ज्या या कोज्या द्वारा दोलन आयाम x मीटर के गुणनफल का रूप होना चाहिए।

मुक्त दोलनों का वर्णन करने वाले समीकरण का हल।हम समीकरण (3.11) का हल निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:

और दूसरा व्युत्पन्न होगा:

हमने समीकरण (3.11) प्राप्त किया है। इसलिए, फलन (3.12) मूल समीकरण (3.11) का हल है। इस समीकरण का हल भी फलन होगा

(3.14) के अनुसार, समय पर निर्देशांक पिंड की निर्भरता का ग्राफ एक कोज्या तरंग है (चित्र 3.6 देखें)।

हार्मोनिक दोलनों की अवधि और आवृत्ति. कंपन के दौरान, शरीर की गतिविधियों को समय-समय पर दोहराया जाता है। समय अंतराल टी जिसके दौरान सिस्टम एक प्रदर्शन करता है पूरा चक्रदोलन को दोलन की अवधि कहा जाता है।

अवधि जानने के बाद, आप दोलनों की आवृत्ति निर्धारित कर सकते हैं, अर्थात समय की प्रति इकाई दोलनों की संख्या, उदाहरण के लिए, प्रति सेकंड। यदि समय T में एक दोलन होता है, तो प्रति सेकंड दोलनों की संख्या

इंटरनेशनल सिस्टम ऑफ यूनिट्स (एसआई) में, प्रति सेकंड एक दोलन होने पर दोलनों की आवृत्ति एक के बराबर होती है। जर्मन भौतिक विज्ञानी जी. हर्ट्ज़ के सम्मान में आवृत्ति की इकाई को हर्ट्ज़ (संक्षिप्त: हर्ट्ज) कहा जाता है।

2 s में दोलनों की संख्या है:

मान - चक्रीय, या वृत्ताकार, दोलनों की आवृत्ति। यदि समीकरण (3.14) में समय t एक अवधि के बराबर है, तो T \u003d 2. इस प्रकार, यदि समय पर t \u003d 0 x \u003d x m, तो समय पर t \u003d T x \u003d x m, अर्थात के माध्यम से एक अवधि के बराबर समय की अवधि, दोलनों को दोहराया जाता है।

मुक्त दोलनों की आवृत्ति दोलन प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति द्वारा पाई जाती है 1.

प्रणाली के गुणों पर मुक्त दोलनों की आवृत्ति और अवधि की निर्भरता।समीकरण (3.13) के अनुसार, स्प्रिंग से जुड़े किसी पिंड के कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर है:

यह जितना अधिक होता है, वसंत k की कठोरता उतनी ही अधिक होती है, और कम, शरीर का द्रव्यमान m जितना अधिक होता है। यह समझना आसान है: एक कठोर वसंत शरीर को अधिक त्वरण देता है, शरीर की गति को तेजी से बदलता है। और शरीर जितना अधिक विशाल होता है, बल के प्रभाव में उसकी गति उतनी ही धीमी होती है। दोलन अवधि है:

विभिन्न कठोरता और विभिन्न द्रव्यमान के निकायों के स्प्रिंग्स का एक सेट होने से, यह अनुभव से सत्यापित करना आसान है कि सूत्र (3.13) और (3.18) k और m पर u T की निर्भरता की प्रकृति का सही वर्णन करते हैं।

यह उल्लेखनीय है कि एक स्प्रिंग पर किसी पिंड के दोलन की अवधि और छोटे विक्षेपण कोणों पर एक पेंडुलम के दोलन की अवधि दोलन आयाम पर निर्भर नहीं करती है।

समीकरण (3.10) में त्वरण t और विस्थापन x के बीच आनुपातिकता के गुणांक का मॉड्यूल, जो पेंडुलम के दोलनों का वर्णन करता है, समीकरण (3.11) के अनुसार, चक्रीय आवृत्ति का वर्ग है। नतीजतन, ऊर्ध्वाधर से धागे के विचलन के छोटे कोणों पर गणितीय पेंडुलम के दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति पेंडुलम की लंबाई और मुक्त गिरावट त्वरण पर निर्भर करती है:

इस सूत्र को सबसे पहले आई. न्यूटन के समकालीन डच वैज्ञानिक जी. ह्यूजेन्स द्वारा प्राप्त और परीक्षण किया गया था। यह केवल धागे के विक्षेपण के छोटे कोणों के लिए मान्य है।

1 अक्सर निम्नलिखित में, संक्षिप्तता के लिए, हम चक्रीय आवृत्ति को केवल आवृत्ति के रूप में संदर्भित करेंगे। आप चक्रीय आवृत्ति को सामान्य आवृत्ति से अंकन द्वारा अलग कर सकते हैं।

दोलन की अवधि लोलक की लंबाई के साथ बढ़ती जाती है। यह लोलक के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है। इसे विभिन्न पेंडुलम के साथ प्रयोग करके आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। मुक्त पतन त्वरण पर दोलन अवधि की निर्भरता भी पाई जा सकती है। छोटा जी, पेंडुलम के दोलन की अवधि जितनी लंबी होती है और, परिणामस्वरूप, पेंडुलम के साथ घड़ी धीमी होती है। इस प्रकार, एक रॉड पर भार के रूप में एक पेंडुलम वाली घड़ी एक दिन में लगभग 3 s पीछे गिर जाएगी यदि इसे बेसमेंट से मास्को विश्वविद्यालय की ऊपरी मंजिल (ऊंचाई 200 मीटर) तक उठा लिया जाए। और यह केवल ऊंचाई के साथ मुक्त गिरने के त्वरण में कमी के कारण है।

लोलक के दोलन काल की g के मान पर निर्भरता का प्रयोग व्यवहार में किया जाता है। दोलन की अवधि को मापकर, जी को बहुत सटीक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण भौगोलिक अक्षांश के साथ बदलता रहता है। लेकिन किसी दिए गए अक्षांश पर भी यह हर जगह समान नहीं होता है। आखिरकार, घनत्व पृथ्वी की पपड़ीहर जगह एक जैसा नहीं है। जिन क्षेत्रों में घनी चट्टानें होती हैं, वहाँ त्वरण g कुछ अधिक होता है। खनिजों के लिए पूर्वेक्षण करते समय इसे ध्यान में रखा जाता है।

इस प्रकार, पारंपरिक चट्टानों की तुलना में लौह अयस्क का घनत्व अधिक होता है। शिक्षाविद ए। ए। मिखाइलोव के मार्गदर्शन में किए गए कुर्स्क के पास गुरुत्वाकर्षण के त्वरण के मापन ने लौह अयस्क के स्थान को स्पष्ट करना संभव बना दिया। उन्हें पहली बार चुंबकीय माप के माध्यम से खोजा गया था।

अधिकांश इलेक्ट्रॉनिक पैमानों के उपकरणों में यांत्रिक कंपन के गुणों का उपयोग किया जाता है। तौलने वाले शरीर को एक ऐसे प्लेटफॉर्म पर रखा जाता है जिसके नीचे एक कठोर स्प्रिंग लगा होता है। नतीजतन, वहाँ हैं यांत्रिक कंपन, जिसकी आवृत्ति को संबंधित सेंसर द्वारा मापा जाता है। इस सेंसर से जुड़ा माइक्रोप्रोसेसर दोलन आवृत्ति को भारित पिंड के द्रव्यमान में बदल देता है, क्योंकि यह आवृत्ति द्रव्यमान पर निर्भर करती है।

दोलन अवधि के लिए प्राप्त सूत्र (3.18) और (3.20) इंगित करते हैं कि हार्मोनिक दोलनों की अवधि सिस्टम के मापदंडों (वसंत कठोरता, धागे की लंबाई, आदि) पर निर्भर करती है।

मायाकिशेव जी। हां, भौतिकी। ग्रेड 11: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान: बुनियादी और प्रोफाइल। स्तर / जी। हां। मायाकिशेव, बी। वी। बुखोवत्सेव, वी। एम। चारुगिन; ईडी। V. I. निकोलेव, N. A. Parfenteva। - 17 वां संस्करण।, संशोधित। और अतिरिक्त - एम .: शिक्षा, 2008. - 399 पी .: बीमार।

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