गॉस की सारणीबद्ध विधि। रिवर्स गॉस विधि

रैखिक बीजगणितीय प्रणालियों को हल करने के लिए सार्वभौमिक और प्रभावी तरीकों में से एक है गॉस विधि , अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन में शामिल है।

याद रखें कि दो प्रणालियों को कहा जाता है बराबर (समतुल्य) यदि उनके विलयनों के समुच्चय समान हैं। दूसरे शब्दों में, सिस्टम समतुल्य हैं यदि उनमें से एक का प्रत्येक समाधान दूसरे का समाधान है, और इसके विपरीत। समतुल्य प्रणालियाँ के साथ प्राप्त की जाती हैं प्राथमिक परिवर्तन सिस्टम समीकरण:

समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;

किसी समीकरण में किसी अन्य समीकरण के संगत भागों को जोड़ना, शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;

दो समीकरणों का क्रमपरिवर्तन।

चलो समीकरणों की प्रणाली

गॉस विधि द्वारा इस प्रणाली को हल करने की प्रक्रिया में दो चरण होते हैं। पहले चरण (फॉरवर्ड रन) में, सिस्टम को प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से कम कर दिया जाता है कदम रखा , या त्रिकोणीय दिमाग, और दूसरे चरण (रिवर्स मूव) में एक अनुक्रमिक होता है, जो अंतिम चर से शुरू होता है, परिणामी चरण प्रणाली से अज्ञात की परिभाषा।

आइए मान लें कि इस प्रणाली का गुणांक
, अन्यथा प्रणाली में पहली पंक्ति को किसी अन्य पंक्ति के साथ बदला जा सकता है ताकि गुणांक शून्य से भिन्न था।

आइए अज्ञात को खत्म करते हुए सिस्टम को बदलें पहले को छोड़कर सभी समीकरणों में। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें और सिस्टम के दूसरे समीकरण के साथ शब्द दर शब्द जोड़ें। फिर पहले समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करें और इसे सिस्टम के तीसरे समीकरण में जोड़ें। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम एक समान प्रणाली प्राप्त करते हैं

यहां
गुणांक और मुक्त शर्तों के नए मान हैं, जो पहले चरण के बाद प्राप्त होते हैं।

इसी प्रकार, मुख्य तत्व पर विचार करते हुए
, अज्ञात को बाहर करें सिस्टम के सभी समीकरणों से, पहले और दूसरे को छोड़कर। हम इस प्रक्रिया को यथासंभव लंबे समय तक जारी रखते हैं, परिणामस्वरूप हमें एक चरण प्रणाली मिलती है

,

कहाँ पे ,
,…,- प्रणाली के मुख्य तत्व
.

यदि सिस्टम को एक चरण के रूप में लाने की प्रक्रिया में, समीकरण दिखाई देते हैं, यानी, फॉर्म की समानताएं
, उन्हें छोड़ दिया जाता है, क्योंकि संख्याओं का कोई भी सेट उन्हें संतुष्ट करता है
. मैं मोटा
दिखाई देगा फॉर्म का समीकरण, जिसका कोई समाधान नहीं है, यह सिस्टम की असंगति को इंगित करता है।

रिवर्स कोर्स में, पहले अज्ञात को रूपांतरित चरण प्रणाली के अंतिम समीकरण से व्यक्त किया जाता है अन्य सभी अज्ञात के माध्यम से
कौन बुलाया गया नि: शुल्क . फिर चर अभिव्यक्ति सिस्टम के अंतिम समीकरण से अंतिम समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है और चर को इससे व्यक्त किया जाता है
. चर एक समान तरीके से परिभाषित किए गए हैं
. चर
, मुक्त चर के रूप में व्यक्त, कहलाते हैं बुनियादी (आश्रित)। परिणाम प्रणाली का एक सामान्य समाधान है रेखीय समीकरण.

ढूँढ़ने के लिए निजी समाधान सिस्टम, मुक्त अज्ञात
सामान्य समाधान में, मनमाना मान निर्दिष्ट किए जाते हैं और चर के मानों की गणना की जाती है
.

प्राथमिक परिवर्तनों को सिस्टम के समीकरणों के लिए नहीं, बल्कि सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के अधीन करना तकनीकी रूप से अधिक सुविधाजनक है

.

गॉस विधि एक सार्वभौमिक विधि है जो आपको न केवल वर्ग, बल्कि आयताकार प्रणालियों को भी हल करने की अनुमति देती है जिसमें अज्ञात की संख्या
समीकरणों की संख्या के बराबर नहीं
.

इस पद्धति का लाभ इस तथ्य में भी निहित है कि हल करने की प्रक्रिया में हम एक साथ संगतता के लिए सिस्टम की जांच करते हैं, क्योंकि संवर्धित मैट्रिक्स को कम करके
चरणबद्ध रूप में, मैट्रिक्स के रैंकों को निर्धारित करना आसान है और विस्तारित मैट्रिक्स
और आवेदन करें क्रोनकर-कैपेली प्रमेय .

उदाहरण 2.1गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

समाधान. समीकरणों की संख्या
और अज्ञात की संख्या
.

आइए हम गुणांक के मैट्रिक्स के दाईं ओर निर्दिष्ट करके सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करें मुक्त सदस्य स्तंभ .

आइए मैट्रिक्स लाते हैं एक त्रिकोणीय आकार के लिए; ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके मुख्य विकर्ण पर तत्वों के नीचे "0" प्राप्त करेंगे।

पहले कॉलम की दूसरी स्थिति में "0" प्राप्त करने के लिए, पहली पंक्ति को (-1) से गुणा करें और दूसरी पंक्ति में जोड़ें।

हम इस परिवर्तन को पहली पंक्ति के सामने एक संख्या (-1) के रूप में लिखते हैं और इसे पहली पंक्ति से दूसरी पंक्ति तक जाने वाले एक तीर द्वारा निरूपित करते हैं।

पहले कॉलम की तीसरी स्थिति में "0" प्राप्त करने के लिए, पहली पंक्ति को (-3) से गुणा करें और तीसरी पंक्ति में जोड़ें; आइए इस क्रिया को पहली पंक्ति से तीसरी तक जाने वाले तीर से दिखाते हैं।

.

परिणामी मैट्रिक्स में, मैट्रिक्स श्रृंखला में दूसरा लिखा, हमें दूसरे कॉलम में तीसरे स्थान पर "0" मिलता है। ऐसा करने के लिए, दूसरी पंक्ति को (-4) से गुणा करें और तीसरी पंक्ति में जोड़ें। परिणामी मैट्रिक्स में, हम दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करते हैं, और तीसरी पंक्ति को (-8) से विभाजित करते हैं। इस मैट्रिक्स के सभी अवयव जो विकर्ण तत्वों के नीचे स्थित हैं, शून्य हैं।

इसलिये , प्रणाली सहयोगी और विशिष्ट है।

अंतिम मैट्रिक्स के अनुरूप समीकरणों की प्रणाली का त्रिकोणीय रूप है:

अंतिम (तीसरे) समीकरण से
. दूसरे समीकरण में रखें और प्राप्त करें
.

स्थानापन्न
तथा
पहले समीकरण में, हम पाते हैं


.

गॉस विधि, जिसे अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि भी कहा जाता है, में निम्नलिखित शामिल हैं। प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली को इस तरह से लाया जाता है कि इसके गुणांक का मैट्रिक्स हो जाता है समलम्बाकार (त्रिकोणीय या चरणबद्ध के समान) या समलंब चतुर्भुज के करीब (गॉस विधि का सीधा कोर्स, तब - बस एक सीधा कदम)। ऐसी प्रणाली का एक उदाहरण और इसका समाधान ऊपर की आकृति में दिखाया गया है।

ऐसी प्रणाली में, अंतिम समीकरण में केवल एक चर होता है और इसका मान विशिष्ट रूप से पाया जा सकता है। फिर इस चर के मान को पिछले समीकरण में बदल दिया जाता है ( गाऊसी रिवर्स , फिर - बस एक रिवर्स चाल), जिससे पिछला चर पाया जाता है, और इसी तरह।

एक समलम्बाकार (त्रिकोणीय) प्रणाली में, जैसा कि हम देखते हैं, तीसरे समीकरण में अब चर शामिल नहीं हैं आपतथा एक्स, और दूसरा समीकरण - चर एक्स .

सिस्टम के मैट्रिक्स ने एक समलम्बाकार आकार ले लिया है, सिस्टम की संगतता के प्रश्न को हल करना, समाधानों की संख्या निर्धारित करना और स्वयं समाधान ढूंढना मुश्किल नहीं है।

विधि के लाभ:

1. तीन से अधिक समीकरणों और अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय, गॉस विधि क्रैमर विधि की तरह बोझिल नहीं होती है, क्योंकि गॉस विधि को हल करते समय कम गणना की आवश्यकता होती है;
2. गॉस विधि का उपयोग करके, आप रैखिक समीकरणों की अनिश्चित प्रणाली को हल कर सकते हैं, अर्थात, एक सामान्य समाधान (और हम इस पाठ में उनका विश्लेषण करेंगे), और क्रैमर विधि का उपयोग करके, आप केवल यह बता सकते हैं कि सिस्टम अनिश्चित है;
3. आप रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल कर सकते हैं जिसमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर नहीं है (हम इस पाठ में उनका विश्लेषण भी करेंगे);
4. विधि प्राथमिक (स्कूल) विधियों पर आधारित है - अज्ञात के प्रतिस्थापन की विधि और समीकरणों को जोड़ने की विधि, जिसे हमने संबंधित लेख में छुआ था।

रैखिक समीकरणों के समलम्बाकार (त्रिकोणीय, चरण) प्रणालियों को जिस सरलता से हल किया जाता है, उससे सभी को प्रभावित होने के लिए, हम रिवर्स स्ट्रोक का उपयोग करके ऐसी प्रणाली का समाधान प्रस्तुत करते हैं। इस प्रणाली का एक त्वरित समाधान पाठ की शुरुआत में चित्र में दिखाया गया था।

उदाहरण 1रिवर्स मूव का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान। इस समलम्बाकार प्रणाली में, चर जेडतीसरे समीकरण से विशिष्ट रूप से पाया जाता है। हम इसके मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और चर का मान प्राप्त करते हैं आप:

अब हम दो चरों के मान जानते हैं - जेडतथा आप. हम उन्हें पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और चर का मान प्राप्त करते हैं एक्स:

पिछले चरणों से, हम समीकरणों की प्रणाली का हल लिखते हैं:

रैखिक समीकरणों की ऐसी समलम्बाकार प्रणाली प्राप्त करने के लिए, जिसे हमने बहुत सरलता से हल किया है, रैखिक समीकरणों की प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तनों से जुड़े एक प्रत्यक्ष चाल को लागू करना आवश्यक है। यह भी बहुत कठिन नहीं है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन

सिस्टम के समीकरणों के बीजगणितीय जोड़ की स्कूल पद्धति को दोहराते हुए, हमने पाया कि सिस्टम के एक और समीकरण को सिस्टम के समीकरणों में से एक में जोड़ा जा सकता है, और प्रत्येक समीकरण को कुछ संख्याओं से गुणा किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, हमें दिए गए समीकरण के समतुल्य रैखिक समीकरणों का एक निकाय प्राप्त होता है। इसमें, एक समीकरण में पहले से ही केवल एक चर होता है, जिसके मान को अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हुए, हम एक समाधान पर आते हैं। ऐसा जोड़ प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन के प्रकारों में से एक है। गॉस विधि का उपयोग करते समय, हम कई प्रकार के परिवर्तनों का उपयोग कर सकते हैं।

ऊपर दिया गया एनीमेशन दिखाता है कि कैसे समीकरणों की प्रणाली धीरे-धीरे एक समलम्बाकार में बदल जाती है। यही है, जिसे आपने पहले एनीमेशन में देखा था और यह सुनिश्चित किया था कि इससे सभी अज्ञात के मूल्यों को खोजना आसान हो। इस तरह के परिवर्तन को कैसे करें और निश्चित रूप से, उदाहरणों पर आगे चर्चा की जाएगी।

समीकरणों की प्रणाली में और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में किसी भी संख्या में समीकरणों और अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय कर सकते हैं:

1. स्वैप लाइनें (इस लेख की शुरुआत में ही इसका उल्लेख किया गया था);
2. यदि अन्य परिवर्तनों के परिणामस्वरूप समान या आनुपातिक रेखाएँ दिखाई देती हैं, तो उन्हें एक को छोड़कर हटाया जा सकता है;
3. "शून्य" पंक्तियों को हटा दें, जहां सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं;
4. किसी स्ट्रिंग को किसी संख्या से गुणा या भाग देना;
5. किसी भी पंक्ति में दूसरी पंक्ति को किसी संख्या से गुणा करने पर जोड़ें।

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमें दिए गए समीकरण के समतुल्य रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है।

एल्गोरिथम और गॉस विधि द्वारा हल करने के उदाहरण प्रणाली के एक वर्ग मैट्रिक्स के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली

पहले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के समाधान पर विचार करें जिसमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर होती है। ऐसी प्रणाली का मैट्रिक्स वर्गाकार होता है, यानी इसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है।

उदाहरण 2गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

स्कूल विधियों का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हुए, हमने एक समीकरण के पद से एक निश्चित संख्या से गुणा किया, ताकि दो समीकरणों में पहले चर के गुणांक विपरीत संख्याएं हों। समीकरण जोड़ते समय, यह चर समाप्त हो जाता है। गॉस विधि इसी तरह से काम करती है।

सरल करने के लिए दिखावटसमाधान सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स की रचना करें:

इस मैट्रिक्स में, अज्ञात के गुणांक लंबवत बार से पहले बाईं ओर स्थित होते हैं, और मुक्त सदस्य लंबवत बार के बाद दाईं ओर स्थित होते हैं।

चरों के गुणांकों को विभाजित करने की सुविधा के लिए (एक से विभाजन प्राप्त करने के लिए) सिस्टम मैट्रिक्स की पहली और दूसरी पंक्तियों को स्वैप करें. हम दिए गए सिस्टम के बराबर एक सिस्टम प्राप्त करते हैं, क्योंकि रैखिक समीकरणों की प्रणाली में कोई भी समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित कर सकता है:

नए पहले समीकरण के साथ चर को समाप्त करें एक्सदूसरे और बाद के सभी समीकरणों से. ऐसा करने के लिए, मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को (हमारे मामले में द्वारा) से गुणा करें, और पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति से (हमारे मामले में से) गुणा करें।

यह संभव है क्योंकि

यदि हमारे सिस्टम में तीन से अधिक समीकरण थे, तो पहली पंक्ति को बाद के सभी समीकरणों में जोड़ा जाना चाहिए, संबंधित गुणांक के अनुपात से गुणा करके, ऋण चिह्न के साथ लिया जाना चाहिए।

नतीजतन, हम दिए गए सिस्टम के बराबर एक मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं नई प्रणालीसमीकरण, जिसमें सभी समीकरण, दूसरे से शुरू होते हैं एक चर शामिल नहीं है एक्स :

परिणामी प्रणाली की दूसरी पंक्ति को सरल बनाने के लिए, हम इसे गुणा करते हैं और फिर से इस प्रणाली के बराबर समीकरणों की प्रणाली का मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

अब, परिणामी प्रणाली के पहले समीकरण को अपरिवर्तित रखते हुए, दूसरे समीकरण का उपयोग करके, हम चर को समाप्त करते हैं आप बाद के सभी समीकरणों से। ऐसा करने के लिए, सिस्टम मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति में दूसरी पंक्ति को (हमारे मामले में, से) गुणा करके जोड़ें।

यदि हमारे सिस्टम में तीन से अधिक समीकरण थे, तो दूसरी पंक्ति को बाद के सभी समीकरणों में जोड़ा जाना चाहिए, संबंधित गुणांक के अनुपात से गुणा करके, ऋण चिह्न के साथ लिया जाना चाहिए।

नतीजतन, हम फिर से रैखिक समीकरणों की दी गई प्रणाली के बराबर प्रणाली के मैट्रिक्स को प्राप्त करते हैं:

हमने दिए गए समीकरण के समतुल्य रैखिक समीकरणों की एक समलम्बाकार प्रणाली प्राप्त की है:

यदि समीकरणों और चरों की संख्या हमारे उदाहरण से अधिक है, तो चरों के क्रमिक उन्मूलन की प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि सिस्टम मैट्रिक्स समलम्बाकार नहीं हो जाता, जैसा कि हमारे डेमो उदाहरण में है।

हम "अंत से" समाधान पाएंगे - उल्टा. इसके लिए अंतिम समीकरण से हम निर्धारित करते हैं जेड:
.
इस मान को पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, पाना आप:

पहले समीकरण से पाना एक्स:

उत्तर: समीकरणों के इस निकाय का हल - .

: इस मामले में, वही उत्तर दिया जाएगा यदि सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है। यदि सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं, तो उत्तर भी ऐसा ही होगा, और यह इस पाठ के पांचवें भाग का विषय है।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

हमारे सामने फिर से रैखिक समीकरणों की एक सुसंगत और निश्चित प्रणाली का एक उदाहरण है, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है। एल्गोरिथम से हमारे डेमो उदाहरण से अंतर यह है कि पहले से ही चार समीकरण और चार अज्ञात हैं।

उदाहरण 4गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

अब आपको बाद के समीकरणों से चर को बाहर करने के लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता है। चलो खर्च करें प्रारंभिक कार्य. गुणांक के अनुपात के साथ इसे और अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए, आपको दूसरी पंक्ति के दूसरे कॉलम में एक इकाई प्राप्त करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, तीसरी पंक्ति को दूसरी पंक्ति से घटाएँ, और परिणामी दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करें।

आइए अब हम तीसरे और चौथे समीकरण से चर का वास्तविक विलोपन करें। ऐसा करने के लिए, तीसरी पंक्ति में दूसरी, गुणा करके , और दूसरी को , से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ें।

अब, तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, हम चौथे समीकरण से चर को समाप्त करते हैं। ऐसा करने के लिए, चौथी पंक्ति में, तीसरी को गुणा करके जोड़ें। हमें एक समलम्बाकार आकृति का एक विस्तारित मैट्रिक्स मिलता है।

हमने समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की है, जो दिए गए सिस्टम के बराबर है:

इसलिए, परिणामी और दी गई प्रणालियाँ सुसंगत और निश्चित हैं। हम अंतिम समाधान "अंत से" ढूंढते हैं। चौथे समीकरण से, हम चर "x चौथाई" के मान को सीधे व्यक्त कर सकते हैं:

हम इस मान को निकाय के तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं

,

,

अंत में, मूल्य प्रतिस्थापन

पहले समीकरण में देता है

,

जहां हम "x पहले" पाते हैं:

उत्तर: समीकरणों की इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान है। .

आप कैलकुलेटर पर सिस्टम के समाधान की जांच भी कर सकते हैं जो क्रैमर की विधि द्वारा हल करता है: इस मामले में, वही उत्तर दिया जाएगा यदि सिस्टम में एक अद्वितीय समाधान है।

मिश्र धातुओं के लिए एक समस्या के उदाहरण पर लागू समस्याओं की गॉस विधि द्वारा समाधान

भौतिक दुनिया की वास्तविक वस्तुओं को मॉडल करने के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली का उपयोग किया जाता है। आइए इनमें से एक समस्या को हल करें - मिश्र धातुओं के लिए। समान कार्य - मिश्रण पर कार्य, लागत या विशिष्ट गुरुत्वमाल के समूह में व्यक्तिगत सामान और इसी तरह।

उदाहरण 5मिश्र धातु के तीन टुकड़ों का कुल द्रव्यमान 150 किग्रा है। पहले मिश्र धातु में 60% तांबा, दूसरा - 30%, तीसरा - 10% होता है। वहीं दूसरी और तीसरी मिश्रधातु को मिलाकर तांबा पहली मिश्र धातु की तुलना में 28.4 किलोग्राम कम है, और तीसरे मिश्र धातु में तांबा दूसरे की तुलना में 6.2 किलोग्राम कम है। मिश्र धातु के प्रत्येक टुकड़े का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

दूसरे और तीसरे समीकरण को 10 से गुणा करने पर, हम रैखिक समीकरणों की एक समान प्रणाली प्राप्त करते हैं:

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करते हैं:

ध्यान, सीधी चाल। जोड़कर (हमारे मामले में, घटाना) एक पंक्ति, एक संख्या से गुणा (हम इसे दो बार लागू करते हैं), सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के साथ निम्नलिखित परिवर्तन होते हैं:

सीधा रन खत्म हो गया है। हमें एक समलम्बाकार आकृति का एक विस्तारित मैट्रिक्स मिला है।

आइए रिवर्स का उपयोग करें। हम अंत से समाधान ढूंढते हैं। हम देखते है कि ।

दूसरे समीकरण से हम पाते हैं

तीसरे समीकरण से -

आप कैलकुलेटर पर सिस्टम के समाधान की जांच भी कर सकते हैं जो क्रैमर की विधि द्वारा हल करता है: इस मामले में, वही उत्तर दिया जाएगा यदि सिस्टम में एक अद्वितीय समाधान है।

गॉस पद्धति की सरलता का प्रमाण इस तथ्य से मिलता है कि जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने इसका आविष्कार करने में केवल 15 मिनट का समय लिया। उनके नाम की विधि के अलावा, गॉस के काम से, यह कहावत "हमें बिल्कुल असंभव के साथ अविश्वसनीय और अप्राकृतिक लगता है" मिश्रण नहीं करना चाहिए। संक्षिप्त निर्देशखोज करने के लिए।

कई लागू समस्याओं में, तीसरा प्रतिबंध नहीं हो सकता है, अर्थात तीसरा समीकरण, फिर गॉस विधि का उपयोग करके तीन अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है, या, इसके विपरीत, समीकरणों की तुलना में कम अज्ञात हैं। अब हम समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करना शुरू करते हैं।

गॉस विधि का उपयोग करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि कोई प्रणाली सुसंगत है या असंगत एनके साथ रैखिक समीकरण एनचर।

गॉस विधि और अनंत संख्या में समाधानों के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली

अगला उदाहरण रैखिक समीकरणों की एक सुसंगत लेकिन अनिश्चित प्रणाली है, अर्थात इसमें अनंत संख्या में समाधान हैं।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में परिवर्तन करने के बाद (पंक्तियों को क्रमित करना, पंक्तियों को एक निश्चित संख्या से गुणा और विभाजित करना, एक पंक्ति को दूसरी में जोड़ना), प्रपत्र की पंक्तियाँ

यदि सभी समीकरणों में रूप है

मुक्त सदस्य शून्य के बराबर हैं, इसका मतलब है कि प्रणाली अनिश्चित है, यानी इसमें अनंत संख्या में समाधान हैं, और इस प्रकार के समीकरण "अनावश्यक" हैं और सिस्टम से बाहर रखे गए हैं।

उदाहरण 6

समाधान। आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करें। फिर, पहले समीकरण का उपयोग करते हुए, हम बाद के समीकरणों से चर को समाप्त करते हैं। ऐसा करने के लिए, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में, पहले वाले को क्रमशः गुणा करके जोड़ें:

अब दूसरी पंक्ति को तीसरी और चौथी पंक्ति में जोड़ते हैं।

नतीजतन, हम सिस्टम पर पहुंचते हैं

अंतिम दो समीकरण रूप के समीकरण बन गए हैं। ये समीकरण अज्ञात के किसी भी मूल्य के लिए संतुष्ट हैं और इन्हें त्याग दिया जा सकता है।

दूसरे समीकरण को संतुष्ट करने के लिए, हम और के लिए मनमाना मान चुन सकते हैं, फिर के लिए मान स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जाएगा: . पहले समीकरण से, के लिए मान भी विशिष्ट रूप से पाया जाता है: .

दिए गए और अंतिम सिस्टम दोनों संगत हैं लेकिन अनिश्चित हैं, और सूत्र

मनमानी के लिए और हमें दी गई प्रणाली के सभी समाधान दें।

गॉस विधि और रैखिक समीकरणों के सिस्टम जिनका कोई हल नहीं है

निम्नलिखित उदाहरण रैखिक समीकरणों की एक असंगत प्रणाली है, अर्थात इसका कोई हल नहीं है। ऐसी समस्याओं का उत्तर निम्नानुसार तैयार किया गया है: सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

जैसा कि पहले उदाहरण के संबंध में पहले ही उल्लेख किया गया है, सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में परिवर्तन करने के बाद, फॉर्म की लाइनें

फॉर्म के समीकरण के अनुरूप

यदि उनमें से कम से कम एक गैर-शून्य मुक्त पद (यानी) के साथ एक समीकरण है, तो समीकरणों की यह प्रणाली असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है, और यह इसका समाधान पूरा करता है।

उदाहरण 7गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करते हैं। पहले समीकरण का उपयोग करते हुए, हम चर को बाद के समीकरणों से बाहर करते हैं। ऐसा करने के लिए, पहली को दूसरी पंक्ति से गुणा करें, पहली को तीसरी पंक्ति से गुणा करें, और पहली को चौथी पंक्ति से गुणा करें।

अब आपको बाद के समीकरणों से चर को बाहर करने के लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता है। गुणांकों के पूर्णांक अनुपात प्राप्त करने के लिए, हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की दूसरी और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करते हैं।

तीसरे और चौथे समीकरण से बाहर करने के लिए, तीसरी पंक्ति में दूसरी, गुणा करके , और दूसरी को , से गुणा करके चौथी में जोड़ें।

अब, तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, हम चौथे समीकरण से चर को समाप्त करते हैं। ऐसा करने के लिए, चौथी पंक्ति में, तीसरी को गुणा करके जोड़ें।

इस प्रकार दी गई प्रणाली निम्नलिखित के बराबर है:

परिणामी प्रणाली असंगत है, क्योंकि इसका अंतिम समीकरण अज्ञात के किसी भी मूल्य से संतुष्ट नहीं हो सकता है। इसलिए, इस प्रणाली का कोई समाधान नहीं है।

शैक्षिक संस्थान "बेलारूसी राज्य"

कृषि अकादमी"

विभाग उच्च गणित

दिशा-निर्देश

विषय के अध्ययन के लिए "रैखिक की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि"

समीकरण "लेखा संकाय के छात्रों द्वारा" अनुपस्थित प्रपत्रशिक्षा (निस्पो)

गोर्की, 2013

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि

समीकरणों की समतुल्य प्रणाली

रैखिक समीकरणों की दो प्रणालियों को समतुल्य कहा जाता है यदि उनमें से प्रत्येक का समाधान दूसरे का समाधान है। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की प्रक्रिया में तथाकथित का उपयोग करके एक समान प्रणाली में इसके क्रमिक परिवर्तन शामिल हैं प्राथमिक परिवर्तन , जो हैं:

1) प्रणाली के किन्हीं दो समीकरणों का क्रमपरिवर्तन;

2) प्रणाली के किसी भी समीकरण के दोनों भागों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;

3) किसी भी समीकरण में एक और समीकरण जोड़ना, किसी भी संख्या से गुणा करना;

4) शून्य वाले समीकरण का विलोपन, अर्थात्। समीकरण टाइप करें।

गाउस विलोपन

प्रणाली पर विचार करें एमके साथ रैखिक समीकरण एनअनजान:

गॉस विधि का सार या अज्ञात के क्रमिक अपवर्जन की विधि इस प्रकार है।

सबसे पहले, प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से, अज्ञात को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर रखा जाता है, पहले वाले को छोड़कर। प्रणाली के ऐसे परिवर्तनों को कहा जाता है गाऊसी उन्मूलन कदम . अज्ञात कहा जाता है हल करने वाला चर परिवर्तन के पहले चरण में। गुणांक कहा जाता है संकल्प कारक , पहला समीकरण कहा जाता है समीकरण हल करना , और गुणांकों का स्तंभ कॉलम सक्षम करें .

गाऊसी उन्मूलन के एक चरण का प्रदर्शन करते समय, आपको उपयोग करने की आवश्यकता है निम्नलिखित नियम:

1) गुणांक और हल करने वाले समीकरण के मुक्त पद अपरिवर्तित रहते हैं;

2) हल करने वाले गुणांक के नीचे स्थित समाधान स्तंभ के गुणांक, शून्य हो जाते हैं;

3) पहले चरण में अन्य सभी गुणांक और मुक्त शर्तों की गणना आयत नियम के अनुसार की जाती है:

, कहाँ पे मैं=2,3,…,एम; जे=2,3,…,एन.

हम सिस्टम के दूसरे समीकरण पर समान परिवर्तन करते हैं। यह एक ऐसी प्रणाली की ओर ले जाएगा जिसमें पहले दो को छोड़कर, सभी समीकरणों में अज्ञात को बाहर रखा जाएगा। सिस्टम के प्रत्येक समीकरण (गॉस विधि का प्रत्यक्ष पाठ्यक्रम) पर इस तरह के परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, मूल प्रणाली निम्न में से किसी एक के समकक्ष चरण प्रणाली में कम हो जाती है।

रिवर्स गॉस विधि

चरण प्रणाली

एक त्रिकोणीय आकार है और सभी (मैं=1,2,…,एन) ऐसी प्रणाली का एक अनूठा समाधान है। अज्ञात को अंतिम समीकरण (गॉस विधि के विपरीत) से शुरू करके निर्धारित किया जाता है।

चरण प्रणाली का रूप है

जहां, यानी सिस्टम समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से कम या उसके बराबर है। इस प्रणाली का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि अंतिम समीकरण चर के किसी भी मान के लिए मान्य नहीं होगा।

चरणबद्ध दृश्य प्रणाली

समाधान की अनंत संख्या है। अंतिम समीकरण से, अज्ञात को अज्ञात के रूप में व्यक्त किया जाता है . फिर, अज्ञात के बजाय, अज्ञात के रूप में इसकी अभिव्यक्ति को अंतिम समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है . गॉस विधि के रिवर्स कोर्स को जारी रखते हुए, अज्ञात अज्ञात के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है . इस मामले में अज्ञात बुलाया नि: शुल्क और कोई भी मूल्य ले सकता है, और अज्ञात बुनियादी।

व्यवहार में प्रणालियों को हल करते समय, सभी परिवर्तनों को समीकरणों की प्रणाली के साथ नहीं, बल्कि सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के साथ करना सुविधाजनक होता है, जिसमें अज्ञात के गुणांक और मुक्त शर्तों के एक स्तंभ शामिल होते हैं।

उदाहरण 1. समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

समाधान. आइए हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करें और प्राथमिक परिवर्तन करें:

.

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में, संख्या 3 (इसे हाइलाइट किया गया है) रिज़ॉल्यूशन कारक है, पहली पंक्ति रिज़ॉल्यूशन पंक्ति है, और पहला कॉलम रिज़ॉल्यूशन कॉलम है। अगले मैट्रिक्स में जाने पर, हल करने वाली पंक्ति नहीं बदलती है, हल करने वाले स्तंभ के सभी तत्वों को हल करने वाले तत्व के नीचे शून्य से बदल दिया जाता है। और मैट्रिक्स के अन्य सभी तत्वों को चतुर्भुज नियम के अनुसार पुनर्गणना किया जाता है। दूसरी पंक्ति में हम तत्व 4 के स्थान पर लिखते हैं , दूसरी पंक्ति में -3 ​​तत्व के स्थान पर लिखा जाएगा आदि। इस प्रकार, दूसरा मैट्रिक्स प्राप्त किया जाएगा। इस मैट्रिक्स में दूसरी पंक्ति में हल करने वाला तत्व संख्या 18 होगा। अगला (तीसरा मैट्रिक्स) बनाने के लिए, हम दूसरी पंक्ति को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, कॉलम में शून्य को हल करने वाले तत्व के तहत लिखते हैं और शेष दो तत्वों की पुनर्गणना करते हैं: संख्या 1 के बजाय, हम लिखते हैं , और संख्या 16 के स्थान पर हम लिखते हैं।

नतीजतन, मूल प्रणाली एक समान प्रणाली में कम हो जाती है

तीसरे समीकरण से हम पाते हैं . इस मान को दूसरे समीकरण में रखें: आप=3. पाए गए मानों को पहले समीकरण में बदलें आपतथा जेड: , एक्स=2.

इस प्रकार, समीकरणों की इस प्रणाली का हल है एक्स=2, आप=3, .

उदाहरण 2. समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

समाधान. आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स पर प्राथमिक परिवर्तन करें:

दूसरे मैट्रिक्स में, तीसरी पंक्ति के प्रत्येक तत्व को 2 से विभाजित किया जाता है।

चौथे मैट्रिक्स में, तीसरी और चौथी पंक्तियों के प्रत्येक तत्व को 11 से विभाजित किया गया था।

. परिणामी मैट्रिक्स समीकरणों की प्रणाली से मेल खाती है

इस प्रणाली को हल करते हुए, हम पाते हैं , , .

उदाहरण 3. समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

समाधान. आइए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तन करें:

.

दूसरे मैट्रिक्स में, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों के प्रत्येक तत्व को 7 से विभाजित किया गया था।

नतीजतन, समीकरणों की प्रणाली

मूल के बराबर।

चूँकि अज्ञात से दो कम समीकरण हैं, तो दूसरे समीकरण से . पहले समीकरण में के लिए व्यंजक रखें: , .

तो सूत्र समीकरणों की इस प्रणाली का सामान्य हल दें। अज्ञात और स्वतंत्र हैं और कोई भी मूल्य ले सकते हैं।

चलो, उदाहरण के लिए, फिर तथा . समाधान प्रणाली के विशेष समाधानों में से एक है, जिनमें से अनगिनत हैं।

ज्ञान के आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

1) क्या परिवर्तन रैखिक प्रणालीप्राथमिक कहा जाता है?

2) प्रणाली के किन परिवर्तनों को गाऊसी उन्मूलन चरण कहा जाता है?

3) रिज़ॉल्विंग वेरिएबल, रिज़ॉल्विंग फ़ैक्टर, रिज़ॉल्विंग कॉलम क्या है?

4) गाऊसी उन्मूलन के एक चरण को करते समय किन नियमों का उपयोग किया जाना चाहिए?

गॉस विधि आसान है!क्यों? प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ जोहान कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपने जीवनकाल के दौरान, अब तक के सबसे महान गणितज्ञ, एक प्रतिभाशाली और यहां तक ​​​​कि "गणित के राजा" उपनाम के रूप में मान्यता प्राप्त की। और सब कुछ सरल, जैसा कि आप जानते हैं, सरल है!वैसे, न केवल चूसने वाले, बल्कि प्रतिभाशाली भी पैसे में आते हैं - गॉस का चित्र 10 Deutschmark (यूरो की शुरूआत से पहले) के बिल पर फहराया गया था, और गॉस अभी भी रहस्यमय तरीके से साधारण डाक टिकटों से जर्मनों पर मुस्कुराता है।

गॉस विधि इस मायने में सरल है कि इसमें महारत हासिल करने के लिए पांचवीं कक्षा के छात्र का ज्ञान पर्याप्त है। जोड़ने और गुणा करने में सक्षम होना चाहिए!यह कोई संयोग नहीं है कि स्कूल के गणितीय ऐच्छिक में शिक्षकों द्वारा अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि पर अक्सर विचार किया जाता है। यह एक विरोधाभास है, लेकिन गॉस पद्धति छात्रों के लिए सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनती है। कुछ भी आश्चर्य की बात नहीं है - यह सब कार्यप्रणाली के बारे में है, और मैं विधि के एल्गोरिदम के बारे में एक सुलभ रूप में बताने की कोशिश करूंगा।

सबसे पहले, हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के बारे में ज्ञान को थोड़ा व्यवस्थित करते हैं। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कर सकते हैं:

1) एक अनूठा समाधान है।
2) असीम रूप से कई समाधान हैं।
3) कोई समाधान नहीं है (be .) असंगत).

समाधान खोजने के लिए गॉस विधि सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण है कोईरैखिक समीकरणों की प्रणाली। जैसा कि हम याद करते हैं क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधिउन मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की एक विधि वैसे भीहमें उत्तर की ओर ले चलो! इस पाठ में, हम फिर से केस नंबर 1 (सिस्टम का एकमात्र समाधान) के लिए गॉस विधि पर विचार करेंगे, लेख अंक संख्या 2-3 की स्थितियों के लिए आरक्षित है। मैं ध्यान देता हूं कि विधि एल्गोरिथ्म स्वयं तीनों मामलों में उसी तरह काम करता है।

वापस सबसे सरल प्रणालीपाठ से रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे हल करें?
और इसे गाऊसी विधि से हल करें।

पहला कदम लिखना है विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली:
. गुणांक किस सिद्धांत से दर्ज किए जाते हैं, मुझे लगता है कि हर कोई देख सकता है। मैट्रिक्स के अंदर खड़ी रेखा का कोई गणितीय अर्थ नहीं है - यह डिजाइन की आसानी के लिए सिर्फ एक स्ट्राइकथ्रू है।

संदर्भ :मैं याद रखने की सलाह देता हूं शर्तेंलीनियर अलजेब्रा। सिस्टम मैट्रिक्सअज्ञात के लिए केवल गुणांक से बना एक मैट्रिक्स है, इस उदाहरण में, सिस्टम का मैट्रिक्स:। विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्ससिस्टम का एक ही मैट्रिक्स है और इस मामले में मुक्त शर्तों का एक कॉलम है:। किसी भी मैट्रिक्स को संक्षिप्तता के लिए केवल एक मैट्रिक्स कहा जा सकता है।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखे जाने के बाद, इसके साथ कुछ क्रियाएं करना आवश्यक है, जिन्हें यह भी कहा जाता है प्राथमिक परिवर्तन.

निम्नलिखित प्राथमिक परिवर्तन हैं:

1) स्ट्रिंग्समैट्रिक्स कर सकते हैं को पुनर्व्यवस्थितस्थान। उदाहरण के लिए, विचाराधीन मैट्रिक्स में, आप पहली और दूसरी पंक्तियों को सुरक्षित रूप से पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:

2) यदि मैट्रिक्स में (या प्रकट) आनुपातिक (as .) है विशेष मामलासमान हैं) तार, तो यह इस प्रकार है मिटानामैट्रिक्स से, एक को छोड़कर ये सभी पंक्तियाँ। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें . इस मैट्रिक्स में, अंतिम तीन पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए उनमें से केवल एक को छोड़ना पर्याप्त है: .

3) यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो वह भी इस प्रकार है मिटाना. मैं नहीं खींचूंगा, निश्चित रूप से, शून्य रेखा वह रेखा है जिसमें केवल शून्य.

4) मैट्रिक्स की पंक्ति हो सकती है गुणा (विभाजित)किसी भी संख्या के लिए गैर-शून्य. उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें। यहां पहली पंक्ति को -3 से विभाजित करने और दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करने की सलाह दी जाती है: . यह क्रिया बहुत उपयोगी है, क्योंकि यह मैट्रिक्स के आगे के परिवर्तनों को सरल बनाती है।

5) यह परिवर्तन सबसे अधिक कठिनाइयों का कारण बनता है, लेकिन वास्तव में कुछ भी जटिल नहीं है। मैट्रिक्स की पंक्ति में, आप कर सकते हैं एक संख्या से गुणा एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न। से हमारे मैट्रिक्स पर विचार करें मामले का अध्ययन: . सबसे पहले, मैं परिवर्तन का विस्तार से वर्णन करूंगा। पहली पंक्ति को -2 से गुणा करें: , तथा दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -2 . से गुणा करते हैं: . अब पहली पंक्ति को "बैक" को -2: से विभाजित किया जा सकता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, वह रेखा जो जोड़ा गया है ली – नहीं बदला है. हमेशा से रहा हैलाइन बदल दी गई है, जिसमें जोड़ा गया है केन्द्र शासित प्रदेशों.

व्यवहार में, निश्चित रूप से, वे इस तरह के विवरण में पेंट नहीं करते हैं, लेकिन कम लिखते हैं:

एक बार फिर: दूसरी पंक्ति के लिए पहली पंक्ति को -2 . से गुणा किया गया. रेखा को आमतौर पर मौखिक रूप से या मसौदे पर गुणा किया जाता है, जबकि गणना का मानसिक पाठ्यक्रम कुछ इस तरह होता है:

"मैं मैट्रिक्स को फिर से लिखता हूं और पहली पंक्ति को फिर से लिखता हूं: »

पहला कॉलम पहले। नीचे मुझे शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है। इसलिए, मैं उपरोक्त इकाई को -2: से गुणा करता हूं, और पहली को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 2 + (-2) = 0। मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

"अब दूसरा कॉलम। ऊपर -1 गुना -2: . मैं पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 1 + 2 = 3. मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

"और तीसरा कॉलम। ऊपर -5 गुना -2: . मैं दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति जोड़ता हूं: -7 + 10 = 3. मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

कृपया इस उदाहरण के बारे में ध्यान से सोचें और अनुक्रमिक गणना एल्गोरिदम को समझें, यदि आप इसे समझते हैं, तो गॉस विधि व्यावहारिक रूप से "आपकी जेब में" है। लेकिन, निश्चित रूप से, हम अभी भी इस परिवर्तन पर काम कर रहे हैं।

प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं

! ध्यान: जोड़तोड़ माना जाता है उपयोग नहीं कर सकते, यदि आपको एक कार्य की पेशकश की जाती है जहां मैट्रिक्स "स्वयं द्वारा" दिए जाते हैं। उदाहरण के लिए, "क्लासिक" के साथ मैट्रिक्सकिसी भी स्थिति में आपको मैट्रिसेस के अंदर कुछ पुनर्व्यवस्थित नहीं करना चाहिए!

आइए अपने सिस्टम पर लौटते हैं। वह व्यावहारिक रूप से टुकड़ों में टूट गई है।

आइए हम सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे कम करें चरणबद्ध दृश्य:

(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया था। और फिर: हम पहली पंक्ति को -2 से क्यों गुणा करते हैं? तल पर शून्य प्राप्त करने के लिए, जिसका अर्थ है दूसरी पंक्ति में एक चर से छुटकारा पाना।

(2) दूसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्राथमिक परिवर्तनों का उद्देश्य – मैट्रिक्स को स्टेप फॉर्म में बदलें: . कार्य के डिजाइन में, वे सीधे जोर देते हैं एक साधारण पेंसिल के साथ"सीढ़ी", और "चरणों" पर स्थित संख्याओं को भी सर्कल करें। शब्द "स्टेप्ड व्यू" अपने आप में पूरी तरह से सैद्धांतिक नहीं है; वैज्ञानिक और शैक्षिक साहित्य में, इसे अक्सर कहा जाता है समलम्बाकार दृश्यया त्रिकोणीय दृश्य.

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमने प्राप्त किया है बराबरसमीकरणों की मूल प्रणाली:

अब सिस्टम को विपरीत दिशा में "अनट्विस्टेड" करने की आवश्यकता है - नीचे से ऊपर तक, इस प्रक्रिया को कहा जाता है रिवर्स गॉस विधि.

निचले समीकरण में, हमारे पास पहले से ही समाप्त परिणाम है: .

सिस्टम के पहले समीकरण पर विचार करें और इसमें "y" के पहले से ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करें:

आइए हम सबसे सामान्य स्थिति पर विचार करें, जब तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए गाऊसी पद्धति की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 1

गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

आइए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें:

अब मैं तुरंत वह परिणाम निकालूंगा जो हम समाधान के दौरान आएंगे:

और मैं दोहराता हूं, हमारा लक्ष्य प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध रूप में लाना है। कार्रवाई कहाँ से शुरू करें?

सबसे पहले, ऊपरी बाएँ नंबर को देखें:

लगभग हमेशा यहाँ होना चाहिए इकाई. सामान्यतया, -1 (और कभी-कभी अन्य नंबर) भी उपयुक्त होंगे, लेकिन किसी तरह यह पारंपरिक रूप से हुआ है कि एक इकाई आमतौर पर वहां रखी जाती है। एक इकाई को कैसे व्यवस्थित करें? हम पहले कॉलम को देखते हैं - हमारे पास एक तैयार इकाई है! परिवर्तन एक: पहली और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करें:

अब पहली पंक्ति समाधान के अंत तक अपरिवर्तित रहेगी. अब ठीक है।

ऊपर बाईं ओर इकाई व्यवस्थित है। अब आपको इन जगहों पर शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है:

शून्य केवल "कठिन" परिवर्तन की सहायता से प्राप्त किए जाते हैं। सबसे पहले, हम दूसरी पंक्ति (2, -1, 3, 13) से निपटते हैं। प्रथम स्थान पर शून्य प्राप्त करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है? जरुरत दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -2 . से गुणा करके जोड़ें. मानसिक रूप से या मसौदे पर, हम पहली पंक्ति को -2: (-2, -4, 2, -18) से गुणा करते हैं। और हम लगातार (मानसिक रूप से या मसौदे पर) जोड़ देते हैं, दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, पहले से ही -2 . से गुणा किया जाता है:

परिणाम दूसरी पंक्ति में लिखा गया है:

इसी तरह, हम तीसरी पंक्ति (3, 2, -5, -1) से निपटते हैं। पहली स्थिति में शून्य प्राप्त करने के लिए, आपको चाहिए तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 . से गुणा करें. मानसिक रूप से या मसौदे पर, हम पहली पंक्ति को -3: (-3, -6, 3, -27) से गुणा करते हैं। और तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -3 . से गुणा करते हैं:

परिणाम तीसरी पंक्ति में लिखा गया है:

व्यवहार में, इन क्रियाओं को आमतौर पर मौखिक रूप से किया जाता है और एक चरण में लिखा जाता है:

एक ही समय में सब कुछ गिनने की आवश्यकता नहीं है. गणना का क्रम और परिणामों का "सम्मिलन" लगातारऔर आम तौर पर इस तरह: पहले हम पहली पंक्ति को फिर से लिखते हैं, और अपने आप को चुपचाप फुलाते हैं - लगातार और सावधानी से:


और मैंने पहले से ही ऊपर की गणना के मानसिक पाठ्यक्रम पर विचार किया है।

इस उदाहरण में, यह करना आसान है, हम दूसरी पंक्ति को -5 से विभाजित करते हैं (चूंकि सभी संख्याएं शेष के बिना 5 से विभाज्य हैं)। उसी समय, हम तीसरी पंक्ति को -2 से विभाजित करते हैं, क्योंकि संख्या जितनी छोटी होगी, आसान उपाय:

प्रारंभिक परिवर्तनों के अंतिम चरण में, यहां एक और शून्य प्राप्त किया जाना चाहिए:

इसके लिए तीसरी पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, -2 . से गुणा करते हैं:


इस क्रिया को स्वयं पार्स करने का प्रयास करें - मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -2 से गुणा करें और जोड़ दें।

अंतिम क्रिया परिणाम की केश विन्यास है, तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, रैखिक समीकरणों की एक समान प्रारंभिक प्रणाली प्राप्त की गई थी:

ठंडा।

अब गाऊसी पद्धति का उल्टा कोर्स चलन में आता है। समीकरण नीचे से ऊपर की ओर "खोलें"।

तीसरे समीकरण में, हमारे पास पहले से ही समाप्त परिणाम है:

आइए दूसरे समीकरण को देखें: . "z" का अर्थ पहले से ही ज्ञात है, इस प्रकार:

और अंत में, पहला समीकरण: . "Y" और "Z" ज्ञात हैं, बात छोटी है:

उत्तर:

जैसा कि बार-बार उल्लेख किया गया है, समीकरणों की किसी भी प्रणाली के लिए, पाया गया समाधान की जांच करना संभव और आवश्यक है, सौभाग्य से, यह मुश्किल और तेज़ नहीं है।

उदाहरण 2

यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय, नमूना परिष्करणऔर पाठ के अंत में उत्तर।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि आपका कार्रवाई के दौरानमेरी कार्यशैली से मेल नहीं खा सकता है, और यह गॉस पद्धति की एक विशेषता है. लेकिन जवाब वही होना चाहिए!

उदाहरण 3

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। वहां हमारी एक इकाई होनी चाहिए। समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई भी नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके कुछ भी हल नहीं किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। इसे मैने किया है:
(1) पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, -1 . से गुणा करते हैं. यही है, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ने का प्रदर्शन किया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन" है, जो हमें पूरी तरह से सूट करता है। कौन +1 प्राप्त करना चाहता है एक अतिरिक्त इशारा कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (इसका चिन्ह बदलें)।

(2) पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(3) पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और दूसरे स्थान पर चला गया, इस प्रकार, दूसरे "कदम पर, हमारे पास वांछित इकाई थी।

(4) दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(5) तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया था।

एक बुरा संकेत जो एक गणना त्रुटि को इंगित करता है (कम अक्सर एक टाइपो) एक "खराब" निचला रेखा है। यही है, अगर हमें नीचे जैसा कुछ मिला, और, तदनुसार, , तो उच्च स्तर की संभावना के साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि प्राथमिक परिवर्तनों के दौरान एक त्रुटि की गई थी।

हम रिवर्स मूव को चार्ज करते हैं, उदाहरणों के डिजाइन में, सिस्टम को अक्सर फिर से नहीं लिखा जाता है, और समीकरण "दिए गए मैट्रिक्स से सीधे लिए जाते हैं"। रिवर्स मूव, मैं आपको याद दिलाता हूं, नीचे से ऊपर तक काम करता है। हाँ, यहाँ एक उपहार है:

उत्तर: .

उदाहरण 4

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है, यह कुछ अधिक जटिल है। कोई भ्रमित हो जाए तो कोई बात नहीं। पूरा समाधानऔर पाठ के अंत में नमूना डिजाइन। आपका समाधान मेरे से भिन्न हो सकता है।

अंतिम भाग में, हम गॉस एल्गोरिथम की कुछ विशेषताओं पर विचार करते हैं।
पहली विशेषता यह है कि कभी-कभी सिस्टम के समीकरणों में कुछ चर गायब होते हैं, उदाहरण के लिए:

सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को सही ढंग से कैसे लिखें? मैंने इस क्षण के बारे में पाठ में पहले ही बात कर ली है। क्रेमर का नियम। मैट्रिक्स विधि. सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में, हम लापता चर के स्थान पर शून्य डालते हैं:

वैसे, यह एक काफी आसान उदाहरण है, क्योंकि पहले कॉलम में पहले से ही एक शून्य है, और प्रदर्शन करने के लिए कम प्राथमिक परिवर्तन हैं।

दूसरी विशेषता यह है। विचार किए गए सभी उदाहरणों में, हमने या तो -1 या +1 को "चरणों" पर रखा है। क्या अन्य संख्याएँ हो सकती हैं? कुछ मामलों में वे कर सकते हैं। प्रणाली पर विचार करें: .

यहाँ ऊपरी बाएँ "स्टेप" पर हमारे पास एक ड्यूस है। लेकिन हम इस तथ्य पर ध्यान देते हैं कि पहले कॉलम में सभी संख्याएं शेष के बिना 2 से विभाज्य हैं - और अन्य दो और छह। और ऊपर बाईं ओर का ड्यूस हमें सूट करेगा! पहले चरण में, आपको निम्नलिखित परिवर्तन करने की आवश्यकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ें; तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 से गुणा करें। इस प्रकार, हम पहले कॉलम में वांछित शून्य प्राप्त करेंगे।

या एक और काल्पनिक उदाहरण: . यहां, दूसरे "रंग" पर ट्रिपल भी हमें सूट करता है, क्योंकि 12 (वह स्थान जहां हमें शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता होती है) बिना शेष के 3 से विभाज्य है। निम्नलिखित परिवर्तन करना आवश्यक है: तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति जोड़ें, -4 से गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप हमें जो शून्य चाहिए वह प्राप्त होगा।

गॉस विधि सार्वभौमिक है, लेकिन एक विशेषता है। अन्य तरीकों से सिस्टम को हल करना सीखें (क्रैमर की विधि, मैट्रिक्स विधि) सचमुच पहली बार हो सकता है - एक बहुत सख्त एल्गोरिदम है। लेकिन गॉस पद्धति में आत्मविश्वास महसूस करने के लिए, आपको "अपना हाथ भरना" चाहिए और कम से कम 5-10 प्रणालियों को हल करना चाहिए। इसलिए, पहले तो भ्रम हो सकता है, गणना में त्रुटियां हो सकती हैं, और इसमें कुछ भी असामान्य या दुखद नहीं है।

खिड़की के बाहर बरसाती शरद ऋतु का मौसम .... इसलिए, सभी के लिए अधिक जटिल उदाहरणस्वतंत्र समाधान के लिए:

उदाहरण 5

गॉस विधि का उपयोग करके चार अज्ञात के साथ चार रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें।

व्यवहार में ऐसा कार्य इतना दुर्लभ नहीं है। मुझे लगता है कि एक चायदानी भी जिसने इस पृष्ठ का विस्तार से अध्ययन किया है, इस तरह की प्रणाली को सहज रूप से हल करने के लिए एल्गोरिदम को समझता है। मूल रूप से वही - बस और अधिक कार्रवाई।

ऐसे मामले जहां सिस्टम का कोई समाधान नहीं है (असंगत) या असीम रूप से कई समाधान हैं, पाठ में एक सामान्य समाधान के साथ असंगत प्रणालियों और प्रणालियों पर विचार किया जाता है। वहां आप गॉस विधि के सुविचारित एल्गोरिथम को ठीक कर सकते हैं।

आपकी सफलता की कामना करते है!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: समाधान : आइए हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरणबद्ध रूप में लाएं।


प्रदर्शन प्राथमिक परिवर्तन:
(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया था। पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, जिसे -1 से गुणा किया गया। ध्यान!यहां पहली को तीसरी पंक्ति से घटाना आकर्षक हो सकता है, मैं दृढ़ता से घटाने की अनुशंसा नहीं करता - त्रुटि का जोखिम बहुत बढ़ जाता है। हम सिर्फ गुना!
(2) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया था (-1 से गुणा)। दूसरी और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली की गई है। टिप्पणीकि "कदमों" पर हम न केवल एक से, बल्कि -1 से भी संतुष्ट हैं, जो और भी सुविधाजनक है।
(3) तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को 5 से गुणा करके जोड़ें।
(4) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया था (-1 से गुणा)। तीसरी पंक्ति को 14 से विभाजित किया गया था।

उलटी चाल:

उत्तर: .

उदाहरण 4: समाधान : हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

प्रदर्शन किए गए रूपांतरण:
(1) पहली पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ी गई। इस प्रकार, वांछित इकाई ऊपरी बाएँ "चरण" पर व्यवस्थित होती है।
(2) पहली पंक्ति को 7 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 6 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

दूसरे "कदम" के साथ सब कुछ बदतर है , इसके लिए "उम्मीदवार" संख्या 17 और 23 हैं, और हमें या तो एक या -1 की आवश्यकता है। रूपांतरण (3) और (4) का उद्देश्य वांछित इकाई प्राप्त करना होगा

(3) दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, जिसे -1 से गुणा किया गया।
(4) तीसरी पंक्ति को -3 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया।
(3) दूसरी पंक्ति को 4 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया। दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ा गया।
(4) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया है। चौथी पंक्ति को 3 से विभाजित करके तीसरी पंक्ति के स्थान पर रखा गया।
(5) तीसरी पंक्ति को -5 से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ा गया।

उलटी चाल:

ऑनलाइन कैलकुलेटरगॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों (SLE) के निकाय का हल ढूँढता है। विस्तृत समाधान दिया गया है। गणना करने के लिए, चरों की संख्या और समीकरणों की संख्या चुनें। फिर कोशिकाओं में डेटा दर्ज करें और "गणना करें" पर क्लिक करें।

एक्स 1 +x2 +एक्स 3 एक्स 1 +x2 +एक्स 3 एक्स 1 +x2 +एक्स 3 = = =

संख्या प्रतिनिधित्व:

पूर्णांक और (या) सामान्य भिन्न
पूर्णांक और/या दशमलव

दशमलव विभाजक के बाद अंकों की संख्या

×

चेतावनी

सभी सेल साफ़ करें?

बंद साफ़ करें

डाटा एंट्री निर्देश।संख्याएँ पूर्ण संख्याओं (उदाहरण: 487, 5, -7623, आदि), दशमलव संख्याओं (जैसे 67., 102.54, आदि) या भिन्नों के रूप में दर्ज की जाती हैं। भिन्न को a/b के रूप में टाइप किया जाना चाहिए, जहां a और b (b>0) पूर्णांक हैं या दशमलव संख्याएं. उदाहरण 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, आदि।

गॉस विधि

गॉस विधि रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली (समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करके) से एक ऐसी प्रणाली में संक्रमण की एक विधि है जो मूल प्रणाली की तुलना में हल करना आसान है।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समतुल्य परिवर्तन हैं:

• सिस्टम में दो समीकरणों की अदला-बदली,
• सिस्टम में किसी भी समीकरण को एक गैर-शून्य वास्तविक संख्या से गुणा करना,
• एक समीकरण में जोड़ने पर दूसरे समीकरण को एक मनमाना संख्या से गुणा किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

(1)

हम सिस्टम (1) को मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं:

कुल्हाड़ी = बी

(2)

(3)

एसिस्टम का गुणांक मैट्रिक्स कहा जाता है, बी − दाहिना भागप्रतिबंध एक्स- चर के वेक्टर पाए जाने वाले। चलो रैंक ( ए)=पी.

समतुल्य परिवर्तन गुणांक मैट्रिक्स के रैंक और सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स के रैंक को नहीं बदलते हैं। सिस्टम के समाधान का सेट भी समान परिवर्तनों के तहत नहीं बदलता है। गॉस विधि का सार गुणांक के मैट्रिक्स को लाना है एविकर्ण या कदम रखा।

आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स का निर्माण करें:

अगले चरण में, हम तत्व के नीचे, कॉलम 2 के सभी तत्वों को रीसेट करते हैं। यदि दिया गया तत्व शून्य है, तो इस पंक्ति को दी गई पंक्ति के नीचे स्थित पंक्ति के साथ बदल दिया जाता है और दूसरे कॉलम में एक गैर-शून्य तत्व होता है। इसके बाद, हम प्रमुख तत्व के नीचे कॉलम 2 के सभी तत्वों को शून्य कर देते हैं एक 22. ऐसा करने के लिए, पंक्तियाँ 3 जोड़ें, ... एमपंक्ति 2 को − . से गुणा करने पर एक 32 /एक 22 , ..., −एकएम2 / एक 22, क्रमशः। प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम एक विकर्ण या चरणबद्ध रूप का एक मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं। परिणामी संवर्धित मैट्रिक्स को इस तरह दिखने दें:

(7)

इसलिये रैंकए = रैंक(ए|बी), तो समाधान का सेट (7) है ( एन-पी) एक किस्म है। फलस्वरूप एन-पीअज्ञात को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है। सिस्टम से शेष अज्ञात (7) की गणना निम्नानुसार की जाती है। अंतिम समीकरण से हम व्यक्त करते हैं एक्स p शेष चरों के माध्यम से और पिछले भावों में डालें। अगला, अंतिम समीकरण से, हम व्यक्त करते हैं एक्स p−1 शेष चरों के माध्यम से और पिछले भावों में डालें, आदि। विशिष्ट उदाहरणों पर गॉस विधि पर विचार करें।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1. गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों के निकाय का सामान्य हल ज्ञात कीजिए:

द्वारा निरूपित करें एक ij तत्व मैं-वीं पंक्ति और जे-वें स्तंभ।

एकग्यारह । ऐसा करने के लिए, पंक्ति 1 के साथ 2,3 पंक्तियाँ जोड़ें, क्रमशः -2/3, -1/2 से गुणा करें:

मैट्रिक्स रिकॉर्ड प्रकार: कुल्हाड़ी = बी, कहाँ पे

द्वारा निरूपित करें एक ij तत्व मैं-वीं पंक्ति और जे-वें स्तंभ।

तत्व के नीचे मैट्रिक्स के पहले कॉलम के तत्वों को छोड़ दें एकग्यारह । ऐसा करने के लिए, पंक्ति 1 के साथ 2,3 पंक्तियाँ जोड़ें, क्रमशः -1/5, -6/5 से गुणा करें:

हम मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति को संबंधित प्रमुख तत्व से विभाजित करते हैं (यदि अग्रणी तत्व मौजूद है):

कहाँ पे एक्स 3 , एक्स

ऊपरी भावों को निचले भावों में प्रतिस्थापित करते हुए, हम समाधान प्राप्त करते हैं।

तब वेक्टर समाधान को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

कहाँ पे एक्स 3 , एक्स 4 मनमानी वास्तविक संख्याएं हैं।