अनुदेश

जोड़ विधि।
आपको दो सख्ती से एक दूसरे के नीचे लिखने की जरूरत है:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
मनमाने ढंग से चुने गए (सिस्टम से) समीकरण में, पहले से मिले "गेम" के बजाय 11 नंबर डालें और दूसरे अज्ञात की गणना करें:

एक्स=61+5*11, एक्स=61+55, एक्स=116.
समीकरणों की इस प्रणाली का उत्तर: x=116, y=11.

ग्राफिक तरीका।
इसमें उस बिंदु के निर्देशांक की व्यावहारिक खोज शामिल है जिस पर समीकरणों की प्रणाली में गणितीय रूप से रेखाएं लिखी जाती हैं। आपको एक ही निर्देशांक प्रणाली में अलग-अलग दोनों रेखाओं के आलेख खींचने चाहिए। सामान्य दृश्य: - y \u003d kx + b। एक सीधी रेखा बनाने के लिए, दो बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए पर्याप्त है, और x को मनमाने ढंग से चुना जाता है।
सिस्टम दिए जाने दें: 2x - y \u003d 4

वाई \u003d -3x + 1.
एक सीधी रेखा पहले के अनुसार बनाई गई है, सुविधा के लिए इसे नीचे लिखा जाना चाहिए: y \u003d 2x-4। एक्स के लिए (आसान) मानों के साथ आओ, इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करें, इसे हल करें, वाई खोजें। दो बिंदु प्राप्त होते हैं, जिसके साथ एक सीधी रेखा बनती है। (तस्वीर देखें।)
एक्स 0 1

वाई -4 -2
दूसरे समीकरण के अनुसार एक सीधी रेखा का निर्माण किया जाता है: y \u003d -3x + 1।
एक लाइन भी बनाएं। (तस्वीर देखें।)

1-5
ग्राफ पर दो निर्मित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए (यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, तो समीकरणों के निकाय में नहीं है - तो)।

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उपयोगी सलाह

यदि समीकरणों की समान प्रणाली को तीन . द्वारा हल किया जाता है विभिन्न तरीके, उत्तर वही होगा (यदि समाधान सही है)।

स्रोत:

• बीजगणित ग्रेड 8
• दो अज्ञात के साथ एक समीकरण को ऑनलाइन हल करें
• सिस्टम समाधान उदाहरण रेखीय समीकरणदो के साथ

व्यवस्था समीकरणगणितीय अभिलेखों का एक संग्रह है, जिनमें से प्रत्येक में एक निश्चित संख्या में चर होते हैं। उन्हें हल करने के कई तरीके हैं।

आपको चाहिये होगा

• -शासक और पेंसिल;
• -कैलकुलेटर।

अनुदेश

सिस्टम को हल करने के क्रम पर विचार करें, जिसमें रैखिक समीकरण होते हैं: a1x + b1y = c1 और a2x + b2y = c2। जहाँ x और y अज्ञात चर हैं और b,c मुक्त सदस्य हैं। इस पद्धति को लागू करते समय, प्रत्येक प्रणाली प्रत्येक समीकरण के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक होते हैं। सबसे पहले, प्रत्येक मामले में, एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करें। फिर x चर को किसी भी मान पर सेट करें। दो काफी है। समीकरण में प्लग करें और y खोजें। एक समन्वय प्रणाली बनाएं, उस पर प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित करें और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें। सिस्टम के अन्य भागों के लिए भी इसी तरह की गणना की जानी चाहिए।

यदि निर्मित रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं और एक . तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान होता है आम बात. यह असंगत है यदि वे एक दूसरे के समानांतर हैं। और जब रेखाएं एक-दूसरे में विलीन हो जाती हैं तो इसके अनंत रूप से कई समाधान होते हैं।

यह विधिबहुत स्पष्ट माना जाता है। मुख्य नुकसान यह है कि परिकलित अज्ञात के अनुमानित मान हैं। अधिक सटीक परिणामतथाकथित दे बीजगणितीय तरीके.

समीकरणों की एक प्रणाली का कोई भी समाधान जाँच के लायक है। ऐसा करने के लिए, चर के बजाय प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करें। आप इसका समाधान भी कई तरह से पा सकते हैं। यदि व्यवस्था का समाधान सही है तो सभी को एक समान निकलना चाहिए।

अक्सर ऐसे समीकरण होते हैं जिनमें से एक शब्द अज्ञात होता है। एक समीकरण को हल करने के लिए, आपको इन संख्याओं के साथ कुछ निश्चित क्रियाओं को याद रखने और करने की आवश्यकता है।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - पेन या पेंसिल।

अनुदेश

कल्पना कीजिए कि आपके सामने 8 खरगोश हैं, और आपके पास केवल 5 गाजर हैं। सोचें कि आपको अधिक गाजर खरीदने की आवश्यकता है ताकि प्रत्येक खरगोश को एक गाजर मिले।

आइए इस समस्या को एक समीकरण के रूप में प्रस्तुत करें: 5 + x = 8. आइए x के लिए संख्या 3 को प्रतिस्थापित करें। वास्तव में, 5 + 3 = 8।

जब आपने x के लिए एक संख्या को प्रतिस्थापित किया, तो आप 8 में से 5 घटाने के समान कार्य कर रहे थे। इस प्रकार, खोजने के लिए अनजानपद, ज्ञात पद को योग से घटाएं।

मान लीजिए कि आपके पास 20 खरगोश हैं और केवल 5 गाजर हैं। चलो रचना करते हैं। एक समीकरण एक समानता है जो इसमें शामिल अक्षरों के केवल कुछ मूल्यों के लिए होती है। जिन अक्षरों का मान आप खोजना चाहते हैं, कहलाते हैं। एक अज्ञात के साथ एक समीकरण लिखें, इसे x कहते हैं। खरगोशों के बारे में हमारी समस्या को हल करते समय, निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है: 5 + x = 20।

आइए 20 और 5 के बीच का अंतर ज्ञात करें। घटाते समय, जिस संख्या से इसे घटाया जाता है वह कम हो जाता है। घटाई गई संख्या को कहा जाता है, और अंतिम परिणाम को अंतर कहा जाता है। तो, एक्स = 20 - 5; x = 15. आपको खरगोशों के लिए 15 गाजर खरीदने की जरूरत है।

जाँच करें: 5 + 15 = 20। समीकरण सही है। बेशक, जब इस तरह के सरल की बात आती है, तो चेक की आवश्यकता नहीं होती है। हालाँकि, जब तीन-अंकीय, चार-अंकीय, और इसी तरह के अन्य समीकरणों की बात आती है, तो अपने काम के परिणाम के बारे में पूरी तरह से सुनिश्चित होने के लिए जाँच करना अनिवार्य है।

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उपयोगी सलाह

अज्ञात minuend को खोजने के लिए, आपको सबट्रेंड को अंतर में जोड़ना होगा।

अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, मिन्यूएंड से अंतर घटाना आवश्यक है।

टिप 4: तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें

पर्याप्त संख्या में समीकरणों के बावजूद, तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की प्रणाली में समाधान नहीं हो सकते हैं। आप प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके या क्रैमर विधि का उपयोग करके इसे हल करने का प्रयास कर सकते हैं। क्रैमर की विधि, सिस्टम को हल करने के अलावा, किसी को यह मूल्यांकन करने की अनुमति देती है कि सिस्टम अज्ञात के मूल्यों को खोजने से पहले हल करने योग्य है या नहीं।

अनुदेश

प्रतिस्थापन विधि में क्रमिक रूप से एक अज्ञात दो अन्य के माध्यम से होता है और सिस्टम के समीकरणों में प्राप्त परिणाम को प्रतिस्थापित करता है। मान लीजिए कि तीन समीकरणों की एक प्रणाली सामान्य रूप में दी गई है:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

पहले समीकरण से x व्यक्त करें: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - और दूसरे और तीसरे समीकरण में स्थानापन्न करें, फिर दूसरे समीकरण से y को व्यक्त करें और तीसरे में स्थानापन्न करें। आपको निकाय के समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से z के लिए एक रैखिक व्यंजक प्राप्त होगा। अब "वापस" जाएं: दूसरे समीकरण में z प्लग करें और y खोजें, फिर z और y को पहले समीकरण में प्लग करें और x खोजें। प्रक्रिया को आम तौर पर चित्र में तब तक दिखाया जाता है जब तक कि z नहीं मिल जाता। इसके अलावा, सामान्य रूप में रिकॉर्ड बहुत बोझिल होगा, व्यवहार में, आप तीनों अज्ञात को आसानी से पा सकते हैं।

क्रैमर की विधि में सिस्टम के मैट्रिक्स को संकलित करना और इस मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करना शामिल है, साथ ही साथ तीन और सहायक मैट्रिक्स भी शामिल हैं। सिस्टम का मैट्रिक्स समीकरणों की अज्ञात शर्तों पर गुणांक से बना है। वह स्तंभ जिसमें समीकरणों के दाईं ओर की संख्याएँ होती हैं, दाईं ओर का स्तंभ। इसका उपयोग सिस्टम में नहीं किया जाता है, लेकिन सिस्टम को हल करते समय इसका उपयोग किया जाता है।

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टिप्पणी

सिस्टम के सभी समीकरणों को अन्य समीकरणों से स्वतंत्र अतिरिक्त जानकारी प्रदान करनी चाहिए। अन्यथा, प्रणाली कम निर्धारित की जाएगी और एक स्पष्ट समाधान खोजना संभव नहीं होगा।

उपयोगी सलाह

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के बाद, पाए गए मानों को मूल प्रणाली में बदलें और जांचें कि क्या वे सभी समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।

अपने आप समीकरणतीन . के साथ अनजानकई समाधान हैं, इसलिए अक्सर इसे दो और समीकरणों या शर्तों द्वारा पूरक किया जाता है। प्रारंभिक डेटा क्या हैं, इस पर निर्भर करते हुए, निर्णय की प्रक्रिया काफी हद तक निर्भर करेगी।

आपको चाहिये होगा

• - तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली।

अनुदेश

यदि तीन में से दो प्रणालियों में तीन में से केवल दो अज्ञात हैं, तो कुछ चर को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त करने का प्रयास करें और उन्हें इसमें प्लग करें समीकरणतीन . के साथ अनजान. इसके साथ आपका लक्ष्य इसे सामान्य में बदलना है समीकरणअज्ञात के साथ। यदि यह है, तो आगे का समाधान काफी सरल है - पाया गया मान को अन्य समीकरणों में बदलें और अन्य सभी अज्ञात खोजें।

समीकरणों की कुछ प्रणालियों को एक समीकरण से दूसरे समीकरण द्वारा घटाया जा सकता है। देखें कि क्या किसी एक को या एक चर से गुणा करना संभव है ताकि दो अज्ञात एक साथ कम हो जाएं। यदि ऐसा कोई अवसर है, तो इसका उपयोग करें, सबसे अधिक संभावना है, बाद का निर्णय मुश्किल नहीं होगा। यह मत भूलो कि किसी संख्या से गुणा करते समय, आपको बाईं ओर और दाईं ओर दोनों को गुणा करना होगा। इसी तरह, समीकरणों को घटाते समय, याद रखें कि दाहिने हाथ को भी घटाया जाना चाहिए।

यदि पिछली विधियों ने मदद नहीं की, तो तीन . के साथ किसी भी समीकरण को हल करने के लिए सामान्य विधि का उपयोग करें अनजान. ऐसा करने के लिए, समीकरणों को a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3 के रूप में फिर से लिखें। अब एक्स (ए) पर गुणांक का एक मैट्रिक्स बनाएं, अज्ञात (एक्स) का एक मैट्रिक्स और मुक्त लोगों का एक मैट्रिक्स (बी)। ध्यान दें, गुणांक के मैट्रिक्स को अज्ञात के मैट्रिक्स से गुणा करने पर, आपको एक मैट्रिक्स, मुक्त सदस्यों का एक मैट्रिक्स, यानी ए * एक्स \u003d बी मिलेगा।

मैट्रिक्स ए को घात (-1) में खोजने के बाद, ध्यान दें कि यह शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए। उसके बाद, परिणामी मैट्रिक्स को मैट्रिक्स बी से गुणा करें, परिणामस्वरूप आपको वांछित मैट्रिक्स एक्स मिलेगा, जो सभी मूल्यों को दर्शाता है।

आप क्रैमर पद्धति का उपयोग करके तीन समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान भी पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम के निर्धारक खोजें। फिर क्रमिक रूप से तीन और निर्धारक ∆1, ∆2 और ∆3 खोजें, जो संबंधित कॉलम के मूल्यों के बजाय मुक्त शर्तों के मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं। अब x खोजें: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆।

स्रोत:

• तीन अज्ञात के साथ समीकरणों के समाधान

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना शुरू करते हुए, यह पता लगाएं कि ये समीकरण क्या हैं। रैखिक समीकरणों को हल करने के तरीकों का अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है। गैर-रेखीय समीकरण अक्सर हल नहीं होते हैं। केवल एक विशेष मामले हैं, जिनमें से प्रत्येक व्यावहारिक रूप से व्यक्तिगत है। अतः हल की विधियों का अध्ययन रैखिक समीकरणों से प्रारंभ होना चाहिए। इस तरह के समीकरणों को विशुद्ध रूप से एल्गोरिथम से भी हल किया जा सकता है।

अनुदेश

दो अज्ञात एक्स और वाई के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को उन्मूलन द्वारा हल करना सीखकर सीखने की प्रक्रिया शुरू करें। a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). समीकरणों के गुणांकों को उनके स्थानों को दर्शाने वाले सूचकांकों द्वारा दर्शाया जाता है। तो गुणांक a21 इस तथ्य पर जोर देता है कि यह दूसरे समीकरण में पहले स्थान पर लिखा गया है। आम तौर पर स्वीकृत संकेतन में, सिस्टम एक के नीचे एक स्थित समीकरणों द्वारा लिखा जाता है, जिसे संयुक्त रूप से दाएं या बाएं एक घुंघराले ब्रैकेट द्वारा दर्शाया जाता है (अधिक विवरण के लिए, चित्र 1 ए देखें)।

समीकरणों की संख्या मनमानी है। सबसे सरल चुनें, जैसे कि एक जिसमें एक चर 1 के कारक से पहले होता है, या कम से कम एक पूर्णांक होता है। यदि यह समीकरण (1) है, तो आगे अज्ञात Y को X (Y को समाप्त करने की स्थिति) के रूप में व्यक्त करें। ऐसा करने के लिए, (1) को a12*Y=b1-a11*X (या a11*X=b1-a12*Y यदि X को बाहर रखा गया है) के रूप में रूपांतरित करें) और फिर Y=(b1-a11*X)/a12 . बाद वाले को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करते हुए a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2 लिखें। X के लिए इस समीकरण को हल करें।
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) या X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21)।
Y और X के बीच पाए गए संबंध का उपयोग करते हुए, अंत में दूसरा अज्ञात Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21) प्राप्त करें।

यदि सिस्टम को विशिष्ट संख्यात्मक गुणांक के साथ दिया गया था, तो गणना कम बोझिल होगी। दूसरी ओर, सामान्य समाधान इस तथ्य पर विचार करना संभव बनाता है कि, अज्ञात के लिए, वे बिल्कुल समान हैं। हाँ, और अंशों को उनके निर्माण के कुछ पैटर्न दिखाई दे रहे हैं। यदि समीकरणों के निकाय का आयाम दो से अधिक होता, तो विलोपन विधि बहुत ही जटिल गणनाओं को जन्म देती। उनसे बचने के लिए, विशुद्ध रूप से एल्गोरिथम समाधान विकसित किए गए हैं। उनमें से सबसे सरल है क्रैमर का एल्गोरिथम (क्रैमर का सूत्र)। क्योंकि आपको पता होना चाहिए सामान्य प्रणाली n समीकरणों से समीकरण।

n अज्ञात के साथ n रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली का रूप है (चित्र 1a देखें)। इसमें, aij प्रणाली के गुणांक हैं,
j - अज्ञात, द्वि - मुक्त सदस्य (i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., n)। ऐसी प्रणाली को मैट्रिक्स फॉर्म AX=B में कॉम्पैक्ट रूप से लिखा जा सकता है। यहां ए सिस्टम का गुणांक मैट्रिक्स है, एक्स अज्ञात का कॉलम मैट्रिक्स है, बी मुक्त शर्तों का कॉलम मैट्रिक्स है (चित्र 1 बी देखें)। क्रैमर विधि के अनुसार, प्रत्येक अज्ञात xi =∆i/∆ (i=1,2…,n)। गुणांक के मैट्रिक्स के निर्धारक को मुख्य निर्धारक कहा जाता है, और ∆i को सहायक कहा जाता है। प्रत्येक अज्ञात के लिए, मुख्य निर्धारक के i-वें स्तंभ को मुक्त पदों के स्तंभ से प्रतिस्थापित करके एक सहायक निर्धारक पाया जाता है। दूसरे और तीसरे क्रम के सिस्टम के मामले के लिए क्रैमर की विधि को अंजीर में विस्तार से प्रस्तुत किया गया है। 2.

एक प्रणाली दो या दो से अधिक समानता का एक संघ है, जिनमें से प्रत्येक में दो या दो से अधिक अज्ञात हैं। स्कूली पाठ्यक्रम में उपयोग किए जाने वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के दो मुख्य तरीके हैं। उनमें से एक को विधि कहा जाता है, दूसरे को जोड़ने की विधि।

दो समीकरणों के निकाय का मानक रूप

मानक रूप में, पहला समीकरण a1*x+b1*y=c1 है, दूसरा समीकरण है a2*x+b2*y=c2, और इसी तरह। उदाहरण के लिए, दिए गए a1, a2, b1, b2, c1, c2 दोनों में सिस्टम के दो भागों के मामले में विशिष्ट समीकरणों में प्रस्तुत कुछ संख्यात्मक गुणांक हैं। बदले में, x और y अज्ञात हैं जिनके मूल्यों को निर्धारित करने की आवश्यकता है। वांछित मान दोनों समीकरणों को एक साथ वास्तविक समानता में बदल देते हैं।

जोड़ विधि द्वारा प्रणाली का समाधान

सिस्टम को हल करने के लिए, अर्थात्, x और y के उन मानों को खोजने के लिए जो उन्हें वास्तविक समानता में बदल देंगे, आपको कुछ सरल कदम उठाने की आवश्यकता है। इनमें से पहला है किसी भी समीकरण को इस तरह बदलना कि दोनों समीकरणों में चर x या y के संख्यात्मक गुणांक निरपेक्ष मान में मेल खाते हों, लेकिन संकेत में भिन्न हों।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि दो समीकरणों वाला एक निकाय दिया गया है। उनमें से पहले का रूप 2x+4y=8 है, दूसरे का रूप 6x+2y=6 है। कार्य को पूरा करने के विकल्पों में से एक दूसरे समीकरण को -2 के कारक से गुणा करना है, जो इसे -12x-4y = -12 के रूप में ले जाएगा। सही चुनावगुणांक अतिरिक्त विधि द्वारा सिस्टम को हल करने की प्रक्रिया में महत्वपूर्ण कार्यों में से एक है, क्योंकि यह अज्ञात खोजने के लिए प्रक्रिया के पूरे आगे के पाठ्यक्रम को निर्धारित करता है।

अब सिस्टम के दो समीकरणों को जोड़ना आवश्यक है। जाहिर है, समान मूल्य वाले लेकिन विपरीत चिह्न गुणांक वाले चरों का पारस्परिक विनाश इसे -10x = -4 के रूप में ले जाएगा। उसके बाद, इस सरल समीकरण को हल करना आवश्यक है, जिससे यह स्पष्ट रूप से उस x = 0.4 का अनुसरण करता है।

समाधान प्रक्रिया का अंतिम चरण किसी एक चर के पाए गए मान का सिस्टम में उपलब्ध किसी भी प्रारंभिक समानता में प्रतिस्थापन है। उदाहरण के लिए, पहले समीकरण में x=0.4 को प्रतिस्थापित करने पर, आप 2*0.4+4y=8 व्यंजक प्राप्त कर सकते हैं, जिससे y=1.8। इस प्रकार, x=0.4 और y=1.8 उदाहरण में दिखाए गए सिस्टम के मूल हैं।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि जड़ें सही ढंग से पाई गई हैं, सिस्टम के दूसरे समीकरण में पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करके जांचना उपयोगी है। उदाहरण के लिए, इस मामले में, 0.4 * 6 + 1.8 * 2 = 6 के रूप की समानता प्राप्त होती है, जो सही है।

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अनुदेश

प्रतिस्थापन विधि एक चर को व्यक्त करें और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। आप अपनी पसंद के किसी भी चर को व्यक्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, दूसरे समीकरण से "y" व्यक्त करें:
x-y=2 => y=x-2 फिर सब कुछ पहले समीकरण में डालें:
2x+(x-2)=10 बिना x के सब कुछ ले जाएँ दाईं ओरऔर गिनती:
2x+x=10+2
3x=12 अगला, "x के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें:
x=4 तो, आपने "x. "पर खोजें। ऐसा करने के लिए, "x" को उस समीकरण में बदलें जिससे आपने "y" व्यक्त किया है:
y=x-2=4-2=2
वाई = 2।

एक चेक बनाओ। ऐसा करने के लिए, परिणामी मानों को समीकरणों में बदलें:
2*4+2=10
4-2=2
अज्ञात सही पाया गया!

समीकरणों को कैसे जोड़ें या घटाएं किसी भी चर से एक बार में छुटकारा पाएं। हमारे मामले में, "y.
चूंकि "y" में "+" है और दूसरे में "-" है, तो आप अतिरिक्त ऑपरेशन कर सकते हैं, अर्थात। हम बाईं ओर बाईं ओर और दाईं ओर दाईं ओर जोड़ते हैं:
2x+y+(x-y)=10+2रूपांतरित करें:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 किसी भी समीकरण में "x" को प्रतिस्थापित कीजिए और "y" ज्ञात कीजिए:
2*4+y=10
8+y=10
वाई = 10-8
y=2 पहली विधि के अनुसार, आपने जो पाया वह सही तरीके से पाया जा सकता है।

यदि कोई स्पष्ट रूप से परिभाषित चर नहीं हैं, तो समीकरणों को थोड़ा बदलना आवश्यक है।
पहले समीकरण में हमारे पास "2x" है, और दूसरे में "x" है। जोड़ या "x घटने के लिए, दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करें:
एक्स-वाई=2
2x-2y=4 फिर पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाएं:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3y=6
किसी भी समीकरण से व्यक्त करके y \u003d 2 "x खोजें, अर्थात।
एक्स = 4

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टिप 2: दो चर वाले रैखिक समीकरण को कैसे हल करें

समीकरण, सामान्य रूप में लिखा जाता है ax + by + c \u003d 0, दो के साथ एक रैखिक समीकरण कहलाता है चर. इस तरह के समीकरण में अपने आप में अनंत संख्या में समाधान होते हैं, इसलिए समस्याओं में यह हमेशा किसी न किसी के साथ पूरक होता है - एक और समीकरण या सीमित शर्तें। समस्या द्वारा प्रदान की गई शर्तों के आधार पर, दो के साथ एक रैखिक समीकरण हल करें चरअलग-अलग तरीकों से पालन किया।

आपको चाहिये होगा

• - दो चर के साथ रैखिक समीकरण;
• - दूसरा समीकरण या अतिरिक्त शर्तें.

अनुदेश

दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को देखते हुए, इसे निम्नानुसार हल करें। उन समीकरणों में से एक चुनें जिसमें गुणांक पहले चरछोटे और चरों में से एक को व्यक्त करें, उदाहरण के लिए, x। फिर y वाले उस मान को दूसरे समीकरण में प्लग करें। परिणामी समीकरण में केवल एक चर y होगा, सभी भागों को y के साथ बाईं ओर और मुक्त को दाईं ओर ले जाएँ। y को खोजें और किसी भी मूल समीकरण में स्थानापन्न करें, x ज्ञात करें।

दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने का एक और तरीका है। समीकरणों में से किसी एक को एक संख्या से गुणा करें ताकि किसी एक चर के सामने गुणांक, उदाहरण के लिए, x के सामने, दोनों समीकरणों में समान हो। फिर समीकरणों में से एक को दूसरे से घटाएं (यदि दाहिनी ओर 0 नहीं है, तो उसी तरह दाहिने हाथ की तरफ घटाना याद रखें)। आप देखेंगे कि x चर गायब हो गया है और केवल एक y शेष है। परिणामी समीकरण को हल करें, और y के पाए गए मान को किसी भी मूल समानता में प्रतिस्थापित करें। एक्स खोजें।

दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने का तीसरा तरीका ग्राफिकल है। एक समन्वय प्रणाली बनाएं और दो सीधी रेखाओं के रेखांकन बनाएं, जिनके समीकरण आपके सिस्टम में दर्शाए गए हैं। ऐसा करने के लिए, समीकरण में किन्हीं दो x मानों को प्रतिस्थापित करें और संबंधित y खोजें - ये रेखा से संबंधित बिंदुओं के निर्देशांक होंगे। निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन खोजना सबसे सुविधाजनक है - बस मानों को x=0 और y=0 से बदलें। इन दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक कार्य होंगे।

यदि समस्या की स्थितियों में केवल एक रैखिक समीकरण है, तो आपको अतिरिक्त शर्तें दी जाती हैं जिसके कारण आप समाधान ढूंढ सकते हैं। इन स्थितियों को खोजने के लिए समस्या को ध्यान से पढ़ें। यदि एक चर x और y दूरी, गति, वजन हैं - सीमा x≥0 और y≥0 निर्धारित करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। यह बहुत संभव है कि x या y सेबों आदि की संख्या छिपा रहा हो। - तब मान केवल हो सकते हैं। यदि x पुत्र की आयु है, तो यह स्पष्ट है कि वह अपने पिता से बड़ा नहीं हो सकता है, इसलिए समस्या की स्थितियों में इसे इंगित करें।

स्रोत:

• एक चर के साथ समीकरण को कैसे हल करें

अपने आप समीकरणतीन . के साथ अनजानकई समाधान हैं, इसलिए अक्सर इसे दो और समीकरणों या शर्तों द्वारा पूरक किया जाता है। प्रारंभिक डेटा क्या हैं, इस पर निर्भर करते हुए, निर्णय की प्रक्रिया काफी हद तक निर्भर करेगी।

आपको चाहिये होगा

• - तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली।

अनुदेश

यदि तीन में से दो प्रणालियों में तीन में से केवल दो अज्ञात हैं, तो कुछ चर को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त करने का प्रयास करें और उन्हें इसमें प्लग करें समीकरणतीन . के साथ अनजान. इसके साथ आपका लक्ष्य इसे सामान्य में बदलना है समीकरणअज्ञात के साथ। यदि यह है, तो आगे का समाधान काफी सरल है - पाया गया मान को अन्य समीकरणों में बदलें और अन्य सभी अज्ञात खोजें।

समीकरणों की कुछ प्रणालियों को एक समीकरण से दूसरे समीकरण द्वारा घटाया जा सकता है। देखें कि क्या किसी एक को या एक चर से गुणा करना संभव है ताकि दो अज्ञात एक साथ कम हो जाएं। यदि ऐसा कोई अवसर है, तो इसका उपयोग करें, सबसे अधिक संभावना है, बाद का निर्णय मुश्किल नहीं होगा। यह मत भूलो कि किसी संख्या से गुणा करते समय, आपको बाईं ओर और दाईं ओर दोनों को गुणा करना होगा। इसी तरह, समीकरणों को घटाते समय, याद रखें कि दाहिने हाथ को भी घटाया जाना चाहिए।

यदि पिछली विधियों ने मदद नहीं की, तो तीन . के साथ किसी भी समीकरण को हल करने के लिए सामान्य विधि का उपयोग करें अनजान. ऐसा करने के लिए, समीकरणों को a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3 के रूप में फिर से लिखें। अब एक्स (ए) पर गुणांक का एक मैट्रिक्स बनाएं, अज्ञात (एक्स) का एक मैट्रिक्स और मुक्त लोगों का एक मैट्रिक्स (बी)। ध्यान दें, गुणांक के मैट्रिक्स को अज्ञात के मैट्रिक्स से गुणा करने पर, आपको एक मैट्रिक्स, मुक्त सदस्यों का एक मैट्रिक्स, यानी ए * एक्स \u003d बी मिलेगा।

मैट्रिक्स ए को घात (-1) में खोजने के बाद, ध्यान दें कि यह शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए। उसके बाद, परिणामी मैट्रिक्स को मैट्रिक्स बी से गुणा करें, परिणामस्वरूप आपको वांछित मैट्रिक्स एक्स मिलेगा, जो सभी मूल्यों को दर्शाता है।

आप क्रैमर पद्धति का उपयोग करके तीन समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान भी पा सकते हैं। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम के निर्धारक खोजें। फिर क्रमिक रूप से तीन और निर्धारक ∆1, ∆2 और ∆3 खोजें, जो संबंधित कॉलम के मूल्यों के बजाय मुक्त शर्तों के मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं। अब x खोजें: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆।

स्रोत:

• तीन अज्ञात के साथ समीकरणों के समाधान

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना जटिल और रोमांचक है। प्रणाली जितनी जटिल होती है, उसे हल करना उतना ही दिलचस्प होता है। अक्सर गणित में उच्च विद्यालयदो अज्ञात के साथ समीकरणों की प्रणालियाँ हैं, लेकिन in उच्च गणितअधिक चर हो सकते हैं। सिस्टम को कई तरीकों से हल किया जा सकता है।

अनुदेश

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का सबसे आम तरीका प्रतिस्थापन है। ऐसा करने के लिए, आपको एक चर को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना होगा और इसे दूसरे में बदलना होगा समीकरणसिस्टम, इस प्रकार ला रहा है समीकरणएक चर के लिए। उदाहरण के लिए, दिए गए समीकरण: 2x-3y-1=0; x+y-3=0.

दूसरी अभिव्यक्ति से एक चर को व्यक्त करना सुविधाजनक है, बाकी सब कुछ अभिव्यक्ति के दाईं ओर स्थानांतरित करना, गुणांक के संकेत को बदलना नहीं भूलना: x = 3-y।

हम कोष्ठक खोलते हैं: 6-2y-3y-1 \u003d 0; -5y + 5 \u003d 0; y \u003d 1. y के परिणामी मान को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित किया जाता है: x \u003d 3-y; x \u003d 3-1; एक्स \u003d 2.

पहली अभिव्यक्ति में, सभी सदस्य 2 हैं, आप गुणन के वितरण गुण के लिए ब्रैकेट से 2 निकाल सकते हैं: 2 * (2x-y-3) = 0। अब अभिव्यक्ति के दोनों हिस्सों को इस संख्या से कम किया जा सकता है, और फिर y को व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि इसके लिए मॉड्यूलो गुणांक एक के बराबर है: -y \u003d 3-2x या y \u003d 2x-3।

जैसे पहले मामले में, हम इस व्यंजक को दूसरे में प्रतिस्थापित करते हैं समीकरणऔर हम प्राप्त करते हैं: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2। परिणामी मान को व्यंजक में रखें: y=2x -3;y=4-3=1.

हम देखते हैं कि y पर गुणांक मूल्य में समान है, लेकिन संकेत में भिन्न है, इसलिए, यदि हम इन समीकरणों को जोड़ते हैं, तो हम पूरी तरह से y: 4x + 3x-2y + 2y-6-8 \u003d 0; 7x से छुटकारा पा लेंगे। -14 \u003d 0; x=2। हम सिस्टम के दो समीकरणों में से किसी एक में x के मान को प्रतिस्थापित करते हैं और y=1 प्राप्त करते हैं।

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बिस्क्वेयर समीकरणप्रतिनिधित्व करता है समीकरणचौथी डिग्री सामान्य फ़ॉर्मजिसे व्यंजक ax^4 + bx^2 + c = 0 द्वारा दर्शाया जाता है। इसका समाधान अज्ञात के प्रतिस्थापन की विधि के उपयोग पर आधारित है। इस मामले में, x^2 को दूसरे चर से बदल दिया जाता है। इस प्रकार, परिणाम एक साधारण वर्ग है समीकरण, जिसका समाधान किया जाना है।

अनुदेश

वर्ग को हल करें समीकरणप्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप। ऐसा करने के लिए, पहले सूत्र के अनुसार मान की गणना करें: D = b^2 ? 4एसी इस मामले में, चर a, b, c हमारे समीकरण के गुणांक हैं।

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, प्राप्त समाधानों का वर्गमूल लें। यदि एक समाधान था, तो दो होंगे - वर्गमूल का धनात्मक और ऋणात्मक मान। यदि दो हल होते, तो द्विघात समीकरण के चार मूल होते।

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गॉस विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए शास्त्रीय तरीकों में से एक है। इसमें चरों के क्रमिक बहिष्करण शामिल होते हैं, जब समीकरणों की प्रणाली को सरल परिवर्तनों की सहायता से एक चरण प्रणाली में परिवर्तित किया जाता है, जिसमें से सभी चर क्रमिक रूप से पाए जाते हैं, जो पिछले वाले से शुरू होते हैं।

अनुदेश

सबसे पहले, समीकरणों की प्रणाली को ऐसे रूप में लाएं जब सभी अज्ञात एक कड़ाई से परिभाषित क्रम में हों। उदाहरण के लिए, सभी अज्ञात एक्स प्रत्येक पंक्ति में पहले आएंगे, सभी वाई एक्स के बाद आएंगे, सभी जेड वाई के बाद आएंगे, और इसी तरह। प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर कोई अज्ञात नहीं होना चाहिए। प्रत्येक अज्ञात के सामने गुणांक, साथ ही प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर गुणांक को मानसिक रूप से निर्धारित करें।

विभिन्न प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग में आर्थिक उद्योग में समीकरणों की प्रणाली का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उत्पादन प्रबंधन और योजना, रसद मार्ग (परिवहन समस्या) या उपकरण प्लेसमेंट की समस्याओं को हल करते समय।

समीकरण प्रणालियों का उपयोग न केवल गणित के क्षेत्र में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी किया जाता है, जब जनसंख्या के आकार को खोजने की समस्याओं को हल किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कई चर वाले दो या दो से अधिक समीकरणों के लिए एक शब्द है जिसके लिए एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। संख्याओं का ऐसा क्रम जिसके लिए सभी समीकरण वास्तविक समानताएँ बन जाते हैं या यह सिद्ध करते हैं कि अनुक्रम मौजूद नहीं है।

रेखीय समीकरण

ax+by=c रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। पदनाम x, y अज्ञात हैं, जिनका मान ज्ञात होना चाहिए, b, a चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
इसका ग्राफ बनाकर समीकरण को हल करना एक सीधी रेखा की तरह दिखाई देगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद का हल हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के प्रकार

सबसे सरल दो चर X और Y वाले रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरण हैं।

F1(x, y) = 0 और F2(x, y) = 0, जहां F1,2 फलन हैं और (x, y) फलन चर हैं।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें - इसका अर्थ है ऐसे मान (x, y) को खोजना जिसके लिए प्रणाली एक सच्ची समानता बन जाती है, या यह स्थापित करना कि x और y के कोई उपयुक्त मान नहीं हैं।

बिंदु निर्देशांक के रूप में लिखे गए मानों (x, y) की एक जोड़ी को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान कहा जाता है।

यदि सिस्टम का एक सामान्य समाधान है या कोई समाधान नहीं है, तो उन्हें समकक्ष कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की समांगी प्रणालियाँ ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनका दायाँ पक्ष शून्य के बराबर है। यदि "बराबर" चिह्न के बाद दाहिने भाग का मान है या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया है, तो ऐसी प्रणाली सजातीय नहीं है।

चरों की संख्या दो से अधिक हो सकती है, तो हमें तीन या अधिक चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।

सिस्टम का सामना करते हुए, स्कूली बच्चे मानते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर पर निर्भर नहीं करती है, उनमें से एक मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में हो सकती है।

समीकरणों के निकाय को हल करने की सरल और जटिल विधियाँ

ऐसी प्रणालियों को हल करने का कोई सामान्य विश्लेषणात्मक तरीका नहीं है, सभी विधियाँ संख्यात्मक समाधानों पर आधारित हैं। स्कूल गणित पाठ्यक्रम क्रमपरिवर्तन, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही साथ ग्राफिकल जैसी विधियों का विस्तार से वर्णन करता है मैट्रिक्स विधि, गॉस विधि द्वारा समाधान।

हल करने के तरीकों को पढ़ाने में मुख्य कार्य यह सिखाना है कि सिस्टम का सही विश्लेषण कैसे करें और प्रत्येक उदाहरण के लिए इष्टतम समाधान एल्गोरिदम खोजें। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और क्रियाओं की प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि किसी विशेष विधि को लागू करने के सिद्धांतों को समझना है।

सामान्य शिक्षा स्कूल कार्यक्रम के 7 वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों का समाधान काफी सरल है और इसे बहुत विस्तार से समझाया गया है। गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में इस खंड पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षण संस्थानों के पहले पाठ्यक्रमों में गॉस और क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों के समाधान का अधिक विस्तार से अध्ययन किया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

प्रतिस्थापन विधि की क्रियाओं का उद्देश्य एक चर के मान को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना है। व्यंजक को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एक चर रूप में घटाया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है

आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा 7वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक उदाहरण दें:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चर एक्स को एफ (एक्स) = 7 + वाई के माध्यम से व्यक्त किया गया था। परिणामी अभिव्यक्ति, एक्स के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, ने दूसरे समीकरण में एक चर वाई प्राप्त करने में मदद की . इस उदाहरण का समाधान कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है और आपको Y मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरण प्राप्त मूल्यों की जांच करना है।

प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण को हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और दूसरे अज्ञात के संदर्भ में चर की अभिव्यक्ति आगे की गणना के लिए बहुत बोझिल होगी। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात होते हैं, तो प्रतिस्थापन समाधान भी अव्यावहारिक होता है।

रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:

बीजगणितीय जोड़ का उपयोग करके समाधान

जोड़ विधि द्वारा सिस्टम के समाधान की खोज करते समय, टर्म-दर-टर्म जोड़ और विभिन्न संख्याओं द्वारा समीकरणों का गुणन किया जाता है। गणितीय संक्रियाओं का अंतिम लक्ष्य एक चर वाला समीकरण है।

अनुप्रयोगों के लिए यह विधियह अभ्यास और अवलोकन लेता है। 3 या अधिक चरों की संख्या के साथ योग विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आसान नहीं है। बीजगणितीय योग तब उपयोगी होता है जब समीकरणों में भिन्न और दशमलव संख्याएँ हों।

समाधान क्रिया एल्गोरिथ्म:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा करें। नतीजतन अंकगणितीय संक्रियाचर के गुणांकों में से एक को 1 के बराबर होना चाहिए।
2. परिणामी व्यंजक पद को पद के अनुसार जोड़ें और अज्ञात में से एक का पता लगाएं।
3. शेष चर को खोजने के लिए परिणामी मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें।

एक नया चर पेश करके समाधान विधि

एक नया चर पेश किया जा सकता है यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता होती है, तो अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।

इस विधि का प्रयोग किसी एक समीकरण को एक नए चर का परिचय देकर सरल बनाने के लिए किया जाता है। नया समीकरण दर्ज अज्ञात के संबंध में हल किया जाता है, और परिणामी मूल्य का उपयोग मूल चर को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण से पता चलता है कि एक नया चर टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को मानक तक कम करना संभव था वर्ग त्रिपद. आप विभेदक का पता लगाकर बहुपद को हल कर सकते हैं।

जाने-माने सूत्र का उपयोग करके विवेचक का मान ज्ञात करना आवश्यक है: D = b2 - 4*a*c, जहाँ D वांछित विभेदक है, b, a, c बहुपद के गुणक हैं। दिए गए उदाहरण में, a=1, b=16, c=39, इसलिए D=100। यदि विवेचक शून्य से बड़ा है, तो दो समाधान हैं: t = -b±√D / 2*a, यदि विवेचक शून्य से कम है, तो केवल एक ही समाधान है: x= -b / 2*a।

परिणामी प्रणालियों का समाधान अतिरिक्त विधि द्वारा पाया जाता है।

सिस्टम को हल करने के लिए एक दृश्य विधि

3 समीकरणों वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त। इस पद्धति में समन्वय अक्ष पर प्रणाली में शामिल प्रत्येक समीकरण के आलेखों को आलेखित करना शामिल है। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक और होंगे सामान्य समाधानसिस्टम

ग्राफिक विधि में कई बारीकियां हैं। एक दृश्य तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, प्रत्येक पंक्ति के लिए दो बिंदुओं का निर्माण किया गया था, चर x के मान मनमाने ढंग से चुने गए थे: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए: 3 और 0. निर्देशांक (0, 3) और (3, 0) वाले बिंदुओं को ग्राफ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया।

दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु निकाय का समाधान है।

निम्नलिखित उदाहरण में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए एक ग्राफिकल समाधान खोजना आवश्यक है: 0.5x-y+2=0 और 0.5x-y-1=0.

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और उनकी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

उदाहरण 2 और 3 के सिस्टम समान हैं, लेकिन जब निर्माण किया जाता है, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान अलग हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह कहना हमेशा संभव नहीं है कि सिस्टम के पास कोई समाधान है या नहीं, एक ग्राफ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स और इसकी किस्में

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है। मैट्रिक्स एक विशेष प्रकार की तालिका होती है जो संख्याओं से भरी होती है। n*m में n-पंक्तियाँ और m-स्तंभ हैं।

एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब स्तंभों और पंक्तियों की संख्या बराबर होती है। एक मैट्रिक्स - एक वेक्टर एक कॉलम का एक मैट्रिक्स है जिसमें असीम रूप से संभावित संख्यालाइनें। एक विकर्ण और अन्य शून्य तत्वों के साथ इकाइयों के साथ एक मैट्रिक्स को पहचान कहा जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स है, जिसे गुणा करने पर मूल एक इकाई में बदल जाता है, ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग एक के लिए मौजूद होता है।

समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम

समीकरणों की प्रणालियों के संबंध में, समीकरणों के गुणांक और मुक्त सदस्यों को मैट्रिक्स की संख्या के रूप में लिखा जाता है, एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति है।

एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि पंक्ति का कम से कम एक तत्व शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, यदि किसी भी समीकरण में चर की संख्या भिन्न होती है, तो लापता अज्ञात के स्थान पर शून्य दर्ज करना आवश्यक है।

मैट्रिक्स के कॉलम सख्ती से चर के अनुरूप होने चाहिए। इसका मतलब है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए पहला, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।

मैट्रिक्स को गुणा करते समय, सभी मैट्रिक्स तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के विकल्प

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने का सूत्र काफी सरल है: K -1 = 1 / |K|, जहाँ K -1 - उलटा मैट्रिक्स, और |के| - मैट्रिक्स निर्धारक। |के| शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, तो सिस्टम के पास एक समाधान है।

निर्धारक की गणना दो-दो-दो मैट्रिक्स के लिए आसानी से की जाती है, केवल तत्वों को एक दूसरे से तिरछे गुणा करना आवश्यक है। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, एक सूत्र है |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ए 3 बी 2 सी 1। आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप याद रख सकते हैं कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि उत्पाद में तत्वों के स्तंभ और पंक्ति संख्या दोहराई न जाए।

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरणों का समाधान

समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि से सिस्टम को हल करते समय बोझिल नोटेशन को कम करना संभव हो जाता है बड़ी मात्राचर और समीकरण।

उदाहरण में, एक एनएम समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स एक वेक्टर है x n चर हैं, और b n मुक्त शब्द हैं।

गॉस विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

उच्च गणित में, गॉस विधि का अध्ययन क्रैमर विधि के साथ किया जाता है, और सिस्टम का समाधान खोजने की प्रक्रिया को हल करने की गॉस-क्रैमर विधि कहा जाता है। इन विधियों का उपयोग बड़ी संख्या में रैखिक समीकरणों वाले सिस्टम के चर को खोजने के लिए किया जाता है।

गाऊसी विधि प्रतिस्थापन और बीजीय जोड़ समाधान के समान है, लेकिन अधिक व्यवस्थित है। स्कूल के पाठ्यक्रम में, गाऊसी समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों के सिस्टम के लिए किया जाता है। विधि का उद्देश्य प्रणाली को एक उल्टे ट्रेपोजॉइड के रूप में लाना है। बीजगणितीय परिवर्तनों और प्रतिस्थापन द्वारा, एक चर का मान सिस्टम के समीकरणों में से एक में पाया जाता है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात के साथ एक अभिव्यक्ति है, और 3 और 4 - क्रमशः 3 और 4 चर के साथ।

सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के क्रमिक प्रतिस्थापन के लिए आगे का समाधान कम हो जाता है।

कक्षा 7 की स्कूली पाठ्यपुस्तकों में गाऊसी समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार वर्णित है:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चरण (3) में दो समीकरण 3x 3 -2x 4 =11 और 3x 3 +2x 4 =7 प्राप्त हुए। किसी भी समीकरण का हल आपको x n में से किसी एक चर का पता लगाने की अनुमति देगा।

प्रमेय 5, जिसका उल्लेख पाठ में किया गया है, में कहा गया है कि यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक को समकक्ष द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो परिणामी प्रणाली भी मूल के बराबर होगी।

मध्य विद्यालय के छात्रों के लिए गॉसियन पद्धति को समझना कठिन है, लेकिन यह सबसे अधिक में से एक है दिलचस्प तरीकेगणित और भौतिकी कक्षाओं में उन्नत अध्ययन कार्यक्रम में नामांकित बच्चों की सरलता का विकास करना।

गणनाओं को रिकॉर्ड करने में आसानी के लिए, यह निम्नलिखित करने के लिए प्रथागत है:

समीकरण गुणांक और मुक्त शब्द एक मैट्रिक्स के रूप में लिखे जाते हैं, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से मेल खाती है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष से अलग करता है। रोमन अंक प्रणाली में समीकरणों की संख्या को दर्शाते हैं।

सबसे पहले, वे उस मैट्रिक्स को लिखते हैं जिसके साथ काम करना है, फिर सभी क्रियाओं को पंक्तियों में से एक के साथ किया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स "तीर" चिह्न के बाद लिखा जाता है और परिणाम प्राप्त होने तक आवश्यक बीजगणितीय संचालन करना जारी रखता है।

नतीजतन, एक मैट्रिक्स प्राप्त किया जाना चाहिए जिसमें विकर्णों में से एक 1 है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, अर्थात मैट्रिक्स को एक ही रूप में घटाया गया है। हमें समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना नहीं भूलना चाहिए।

यह संकेतन कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात को सूचीबद्ध करके विचलित नहीं होने देता है।

समाधान के किसी भी तरीके के मुफ्त आवेदन के लिए देखभाल और एक निश्चित मात्रा में अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी तरीके लागू नहीं होते हैं। मानव गतिविधि के किसी विशेष क्षेत्र में समाधान खोजने के कुछ तरीके अधिक बेहतर होते हैं, जबकि अन्य सीखने के उद्देश्य से मौजूद होते हैं।

पूर्णांकों में समीकरणों को हल करना सबसे पुराने में से एक है गणित की समस्याये. पहले से ही दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व की शुरुआत में। इ। बेबीलोन के लोग दो चरों वाले ऐसे समीकरणों की प्रणालियों को हल करना जानते थे। गणित का यह क्षेत्र अपनी सबसे बड़ी समृद्धि में पहुंचा प्राचीन ग्रीस. हमारे लिए मुख्य स्रोत डायोफैंटस का "अंकगणित" है, जिसमें शामिल हैं अलग - अलग प्रकारसमीकरण इसमें, डायोफैंटस (उनके नाम और समीकरणों के नाम के बाद - डायोफैंटाइन समीकरण) 2 और 3 डिग्री के समीकरणों का अध्ययन करने के लिए कई तरीकों का अनुमान लगाते हैं, जो केवल 19 वीं शताब्दी में विकसित हुए थे।

सरलतम डायोफैंटाइन समीकरण कुल्हाड़ी + y = 1 (दो चर के साथ समीकरण, पहली डिग्री) x2 + y2 = z2 (तीन चर के साथ समीकरण, दूसरी डिग्री)

सबसे पूर्ण अध्ययन बीजीय समीकरणउनका समाधान 16वीं-17वीं शताब्दी में बीजगणित की सबसे महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक था।

19वीं शताब्दी की शुरुआत तक, पी. फ़र्मेट, एल. यूलर, के. गॉस के कार्यों ने इस रूप के डायोफैंटाइन समीकरण की जांच की: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, जहाँ a, b, c , d, e, f संख्याएँ हैं; x, y अज्ञात चर हैं।

यह दो अज्ञात के साथ 2 डिग्री समीकरण है।

के। गॉस ने द्विघात रूपों का एक सामान्य सिद्धांत बनाया, जो दो चर (डायोफैंटाइन समीकरण) के साथ कुछ प्रकार के समीकरणों को हल करने का आधार है। बड़ी संख्या में विशिष्ट डायोफैंटाइन समीकरण हैं जिन्हें प्राथमिक विधियों द्वारा हल किया जा सकता है। /पी>

सैद्धांतिक सामग्री।

काम के इस भाग में, मुख्य गणितीय अवधारणाएं, शर्तों की परिभाषा दी गई है, अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करके एक अपघटन प्रमेय तैयार किया जाता है, जिसका अध्ययन और दो चर वाले समीकरणों को हल करते समय माना जाता था।

परिभाषा 1: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 के रूप का एक समीकरण, जहाँ a, b, c, d, e, f संख्याएँ हैं; x, y अज्ञात चरों को दो चरों वाला द्वितीय-डिग्री समीकरण कहा जाता है।

एक स्कूल गणित पाठ्यक्रम में, द्विघात समीकरण ax2 + inx + c \u003d 0 का अध्ययन किया जाता है, जहां ए, बी, सी नंबर x चर, एक चर के साथ। इस तरह के समीकरण को हल करने के कई तरीके हैं:

1. विवेचक का उपयोग करके जड़ों का पता लगाना;

2. (D1 = के अनुसार) में सम गुणांक के लिए मूल ज्ञात करना;

3. विएटा के प्रमेय द्वारा जड़ों का पता लगाना;

4. द्विपद के पूर्ण वर्ग के चयन का उपयोग करके मूल ज्ञात करना।

किसी समीकरण को हल करने का अर्थ है उसके सभी मूल ज्ञात करना या यह सिद्ध करना कि कोई भी नहीं है।

परिभाषा 2: एक समीकरण का मूल एक संख्या है, जिसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, एक सच्ची समानता बनती है।

परिभाषा 3: दो चरों वाले समीकरण के हल को संख्याओं का युग्म (x, y) कहते हैं, जब उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो यह एक वास्तविक समानता में बदल जाता है।

एक समीकरण के समाधान की खोज की प्रक्रिया में आमतौर पर समीकरण को एक समान समीकरण के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है, लेकिन समाधान में सरल होता है। ऐसे समीकरणों को समतुल्य कहा जाता है।

परिभाषा 4: दो समीकरण समतुल्य कहलाते हैं यदि एक समीकरण का प्रत्येक हल दूसरे समीकरण का समाधान है, और इसके विपरीत, और दोनों समीकरणों को एक ही क्षेत्र में माना जाता है।

दो चर वाले समीकरणों को हल करने के लिए, समीकरण के पूर्ण वर्गों के योग में विस्तार पर प्रमेय का उपयोग किया जाता है (अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा)।

दूसरे क्रम के समीकरण के लिए ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) एक अपघटन है a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

आइए हम वे शर्तें बनाते हैं जिनके तहत दो चरों के समीकरण (1) के लिए विस्तार (2) होता है।

प्रमेय: यदि गुणांक ए, बी, सीसमीकरण (1) शर्तों को संतुष्ट करते हैं a0 तथा 4av - c20, फिर विस्तार (2) एक अनोखे तरीके से निर्धारित किया जाता है।

दूसरे शब्दों में, दो चर वाले समीकरण (1) को अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करके (2) के रूप में कम किया जा सकता है, यदि प्रमेय की शर्तें संतुष्ट हैं।

आइए एक उदाहरण देखें कि अनिश्चित गुणांक की विधि कैसे लागू की जाती है।

विधि # 1। अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा समीकरण को हल करें

2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

1. आइए प्रमेय की शर्तों की पूर्ति की जाँच करें, a=2, b=1, c=2, इसलिए a=2,4av - c2= 4∙2∙1- 22= 40।

2. प्रमेय की शर्तें संतुष्ट हैं, और सूत्र (2) द्वारा विस्तारित की जा सकती हैं।

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, प्रमेय की शर्तों के आधार पर, सर्वसमिका के दोनों भाग समतुल्य हैं। पहचान के दाहिने हिस्से को सरल बनाएं।

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2 + p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h)।

5. समान चरों के गुणांकों को उनकी घातों से समान कीजिए।

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करें, इसे हल करें और मूल्यों का पता लगाएंगुणांक।

7. गुणांकों को (2) में रखें, तब समीकरण का रूप लेगा

2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 \u003d 2 (x + 0.5y + 0.5) 2 + 0.5 (y -1) 2 + 0

इस प्रकार, मूल समीकरण समीकरण के तुल्य है

2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3), यह समीकरण दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के बराबर है।

उत्तर: (-1; 1)।

यदि आप अपघटन के प्रकार (3) पर ध्यान दें, तो आप देख सकते हैं कि यह एक चर वाले द्विघात समीकरण से पूर्ण वर्ग के चयन के रूप में समान है: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

आइए इस ट्रिक को दो चर वाले समीकरण को हल करने के लिए लागू करें। आइए एक पूर्ण वर्ग के चयन की मदद से दो चर वाले द्विघात समीकरण को पहले से ही प्रमेय का उपयोग करके हल करते हैं।

विधि #2: समीकरण 2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 को हल करें।

हल: 1. हम 2x2 को दो पदों x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0 के योग के रूप में निरूपित करते हैं।

2. हम शब्दों को इस तरह से समूहित करते हैं कि हम पूर्ण वर्ग सूत्र के अनुसार संक्षिप्त हो सकें।

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x + 1) = 0.

3. कोष्ठक में दिए गए व्यंजकों से पूर्ण वर्ग चुनिए।

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. यह समीकरण रैखिक समीकरणों के निकाय के तुल्य है।

उत्तर: (-1;1)।

यदि हम परिणामों की तुलना करते हैं, तो हम देख सकते हैं कि प्रमेय और अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करके विधि संख्या 1 द्वारा हल किए गए समीकरण और पूर्ण वर्ग के चयन का उपयोग करके विधि संख्या 2 द्वारा हल किए गए समीकरण के मूल समान हैं।

निष्कर्ष: दो चर वाले द्विघात समीकरण को दो तरीकों से वर्गों के योग में विस्तारित किया जा सकता है:

पहली विधि अनिश्चित गुणांक की विधि है, जो प्रमेय और विस्तार (2) पर आधारित है।

दूसरा तरीका समान परिवर्तनों की सहायता से है, जिससे लगातार पूर्ण वर्गों का चयन करना संभव हो जाता है।

बेशक, समस्याओं को हल करते समय, दूसरी विधि बेहतर होती है, क्योंकि इसमें विस्तार (2) और शर्तों को याद रखने की आवश्यकता नहीं होती है।

इस विधि को तीन चर वाले द्विघात समीकरणों पर भी लागू किया जा सकता है। ऐसे समीकरणों में पूर्ण वर्ग का चयन अधिक श्रमसाध्य होता है। मैं अगले साल इस तरह का ट्रांसफॉर्मेशन करूंगा।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि एक फ़ंक्शन जो दिखता है: f (x, y) \u003d ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f कहलाता है द्विघात फंक्शनदो चर। द्विघात फलन गणित की विभिन्न शाखाओं में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं:

गणितीय प्रोग्रामिंग में (द्विघात प्रोग्रामिंग)

रैखिक बीजगणित और ज्यामिति में (द्विघात रूप)

सिद्धांत रूप में विभेदक समीकरण(एक दूसरे क्रम के रैखिक समीकरण को एक विहित रूप में घटाना)।

इन्हें हल करते समय विभिन्न कार्यवास्तव में, किसी को द्विघात समीकरण (एक, दो या अधिक चर) से पूर्ण वर्ग निकालने की प्रक्रिया को लागू करना होता है।

रेखाएँ जिनके समीकरणों का वर्णन किया गया है द्विघात समीकरणदो चर दूसरे क्रम के वक्र कहलाते हैं।

यह वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय।

इन वक्रों को आलेखित करते समय पूर्ण वर्ग के क्रमिक चयन की विधि का भी उपयोग किया जाता है।

आइए विचार करें कि विशिष्ट उदाहरणों पर पूर्ण वर्ग के क्रमिक चयन की विधि कैसे कार्य करती है।

व्यावहारिक भाग।

पूर्ण वर्ग के क्रमिक चयन की विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करें।

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(एक्स + 1)2 + (एक्स + वाई) 2 = 0;

उत्तर: (-1; 1)।

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

उत्तर: (0.5; - 0.5)।

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 - 6xy - 2y +1 = 0;

3x2 + 3y2 - 6xy + y2 -2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

उत्तर: (-1; 1)।

समीकरण हल करें:

1. 2x2 + 3y2 - 4xy + 6y +9 = 0

(फॉर्म में लाएं: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

उत्तर: (-3; -3)

2. - 3x2 - 2y2 - 6xy -2y + 1=0

(फॉर्म में लाएं: -3 (x + y) 2 + (y -1) 2 \u003d 0)

उत्तर: (-1; 1)

3. x2 + 3y2 + 2xy + 28y +98 = 0

(फॉर्म में लाएं: (x + y) 2 + 2 (y + 7) 2 \u003d 0)

उत्तर: (7; -7)

निष्कर्ष।

इसमें वैज्ञानिकों का कामदूसरी डिग्री के दो चर वाले समीकरणों का अध्ययन किया गया, उन्हें हल करने के तरीकों पर विचार किया गया। कार्य पूरा किया गया, तैयार किया गया और अधिक वर्णित किया गया छोटा रास्तापूर्ण वर्ग के चयन और समीकरण के समतुल्य प्रणाली के साथ समीकरण के प्रतिस्थापन के आधार पर समाधान, परिणामस्वरूप, दो चर वाले समीकरण की जड़ों को खोजने की प्रक्रिया सरल हो जाती है।

काम का एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि विचाराधीन तकनीक का उपयोग द्विघात फलन से जुड़ी विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने, दूसरे क्रम के वक्रों के निर्माण और व्यंजकों का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान खोजने में किया जाता है।

इस प्रकार, दो चरों के साथ एक दूसरे क्रम के समीकरण को वर्गों के योग में विस्तारित करने की तकनीक में गणित में सबसे अधिक अनुप्रयोग हैं।