फैलाव सांख्यिकी सूत्र और उदाहरण। डिस्प.वी फ़ंक्शन का उपयोग करके एक्सेल में विचरण की गणना कैसे करें

गणितीय अपेक्षा और विचरण एक यादृच्छिक चर की सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली संख्यात्मक विशेषताएँ हैं। वे वितरण की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं की विशेषता रखते हैं: इसकी स्थिति और फैलाव की डिग्री। अभ्यास की कई समस्याओं में, एक यादृच्छिक चर का पूर्ण, संपूर्ण विवरण - वितरण का नियम - या तो बिल्कुल प्राप्त नहीं किया जा सकता है, या इसकी बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है। इन मामलों में, वे संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग करके एक यादृच्छिक चर के अनुमानित विवरण तक सीमित हैं।

गणितीय अपेक्षा को अक्सर एक यादृच्छिक चर के औसत मान के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर का फैलाव फैलाव की एक विशेषता है, इसकी गणितीय अपेक्षा के आसपास एक यादृच्छिक चर का फैलाव।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

आइए गणितीय अपेक्षा की अवधारणा को देखें, पहले एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण की यांत्रिक व्याख्या से आगे बढ़ते हुए। मान लीजिए कि इकाई द्रव्यमान को x-अक्ष के बिंदुओं के बीच वितरित किया जाता है एक्स1 , एक्स 2 , ..., एक्सएन, और प्रत्येक भौतिक बिंदु का द्रव्यमान इसके अनुरूप होता है पी1 , पी 2 , ..., पीएन. एक्स-अक्ष पर एक बिंदु चुनना आवश्यक है, जो उनके द्रव्यमान को ध्यान में रखते हुए भौतिक बिंदुओं की पूरी प्रणाली की स्थिति को दर्शाता है। भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र को ऐसे बिंदु के रूप में लेना स्वाभाविक है। यह यादृच्छिक चर का भारित औसत है एक्स, जिसमें प्रत्येक बिंदु का भुज एक्समैंसंबंधित संभावना के बराबर "वजन" के साथ प्रवेश करता है। इस प्रकार प्राप्त यादृच्छिक चर का माध्य मान एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा कहलाती है।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इसके सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों और इन मूल्यों की संभावनाओं का योग है:

उदाहरण 1विन-विन लॉटरी का आयोजन किया गया। 1000 जीत हैं, जिनमें से 400 प्रत्येक 10 रूबल हैं। 300 - 20 रूबल प्रत्येक 200 - 100 रूबल प्रत्येक। और 100 - 200 रूबल प्रत्येक। एक टिकट खरीदने वाले व्यक्ति की औसत जीत क्या है?

समाधान। हम औसत जीत पाएंगे यदि जीत की कुल राशि, जो 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 रूबल के बराबर है, को 1000 (जीत की कुल राशि) से विभाजित किया जाता है। तब हमें 50000/1000 = 50 रूबल मिलते हैं। लेकिन औसत लाभ की गणना के लिए व्यंजक को निम्नलिखित रूप में भी दर्शाया जा सकता है:

दूसरी ओर, इन शर्तों के तहत, जीत की राशि एक यादृच्छिक चर है जो 10, 20, 100 और 200 रूबल के मूल्यों को ले सकती है। क्रमशः 0.4 के बराबर संभावनाओं के साथ; 0.3; 0.2; 0.1. इसलिए, अपेक्षित औसत अदायगी योग के बराबर हैजीत के आकार के उत्पाद उन्हें प्राप्त करने की संभावना से।

उदाहरण 2प्रकाशक ने प्रकाशित करने का निर्णय लिया नई पुस्तक. वह पुस्तक को 280 रूबल में बेचने जा रहा है, जिसमें से उसे 200, किताबों की दुकान को 50 और लेखक को 30 रुपये दिए जाएंगे। तालिका पुस्तक को प्रकाशित करने की लागत और पुस्तक की एक निश्चित संख्या में प्रतियों को बेचने की संभावना के बारे में जानकारी देती है।

प्रकाशक का अपेक्षित लाभ ज्ञात कीजिए।

समाधान। यादृच्छिक चर "लाभ" बिक्री से आय और लागत की लागत के बीच के अंतर के बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि किसी पुस्तक की 500 प्रतियां बेची जाती हैं, तो बिक्री से होने वाली आय 200 * 500 = 100,000 है, और प्रकाशन की लागत 225,000 रूबल है। इस प्रकार, प्रकाशक को 125,000 रूबल के नुकसान का सामना करना पड़ता है। निम्न तालिका यादृच्छिक चर - लाभ के अपेक्षित मूल्यों को सारांशित करती है:

संख्या	फायदा एक्समैं	संभावना पीमैं	एक्समैं पीमैं
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
कुल:		1,00	25000

इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं अपेक्षित मूल्यप्रकाशक लाभ:

.

उदाहरण 3एक शॉट से हिट करने का मौका पी= 0.2. गोले की खपत निर्धारित करें जो 5 के बराबर हिट की संख्या की गणितीय अपेक्षा प्रदान करते हैं।

समाधान। उसी अपेक्षा सूत्र से जो हमने अब तक प्रयोग किया है, हम व्यक्त करते हैं एक्स- गोले की खपत:

.

उदाहरण 4एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें एक्सतीन शॉट्स के साथ हिट की संख्या, यदि प्रत्येक शॉट के साथ हिट होने की संभावना है पी = 0,4 .

संकेत: द्वारा यादृच्छिक चर के मानों की प्रायिकता ज्ञात कीजिए बर्नौली सूत्र .

उम्मीद गुण

गणितीय अपेक्षा के गुणों पर विचार करें।

संपत्ति 1.स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा इस स्थिरांक के बराबर है:

संपत्ति 2.निरंतर कारक को उम्मीद के संकेत से बाहर निकाला जा सकता है:

संपत्ति 3.यादृच्छिक चर के योग (अंतर) की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग (अंतर) के बराबर है:

संपत्ति 4.यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है:

संपत्ति 5.यदि यादृच्छिक चर के सभी मान एक्सएक ही संख्या से कमी (वृद्धि) से, तो इसकी गणितीय अपेक्षा उसी संख्या से घटेगी (वृद्धि) होगी:

जब आप केवल गणितीय अपेक्षा तक ही सीमित नहीं रह सकते हैं

ज्यादातर मामलों में, केवल गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर को पर्याप्त रूप से चिह्नित नहीं कर सकती है।

यादृच्छिक चर दें एक्सतथा यूनिम्नलिखित वितरण कानूनों द्वारा दिए गए हैं:

अर्थ एक्स	संभावना
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

अर्थ यू	संभावना
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

इन राशियों की गणितीय अपेक्षाएँ समान हैं - शून्य के बराबर:

हालांकि, उनका वितरण अलग है। यादृच्छिक मूल्य एक्सकेवल वे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा से थोड़े अलग हैं, और यादृच्छिक मूल्य यूवे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा से महत्वपूर्ण रूप से विचलित होते हैं। एक समान उदाहरण: औसत वेतन का न्याय करना संभव नहीं है विशिष्ट गुरुत्वउच्च और निम्न वेतन वाले श्रमिक। दूसरे शब्दों में, गणितीय अपेक्षा से कोई यह नहीं आंक सकता कि इससे कम से कम औसतन क्या विचलन संभव है। ऐसा करने के लिए, आपको एक यादृच्छिक चर के विचरण को खोजने की आवश्यकता है।

असतत यादृच्छिक चर का फैलाव

फैलावअसतत यादृच्छिक चर एक्सगणितीय अपेक्षा से इसके विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहलाती है:

एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन एक्सइसके प्रसरण के वर्गमूल का अंकगणितीय मान है:

.

उदाहरण 5यादृच्छिक चरों के प्रसरणों और मानक विचलनों की गणना करें एक्सतथा यू, जिनके वितरण नियम ऊपर तालिका में दिए गए हैं।

समाधान। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाएं एक्सतथा यू, जैसा कि ऊपर पाया गया, शून्य के बराबर है। के लिए फैलाव सूत्र के अनुसार इ(एक्स)=इ(आप) = 0 हमें मिलता है:

फिर यादृच्छिक चर के मानक विचलन एक्सतथा यूगठित करना

.

इस प्रकार, समान गणितीय अपेक्षाओं के साथ, यादृच्छिक चर का प्रसरण एक्सबहुत छोटा और यादृच्छिक यू- महत्वपूर्ण। यह उनके वितरण में अंतर का परिणाम है।

उदाहरण 6निवेशक के पास 4 वैकल्पिक परियोजनानिवेश। तालिका इन परियोजनाओं में अपेक्षित लाभ पर संबंधित संभावना के साथ डेटा को सारांशित करती है।

प्रोजेक्ट 1	परियोजना 2	परियोजना 3	परियोजना 4
500, पी=1	1000, पी=0,5	500, पी=0,5	500, पी=0,5
	0, पी=0,5	1000, पी=0,25	10500, पी=0,25
		0, पी=0,25	9500, पी=0,25

प्रत्येक विकल्प के लिए गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन खोजें।

समाधान। आइए हम दिखाते हैं कि तीसरे विकल्प के लिए इन मात्राओं की गणना कैसे की जाती है:

तालिका सभी विकल्पों के लिए पाए गए मानों को सारांशित करती है।

सभी विकल्पों की गणितीय अपेक्षा समान होती है। इसका मतलब है कि लंबे समय में सभी की आय समान है। मानक विचलन की व्याख्या जोखिम के माप के रूप में की जा सकती है - यह जितना बड़ा होगा, निवेश का जोखिम उतना ही अधिक होगा। एक निवेशक जो बहुत अधिक जोखिम लेने को तैयार नहीं है, वह प्रोजेक्ट 1 का चयन करेगा क्योंकि इसमें सबसे कम है मानक विचलन(0)। यदि निवेशक कम अवधि में जोखिम और उच्च रिटर्न को प्राथमिकता देता है, तो वह सबसे बड़े मानक विचलन वाली परियोजना का चयन करेगा - परियोजना 4।

फैलाव गुण

आइए हम परिक्षेपण के गुणों को प्रस्तुत करें।

संपत्ति 1.एक स्थिर मान का फैलाव शून्य है:

संपत्ति 2.अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से चुकता करके निकाला जा सकता है:

.

संपत्ति 3.एक यादृच्छिक चर का विचरण इस मान के वर्ग की गणितीय अपेक्षा के बराबर होता है, जिसमें से मान की गणितीय अपेक्षा का वर्ग ही घटाया जाता है:

,

कहाँ पे .

संपत्ति 4.यादृच्छिक चरों के योग (अंतर) का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग (अंतर) के बराबर होता है:

उदाहरण 7यह ज्ञात है कि एक असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है: −3 और 7. इसके अलावा, गणितीय अपेक्षा ज्ञात है: इ(एक्स) = 4। एक असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

समाधान। द्वारा निरूपित करें पीवह प्रायिकता जिसके साथ एक यादृच्छिक चर मान लेता है एक्स1 = −3 . तब मान की प्रायिकता एक्स2 = 7 1 − . होगा पी. आइए गणितीय अपेक्षा के लिए समीकरण प्राप्त करें:

इ(एक्स) = एक्स 1 पी + एक्स 2 (1 − पी) = −3पी + 7(1 − पी) = 4 ,

जहां हमें संभावनाएं मिलती हैं: पी= 0.3 और 1 − पी = 0,7 .

यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:

एक्स	−3	7
पी	0,3	0,7

हम प्रसरण के गुण 3 से सूत्र का उपयोग करके इस यादृच्छिक चर के प्रसरण की गणना करते हैं:

डी(एक्स) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा स्वयं खोजें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 8असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है। यह 0.4 की प्रायिकता के साथ 3 का बड़ा मान लेता है। इसके अलावा, यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात है डी(एक्स) = 6। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं।

उदाहरण 9एक कलश में 6 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। कलश से 3 गेंदें ली जाती हैं। खींची गई गेंदों के बीच सफेद गेंदों की संख्या एक असतत यादृच्छिक चर है एक्स. इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।

समाधान। यादृच्छिक मूल्य एक्स 0, 1, 2, 3 मान ले सकते हैं। संबंधित संभावनाओं की गणना की जा सकती है प्रायिकताओं के गुणन का नियम. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:

एक्स	0	1	2	3
पी	1/30	3/10	1/2	1/6

इसलिए इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा:

एम(एक्स) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

किसी दिए गए यादृच्छिक चर का प्रसरण है:

डी(एक्स) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और फैलाव

एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की यांत्रिक व्याख्या एक ही अर्थ को बरकरार रखेगी: घनत्व के साथ एक्स-अक्ष पर लगातार वितरित एक इकाई द्रव्यमान के लिए द्रव्यमान का केंद्र एफ(एक्स) एक असतत यादृच्छिक चर के विपरीत, जिसके लिए फ़ंक्शन तर्क एक्समैंएक सतत यादृच्छिक चर के लिए अचानक परिवर्तन, तर्क लगातार बदलता रहता है। लेकिन एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा भी इसके माध्य मान से संबंधित है।

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण को खोजने के लिए, आपको निश्चित समाकलों को खोजने की आवश्यकता है . यदि एक सतत यादृच्छिक चर का घनत्व फलन दिया जाता है, तो यह सीधे समाकलन में प्रवेश करता है। यदि एक प्रायिकता बंटन फलन दिया गया है, तो उसे विभेदित करके, आपको घनत्व फलन ज्ञात करना होगा।

सभी का अंकगणितीय औसत संभावित मानसतत यादृच्छिक चर कहलाता है गणितीय अपेक्षा, या द्वारा निरूपित।

यह पृष्ठ विचरण को खोजने के एक मानक उदाहरण का वर्णन करता है, आप इसे खोजने के लिए अन्य कार्यों को भी देख सकते हैं

उदाहरण 1. समूह का निर्धारण, समूह का औसत, समूह के बीच और कुल विचरण

उदाहरण 2. एक समूहन तालिका में प्रसरण और विचरण का गुणांक ज्ञात करना

उदाहरण 3. असतत श्रेणी में प्रसरण ज्ञात करना

उदाहरण 4. हमारे पास 20 छात्रों के समूह के लिए निम्नलिखित डेटा है पत्राचार विभाग. निर्माण करने की आवश्यकता है अंतराल श्रृंखलाएक विशेषता का वितरण, एक विशेषता के औसत मूल्य की गणना करें और इसके विचरण का अध्ययन करें

आइए एक अंतराल समूह बनाते हैं। आइए सूत्र द्वारा अंतराल की सीमा निर्धारित करें:

जहां एक्स मैक्स ग्रुपिंग फीचर का अधिकतम मूल्य है;
X मिनट समूहीकरण सुविधा का न्यूनतम मान है;
n अंतराल की संख्या है:

हम एन = 5 स्वीकार करते हैं। चरण है: ज \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6.6

आइए एक अंतराल समूह बनाते हैं

आगे की गणना के लिए, हम एक सहायक तालिका बनाएंगे:

X "i - अंतराल का मध्य। (उदाहरण के लिए, अंतराल के मध्य 159 - 165.6 \u003d 162.3)

छात्रों की औसत वृद्धि अंकगणितीय भारित औसत के सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

हम सूत्र द्वारा फैलाव निर्धारित करते हैं:

सूत्र को इस प्रकार परिवर्तित किया जा सकता है:

इस सूत्र से यह इस प्रकार है कि भिन्नता है विकल्पों के वर्गों के माध्य और वर्ग और माध्य के बीच का अंतर।

भिन्नता श्रृंखला में भिन्नताक्षणों की विधि के अनुसार समान अंतराल के साथ, फैलाव की दूसरी संपत्ति का उपयोग करके निम्नलिखित तरीके से गणना की जा सकती है (अंतराल के मूल्य से सभी विकल्पों को विभाजित करना)। विचरण की परिभाषा, क्षणों की विधि द्वारा गणना, निम्न सूत्र के अनुसार कम समय लगता है:

जहां i अंतराल का मान है;
ए - सशर्त शून्य, जो उच्चतम आवृत्ति के साथ अंतराल के मध्य का उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है;
m1 पहले क्रम के क्षण का वर्ग है;
एम 2 - दूसरे क्रम का क्षण

फ़ीचर विचरण (यदि सांख्यिकीय जनसंख्या में विशेषता इस तरह से बदलती है कि केवल दो परस्पर अनन्य विकल्प हैं, तो ऐसी परिवर्तनशीलता को वैकल्पिक कहा जाता है) की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

इस फैलाव सूत्र q = 1-p में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

फैलाव के प्रकार

कुल विचरणइस भिन्नता का कारण बनने वाले सभी कारकों के प्रभाव में संपूर्ण जनसंख्या पर एक विशेषता की भिन्नता को मापता है। यह कुल माध्य मान x से फीचर x के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है और इसे साधारण विचरण या भारित विचरण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

इंट्राग्रुप विचरण यादृच्छिक भिन्नता की विशेषता है, अर्थात। भिन्नता का एक भाग, जो कारकों के लिए बेहिसाब प्रभाव के कारण होता है और समूह में अंतर्निहित विशेषता-कारक पर निर्भर नहीं करता है। ऐसा विचरण समूह के अंकगणितीय माध्य से X समूह के भीतर एक विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन के माध्य वर्ग के बराबर है और इसकी गणना एक साधारण विचरण या भारित विचरण के रूप में की जा सकती है।

इस तरह, समूह के भीतर विचरण के उपायएक समूह के भीतर एक विशेषता की भिन्नता और सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

जहां xi - समूह औसत;
नी समूह में इकाइयों की संख्या है।

उदाहरण के लिए, एक दुकान में श्रम उत्पादकता के स्तर पर श्रमिकों की योग्यता के प्रभाव का अध्ययन करने के कार्य में निर्धारित किए जाने वाले अंतर-समूह भिन्नताएं सभी संभावित कारकों (उपकरण की तकनीकी स्थिति) के कारण प्रत्येक समूह में उत्पादन में भिन्नता दिखाती हैं। उपकरणों और सामग्रियों की उपलब्धता, श्रमिकों की आयु, श्रम की तीव्रता, आदि), में अंतर को छोड़कर योग्यता श्रेणी(एक समूह के भीतर, सभी श्रमिकों की योग्यता समान होती है)।

हालांकि, यादृच्छिक चर के अध्ययन के लिए अकेले यह विशेषता अभी तक पर्याप्त नहीं है। दो निशानेबाजों की कल्पना करें जो एक लक्ष्य पर शूटिंग कर रहे हैं। एक सटीक रूप से शूट करता है और केंद्र के करीब हिट करता है, और दूसरा ... केवल मज़े करना और लक्ष्य बनाना भी नहीं। लेकिन मजे की बात यह है कि औसतपरिणाम बिल्कुल पहले शूटर जैसा ही होगा! यह स्थिति सशर्त रूप से निम्नलिखित यादृच्छिक चर द्वारा सचित्र है:

"स्नाइपर" गणितीय अपेक्षा के बराबर है, हालांकि, "दिलचस्प व्यक्ति" के लिए: - यह भी शून्य है!

इस प्रकार, यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कितनी दूर छितरा हुआलक्ष्य (उम्मीद) के केंद्र के सापेक्ष गोलियां (एक यादृच्छिक चर के मान)। ठीक और बिखरनेलैटिन से केवल के रूप में अनुवादित फैलाव .

आइए देखें कि पाठ के पहले भाग के उदाहरणों में से एक में यह संख्यात्मक विशेषता कैसे निर्धारित की जाती है:

वहां हमें इस खेल की निराशाजनक गणितीय अपेक्षा मिली, और अब हमें इसके विचरण की गणना करनी है, जो लक्षितके माध्यम से ।

आइए जानें कि औसत मूल्य के सापेक्ष जीत/हार कितनी दूर "बिखरे हुए" हैं। जाहिर है, इसके लिए हमें गणना करने की आवश्यकता है मतभेदके बीच एक यादृच्छिक चर के मूल्यऔर उसकी गणितीय अपेक्षा:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

अब परिणामों का योग करना आवश्यक प्रतीत होता है, लेकिन यह तरीका अच्छा नहीं है - इस कारण से कि बाईं ओर के दोलन एक दूसरे को दाईं ओर के दोलनों के साथ रद्द कर देंगे। तो, उदाहरण के लिए, "शौकिया" शूटर (उपरोक्त उदाहरण)मतभेद हो जाएगा , और जब जोड़ा जाएगा तो वे शून्य देंगे, इसलिए हमें उसकी शूटिंग के बिखरने का कोई अनुमान नहीं मिलेगा।

इस झुंझलाहट को दूर करने के लिए, विचार करें मॉड्यूलमतभेद, लेकिन तकनीकी कारणजब वे चुकता हो जाते हैं तो दृष्टिकोण ने जड़ें जमा ली हैं। तालिका में समाधान की व्यवस्था करना अधिक सुविधाजनक है:

और यहाँ यह गणना करने के लिए भीख माँगता है भारित औसतवर्ग विचलन का मान। यह क्या है? यह उनका है अपेक्षित मूल्य, जो बिखरने का उपाय है:

– परिभाषाफैलाव। परिभाषा से यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि विचरण ऋणात्मक नहीं हो सकता- अभ्यास के लिए ध्यान दें!

आइए याद रखें कि अपेक्षा कैसे प्राप्त करें। चुकता अंतरों को संबंधित संभावनाओं से गुणा करें (तालिका निरंतरता):
- लाक्षणिक रूप से बोलना, यह "कर्षण बल" है,
और परिणामों को सारांशित करें:

क्या आपको नहीं लगता कि जीत की पृष्ठभूमि में परिणाम बहुत बड़ा निकला? यह सही है - हम वर्ग कर रहे थे, और अपने खेल के आयाम पर लौटने के लिए, हमें वर्गमूल लेने की आवश्यकता है। इस मान को कहा जाता है मानक विचलन और ग्रीक अक्षर "सिग्मा" द्वारा दर्शाया गया है:

कभी-कभी इस अर्थ को कहा जाता है मानक विचलन .

इसका अर्थ क्या है? यदि हम गणितीय अपेक्षा से बाईं ओर और दाईं ओर माध्य से विचलन करते हैं मानक विचलन:

- तो इस अंतराल पर यादृच्छिक चर के सबसे संभावित मान "केंद्रित" होंगे। हम वास्तव में क्या देख रहे हैं:

हालांकि, ऐसा हुआ कि बिखरने के विश्लेषण में लगभग हमेशा फैलाव की अवधारणा के साथ काम करते हैं। आइए देखें कि खेलों के संबंध में इसका क्या अर्थ है। यदि निशानेबाजों के मामले में हम लक्ष्य के केंद्र के सापेक्ष हिट की "सटीकता" के बारे में बात कर रहे हैं, तो यहां फैलाव दो चीजों की विशेषता है:

सबसे पहले, यह स्पष्ट है कि जैसे-जैसे दरें बढ़ती हैं, विचरण भी बढ़ता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि हम 10 गुना वृद्धि करते हैं, तो गणितीय अपेक्षा 10 गुना बढ़ जाएगी, और विचरण 100 गुना बढ़ जाएगा (जैसे ही यह एक द्विघात मान होता है). लेकिन ध्यान दें कि खेल के नियम नहीं बदले हैं! केवल दरें बदल गई हैं, मोटे तौर पर बोलते हुए, हम 10 रूबल की शर्त लगाते थे, अब 100।

दूसरा, अधिक दिलचस्प बिंदु यह है कि विचरण खेल की शैली की विशेषता है। खेल दरों को मानसिक रूप से ठीक करें किसी निश्चित स्तर पर, और देखें कि यहाँ क्या है:

एक कम विचरण खेल एक सतर्क खेल है। खिलाड़ी सबसे विश्वसनीय योजनाओं का चयन करता है, जहां वह एक समय में बहुत अधिक नहीं हारता/जीतता है। उदाहरण के लिए, रूले में लाल/काली प्रणाली (लेख का उदाहरण 4 देखें यादृच्छिक चर) .

उच्च विचरण खेल। उसे अक्सर कहा जाता है फैलावखेल। यह खेल की एक साहसिक या आक्रामक शैली है जहां खिलाड़ी "एड्रेनालाईन" योजनाओं को चुनता है। चलो कम से कम याद करते हैं "मार्टिंगेल", जिसमें दांव पर लगी रकम पिछले पैराग्राफ के "शांत" खेल से अधिक परिमाण के आदेश हैं।

पोकर में स्थिति सांकेतिक है: तथाकथित हैं तंगजो खिलाड़ी सतर्क रहते हैं और अपने खेल कोष से "हिलाते" हैं (बैंकरोल). आश्चर्य नहीं कि उनके बैंकरोल में ज्यादा उतार-चढ़ाव नहीं होता (कम विचरण)। इसके विपरीत, यदि किसी खिलाड़ी का विचरण अधिक है, तो वह आक्रामक है। वह अक्सर जोखिम लेता है, बड़े दांव लगाता है और दोनों एक बड़े बैंक को तोड़ सकता है और टुकड़ों में जा सकता है।

विदेशी मुद्रा में भी यही होता है, और इसी तरह - बहुत सारे उदाहरण हैं।

इसके अलावा, सभी मामलों में इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि खेल एक पैसे के लिए है या हजारों डॉलर के लिए है। हर स्तर के अपने निम्न और उच्च विचरण वाले खिलाड़ी होते हैं। खैर, औसत जीत के लिए, जैसा कि हम याद करते हैं, "जिम्मेदार" अपेक्षित मूल्य.

आपने शायद ध्यान दिया होगा कि विचरण का पता लगाना एक लंबी और श्रमसाध्य प्रक्रिया है। लेकिन गणित उदार है:

प्रसरण ज्ञात करने का सूत्र

यह सूत्र सीधे विचरण की परिभाषा से लिया गया है, और हम इसे तुरंत प्रचलन में लाते हैं। मैं ऊपर से हमारे खेल के साथ प्लेट की नकल करूंगा:

और मिली उम्मीद।

हम दूसरे तरीके से विचरण की गणना करते हैं। सबसे पहले, आइए गणितीय अपेक्षा खोजें - यादृच्छिक चर का वर्ग। द्वारा गणितीय अपेक्षा की परिभाषा:

इस मामले में:

इस प्रकार, सूत्र के अनुसार:

जैसा कि वे कहते हैं, अंतर महसूस करें। और व्यवहार में, निश्चित रूप से, सूत्र को लागू करना बेहतर है (जब तक कि शर्त की आवश्यकता न हो)।

हम हल करने और डिजाइन करने की तकनीक में महारत हासिल करते हैं:

उदाहरण 6

इसकी गणितीय अपेक्षा, प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

यह कार्य हर जगह पाया जाता है, और, एक नियम के रूप में, सार्थक अर्थ के बिना चला जाता है।
आप संख्या के साथ कई प्रकाश बल्बों की कल्पना कर सकते हैं जो कुछ संभावनाओं के साथ पागलखाने में प्रकाश करते हैं :)

समाधान: तालिका में मुख्य गणनाओं को संक्षेप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है। सबसे पहले, हम प्रारंभिक डेटा को शीर्ष दो पंक्तियों में लिखते हैं। फिर हम उत्पादों की गणना करते हैं, फिर और अंत में सही कॉलम में रकम:

दरअसल, लगभग सब कुछ तैयार है। तीसरी पंक्ति में, एक तैयार गणितीय अपेक्षा तैयार की गई थी: .

फैलाव की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

और अंत में, मानक विचलन:
- व्यक्तिगत रूप से, मैं आमतौर पर 2 दशमलव स्थानों तक घूमता हूं।

सभी गणना एक कैलकुलेटर पर की जा सकती है, और इससे भी बेहतर - एक्सेल में:

यहां गलत होना मुश्किल है :)

उत्तर:

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कार्यों की एक जोड़ी स्वतंत्र समाधान:

उदाहरण 7

परिभाषा के अनुसार पिछले उदाहरण के यादृच्छिक चर के प्रसरण की गणना करें।

और एक समान उदाहरण:

उदाहरण 8

एक असतत यादृच्छिक चर अपने स्वयं के वितरण कानून द्वारा दिया जाता है:

हां, यादृच्छिक चर के मान काफी बड़े हो सकते हैं (से उदाहरण असली काम) , और यहां, यदि संभव हो तो, एक्सेल का उपयोग करें। वैसे, उदाहरण 7 में - यह तेज़, अधिक विश्वसनीय और अधिक सुखद है।

समाधान और उत्तर पृष्ठ के निचले भाग में।

पाठ के दूसरे भाग के अंत में, हम एक और विशिष्ट कार्य का विश्लेषण करेंगे, एक छोटा रिबास भी कह सकता है:

उदाहरण 9

एक असतत यादृच्छिक चर केवल दो मान ले सकता है: और , तथा । संभाव्यता, गणितीय अपेक्षा और विचरण ज्ञात हैं।

समाधान: आइए अज्ञात संभावना से शुरू करते हैं। चूंकि एक यादृच्छिक चर केवल दो मान ले सकता है, तो संबंधित घटनाओं की संभावनाओं का योग:

और तब से ।

यह खोजना बाकी है ..., कहना आसान है :) लेकिन ओह ठीक है, यह शुरू हो गया। गणितीय अपेक्षा की परिभाषा के अनुसार:
- ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें:

- और इस समीकरण से और कुछ नहीं निकाला जा सकता है, सिवाय इसके कि आप इसे सामान्य दिशा में फिर से लिख सकते हैं:

या:

आगे की कार्रवाइयों के बारे में, मुझे लगता है कि आप अनुमान लगा सकते हैं। आइए सिस्टम बनाएं और हल करें:

दशमलव- यह, ज़ाहिर है, एक पूर्ण अपमान है; दोनों समीकरणों को 10 से गुणा करें:

और 2 से विभाजित करें:

यह ज़्यादा बेहतर है। पहले समीकरण से हम व्यक्त करते हैं:
(यह आसान तरीका है)- दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें:

हम निर्माण कर रहे हैं वर्गऔर सरलीकरण करें:

हम इससे गुणा करते हैं:

नतीजतन, द्विघात समीकरण, इसका विभेदक ज्ञात कीजिए:
- उत्तम!

और हमें दो समाधान मिलते हैं:

1) अगर , फिर ;

2) अगर , फिर ।

मूल्यों की पहली जोड़ी शर्त को संतुष्ट करती है। उच्च संभावना के साथ, सब कुछ सही है, लेकिन, फिर भी, हम वितरण कानून लिखते हैं:

और एक जाँच करें, अर्थात्, अपेक्षा का पता लगाएं:

यदि अध्ययन के तहत जनसंख्या को समूहों में विभाजित किया जाता है, तो इस जनसंख्या के लिए निम्नलिखित प्रकार के फैलाव की गणना की जा सकती है: कुल, समूह (इंट्राग्रुप), समूह औसत (इंट्राग्रुप का औसत), इंटरग्रुप।

प्रारंभ में, यह निर्धारण के गुणांक की गणना करता है, जो दर्शाता है कि अध्ययन किए गए गुण की कुल भिन्नता का कौन सा हिस्सा अंतरसमूह भिन्नता है, यानी। समूहीकरण के कारण:

अनुभवजन्य सहसंबंध अनुपात समूह (फैक्टोरियल) और प्रभावी संकेतों के बीच संबंध की निकटता को दर्शाता है।

अनुभवजन्य सहसंबंध अनुपात 0 से 1 तक मान ले सकता है।

अनुभवजन्य सहसंबंध अनुपात के आधार पर रिश्ते की निकटता का आकलन करने के लिए, आप चाडॉक संबंधों का उपयोग कर सकते हैं:

उदाहरण 4डिजाइन और सर्वेक्षण संगठनों द्वारा काम के प्रदर्शन पर निम्नलिखित आंकड़े हैं: अलगआकारसंपत्ति:

परिभाषित करना:

1) कुल विचरण;

2) समूह फैलाव;

3) समूह फैलाव का औसत;

4) इंटरग्रुप फैलाव;

5) प्रसरण जोड़ने के नियम के आधार पर कुल प्रसरण;

6) निर्धारण और अनुभवजन्य सहसंबंध का गुणांक।

अपने निष्कर्ष निकालें।

समाधान:

1. स्वामित्व के दो रूपों के उद्यमों द्वारा किए गए कार्य की औसत मात्रा निर्धारित करें:

कुल विचरण की गणना करें:

2. समूह औसत परिभाषित करें:

मिलियन रूबल;

एमएलएन रगड़।

समूह भिन्नताएं:

;

3. समूह प्रसरणों के औसत की गणना करें:

4. अंतरसमूह विचरण का निर्धारण करें:

5. प्रसरण जोड़ने के नियम के आधार पर कुल प्रसरण की गणना करें:

6. निर्धारण का गुणांक निर्धारित करें:

.

इस प्रकार, डिजाइन और सर्वेक्षण संगठनों द्वारा किए गए कार्य की मात्रा 22% उद्यमों के स्वामित्व के रूप पर निर्भर करती है।

अनुभवजन्य सहसंबंध अनुपात की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

.

परिकलित संकेतक का मूल्य इंगित करता है कि उद्यम के स्वामित्व के रूप में काम की मात्रा की निर्भरता कम है।

उदाहरण 5उत्पादन स्थलों के तकनीकी अनुशासन के सर्वेक्षण के परिणामस्वरूप, निम्नलिखित आंकड़े प्राप्त हुए:

निर्धारण का गुणांक निर्धारित करें

फैलावअनियमित चर- किसी दिए गए के फैलाव का एक उपाय अनियमित चर, वह है, वह विचलनगणितीय अपेक्षा से। आँकड़ों में, विचरण को दर्शाने के लिए अक्सर अंकन (सिग्मा वर्ग) का उपयोग किया जाता है। प्रसरण का वर्गमूल कहलाता है मानक विचलनया मानक प्रसार। मानक विचलन को उन्हीं इकाइयों में मापा जाता है जो यादृच्छिक चर के रूप में होती हैं, और विचरण को उस इकाई के वर्गों में मापा जाता है।

यद्यपि पूरे नमूने का अनुमान लगाने के लिए केवल एक मान (जैसे माध्य या मोड और माध्यिका) का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक है, यह दृष्टिकोण आसानी से गलत निष्कर्ष निकाल सकता है। इस स्थिति का कारण स्वयं मूल्य में नहीं है, बल्कि यह तथ्य है कि एक मान किसी भी तरह से डेटा मूल्यों के प्रसार को नहीं दर्शाता है।

उदाहरण के लिए, नमूने में:

औसत 5 है।

हालांकि, नमूने में 5 के मान के साथ कोई तत्व नहीं है। आपको यह जानने की आवश्यकता हो सकती है कि नमूने का प्रत्येक तत्व अपने औसत मूल्य के कितना करीब है। या, दूसरे शब्दों में, आपको मूल्यों के प्रसरण को जानना होगा। डेटा किस हद तक बदल गया है, यह जानकर आप बेहतर व्याख्या कर सकते हैं अर्थ, मंझलातथा फ़ैशन. नमूना मूल्यों में परिवर्तन की डिग्री उनके विचरण और मानक विचलन की गणना करके निर्धारित की जाती है।

विचरण और विचरण का वर्गमूल, जिसे मानक विचलन कहा जाता है, नमूना माध्य से माध्य विचलन की विशेषता है। इन दो राशियों में सबसे महत्वपूर्ण है मानक विचलन. इस मान को उस औसत दूरी के रूप में दर्शाया जा सकता है जिस पर तत्व नमूने के मध्य तत्व से हैं।

विक्षेपण की अर्थपूर्ण व्याख्या करना कठिन है। हालांकि, इस मान का वर्गमूल मानक विचलन है और व्याख्या के लिए अच्छी तरह से उधार देता है।

मानक विचलन की गणना पहले विचरण का निर्धारण करके और फिर प्रसरण के वर्गमूल की गणना करके की जाती है।

उदाहरण के लिए, चित्र में दिखाए गए डेटा सरणी के लिए, निम्नलिखित मान:

चित्र 1

यहाँ, वर्ग अंतर का माध्य 717.43 है। मानक विचलन प्राप्त करने के लिए इस संख्या का वर्गमूल निकालना ही शेष रह जाता है।

परिणाम लगभग 26.78 होगा।

यह याद रखना चाहिए कि मानक विचलन की व्याख्या उस औसत दूरी के रूप में की जाती है जिस पर तत्व नमूना माध्य से होते हैं।

मानक विचलन दर्शाता है कि माध्य पूरे नमूने का कितनी अच्छी तरह वर्णन करता है।

मान लीजिए कि आप एक पीसी को असेंबल करने के लिए उत्पादन विभाग के प्रमुख हैं। तिमाही रिपोर्ट कहती है कि पिछली तिमाही का आउटपुट 2500 पीसी था। यह बुरा है या अच्छा? आपने रिपोर्ट में इस डेटा के लिए मानक विचलन प्रदर्शित करने के लिए कहा (या रिपोर्ट में पहले से ही यह कॉलम है)। मानक विचलन संख्या, उदाहरण के लिए, 2000 है। विभाग के प्रमुख के रूप में यह आपके लिए स्पष्ट हो जाता है कि उत्पादन लाइन को बेहतर नियंत्रण की आवश्यकता है (पीसी की संख्या में बहुत अधिक विचलन इकट्ठा किया जा रहा है)।

याद रखें कि जब मानक विचलन बड़ा होता है, तो डेटा व्यापक रूप से माध्य के चारों ओर बिखरा होता है, और जब मानक विचलन छोटा होता है, तो यह माध्य के करीब होता है।

चार सांख्यिकीय कार्य VARP (), VARP (), STDEV () और STDEV () को कोशिकाओं की एक श्रेणी में संख्याओं के विचरण और मानक विचलन की गणना करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। इससे पहले कि आप किसी डेटा सेट के विचरण और मानक विचलन की गणना कर सकें, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि डेटा जनसंख्या का प्रतिनिधित्व करता है या जनसंख्या का एक नमूना। सामान्य जनसंख्या से नमूने के मामले में, VARP() और STDEV() फ़ंक्शंस का उपयोग किया जाना चाहिए, और सामान्य जनसंख्या के मामले में, VARP() और STDEV() फ़ंक्शंस का उपयोग किया जाना चाहिए:

जनसंख्या	समारोह
	वीएआरपी ()
	एसटीडीएलॉन्ग ()
नमूना
	वारी ()
	एसटीडीईवी ()

फैलाव (साथ ही मानक विचलन), जैसा कि हमने नोट किया, इंगित करता है कि डेटा सेट में शामिल मान अंकगणितीय माध्य के आसपास किस हद तक बिखरे हुए हैं।

विचरण या मानक विचलन का एक छोटा मान इंगित करता है कि सभी डेटा अंकगणितीय माध्य के आसपास केंद्रित है, और इन मानों का एक बड़ा मान इंगित करता है कि डेटा मानों की एक विस्तृत श्रृंखला में बिखरा हुआ है।

विचरण को सार्थक रूप से व्याख्या करना कठिन है (एक छोटे मूल्य का क्या अर्थ है, एक बड़ा मूल्य?) प्रदर्शन कार्य 3आपको ग्राफ़ पर नेत्रहीन रूप से डेटा सेट के लिए विचरण का अर्थ दिखाने की अनुमति देगा।

कार्य

· अभ्यास 1।

· 2.1. अवधारणाएं दें: भिन्नता और मानक विचलन; सांख्यिकीय डेटा प्रोसेसिंग में उनका प्रतीकात्मक पदनाम।

· 2.2. चित्र 1 के अनुसार एक वर्कशीट तैयार करें और आवश्यक गणना करें।

· 2.3. परिकलनों में प्रयुक्त होने वाले मूल सूत्र दीजिए

· 2.4. सभी संकेतन की व्याख्या करें ( , , )

· 2.5. समझाना व्यावहारिक मूल्यविचरण और मानक विचलन की अवधारणा।

कार्य 2.

1.1. अवधारणाएं दें: सामान्य जनसंख्या और नमूना; सांख्यिकीय डेटा प्रोसेसिंग में उनके प्रतीकात्मक पदनाम की गणितीय अपेक्षा और अंकगणितीय माध्य।

1.2. चित्र 2 के अनुसार, एक वर्कशीट तैयार करें और गणना करें।

1.3. परिकलनों में प्रयुक्त होने वाले मूल सूत्र (सामान्य जनसंख्या तथा प्रतिदर्श के लिए) दीजिए।

चित्र 2

1.4. समझाएं कि नमूने में अंकगणितीय साधनों के ऐसे मान 46.43 और 48.78 के रूप में प्राप्त करना क्यों संभव है (देखें फ़ाइल परिशिष्ट)। समाप्त करने के लिए।

कार्य 3.

डेटा के एक अलग सेट के साथ दो नमूने हैं, लेकिन उनके लिए औसत समान होगा:

चित्र तीन

3.1. चित्र 3 के अनुसार एक वर्कशीट तैयार करें और आवश्यक गणना करें।

3.2. मूल गणना सूत्र दें।

3.3. चित्र 4, 5 के अनुसार आलेख बनाएँ।

3.4. परिणामी निर्भरता की व्याख्या करें।

3.5. इन दो नमूनों के लिए समान गणना करें।

प्रारंभिक नमूना 11119999

दूसरे नमूने के मूल्यों का चयन करें ताकि दूसरे नमूने के लिए अंकगणितीय माध्य समान हो, उदाहरण के लिए:

दूसरे नमूने के लिए मान स्वयं चुनें। गणनाओं को व्यवस्थित करें और अंक 3, 4, 5 की तरह प्लॉटिंग करें। मुख्य सूत्र दिखाएँ जो गणना में उपयोग किए गए थे।

उपयुक्त निष्कर्ष निकालें।

सभी कार्यों को सभी आवश्यक आंकड़े, ग्राफ, सूत्र और संक्षिप्त स्पष्टीकरण के साथ एक रिपोर्ट के रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए।

नोट: ग्राफ के निर्माण को आंकड़ों और संक्षिप्त व्याख्याओं के साथ समझाया जाना चाहिए।