परिधि 25 सेमी क्या व्यास। व्यास और त्रिज्या का उपयोग करके किसी वृत्त की परिधि कैसे ज्ञात करें। शब्दावली, मूल सूत्र और आकृति का लक्षण वर्णन

चलो एक घेरा लेते हैं। कम्पास के पैर को सुई के साथ बिंदु "O" पर सेट करें, और हम इस बिंदु के चारों ओर कम्पास के पैर को पेंसिल से घुमाएंगे। इस प्रकार, हमें एक बंद रेखा प्राप्त होती है। यह बंद रेखा कहलाती है घेरा.

आइए सर्कल पर करीब से नज़र डालें। आइए जानें कि एक वृत्त का केंद्र, त्रिज्या और व्यास किसे कहते हैं।

• ( )O को वृत्त का केंद्र कहा जाता है।
• केंद्र और वृत्त पर किसी भी बिंदु को जोड़ने वाले रेखा खंड को कहा जाता है वृत्त त्रिज्या. वृत्त की त्रिज्या को "R" अक्षर से निरूपित किया जाता है। ऊपर की आकृति में, यह खंड है " OA».
• एक रेखा खंड जो एक वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ता है और उसके केंद्र से होकर गुजरता है, कहलाता है चक्र व्यास.

  वृत्त के व्यास को "D" अक्षर से दर्शाया जाता है। ऊपर की आकृति में, यह खंड है " ईसा पूर्व».

  चित्र यह भी दर्शाता है कि व्यास दो त्रिज्याओं के बराबर है। इसलिए, अभिव्यक्ति "डी \u003d 2 आर" सत्य है।

संख्या π और परिधि

इससे पहले कि आप यह समझें कि परिधि की गणना कैसे की जाती है, आपको यह पता लगाना होगा कि संख्या π ("पाई" के रूप में पढ़ें) क्या है, जिसका अक्सर पाठों में उल्लेख किया गया है।

गणित के दिनों में वापस प्राचीन ग्रीसवृत्त का ध्यानपूर्वक अध्ययन किया और इस निष्कर्ष पर पहुँचा कि परिधि और उसका व्यास आपस में जुड़े हुए हैं।

याद करना!

किसी वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात सभी वृत्तों के लिए समान होता है और इसे ग्रीक अक्षर π ("Pi") से निरूपित किया जाता है।
π ≈ 3.14…

पाई संख्याओं को संदर्भित करता है सही मूल्यजिसका उपयोग करके रिकॉर्ड नहीं किया जा सकता है साधारण अंश, न ही साथ दशमलव भाग. हमारी गणना के लिए हमारे लिए π के मान का उपयोग करना पर्याप्त है,
सौवें स्थान पर गोलπ ≈ 3.14…

अब, यह जानकर कि π संख्या क्या है, हम एक वृत्त की परिधि के लिए सूत्र लिख सकते हैं।

याद करना!

परिधिसंख्या π और वृत्त के व्यास का गुणनफल है। परिधि को अक्षर "सी" ("त्से" के रूप में पढ़ें) द्वारा इंगित किया गया है।
सी = π डी
सी = 2π आर, डी = 2 आर के बाद से

किसी वृत्त की परिधि कैसे ज्ञात करें

अधिग्रहीत ज्ञान को समेकित करने के लिए, हम समस्या को एक वृत्त पर हल करते हैं।

विलेनकिन छठी कक्षा। कमरा 831

कार्य:

एक वृत्त की लंबाई ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 24 सेमी है। संख्या π को सौवें भाग तक गोल करें।

हम एक वृत्त की परिधि के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

सी = 2π आर ≈ 2 3.14 24 ≈ 150.72 सेमी

जब हम एक वृत्त की परिधि जानते हैं, और हमें इसका व्यास ज्ञात करने के लिए कहा जाता है, तो आइए व्युत्क्रम समस्या का विश्लेषण करें।

विलेनकिन छठी कक्षा। कमरा 835

कार्य:

वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए यदि इसकी लंबाई 56.52 dm है। (π ≈ 3.14 )।

हम व्यास को वृत्त की परिधि के सूत्र से व्यक्त करते हैं।

सी = π डी
डी \u003d सी / π
डी = 56.52 / 3.14 = 18डीएम

राग और वृत्ताकार चाप

नीचे दी गई आकृति में, हम वृत्त "A" और "B" पर दो बिंदु अंकित करते हैं। ये बिंदु वृत्त को दो भागों में विभाजित करते हैं, जिनमें से प्रत्येक को कहा जाता है आर्क. यह नीला चाप "एबी" और काला चाप "एबी" है। अंक "ए" और "बी" कहलाते हैं चाप समाप्त होता है.

और घेरा - ज्यामितीय आंकड़े, आपस में जुड़ा हुआ। एक सीमा पॉलीलाइन (वक्र) है घेरा,

परिभाषा। एक वृत्त एक बंद वक्र है, जिसका प्रत्येक बिंदु वृत्त के केंद्र कहे जाने वाले बिंदु से समान दूरी पर होता है।

एक वृत्त का निर्माण करने के लिए, एक मनमाना बिंदु O चुना जाता है, वृत्त के केंद्र के रूप में लिया जाता है, और कम्पास का उपयोग करके एक बंद रेखा खींची जाती है।

यदि वृत्त के केंद्र का बिंदु O वृत्त पर मनमाने बिंदुओं से जुड़ा है, तो सभी परिणामी खंड एक दूसरे के बराबर होंगे, और ऐसे खंडों को त्रिज्या कहा जाता है, जिसे लैटिन छोटे या बड़े अक्षर "एर" द्वारा संक्षिप्त किया जाता है ( आरया आर). एक वृत्त में उतनी ही त्रिज्याएँ होती हैं जितनी परिधि में बिंदु होते हैं।

एक वृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ने और उसके केंद्र से गुजरने वाले रेखा खंड को व्यास कहा जाता है। व्यासदो के होते हैं त्रिज्याएक ही सीधी रेखा पर लेटा हुआ। व्यास को लैटिन के छोटे या बड़े अक्षर "डी" ( डीया डी).

नियम। व्यासवृत्त इसके दो के बराबर है त्रिज्या.

डी = 2आर
डी = 2आर

परिधि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है और यह वृत्त की त्रिज्या (व्यास) पर निर्भर करती है। सूत्र में संख्या ¶ होती है, जो दर्शाती है कि किसी वृत्त की परिधि उसके व्यास से कितनी गुना अधिक है। संख्या ¶ में दशमलव स्थानों की अनंत संख्या होती है। गणना के लिए इसे ¶ = 3.14 स्वीकार किया जाता है।

एक वृत्त की परिधि को लैटिन कैपिटल लेटर "सीई" ( सी). एक वृत्त की परिधि उसके व्यास के समानुपाती होती है। किसी वृत्त की त्रिज्या और व्यास द्वारा उसकी परिधि की गणना करने के सूत्र:

सी = ¶डी
सी = 2आर

• उदाहरण
• दिया गया है: d = 100 सेमी.
• परिधि: C=3.14*100cm=314cm
• दिया गया: डी = 25 मिमी।
• सरकमफ्रेंस: C=2*3.14*25=157mm

वृत्त की छेदक रेखा और वृत्त का चाप

कोई भी छेदक (सीधी रेखा) वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है और इसे दो चापों में विभाजित करती है। एक वृत्त के चाप का आकार केंद्र और छेदक रेखा के बीच की दूरी पर निर्भर करता है और इसे छेदक के चौराहे के पहले बिंदु से दूसरे वृत्त तक एक बंद वक्र के साथ मापा जाता है।

आर्क्सवृत्त विभाजित हैं काटनेवालाबड़े और छोटे में यदि छेदक व्यास के साथ मेल नहीं खाता है, और दो समान चापों में यदि छेदक वृत्त के व्यास के साथ गुजरता है।

यदि छेदक वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है, तो वृत्त के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं के बीच स्थित इसका खंड, वृत्त का व्यास या वृत्त की सबसे बड़ी जीवा है।

छेदक वृत्त के केंद्र से जितना दूर स्थित होता है, वृत्त के छोटे चाप का अंश उतना ही छोटा होता है और अधिक - वृत्त का बड़ा चाप, और छेदक का खंड, जिसे कहा जाता है तार, घटता है क्योंकि छेदक वृत्त के केंद्र से दूर जाता है।

परिभाषा। एक वृत्त एक समतल का एक भाग है जो एक वृत्त के अंदर स्थित होता है।

एक वृत्त का केंद्र, त्रिज्या, व्यास एक ही समय में संबंधित वृत्त का केंद्र, त्रिज्या और व्यास होता है।

चूँकि एक वृत्त एक तल का हिस्सा है, इसका एक पैरामीटर क्षेत्र है।

नियम। एक वृत्त का क्षेत्रफल ( एस) त्रिज्या के वर्ग के उत्पाद के बराबर है ( आर 2) संख्या ¶ के लिए।

• उदाहरण
• दिया है : r = 100 सेमी
• एक वृत्त का क्षेत्रफल:
• एस \u003d 3.14 * 100 सेमी * 100 सेमी \u003d 31,400 सेमी 2 ≈ 3 मी 2
• दिया गया: डी = 50 मिमी
• एक वृत्त का क्षेत्रफल:
• एस \u003d ¼ * 3.14 * 50 मिमी * 50 मिमी \u003d 1 963 मिमी 2 ≈ 20 सेमी 2

यदि किसी वृत्त में दो त्रिज्याएँ वृत्त के विभिन्न बिंदुओं पर खींची जाती हैं, तो वृत्त के दो भाग बन जाते हैं, जिन्हें कहा जाता है क्षेत्रों. यदि एक वृत्त में एक जीवा खींची जाती है, तो चाप और जीवा के बीच के तल का भाग कहलाता है वृत्त खंड.

एक वृत्त एक बंद वक्र है, जिसके सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर हैं। यह आंकड़ा सपाट है। इसलिए, उस समस्या का समाधान, जिसका प्रश्न यह है कि किसी वृत्त की परिधि का पता कैसे लगाया जाए, काफी सरल है। हम आज के लेख में सभी उपलब्ध तरीकों पर विचार करेंगे।

चित्रा विवरण

एक काफी सरल वर्णनात्मक परिभाषा के अलावा, एक वृत्त की तीन और गणितीय विशेषताएँ हैं, जिनमें स्वयं इस प्रश्न का उत्तर है कि किसी वृत्त की परिधि का पता कैसे लगाया जाए:

• बिंदु A और B और अन्य सभी से मिलकर बनता है जिससे AB को समकोण पर देखा जा सकता है। इस आकृति का व्यास लंबाई के बराबरविचाराधीन खंड।
• इसमें केवल बिंदु X शामिल है जैसे कि अनुपात AX/BX स्थिर है और एक के बराबर नहीं है। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती है, तो यह वर्तुल नहीं है।
• इसमें बिंदु होते हैं, जिनमें से प्रत्येक के लिए निम्नलिखित समानता होती है: अन्य दो के वर्ग की दूरी का योग एक दिया गया मान है, जो हमेशा उनके बीच के खंड की लंबाई के आधे से अधिक होता है।

शब्दावली

स्कूल में सभी के पास गणित का अच्छा शिक्षक नहीं था। इसलिए, एक वृत्त की परिधि का पता लगाने के प्रश्न का उत्तर इस तथ्य से और अधिक जटिल है कि हर कोई मूल को नहीं जानता ज्यामितीय अवधारणाएँ. त्रिज्या - एक खंड जो आकृति के केंद्र को वक्र पर एक बिंदु से जोड़ता है। त्रिकोणमिति में एक विशेष मामला यूनिट सर्कल है। जीवा एक रेखा खंड है जो एक वक्र पर दो बिंदुओं को जोड़ता है। उदाहरण के लिए, पहले से ही माना गया AB इस परिभाषा के अंतर्गत आता है। व्यास केंद्र से गुजरने वाली एक जीवा है। संख्या π इकाई अर्धवृत्त की लंबाई के बराबर है।

मूल सूत्र

यह सीधे परिभाषाओं से अनुसरण करता है ज्यामितीय सूत्र, जो आपको सर्कल की मुख्य विशेषताओं की गणना करने की अनुमति देता है:

1. लंबाई संख्या π और व्यास के उत्पाद के बराबर है। सूत्र आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है: C = π*D।
2. त्रिज्या आधा व्यास है। इसकी गणना परिधि को दो बार संख्या π से विभाजित करने के भागफल की गणना करके भी की जा सकती है। सूत्र इस तरह दिखता है: R = C/(2* π) = D/2।
3. व्यास π या दो बार त्रिज्या से विभाजित परिधि के बराबर है। सूत्र काफी सरल है और इस तरह दिखता है: D = C/π = 2*R।
4. एक वृत्त का क्षेत्रफल π संख्या और त्रिज्या के वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है। इसी प्रकार, इस सूत्र में व्यास का उपयोग किया जा सकता है। इस मामले में, क्षेत्र संख्या π और व्यास के वर्ग के उत्पाद को चार से विभाजित करने के भागफल के बराबर होगा। सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है: S = π*R 2 = π*D 2 /4।

व्यास से वृत्त की परिधि कैसे ज्ञात करें

स्पष्टीकरण की सादगी के लिए, हम अक्षरों द्वारा गणना के लिए आवश्यक आकृति की विशेषताओं को निरूपित करते हैं। C को वांछित लंबाई होने दें, D इसका व्यास हो, और पाई को लगभग 3.14 होने दें। यदि हमारे पास केवल एक ज्ञात मात्रा है, तो समस्या को हल किया जा सकता है। जीवन में क्यों जरूरी है? मान लीजिए हम एक बाड़ के साथ एक गोल पूल को घेरने का फैसला करते हैं। स्तंभों की आवश्यक संख्या की गणना कैसे करें? और यहाँ एक वृत्त की परिधि की गणना करने की क्षमता बचाव के लिए आती है। सूत्र इस प्रकार है: सी = π डी। हमारे उदाहरण में, पूल के त्रिज्या और बाड़ के लिए आवश्यक दूरी के आधार पर व्यास निर्धारित किया जाता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमारा घर कृत्रिम जलाशय 20 मीटर चौड़ा है, और हम उससे दस मीटर की दूरी पर खंभे लगाने जा रहे हैं। परिणामी सर्कल का व्यास 20 + 10 * 2 = 40 मीटर है लंबाई 3.14 * 40 = 125.6 मीटर है। यदि उनके बीच का अंतर लगभग 5 मीटर है तो हमें 25 स्तंभों की आवश्यकता होगी।

त्रिज्या के माध्यम से लंबाई

हमेशा की तरह, विशेषताओं को अक्षर वृत्त निर्दिष्ट करके प्रारंभ करें। वास्तव में, वे सार्वभौमिक हैं, इसलिए गणितज्ञ हैं विभिन्न देशएक दूसरे की भाषा जानना जरूरी नहीं है। मान लीजिए C एक वृत्त की परिधि है, r इसकी त्रिज्या है, और π लगभग 3.14 है। इस मामले में सूत्र इस तरह दिखता है: C = 2*π*r। जाहिर है, यह बिल्कुल सही समानता है। जैसा कि हम पहले ही पता लगा चुके हैं, एक वृत्त का व्यास उसकी त्रिज्या के दोगुने के बराबर होता है, इसलिए यह सूत्र इस तरह दिखता है। जीवन में, यह तरीका भी अक्सर काम आ सकता है। उदाहरण के लिए, हम एक विशेष में केक बेक करते हैं फिसलने वाला रूप. ताकि यह गंदा न हो, हमें एक सजावटी आवरण चाहिए। लेकिन एक सर्कल कैसे काटें सही आकार. यहीं पर गणित बचाव के लिए आता है। जो लोग जानते हैं कि किसी वृत्त की परिधि का पता कैसे लगाया जाता है, वे तुरंत कहेंगे कि आपको संख्या π को आकृति की त्रिज्या के दोगुने से गुणा करने की आवश्यकता है। यदि इसकी त्रिज्या 25 सेमी है, तो लंबाई 157 सेंटीमीटर होगी।

कार्य के उदाहरण

एक वृत्त की परिधि का पता लगाने के तरीके पर अर्जित ज्ञान के कई व्यावहारिक मामलों पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं। लेकिन अक्सर हमारा सरोकार उनसे नहीं, बल्कि वास्तविक से होता है। गणित की समस्याओंपाठ्यपुस्तक में निहित है। आखिर शिक्षक उनके लिए अंक देता है! इसलिए, आइए बढ़ी हुई जटिलता की समस्या पर विचार करें। मान लेते हैं कि परिधि 26 सेमी है।ऐसी आकृति की त्रिज्या कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण समाधान

आरंभ करने के लिए, आइए लिखें कि हमें क्या दिया गया है: C \u003d 26 सेमी, π \u003d 3.14। फॉर्मूला भी याद रखें: C = 2* π*R। इससे आप वृत्त की त्रिज्या निकाल सकते हैं। इस प्रकार, आर = सी/2/π। अब सीधी गणना पर चलते हैं। सबसे पहले लंबाई को दो से भाग दें। हमें 13 मिलता है। अब हमें संख्या π: 13 / 3.14 \u003d 4.14 सेमी के मान से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह महत्वपूर्ण है कि उत्तर को सही ढंग से लिखना न भूलें, अर्थात माप की इकाइयों के साथ, अन्यथा संपूर्ण व्यावहारिक ऐसी समस्याओं का अर्थ खो गया है। इसके अलावा, इस तरह की असावधानी के लिए, आप एक अंक कम अंक प्राप्त कर सकते हैं। और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कितना कष्टप्रद हो सकता है, आपको इस स्थिति से निपटना होगा।

जानवर उतना डरावना नहीं है जितना चित्रित किया गया है

इसलिए हमने पहली नजर में ही इस तरह के मुश्किल काम का पता लगा लिया। जैसा कि यह निकला, आपको केवल शब्दों के अर्थ को समझने और कुछ आसान सूत्रों को याद रखने की आवश्यकता है। गणित इतना डरावना नहीं है, बस आपको थोड़ा प्रयास करने की जरूरत है। तो ज्यामिति आपका इंतजार कर रही है!