समान हर के साथ सबसे बड़ा अंश कैसे खोजें। भिन्नों की तुलना: नियम, उदाहरण, समाधान

दो असमान भिन्नों की तुलना यह पता लगाने के लिए की जाती है कि कौन-सी भिन्न बड़ी है और कौन-सी छोटी। दो भिन्नों की तुलना करने के लिए भिन्नों की तुलना करने का एक नियम है, जिसे हम नीचे बनाएँगे, और भिन्नों की उसी से तुलना करते समय हम इस नियम के लागू होने के उदाहरणों का भी विश्लेषण करेंगे। विभिन्न भाजक. अंत में, हम दिखाएंगे कि समान अंशों के साथ अंशों की तुलना एक सामान्य हर से कम किए बिना कैसे करें, और यह भी विचार करें कि एक सामान्य अंश की तुलना कैसे करें प्राकृतिक संख्या.

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समान हर वाले भिन्नों की तुलना करना

के साथ भिन्नों की तुलना करें एक ही भाजक अनिवार्य रूप से समान शेयरों की संख्या की तुलना है। उदाहरण के लिए, सामान्य अंश 3/7 3 भागों 1/7 को निर्धारित करता है, और अंश 8/7 8 भागों 1/7 से मेल खाता है, इसलिए समान भाजक 3/7 और 8/7 के साथ भिन्नों की तुलना संख्याओं की तुलना करने के लिए नीचे आती है 3 और 8, यानी अंशों की तुलना करना।

इन विचारों से यह निम्नानुसार है समान हर के साथ भिन्नों की तुलना करने का नियम: समान हर वाली दो भिन्नों में से बड़ी भिन्न वह होती है जिसका अंश बड़ा होता है और छोटी वह भिन्न होती है जिसका अंश छोटा होता है।

बताया गया नियम बताता है कि समान हर वाले भिन्नों की तुलना कैसे करें। समान हर के साथ भिन्नों की तुलना करने के लिए नियम लागू करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

कौन सा अंश बड़ा है: 65/126 या 87/126?

समाधान।

तुलना किए गए साधारण भिन्नों के हर बराबर होते हैं, और भिन्न 87/126 का अंश 87, अंश 65/126 के अंश 65 से अधिक होता है (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृतिक संख्याओं की तुलना देखें)। इसलिए, समान हर के साथ भिन्नों की तुलना करने के नियम के अनुसार, भिन्न 87/126 भिन्न 65/126 से बड़ा है।

उत्तर:

भिन्न हर के साथ भिन्नों की तुलना करना

भिन्न हर के साथ भिन्नों की तुलना करनासमान हर के साथ भिन्नों की तुलना करने के लिए कम किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको केवल तुलना किए गए साधारण अंशों को एक सामान्य हर में लाने की आवश्यकता है।

इसलिए, दो भिन्नों की विभिन्न हरों से तुलना करने के लिए, आपको चाहिए

• एक आम भाजक के लिए अंश लाना;
• परिणामी भिन्नों की समान हरों से तुलना करें।

आइए एक उदाहरण समाधान देखें।

उदाहरण।

भिन्न 5/12 की तुलना 9/16 भिन्न से करें।

समाधान।

सबसे पहले, हम इन भिन्नों को अलग-अलग हरों के साथ एक सामान्य हर में लाते हैं (एक सामान्य हर में भिन्नों को कम करने के नियम और उदाहरण देखें)। एक सामान्य हर के रूप में, LCM(12, 16)=48 के बराबर सबसे छोटा आम भाजक लें। फिर भिन्न 5/12 का अतिरिक्त गुणनखंड 48:12=4 होगा, और भिन्न 9/16 का अतिरिक्त गुणनखंड 48:16=3 संख्या होगी। हम पाते हैं तथा .

परिणामी भिन्नों की तुलना करने पर, हमारे पास . इसलिए, भिन्न 5/12 भिन्न 9/16 से छोटा है। यह भिन्न हर के साथ भिन्नों की तुलना को पूरा करता है।

उत्तर:

आइए भिन्नों की विभिन्न हरों से तुलना करने का एक और तरीका प्राप्त करें, जो आपको भिन्नों की तुलना एक सामान्य हर से कम किए बिना और इस प्रक्रिया से जुड़ी सभी कठिनाइयों की तुलना करने की अनुमति देगा।

भिन्नों a / b और c / d की तुलना करने के लिए, उन्हें एक सामान्य भाजक b d में घटाया जा सकता है, जो तुलनात्मक भिन्नों के हर के गुणनफल के बराबर होता है। इस मामले में, भिन्न a/b और c/d के अतिरिक्त गुणनखंड क्रमशः संख्या d और b हैं, और मूल भिन्न भिन्नों में कम हो जाते हैं और एक सामान्य भाजक b d के साथ। समान हर के साथ भिन्नों की तुलना करने के नियम को याद करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि मूल भिन्न a/b और c/d की तुलना a d और c b के उत्पादों की तुलना करने के लिए कम कर दी गई है।

इससे निम्नलिखित होता है भिन्न हर के साथ भिन्नों की तुलना करने का नियम: यदि a d>b c , तो , और यदि a d

इस तरह भिन्न हर के साथ भिन्नों की तुलना करने पर विचार करें।

उदाहरण।

सार्व भिन्न 5/18 और 23/86 की तुलना करें।

समाधान।

इस उदाहरण में, a=5 , b=18 , c=23 और d=86 । आइए उत्पादों a d और b c की गणना करें। हमारे पास a d=5 86=430 और b c=18 23=414 है। चूँकि 430>414 , भिन्न 5/18 भिन्न 23/86 से बड़ा है।

उत्तर:

समान अंश से भिन्नों की तुलना करना

पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए नियमों का उपयोग करके समान अंश और भिन्न हर वाले भिन्नों की निश्चित रूप से तुलना की जा सकती है। हालाँकि, इन भिन्नों के हरों की तुलना करके ऐसे भिन्नों की तुलना करने का परिणाम प्राप्त करना आसान है।

ऐसा है समान अंश से भिन्नों की तुलना करने का नियम: समान अंश वाली दो भिन्नों में से छोटा हर वाला बड़ा होता है और बड़ा हर वाला छोटा होता है।

आइए एक उदाहरण समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

भिन्नों 54/19 और 54/31 की तुलना करें।

समाधान।

चूँकि तुलना की गई भिन्नों के अंश समान हैं, और भिन्न 54/19 का हर 19, भिन्न 54/31 के हर 31 से कम है, तो 54/19, 54/31 से बड़ा है।

हम भिन्नों का अध्ययन जारी रखते हैं। आज हम उनकी तुलना के बारे में बात करेंगे। विषय रोचक और उपयोगी है। यह शुरुआत करने वाले को एक सफेद कोट में एक वैज्ञानिक की तरह महसूस करने की अनुमति देगा।

भिन्नों की तुलना करने का सार यह पता लगाना है कि दोनों में से कौन-सी भिन्न बड़ी या कम है।

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कि दोनों में से कौन सी भिन्न बड़ी या कम है, अधिक (>) या कम (<).

गणितज्ञों ने पहले से ही तैयार नियमों का ध्यान रखा है जो आपको इस प्रश्न का तुरंत उत्तर देने की अनुमति देते हैं कि कौन सा अंश बड़ा है और कौन सा छोटा है। इन नियमों को सुरक्षित रूप से लागू किया जा सकता है।

हम इन सभी नियमों को देखेंगे और यह पता लगाने की कोशिश करेंगे कि ऐसा क्यों होता है।

समान हर वाले भिन्नों की तुलना करना

तुलना की जाने वाली भिन्न भिन्न-भिन्न होती हैं। सबसे सफल मामला तब होता है जब भिन्नों में समान भाजक होते हैं, लेकिन अलग-अलग अंश होते हैं। इस मामले में आवेदन करें अगला नियम:

समान भाजक वाले दो भिन्नों में से बड़ा अंश वह होता है जिसमें बड़ा अंश होता है। और तदनुसार, छोटा अंश होगा, जिसमें अंश छोटा होगा।

उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों की तुलना करें और उत्तर दें कि इनमें से कौन-सी भिन्न बड़ी है। यहाँ भाजक समान हैं, लेकिन अंश भिन्न हैं। भिन्न का अंश भिन्न से बड़ा होता है। तो भिन्न से बड़ा है। तो हम जवाब देते हैं। अधिक आइकन (>) का उपयोग करके उत्तर दें

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो चार भागों में बांटा गया है। पिज्जा से ज्यादा पिज्जा:

सभी सहमत होंगे कि पहला पिज्जा दूसरे से बड़ा है।

समान अंश वाले भिन्नों की तुलना करना

अगला मामला हम तब देख सकते हैं जब भिन्नों के अंश समान हों, लेकिन हर अलग-अलग हों। ऐसे मामलों के लिए, निम्नलिखित नियम प्रदान किया गया है:

समान अंश वाले दो भिन्नों में से, छोटे हर वाला भिन्न बड़ा होता है। इसलिए बड़े हर वाला अंश छोटा होता है।

उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों की तुलना करें और . इन भिन्नों का अंश समान होता है। भिन्न का भाजक भिन्न से छोटा होता है। तो भिन्न भिन्न से बड़ा होता है। तो हम जवाब देते हैं:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम पिज्जा के बारे में सोचते हैं जो तीन और चार भागों में बांटा गया है। पिज्जा से ज्यादा पिज्जा:

सभी सहमत हैं कि पहला पिज्जा दूसरे से बड़ा है।

भिन्न अंशों और भिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करना

अक्सर ऐसा होता है कि आपको भिन्नों की तुलना भिन्न-भिन्न अंशों और भिन्न-भिन्न हरों से करनी पड़ती है।

उदाहरण के लिए, भिन्नों की तुलना करें और . इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कि इनमें से कौन सी भिन्न बड़ी या कम है, आपको उन्हें समान (सामान्य) हर में लाना होगा। फिर यह निर्धारित करना आसान होगा कि कौन सा अंश बड़ा या छोटा है।

आइए भिन्नों को समान (सामान्य) हर में लाते हैं। दोनों भिन्नों के हर ज्ञात करें (LCM)। भिन्नों के हरों का एलसीएम और वह संख्या 6 है।

अब हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड पाते हैं। एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 6 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 2 है। 6 को 2 से विभाजित करने पर, हमें 3 का एक अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त होता है। हम इसे पहले भिन्न पर लिखते हैं:

आइए अब दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। LCM को दूसरे भिन्न के हर से भाग दें। LCM संख्या 6 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 3 है। 6 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 2 का अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त होता है। हम इसे दूसरी भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

भिन्नों को उनके अतिरिक्त कारकों से गुणा करें:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि भिन्न हर वाले भिन्न भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों की तुलना कैसे की जाती है। समान हर वाले दो भिन्नों में से, बड़ा अंश वह होता है जिसमें बड़ा अंश होता है:

नियम ही नियम है, और हम यह पता लगाने की कोशिश करेंगे कि . ऐसा करने के लिए, भिन्न में पूर्णांक भाग का चयन करें। भिन्न में कुछ भी चुनने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह भिन्न पहले से ही नियमित है।

भिन्न में पूर्णांक भाग का चयन करने के बाद, हमें निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होता है:

अब आप आसानी से समझ सकते हैं कि इससे ज्यादा क्यों। आइए इन भिन्नों को पिज्जा के रूप में बनाएं:

2 पूरे पिज्जा और पिज्जा, पिज्जा से ज्यादा।

मिश्रित संख्याओं का घटाव। मुश्किल मामले।

मिश्रित संख्याओं को घटाते समय, कभी-कभी आप पाते हैं कि चीजें उतनी सुचारू रूप से नहीं चल रही हैं जितनी आप चाहते हैं। अक्सर ऐसा होता है कि किसी उदाहरण को हल करते समय उत्तर वह नहीं होता जो उसे होना चाहिए।

संख्याओं को घटाते समय, मिन्यूएंड सबट्रेंड से बड़ा होना चाहिए। केवल इस मामले में एक सामान्य प्रतिक्रिया प्राप्त होगी।

उदाहरण के लिए, 10−8=2

10 - कम

8 - घटाया गया

2 - अंतर

घटा 10, घटाए गए 8 से बड़ा है, इसलिए हमें सामान्य उत्तर 2 मिला।

अब देखते हैं कि क्या होता है यदि minuend सबट्रेंड से कम है। उदाहरण 5−7=−2

5 - कम

7 - घटाया गया

-2 अंतर है

इस मामले में, हम उन संख्याओं से आगे निकल जाते हैं जिनके हम आदी हो जाते हैं और खुद को नकारात्मक संख्याओं की दुनिया में पाते हैं, जहां हमारे लिए चलना बहुत जल्दी है, और यहां तक ​​​​कि खतरनाक भी। ऋणात्मक संख्याओं के साथ कार्य करने के लिए, आपको उपयुक्त गणितीय पृष्ठभूमि की आवश्यकता होती है, जो हमें अभी तक प्राप्त नहीं हुई है।

यदि, घटाव के उदाहरणों को हल करते समय, आप पाते हैं कि मिन्यूएंड सबट्रेंड से कम है, तो आप इस तरह के उदाहरण को अभी के लिए छोड़ सकते हैं। नकारात्मक संख्याओं का अध्ययन करने के बाद ही उनके साथ काम करने की अनुमति है।

अंशों के साथ भी यही स्थिति है। minuend सबट्रेंड से बड़ा होना चाहिए। केवल इस मामले में सामान्य उत्तर प्राप्त करना संभव होगा। और यह समझने के लिए कि क्या घटाया गया अंश घटाए गए अंश से बड़ा है, आपको इन भिन्नों की तुलना करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, आइए एक उदाहरण हल करें।

यह एक घटाव उदाहरण है। इसे हल करने के लिए, आपको यह जांचना होगा कि घटा हुआ अंश घटाए गए अंश से बड़ा है या नहीं। इससे अधिक

इसलिए हम सुरक्षित रूप से उदाहरण पर लौट सकते हैं और इसे हल कर सकते हैं:

अब इस उदाहरण को हल करते हैं

जांचें कि क्या घटा हुआ अंश घटाए गए अंश से बड़ा है। हम पाते हैं कि यह कम है:

इस मामले में, रुकना और आगे की गणना जारी नहीं रखना अधिक उचित है। हम इस उदाहरण पर लौटेंगे जब हम ऋणात्मक संख्याओं का अध्ययन करेंगे।

घटाने से पहले मिश्रित संख्याओं की जांच करना भी वांछनीय है। उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक का मान ज्ञात करें।

सबसे पहले, जांचें कि क्या घटाई गई मिश्रित संख्या घटाए गए संख्या से अधिक है। ऐसा करने के लिए, हम मिश्रित संख्याओं का अनुचित भिन्नों में अनुवाद करते हैं:

हमें भिन्न-भिन्न अंशों और भिन्न-भिन्न भाजक वाली भिन्नें मिलीं। ऐसे भिन्नों की तुलना करने के लिए, आपको उन्हें समान (सामान्य) हर में लाना होगा। यह कैसे करना है, हम विस्तार से वर्णन नहीं करेंगे। यदि आपको परेशानी हो रही है, तो दोहराना सुनिश्चित करें।

भिन्नों को समान हर में कम करने के बाद, हमें निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होता है:

अब हमें भिन्नों और की तुलना करने की आवश्यकता है। ये समान भाजक वाले भिन्न हैं। समान भाजक वाले दो भिन्नों में से बड़ा अंश वह होता है जिसमें बड़ा अंश होता है।

भिन्न का अंश भिन्न से बड़ा होता है। तो भिन्न भिन्न से बड़ा होता है।

इसका मतलब है कि मिन्यूएंड सबट्रेंड से बड़ा है।

तो हम अपने उदाहरण पर वापस जा सकते हैं और इसे साहसपूर्वक हल कर सकते हैं:

उदाहरण 3व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

जांचें कि क्या मिन्यूएंड सबट्रेंड से बड़ा है।

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

हमें भिन्न-भिन्न अंशों और भिन्न-भिन्न भाजक वाली भिन्नें मिलीं। हम इन भिन्नों को समान (सामान्य) हर में लाते हैं।

पर रोजमर्रा की जिंदगीहमें अक्सर भिन्नात्मक मानों की तुलना करनी पड़ती है। अधिकांश समय इससे कोई समस्या नहीं होती है। दरअसल, हर कोई समझता है कि आधा सेब एक चौथाई से बड़ा होता है। लेकिन जब इसे गणितीय व्यंजक के रूप में लिखना आवश्यक हो, तो यह कठिन हो सकता है। निम्नलिखित गणितीय नियमों को लागू करके आप इस समस्या को आसानी से हल कर सकते हैं।

समान हर वाले भिन्नों की तुलना कैसे करें

इन भिन्नों की तुलना करना सबसे आसान है। इस मामले में, नियम का उपयोग करें:

एक ही भाजक लेकिन अलग-अलग अंश वाले दो भिन्नों में, बड़ा वह होता है जिसका अंश बड़ा होता है, और छोटा वह होता है जिसका अंश छोटा होता है।

उदाहरण के लिए, भिन्नों 3/8 और 5/8 की तुलना करें। इस उदाहरण में हर बराबर हैं, इसलिए हम इस नियम को लागू करते हैं। 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

दरअसल, अगर आप दो पिज्जा को 8 स्लाइस में काटते हैं, तो 3/8 स्लाइस हमेशा 5/8 से कम होते हैं।

समान अंशों और भिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करना

इस मामले में, भाजक शेयरों के आकार की तुलना की जाती है। लागू करने का नियम है:

यदि दो भिन्नों का अंश समान होता है, तो बड़ा अंश वह होता है जिसमें छोटा भाजक होता है।

उदाहरण के लिए, भिन्नों 3/4 और 3/8 की तुलना करें। इस उदाहरण में, अंश बराबर हैं, इसलिए हम दूसरे नियम का उपयोग करते हैं। 3/4 भिन्न का हर 3/8 भिन्न से छोटा होता है। इसलिए 3/4>3/8

वास्तव में, यदि आप पिज्जा के 3 स्लाइस को 4 भागों में विभाजित करके खाते हैं, तो आप पिज्जा के 3 स्लाइस को 8 भागों में विभाजित करके खाने से अधिक भरा होगा।

विभिन्न अंशों और हरों के साथ भिन्नों की तुलना करना

हम तीसरा नियम लागू करते हैं:

भिन्न हर वाले भिन्नों की तुलना समान हर वाले भिन्नों से की जानी चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना होगा और पहले नियम का उपयोग करना होगा।

उदाहरण के लिए, आपको भिन्नों और की तुलना करने की आवश्यकता है। बड़ी भिन्न का निर्धारण करने के लिए, हम इन दो भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाते हैं:

• आइए अब दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड खोजें: 6:3=2। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

यह लेख भिन्नों की तुलना से संबंधित है। यहां हम यह पता लगाएंगे कि कौन सी भिन्न बड़ी या कम है, नियम लागू करें और समाधान के उदाहरणों का विश्लेषण करें। समान और भिन्न हरों के साथ भिन्नों की तुलना करें। आइए तुलना करें सामान्य अंशएक प्राकृतिक संख्या के साथ।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

समान हर वाले भिन्नों की तुलना करना

समान हर के साथ भिन्नों की तुलना करते समय, हम केवल अंश के साथ काम करते हैं, जिसका अर्थ है कि हम किसी संख्या के भिन्नों की तुलना करते हैं। यदि कोई भिन्न 3 7 है, तो उसके 3 भाग 1 7 हैं, तो भिन्न 8 7 में ऐसे 8 भाग हैं। दूसरे शब्दों में, यदि हर समान है, तो इन भिन्नों के अंशों की तुलना की जाती है, अर्थात 3 7 और 8 7 संख्याओं 3 और 8 की तुलना की जाती है।

इसका अर्थ है समान हर के साथ भिन्नों की तुलना करने का नियम: उपलब्ध भिन्नों से एक ही संकेतकबड़ा अंश वह होता है जिसमें बड़ा अंश होता है और इसके विपरीत।

इससे पता चलता है कि आपको अंकगणित पर ध्यान देना चाहिए। ऐसा करने के लिए, एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 1

दी गई भिन्नों की तुलना 65 126 और 87 126 करें।

समाधान

चूँकि भिन्नों के हर समान हैं, आइए अंशों पर चलते हैं। संख्या 87 और 65 से यह स्पष्ट है कि 65 कम है। समान हर के साथ भिन्नों की तुलना करने के नियम के आधार पर, हमारे पास यह है कि 87126 65126 से बड़ा है।

उत्तर: 87 126 > 65 126 .

भिन्न हर के साथ भिन्नों की तुलना करना

ऐसे अंशों की तुलना समान घातांक वाले भिन्नों की तुलना से की जा सकती है, लेकिन एक अंतर है। अब हमें भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने की आवश्यकता है।

यदि भिन्न हर के साथ भिन्न हैं, तो उनकी तुलना करने के लिए आपको चाहिए:

• एक आम भाजक खोजें;
• भिन्नों की तुलना करें।

आइए इन चरणों को एक उदाहरण के साथ देखें।

उदाहरण 2

भिन्न 5 12 और 9 16 की तुलना करें।

समाधान

पहला कदम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना है। यह इस तरह से किया जाता है: एलसीएम पाया जाता है, यानी कम से कम सामान्य भाजक, 12 और 16। यह संख्या 48 है। पहले भिन्न 5 12 में अतिरिक्त गुणनखंड अंकित करना आवश्यक है, यह संख्या भागफल 48: 12 = 4 से मिलती है, दूसरी भिन्न के लिए 9 16-48: 16 = 3। आइए इसे इस प्रकार लिखें: 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 और 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48।

भिन्नों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

उत्तर: 5 12 < 9 16 .

भिन्न हर के साथ भिन्नों की तुलना करने का एक और तरीका है। यह एक सामान्य भाजक को कम किए बिना किया जाता है। आइए एक उदाहरण देखें। भिन्नों a b और c d की तुलना करने के लिए, हम एक सामान्य हर को घटाते हैं, फिर b · d, यानी इन हरों का गुणनफल। तब भिन्नों के अतिरिक्त गुणनखंड पड़ोसी भिन्न के हर होंगे। इसे a · d b · d और c · b d · b के रूप में लिखा जाता है। समान हर के साथ नियम का उपयोग करते हुए, हमने पाया है कि भिन्नों की तुलना उत्पादों a · d और c · b की तुलना में कम कर दी गई है। यहाँ से हमें भिन्नों की भिन्न हरों से तुलना करने का नियम प्राप्त होता है: यदि a d > b c, तो a b > c d, लेकिन यदि a d< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

उदाहरण 3

भिन्न 5 18 और 23 86 की तुलना करें।

समाधान

इस उदाहरण में a = 5 , b = 18 , c = 23 और d = 86 है। फिर a · d और b · c की गणना करना आवश्यक है। यह इस प्रकार है कि a d = 5 86 = 430 और b c = 18 23 = 414। लेकिन 430 > 414, तो दी गई भिन्न 5 18, 23 86 से बड़ी है।

उत्तर: 5 18 > 23 86 .

समान अंश से भिन्नों की तुलना करना

यदि भिन्नों में समान अंश और भिन्न भिन्न हैं, तो आप पिछले अनुच्छेद के अनुसार तुलना कर सकते हैं। उनके हरों की तुलना करते समय तुलना का परिणाम संभव है।

समान अंशों से भिन्नों की तुलना करने का नियम है : एक ही अंश के साथ दो भिन्नों में से, बड़ा अंश वह होता है जिसमें छोटे भाजक होते हैं, और इसके विपरीत।

आइए एक उदाहरण देखें।

उदाहरण 4

भिन्न 54 19 और 54 31 की तुलना करें।

समाधान

हमारे पास यह है कि अंश समान हैं, जिसका अर्थ है कि 19 के हर वाला अंश उस भिन्न से बड़ा होता है जिसका हर 31 होता है। यह नियम से स्पष्ट है।

उत्तर: 54 19 > 54 31 .

अन्यथा, आप एक उदाहरण पर विचार कर सकते हैं। दो प्लेट हैं जिन पर 1 2 पाई, अन्ना एक और 1 16 . यदि आप 1 2 पाई खाते हैं, तो आप 1 16 की तुलना में तेजी से भरेंगे। इसलिए निष्कर्ष है कि सबसे बड़ा भाजक एक ही अंशभिन्नों की तुलना करते समय सबसे छोटा है।

एक प्राकृतिक संख्या के साथ एक अंश की तुलना करना

एक प्राकृतिक संख्या के साथ एक साधारण अंश की तुलना फॉर्म 1 में लिखे गए हर के साथ दो अंशों की तुलना के समान है। आइए अधिक विवरण के लिए नीचे एक उदाहरण देखें।

उदाहरण 4

63 8 और 9 की तुलना करना आवश्यक है।

समाधान

संख्या 9 को भिन्न 9 1 के रूप में निरूपित करना आवश्यक है। फिर हमें भिन्नों 63 8 और 9 1 की तुलना करने की आवश्यकता है। इसके बाद अतिरिक्त कारकों का पता लगाकर एक सामान्य भाजक में कमी की जाती है। उसके बाद, हम देखते हैं कि हमें भिन्नों की तुलना समान हरों 63 8 और 72 8 से करने की आवश्यकता है। तुलना नियम के आधार पर, 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

उत्तर: 63 8 < 9 .

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इस पाठ में हम सीखेंगे कि भिन्नों की आपस में तुलना कैसे की जाती है। यह एक बहुत ही उपयोगी कौशल है जो अधिक जटिल समस्याओं की एक पूरी कक्षा को हल करने के लिए आवश्यक है।

सबसे पहले, मैं आपको भिन्नों की समानता की परिभाषा याद दिलाता हूं:

भिन्न a/b और c/d बराबर कहलाते हैं यदि ad = bc.

1. 5/8 = 15/24 क्योंकि 5 24 = 8 15 = 120;
2. 3/2 = 27/18 क्योंकि 3 18 = 2 27 = 54।

अन्य सभी मामलों में, भिन्न असमान हैं, और उनके लिए निम्नलिखित में से एक कथन सत्य है:

1. भिन्न a /b भिन्न c /d से बड़ा है;
2. भिन्न a /b भिन्न c /d से छोटा है।

भिन्न a /b को भिन्न c /d से बड़ा कहा जाता है यदि a /b - c /d > 0.

एक भिन्न x /y को भिन्न s /t से छोटा कहा जाता है यदि x /y - s /t< 0.

पद:

इस प्रकार, भिन्नों की तुलना उनके घटाव में कम हो जाती है। प्रश्न: "से बड़ा" (>) और "से कम" (<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

1. चेक का विस्तार करने वाला हिस्सा हमेशा बड़ी संख्या की ओर निर्देशित होता है;
2. जैकडॉ की तेज नाक हमेशा कम संख्या का संकेत देती है।

अक्सर उन कार्यों में जहां आप संख्याओं की तुलना करना चाहते हैं, वे उनके बीच "∨" चिह्न लगाते हैं। यह एक जैकडॉ है जिसकी नाक नीचे है, जो, जैसा कि यह था, संकेत देता है: बड़ी संख्या अभी तक निर्धारित नहीं की गई है।

एक कार्य। संख्याओं की तुलना करें:

परिभाषा के बाद, हम भिन्नों को एक दूसरे से घटाते हैं:

प्रत्येक तुलना में, हमें भिन्नों को एक समान भाजक में लाने की आवश्यकता होती है। विशेष रूप से, क्रिस-क्रॉस विधि का उपयोग करना और कम से कम सामान्य गुणक खोजना। मैंने जानबूझकर इन बिंदुओं पर ध्यान केंद्रित नहीं किया, लेकिन अगर कुछ स्पष्ट नहीं है, तो पाठ पर एक नज़र डालें " भिन्नों का जोड़ और घटाव"- यह बहुत आसान है।

दशमलव तुलना

दशमलव भिन्नों के मामले में, सब कुछ बहुत आसान है। यहां कुछ भी घटाने की जरूरत नहीं है - बस अंकों की तुलना करें। यह याद रखना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि किसी संख्या का महत्वपूर्ण भाग क्या है। जो लोग भूल गए हैं, उनके लिए मैं पाठ को दोहराने का सुझाव देता हूं " दशमलव अंशों का गुणा और भाग"- इसमें भी कुछ ही मिनट लगेंगे।

एक धनात्मक दशमलव X धनात्मक दशमलव Y से बड़ा होता है यदि उसका दशमलव स्थान इस प्रकार हो कि:

1. भिन्न X में इस अंक का अंक भिन्न Y के संगत अंक से बड़ा है;
2. भिन्न X और Y में दिए गए से पुराने सभी अंक समान हैं।

1. 12.25 > 12.16। पहले दो अंक समान हैं (12 = 12), और तीसरा बड़ा है (2> 1);
2. 0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

दूसरे शब्दों में, हम क्रमिक रूप से दशमलव स्थानों को देख रहे हैं और अंतर की तलाश कर रहे हैं। इस मामले में, एक बड़ी संख्या एक बड़े अंश से मेल खाती है।

हालाँकि, इस परिभाषा के लिए स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, दशमलव बिंदु तक के अंकों को कैसे लिखें और तुलना करें? याद रखें: दशमलव रूप में लिखी गई किसी भी संख्या को बाईं ओर कितनी भी संख्या में शून्य दिया जा सकता है। यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

1. 0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (речь идет о старшем разряде).
2. 2300.5 > 0.0025, क्योंकि 0.0025 = 0000.0025 - बाईं ओर तीन शून्य जोड़े। अब आप देख सकते हैं कि अंतर पहले बिट में शुरू होता है: 2 > 0.

बेशक, शून्य के साथ दिए गए उदाहरणों में एक स्पष्ट गणना थी, लेकिन इसका अर्थ बिल्कुल यही है: बाईं ओर लापता अंकों को भरें, और फिर तुलना करें।

एक कार्य। भिन्नों की तुलना करें:

1. 0,029 ∨ 0,007;
2. 14,045 ∨ 15,5;
3. 0,00003 ∨ 0,0000099;
4. 1700,1 ∨ 0,99501.

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

1. 0.029 > 0.007. पहले दो अंक समान हैं (00 = 00), फिर अंतर शुरू होता है (2> 0);
2. 14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
3. 0.00003> 0.0000099। यहां आपको ध्यान से शून्य गिनने की जरूरत है। दोनों भिन्नों में पहले 5 अंक शून्य हैं, लेकिन पहले अंश में आगे 3 है, और दूसरे में - 0। जाहिर है, 3> 0;
4. 1700.1> 0.99501। चलिए दूसरी भिन्न को 0000.99501 के रूप में फिर से लिखते हैं, बाईं ओर 3 शून्य जोड़ते हैं। अब सब कुछ स्पष्ट है: 1 > 0 - पहले अंक में अंतर पाया जाता है।

दुर्भाग्य से, उपरोक्त तुलना योजना दशमलव भागसार्वभौमिक नहीं। यह विधि केवल तुलना कर सकती है सकारात्मक संख्या. सामान्य स्थिति में, कार्य का एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

1. एक धनात्मक भिन्न हमेशा ऋणात्मक भिन्न से बड़ा होता है;
2. उपरोक्त एल्गोरिदम के अनुसार दो सकारात्मक अंशों की तुलना की जाती है;
3. दो ऋणात्मक भिन्नउसी तरह से तुलना की जाती है, लेकिन अंत में असमानता का चिन्ह उलट जाता है।

अच्छा, क्या यह कमजोर नहीं है? अब विचार करें ठोस उदाहरण- और सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा।

एक कार्य। भिन्नों की तुलना करें:

1. 0,0027 ∨ 0,0072;
2. −0,192 ∨ −0,39;
3. 0,15 ∨ −11,3;
4. 19,032 ∨ 0,0919295;
5. −750 ∨ −1,45.

1. 0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
2. -0.192> -0.39। भिन्न ऋणात्मक हैं, 2 अंक भिन्न हैं। एक< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
3. 0.15> -11.3। एक धनात्मक संख्या हमेशा ऋणात्मक संख्या से बड़ी होती है;
4. 19.032> 0.091। यह देखने के लिए कि अंतर पहले से ही 1 अंक में होता है, 00.091 के रूप में दूसरे अंश को फिर से लिखना पर्याप्त है;
5. −750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. अंतर पहली श्रेणी में है।