त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें। त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल। त्रिकोणमितीय समीकरण को कैसे हल करें

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों का समाधान"

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हम क्या अध्ययन करेंगे:
1. क्या है त्रिकोणमितीय समीकरण?

3. त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की दो मुख्य विधियाँ।
4. सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।
5. उदाहरण।

त्रिकोणमितीय समीकरण क्या होते हैं?

दोस्तों, हम पहले ही आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटैंजेंट का अध्ययन कर चुके हैं। आइए अब सामान्य रूप से त्रिकोणमितीय समीकरणों को देखें।

त्रिकोणमितीय समीकरण - वे समीकरण जिनमें त्रिकोणमितीय फलन के चिह्न के अंतर्गत चर समाहित होता है।

हम सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के रूप को दोहराते हैं:

1) यदि |a|≤ 1, तो समीकरण cos(x) = a का एक हल है:

एक्स = ± आर्ककोस (ए) + 2πk

2) यदि |a|≤ 1, तो समीकरण sin(x) = a का एक हल है:

3) अगर |ए| > 1, तो समीकरण sin(x) = a और cos(x) = a का कोई हल नहीं है 4) समीकरण tg(x)=a का एक हल है: x=arctg(a)+ k

5) समीकरण ctg(x)=a का एक हल है: x=arcctg(a)+ πk

सभी सूत्रों के लिए, k एक पूर्णांक है

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों का रूप है: Т(kx+m)=a, T- कोई भी त्रिकोणमितीय फलन।

उदाहरण।

समीकरण हल करें: a) sin(3x)= √3/2

समाधान:

ए) आइए 3x=t को निरूपित करें, फिर हम अपने समीकरण को इस रूप में फिर से लिखेंगे:

इस समीकरण का हल होगा: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn।

मूल्यों की तालिका से हमें मिलता है: t=((-1)^n)×π/3+ πn।

आइए अपने चर पर वापस जाएं: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

तब x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

उत्तर: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, जहां n एक पूर्णांक है। (-1)^n - ऋणात्मक एक से n की घात।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के अधिक उदाहरण।

समीकरणों को हल करें: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= 3

समाधान:

ए) इस बार हम सीधे समीकरण की जड़ों की गणना पर जाएंगे:

एक्स/5= ± आर्ककोस(1) + 2πk। तब x/5= k => x=5πk

उत्तर: x=5πk, जहाँ k एक पूर्णांक है।

बी) हम फॉर्म में लिखते हैं: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk। हम जानते हैं कि: arctg(√3)= /3

3x- π/3= π/3+ k => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

उत्तर: x=2π/9 + πk/3, जहां k एक पूर्णांक है।

समीकरण हल करें: cos(4x)= 2/2. और खंड पर सभी जड़ों का पता लगाएं।

समाधान:

हम तय करेंगे सामान्य दृष्टि सेहमारा समीकरण: 4x= ± आर्ककोस(√2/2) + 2πk

4x = ± /4 + 2πk;

एक्स = ± /16+ k/2;

अब देखते हैं कि हमारे सेगमेंट में क्या जड़ें जमाती हैं। k के लिए k=0, x= /16 के लिए, हम दिए गए खंड में हैं।
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 के साथ, उन्होंने फिर से मारा।
k=2, x= π/16+ π=17π/16 के लिए, लेकिन यहां हमने हिट नहीं किया, जिसका अर्थ है कि हम बड़े k के लिए भी हिट नहीं करेंगे।

उत्तर: x= /16, x= 9π/16

दो मुख्य समाधान विधियां।

हमने सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों पर विचार किया है, लेकिन अधिक जटिल हैं। उन्हें हल करने के लिए, एक नए चर को पेश करने की विधि और गुणन विधि का उपयोग किया जाता है। आइए उदाहरण देखें।

आइए समीकरण को हल करें:

समाधान:
अपने समीकरण को हल करने के लिए, हम एक नए चर को प्रस्तुत करने की विधि का उपयोग करते हैं, जिसे निरूपित किया जाता है: t=tg(x)।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं: t 2 + 2t -1 = 0

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए: t=-1 और t=1/3

फिर tg(x)=-1 और tg(x)=1/3, हमें सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण मिला, आइए इसके मूल ज्ञात करें।

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + k.

उत्तर: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + k.

समीकरण हल करने का एक उदाहरण

समीकरण हल करें: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

समाधान:

आइए पहचान का उपयोग करें: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

हमारा समीकरण बन जाता है: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

हमारे द्विघात समीकरण का हल मूल हैं: t=2 तथा t=-1/2

फिर cos(x)=2 और cos(x)=-1/2.

इसलिये कोसाइन एक से अधिक मान नहीं ले सकता, तो cos(x)=2 का कोई मूल नहीं है।

cos(x)=-1/2 के लिए: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; एक्स = ±2π/3 + 2πk

उत्तर: x= ±2π/3 + 2πk

सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।

परिभाषा: a sin(x)+b cos(x) के रूप के समीकरण को प्रथम घात का समघात त्रिकोणमितीय समीकरण कहा जाता है।

फॉर्म के समीकरण

दूसरी डिग्री के सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।

पहली डिग्री के समरूप त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, हम इसे cos(x) से विभाजित करते हैं: यदि यह शून्य के बराबर है, तो कोसाइन से विभाजित करना असंभव है, आइए सुनिश्चित करें कि ऐसा नहीं है:
चलो cos(x)=0, फिर asin(x)+0=0 => sin(x)=0, लेकिन साइन और कोसाइन एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, हमें एक विरोधाभास मिला है, इसलिए हम सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं शून्य से।

प्रश्न हल करें:
उदाहरण: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

समाधान:

सामान्य गुणनखंड निकालें: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

फिर हमें दो समीकरणों को हल करने की आवश्यकता है:

cos(x)=0 और cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 के लिए x= π/2 + πk;

समीकरण पर विचार करें cos(x)+sin(x)=0 हमारे समीकरण को cos(x) से विभाजित करें:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

उत्तर: x= π/2 + πk और x= -π/4+πk

दूसरी डिग्री के समरूप त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें?
दोस्तों इन नियमों का हमेशा पालन करें!

1. देखें कि गुणांक a किसके बराबर है, यदि a \u003d 0 तो हमारा समीकरण रूप लेगा cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), जिसके समाधान का एक उदाहरण पिछले पर है फिसल पट्टी

2. यदि a≠0, तो आपको समीकरण के दोनों भागों को वर्ग कोज्या से विभाजित करने की आवश्यकता है, हम प्राप्त करते हैं:

हम चर t=tg(x) का परिवर्तन करते हैं, हमें समीकरण मिलता है:

उदाहरण हल करें #:3

प्रश्न हल करें:
समाधान:

समीकरण के दोनों पक्षों को कोज्या वर्ग से विभाजित करें:

हम चर t=tg(x) में परिवर्तन करते हैं: t 2 + 2 t - 3 = 0

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए: t=-3 तथा t=1

तब: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + k=-arctg(3) + k

टीजी(एक्स)=1 => एक्स= π/4+ k

उत्तर: x=-arctg(3) + k और x= π/4+ k

उदाहरण हल करें #:4

प्रश्न हल करें:

समाधान:
आइए अपनी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

हम ऐसे समीकरणों को हल कर सकते हैं: x= - /4 + 2πk और x=5π/4 + 2πk

उत्तर: x= - /4 + 2πk और x=5π/4 + 2πk

उदाहरण हल करें #:5

प्रश्न हल करें:

समाधान:
आइए अपनी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

हम प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

हमारे द्विघात समीकरण का हल मूल होगा: t=-2 और t=1/2

तब हम प्राप्त करते हैं: tg(2x)=-2 और tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ k => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= आर्कटग(1/2) + k => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

उत्तर: x=-arctg(2)/2 + k/2 और x=arctg(1/2)/2+ k/2

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।

1) समीकरण हल करें

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) समीकरण हल करें: sin(3x)= √3/2. और अंतराल पर सभी मूल ज्ञात कीजिए [π/2; ].

3) समीकरण हल करें: सीटीजी 2 (एक्स) + 2 सीटीजी (एक्स) + 1 = 0

4) समीकरण को हल करें: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) समीकरण को हल करें: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) समीकरण को हल करें: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

त्रिकोणमिति के बुनियादी सूत्रों के ज्ञान की आवश्यकता है - साइन और कोसाइन के वर्गों का योग, साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा की अभिव्यक्ति, और अन्य। जो लोग भूल गए हैं या उन्हें नहीं जानते हैं, उनके लिए हम "" लेख पढ़ने की सलाह देते हैं।
इसलिए, हम मूल त्रिकोणमितीय सूत्रों को जानते हैं, अब उन्हें व्यवहार में लाने का समय आ गया है। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करनापर सही दृष्टिकोण- पर्याप्त एक रोमांचक गतिविधिजैसे रूबिक क्यूब को हल करना।

नाम के आधार पर ही यह स्पष्ट होता है कि त्रिकोणमितीय समीकरण एक ऐसा समीकरण होता है जिसमें अज्ञात एक त्रिकोणमितीय फलन के चिन्ह के नीचे होता है।
तथाकथित सरल त्रिकोणमितीय समीकरण हैं। यहाँ वे इस तरह दिखते हैं: sinх = a, cos x = a, tg x = a। विचार करना, ऐसे त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करेंस्पष्टता के लिए, हम पहले से ही परिचित त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करेंगे।

sinx = a

कॉस एक्स = ए

तन एक्स = ए

खाट x = a

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को दो चरणों में हल किया जाता है: हम समीकरण को सबसे सरल रूप में लाते हैं और फिर इसे सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में हल करते हैं।
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की 7 मुख्य विधियाँ हैं।

1. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन और प्रतिस्थापन विधि

समीकरण को हल करें 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

कमी सूत्रों का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं:

2cos 2 (x + /6) - 3cos(x + /6) +1 = 0

आइए सरलता के लिए cos(x + /6) को y से बदलें और सामान्य प्राप्त करें द्विघात समीकरण:

2y 2 - 3y + 1 + 0

जिसके मूल y 1 = 1, y 2 = 1/2

अब पीछे चलते हैं

हम y के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और दो उत्तर प्राप्त करते हैं:

2. गुणनखंडन द्वारा त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

पाप x + cos x = 1 समीकरण को कैसे हल करें?

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं ताकि 0 दाईं ओर बना रहे:

पाप x + cos x - 1 = 0

आइए समीकरण को सरल बनाने के लिए उपरोक्त सर्वसमिकाओं का उपयोग करें:

पाप x - 2 पाप 2 (x/2) = 0

आइए गुणनखंड करें:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

हमें दो समीकरण मिलते हैं

3. एक सजातीय समीकरण में कमी

एक समीकरण ज्या और कोज्या के सन्दर्भ में सजातीय होता है यदि ज्या और कोज्या के संबंध में उसके सभी पद समान कोण के समान अंश के हों। एक समांगी समीकरण को हल करने के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें:

ए) अपने सभी सदस्यों को बाईं ओर स्थानांतरित करें;

बी) सभी सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर रखें;

ग) सभी कारकों और कोष्ठकों को 0 से समान करें;

डी) कोष्ठक में, कम डिग्री का एक सजातीय समीकरण प्राप्त होता है, जो बदले में, एक साइन या कोसाइन द्वारा उच्च डिग्री में विभाजित होता है;

ई) टीजी के लिए परिणामी समीकरण को हल करें।

समीकरण को हल करें 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

आइए सूत्र sin 2 x + cos 2 x = 1 का उपयोग करें और दाईं ओर खुले दो से छुटकारा पाएं:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

पाप 2 x + 4 पाप x cos x + 3 cos 2 x = 0

कॉस x से विभाजित करें:

टीजी 2 एक्स + 4 टीजी एक्स + 3 = 0

हम tg x को y से बदलते हैं और द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं:

y 2 + 4y +3 = 0 जिसका मूल y 1 = 1, y 2 = 3 . है

यहाँ से हमें मूल समीकरण के दो हल मिलते हैं:

x 2 \u003d आर्कटिक 3 + k

4. आधा कोण में संक्रमण के माध्यम से समीकरणों को हल करना

समीकरण को हल करें 3sin x - 5cos x = 7

आइए x/2 पर चलते हैं:

6sin(x/2) * cos(x/2) - 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

सब कुछ बाईं ओर स्थानांतरित करना:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) से भाग दें:

टीजी 2 (एक्स/2) - 3 टीजी (एक्स/2) + 6 = 0

5. एक सहायक कोण का परिचय

विचार के लिए, आइए फॉर्म का एक समीकरण लें: a sin x + b cos x \u003d c,

जहाँ a, b, c कुछ स्वेच्छ गुणांक हैं और x अज्ञात है।

समीकरण के दोनों पक्षों को इस प्रकार विभाजित करें:



अब समीकरण के गुणांक, त्रिकोणमितीय सूत्रों के अनुसार, sin और cos के गुण हैं, अर्थात्: उनका मापांक 1 से अधिक नहीं है और वर्गों का योग = 1 है। आइए उन्हें क्रमशः cos और sin के रूप में निरूपित करें, ऐसा कहाँ है - सहायक कोण कहा जाता है। तब समीकरण रूप लेगा:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

या पाप (एक्स +) = सी

इस सरल त्रिकोणमितीय समीकरण का हल है

एक्स \u003d (-1) के * आर्कसिन सी - + के, जहां



यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पदनाम cos और sin विनिमेय हैं।

समीकरण को हल कीजिये sin 3x - cos 3x = 1

इस समीकरण में, गुणांक हैं:

ए \u003d, बी \u003d -1, इसलिए हम दोनों भागों को \u003d 2 . से विभाजित करते हैं

बहुतों को हल करते समय गणित की समस्याये , विशेष रूप से वे जो कक्षा 10 से पहले होते हैं, किए गए कार्यों का क्रम जो लक्ष्य तक ले जाएगा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। ऐसी समस्याओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, रैखिक और द्विघात समीकरण, रैखिक और द्विघात असमानताएँ, भिन्नात्मक समीकरणऔर समीकरण जो द्विघात को कम करते हैं। उल्लिखित कार्यों में से प्रत्येक के सफल समाधान का सिद्धांत इस प्रकार है: यह स्थापित करना आवश्यक है कि किस प्रकार का कार्य हल किया जा रहा है, क्रियाओं के आवश्यक अनुक्रम को याद रखें जो वांछित परिणाम की ओर ले जाएगा, अर्थात। उत्तर दें और इन चरणों का पालन करें।

जाहिर है, किसी विशेष समस्या को हल करने में सफलता या विफलता मुख्य रूप से इस बात पर निर्भर करती है कि हल किए जा रहे समीकरण के प्रकार का सही ढंग से निर्धारण कैसे किया जाता है, इसके समाधान के सभी चरणों का क्रम कितनी सही ढंग से पुन: उत्पन्न होता है। बेशक, इस मामले में, समान परिवर्तन और गणना करने के लिए कौशल होना आवश्यक है।

एक अलग स्थिति होती है त्रिकोणमितीय समीकरण।इस तथ्य को स्थापित करना कठिन नहीं है कि समीकरण त्रिकोणमितीय है। क्रियाओं का क्रम निर्धारित करते समय कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं जो सही उत्तर की ओर ले जाती हैं।

द्वारा दिखावटसमीकरण कभी-कभी इसके प्रकार को निर्धारित करना मुश्किल होता है। और समीकरण के प्रकार को जाने बिना, कई दर्जन त्रिकोणमितीय सूत्रों में से सही को चुनना लगभग असंभव है।

त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, हमें प्रयास करना चाहिए:

1. समीकरण में शामिल सभी कार्यों को "समान कोण" पर लाएं;
2. समीकरण को "समान कार्यों" में लाएं;
3. समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करें, आदि।

विचार करना त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी तरीके।

I. सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों में कमी

समाधान योजना

स्टेप 1।त्रिकोणमितीय फलन को ज्ञात घटकों के रूप में व्यक्त कीजिए।

चरण दोसूत्रों द्वारा फ़ंक्शन तर्क खोजें:

कॉस एक्स = ए; x = ±arccos a + 2πn, n Z।

पाप एक्स = ए; x \u003d (-1) n चापएक + n, n Z में।

टीजी एक्स = ए; एक्स \u003d आर्कटग ए + πn, एन Є जेड।

सीटीजी एक्स = ए; एक्स \u003d आर्कसीटीजी ए + πn, एन Є जेड।

चरण 3एक अज्ञात चर खोजें।

उदाहरण।

2 cos(3x - /4) = -√2।

समाधान।

1) cos(3x - /4) = -√2/2.

2) 3x - /4 = ± (π - /4) + 2πn, n Z;

3x - /4 = ±3π/4 + 2πn, n Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Z;

एक्स = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, एन Є जेड।

उत्तर: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Z.

द्वितीय. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन

समाधान योजना

स्टेप 1।इनमें से किसी एक के संबंध में समीकरण को बीजीय रूप में लाओ त्रिकोणमितीय फलन.

चरण दोपरिणामी फलन को चर t द्वारा निरूपित करें (यदि आवश्यक हो, t पर प्रतिबंध लागू करें)।

चरण 3रिकॉर्ड करें और हल करें बीजीय समीकरण.

चरण 4एक रिवर्स प्रतिस्थापन करें।

चरण 5सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

समाधान।

1) 2(1 - पाप 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) माना sin (x/2) = t, जहाँ |t| 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

टी = 1 या ई = -3/2 शर्त को पूरा नहीं करता |t| 1.

4) पाप (x/2) = 1.

5) x/2 = /2 + 2πn, n Z;

एक्स = π + 4πn, एन Є जेड।

उत्तर: x = + 4πn, n Z।

III. समीकरण क्रम कमी विधि

समाधान योजना

स्टेप 1।बिजली कटौती सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को एक रैखिक के साथ बदलें:

पाप 2 x \u003d 1/2 (1 - क्योंकि 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x)।

चरण दो I और II विधियों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

cos2x + cos2x = 5/4।

समाधान।

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4।

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Z;

x = ±π/6 + n, n Z.

उत्तर: x = ±π/6 + n, n Z.

चतुर्थ। सजातीय समीकरण

समाधान योजना

स्टेप 1।इस समीकरण को रूप में लाओ

a) a sin x + b cos x = 0 (पहली डिग्री का समांगी समीकरण)

या देखने के लिए

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

चरण दोसमीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें

ए) कॉस एक्स ≠ 0;

बी) cos 2 x 0;

और tg x के लिए समीकरण प्राप्त करें:

ए) ए टीजी एक्स + बी = 0;

बी) ए टीजी 2 एक्स + बी आर्कटीजी एक्स + सी = 0।

चरण 3ज्ञात विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

समाधान।

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4sin² x - 4cos 2 x = 0;

पाप 2 x + 3पाप x cos x -4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x 0.

2) टीजी 2 एक्स + 3 टीजी एक्स - 4 = 0।

3) माना tg x = t, तब

टी 2 + 3टी - 4 = 0;

टी = 1 या टी = -4, तो

टीजी एक्स = 1 या टीजी एक्स = -4।

पहले समीकरण से x = π/4 + πn, n Z; दूसरे समीकरण से x = -arctg 4 + k, k Z.

उत्तर: x = π/4 + n, n Z; x \u003d -arctg 4 + k, k Z.

V. त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को बदलने की विधि

समाधान योजना

स्टेप 1।सभी प्रकार के त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करते हुए, इस समीकरण को एक ऐसे समीकरण में लाएं जिसे I, II, III, IV विधियों द्वारा हल किया जा सकता है।

चरण दोज्ञात विधियों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

sinx + sin2x + sin3x = 0.

समाधान।

1) (पाप x + पाप 3x) + पाप 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) पाप 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 या 2cos x + 1 = 0;

पहले समीकरण से 2x = π/2 + πn, n Z; दूसरे समीकरण से x = -1/2।

हमारे पास x = /4 + πn/2, n Z; दूसरे समीकरण से x = ±(π - π/3) + 2πk, k Z.

नतीजतन, x \u003d / 4 + n / 2, n Z; एक्स = ±2π/3 + 2πk, के जेड।

उत्तर: x \u003d / 4 + n / 2, n Z; एक्स = ±2π/3 + 2πk, के जेड।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की क्षमता और कौशल बहुत हैं महत्वपूर्ण, उनके विकास के लिए छात्र और शिक्षक दोनों की ओर से काफी प्रयास की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान के साथ स्टीरियोमेट्री, भौतिकी आदि की कई समस्याएं जुड़ी हुई हैं। इस तरह की समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में, जैसे कि त्रिकोणमिति के तत्वों का अध्ययन करते समय प्राप्त किए गए कई ज्ञान और कौशल शामिल हैं।

त्रिकोणमितीय समीकरण सामान्य रूप से गणित पढ़ाने और व्यक्तित्व विकास की प्रक्रिया में एक महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं।

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त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके

परिचय 2

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके 5

बीजगणित 5

एक ही नाम के त्रिकोणमितीय कार्यों की समानता की स्थिति का उपयोग करके समीकरणों को हल करना 7

फैक्टरिंग 8

एक सजातीय समीकरण में कमी 10

सहायक कोण का परिचय 11

उत्पाद को योग 14 . में बदलें

सार्वभौमिक प्रतिस्थापन 14

निष्कर्ष 17

परिचय

दसवीं कक्षा तक, लक्ष्य की ओर ले जाने वाले कई अभ्यासों के कार्यों का क्रम, एक नियम के रूप में, स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, रैखिक और द्विघात समीकरण और असमानताएँ, भिन्नात्मक समीकरण और द्विघात समीकरण, आदि। उल्लिखित प्रत्येक उदाहरण को हल करने के सिद्धांत का विस्तार से विश्लेषण किए बिना, हम उन सामान्य बातों पर ध्यान देते हैं जो उनके सफल समाधान के लिए आवश्यक हैं।

ज्यादातर मामलों में, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि किस प्रकार का कार्य है, लक्ष्य की ओर ले जाने वाली क्रियाओं के क्रम को याद रखें और इन क्रियाओं को करें। यह स्पष्ट है कि समीकरणों को हल करने के तरीकों में महारत हासिल करने में छात्र की सफलता या असफलता मुख्य रूप से इस बात पर निर्भर करती है कि वह समीकरण के प्रकार को सही ढंग से निर्धारित करने में कितना सक्षम होगा और इसके समाधान के सभी चरणों के अनुक्रम को याद रखेगा। बेशक, यह मानता है कि छात्र के पास समान परिवर्तन और गणना करने का कौशल है।

एक पूरी तरह से अलग स्थिति तब होती है जब एक छात्र त्रिकोणमितीय समीकरणों का सामना करता है। साथ ही, इस तथ्य को स्थापित करना कठिन नहीं है कि समीकरण त्रिकोणमितीय है। एक सकारात्मक परिणाम की ओर ले जाने वाली कार्रवाई का पता लगाने में कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं। और यहां छात्र को दो समस्याओं का सामना करना पड़ता है। समीकरण की उपस्थिति से प्रकार निर्धारित करना मुश्किल है। और प्रकार को जाने बिना, उपलब्ध कई दर्जन में से वांछित सूत्र चुनना लगभग असंभव है।

छात्रों को खोजने में मदद करने के लिए सही तरीकात्रिकोणमितीय समीकरणों की एक जटिल भूलभुलैया में, उन्हें पहले समीकरणों से परिचित कराया जाता है, जो एक नए चर की शुरूआत के बाद, वर्ग वाले तक कम हो जाते हैं। फिर सजातीय समीकरणों को हल करें और उन्हें घटाएं। सब कुछ, एक नियम के रूप में, समीकरणों के साथ समाप्त होता है, जिसके समाधान के लिए बाईं ओर का कारक बनाना आवश्यक है, फिर प्रत्येक कारक को शून्य से बराबर करना।

यह समझते हुए कि पाठों में विश्लेषण किए गए डेढ़ दर्जन समीकरण स्पष्ट रूप से छात्र को त्रिकोणमितीय "समुद्र" पर स्वतंत्र रूप से जाने के लिए पर्याप्त नहीं हैं, शिक्षक खुद से कुछ और सिफारिशें जोड़ता है।

त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, हमें प्रयास करना चाहिए:

समीकरण में शामिल सभी कार्यों को "समान कोण" पर लाएं;

समीकरण को "समान फ़ंक्शन" में लाएं;

समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंड करें, आदि।

लेकिन, मुख्य प्रकार के त्रिकोणमितीय समीकरणों और उनके समाधान खोजने के लिए कई सिद्धांतों के ज्ञान के बावजूद, कई छात्र अभी भी प्रत्येक समीकरण के सामने खुद को एक गतिरोध में पाते हैं जो पहले हल किए गए समीकरणों से थोड़ा अलग होता है। यह स्पष्ट नहीं है कि किसी को एक या दूसरे समीकरण के लिए क्या प्रयास करना चाहिए, एक मामले में दोहरे कोण के सूत्रों को लागू करना क्यों आवश्यक है, दूसरे में - आधा कोण, और तीसरे में - जोड़ सूत्र, आदि।

परिभाषा 1.एक त्रिकोणमितीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें अज्ञात त्रिकोणमितीय कार्यों के संकेत के तहत निहित है।

परिभाषा 2.एक त्रिकोणमितीय समीकरण को समान कोण कहा जाता है यदि इसमें शामिल सभी त्रिकोणमितीय कार्यों में समान तर्क हों। वे कहते हैं कि त्रिकोणमितीय समीकरण में समान कार्य, यदि इसमें केवल एक त्रिकोणमितीय फलन है।

परिभाषा 3.त्रिकोणमितीय कार्यों वाले एकपदी की डिग्री इसमें शामिल त्रिकोणमितीय कार्यों की शक्तियों के घातांक का योग है।

परिभाषा 4.एक समीकरण को समांगी तब कहा जाता है जब उसके सभी एकपदी का घात समान हो। इस डिग्री को समीकरण का क्रम कहा जाता है।

परिभाषा 5.त्रिकोणमितीय समीकरण जिसमें केवल फलन होते हैं पापतथा क्योंकि, समरूप कहा जाता है यदि त्रिकोणमितीय फलनों के संबंध में सभी एकपदी की डिग्री समान हो, और त्रिकोणमितीय फलनों में स्वयं समान कोण हों और एकपदी की संख्या समीकरण के क्रम से 1 अधिक हो।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान में दो चरण होते हैं: समीकरण का सरलतम रूप प्राप्त करने के लिए परिवर्तन और परिणामी सरल त्रिकोणमितीय समीकरण का समाधान। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए सात बुनियादी तरीके हैं।

मैं. बीजगणितीय विधि।यह विधि बीजगणित से सर्वविदित है। (चरों के प्रतिस्थापन और प्रतिस्थापन की विधि)।

समीकरण हल करें।

1)

आइए परिचय देते हैं संकेतन एक्स=2 पाप3 टी, हम पाते हैं

इस समीकरण को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
या

वे। लिखा जा सकता है

संकेतों की उपस्थिति के कारण प्राप्त समाधान लिखते समय डिग्री
लिखने का कोई मतलब नहीं है।

उत्तर:

निरूपित

हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है
. इसकी जड़ें संख्याएं हैं
तथा
. इसलिए, यह समीकरण सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों में बदल जाता है
तथा
. उन्हें हल करने पर, हम पाते हैं कि
या
.

उत्तर:
;
.

निरूपित

शर्त को पूरा नहीं करता

माध्यम

उत्तर:

आइए समीकरण के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करें:

इस प्रकार, इस प्रारंभिक समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

, अर्थात।

दर्शाने
, हम पाते हैं
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर, हमारे पास है:

शर्त को पूरा नहीं करता

हम मूल समीकरण का हल लिखते हैं:

उत्तर:

प्रतिस्थापन
इस समीकरण को द्विघात समीकरण में कम कर देता है
. इसकी जड़ें संख्याएं हैं
तथा
. इसलिये
, फिर दिया गया समीकरणकोई जड़ नहीं है।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

द्वितीय. एक ही नाम के त्रिकोणमितीय कार्यों की समानता की स्थिति का उपयोग करके समीकरणों का समाधान।

एक)
, यदि

बी)
, यदि

में)
, यदि

इन शर्तों का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित समीकरणों के हल पर विचार करें:

6)

आइटम ए में जो कहा गया था उसका उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि समीकरण का एक हल है यदि और केवल अगर
.

इस समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं
.

हमारे पास समाधान के दो समूह हैं:

.

7) समीकरण हल करें:
.

भाग b की शर्त का उपयोग करते हुए, हम यह घटाते हैं कि
.

इन द्विघात समीकरणों को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

.

8) समीकरण हल करें
.

इस समीकरण से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं। इस द्विघात समीकरण को हल करने पर हम पाते हैं कि

.

तृतीय. गुणनखंडन।

हम उदाहरण के साथ इस विधि पर विचार करते हैं।

9) समीकरण हल करें
.

समाधान। आइए समीकरण के सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ: .

हम समीकरण के बाईं ओर के व्यंजक को रूपांतरित और गुणनखंडित करते हैं:
.

.

.

1)
2)

इसलिये
तथा
मान शून्य न लें

उसी समय, हम दोनों भागों को अलग कर देते हैं

के लिए समीकरण
,

उत्तर:

10) समीकरण हल करें:

समाधान।

या

उत्तर:

11) समीकरण हल करें

समाधान:

1)
2)
3)

,

उत्तर:

चतुर्थ. एक सजातीय समीकरण में कमी।

एक सजातीय समीकरण को हल करने के लिए, आपको चाहिए:

इसके सभी सदस्यों को बाईं ओर ले जाएँ;

सभी सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर रखें;

सभी कारकों और कोष्ठकों को शून्य के बराबर करें;

शून्य के बराबर कोष्ठक कम डिग्री का एक सजातीय समीकरण देते हैं, जिसे विभाजित किया जाना चाहिए
(या
) वरिष्ठ डिग्री में;

परिणामी बीजगणितीय समीकरण को हल करें
.

उदाहरणों पर विचार करें:

12) समीकरण हल करें:

समाधान।

समीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें
,

संकेतन का परिचय
, नाम

इस समीकरण की जड़ें हैं:

यहाँ से 1)
2)

उत्तर:

13) समीकरण हल करें:

समाधान। द्विकोण सूत्र और मूल का उपयोग करना त्रिकोणमितीय पहचान, हम इस समीकरण को आधा तर्क में कम करते हैं:

समान पदों को कम करने के बाद, हमारे पास है:

सजातीय अंतिम समीकरण को से विभाजित करना
, हम पाते हैं

मैं नामित करूंगा
, हम द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं
, जिनकी जड़ें संख्याएं हैं

इस तरह

अभिव्यक्ति
गायब हो जाता है
, अर्थात। पर
,
.

समीकरण के हमारे समाधान में ये संख्याएँ शामिल नहीं हैं।

उत्तर:
, .

वी. एक सहायक कोण का परिचय।

फॉर्म के समीकरण पर विचार करें

कहाँ पे ए, बी, सी- गुणांक, एक्स- अनजान।

इस समीकरण के दोनों पक्षों को से भाग दें

अब समीकरण के गुणांक में साइन और कोसाइन के गुण हैं, अर्थात्: उनमें से प्रत्येक का मापांक एकता से अधिक नहीं है, और उनके वर्गों का योग 1 के बराबर है।

फिर हम उन्हें तदनुसार लेबल कर सकते हैं
(यहां - सहायक कोण) और हमारा समीकरण रूप लेता है: .

फिर

और उसका फैसला

ध्यान दें कि प्रस्तुत संकेतन विनिमेय है।

14) समीकरण हल करें:

समाधान। यहां
, इसलिए हम समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करते हैं

उत्तर:

15) समीकरण हल करें

समाधान। इसलिये
, तो यह समीकरण समीकरण के बराबर है

इसलिये
, तो एक कोण ऐसा है कि
,
(वे।
).

हमारे पास है

इसलिये
, तो हम अंत में प्राप्त करते हैं:

.

ध्यान दें कि फॉर्म के समीकरण का एक हल होता है अगर और केवल अगर

16) समीकरण हल करें:

इस समीकरण को हल करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय कार्यों को समान तर्कों के साथ समूहित करते हैं

समीकरण के दोनों पक्षों को दो से विभाजित करें

हम त्रिकोणमितीय कार्यों के योग को उत्पाद में बदलते हैं:

उत्तर:

छठी. उत्पाद को योग में बदलें।

यहां संबंधित सूत्रों का उपयोग किया जाता है।

17) समीकरण को हल करें:

समाधान। आइए बाईं ओर को योग में बदलें:

सातवीं।सार्वभौमिक प्रतिस्थापन।

,

ये सूत्र सभी के लिए सही हैं

प्रतिस्थापन
सार्वभौमिक कहा जाता है।

18) समीकरण हल करें:

समाधान: बदलें और
के माध्यम से उनकी अभिव्यक्ति के लिए
और निरूपित करें
.

हमें एक परिमेय समीकरण प्राप्त होता है
, जिसे वर्ग में परिवर्तित किया जाता है
.

इस समीकरण की जड़ें संख्याएं हैं
.

इसलिए, समस्या दो समीकरणों को हल करने के लिए कम हो गई थी
.

हम पाते हैं कि
.

मूल्य देखें
मूल समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है, जिसे चेक करके सत्यापित किया जाता है - दिए गए मान को प्रतिस्थापित करना टीमूल समीकरण के लिए।

उत्तर:
.

टिप्पणी। समीकरण 18 को अलग तरीके से हल किया जा सकता है।

इस समीकरण के दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करें (अर्थात by
):
.

इसलिये
, तो एक संख्या है
, क्या
तथा
. तो समीकरण बन जाता है:
या
. यहाँ से हम पाते हैं कि
कहाँ पे
.

19) समीकरण हल करें
.

समाधान। कार्यों के बाद से
तथा
1 के बराबर सबसे बड़ा मान है, तो उनका योग 2 के बराबर है यदि
तथा
, उसी समय, अर्थात्
.

उत्तर:
.

इस समीकरण को हल करते समय, कार्यों की सीमा का उपयोग किया गया था।

निष्कर्ष।

"त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान" विषय पर कार्य करते हुए, प्रत्येक शिक्षक के लिए निम्नलिखित अनुशंसाओं का पालन करना उपयोगी होता है:

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीकों को व्यवस्थित करें।

समीकरण का विश्लेषण करने के लिए चरणों और एक या किसी अन्य समाधान विधि का उपयोग करने की समीचीनता के संकेतों को स्वयं चुनें।

विधि के कार्यान्वयन पर गतिविधि के आत्म-नियंत्रण के तरीकों पर विचार करना।

प्रत्येक अध्ययन की गई विधियों के लिए "अपने" समीकरण बनाना सीखें।

आवेदन संख्या 1

सजातीय या कम करने योग्य समीकरणों को हल करें।

1.	प्रतिनिधि
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5.	प्रतिनिधि
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7.	प्रतिनिधि
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