मूल त्रिकोणमितीय पहचान। साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट - ओजीई और यूएसई में आपको जो कुछ जानने की जरूरत है

इस लेख में, हम दिखाएंगे कि कैसे त्रिकोणमिति में कोण और संख्या के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाएं. यहां हम अंकन के बारे में बात करेंगे, अभिलेखों के उदाहरण देंगे, ग्राफिक चित्रण देंगे। अंत में, हम त्रिकोणमिति और ज्यामिति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं के बीच एक समानांतर रेखा खींचते हैं।

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साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषा

आइए देखें कि स्कूल गणित पाठ्यक्रम में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटेंजेंट की अवधारणा कैसे बनती है। ज्यामिति पाठों में, ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषा दी गई है न्यून कोणएक समकोण त्रिभुज में। और बाद में त्रिकोणमिति का अध्ययन किया जाता है, जो रोटेशन के कोण और संख्या के साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट को संदर्भित करता है। हम ये सभी परिभाषाएँ देते हैं, उदाहरण देते हैं और आवश्यक टिप्पणियाँ देते हैं।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण

ज्यामिति के पाठ्यक्रम से, एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाएँ ज्ञात होती हैं। उन्हें एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में दिया जाता है। हम उनके सूत्र प्रस्तुत करते हैं।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्याविपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की कोज्याआसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की स्पर्श रेखाविपरीत पैर का आसन्न पैर से अनुपात है।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण का कोटैंजेंटआसन्न पैर का विपरीत पैर का अनुपात है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट का अंकन भी वहां पेश किया जाता है - क्रमशः पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी।

उदाहरण के लिए, यदि ABC एक समकोण C वाला समकोण त्रिभुज है, तो न्यून कोण A की ज्या विपरीत पैर BC और कर्ण AB के अनुपात के बराबर है, अर्थात sin∠A=BC/AB।

ये परिभाषाएँ आपको एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की ज्ञात लंबाई से, साथ ही साइन, कोसाइन के ज्ञात मानों से, एक तीव्र कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के मूल्यों की गणना करने की अनुमति देती हैं। स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट और एक भुजा की लंबाई, अन्य भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए। उदाहरण के लिए, यदि हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में पैर AC 3 है और कर्ण AB 7 है, तो हम न्यून कोण A की कोज्या की गणना परिभाषा के अनुसार कर सकते हैं: cos∠A=AC/AB=3/7 ।

रोटेशन का कोण

त्रिकोणमिति में, वे कोण को अधिक व्यापक रूप से देखना शुरू करते हैं - वे रोटेशन के कोण की अवधारणा का परिचय देते हैं। एक तीव्र कोण के विपरीत, रोटेशन का कोण 0 से 90 डिग्री तक फ्रेम द्वारा सीमित नहीं है, डिग्री (और रेडियन में) में रोटेशन के कोण को −∞ से +∞ तक किसी भी वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

इस प्रकाश में, ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाएं अब एक न्यून कोण नहीं हैं, बल्कि मनमाने परिमाण का कोण हैं - रोटेशन का कोण। वे बिंदु ए 1 के एक्स और वाई निर्देशांक के माध्यम से दिए गए हैं, जिसमें तथाकथित प्रारंभिक बिंदु ए (1, 0) बिंदु ओ के चारों ओर कोण α के माध्यम से घूमने के बाद गुजरता है - एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की शुरुआत और यूनिट सर्कल का केंद्र।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की ज्याα बिंदु A 1 की कोटि है, अर्थात sinα=y ।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की कोज्याα को बिंदु A 1 का भुज कहा जाता है, अर्थात cosα=x ।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की स्पर्शरेखाα, बिंदु A 1 की कोटि का उसके भुज, यानी tgα=y/x से अनुपात है।

परिभाषा।

रोटेशन के कोण का कोटैंजेंटα, बिंदु A 1 के भुज का उसके कोटि से अनुपात है, अर्थात ctgα=x/y ।

साइन और कोसाइन को किसी भी कोण α के लिए परिभाषित किया गया है, क्योंकि हम हमेशा एक बिंदु के भुज और कोटि को निर्धारित कर सकते हैं, जो कोण α के माध्यम से प्रारंभिक बिंदु को घुमाकर प्राप्त किया जाता है। और स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट किसी भी कोण के लिए परिभाषित नहीं हैं। स्पर्शरेखा ऐसे कोणों के लिए परिभाषित नहीं है α जिस पर प्रारंभिक बिंदु शून्य भुज (0, 1) या (0, -1) के साथ एक बिंदु पर जाता है, और यह कोणों पर होता है 90°+180° k , k∈Z (π /2+π के रेड)। दरअसल, रोटेशन के ऐसे कोणों पर, अभिव्यक्ति tgα=y/x का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होता है। कोटैंजेंट के लिए, यह ऐसे कोणों α के लिए परिभाषित नहीं है, जिस पर प्रारंभिक बिंदु शून्य कोटि (1, 0) या (-1, 0) के साथ एक बिंदु पर जाता है, और यह 180° k कोणों के लिए मामला है, k Z (π k rad)।

तो, साइन और कोसाइन को किसी भी रोटेशन कोण के लिए परिभाषित किया गया है, स्पर्शरेखा को 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है, और कोटैंजेंट 180 को छोड़कर सभी कोणों के लिए है। ° · k , k∈Z (π·k rad)।

हमारे लिए पहले से ज्ञात संकेतन पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी की परिभाषाओं में प्रकट होते हैं, उनका उपयोग रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट को दर्शाने के लिए भी किया जाता है (कभी-कभी आप नोटेशन टैन और कोट को स्पर्शरेखा के अनुरूप पा सकते हैं और कोटैंजेंट)। तो 30 डिग्री के रोटेशन कोण की साइन को sin30° के रूप में लिखा जा सकता है, रिकॉर्ड tg(−24°17′) और ctgα रोटेशन कोण −24 डिग्री 17 मिनट के स्पर्शरेखा के अनुरूप होते हैं और रोटेशन कोण α के कोटेंजेंट के अनुरूप होते हैं। . याद रखें कि कोण के रेडियन माप को लिखते समय, अंकन "रेड" को अक्सर छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, तीन पाई रेड के घूर्णन कोण के कोज्या को आमतौर पर cos3 दर्शाया जाता है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, यह ध्यान देने योग्य है कि रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के बारे में बात करते समय, वाक्यांश "घूर्णन का कोण" या शब्द "रोटेशन" अक्सर छोड़ा जाता है। यही है, "रोटेशन अल्फा के कोण की साइन" वाक्यांश के बजाय, "अल्फा के कोण की साइन" वाक्यांश आमतौर पर प्रयोग किया जाता है, या इससे भी छोटा - "अल्फा की साइन"। वही कोसाइन, और स्पर्शरेखा, और कोटैंजेंट पर लागू होता है।

आइए यह भी कहें कि एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषाएं 0 से 90 तक के रोटेशन कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के लिए दी गई परिभाषाओं के अनुरूप हैं। डिग्री। हम इसकी पुष्टि करेंगे।

नंबर

परिभाषा।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट t एक संख्या है जो क्रमशः t रेडियन में घूर्णन कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटांगेंट के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए, 8 की कोज्या, परिभाषा के अनुसार, 8 रेड के कोण के कोज्या के बराबर एक संख्या है। और 8 रेड में कोण की कोज्या एक के बराबर होती है, इसलिए संख्या 8 की कोज्या 1 के बराबर होती है।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषा के लिए एक और दृष्टिकोण है। यह इस तथ्य में समाहित है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या t को आयताकार समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्रित इकाई वृत्त का एक बिंदु सौंपा गया है, और साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट इस बिंदु के निर्देशांक के संदर्भ में निर्धारित किए जाते हैं। आइए इस पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

आइए हम दिखाते हैं कि वास्तविक संख्याओं और वृत्त के बिंदुओं के बीच पत्राचार कैसे स्थापित होता है:

• संख्या 0 को प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) सौंपा गया है;
• एक धनात्मक संख्या t इकाई वृत्त पर एक बिंदु के साथ जुड़ा हुआ है, जो हमें तब मिलेगा जब हम वृत्त के चारों ओर प्रारंभिक बिंदु से वामावर्त दिशा में घूमते हैं और लंबाई t के पथ से गुजरते हैं;
• एक ऋणात्मक संख्या t इकाई वृत्त पर एक बिंदु के साथ जुड़ा हुआ है, जो हमें तब मिलेगा जब हम वृत्त के चारों ओर प्रारंभिक बिंदु से दक्षिणावर्त दिशा में घूमते हैं और लंबाई के पथ से गुजरते हैं |t| .

आइए अब हम संख्या t की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाओं पर चलते हैं। आइए मान लें कि संख्या टी सर्कल ए 1 (एक्स, वाई) के एक बिंदु से मेल खाती है (उदाहरण के लिए, संख्या &pi/2; बिंदु ए 1 (0, 1) से मेल खाती है)।

परिभाषा।

एक संख्या की ज्या t संख्या t के संगत इकाई वृत्त बिंदु की कोटि है, जो कि sint=y है।

परिभाषा।

एक संख्या की कोज्या t को संख्या t के संगत इकाई वृत्त के उस बिंदु का भुज कहा जाता है, जो कि लागत = x है।

परिभाषा।

एक संख्या की स्पर्शरेखा t, संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु के भुज से कोटि का अनुपात है, अर्थात tgt=y/x। एक अन्य समकक्ष सूत्रीकरण में, संख्या t की स्पर्शरेखा इस संख्या की ज्या का कोज्या से अनुपात है, जो कि tgt=sint/cost है।

परिभाषा।

किसी संख्या का स्पर्शज्या t संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु की कोटि से भुज का अनुपात है, अर्थात ctgt=x/y. एक अन्य सूत्रीकरण इस प्रकार है: संख्या t की स्पर्शरेखा संख्या t की कोज्या का संख्या t की ज्या से अनुपात है: ctgt=cost/sint.

यहां हम ध्यान दें कि अभी दी गई परिभाषाएं इस उपधारा की शुरुआत में दी गई परिभाषा से मेल खाती हैं। वास्तव में, संख्या t के संगत इकाई वृत्त का बिंदु t रेडियन के कोण के माध्यम से प्रारंभिक बिंदु को घुमाकर प्राप्त बिंदु के साथ मेल खाता है।

इस बिंदु को स्पष्ट करना भी उचित है। मान लें कि हमारे पास sin3 प्रविष्टि है। कैसे समझें कि संख्या 3 की ज्या या 3 रेडियन के घूर्णन कोण की ज्या प्रश्न में है? यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है, अन्यथा इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

कोणीय और संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

पिछले पैराग्राफ में दी गई परिभाषाओं के अनुसार, प्रत्येक रोटेशन कोण α एक अच्छी तरह से परिभाषित मान sin α के साथ-साथ मान cos α से मेल खाता है। इसके अलावा, 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) के अलावा सभी घूर्णन कोण tgα , और 180° k , k∈Z (π k rad ) के अलावा अन्य मानों के अनुरूप हैं। ctgα के मान हैं। इसलिए sinα, cosα, tgα और ctgα कोण α के कार्य हैं। दूसरे शब्दों में, ये कोणीय तर्क के कार्य हैं।

इसी तरह, हम एक संख्यात्मक तर्क के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के कार्यों के बारे में बात कर सकते हैं। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या t sint के सुपरिभाषित मान के साथ-साथ लागत से मेल खाती है। इसके अलावा, π/2+π·k , k∈Z के अलावा अन्य सभी संख्याएँ tgt के मानों से मेल खाती हैं, और ·k , k∈Z की संख्या ctgt के मानों से मेल खाती है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के कार्यों को कहा जाता है बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्य.

संदर्भ से यह आमतौर पर स्पष्ट है कि हम कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ काम कर रहे हैं। अन्यथा, हम स्वतंत्र चर को कोण के माप (कोण तर्क) और संख्यात्मक तर्क दोनों के रूप में मान सकते हैं।

हालांकि, स्कूल मुख्य रूप से संख्यात्मक कार्यों का अध्ययन करता है, यानी ऐसे कार्य जिनके तर्क, साथ ही साथ उनके संबंधित कार्य मान संख्याएं हैं। इसलिए, यदि हम कार्यों के बारे में बात कर रहे हैं, तो त्रिकोणमितीय कार्यों को संख्यात्मक तर्कों के कार्यों के रूप में विचार करना उचित है।

ज्यामिति और त्रिकोणमिति से परिभाषाओं का कनेक्शन

यदि हम रोटेशन के कोण α को 0 से 90 डिग्री तक मानते हैं, तो रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषा के त्रिकोणमिति के संदर्भ में डेटा पूरी तरह से साइन, कोसाइन की परिभाषाओं के अनुरूप है। , समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की स्पर्श रेखा और कोटेंजेंट, जो ज्यामिति पाठ्यक्रम में दिए गए हैं। आइए इसकी पुष्टि करते हैं।

एक आयत में ड्रा करें कार्तीय प्रणालीऑक्सी यूनिट सर्कल का समन्वय करता है। प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) पर ध्यान दें। आइए इसे 0 से 90 डिग्री के कोण α से घुमाते हैं, हमें बिंदु A 1 (x, y) मिलता है। आइए बिंदु A 1 से ऑक्‍स अक्ष पर लंब A 1 H को छोड़ दें।

यह देखना आसान है कि एक समकोण त्रिभुज में कोण A 1 OH घूर्णन कोण α के बराबर होता है, इस कोण से सटे पैर OH की लंबाई बिंदु A 1 के भुज के बराबर होती है, अर्थात |OH |=x, कोण A 1 H के विपरीत पैर की लंबाई बिंदु A 1 की कोटि के बराबर है, अर्थात |A 1 H|=y, और कर्ण OA 1 की लंबाई एक के बराबर है , क्योंकि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है। फिर, ज्यामिति से परिभाषा के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज A 1 OH में एक न्यून कोण α की ज्या कर्ण के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर होती है, अर्थात sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= वाई/1 = वाई। और त्रिकोणमिति से परिभाषा के अनुसार, रोटेशन के कोण की ज्या α बिंदु A 1 की कोटि के बराबर है, जो कि sinα=y है। इससे पता चलता है कि एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या की परिभाषा 0 से 90 डिग्री के लिए α के रोटेशन के कोण की ज्या की परिभाषा के बराबर है।

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि एक न्यून कोण α के कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाएं रोटेशन के कोण के कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की परिभाषाओं के अनुरूप हैं।

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गणित की एक शाखा जिसके साथ स्कूली बच्चे सबसे बड़ी कठिनाइयों का सामना करते हैं, वह है त्रिकोणमिति। कोई आश्चर्य नहीं: ज्ञान के इस क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से महारत हासिल करने के लिए, आपको स्थानिक सोच, सूत्रों का उपयोग करके साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटेंगेंट खोजने की क्षमता, अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और गणना में संख्या pi का उपयोग करने में सक्षम होने की आवश्यकता है। इसके अलावा, आपको प्रमेयों को सिद्ध करते समय त्रिकोणमिति को लागू करने में सक्षम होना चाहिए, और इसके लिए या तो एक विकसित गणितीय स्मृति या जटिल तार्किक श्रृंखलाओं को निकालने की क्षमता की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमिति की उत्पत्ति

इस विज्ञान से परिचित होना कोण के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा से शुरू होना चाहिए, लेकिन पहले आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि त्रिकोणमिति सामान्य रूप से क्या करती है।

ऐतिहासिक रूप से, गणितीय विज्ञान के इस खंड में समकोण त्रिभुज अध्ययन का मुख्य उद्देश्य रहा है। 90 डिग्री के कोण की उपस्थिति से विभिन्न ऑपरेशन करना संभव हो जाता है जो किसी को दो पक्षों और एक कोण या दो कोणों और एक तरफ का उपयोग करके विचाराधीन आकृति के सभी मापदंडों के मूल्यों को निर्धारित करने की अनुमति देता है। अतीत में, लोगों ने इस पैटर्न पर ध्यान दिया और इसे इमारतों, नेविगेशन, खगोल विज्ञान और यहां तक ​​कि कला के निर्माण में सक्रिय रूप से उपयोग करना शुरू कर दिया।

प्रथम चरण

प्रारंभ में, लोग विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों के उदाहरण पर कोणों और भुजाओं के संबंध के बारे में बात करते थे। तब विशेष सूत्रों की खोज की गई जिससे उपयोग की सीमाओं का विस्तार करना संभव हो गया रोजमर्रा की जिंदगीगणित की यह शाखा।

आज स्कूल में त्रिकोणमिति का अध्ययन समकोण त्रिभुज से शुरू होता है, जिसके बाद प्राप्त ज्ञान का उपयोग छात्र भौतिकी और अमूर्त समस्याओं को हल करने में करते हैं। त्रिकोणमितीय समीकरण, जिसके साथ काम हाई स्कूल में शुरू होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति

बाद में, जब विज्ञान विकास के अगले स्तर पर पहुंच गया, तो गोलाकार ज्यामिति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटेंजेंट वाले सूत्रों का उपयोग किया जाने लगा, जहां अन्य नियम लागू होते हैं, और त्रिभुज में कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से अधिक होता है। इस खंड का अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन इसके अस्तित्व के बारे में जानना आवश्यक है, कम से कम क्योंकि पृथ्वी की सतह और किसी भी अन्य ग्रह की सतह उत्तल है, जिसका अर्थ है कि किसी भी सतह का अंकन "चाप के आकार का" होगा। त्रि-आयामी अंतरिक्ष।

ग्लोब और धागा लें। धागे को ग्लोब पर किन्हीं दो बिंदुओं से इस प्रकार संलग्न करें कि यह तना हुआ हो। ध्यान दें - इसने एक चाप का आकार प्राप्त कर लिया है। यह इस तरह के रूपों के साथ है कि गोलाकार ज्यामिति, जिसका उपयोग भूगणित, खगोल विज्ञान और अन्य सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में किया जाता है, सौदों।

सही त्रिकोण

त्रिकोणमिति का उपयोग करने के तरीकों के बारे में थोड़ा जानने के बाद, आइए मूल त्रिकोणमिति पर लौटते हैं ताकि आगे यह समझ सकें कि साइन, कोसाइन, टेंगेंट क्या हैं, उनकी मदद से कौन सी गणना की जा सकती है और किन सूत्रों का उपयोग करना है।

पहला कदम एक समकोण त्रिभुज से संबंधित अवधारणाओं को समझना है। सबसे पहले, कर्ण 90 डिग्री के कोण के विपरीत पक्ष है। वह सबसे लंबी है। हमें याद है कि पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, इसका संख्यात्मक मान अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के मूल के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, यदि दो भुजाएँ क्रमशः 3 और 4 सेंटीमीटर हैं, तो कर्ण की लंबाई 5 सेंटीमीटर होगी। वैसे, प्राचीन मिस्रवासियों को इस बारे में लगभग साढ़े चार हजार साल पहले पता था।

शेष दो भुजाएँ जो एक समकोण बनाती हैं, टाँगें कहलाती हैं। इसके अलावा, हमें यह याद रखना चाहिए कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में त्रिभुज में कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

परिभाषा

अंत में, ज्यामितीय आधार की एक ठोस समझ के साथ, हम एक कोण के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा की ओर मुड़ सकते हैं।

कोण की ज्या कर्ण के विपरीत पैर (यानी, वांछित कोण के विपरीत पक्ष) का अनुपात है। कोण की कोज्या कर्ण से आसन्न पैर का अनुपात है।

याद रखें कि न तो ज्या और न ही कोज्या एक से बड़ा हो सकता है! क्यों? क्योंकि कर्ण डिफ़ॉल्ट रूप से सबसे लंबा होता है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि पैर कितना लंबा है, यह कर्ण से छोटा होगा, जिसका अर्थ है कि उनका अनुपात हमेशा एक से कम होगा। इस प्रकार, यदि आपको समस्या के उत्तर में 1 से अधिक मान वाली साइन या कोसाइन मिलती है, तो गणना या तर्क में त्रुटि की तलाश करें। यह उत्तर स्पष्ट रूप से गलत है।

अंत में, किसी कोण की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात है। वही परिणाम कोज्या द्वारा ज्या का विभाजन देगा। देखो: सूत्र के अनुसार, हम पक्ष की लंबाई को कर्ण से विभाजित करते हैं, जिसके बाद हम दूसरी भुजा की लंबाई से विभाजित करते हैं और कर्ण से गुणा करते हैं। इस प्रकार, हमें स्पर्शरेखा की परिभाषा के समान अनुपात मिलता है।

कोटैंजेंट, क्रमशः, कोने से सटी भुजा का विपरीत दिशा में अनुपात है। हम इकाई को स्पर्शरेखा से विभाजित करने पर समान परिणाम प्राप्त करते हैं।

इसलिए, हमने साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषाओं पर विचार किया है, और हम सूत्रों से निपट सकते हैं।

सबसे सरल सूत्र

त्रिकोणमिति में, कोई सूत्र के बिना नहीं कर सकता - उनके बिना साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट कैसे खोजें? और समस्याओं को हल करते समय ठीक यही आवश्यक है।

त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करते समय आपको जो पहला सूत्र जानने की जरूरत है, वह कहता है कि एक कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों का योग एक के बराबर होता है। यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है, लेकिन यह समय बचाता है यदि आप कोण का मान जानना चाहते हैं, भुजा का नहीं।

कई छात्र दूसरे सूत्र को याद नहीं कर सकते हैं, जो स्कूल की समस्याओं को हल करते समय भी बहुत लोकप्रिय है: एक का योग और एक कोण के स्पर्शरेखा का वर्ग कोण के कोसाइन के वर्ग द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है। करीब से देखें: आखिरकार, यह वही कथन है जो पहले सूत्र में था, केवल पहचान के दोनों पक्षों को कोसाइन के वर्ग द्वारा विभाजित किया गया था। यह पता चला है कि एक साधारण गणितीय ऑपरेशन त्रिकोणमितीय सूत्र को पूरी तरह से पहचानने योग्य नहीं बनाता है। याद रखें: यह जानकर कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट क्या हैं, रूपांतरण नियम और कुछ बुनियादी सूत्र, आप किसी भी समय स्वतंत्र रूप से कागज़ की शीट पर आवश्यक अधिक जटिल सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

द्विकोण सूत्र और तर्कों का योग

दो और सूत्र जिन्हें आपको सीखने की आवश्यकता है, वे कोणों के योग और अंतर के लिए साइन और कोसाइन के मूल्यों से संबंधित हैं। उन्हें नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। कृपया ध्यान दें कि पहले मामले में, साइन और कोसाइन को दोनों बार गुणा किया जाता है, और दूसरे में, साइन और कोसाइन का जोड़ीदार उत्पाद जोड़ा जाता है।

दोहरे कोण तर्कों से जुड़े सूत्र भी हैं। वे पूरी तरह से पिछले वाले से व्युत्पन्न हैं - एक अभ्यास के रूप में, अल्फा के कोण को बीटा के कोण के बराबर लेते हुए, उन्हें स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें।

अंत में, ध्यान दें कि डबल कोण सूत्रों को साइन, कोसाइन, टेंगेंट अल्फा की डिग्री को कम करने के लिए परिवर्तित किया जा सकता है।

प्रमेयों

मूल त्रिकोणमिति में दो मुख्य प्रमेय हैं साइन प्रमेय और कोसाइन प्रमेय। इन प्रमेयों की सहायता से, आप आसानी से समझ सकते हैं कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कैसे खोजें, और इसलिए आकृति का क्षेत्र, और प्रत्येक पक्ष का आकार, आदि।

साइन प्रमेय में कहा गया है कि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई को विपरीत कोण के मान से विभाजित करने पर हमें वही संख्या प्राप्त होती है। इसके अलावा, यह संख्या परिबद्ध वृत्त की दो त्रिज्याओं के बराबर होगी, अर्थात वह वृत्त जिसमें दिए गए त्रिभुज के सभी बिंदु हों।

कोसाइन प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय को सामान्य करता है, इसे किसी भी त्रिभुज पर प्रक्षेपित करता है। यह पता चला है कि दोनों पक्षों के वर्गों के योग से, उनके उत्पाद को उनके आसन्न कोण के दोहरे कोसाइन से गुणा करके घटाया जाता है - परिणामी मूल्य तीसरे पक्ष के वर्ग के बराबर होगा। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला बन जाता है।

असावधानी के कारण गलतियाँ

साइन, कोसाइन और टेंगेंट क्या हैं, यह जानते हुए भी, अनुपस्थिति या सरल गणनाओं में त्रुटि के कारण गलती करना आसान है। ऐसी गलतियों से बचने के लिए, आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय से परिचित हों।

सबसे पहले, आपको अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक साधारण अंशों को दशमलव में नहीं बदलना चाहिए - आप उत्तर को फॉर्म में छोड़ सकते हैं सामान्य अंशजब तक कि स्थिति अन्यथा न बताए। इस तरह के परिवर्तन को गलती नहीं कहा जा सकता है, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि समस्या के प्रत्येक चरण में नई जड़ें दिखाई दे सकती हैं, जिसे लेखक के विचार के अनुसार कम किया जाना चाहिए। इस मामले में, आप अनावश्यक गणितीय कार्यों पर समय बर्बाद करेंगे। यह तीन या दो की जड़ जैसे मूल्यों के लिए विशेष रूप से सच है, क्योंकि वे हर कदम पर कार्यों में होते हैं। वही "बदसूरत" संख्याओं को गोल करने पर लागू होता है।

इसके अलावा, ध्यान दें कि कोसाइन प्रमेय किसी भी त्रिभुज पर लागू होता है, लेकिन पाइथागोरस प्रमेय पर नहीं! यदि आप गलती से उनके बीच के कोण के कोसाइन द्वारा गुणा किए गए पक्षों के उत्पाद को दो बार घटाना भूल जाते हैं, तो आपको न केवल पूरी तरह से गलत परिणाम मिलेगा, बल्कि विषय की पूरी गलतफहमी भी प्रदर्शित होगी। यह एक लापरवाह गलती से भी बदतर है।

तीसरा, साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंजेंट के लिए 30 और 60 डिग्री के कोणों के मानों को भ्रमित न करें। इन मानों को याद रखें, क्योंकि 30 डिग्री की ज्या 60 की कोज्या के बराबर होती है, और इसके विपरीत। उन्हें मिलाना आसान है, जिसके परिणामस्वरूप आपको अनिवार्य रूप से एक गलत परिणाम मिलेगा।

आवेदन पत्र

कई छात्र त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करने की जल्दी में नहीं हैं, क्योंकि वे इसके लागू अर्थ को नहीं समझते हैं। एक इंजीनियर या खगोलशास्त्री के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा क्या है? ये अवधारणाएं हैं, जिसके लिए आप दूर के सितारों की दूरी की गणना कर सकते हैं, एक उल्कापिंड के गिरने की भविष्यवाणी कर सकते हैं, दूसरे ग्रह पर एक शोध जांच भेज सकते हैं। उनके बिना, एक इमारत बनाना, एक कार डिजाइन करना, सतह पर भार की गणना करना या किसी वस्तु के प्रक्षेपवक्र की गणना करना असंभव है। और ये सिर्फ सबसे स्पष्ट उदाहरण हैं! आखिरकार, संगीत से लेकर चिकित्सा तक, किसी न किसी रूप में त्रिकोणमिति का उपयोग हर जगह किया जाता है।

आखिरकार

तो आप ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा हैं। आप उनका उपयोग गणना में कर सकते हैं और स्कूल की समस्याओं को सफलतापूर्वक हल कर सकते हैं।

त्रिकोणमिति का पूरा सार इस तथ्य से उबलता है कि अज्ञात मापदंडों की गणना त्रिभुज के ज्ञात मापदंडों से की जानी चाहिए। कुल छह पैरामीटर हैं: तीन पक्षों की लंबाई और तीन कोणों का परिमाण। कार्यों में पूरा अंतर इस तथ्य में निहित है कि विभिन्न इनपुट डेटा दिए गए हैं।

पैरों की ज्ञात लंबाई या कर्ण के आधार पर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा कैसे खोजें, अब आप जानते हैं। चूँकि इन पदों का अर्थ एक अनुपात से अधिक कुछ नहीं है, और एक अनुपात एक भिन्न है, त्रिकोणमितीय समस्या का मुख्य लक्ष्य एक साधारण समीकरण या समीकरणों की एक प्रणाली की जड़ों को खोजना है। और यहां आपको साधारण स्कूली गणित से मदद मिलेगी।

शिक्षकों का मानना ​​है कि प्रत्येक छात्र को गणना करने में सक्षम होना चाहिए, त्रिकोणमितीय सूत्रों को जानना चाहिए, लेकिन हर शिक्षक यह नहीं बताता कि साइन और कोसाइन क्या हैं। उनका क्या अर्थ है, उनका उपयोग कहाँ किया जाता है? हम त्रिभुजों के बारे में क्यों बात कर रहे हैं, लेकिन पाठ्यपुस्तक में एक वृत्त खींचा गया है? आइए सभी तथ्यों को एक साथ जोड़ने का प्रयास करें।

स्कूल के विषय

त्रिकोणमिति का अध्ययन आमतौर पर हाई स्कूल की 7वीं या 8वीं कक्षा में शुरू होता है। इस समय, छात्रों को समझाया जाता है कि साइन और कोसाइन क्या हैं, इन कार्यों का उपयोग करके ज्यामितीय समस्याओं को हल करने की पेशकश की जाती है। बाद में, अधिक जटिल सूत्र और व्यंजक प्रकट होते हैं जिन्हें बीजीय तरीके से परिवर्तित करने की आवश्यकता होती है (दोहरे और आधे कोण सूत्र, शक्ति कार्य), त्रिकोणमितीय वृत्त से कार्य किया जा रहा है।

हालांकि, शिक्षक हमेशा इस्तेमाल की गई अवधारणाओं के अर्थ और सूत्रों की प्रयोज्यता को स्पष्ट रूप से समझाने में सक्षम नहीं होते हैं। इसलिए, छात्र अक्सर इस विषय में बिंदु नहीं देखता है, और याद की गई जानकारी को जल्दी से भुला दिया जाता है। हालांकि, यह एक बार हाई स्कूल के छात्र को समझाने लायक है, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन और ऑसिलेटरी मूवमेंट के बीच संबंध, और तार्किक संबंध कई वर्षों तक याद रखा जाएगा, और विषय की बेकारता के बारे में चुटकुले अतीत की बात बन जाएंगे .

प्रयोग

जिज्ञासा के लिए, आइए भौतिकी की विभिन्न शाखाओं को देखें। एक प्रक्षेप्य की सीमा निर्धारित करना चाहते हैं? या आप किसी वस्तु और एक निश्चित सतह के बीच घर्षण बल की गणना कर रहे हैं? पेंडुलम को घुमाते हुए, कांच से गुजरने वाली किरणों को देखना, प्रेरण की गणना करना? त्रिकोणमितीय अवधारणाएं लगभग किसी भी सूत्र में दिखाई देती हैं। तो साइन और कोसाइन क्या हैं?

परिभाषाएं

कोण की ज्या कर्ण के विपरीत पैर का अनुपात है, आसन्न पैर की कोज्या उसी कर्ण से। यहां कुछ भी जटिल नहीं है। शायद छात्र आमतौर पर उनके द्वारा देखे जाने वाले अर्थों से भ्रमित होते हैं त्रिकोणमितीय तालिकाक्योंकि वर्गमूल होते हैं। हाँ, उनसे दशमलव भिन्न प्राप्त करना बहुत सुविधाजनक नहीं है, लेकिन किसने कहा कि गणित में सभी संख्याएँ सम होनी चाहिए?

वास्तव में, आप त्रिकोणमिति समस्या पुस्तकों में एक अजीब संकेत पा सकते हैं: यहां अधिकांश उत्तर सम हैं और, सबसे खराब स्थिति में, दो या तीन की जड़ होती है। निष्कर्ष सरल है: यदि आपको अपने उत्तर में "बहु-कहानी" अंश मिला है, तो गणना या तर्क में त्रुटियों के समाधान की दोबारा जांच करें। और सबसे अधिक संभावना है कि आप उन्हें ढूंढ लेंगे।

क्या याद रखना

किसी भी विज्ञान की तरह, त्रिकोणमिति में ऐसे डेटा होते हैं जिन्हें सीखा जाना चाहिए।

सबसे पहले, आपको साइन के लिए संख्यात्मक मान, एक समकोण त्रिभुज 0 और 90 के कोसाइन, साथ ही साथ 30, 45 और 60 डिग्री याद रखना चाहिए। ये संकेतक दस में से नौ स्कूल कार्यों में पाए जाते हैं। पाठ्यपुस्तक में इन मूल्यों को देखने से आपका बहुत समय बर्बाद होगा, और नियंत्रण या परीक्षा को देखने के लिए कहीं नहीं होगा।

यह याद रखना चाहिए कि दोनों कार्यों का मूल्य एक से अधिक नहीं हो सकता। यदि गणना में कहीं भी आपको 0-1 की सीमा के बाहर कोई मान मिलता है, तो रुकें और समस्या को फिर से हल करें।

ज्या और कोज्या के वर्गों का योग एक के बराबर होता है। यदि आपको पहले से ही कोई एक मान मिल गया है, तो शेष को खोजने के लिए इस सूत्र का उपयोग करें।

प्रमेयों

मूल त्रिकोणमिति में दो मुख्य प्रमेय हैं: साइन और कोसाइन।

पहला कहता है कि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा का सम्मुख कोण की ज्या से अनुपात समान है। दूसरा यह है कि किसी भी भुजा का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों को जोड़कर और उनके उत्पाद को दो बार घटाकर, उनके बीच स्थित कोण के कोसाइन से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है।

इस प्रकार, यदि हम 90 डिग्री के कोण मान को कोज्या प्रमेय में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें पाइथागोरस प्रमेय प्राप्त होता है। अब, यदि आपको किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है जो एक समकोण त्रिभुज नहीं है, तो आप अब चिंता नहीं कर सकते - दो माने गए प्रमेय समस्या के समाधान को बहुत सरल करेंगे।

लक्ष्य और लक्ष्य

त्रिकोणमिति सीखना बहुत आसान हो जाएगा जब आप एक साधारण तथ्य को महसूस करेंगे: आपके द्वारा की जाने वाली सभी क्रियाएं एक लक्ष्य को प्राप्त करने के उद्देश्य से होती हैं। एक त्रिभुज के किसी भी पैरामीटर को पाया जा सकता है यदि आप इसके बारे में बहुत कम जानकारी जानते हैं - यह एक कोण का मान और दो भुजाओं की लंबाई या, उदाहरण के लिए, तीन भुजाएँ हो सकती हैं।

किसी भी कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा को निर्धारित करने के लिए, ये डेटा पर्याप्त हैं, उनकी मदद से आप आसानी से आकृति के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं। लगभग हमेशा, उत्तर के रूप में उल्लिखित मूल्यों में से एक की आवश्यकता होती है, और आप उन्हें समान सूत्रों का उपयोग करके पा सकते हैं।

त्रिकोणमिति के अध्ययन में विसंगतियां

जिन अस्पष्ट प्रश्नों से छात्र बचना पसंद करते हैं उनमें से एक त्रिकोणमिति में विभिन्न अवधारणाओं के बीच संबंध की खोज करना है। ऐसा प्रतीत होता है कि त्रिभुजों का उपयोग कोणों की ज्या और कोज्याओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, लेकिन किसी कारण से प्रतीक अक्सर एक वृत्त के साथ आकृति में पाए जाते हैं। इसके अलावा, एक पूरी तरह से समझ में न आने वाला तरंग जैसा ग्राफ होता है जिसे साइनसॉइड कहा जाता है, जिसका किसी वृत्त या त्रिकोण से कोई बाहरी समानता नहीं है।

इसके अलावा, कोणों को या तो डिग्री या रेडियन में मापा जाता है, और संख्या पाई, जिसे केवल 3.14 (इकाइयों के बिना) के रूप में लिखा जाता है, किसी कारण से 180 डिग्री के अनुरूप सूत्रों में दिखाई देता है। यह सब कैसे जुड़ा है?

इकाइयों

पीआई बिल्कुल 3.14 क्यों है? क्या आपको याद है कि यह मूल्य क्या है? यह त्रिज्या की संख्या है जो आधे वृत्त पर चाप में फिट होती है। यदि वृत्त का व्यास 2 सेंटीमीटर है, तो परिधि 3.14 * 2, या 6.28 होगी।

दूसरा बिंदु: आपने "रेडियन" और "त्रिज्या" शब्दों की समानता पर ध्यान दिया होगा। तथ्य यह है कि एक रेडियन संख्यात्मक रूप से सर्कल के केंद्र से एक चाप तक एक त्रिज्या की लंबाई के साथ रखे कोण के मूल्य के बराबर है।

अब हम प्राप्त ज्ञान को जोड़ते हैं और समझते हैं कि त्रिकोणमिति में निर्देशांक अक्ष के शीर्ष पर "पाई इन हाफ" और बाईं ओर "पाई" क्यों लिखा जाता है। यह कोणीय परिमाण, रेडियन में मापा जाता है, क्योंकि अर्धवृत्त 180 डिग्री या 3.14 रेडियन होता है। और जहां डिग्री हैं, वहां साइन और कोसाइन हैं। त्रिकोण को वांछित बिंदु से खींचना आसान है, खंडों को केंद्र और समन्वय अक्ष पर स्थगित करना।

आइए भविष्य में देखें

त्रिकोणमिति, स्कूल में अध्ययन किया जाता है, एक रेक्टिलिनियर कोऑर्डिनेट सिस्टम से संबंधित है, जहां, यह कितना भी अजीब क्यों न लगे, एक लाइन एक लाइन है।

लेकिन अंतरिक्ष के साथ काम करने के अधिक जटिल तरीके हैं: यहां त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक होगा, और हमारे विचार में सीधी रेखा एक वास्तविक चाप की तरह दिखेगी।

चलो शब्दों से कर्मों की ओर बढ़ते हैं! एक सेब लें। चाकू से तीन कट बनाएं ताकि ऊपर से देखने पर आपको एक त्रिकोण मिले। सेब के परिणामी टुकड़े को बाहर निकालें और "पसलियों" को देखें जहां छिलका समाप्त होता है। वे बिल्कुल सीधे नहीं हैं। आपके हाथों में फल को सशर्त रूप से गोल कहा जा सकता है, और अब कल्पना करें कि सूत्र कितने जटिल होंगे, जिसकी सहायता से आप कटे हुए टुकड़े का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। लेकिन कुछ विशेषज्ञ रोजाना ऐसी समस्याओं का समाधान करते हैं।

वास्तविक जीवन में त्रिकोणमितीय कार्य

क्या आपने देखा है कि हमारे ग्रह की सतह पर बिंदु A से बिंदु B तक हवाई जहाज के लिए सबसे छोटा मार्ग एक स्पष्ट चाप आकार का होता है? कारण सरल है: पृथ्वी गोलाकार है, जिसका अर्थ है कि आप त्रिभुजों का उपयोग करके अधिक गणना नहीं कर सकते हैं - यहां आपको अधिक जटिल सूत्रों का उपयोग करना होगा।

आप अंतरिक्ष से संबंधित किसी भी मामले में एक न्यून कोण की ज्या / कोज्या के बिना नहीं कर सकते। यह दिलचस्प है कि कई कारक यहां अभिसरण करते हैं: वृत्तों, दीर्घवृत्तों और अधिक जटिल आकृतियों के विभिन्न प्रक्षेप पथों में ग्रहों की गति की गणना करते समय त्रिकोणमितीय कार्यों की आवश्यकता होती है; रॉकेट, उपग्रह, शटल, अनुसंधान वाहनों को अनडॉक करने की प्रक्रिया; दूर के तारों का अवलोकन करना और आकाशगंगाओं का अध्ययन करना कि मनुष्य निकट भविष्य में नहीं पहुंच पाएगा।

सामान्य तौर पर, त्रिकोणमिति का मालिक होने वाले व्यक्ति की गतिविधि का क्षेत्र बहुत व्यापक है और जाहिर है, केवल समय के साथ विस्तार होगा।

निष्कर्ष

आज हमने सीखा या, किसी भी मामले में, दोहराया कि साइन और कोसाइन क्या हैं। ये ऐसी अवधारणाएँ हैं जिनसे आपको डरने की ज़रूरत नहीं है - आप बस चाहते हैं, और आप उनका अर्थ समझेंगे। याद रखें कि त्रिकोणमिति एक लक्ष्य नहीं है, बल्कि केवल एक उपकरण है जिसका उपयोग वास्तविक मानवीय जरूरतों को पूरा करने के लिए किया जा सकता है: घर बनाना, यातायात सुरक्षा सुनिश्चित करना, यहां तक ​​कि ब्रह्मांड के विस्तार में महारत हासिल करना।

वास्तव में, विज्ञान स्वयं उबाऊ लग सकता है, लेकिन जैसे ही आप इसमें अपने स्वयं के लक्ष्यों को प्राप्त करने का एक तरीका खोजते हैं, आत्म-साक्षात्कार, सीखने की प्रक्रिया दिलचस्प हो जाएगी, और आपकी व्यक्तिगत प्रेरणा बढ़ जाएगी।

जैसा गृहकार्यगतिविधि के क्षेत्र में त्रिकोणमितीय कार्यों को लागू करने के तरीके खोजने का प्रयास करें जो व्यक्तिगत रूप से आपकी रुचि रखते हैं। सपने देखें, अपनी कल्पना को चालू करें, और फिर यह निश्चित रूप से पता चलेगा कि भविष्य में नया ज्ञान आपके लिए उपयोगी होगा। और इसके अलावा, गणित के लिए उपयोगी है सामान्य विकासविचार।

साइनसएक समकोण त्रिभुज का न्यून कोण α अनुपात होता है विलोमकर्ण के लिए कैथेटर।
इसे निम्नानुसार दर्शाया गया है: पाप α।

कोज्याएक समकोण त्रिभुज का न्यून कोण α आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है।
इसे निम्नानुसार दर्शाया गया है: cos α।

स्पर्शरेखान्यून कोण α आसन्न पैर के विपरीत पैर का अनुपात है।
इसे निम्नानुसार दर्शाया गया है: टीजी α।

कोटैंजेंटन्यून कोण α आसन्न पैर का विपरीत कोण का अनुपात है।
इसे निम्नानुसार नामित किया गया है: सीटीजी α।

किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्श रेखा और कोटंगेंट केवल कोण के परिमाण पर निर्भर करती है।

नियम:

मुख्य त्रिकोणमितीय पहचानएक समकोण त्रिभुज में:

(α - पैर के विपरीत तीव्र कोण बी और पैर के पास एक . पक्ष साथ - कर्ण। β - दूसरा न्यून कोण)।

जैसे-जैसे न्यून कोण बढ़ता हैsinα औरटीजी α वृद्धि, औरcos α घटता है।

किसी भी न्यून कोण के लिए α:

पाप (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

व्याख्यात्मक उदाहरण:

माना एक समकोण त्रिभुज ABC में
एबी = 6,
ईसा पूर्व = 3,
कोण ए = 30º।

कोण A की ज्या और कोण B की कोज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान ।

1) सबसे पहले, हम कोण B का मान पाते हैं। यहाँ सब कुछ सरल है: चूँकि एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोणों का योग 90º है, फिर कोण B \u003d 60º:

बी \u003d 90º - 30º \u003d 60º।

2) पाप ए की गणना करें। हम जानते हैं कि ज्या विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर है। कोण A के लिए, विपरीत पैर भुजा BC है। इसलिए:

ईसा पूर्व 3 1
पाप ए = -- = - = -
एबी 6 2

3) अब हम cos B की गणना करते हैं। हम जानते हैं कि कोसाइन आसन्न पैर और कर्ण के अनुपात के बराबर है। कोण B . के लिए आसन्न पैरअभी भी सूर्य का वही पक्ष है। इसका मतलब है कि हमें फिर से BC को AB में विभाजित करने की आवश्यकता है - अर्थात, कोण A की ज्या की गणना करते समय वही क्रियाएं करें:

ईसा पूर्व 3 1
कॉस बी = -- = - = -
एबी 6 2

परिणाम है:
पाप ए = क्योंकि बी = 1/2।

sin 30º = cos 60º = 1/2।

इससे यह पता चलता है कि एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की ज्या दूसरे न्यून कोण की कोज्या के बराबर होती है - और इसके विपरीत। हमारे दो सूत्रों का यही अर्थ है:
पाप (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

आइए इसे फिर से देखें:

1) मान लीजिए α = 60º। α के मान को ज्या सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
sin (90º - 60º) = cos 60º।
पाप 30º = cos 60º।

2) मान लीजिए α = 30º। α के मान को कोज्या सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
cos (90° - 30º) = sin 30º।
cos 60° = sin 30º।

(त्रिकोणमिति पर अधिक जानकारी के लिए बीजगणित अनुभाग देखें)

इस लेख ने एकत्र किया है ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटांगेंट की सारणी. सबसे पहले, हम बुनियादी मूल्यों की एक तालिका देंगे त्रिकोणमितीय फलन, यानी, 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 डिग्री के कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की एक तालिका ( 0, /6, /4, π/3, /2, …, 2πरेडियन)। उसके बाद, हम वी.एम. ब्रैडिस द्वारा साइन और कोसाइन की एक तालिका, साथ ही स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की एक तालिका देंगे, और दिखाएंगे कि त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को खोजने के दौरान इन तालिकाओं का उपयोग कैसे करें।

पृष्ठ नेविगेशन।

0, 30, 45, 60, 90, ... डिग्री के कोणों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा की तालिका

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