फैलाव, प्रकार और फैलाव के गुण। असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

गणितीय अपेक्षा और फैलाव - सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली संख्यात्मक विशेषताएं अनियमित चर. वे वितरण की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं की विशेषता रखते हैं: इसकी स्थिति और फैलाव की डिग्री। अभ्यास की कई समस्याओं में, एक यादृच्छिक चर का पूर्ण, संपूर्ण विवरण - वितरण का नियम - या तो बिल्कुल प्राप्त नहीं किया जा सकता है, या इसकी बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है। इन मामलों में, वे संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग करके एक यादृच्छिक चर के अनुमानित विवरण तक सीमित हैं।

गणितीय अपेक्षा को अक्सर एक यादृच्छिक चर के औसत मान के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर का फैलाव फैलाव की एक विशेषता है, इसकी गणितीय अपेक्षा के आसपास एक यादृच्छिक चर का फैलाव।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा

आइए गणितीय अपेक्षा की अवधारणा को देखें, पहले एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण की यांत्रिक व्याख्या से आगे बढ़ते हुए। मान लीजिए कि इकाई द्रव्यमान को x-अक्ष के बिंदुओं के बीच वितरित किया जाता है एक्स1 , एक्स 2 , ..., एक्सएन, और प्रत्येक भौतिक बिंदु का द्रव्यमान इसके अनुरूप होता है पी1 , पी 2 , ..., पीएन. एक्स-अक्ष पर एक बिंदु चुनना आवश्यक है, जो उनके द्रव्यमान को ध्यान में रखते हुए भौतिक बिंदुओं की पूरी प्रणाली की स्थिति को दर्शाता है। भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र को ऐसे बिंदु के रूप में लेना स्वाभाविक है। यह यादृच्छिक चर का भारित औसत है एक्स, जिसमें प्रत्येक बिंदु का भुज एक्समैंसंबंधित संभावना के बराबर "वजन" के साथ प्रवेश करता है। इस प्रकार प्राप्त यादृच्छिक चर का माध्य मान एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा कहलाती है।

असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इसके सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों और इन मूल्यों की संभावनाओं का योग है:

उदाहरण 1विन-विन लॉटरी का आयोजन किया। 1000 जीत हैं, जिनमें से 400 प्रत्येक 10 रूबल हैं। 300 - 20 रूबल प्रत्येक 200 - 100 रूबल प्रत्येक। और 100 - 200 रूबल प्रत्येक। एक टिकट खरीदने वाले व्यक्ति की औसत जीत क्या है?

समाधान। हम औसत जीत पाएंगे यदि जीत की कुल राशि, जो 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 रूबल के बराबर है, को 1000 (जीत की कुल राशि) से विभाजित किया जाता है। तब हमें 50000/1000 = 50 रूबल मिलते हैं। लेकिन औसत लाभ की गणना के लिए व्यंजक को निम्नलिखित रूप में भी दर्शाया जा सकता है:

दूसरी ओर, इन शर्तों के तहत, जीत की राशि एक यादृच्छिक चर है जो 10, 20, 100 और 200 रूबल के मूल्यों को ले सकती है। क्रमशः 0.4 के बराबर संभावनाओं के साथ; 0.3; 0.2; 0.1. इसलिए, अपेक्षित औसत अदायगी योग के बराबर हैउन्हें प्राप्त करने की संभावना से जीत के आकार के उत्पाद।

उदाहरण 2प्रकाशक ने प्रकाशित करने का निर्णय लिया नई पुस्तक. वह पुस्तक को 280 रूबल में बेचने जा रहा है, जिसमें से उसे 200, किताबों की दुकान को 50 और लेखक को 30 रुपये दिए जाएंगे। तालिका पुस्तक को प्रकाशित करने की लागत और पुस्तक की एक निश्चित संख्या में प्रतियों को बेचने की संभावना के बारे में जानकारी देती है।

प्रकाशक का अपेक्षित लाभ ज्ञात कीजिए।

समाधान। यादृच्छिक चर "लाभ" बिक्री से आय और लागत की लागत के बीच के अंतर के बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि किसी पुस्तक की 500 प्रतियां बेची जाती हैं, तो बिक्री से होने वाली आय 200 * 500 = 100,000 है, और प्रकाशन की लागत 225,000 रूबल है। इस प्रकार, प्रकाशक को 125,000 रूबल के नुकसान का सामना करना पड़ता है। निम्न तालिका यादृच्छिक चर - लाभ के अपेक्षित मूल्यों को सारांशित करती है:

संख्या	फायदा एक्समैं	संभावना पीमैं	एक्समैं पीमैं
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
कुल:		1,00	25000

इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं अपेक्षित मूल्यप्रकाशक लाभ:

.

उदाहरण 3एक शॉट से हिट करने का मौका पी= 0.2. गोले की खपत निर्धारित करें जो 5 के बराबर हिट की संख्या की गणितीय अपेक्षा प्रदान करते हैं।

समाधान। उसी अपेक्षा सूत्र से जो हमने अब तक प्रयोग किया है, हम व्यक्त करते हैं एक्स- गोले की खपत:

.

उदाहरण 4एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें एक्सतीन शॉट्स के साथ हिट की संख्या, यदि प्रत्येक शॉट के साथ हिट होने की संभावना है पी = 0,4 .

संकेत: द्वारा यादृच्छिक चर के मानों की प्रायिकता ज्ञात कीजिए बर्नौली सूत्र .

उम्मीद गुण

गणितीय अपेक्षा के गुणों पर विचार करें।

संपत्ति 1.स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा इस स्थिरांक के बराबर है:

संपत्ति 2.निरंतर कारक को उम्मीद के संकेत से बाहर निकाला जा सकता है:

संपत्ति 3.यादृच्छिक चर के योग (अंतर) की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग (अंतर) के बराबर है:

संपत्ति 4.यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है:

संपत्ति 5.यदि यादृच्छिक चर के सभी मान एक्सएक ही संख्या से कमी (वृद्धि) से, तो इसकी गणितीय अपेक्षा उसी संख्या से घटेगी (वृद्धि) होगी:

जब आप केवल गणितीय अपेक्षा तक सीमित नहीं रह सकते हैं

ज्यादातर मामलों में, केवल गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर को पर्याप्त रूप से चिह्नित नहीं कर सकती है।

यादृच्छिक चर दें एक्सतथा यूनिम्नलिखित वितरण कानूनों द्वारा दिए गए हैं:

अर्थ एक्स	संभावना
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

अर्थ यू	संभावना
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

इन राशियों की गणितीय अपेक्षाएँ समान हैं - शून्य के बराबर:

हालांकि, उनका वितरण अलग है। यादृच्छिक मूल्य एक्सकेवल वे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर से थोड़े अलग हैं यूवे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा से महत्वपूर्ण रूप से विचलित होते हैं। एक समान उदाहरण: औसत वेतन का न्याय करना संभव नहीं है विशिष्ट गुरुत्वउच्च और निम्न वेतन वाले श्रमिक। दूसरे शब्दों में, गणितीय अपेक्षा से कोई यह नहीं आंक सकता कि इससे कम से कम औसतन क्या विचलन संभव है। ऐसा करने के लिए, आपको एक यादृच्छिक चर के विचरण को खोजने की आवश्यकता है।

असतत यादृच्छिक चर का फैलाव

फैलावअसतत यादृच्छिक चर एक्सगणितीय अपेक्षा से इसके विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहलाती है:

एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन एक्सइसके प्रसरण के वर्गमूल का अंकगणितीय मान है:

.

उदाहरण 5यादृच्छिक चरों के प्रसरणों और मानक विचलनों की गणना करें एक्सतथा यू, जिनके वितरण नियम ऊपर तालिका में दिए गए हैं।

समाधान। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाएं एक्सतथा यू, जैसा कि ऊपर पाया गया, शून्य के बराबर है। के लिए फैलाव सूत्र के अनुसार इ(एक्स)=इ(आप) = 0 हमें मिलता है:

फिर यादृच्छिक चर के मानक विचलन एक्सतथा यूगठित करना

.

इस प्रकार, समान गणितीय अपेक्षाओं के साथ, यादृच्छिक चर का प्रसरण एक्सबहुत छोटा और यादृच्छिक यू- महत्वपूर्ण। यह उनके वितरण में अंतर का परिणाम है।

उदाहरण 6निवेशक के पास 4 वैकल्पिक परियोजनानिवेश। तालिका इन परियोजनाओं में अपेक्षित लाभ पर संबंधित संभावना के साथ डेटा को सारांशित करती है।

प्रोजेक्ट 1	परियोजना 2	परियोजना 3	परियोजना 4
500, पी=1	1000, पी=0,5	500, पी=0,5	500, पी=0,5
	0, पी=0,5	1000, पी=0,25	10500, पी=0,25
		0, पी=0,25	9500, पी=0,25

प्रत्येक विकल्प के लिए गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन खोजें।

समाधान। आइए हम दिखाते हैं कि तीसरे विकल्प के लिए इन मात्राओं की गणना कैसे की जाती है:

तालिका सभी विकल्पों के लिए पाए गए मानों को सारांशित करती है।

सभी विकल्पों की गणितीय अपेक्षा समान होती है। इसका मतलब है कि लंबे समय में सभी की आय समान है। मानक विचलन की व्याख्या जोखिम के माप के रूप में की जा सकती है - यह जितना बड़ा होगा, निवेश का जोखिम उतना ही अधिक होगा। एक निवेशक जो ज्यादा जोखिम नहीं चाहता है, वह प्रोजेक्ट 1 का चयन करेगा क्योंकि इसमें सबसे छोटा मानक विचलन (0) है। यदि निवेशक कम अवधि में जोखिम और उच्च रिटर्न को प्राथमिकता देता है, तो वह सबसे बड़ी परियोजना का चयन करेगा मानक विचलन- प्रोजेक्ट 4.

फैलाव गुण

आइए हम परिक्षेपण के गुणों को प्रस्तुत करें।

संपत्ति 1.एक स्थिर मान का फैलाव शून्य है:

संपत्ति 2.अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से चुकता करके निकाला जा सकता है:

.

संपत्ति 3.एक यादृच्छिक चर का विचरण इस मान के वर्ग की गणितीय अपेक्षा के बराबर होता है, जिसमें से मान की गणितीय अपेक्षा का वर्ग ही घटाया जाता है:

,

कहाँ पे .

संपत्ति 4.यादृच्छिक चरों के योग (अंतर) का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग (अंतर) के बराबर होता है:

उदाहरण 7यह ज्ञात है कि एक असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है: −3 और 7. इसके अलावा, गणितीय अपेक्षा ज्ञात है: इ(एक्स) = 4। एक असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।

समाधान। द्वारा निरूपित करें पीवह प्रायिकता जिसके साथ एक यादृच्छिक चर मान लेता है एक्स1 = −3 . तब मान की प्रायिकता एक्स2 = 7 1 − . होगा पी. आइए गणितीय अपेक्षा के लिए समीकरण प्राप्त करें:

इ(एक्स) = एक्स 1 पी + एक्स 2 (1 − पी) = −3पी + 7(1 − पी) = 4 ,

जहां हमें संभावनाएं मिलती हैं: पी= 0.3 और 1 − पी = 0,7 .

यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:

एक्स	−3	7
पी	0,3	0,7

हम प्रसरण के गुण 3 से सूत्र का उपयोग करके इस यादृच्छिक चर के प्रसरण की गणना करते हैं:

डी(एक्स) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा स्वयं खोजें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 8असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है। यह 0.4 की प्रायिकता के साथ 3 का बड़ा मान लेता है। इसके अलावा, यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात है डी(एक्स) = 6। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं।

उदाहरण 9एक कलश में 6 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। कलश से 3 गेंदें ली जाती हैं। खींची गई गेंदों के बीच सफेद गेंदों की संख्या एक असतत यादृच्छिक चर है एक्स. इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।

समाधान। यादृच्छिक मूल्य एक्स 0, 1, 2, 3 मान ले सकते हैं। संबंधित संभावनाओं की गणना की जा सकती है प्रायिकताओं के गुणन का नियम. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:

एक्स	0	1	2	3
पी	1/30	3/10	1/2	1/6

इसलिए इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा:

एम(एक्स) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

किसी दिए गए यादृच्छिक चर का प्रसरण है:

डी(एक्स) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और फैलाव

एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की यांत्रिक व्याख्या एक ही अर्थ को बरकरार रखेगी: घनत्व के साथ एक्स-अक्ष पर लगातार वितरित एक इकाई द्रव्यमान के लिए द्रव्यमान का केंद्र एफ(एक्स) एक असतत यादृच्छिक चर के विपरीत, जिसके लिए फ़ंक्शन तर्क एक्समैंएक सतत यादृच्छिक चर के लिए अचानक परिवर्तन, तर्क लगातार बदलता रहता है। लेकिन एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा भी इसके माध्य मान से संबंधित है।

एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण को खोजने के लिए, आपको निश्चित समाकलों को खोजने की आवश्यकता है . यदि एक सतत यादृच्छिक चर का घनत्व फलन दिया जाता है, तो यह सीधे समाकलन में प्रवेश करता है। यदि एक प्रायिकता बंटन फलन दिया गया है, तो उसे विभेदित करके, आपको घनत्व फलन ज्ञात करना होगा।

सभी का अंकगणितीय औसत संभावित मानसतत यादृच्छिक चर कहलाता है गणितीय अपेक्षा, या द्वारा निरूपित।

हालांकि, यादृच्छिक चर के अध्ययन के लिए अकेले यह विशेषता अभी तक पर्याप्त नहीं है। दो निशानेबाजों की कल्पना करें जो एक लक्ष्य पर शूटिंग कर रहे हैं। एक सटीक रूप से शूट करता है और केंद्र के करीब हिट करता है, और दूसरा ... केवल मज़े करना और लक्ष्य बनाना भी नहीं। लेकिन मजे की बात यह है कि औसतपरिणाम बिल्कुल पहले शूटर जैसा ही होगा! यह स्थिति सशर्त रूप से निम्नलिखित यादृच्छिक चर द्वारा सचित्र है:

"स्नाइपर" गणितीय अपेक्षा के बराबर है, हालांकि, "दिलचस्प व्यक्ति" के लिए: - यह भी शून्य है!

इस प्रकार, यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कितनी दूर छितरा हुआलक्ष्य (उम्मीद) के केंद्र के सापेक्ष गोलियां (एक यादृच्छिक चर के मान)। ठीक और बिखरनेलैटिन से केवल के रूप में अनुवादित फैलाव .

आइए देखें कि पाठ के पहले भाग के उदाहरणों में से एक में यह संख्यात्मक विशेषता कैसे निर्धारित की जाती है:

वहां हमें इस खेल की निराशाजनक गणितीय अपेक्षा मिली, और अब हमें इसके विचरण की गणना करनी है, जो लक्षितके माध्यम से ।

आइए जानें कि औसत मूल्य के सापेक्ष जीत/हार कितनी दूर "बिखरे हुए" हैं। जाहिर है, इसके लिए हमें गणना करने की आवश्यकता है मतभेदके बीच एक यादृच्छिक चर के मूल्यऔर उसकी गणितीय अपेक्षा:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

अब परिणामों का योग करना आवश्यक प्रतीत होता है, लेकिन यह तरीका अच्छा नहीं है - इस कारण से कि बाईं ओर के दोलन एक दूसरे को दाईं ओर के दोलनों के साथ रद्द कर देंगे। तो, उदाहरण के लिए, "शौकिया" शूटर (उपरोक्त उदाहरण)मतभेद हो जाएगा , और जब जोड़ा जाएगा तो वे शून्य देंगे, इसलिए हमें उसकी शूटिंग के बिखरने का कोई अनुमान नहीं मिलेगा।

इस झुंझलाहट को दूर करने के लिए, विचार करें मॉड्यूलमतभेद, लेकिन तकनीकी कारणजब वे चुकता होते हैं तो दृष्टिकोण ने जड़ें जमा ली हैं। तालिका में समाधान की व्यवस्था करना अधिक सुविधाजनक है:

और यहाँ यह गणना करने के लिए भीख माँगता है भारित औसतवर्ग विचलन का मान। यह क्या है? यह उनका है अपेक्षित मूल्य, जो बिखरने का उपाय है:

– परिभाषाफैलाव। परिभाषा से यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि विचरण ऋणात्मक नहीं हो सकता- अभ्यास के लिए ध्यान दें!

आइए याद रखें कि अपेक्षा कैसे प्राप्त करें। चुकता अंतरों को संबंधित संभावनाओं से गुणा करें (तालिका निरंतरता):
- लाक्षणिक रूप से बोलना, यह "कर्षण बल" है,
और परिणामों को सारांशित करें:

क्या आपको नहीं लगता कि जीत की पृष्ठभूमि में परिणाम बहुत बड़ा निकला? यह सही है - हम वर्ग कर रहे थे, और अपने खेल के आयाम पर लौटने के लिए, हमें निकालने की जरूरत है वर्गमूल. इस मान को कहा जाता है मानक विचलन और ग्रीक अक्षर "सिग्मा" द्वारा दर्शाया गया है:

कभी-कभी इस अर्थ को कहा जाता है मानक विचलन .

इसका अर्थ क्या है? यदि हम गणितीय अपेक्षा से बाईं ओर और दाईं ओर माध्य से विचलन करते हैं मानक विचलन:

- तो इस अंतराल पर यादृच्छिक चर के सबसे संभावित मान "केंद्रित" होंगे। हम वास्तव में क्या देख रहे हैं:

हालांकि, ऐसा हुआ कि बिखरने के विश्लेषण में लगभग हमेशा फैलाव की अवधारणा के साथ काम करते हैं। आइए देखें कि खेलों के संबंध में इसका क्या अर्थ है। यदि निशानेबाजों के मामले में हम लक्ष्य के केंद्र के सापेक्ष हिट की "सटीकता" के बारे में बात कर रहे हैं, तो यहां फैलाव दो चीजों की विशेषता है:

सबसे पहले, यह स्पष्ट है कि जैसे-जैसे दरें बढ़ती हैं, विचरण भी बढ़ता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि हम 10 गुना वृद्धि करते हैं, तो गणितीय अपेक्षा 10 गुना बढ़ जाएगी, और विचरण 100 गुना बढ़ जाएगा (जैसे ही यह एक द्विघात मान होता है). लेकिन ध्यान दें कि खेल के नियम नहीं बदले हैं! केवल दरें बदल गई हैं, मोटे तौर पर बोलते हुए, हम 10 रूबल की शर्त लगाते थे, अब 100।

दूसरा, अधिक दिलचस्प बिंदु यह है कि विचरण खेल की शैली की विशेषता है। खेल दरों को मानसिक रूप से ठीक करें किसी निश्चित स्तर पर, और देखें कि यहाँ क्या है:

एक कम विचरण खेल एक सतर्क खेल है। खिलाड़ी सबसे विश्वसनीय योजनाओं का चयन करता है, जहां वह एक बार में बहुत अधिक नहीं हारता/जीतता है। उदाहरण के लिए, रूले में लाल/काली प्रणाली (लेख का उदाहरण 4 देखें यादृच्छिक चर) .

उच्च विचरण खेल। उसे अक्सर कहा जाता है फैलावखेल। यह खेल की एक साहसिक या आक्रामक शैली है जहां खिलाड़ी "एड्रेनालाईन" योजनाओं को चुनता है। चलो कम से कम याद करते हैं "मार्टिंगेल", जिसमें दांव पर लगी रकम पिछले पैराग्राफ के "शांत" खेल से अधिक परिमाण के आदेश हैं।

पोकर में स्थिति सांकेतिक है: तथाकथित हैं तंगजो खिलाड़ी सतर्क रहते हैं और अपने खेल कोष से "हिलाते" हैं (बैंकरोल). आश्चर्य नहीं कि उनके बैंकरोल में ज्यादा उतार-चढ़ाव नहीं होता (कम विचरण)। इसके विपरीत, यदि किसी खिलाड़ी का विचरण अधिक है, तो वह आक्रामक है। वह अक्सर जोखिम लेता है, बड़े दांव लगाता है और दोनों एक बड़े बैंक को तोड़ सकता है और टुकड़ों में जा सकता है।

विदेशी मुद्रा में भी यही होता है, और इसी तरह - बहुत सारे उदाहरण हैं।

इसके अलावा, सभी मामलों में इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि खेल एक पैसे के लिए है या हजारों डॉलर के लिए है। हर स्तर के अपने निम्न और उच्च विचरण वाले खिलाड़ी होते हैं। खैर, औसत जीत के लिए, जैसा कि हम याद करते हैं, "जिम्मेदार" अपेक्षित मूल्य.

आपने शायद ध्यान दिया होगा कि विचरण का पता लगाना एक लंबी और श्रमसाध्य प्रक्रिया है। लेकिन गणित उदार है:

प्रसरण ज्ञात करने का सूत्र

यह सूत्र सीधे विचरण की परिभाषा से लिया गया है, और हम इसे तुरंत प्रचलन में लाते हैं। मैं ऊपर से हमारे खेल के साथ प्लेट की नकल करूंगा:

और मिली उम्मीद।

हम दूसरे तरीके से विचरण की गणना करते हैं। सबसे पहले, आइए गणितीय अपेक्षा खोजें - यादृच्छिक चर का वर्ग। द्वारा गणितीय अपेक्षा की परिभाषा:

इस मामले में:

इस प्रकार, सूत्र के अनुसार:

जैसा कि वे कहते हैं, अंतर महसूस करें। और व्यवहार में, निश्चित रूप से, सूत्र को लागू करना बेहतर है (जब तक कि शर्त की आवश्यकता न हो)।

हम हल करने और डिजाइन करने की तकनीक में महारत हासिल करते हैं:

उदाहरण 6

इसकी गणितीय अपेक्षा, प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

यह कार्य हर जगह पाया जाता है, और, एक नियम के रूप में, सार्थक अर्थ के बिना चला जाता है।
आप संख्या के साथ कई प्रकाश बल्बों की कल्पना कर सकते हैं जो कुछ संभावनाओं के साथ पागलखाने में प्रकाश करते हैं :)

समाधान: तालिका में मुख्य गणनाओं को संक्षेप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है। सबसे पहले, हम प्रारंभिक डेटा को शीर्ष दो पंक्तियों में लिखते हैं। फिर हम उत्पादों की गणना करते हैं, फिर और अंत में सही कॉलम में रकम:

दरअसल, लगभग सब कुछ तैयार है। तीसरी पंक्ति में, एक तैयार गणितीय अपेक्षा तैयार की गई थी: .

फैलाव की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

और अंत में, मानक विचलन:
- व्यक्तिगत रूप से, मैं आमतौर पर 2 दशमलव स्थानों तक घूमता हूं।

सभी गणना एक कैलकुलेटर पर की जा सकती है, और इससे भी बेहतर - एक्सेल में:

यहां गलत होना मुश्किल है :)

उत्तर:

जो चाहते हैं वे अपने जीवन को और भी सरल बना सकते हैं और मेरा लाभ उठा सकते हैं कैलकुलेटर (प्रदर्शन), जो न केवल इस समस्या को तुरंत हल करता है, बल्कि निर्माण भी करता है विषयगत ग्राफिक्स (जल्दी आना). कार्यक्रम कर सकते हैं पुस्तकालय में डाउनलोड करें- यदि आपने कम से कम एक अध्ययन सामग्री डाउनलोड की है, या प्राप्त करते हैं एक और तरीका. परियोजना का समर्थन करने के लिए धन्यवाद!

कार्यों की एक जोड़ी स्वतंत्र निर्णय:

उदाहरण 7

परिभाषा के अनुसार पिछले उदाहरण के यादृच्छिक चर के प्रसरण की गणना करें।

और एक समान उदाहरण:

उदाहरण 8

एक असतत यादृच्छिक चर अपने स्वयं के वितरण कानून द्वारा दिया जाता है:

हां, यादृच्छिक चर के मान काफी बड़े हो सकते हैं (से उदाहरण असली काम) , और यहां, यदि संभव हो तो, एक्सेल का उपयोग करें। वैसे, उदाहरण 7 में - यह तेज़, अधिक विश्वसनीय और अधिक सुखद है।

समाधान और उत्तर पृष्ठ के निचले भाग में।

पाठ के दूसरे भाग के समापन में, हम एक और विशिष्ट कार्य का विश्लेषण करेंगे, कोई एक छोटा सा रिबास भी कह सकता है:

उदाहरण 9

एक असतत यादृच्छिक चर केवल दो मान ले सकता है: और , तथा । संभाव्यता, गणितीय अपेक्षा और विचरण ज्ञात हैं।

समाधान: आइए अज्ञात संभावना से शुरू करते हैं। चूंकि एक यादृच्छिक चर केवल दो मान ले सकता है, तो संबंधित घटनाओं की संभावनाओं का योग:

और तब से ।

यह खोजना बाकी है ..., कहना आसान है :) लेकिन ओह ठीक है, यह शुरू हो गया। गणितीय अपेक्षा की परिभाषा के अनुसार:
- ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें:

- और इस समीकरण से और कुछ नहीं निकाला जा सकता है, सिवाय इसके कि आप इसे सामान्य दिशा में फिर से लिख सकते हैं:

या:

आगे की कार्रवाइयों के बारे में, मुझे लगता है कि आप अनुमान लगा सकते हैं। आइए सिस्टम बनाएं और हल करें:

दशमलव- यह, ज़ाहिर है, एक पूर्ण अपमान है; दोनों समीकरणों को 10 से गुणा करें:

और 2 से विभाजित करें:

यह ज़्यादा बेहतर है। पहले समीकरण से हम व्यक्त करते हैं:
(यह आसान तरीका है)- दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें:

हम निर्माण कर रहे हैं वर्गऔर सरलीकरण करें:

हम इससे गुणा करते हैं:

नतीजतन, द्विघात समीकरण, इसका विभेदक ज्ञात कीजिए:
- उत्तम!

और हमें दो समाधान मिलते हैं:

1) अगर , फिर ;

2) अगर , फिर ।

मूल्यों की पहली जोड़ी शर्त को संतुष्ट करती है। उच्च संभावना के साथ, सब कुछ सही है, लेकिन, फिर भी, हम वितरण कानून लिखते हैं:

और एक जाँच करें, अर्थात्, अपेक्षा का पता लगाएं:

असतत प्रायिकता स्थान पर दिए गए यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा (माध्य मान) संख्या m =M[X]=∑x i p i है, यदि श्रृंखला पूर्ण रूप से अभिसरण करती है।

सेवा असाइनमेंट. एक ऑनलाइन सेवा के साथ गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन की गणना की जाती है(उदाहरण देखें)। इसके अतिरिक्त, वितरण फलन F(X) का एक आलेख आलेखित किया जाता है।

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के गुण

1. एक स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्वयं के बराबर है: M[C]=C , C एक स्थिरांक है;
2. एम = सी एम [एक्स]
3. यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है: M=M[X]+M[Y]
4. स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है: M=M[X] M[Y] यदि X और Y स्वतंत्र हैं।

फैलाव गुण

1. एक स्थिर मान का फैलाव शून्य के बराबर होता है: D(c)=0.
2. अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न के नीचे से चुकता करके निकाला जा सकता है: D(k*X)= k 2 D(X)।
3. यदि यादृच्छिक चर X और Y स्वतंत्र हैं, तो योग का विचरण, प्रसरणों के योग के बराबर है: D(X+Y)=D(X)+D(Y)।
4. यदि यादृच्छिक चर X और Y निर्भर हैं: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. विचरण के लिए, कम्प्यूटेशनल सूत्र मान्य है:
   डी (एक्स) = एम (एक्स 2) - (एम (एक्स)) 2

उदाहरण। दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों X और Y की गणितीय अपेक्षाएँ और प्रसरण ज्ञात हैं: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 । यादृच्छिक चर Z=9X-8Y+7 की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।
समाधान। गणितीय अपेक्षा के गुणों के आधार पर: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
फैलाव गुणों के आधार पर: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

गणितीय अपेक्षा की गणना के लिए एल्गोरिथ्म

असतत यादृच्छिक चर के गुण: उनके सभी मूल्यों को पुन: क्रमांकित किया जा सकता है प्राकृतिक संख्या; प्रत्येक मान को एक गैर-शून्य संभावना असाइन करें।

1. युग्मों को एक-एक करके गुणा करें: x i को p i से।
2. हम प्रत्येक जोड़ी x i p i का गुणनफल जोड़ते हैं।
   उदाहरण के लिए, n = 4 के लिए: m = x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्यक्रमिक रूप से, यह उन बिंदुओं पर अचानक बढ़ जाता है जिनकी संभावनाएँ सकारात्मक होती हैं।

उदाहरण 1।

एक्स मैं	1	3	4	7	9
अनुकरणीय	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

गणितीय अपेक्षा सूत्र m = x i p i द्वारा ज्ञात की जाती है।
गणितीय अपेक्षा एम [एक्स].
एम [एक्स] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
फैलाव सूत्र d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 द्वारा ज्ञात किया जाता है।
फैलाव डी [एक्स].
डी [एक्स] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
मानक विचलन (x).
= वर्ग (डी [एक्स]) = वर्ग (7.69) = 2.78

उदाहरण # 2। एक असतत यादृच्छिक चर में निम्नलिखित वितरण श्रृंखला होती है:

एक्स	-10	-5	0	5	10
आर	एक	0,32	2एक	0,41	0,03

इस यादृच्छिक चर का मान a, गणितीय अपेक्षा और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

समाधान। मान a संबंध से पाया जाता है: p i = 1
p i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 या 0.24=3 a , जहां से a = 0.08

उदाहरण #3। एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून का निर्धारण करें यदि इसका विचरण ज्ञात है, और x 1 एक्स 1 =6; x2=9; एक्स3 = एक्स; x4=15
पी 1 = 0.3; पी2=0.3; पी 3 = 0.1; पी 4 \u003d 0.3
डी (एक्स) = 12.96

समाधान।
यहाँ आपको प्रसरण d (x) ज्ञात करने के लिए एक सूत्र बनाने की आवश्यकता है:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
जहाँ अपेक्षा m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
हमारे डेटा के लिए
एम(एक्स)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
या -9/100 (x 2 -20x+96)=0
तदनुसार, समीकरण की जड़ों को खोजना आवश्यक है, और उनमें से दो होंगे।
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
हम उसे चुनते हैं जो शर्त को संतुष्ट करता है x 1 x3=12

असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम
एक्स 1 =6; x2=9; एक्स 3 \u003d 12; x4=15
पी 1 = 0.3; पी2=0.3; पी 3 = 0.1; पी 4 \u003d 0.3

संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक विशेष शाखा है जिसका अध्ययन केवल उच्च शिक्षण संस्थानों के छात्र ही करते हैं। क्या आपको गणना और सूत्र पसंद हैं? क्या आप सामान्य वितरण, पहनावा की एन्ट्रापी, गणितीय अपेक्षा और असतत यादृच्छिक चर के विचरण के साथ परिचित होने की संभावनाओं से डरते नहीं हैं? तब यह विषय आपके लिए बहुत रुचिकर होगा। आइए विज्ञान के इस खंड की कुछ सबसे महत्वपूर्ण बुनियादी अवधारणाओं से परिचित हों।

आइए मूल बातें याद रखें

यहां तक ​​कि अगर आपको संभाव्यता सिद्धांत की सबसे सरल अवधारणाएं याद हैं, तो लेख के पहले पैराग्राफ की उपेक्षा न करें। तथ्य यह है कि बुनियादी बातों की स्पष्ट समझ के बिना, आप नीचे चर्चा किए गए सूत्रों के साथ काम करने में सक्षम नहीं होंगे।

तो, कुछ यादृच्छिक घटना है, कुछ प्रयोग है। किए गए कार्यों के परिणामस्वरूप, हम कई परिणाम प्राप्त कर सकते हैं - उनमें से कुछ अधिक सामान्य हैं, अन्य कम सामान्य हैं। किसी घटना की प्रायिकता एक प्रकार के वास्तव में प्राप्त परिणामों की संख्या और संभावित परिणामों की कुल संख्या का अनुपात है। केवल इस अवधारणा की शास्त्रीय परिभाषा को जानने के बाद, आप निरंतर यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और फैलाव का अध्ययन करना शुरू कर सकते हैं।

औसत

स्कूल में वापस, गणित के पाठों में, आपने अंकगणितीय माध्य के साथ काम करना शुरू किया। इस अवधारणा का व्यापक रूप से संभाव्यता सिद्धांत में उपयोग किया जाता है, और इसलिए इसे अनदेखा नहीं किया जा सकता है। इस समय हमारे लिए मुख्य बात यह है कि हम गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर के विचरण के सूत्रों में इसका सामना करेंगे।

हमारे पास संख्याओं का एक क्रम है और हम अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना चाहते हैं। हमारे लिए जो कुछ भी आवश्यक है वह सब कुछ उपलब्ध है और अनुक्रम में तत्वों की संख्या से विभाजित करना है। मान लीजिए हमारे पास 1 से 9 तक की संख्याएँ हैं। तत्वों का योग 45 होगा, और हम इस मान को 9 से विभाजित करेंगे। उत्तर: - 5।

फैलाव

वैज्ञानिक शब्दों में, विचरण अंकगणित माध्य से प्राप्त विशेषता मानों के विचलन का औसत वर्ग है। एक को बड़े लैटिन अक्षर D से दर्शाया जाता है। इसकी गणना करने के लिए क्या आवश्यक है? अनुक्रम के प्रत्येक तत्व के लिए, हम उपलब्ध संख्या और अंकगणितीय माध्य के बीच अंतर की गणना करते हैं और इसे वर्ग करते हैं। जिस घटना पर हम विचार कर रहे हैं, उसके लिए उतने ही मूल्य होंगे जितने परिणाम हो सकते हैं। अगला, हम प्राप्त सभी चीजों को सारांशित करते हैं और अनुक्रम में तत्वों की संख्या से विभाजित करते हैं। यदि हमारे पास पांच संभावित परिणाम हैं, तो पांच से विभाजित करें।

विचरण में ऐसे गुण भी होते हैं जिन्हें समस्याओं को हल करते समय इसे लागू करने के लिए आपको याद रखने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, यदि यादृच्छिक चर को X गुना बढ़ा दिया जाता है, तो विचरण वर्ग के X गुना बढ़ जाता है (अर्थात, X*X)। यह कभी भी शून्य से कम नहीं होता है और मूल्यों को एक समान मान ऊपर या नीचे स्थानांतरित करने पर निर्भर नहीं करता है। साथ ही, स्वतंत्र परीक्षणों के लिए, योग का प्रसरण, प्रसरणों के योग के बराबर होता है।

अब हमें निश्चित रूप से एक असतत यादृच्छिक चर के प्रसरण और गणितीय अपेक्षा के उदाहरणों पर विचार करने की आवश्यकता है।

मान लीजिए कि हम 21 प्रयोग चलाते हैं और 7 अलग-अलग परिणाम प्राप्त करते हैं। हमने उनमें से प्रत्येक को क्रमशः 1,2,2,3,4,4 और 5 बार देखा। भिन्नता क्या होगी?

सबसे पहले, हम अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं: तत्वों का योग, निश्चित रूप से, 21 है। हम इसे 7 से विभाजित करते हैं, 3 प्राप्त करते हैं। अब हम मूल क्रम में प्रत्येक संख्या से 3 घटाते हैं, प्रत्येक मान को वर्ग करते हैं, और परिणाम एक साथ जोड़ते हैं . यह 12 निकला। अब हमारे लिए संख्या को तत्वों की संख्या से विभाजित करना बाकी है, और, ऐसा प्रतीत होता है, बस। लेकिन वहां एक जाल है! आइए इसकी चर्चा करते हैं।

प्रयोगों की संख्या पर निर्भरता

यह पता चला है कि विचरण की गणना करते समय, हर दो संख्याओं में से एक हो सकता है: या तो एन या एन -1। यहां एन अनुक्रम में किए गए प्रयोगों की संख्या या तत्वों की संख्या है (जो अनिवार्य रूप से वही बात है)। यह किस पर निर्भर करता है?

यदि परीक्षणों की संख्या सैकड़ों में मापी जाती है, तो हमें N को हर में रखना चाहिए। यदि इकाइयों में, तो N-1। वैज्ञानिकों ने सीमा को काफी प्रतीकात्मक रूप से खींचने का फैसला किया: आज यह संख्या 30 के साथ चलती है। यदि हमने 30 से कम प्रयोग किए हैं, तो हम राशि को एन -1 से विभाजित करेंगे, और यदि अधिक है, तो एन द्वारा।

एक कार्य

आइए विचरण और अपेक्षा की समस्या को हल करने के अपने उदाहरण पर वापस जाएं। हमें 12 की एक मध्यवर्ती संख्या मिली, जिसे N या N-1 से विभाजित करना था। चूंकि हमने 21 प्रयोग किए, जो कि 30 से कम हैं, हम दूसरा विकल्प चुनेंगे। तो उत्तर है: विचरण 12/2 = 2 है।

अपेक्षित मूल्य

आइए दूसरी अवधारणा पर चलते हैं, जिस पर हमें इस लेख में विचार करना चाहिए। गणितीय अपेक्षा संगत संभावनाओं से गुणा किए गए सभी संभावित परिणामों को जोड़ने का परिणाम है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि प्राप्त मूल्य, साथ ही विचरण की गणना का परिणाम, पूरे कार्य के लिए केवल एक बार प्राप्त किया जाता है, चाहे उसमें कितने भी परिणाम क्यों न माने जाएं।

गणितीय अपेक्षा सूत्र काफी सरल है: हम परिणाम लेते हैं, इसे इसकी संभावना से गुणा करते हैं, इसे दूसरे, तीसरे परिणाम आदि के लिए जोड़ते हैं। इस अवधारणा से संबंधित हर चीज की गणना करना आसान है। उदाहरण के लिए, गणितीय अपेक्षाओं का योग योग की गणितीय अपेक्षा के बराबर होता है। काम के लिए भी यही सच है। संभाव्यता सिद्धांत में प्रत्येक मात्रा ऐसे सरल कार्यों को करने की अनुमति नहीं देती है। आइए एक कार्य लें और उन दो अवधारणाओं के मूल्य की गणना करें जिनका हमने एक साथ अध्ययन किया है। इसके अलावा, हम सिद्धांत से विचलित थे - यह अभ्यास करने का समय है।

एक और उदाहरण

हमने 50 परीक्षण चलाए और 10 प्रकार के परिणाम प्राप्त किए - संख्या 0 से 9 - अलग-अलग प्रतिशत में दिखाई दे रहे हैं। ये क्रमशः हैं: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%। याद रखें कि संभावनाएं प्राप्त करने के लिए, आपको प्रतिशत मानों को 100 से विभाजित करने की आवश्यकता है। इस प्रकार, हमें 0.02 मिलता है; 0.1 आदि आइए हम एक यादृच्छिक चर के प्रसरण और गणितीय अपेक्षा के लिए समस्या को हल करने का एक उदाहरण प्रस्तुत करते हैं।

हम प्राथमिक विद्यालय से याद किए गए सूत्र का उपयोग करके अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं: 50/10 = 5।

आइए अब संभावनाओं को "टुकड़ों में" परिणामों की संख्या में अनुवाद करें ताकि इसे गिनना अधिक सुविधाजनक हो सके। हमें 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 और 9 मिलते हैं। प्राप्त प्रत्येक मान से अंकगणितीय माध्य घटाएं, जिसके बाद हम प्राप्त परिणामों में से प्रत्येक का वर्ग करते हैं। उदाहरण के रूप में पहले तत्व के साथ इसे कैसे करें देखें: 1 - 5 = (-4)। आगे: (-4) * (-4) = 16. अन्य मूल्यों के लिए, ये ऑपरेशन स्वयं करें। अगर आपने सब कुछ ठीक किया, तो सब कुछ जोड़ने के बाद आपको 90 मिलते हैं।

आइए 90 को N से विभाजित करके विचरण और माध्य की गणना जारी रखें। हम N को क्यों चुनते हैं और N-1 को नहीं? यह सही है, क्योंकि किए गए प्रयोगों की संख्या 30 से अधिक है। तो: 90/10 = 9। हमें फैलाव मिला। अगर आपको कोई दूसरा नंबर मिलता है, तो निराश न हों। सबसे अधिक संभावना है, आपने गणना में एक सामान्य त्रुटि की है। आपने जो लिखा है उसे दोबारा जांचें, और निश्चित रूप से सब कुछ ठीक हो जाएगा।

अंत में, आइए गणितीय अपेक्षा सूत्र को याद करें। हम सभी गणना नहीं देंगे, हम केवल वही उत्तर लिखेंगे जिसके साथ आप सभी आवश्यक प्रक्रियाओं को पूरा करने के बाद जांच कर सकते हैं। अपेक्षित मान 5.48 होगा। हम केवल याद करते हैं कि पहले तत्वों के उदाहरण का उपयोग करके संचालन कैसे किया जाता है: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... और इसी तरह। जैसा कि आप देख सकते हैं, हम परिणाम के मूल्य को इसकी संभावना से गुणा करते हैं।

विचलन

फैलाव और गणितीय अपेक्षा से संबंधित एक अन्य अवधारणा मानक विचलन है। इसे या तो लैटिन अक्षरों sd द्वारा, या ग्रीक लोअरकेस "सिग्मा" द्वारा दर्शाया जाता है। यह अवधारणा दिखाती है कि कैसे, औसतन, मूल्य केंद्रीय विशेषता से विचलित होते हैं। इसका मान ज्ञात करने के लिए, आपको विचरण के वर्गमूल की गणना करनी होगी।

यदि आप एक सामान्य वितरण की साजिश रचते हैं और उस पर सीधे वर्ग विचलन देखना चाहते हैं, तो यह कई चरणों में किया जा सकता है। छवि के आधे हिस्से को मोड (केंद्रीय मान) के बाईं या दाईं ओर ले जाएं, क्षैतिज अक्ष पर लंबवत खींचें ताकि परिणामी आंकड़ों के क्षेत्र बराबर हों। वितरण के मध्य और क्षैतिज अक्ष पर परिणामी प्रक्षेपण के बीच के खंड का मान मानक विचलन होगा।

सॉफ़्टवेयर

जैसा कि सूत्रों के विवरण और प्रस्तुत उदाहरणों से देखा जा सकता है, विचरण और गणितीय अपेक्षा की गणना अंकगणित की दृष्टि से सबसे आसान प्रक्रिया नहीं है। समय बर्बाद न करने के लिए, उच्च शिक्षा में उपयोग किए जाने वाले कार्यक्रम का उपयोग करना समझ में आता है - इसे "आर" कहा जाता है। इसमें ऐसे कार्य हैं जो आपको सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत से कई अवधारणाओं के मूल्यों की गणना करने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए, आप मानों के वेक्टर को परिभाषित करते हैं। यह निम्नानुसार किया जाता है: वेक्टर<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

आखिरकार

फैलाव और गणितीय अपेक्षाएं हैं जिनके बिना भविष्य में कुछ भी गणना करना मुश्किल है। विश्वविद्यालयों में व्याख्यान के मुख्य पाठ्यक्रम में, उन्हें विषय के अध्ययन के पहले महीनों में ही माना जाता है। इन सरल अवधारणाओं की समझ की कमी और उनकी गणना करने में असमर्थता के कारण ही कई छात्र तुरंत कार्यक्रम में पिछड़ने लगते हैं और बाद में सत्र में खराब अंक प्राप्त करते हैं, जो उन्हें छात्रवृत्ति से वंचित करता है।

इस लेख में प्रस्तुत किए गए समान कार्यों को हल करते हुए, दिन में कम से कम एक सप्ताह में आधे घंटे का अभ्यास करें। फिर, किसी भी संभाव्यता सिद्धांत परीक्षण पर, आप बिना बाहरी युक्तियों और चीट शीट के उदाहरणों का सामना करेंगे।

अक्सर आंकड़ों में, किसी घटना या प्रक्रिया का विश्लेषण करते समय, न केवल अध्ययन किए गए संकेतकों के औसत स्तरों के बारे में जानकारी को ध्यान में रखना आवश्यक है, बल्कि यह भी आवश्यक है व्यक्तिगत इकाइयों के मूल्यों में बिखराव या भिन्नता , जो अध्ययन की गई जनसंख्या की एक महत्वपूर्ण विशेषता है।

स्टॉक की कीमतें, आपूर्ति और मांग की मात्रा, अलग-अलग अवधियों में और अलग-अलग जगहों पर ब्याज दरें सबसे बड़ी भिन्नता के अधीन हैं।

भिन्नता की विशेषता वाले मुख्य संकेतक , रेंज, विचरण, मानक विचलन और भिन्नता के गुणांक हैं।

अवधि भिन्नता विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर है: आर = एक्समैक्स - एक्समिन. इस सूचक का नुकसान यह है कि यह केवल विशेषता भिन्नता की सीमाओं का मूल्यांकन करता है और इन सीमाओं के भीतर इसके उतार-चढ़ाव को नहीं दर्शाता है।

फैलाव इस कमी से रहित। इसकी गणना उनके औसत मूल्य से विशेषता मानों के विचलन के औसत वर्ग के रूप में की जाती है:

विचरण की गणना करने का सरल तरीका निम्नलिखित सूत्रों (सरल और भारित) का उपयोग करके किया जाता है:

इन सूत्रों के आवेदन के उदाहरण कार्य 1 और 2 में प्रस्तुत किए गए हैं।

व्यवहार में व्यापक रूप से प्रयुक्त होने वाला सूचक है मानक विचलन :

मानक विचलन को विचरण के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है और अध्ययन के तहत विशेषता के समान आयाम है।

माना गया संकेतक भिन्नता का निरपेक्ष मूल्य प्राप्त करना संभव बनाता है, अर्थात। अध्ययन के तहत विशेषता के माप की इकाइयों में इसका मूल्यांकन करें। उनके विपरीत, भिन्नता का गुणांक सापेक्ष रूप में उतार-चढ़ाव को मापता है - औसत स्तर के सापेक्ष, जो कई मामलों में बेहतर होता है।

भिन्नता के गुणांक की गणना के लिए सूत्र।

"सांख्यिकी में भिन्नता के संकेतक" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

कार्य 1 . जिले के बैंकों में औसत मासिक जमा के आकार पर विज्ञापन के प्रभाव का अध्ययन करते समय, 2 बैंकों की जांच की गई। निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं:

परिभाषित करना:
1) प्रत्येक बैंक के लिए: क) औसत मासिक जमा; बी) योगदान का फैलाव;
2) दो बैंकों के लिए एक साथ औसत मासिक जमा;
3) विज्ञापन के आधार पर 2 बैंकों के लिए जमा राशि का वितरण;
4) विज्ञापन को छोड़कर सभी कारकों के आधार पर 2 बैंकों के लिए जमा राशि का वितरण;
5) जोड़ नियम का उपयोग करते हुए कुल विचरण;
6) निर्धारण का गुणांक;
7) सहसंबंध संबंध।

समाधान

1) आइए विज्ञापन वाले बैंक के लिए गणना तालिका बनाएं . औसत मासिक जमा निर्धारित करने के लिए, हम अंतराल के मध्य बिंदु पाते हैं। इस मामले में, खुले अंतराल (पहला वाला) का मान सशर्त रूप से उससे सटे अंतराल के मान (दूसरा वाला) के बराबर होता है।

हम भारित अंकगणितीय माध्य सूत्र का उपयोग करके योगदान का औसत आकार पाते हैं:

29,000/50 = 580 रूबल

योगदान का फैलाव सूत्र द्वारा पाया जाता है:

23 400/50 = 468

हम इसी तरह की कार्रवाई करेंगे विज्ञापनों के बिना बैंक के लिए :

2) एक साथ दो बैंकों की औसत जमा राशि ज्ञात कीजिए। Xav \u003d (580 × 50 + 542.8 × 50) / 100 \u003d 561.4 रूबल।

3) विज्ञापन के आधार पर दो बैंकों के लिए जमा का विचरण, हम सूत्र द्वारा पाएंगे: 2 =pq (एक वैकल्पिक सुविधा के विचरण का सूत्र)। यहाँ p=0.5 उन कारकों का अनुपात है जो विज्ञापन पर निर्भर करते हैं; क्यू = 1-0.5, फिर σ 2 =0.5*0.5=0.25।

4) चूँकि अन्य कारकों का हिस्सा 0.5 है, तो दो बैंकों के लिए जमा का विचरण, जो विज्ञापन को छोड़कर सभी कारकों पर निर्भर करता है, भी 0.25 है।

5) जोड़ नियम का उपयोग करके कुल विचरण का निर्धारण करें।

= (468*50+636,16*50)/100=552,08

= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96

2 \u003d 2 तथ्य + 2 आराम \u003d 552.08 + 345.96 \u003d 898.04

6) निर्धारण का गुणांक 2 = 2 तथ्य / σ 2 = 345.96/898.04 = 0.39 = 39% - योगदान का आकार 39% तक विज्ञापन पर निर्भर करता है।

7) अनुभवजन्य सहसंबंध अनुपात η = √η 2 = √0.39 = 0.62 - संबंध काफी करीब है।

टास्क 2 . विपणन योग्य उत्पादों के मूल्य के अनुसार उद्यमों का एक समूह है:

निर्धारित करें: 1) विपणन योग्य उत्पादों के मूल्य का फैलाव; 2) मानक विचलन; 3) भिन्नता का गुणांक।

समाधान

1) शर्त के अनुसार, एक अंतराल वितरण श्रृंखला प्रस्तुत की जाती है। इसे विवेकपूर्वक व्यक्त किया जाना चाहिए, अर्थात्, अंतराल के मध्य का पता लगाएं (x ")। बंद अंतराल के समूहों में, हम एक साधारण अंकगणितीय माध्य द्वारा मध्य पाते हैं। ऊपरी सीमा वाले समूहों में, इस ऊपरी सीमा के बीच के अंतर के रूप में और उसके बाद के अंतराल का आधा आकार (200-(400 -200):2=100)।

निचली सीमा वाले समूहों में - इस निचली सीमा का योग और पिछले अंतराल का आधा आकार (800+(800-600):2=900)।

विपणन योग्य उत्पादों के औसत मूल्य की गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:

Хср = k×((Σ((x"-a):k)×f):Σf)+a। यहां a=500 उच्चतम आवृत्ति पर संस्करण का आकार है, k=600-400=200 है उच्चतम आवृत्ति पर अंतराल का आकार आइए परिणाम को एक तालिका में रखें:

तो, समग्र रूप से अध्ययन की अवधि के लिए विपणन योग्य उत्पादन का औसत मूल्य Xav = (-5:37) × 200 + 500 = 472.97 हजार रूबल है।

2) हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके फैलाव पाते हैं:

2 \u003d (33/37) * 2002-(472.97-500) 2 \u003d 35,675.67-730.62 \u003d 34,945.05

3) मानक विचलन: = ±√σ 2 = ±√34 945.05 ±186.94 हजार रूबल।

4) भिन्नता का गुणांक: वी \u003d (σ / Xav) * 100 \u003d (186.94 / 472.97) * 100 \u003d 39.52%