समाधान के साथ संकेतित कार्यों की सीमाएं पाएं। डमी के लिए सीमाएं कैसे हल करें

छात्रों और स्कूली बच्चों द्वारा कवर की गई सामग्री के पूर्ण समेकन और उनके व्यावहारिक कौशल को प्रशिक्षित करने के लिए साइट पर एक ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर। हमारे संसाधन पर सीमा कैलकुलेटर का ऑनलाइन उपयोग कैसे करें? यह बहुत आसानी से किया जाता है, आपको बस मौजूदा फ़ील्ड में मूल फ़ंक्शन दर्ज करने की आवश्यकता है, चयनकर्ता से चर के लिए आवश्यक सीमा मान का चयन करें और "समाधान" बटन पर क्लिक करें। यदि किसी बिंदु पर आपको सीमा मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है, तो आपको इस बिंदु का मान दर्ज करना होगा - या तो संख्यात्मक या प्रतीकात्मक। ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर आपको किसी दिए गए बिंदु पर सीमा मान खोजने में मदद करेगा, फ़ंक्शन परिभाषा अंतराल में सीमा, और यह मान, जहां अध्ययन के तहत फ़ंक्शन का मान किसी दिए गए बिंदु पर जाता है, तो इसका समाधान है सीमा। द्वारा ऑनलाइन कैलकुलेटर हमारे वेबसाइट संसाधन की सीमा पर, हम निम्नलिखित कह सकते हैं - इंटरनेट पर बड़ी संख्या में एनालॉग हैं, आप योग्य पा सकते हैं, आपको इसे कठिनाई से खोजने की आवश्यकता है। लेकिन यहां आप इस तथ्य का सामना करेंगे कि एक साइट से दूसरी साइट अलग है। उनमें से कई हमारे विपरीत, ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर की पेशकश बिल्कुल नहीं करते हैं। यदि किसी भी प्रसिद्ध खोज इंजन में, चाहे वह यांडेक्स हो या Google, आप "ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर" वाक्यांश का उपयोग करके साइटों की खोज करते हैं, तो साइट खोज परिणामों में पहली पंक्तियों पर होगी। इसका मतलब है कि ये खोज इंजन हम पर भरोसा करते हैं, और हमारी साइट पर केवल उच्च गुणवत्ता वाली सामग्री है, और सबसे महत्वपूर्ण बात, स्कूल और विश्वविद्यालय के छात्रों के लिए उपयोगी है! आइए सीमा कैलकुलेटर के बारे में और सामान्य रूप से सीमा तक जाने के सिद्धांत के बारे में बात करना जारी रखें। बहुत बार, किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा में, पड़ोस की अवधारणा तैयार की जाती है। यहां, कार्यों की सीमाओं के साथ-साथ इन सीमाओं के समाधान का अध्ययन केवल उन बिंदुओं पर किया जाता है जो कार्यों की परिभाषा के क्षेत्र के लिए सीमित हैं, यह जानते हुए कि ऐसे बिंदु के प्रत्येक पड़ोस में परिभाषा के क्षेत्र से बिंदु हैं यह समारोह। यह हमें किसी दिए गए बिंदु पर एक चर फलन की प्रवृत्ति के बारे में बात करने की अनुमति देता है। यदि फ़ंक्शन के डोमेन के किसी बिंदु पर कोई सीमा है और ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन का विस्तृत सीमा समाधान देता है, तो फ़ंक्शन उस बिंदु पर निरंतर होता है। समाधान के साथ हमारे ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर को कुछ सकारात्मक परिणाम दें, और हम इसे अन्य साइटों पर जांचेंगे। यह हमारे संसाधन की गुणवत्ता को साबित कर सकता है, और, जैसा कि बहुत से लोग पहले से ही जानते हैं, यह अपने सर्वोत्तम स्तर पर है और सर्वोच्च प्रशंसा का पात्र है। इसके साथ ही, अध्ययन के विस्तृत समाधान के साथ और स्वतंत्र रूप से, लेकिन एक पेशेवर शिक्षक की नज़दीकी देखरेख में ऑनलाइन कैलकुलेटर की सीमा की संभावना है। अक्सर इस क्रिया से अपेक्षित परिणाम प्राप्त होते हैं। सभी छात्र बस यह सपना देखते हैं कि समाधान के साथ ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर सेमेस्टर की शुरुआत में शिक्षक द्वारा दिए गए उनके कठिन कार्य का विस्तार से वर्णन करेगा। लेकिन यह इतना आसान नहीं है। आपको पहले सिद्धांत का अध्ययन करना चाहिए, और फिर मुफ्त कैलकुलेटर का उपयोग करना चाहिए। ऑनलाइन सीमाओं की तरह, कैलकुलेटर आपको आवश्यक प्रविष्टियों का विवरण देगा, और आप परिणाम से संतुष्ट होंगे। लेकिन परिभाषा के क्षेत्र का सीमा बिंदु परिभाषा के इसी डोमेन से संबंधित नहीं हो सकता है, और यह ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर द्वारा विस्तृत गणना से साबित होता है। उदाहरण: हम एक खुले खंड के सिरों पर एक फ़ंक्शन की सीमा पर विचार कर सकते हैं जिस पर हमारा कार्य परिभाषित किया गया है। इस मामले में, खंड की सीमाएं स्वयं परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं हैं। इस अर्थ में, इस बिंदु के पड़ोस की प्रणाली है विशेष मामला उपसमुच्चय का ऐसा आधार। विस्तृत समाधान के साथ ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर वास्तविक समय में तैयार किया जाता है और सूत्रों को एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक रूप में लागू किया जाता है। एक विस्तृत समाधान के साथ ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर का उपयोग करने वाले फ़ंक्शन की सीमा एक अनुक्रम की सीमा की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है: प्रारंभ में, एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन की सीमा को सीमा के तत्वों के अनुक्रम की सीमा के रूप में समझा जाता था। किसी दिए गए बिंदु (जिस सीमा पर विचार किया जाता है) में परिवर्तित होने वाले फ़ंक्शन के डोमेन के तत्वों के अनुक्रम के बिंदुओं की छवियों से बना एक फ़ंक्शन; यदि ऐसी सीमा मौजूद है, तो फ़ंक्शन को निर्दिष्ट मान में अभिसरण करने के लिए कहा जाता है; यदि ऐसी सीमा मौजूद नहीं है, तो फ़ंक्शन को विचलन कहा जाता है। सामान्यतया, सीमा तक पारित होने का सिद्धांत सभी गणितीय विश्लेषणों की मूल अवधारणा है। सब कुछ सटीक रूप से सीमा संक्रमण पर आधारित है, अर्थात, सीमाओं का एक विस्तृत समाधान गणितीय विश्लेषण के विज्ञान का आधार है, और ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर छात्र सीखने की नींव रखता है। साइट पर विस्तृत समाधान के साथ ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर वास्तविक समय में सटीक और त्वरित उत्तर प्राप्त करने के लिए एक अनूठी सेवा है। अक्सर नहीं, या बहुत बार, गणितीय विश्लेषण के प्रारंभिक अध्ययन के दौरान छात्रों को तुरंत सीमाओं को हल करने में कठिनाई होती है। हम गारंटी देते हैं कि हमारी सेवा पर सीमा कैलकुलेटर को ऑनलाइन हल करना सटीकता की गारंटी है और उच्च गुणवत्ता वाला उत्तर प्राप्त करना है। आपको कुछ ही सेकंड में कैलकुलेटर के साथ सीमा के विस्तृत समाधान का उत्तर प्राप्त होगा, आप तुरंत भी कह सकते हैं . यदि आप गलत डेटा दर्ज करते हैं, अर्थात, वर्ण जो सिस्टम द्वारा अनुमत नहीं हैं, तो ठीक है, सेवा स्वचालित रूप से आपको एक त्रुटि के बारे में सूचित करेगी। पहले दर्ज किए गए फ़ंक्शन (या सीमा बिंदु) को ठीक करें और ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर के साथ सही विस्तृत समाधान प्राप्त करें। हम पर भरोसा करें और हम आपको कभी निराश नहीं करेंगे। आप आसानी से साइट का उपयोग कर सकते हैं और समाधान के साथ ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर समस्या की गणना के लिए चरण-दर-चरण चरणों का विस्तार से वर्णन करेगा। आपको बस कुछ सेकंड प्रतीक्षा करने और प्रतिष्ठित उत्तर प्राप्त करने की आवश्यकता है। एक विस्तृत समाधान के साथ एक ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ सीमाओं को हल करने के लिए, सभी संभावित तकनीकों का उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से L'Hospital पद्धति का उपयोग बहुत बार किया जाता है, क्योंकि यह सार्वभौमिक है और किसी फ़ंक्शन की सीमा की गणना करने के अन्य तरीकों की तुलना में तेजी से उत्तर की ओर जाता है। . संख्या अनुक्रम के योग की गणना के लिए अक्सर एक सीमा कैलकुलेटर द्वारा एक ऑनलाइन विस्तृत समाधान की आवश्यकता होती है। जैसा कि आप जानते हैं, एक संख्यात्मक अनुक्रम का योग खोजने के लिए, आपको केवल इस अनुक्रम के आंशिक योग को सही ढंग से व्यक्त करने की आवश्यकता है, और फिर हमारी मुफ्त साइट सेवा का उपयोग करके सब कुछ सरल है, क्योंकि हमारे ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर का उपयोग करके सीमा की गणना की जाती है। आंशिक योग संख्यात्मक अनुक्रम का अंतिम योग होगा। साइट सेवा का उपयोग करके ऑनलाइन एक सीमा कैलकुलेटर के साथ एक विस्तृत समाधान छात्रों को समस्याओं को हल करने की प्रगति को देखने का एक तरीका प्रदान करता है, जो सीमा के सिद्धांत को समझना आसान और लगभग सभी के लिए सुलभ बनाता है। केंद्रित रहें और गलत कार्यों को खराब ग्रेड के साथ परेशानी में न आने दें। सीमा कैलकुलेटर के साथ किसी भी विस्तृत समाधान की तरह ऑनलाइन सेवा, कार्य एक सुविधाजनक और समझने योग्य रूप में, एक विस्तृत समाधान के साथ, समाधान प्राप्त करने के लिए सभी नियमों और विनियमों के अनुपालन में प्रस्तुत किया जाएगा। साथ ही, आप समय और धन बचा सकते हैं, क्योंकि हम इसके लिए बिल्कुल कुछ नहीं मांगते हैं। यह। हमारी वेबसाइट पर, ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर का विस्तृत समाधान हमेशा चौबीस घंटे उपलब्ध होता है। वास्तव में, समाधान के साथ सभी ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर चरण-दर-चरण समाधान की प्रगति को विस्तार से नहीं बता सकते हैं, आपको इसके बारे में नहीं भूलना चाहिए और सभी का अनुसरण करना चाहिए। जैसे ही विस्तृत समाधान के साथ ऑनलाइन कैलकुलेटर की सीमा आपको "समाधान" बटन पर क्लिक करने के लिए प्रेरित करती है, तो कृपया पहले सब कुछ जांचें। यानी दर्ज किए गए फ़ंक्शन की जांच करें, सीमा मान भी और उसके बाद ही कार्रवाई के साथ आगे बढ़ें। यह आपको असफल गणनाओं के लिए दर्दनाक अनुभवों से बचाएगा। और फिर विस्तृत कानून के साथ ऑनलाइन कैलकुलेटर की सीमाएं सही तथ्यात्मक प्रतिनिधित्व देगी कदम दर कदम कार्रवाई. अगर ऑनलाइन लिमिट कैलकुलेटर ने अचानक विस्तृत समाधान नहीं दिया तो इसके कई कारण हो सकते हैं। सबसे पहले, लिखित फ़ंक्शन अभिव्यक्ति की जांच करें। इसमें चर "x" होना चाहिए, अन्यथा पूरे फ़ंक्शन को सिस्टम द्वारा स्थिर माना जाएगा। अगला, यदि निर्दिष्ट हो, तो सीमा मान की जाँच करें दिया गया बिंदुया चरित्र मूल्य। इसमें भी केवल शामिल होना चाहिए पत्र- क्या यह महत्वपूर्ण है! फिर आप हमारी उत्कृष्ट सेवा पर ऑनलाइन सीमाओं का विस्तृत समाधान खोजने के लिए फिर से प्रयास कर सकते हैं, और परिणाम का उपयोग कर सकते हैं। जैसे ही वे कहते हैं कि ऑनलाइन समाधान की सीमाएँ विस्तार से बहुत कठिन हैं - विश्वास मत करो, और सबसे महत्वपूर्ण बात, घबराओ मत, प्रशिक्षण पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर सब कुछ की अनुमति है। हम अनुशंसा करते हैं कि आप घबराए बिना, हमारी सेवा के लिए बस कुछ मिनट समर्पित करें और दिए गए अभ्यास की जांच करें। यदि, फिर भी, ऑनलाइन समाधान की सीमाओं को विस्तार से हल नहीं किया जा सकता है, तो आपने एक टाइपो बनाया है, अन्यथा साइट बिना किसी कठिनाई के लगभग किसी भी समस्या को हल करती है। लेकिन यह सोचने की जरूरत नहीं है कि आप बिना श्रम और प्रयास के तुरंत वांछित परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। सामग्री का अध्ययन करने के लिए पर्याप्त समय समर्पित करने की आवश्यकता पर। एक समाधान के साथ प्रत्येक ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर के लिए उजागर समाधान के निर्माण के चरण में विस्तार से बाहर खड़े होना और विपरीत मान लेना संभव है। लेकिन बात यह नहीं है कि इसे कैसे व्यक्त किया जाए, क्योंकि हम प्रक्रिया के बारे में ही चिंतित हैं। वैज्ञानिक दृष्टिकोण. परिणामस्वरूप, हम दिखाएंगे कि कैसे ऑनलाइन समाधान सीमा कैलकुलेटर एक विज्ञान के रूप में गणित के मूलभूत पहलू पर विस्तार से आधारित है। पांच मूल सिद्धांतों की पहचान करें, और आगे बढ़ना शुरू करें। आपसे पूछा जाएगा कि क्या सीमा कैलकुलेटर समाधान सभी के लिए विस्तृत समाधान के साथ ऑनलाइन उपलब्ध है, और आप उत्तर देंगे - हाँ, यह है! शायद इस अर्थ में परिणामों पर कोई विशेष ध्यान नहीं दिया गया है, लेकिन ऑनलाइन सीमा का विस्तार से थोड़ा अलग अर्थ है, जैसा कि यह अनुशासन का अध्ययन करने की शुरुआत में लग सकता है। एक संतुलित दृष्टिकोण के साथ, बलों के उचित संरेखण के साथ, यह संभव है कि सबसे छोटा समयअपने आप को कम करने के लिए विस्तार से ऑनलाइन सीमित करें।! वास्तव में, यह होगा कि समाधान के साथ ऑनलाइन सीमा कैलकुलेटर तेजी से चरण-दर-चरण गणना के सभी चरणों का आनुपातिक रूप से प्रतिनिधित्व करना शुरू कर देगा।

सीमा का सिद्धांत गणितीय विश्लेषण की शाखाओं में से एक है। सीमा को हल करने का सवाल काफी व्यापक है, क्योंकि सीमा को हल करने के दर्जनों तरीके हैं विभिन्न प्रकार. दर्जनों बारीकियां और तरकीबें हैं जो आपको एक या दूसरी सीमा को हल करने की अनुमति देती हैं। फिर भी, हम अभी भी उन मुख्य प्रकार की सीमाओं को समझने की कोशिश करेंगे जो व्यवहार में सबसे अधिक बार सामने आती हैं।

आइए एक सीमा की अवधारणा से शुरू करें। लेकिन पहले, एक संक्षिप्त ऐतिहासिक पृष्ठभूमि। एक समय की बात है, 19वीं सदी में एक फ्रांसीसी ऑगस्टिन लुई कॉची थे, जिन्होंने मटन की कई अवधारणाओं को सख्त परिभाषा दी और इसकी नींव रखी। मुझे कहना होगा कि इस सम्मानित गणितज्ञ ने भौतिकी और गणित संकाय के सभी छात्रों के सपने देखे, सपने देखे और सपने देखे, क्योंकि उन्होंने बड़ी संख्या में गणितीय विश्लेषण के प्रमेयों को साबित किया, और एक प्रमेय दूसरे की तुलना में अधिक हत्यारा है। इस कारण से, हम विचार नहीं करेंगे कॉची सीमा का निर्धारण, लेकिन आइए दो चीजें करने का प्रयास करें:

1. समझें कि एक सीमा क्या है।
2. मुख्य प्रकार की सीमाओं को हल करना सीखें।

मैं कुछ अवैज्ञानिक स्पष्टीकरणों के लिए क्षमा चाहता हूं, यह महत्वपूर्ण है कि सामग्री एक चायदानी के लिए भी समझ में आती है, जो वास्तव में परियोजना का कार्य है।

तो सीमा क्या है?

और तुरंत एक उदाहरण है कि अपनी दादी को क्यों झकझोरना है ....

किसी भी सीमा में तीन भाग होते हैं:

1) प्रसिद्ध सीमा चिह्न।
2) इस मामले में सीमा चिह्न के तहत प्रविष्टियां। प्रविष्टि में लिखा है "x एकता की ओर जाता है।" सबसे अधिक बार - बिल्कुल, हालांकि व्यवहार में "x" के बजाय अन्य चर होते हैं। व्यावहारिक कार्यों में, एक इकाई के स्थान पर, बिल्कुल कोई भी संख्या हो सकती है, साथ ही अनंत ()।
3) इस मामले में सीमा चिह्न के तहत कार्य।

रिकॉर्ड ही इस तरह पढ़ता है: "फ़ंक्शन की सीमा जब x एकता की ओर जाता है।"

आइए निम्नलिखित का विश्लेषण करें महत्वपूर्ण सवालअभिव्यक्ति "एक्स" का क्या अर्थ है? चाहता हैएकता के लिए? और वैसे भी "प्रयास" क्या है?
एक सीमा की अवधारणा एक अवधारणा है, इसलिए बोलने के लिए, गतिशील. आइए एक अनुक्रम का निर्माण करें: पहले , फिर , , …, , ….
अर्थात्, व्यंजक "x चाहता हैटू वन" को इस प्रकार समझा जाना चाहिए - "x" लगातार मान लेता है जो असीम रूप से एकता के करीब हैं और व्यावहारिक रूप से इसके साथ मेल खाते हैं.

उपरोक्त उदाहरण को कैसे हल करें? उपरोक्त के आधार पर, आपको केवल सीमा चिह्न के तहत फ़ंक्शन में इकाई को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है:

तो पहला नियम है: जब कोई सीमा दी जाती है, तो पहले केवल संख्या को फ़ंक्शन में प्लग करने का प्रयास करें.

हमने सबसे सरल सीमा पर विचार किया, लेकिन ऐसे भी व्यवहार में पाए जाते हैं, और ऐसा बहुत कम ही होता है!

अनंत उदाहरण:

समझना क्या है? यह तब होता है जब यह अनिश्चित काल के लिए बढ़ता है, अर्थात: पहले, फिर, फिर, फिर, और इसी तरह एड इनफिनिटम।

और इस समय समारोह का क्या होता है?
, , , …

तो: यदि , तो फ़ंक्शन शून्य से अनंत तक जाता है:

मोटे तौर पर, हमारे पहले नियम के अनुसार, हम "x" के बजाय फ़ंक्शन में अनंत को प्रतिस्थापित करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं।

अनंत के साथ एक और उदाहरण:

फिर से, हम अनंत तक बढ़ना शुरू करते हैं और फ़ंक्शन के व्यवहार को देखते हैं:

निष्कर्ष: के लिए , फलन अनिश्चित काल तक बढ़ता है:

और उदाहरणों की एक और श्रृंखला:

कृपया अपने लिए निम्नलिखित का मानसिक रूप से विश्लेषण करने का प्रयास करें और सरलतम प्रकार की सीमाएँ याद रखें:

, , , , , , , , ,
अगर कहीं कोई शंका हो तो आप कैलकुलेटर उठा सकते हैं और थोड़ा अभ्यास कर सकते हैं।
इस घटना में, अनुक्रम बनाने का प्रयास करें,,। तो अगर , , ।

! टिप्पणी: कड़ाई से बोलते हुए, कई संख्याओं के अनुक्रमों के निर्माण के साथ ऐसा दृष्टिकोण गलत है, लेकिन यह सरलतम उदाहरणों को समझने के लिए काफी उपयुक्त है।

निम्न बातों पर भी ध्यान दें। भले ही शीर्ष पर बड़ी संख्या के साथ, या कम से कम एक लाख: के साथ एक सीमा दी गई हो, तो सभी समान , क्योंकि जल्दी या बाद में "x" ऐसे विशाल मूल्यों को लेना शुरू कर देगा कि उनकी तुलना में एक लाख वास्तविक सूक्ष्म जीव होंगे।

ऊपर से क्या याद रखना और समझना चाहिए?

1) जब कोई सीमा दी जाती है, तो पहले हम केवल एक संख्या को फलन में स्थानापन्न करने का प्रयास करते हैं।

2) आपको सरलतम सीमाओं को समझना और तुरंत हल करना चाहिए, जैसे कि , , आदि।

इसके अलावा, सीमा बहुत अच्छी है ज्यामितीय अर्थ. विषय की बेहतर समझ के लिए, मेरा सुझाव है कि आप अपने आप को कार्यप्रणाली सामग्री से परिचित कराएं प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण. इस लेख को पढ़ने के बाद, आप न केवल अंत में समझ पाएंगे कि सीमा क्या है, बल्कि दिलचस्प मामलों से भी परिचित होंगे जब किसी फ़ंक्शन की सीमा आम तौर पर होती है मौजूद नहीं!

व्यवहार में, दुर्भाग्य से, कुछ उपहार हैं। और इसलिए हम अधिक जटिल सीमाओं के विचार की ओर मुड़ते हैं। वैसे, इस विषय पर है गहन पाठ्यक्रमपीडीएफ प्रारूप में, जो विशेष रूप से उपयोगी है यदि आपके पास तैयारी के लिए बहुत कम समय है। लेकिन साइट की सामग्री, निश्चित रूप से, बदतर नहीं हैं:

अब हम सीमाओं के समूह पर विचार करेंगे, जब और फलन एक भिन्न है, जिसके अंश और हर बहुपद हैं

उदाहरण:

सीमा की गणना करें

हमारे नियम के अनुसार, हम एक फलन में अनंत को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करेंगे। हमें सबसे ऊपर क्या मिलता है? अनंतता। और नीचे क्या होता है? साथ ही अनंत। इस प्रकार, हमारे पास रूप की तथाकथित अनिश्चितता है। कोई यह सोच सकता है, और उत्तर तैयार है, लेकिन सामान्य स्थिति में ऐसा बिल्कुल नहीं है, और कुछ समाधान लागू किया जाना चाहिए, जिस पर अब हम विचार करेंगे।

इस प्रकार की सीमाओं को कैसे हल करें?

सबसे पहले हम अंश को देखते हैं और उच्चतम शक्ति पाते हैं:

अंश में उच्चतम शक्ति दो है।

अब हम हर को देखते हैं और उच्चतम डिग्री भी पाते हैं:

हर की उच्चतम शक्ति दो है।

फिर हम अंश और हर की उच्चतम शक्ति चुनते हैं: इस उदाहरण में, वे समान हैं और दो के बराबर हैं।

तो, समाधान विधि इस प्रकार है: अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, अंश और हर को उच्चतम डिग्री से विभाजित करना आवश्यक है।

यहाँ यह है, उत्तर, और अनंत बिल्कुल नहीं।

निर्णय लेने में क्या आवश्यक है?

सबसे पहले, हम अनिश्चितता का संकेत देते हैं, यदि कोई हो।

दूसरे, मध्यवर्ती स्पष्टीकरण के लिए समाधान को बाधित करना वांछनीय है। मैं आमतौर पर संकेत का उपयोग करता हूं, इसका कोई गणितीय अर्थ नहीं है, लेकिन इसका मतलब है कि समाधान एक मध्यवर्ती स्पष्टीकरण के लिए बाधित है।

तीसरा, सीमा में यह चिह्नित करना वांछनीय है कि यह क्या और कहाँ जाता है। जब काम हाथ से तैयार किया जाता है, तो इसे इस तरह करना अधिक सुविधाजनक होता है:

नोट्स के लिए, एक साधारण पेंसिल का उपयोग करना बेहतर है।

बेशक, आप इसमें से कुछ नहीं कर सकते हैं, लेकिन फिर, शायद, शिक्षक समाधान में कमियों को नोट करेगा या असाइनमेंट पर अतिरिक्त प्रश्न पूछना शुरू कर देगा। और क्या आपको इसकी आवश्यकता है?

उदाहरण 2

सीमा का पता लगाएं
फिर से अंश और हर में हम उच्चतम अंश में पाते हैं:

अंश में अधिकतम डिग्री: 3
हर में अधिकतम डिग्री: 4
चुनना महानतममान, इस मामले में चार।
हमारे एल्गोरिथ्म के अनुसार, अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, हम अंश और हर को से विभाजित करते हैं।
एक पूरा असाइनमेंट इस तरह दिख सकता है:

अंश और हर को से विभाजित करें

उदाहरण 3

सीमा का पता लगाएं
अंश में "x" की अधिकतम डिग्री: 2
हर में "x" की अधिकतम शक्ति: 1 (इस रूप में लिखा जा सकता है)
अनिश्चितता को प्रकट करने के लिए, अंश और हर को से विभाजित करना आवश्यक है। एक साफ समाधान इस तरह दिख सकता है:

अंश और हर को से विभाजित करें

रिकॉर्ड का मतलब शून्य से विभाजन नहीं है (शून्य से विभाजित करना असंभव है), लेकिन एक असीम रूप से छोटी संख्या से विभाजन।

इस प्रकार, फॉर्म की अनिश्चितता का खुलासा करते समय, हम प्राप्त कर सकते हैं समापिका, शून्य या अनंत।

अनिश्चितता के प्रकार और उनके समाधान के लिए एक विधि के साथ सीमाएं

सीमाओं का अगला समूह कुछ हद तक अभी मानी गई सीमाओं के समान है: अंश और हर में बहुपद हैं, लेकिन "x" अब अनंत की ओर नहीं जाता है, लेकिन अंतिम संख्या.

उदाहरण 4

सीमा को हल करें
सबसे पहले, आइए एक भिन्न में -1 को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें:

इस मामले में, तथाकथित अनिश्चितता प्राप्त की जाती है।

सामान्य नियम : यदि अंश और हर में बहुपद हैं, और रूप की अनिश्चितता है, तो इसके प्रकटीकरण के लिए अंश और हर का गुणनखंड करें.

ऐसा करने के लिए, अक्सर आपको द्विघात समीकरण को हल करने की आवश्यकता होती है और (या) संक्षिप्त गुणन फ़ार्मुलों का उपयोग करते हैं। अगर ये बातें भूल जाते हैं, तो पेज पर जाएं गणितीय सूत्र और टेबलऔर कार्यप्रणाली सामग्री से परिचित हों हॉट स्कूल गणित सूत्र. वैसे, इसे प्रिंट करना सबसे अच्छा है, इसकी बहुत बार आवश्यकता होती है, और कागज से जानकारी बेहतर अवशोषित होती है।

तो चलिए हल करते हैं हमारी लिमिट

अंश और हर का गुणनखंड

अंश का गुणनखंड करने के लिए, आपको द्विघात समीकरण को हल करना होगा:

पहले हम विवेचक पाते हैं:

और इसका वर्गमूल: .

यदि विवेचक बड़ा है, उदाहरण के लिए 361, तो हम एक कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, निष्कर्षण फ़ंक्शन वर्गमूलसबसे सरल कैलकुलेटर पर है।

! यदि रूट पूरी तरह से नहीं निकाला जाता है (अल्पविराम के साथ एक भिन्नात्मक संख्या प्राप्त की जाती है), तो यह बहुत संभावना है कि विवेचक की गणना गलत तरीके से की गई थी या कार्य में कोई टाइपो है।

अगला, हम जड़ें पाते हैं:

इस तरह:

हर चीज़। अंश कारक है।

हर। भाजक पहले से ही सबसे सरल कारक है, और इसे सरल बनाने का कोई तरीका नहीं है।

जाहिर है, इसे छोटा किया जा सकता है:

अब हम उस व्यंजक में -1 को प्रतिस्थापित करते हैं जो सीमा चिह्न के अंतर्गत रहता है:

स्वाभाविक रूप से, एक परीक्षण में, एक परीक्षा में, एक परीक्षा में, समाधान को कभी भी इतने विस्तार से चित्रित नहीं किया जाता है। अंतिम संस्करण में, डिज़ाइन कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

आइए अंश का गुणनखंड करें।

उदाहरण 5

सीमा की गणना करें

सबसे पहले, एक "साफ" समाधान

आइए अंश और हर का गुणनखंड करें।

अंश:
हर:



,

इस उदाहरण में क्या महत्वपूर्ण है?
सबसे पहले, आपको अच्छी तरह से समझना चाहिए कि अंश कैसे प्रकट होता है, पहले हमने 2 को ब्रैकेट किया, और फिर वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग किया। यह वह सूत्र है जिसे आपको जानना और देखना है।

अनुशंसा: यदि सीमा में (लगभग किसी भी प्रकार की) किसी संख्या को कोष्ठक से बाहर निकालना संभव है, तो हम हमेशा ऐसा करते हैं।
इसके अलावा, ऐसी संख्याओं को सीमा चिह्न से परे ले जाने की सलाह दी जाती है. किस लिए? ताकि वे बीच में न आएं। मुख्य बात यह है कि निर्णय के दौरान इन नंबरों को खोना नहीं है।

कृपया ध्यान दें कि समाधान के अंतिम चरण में, मैंने लिमिट आइकन के लिए एक ड्यूस निकाला, और फिर एक माइनस।

! महत्वपूर्ण
समाधान के दौरान, एक प्रकार का टुकड़ा बहुत बार होता है। इस अंश को कम करेंयह निषिद्ध है . सबसे पहले आपको अंश या हर का चिह्न बदलना होगा (कोष्ठक में से -1 डालें)।
, अर्थात्, एक ऋण चिह्न दिखाई देता है, जिसे सीमा की गणना करते समय ध्यान में रखा जाता है और इसे खोने की बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं होती है।

सामान्य तौर पर, मैंने देखा कि इस प्रकार की सीमाओं को खोजने में सबसे अधिक बार दो द्विघात समीकरणों को हल करना आवश्यक होता है, अर्थात अंश और हर दोनों में वर्ग त्रिपद होते हैं।

अंश और हर को आसन्न व्यंजक से गुणा करने की विधि

हम फॉर्म की अनिश्चितता पर विचार करना जारी रखते हैं

अगले प्रकार की सीमाएँ पिछले प्रकार के समान हैं। केवल एक चीज, बहुपदों के अतिरिक्त, हम जड़ें जोड़ेंगे।

उदाहरण 6

सीमा का पता लगाएं

हम तय करना शुरू करते हैं।

सबसे पहले, हम सीमा चिह्न के तहत व्यंजक में 3 को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं
एक बार फिर मैं दोहराता हूं - किसी भी सीमा के लिए यह पहला काम है. यह क्रिया आमतौर पर मानसिक रूप से या मसौदे पर की जाती है।

प्रपत्र की अनिश्चितता, जिसे समाप्त करने की आवश्यकता है, प्राप्त की जाती है।

जैसा कि आपने शायद देखा होगा, हमारे पास अंश में जड़ों का अंतर है। और यदि संभव हो तो गणित में जड़ों से छुटकारा पाने का रिवाज है। किस लिए? और उनके बिना जीवन आसान है।

अनंत पर कार्य सीमा:
|एफ(एक्स) - ए|< ε при |x| >एन

कॉची सीमा की परिभाषा
चलो समारोह f (एक्स)अनंत पर एक बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है, के लिए |x| > संख्या a को फलन की सीमा कहते हैंएफ (एक्स)जैसा कि x अनंत () की ओर जाता है, यदि किसी मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या के लिए ε > 0 , एक संख्या N . मौजूद है > के, ε पर निर्भर करता है, जैसे कि सभी x, |x| . के लिए > N , फ़ंक्शन के मान बिंदु a के पड़ोस से संबंधित हैं:
|f (एक्स) - ए|< ε .
अनंत पर किसी फलन की सीमा को इस प्रकार निरूपित किया जाता है:
.
या कि ।

निम्नलिखित संकेतन भी अक्सर प्रयोग किया जाता है:
.

हम इस परिभाषा को अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करते हुए लिखते हैं:
.
यहां यह माना जाता है कि मान फ़ंक्शन के दायरे से संबंधित हैं।

एकतरफा सीमा

अनंत पर फ़ंक्शन की बाईं सीमा:
|एफ(एक्स) - ए|< ε при x < -N

अक्सर ऐसे मामले होते हैं जब फ़ंक्शन को केवल चर x के सकारात्मक या नकारात्मक मानों के लिए परिभाषित किया जाता है (अधिक सटीक रूप से, बिंदु के आसपास या )। इसके अलावा सकारात्मक और नकारात्मक x मानों के लिए अनंत पर सीमाएं हो सकती हैं विभिन्न अर्थ. फिर एकतरफा सीमा का उपयोग किया जाता है।

अनंत पर बाईं सीमाया x की सीमा माइनस इनफिनिटी () की ओर जाती है, इसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
.
अनंत पर सही सीमाया सीमा के रूप में x प्लस इन्फिनिटी () की ओर जाता है:
.
अनंत पर एकतरफा सीमाएं अक्सर इस तरह लिखी जाती हैं:
; .

अनंत पर अनंत कार्य सीमा

अनंत पर अनंत कार्य सीमा:
|एफ(एक्स)| > एम के लिए |x| > नहीं

कौची के अनुसार अनंत सीमा की परिभाषा
चलो समारोह f (एक्स)अनंत पर एक बिंदु के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है, के लिए |x| > K , जहां K एक धनात्मक संख्या है। फलन की सीमा f (एक्स)जैसा कि x अनंत की ओर प्रवृत्त होता है (), अनंत के बराबर , यदि किसी मनमाने ढंग से बड़ी संख्या के लिए M > 0 , एक संख्या N M . मौजूद है > के, M पर निर्भर करता है, जैसे कि सभी x, |x| . के लिए > एन एम , फ़ंक्शन के मान अनंत पर बिंदु के पड़ोस से संबंधित हैं:
|f (एक्स) | > एम.
अनंत सीमा के रूप में x अनंत की ओर जाता है, निम्नानुसार दर्शाया गया है:
.
या कि ।

अस्तित्व और सार्वभौमिकता के तार्किक प्रतीकों का उपयोग करते हुए, किसी फ़ंक्शन की अनंत सीमा की परिभाषा निम्नानुसार लिखी जा सकती है:
.

कुछ चिह्नों के बराबर और की अनंत सीमाओं की परिभाषाएँ समान रूप से प्रस्तुत की जाती हैं:
.
.

अनंत पर एकतरफा सीमा की परिभाषा।
वाम सीमा।
.
.
.
सही सीमा।
.
.
.

हाइन के अनुसार किसी फलन की सीमा की परिभाषा

चलो समारोह f (एक्स)अनंत x . पर बिंदु के कुछ पड़ोस पर परिभाषित किया गया है 0 , कहाँ या या।
संख्या a (परिमित या अनंत पर) को फलन f . की सीमा कहा जाता है (एक्स)बिंदु x . पर 0 :
,
यदि किसी क्रम के लिए (एक्स एन), x . में परिवर्तित करना 0 : ,
जिनके तत्व पड़ोस के हैं, क्रम (एफ (एक्सएन))एक में परिवर्तित हो जाता है:
.

यदि हम अनंत पर एक अहस्ताक्षरित बिंदु के पड़ोस को पड़ोस के रूप में लेते हैं: , तो हम फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा प्राप्त करते हैं क्योंकि x अनंत की ओर जाता है, । यदि हम बिंदु के बाएँ हाथ या दाएँ हाथ के पड़ोस को अनंत x . पर लेते हैं 0 : या, तो हमें सीमा की परिभाषा मिलती है क्योंकि x क्रमशः माइनस इनफिनिटी और प्लस इनफिनिटी की ओर जाता है।

सीमा की हाइन और कॉची परिभाषाएँ समतुल्य हैं।

उदाहरण

उदाहरण 1

कॉची परिभाषा का प्रयोग करते हुए दर्शाइए कि
.

आइए हम संकेतन का परिचय दें:
.
फ़ंक्शन का डोमेन खोजें। चूँकि किसी भिन्न के अंश और हर बहुपद होते हैं, फलन उन बिंदुओं को छोड़कर सभी x के लिए परिभाषित होता है जहां हर गायब हो जाता है। आइए जानते हैं इन बिंदुओं के बारे में। हम द्विघात समीकरण को हल करते हैं। ;
.
समीकरण जड़ें:
; .
तब से , और .
इसलिए, फ़ंक्शन के लिए परिभाषित किया गया है। इसका हम भविष्य में उपयोग करेंगे।

कॉची के अनुसार हम अनंत पर किसी फलन की परिमित सीमा की परिभाषा लिखते हैं:
.
आइए अंतर को रूपांतरित करें:
.
अंश और हर को विभाजित करें और गुणा करें -1 :
.

होने देना ।
फिर
;
;
;
.

तो, हमने पाया है कि पर,
.
.
इसलिए यह इस प्रकार है कि
पर , और ।

चूंकि इसे बढ़ाना हमेशा संभव होता है, हम लेते हैं। फिर किसी के लिए,
पर ।
इसका मतलब है कि ।

उदाहरण 2

होने देना ।
कौची सीमा की परिभाषा का प्रयोग करते हुए दर्शाइए कि :
1) ;
2) .

1) x के लिए ऋण अनंत की ओर झुकाव का समाधान

तब से, फ़ंक्शन सभी x के लिए परिभाषित किया गया है।
आइए फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा को माइनस इनफिनिटी के बराबर लिखें:
.

होने देना । फिर
;
.

तो, हमने पाया है कि पर,
.
हम सकारात्मक संख्या दर्ज करते हैं और:
.
यह इस प्रकार है कि किसी भी सकारात्मक संख्या एम के लिए, एक संख्या है, ताकि के लिए,
.

इसका मतलब है कि ।

2) x का योग अनंत की ओर झुकाव का हल

आइए मूल कार्य को रूपांतरित करें। भिन्न के अंश और हर को गुणा करें और वर्ग सूत्र का अंतर लागू करें:
.
हमारे पास है:

.
आइए हम इसके लिए फ़ंक्शन की सही सीमा की परिभाषा लिखें:
.

आइए संकेतन का परिचय दें:।
आइए अंतर को रूपांतरित करें:
.
अंश और हर को इससे गुणा करें:
.

होने देना
.
फिर
;
.

तो, हमने पाया है कि पर,
.
हम सकारात्मक संख्या दर्ज करते हैं और:
.
इसलिए यह इस प्रकार है कि
पर और।

चूँकि यह किसी भी धनात्मक संख्या के लिए मान्य है, तो
.

सन्दर्भ:
सेमी। निकोल्स्की। गणितीय विश्लेषण का कोर्स। खंड 1. मॉस्को, 1983।

विषय 4.6 सीमाओं की गणना

किसी फ़ंक्शन की सीमा इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि उसे सीमा बिंदु पर परिभाषित किया गया है या नहीं। लेकिन प्राथमिक कार्यों की सीमा की गणना के अभ्यास में, यह परिस्थिति आवश्यक है।

1. यदि फलन प्राथमिक है और यदि तर्क का सीमा मान उसकी परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है, तो फलन की सीमा की गणना तर्क के सीमा मान के एक साधारण प्रतिस्थापन के लिए कम हो जाती है, क्योंकि सीमा प्राथमिक कार्यएफ (एक्स) x के लिए प्रयासरतएक , जो परिभाषा के क्षेत्र में शामिल है, x= . पर फ़ंक्शन के निजी मान के बराबर है एक, अर्थात। लिम f(x)=f( एक) .

2. अगर x अनंत तक जाता हैया तर्क एक संख्या की ओर जाता है जो फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित नहीं है, तो ऐसे प्रत्येक मामले में, फ़ंक्शन की सीमा खोजने के लिए एक विशेष अध्ययन की आवश्यकता होती है।

सीमाओं के गुणों के आधार पर सरलतम सीमाएँ निम्नलिखित हैं, जिनका उपयोग सूत्रों के रूप में किया जा सकता है:

किसी फ़ंक्शन की सीमा खोजने के अधिक जटिल मामले:

प्रत्येक को अलग से माना जाता है।

यह खंड अनिश्चितताओं को प्रकट करने के मुख्य तरीके प्रस्तुत करेगा।

1. मामला जब x के लिए प्रयासरतएक फलन f(x) दो अतिसूक्ष्म मात्राओं के अनुपात को दर्शाता है

ए) पहले आपको यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि फ़ंक्शन की सीमा प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा नहीं पाई जा सकती है और तर्क में संकेतित परिवर्तन के साथ, यह दो अनंत मात्राओं के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है। 0 की प्रवृत्ति वाले कारक द्वारा अंश को कम करने के लिए परिवर्तन किए जाते हैं। किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा के अनुसार, तर्क x इसके सीमा मान पर जाता है, इसके साथ कभी मेल नहीं खाता।

सामान्य तौर पर, यदि किसी फ़ंक्शन की सीमा की मांग की जाती है x के लिए प्रयासरतएक , तो यह याद रखना चाहिए कि x मान नहीं लेता है एक, अर्थात। एक्स ए के बराबर नहीं है।

b) बेज़ाउट की प्रमेय लागू होती है। यदि आप उस भिन्न की सीमा की तलाश कर रहे हैं जिसका अंश और हर बहुपद हैं जो सीमा बिंदु x \u003d पर 0 हो जाते हैं एक, तो उपरोक्त प्रमेय के अनुसार, दोनों बहुपद x से शेषफल के बिना विभाज्य हैं- एक.

ग) अंश या हर में अपरिमेय से संयुग्मित व्यंजक द्वारा अंश या हर को गुणा करने पर अतार्किकता नष्ट हो जाती है, फिर सरलीकरण के बाद अंश कम हो जाता है।

d) पहली उल्लेखनीय सीमा (4.1) का उपयोग किया जाता है।

ई) हम इनफिनिटसिमल तुल्यता प्रमेय और निम्नलिखित b.m. का उपयोग करते हैं:

2. मामला जब x के लिए प्रयासरतएक फलन f(x) दो अपरिमित रूप से बड़ी मात्राओं के अनुपात को दर्शाता है

a) भिन्न के अंश और हर को से विभाजित करना उच्चतम डिग्रीअनजान।

बी) सामान्य तौर पर, आप नियम का उपयोग कर सकते हैं

3. मामला जब x के लिए प्रयासरतएक फलन f(x) एक अपरिमित मान और अपरिमित रूप से बड़े के गुणनफल को दर्शाता है

भिन्न को एक ऐसे रूप में परिवर्तित किया जाता है जिसका अंश और हर एक साथ 0 या अनंत तक जाता है, अर्थात। केस 3 केस 1 या केस 2 में कम हो जाता है।

4. मामला जब x के लिए प्रयासरतएक फलन f(x) दो धनात्मक अपरिमित रूप से बड़ी मात्राओं के अंतर को दर्शाता है

इस मामले को निम्न में से किसी एक तरीके से प्रजाति 1 या 2 में घटाया गया है:

ए) एक आम भाजक के लिए अंशों को कम करना;

बी) फ़ंक्शन का एक अंश के रूप में परिवर्तन;

ग) तर्कहीनता से छुटकारा।

5. मामला जब x के लिए प्रयासरतएक फलन f(x) एक ऐसी शक्ति का प्रतिनिधित्व करता है जिसका आधार 1 की ओर है और जिसका घातांक अनंत की ओर है।

फ़ंक्शन को इस तरह से रूपांतरित किया जाता है जैसे कि दूसरी उल्लेखनीय सीमा (4.2) का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण।पाना .

इसलिये x 3 . की ओर जाता है, तो भिन्न का अंश संख्या 3 2 +3 *3+4=22, और हर संख्या 3+8=11 पर जाता है। फलस्वरूप,

उदाहरण

यहाँ भिन्न का अंश और हर x 2 . की ओर झुकाव 0 (रूप की अनिश्चितता) की ओर प्रवृत्त होते हैं, हम अंश और हर को गुणनखंडों में विघटित करते हैं, हमें lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5) प्राप्त होता है।

उदाहरण

हम अंश और हर को अंश से संयुग्मित व्यंजक से गुणा करते हैं, हमारे पास है

अंश में कोष्ठकों को खोलने पर, हमें प्राप्त होता है

उदाहरण

लेवल 2 उदाहरण। आइए हम आर्थिक गणनाओं में एक फलन की सीमा की अवधारणा के अनुप्रयोग का एक उदाहरण दें। एक सामान्य वित्तीय लेनदेन पर विचार करें: एक राशि उधार देना एस 0 इस शर्त के साथ कि कुछ समय बाद टीराशि वापस की जाएगी अनुसूचित जनजाति. आइए मान को परिभाषित करें आर सापेक्ष वृद्धिसूत्र

आर = (एस टी -एस 0) / एस 0 (1)

परिणामी मूल्य को गुणा करके सापेक्ष वृद्धि को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जा सकता है आर 100 से

सूत्र (1) से मान निर्धारित करना आसान है अनुसूचित जनजाति:

अनुसूचित जनजाति= एस 0 (1 + आर)

कई पूर्ण वर्षों को कवर करने वाले दीर्घकालिक ऋणों की गणना करते समय, एक चक्रवृद्धि ब्याज योजना का उपयोग किया जाता है। यह इस तथ्य में शामिल है कि यदि 1 वर्ष के लिए राशि एस 0 बढ़ जाता है (1 + आर) बार, फिर दूसरे वर्ष के लिए (1 + .) आर) योग का गुणा बढ़ जाता है एस 1 = एस 0 (1 + आर), वह है एस 2 = एस 0 (1 + आर) 2. इसी तरह, यह पता चला है एस 3 = एस 0 (1 + आर) 3. उपरोक्त उदाहरणों से, आप के लिए राशि की वृद्धि की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त कर सकते हैं एनचक्रवृद्धि ब्याज योजना के अनुसार गणना करते समय वर्ष:

एस नहीं= एस 0 (1 + आर) एन.

वित्तीय गणना में, योजनाओं का उपयोग किया जाता है जहां चक्रवृद्धि ब्याज की गणना वर्ष में कई बार की जाती है। साथ ही, यह निर्धारित करता है वार्षिक दर आरतथा प्रति वर्ष भुगतान की संख्या क. एक नियम के रूप में, नियमित अंतराल पर प्रोद्भवन किया जाता है, अर्थात प्रत्येक अंतराल की लंबाई टी कोवर्ष का हिस्सा है। फिर की अवधि के लिए टीवर्ष (यहाँ टीजरूरी नहीं कि एक पूर्णांक हो) अनुसूचित जनजातिसूत्र द्वारा गणना

(2)

संख्या का पूर्णांक भाग कहाँ है, जो स्वयं संख्या के समान है, यदि, उदाहरण के लिए, टी? पूर्णांक।

वार्षिक दर होने दें आरऔर उत्पादित एनप्रति वर्ष नियमित अंतराल पर उपार्जन। फिर वर्ष के लिए राशि एस 0 को सूत्र द्वारा निर्धारित मान तक बढ़ाया जाता है

(3)

सैद्धांतिक विश्लेषण और वित्तीय गतिविधि के अभ्यास में, "निरंतर अर्जित ब्याज" की अवधारणा का अक्सर सामना किया जाता है। लगातार अर्जित ब्याज पर स्विच करने के लिए, सूत्रों (2) और (3) में क्रमशः अनिश्चित काल तक वृद्धि करना आवश्यक है, संख्याएं कतथा एन(यानी लक्ष्य कतथा एनअनंत तक) और गणना करें कि कार्य किस सीमा तक चलेंगे अनुसूचित जनजातितथा एसएक । आइए इस प्रक्रिया को सूत्र (3) पर लागू करें:

ध्यान दें कि घुंघराले कोष्ठक में सीमा दूसरे के समान है अद्भुत सीमा. यह इस प्रकार है कि वार्षिक दर पर आरलगातार अर्जित ब्याज पर, राशि एस 0 1 वर्ष के लिए मूल्य में वृद्धि की जाती है एस 1* , जो सूत्र से निर्धारित होता है

एस 1 * = एस 0 एर (4)

अब योग करने दो एस 0 ब्याज के साथ उधार दिया जाता है एनसाल में एक बार नियमित अंतराल पर। निरूपित पुनःवार्षिक दर जिस पर वर्ष के अंत में राशि एस 0 को एक मान में बढ़ाया जाता है एस 1 * सूत्र (4) से। इस मामले में, हम कहेंगे कि पुनः- ये है वार्षिक ब्याज दर एनवर्ष में एक बार, वार्षिक प्रतिशत के बराबर आरनिरंतर संचय के साथ।सूत्र (3) से हम प्राप्त करते हैं

एस* 1 \u003d एस 0 (1 + आर ई / एन) एन

अंतिम सूत्र और सूत्र (4) के सही भागों की बराबरी करते हुए, अंतिम में मानते हुए टी= 1, हम मात्राओं के बीच संबंध प्राप्त कर सकते हैं आरतथा पुनः:

इन सूत्रों का व्यापक रूप से वित्तीय गणना में उपयोग किया जाता है।

मर्यादा गणित के सभी विद्यार्थियों को बहुत परेशानी देती है। सीमा को हल करने के लिए, कभी-कभी आपको बहुत सी तरकीबों का उपयोग करना पड़ता है और विभिन्न प्रकार के समाधानों में से ठीक वही चुनना होता है जो किसी विशेष उदाहरण के लिए उपयुक्त हो।

इस लेख में, हम आपकी क्षमताओं की सीमाओं को समझने या नियंत्रण की सीमाओं को समझने में आपकी सहायता नहीं करेंगे, लेकिन हम इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करेंगे: सीमाओं को कैसे समझें उच्च गणित? समझ अनुभव के साथ आती है, इसलिए साथ ही हम कुछ देंगे विस्तृत उदाहरणस्पष्टीकरण के साथ समाधान सीमा।

गणित में एक सीमा की अवधारणा

पहला सवाल यह है कि सीमा क्या है और किस की सीमा? हम संख्यात्मक अनुक्रमों और कार्यों की सीमाओं के बारे में बात कर सकते हैं। हम किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा में रुचि रखते हैं, क्योंकि यह उनके साथ है कि छात्रों का सबसे अधिक बार सामना होता है। लेकिन पहले, एक सीमा की सबसे सामान्य परिभाषा:

मान लीजिए कि कुछ चर है। यदि परिवर्तन की प्रक्रिया में यह मान अनिश्चित काल के लिए एक निश्चित संख्या तक पहुँच जाता है एक , फिर एक इस मूल्य की सीमा है।

कुछ अंतराल में परिभाषित फ़ंक्शन के लिए एफ (एक्स) = वाई सीमा संख्या है ए , जिसके लिए फ़ंक्शन तब जाता है जब एक्स एक निश्चित बिंदु की ओर झुकाव एक . दूरसंचार विभाग एक उस अंतराल से संबंधित है जिस पर फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है।

यह बोझिल लगता है, लेकिन यह बहुत ही सरलता से लिखा गया है:

लिम- अंग्रेजी से सीमा- सीमा।

सीमा की परिभाषा के लिए एक ज्यामितीय व्याख्या भी है, लेकिन यहां हम सिद्धांत में नहीं जाएंगे, क्योंकि हम मुद्दे के सैद्धांतिक पक्ष की तुलना में व्यावहारिक में अधिक रुचि रखते हैं। जब हम कहते हैं कि एक्स कुछ मूल्य के लिए जाता है, इसका मतलब है कि चर एक संख्या के मूल्य को नहीं लेता है, लेकिन इसके असीम रूप से करीब पहुंचता है।

चलो लाते हैं विशिष्ट उदाहरण. चुनौती सीमा खोजने की है।

इस उदाहरण को हल करने के लिए, हम मान को प्रतिस्थापित करते हैं एक्स = 3 एक समारोह में। हम पाते हैं:

वैसे, यदि आप रुचि रखते हैं, तो इस विषय पर एक अलग लेख पढ़ें।

उदाहरणों में एक्स किसी भी मूल्य के लिए प्रवृत्त हो सकता है। यह कोई भी संख्या या अनंत हो सकता है। यहाँ एक उदाहरण है जब एक्स अनंत की ओर जाता है:

यह सहज रूप से स्पष्ट है कि हर में जितनी बड़ी संख्या होगी, फ़ंक्शन द्वारा उतना ही छोटा मान लिया जाएगा। तो, असीमित वृद्धि के साथ एक्स अर्थ 1/x घटेगा और शून्य के करीब पहुंचेगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सीमा को हल करने के लिए, आपको फ़ंक्शन में प्रयास करने के लिए मूल्य को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है एक्स . हालाँकि, यह सबसे सरल मामला है। अक्सर सीमा का पता लगाना इतना स्पष्ट नहीं होता है। सीमाओं के भीतर प्रकार की अनिश्चितताएं हैं 0/0 या अनंत/अनंत . ऐसे मामलों में क्या करें? चाल का प्रयोग करें!

भीतर अनिश्चितता

अनंत/अनंत के रूप की अनिश्चितता

एक सीमा होने दो:

यदि हम फलन में अनंत को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं, तो हमें अंश और हर दोनों में अनंत मिलेगा। सामान्य तौर पर, यह कहने योग्य है कि ऐसी अनिश्चितताओं को हल करने में कला का एक निश्चित तत्व है: आपको यह ध्यान देने की आवश्यकता है कि आप फ़ंक्शन को इस तरह से कैसे बदल सकते हैं कि अनिश्चितता दूर हो जाए। हमारे मामले में, हम अंश और हर को विभाजित करते हैं एक्स वरिष्ठ डिग्री में। क्या होगा?

ऊपर दिए गए उदाहरण से, हम जानते हैं कि हर में x वाले पदों की प्रवृत्ति शून्य होगी। फिर सीमा का समाधान है:

प्रकार की अस्पष्टताओं को उजागर करने के लिए अनंत/अनंतअंश और हर को विभाजित करें एक्सउच्चतम डिग्री तक।

वैसे! हमारे पाठकों के लिए अब 10% की छूट है

एक अन्य प्रकार की अनिश्चितता: 0/0

हमेशा की तरह, मान फ़ंक्शन में प्रतिस्थापन एक्स = -1 देता है 0 अंश और हर में। थोड़ा और ध्यान से देखें और आप देखेंगे कि अंश में हमारे पास द्विघात समीकरण है। आइए जड़ों को खोजें और लिखें:

आइए कम करें और प्राप्त करें:

इसलिए, यदि आप प्रकार की अस्पष्टता का सामना करते हैं 0/0 - अंश और हर का गुणनखंड करें।

आपके लिए उदाहरणों को हल करना आसान बनाने के लिए, यहां कुछ फ़ंक्शन की सीमाओं वाली एक तालिका दी गई है:

ल 'हॉस्पिटल का शासन भीतर

दोनों प्रकार की अनिश्चितताओं को दूर करने का एक और शक्तिशाली तरीका। विधि का सार क्या है?

यदि सीमा में अनिश्चितता है, तो हम अंश और हर के व्युत्पन्न को तब तक लेते हैं जब तक अनिश्चितता गायब नहीं हो जाती।

दृष्टिगत रूप से, L'Hopital का नियम इस प्रकार है:

महत्वपूर्ण बिंदु : वह सीमा, जिसमें अंश और हर के व्युत्पन्न अंश और हर के स्थान पर मौजूद हों, मौजूद होना चाहिए।

और अब एक वास्तविक उदाहरण:

एक विशिष्ट अनिश्चितता है 0/0 . अंश और हर का व्युत्पन्न लें:

वोइला, अनिश्चितता जल्दी और सुरुचिपूर्ण ढंग से समाप्त हो जाती है।

हम आशा करते हैं कि आप इस जानकारी को व्यवहार में लाने और "उच्च गणित में सीमाओं को कैसे हल करें" प्रश्न का उत्तर खोजने में सक्षम होंगे। यदि आपको किसी बिंदु पर अनुक्रम की सीमा या फ़ंक्शन की सीमा की गणना करने की आवश्यकता है, और "बिल्कुल" शब्द से इस कार्य के लिए कोई समय नहीं है, तो त्वरित और विस्तृत समाधान के लिए एक पेशेवर छात्र सेवा से संपर्क करें।