विमानों के बीच का कोण। समतल लंबवतता। विमानों के बीच कोण ढूँढना (डायहेड्रल कोण)

\(\blacktriangleright\) एक डायहेड्रल कोण दो आधे विमानों और सीधी रेखा \(a\) से बना कोण है, जो उनकी सामान्य सीमा है।

\(\blacktriangleright\) समतल \(\xi\) और \(\pi\) के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए, आपको रैखिक कोण ज्ञात करना होगा मसालेदारया सीधा) विमानों \(\xi\) और \(\pi\) द्वारा गठित डायहेड्रल कोण का:

चरण 1: चलो \(\xi\cap\pi=a\) (विमानों के चौराहे की रेखा)। समतल \(\xi\) में हम एक मनमाना बिंदु \(F\) चिह्नित करते हैं और \(FA\perp a\) बनाते हैं;

चरण 2: ड्रा \(FG\perp \pi\);

चरण 3: TTP के अनुसार (\(FG\) - लंबवत, \(FA\) - तिरछा, \(AG\) - प्रक्षेपण) हमारे पास है: \(AG\perp a\);

चरण 4: कोण \(\angle FAG\) को विमानों \(\xi\) और \(\pi\) द्वारा गठित डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण कहा जाता है।

ध्यान दें कि त्रिभुज \(AG\) एक समकोण त्रिभुज है।
यह भी ध्यान दें कि इस तरह से निर्मित विमान \(\xi\) और \(\pi\) दोनों विमानों के लिए लंबवत है। इसलिए, इसे दूसरे तरीके से कहा जा सकता है: विमानों के बीच का कोण\(\xi\) और \(\pi\) दो प्रतिच्छेदी रेखाओं \(c\in \xi\) और \(b\in\pi\) के बीच का कोण है, जिससे \(\xi\ ), और \(\pi\) ।

टास्क 1 #2875

कार्य स्तर: परीक्षा से अधिक कठिन

एक चतुष्कोणीय पिरामिड दिया गया है, जिसके सभी किनारे बराबर हैं, और आधार एक वर्ग है। ढूँढें \(6\cos \alpha\) , जहाँ \(\alpha\) इसके आसन्न भुजाओं के बीच का कोण है।

मान लीजिए \(SABCD\) एक दिया हुआ पिरामिड है (\(S\) एक शीर्ष है) जिसके किनारे \(a\) के बराबर हैं। इसलिए, सभी पार्श्व चेहरेसमान समबाहु त्रिभुज हैं। फलकों \(SAD\) और \(SCD\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

चलो \(CH\perp SD\) बनाते हैं। इसलिये \(\त्रिकोण SAD=\त्रिकोण SCD\), तब \(AH\) भी \(\त्रिकोण SAD\) की ऊंचाई होगी। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, \(\angle AHC=\alpha\) फलकों \(SAD\) और \(SCD\) के बीच रैखिक डायहेड्रल कोण है।
चूंकि आधार एक वर्ग है, तो \(AC=a\sqrt2\) । यह भी ध्यान दें कि \(CH=AH\) \(a\) भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई है, इसलिए \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) ।
फिर कोज्या प्रमेय द्वारा \(\त्रिकोण AHC\) से: \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

उत्तर:-2

टास्क 2 #2876

कार्य स्तर: परीक्षा से अधिक कठिन

समतल \(\pi_1\) और \(\pi_2\) एक कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं जिसका कोज्या \(0,2\) के बराबर है। विमान \(\pi_2\) और \(\pi_3\) एक समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, और विमानों के चौराहे की रेखा \(\pi_1\) और \(\pi_2\) के चौराहे की रेखा के समानांतर है विमान \(\pi_2\) और \(\ pi_3\) । समतल \(\pi_1\) और \(\pi_3\) के बीच के कोण की ज्या ज्ञात कीजिए।

\(\pi_1\) और \(\pi_2\) के चौराहे की रेखा को लाइन \(a\), \(\pi_2\) और \(\pi_3\) की चौराहे की रेखा होने दें (b\) , और चौराहे की रेखा \(\pi_3\) और \(\pi_1\) सीधी रेखा \(c\) हैं। चूंकि \(a\parallel b\), तब \(c\parallel a\parallel b\) (सैद्धांतिक संदर्भ "अंतरिक्ष में ज्यामिति" के अनुभाग से प्रमेय के अनुसार \(\rightarrow\) "स्टीरियोमेट्री का परिचय, समानता")।

बिंदुओं को चिह्नित करें \(A\in a, B\in b\) ताकि \(AB\perp a, AB\perp b\) (यह संभव है क्योंकि \(a\parallel b\) )। नोट \(C\in c\) ताकि \(BC\perp c\) , इसलिए \(BC\perp b\) । फिर \(AC\perp c\) और \(AC\perp a\) ।
वास्तव में, चूंकि \(AB\perp b, BC\perp b\), तब \(b\) समतल \(ABC\) के लंबवत है। चूँकि \(c\parallel a\parallel b\), तब रेखाएँ \(a\) और \(c\) भी समतल \(ABC\) के लंबवत हैं, और इसलिए इस तल से कोई भी रेखा, विशेष रूप से, लाइन \ (एसी \)।

इसलिए यह इस प्रकार है \(\कोण बीएसी=\कोण (\pi_1, \pi_2)\), \(\कोण ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\कोण बीसीए=\कोण (\pi_3, \pi_1)\). यह पता चला है कि \(\त्रिकोण ABC\) आयताकार है, जिसका अर्थ है \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

उत्तर: 0.2

टास्क 3 #2877

कार्य स्तर: परीक्षा से अधिक कठिन

दी गई रेखाएँ \(a, b, c\) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, और उनमें से किन्हीं दो के बीच का कोण \(60^\circ\) के बराबर है। खोजें \(\cos^(-1)\alpha\) , जहां \(\alpha\) लाइनों \(a\) और \(c\) द्वारा गठित विमान और लाइनों द्वारा गठित विमान के बीच का कोण है \(बी\) और \(सी\) । अपना उत्तर डिग्रियों में दें।

मान लीजिए कि रेखाएँ बिंदु \(O\) पर प्रतिच्छेद करती हैं। चूँकि उनमें से किन्हीं दो के बीच का कोण \(60^\circ\) के बराबर है, तो तीनों रेखाएँ एक ही तल में नहीं हो सकती हैं। आइए रेखा \(a) पर एक बिंदु \(A\) चिह्नित करें और \(AB\perp b\) और \(AC\perp c\) बनाएं। फिर \(\त्रिकोण AOB=\त्रिकोण AOC\)कर्ण और तीव्र कोण में आयताकार के रूप में। इसलिए \(OB=OC\) और \(AB=AC\) ।
आइए \(AH\perp (BOC)\) करते हैं। फिर तीन लंबवत प्रमेय \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) द्वारा। चूँकि \(AB=AC\) , तब \(\त्रिकोण AHB=\त्रिकोण AHC\)कर्ण और पैर के साथ आयताकार के रूप में। इसलिए, \(HB=HC\) । इसलिए, \(OH\) ​​कोण \(BOC\) का द्विभाजक है (चूंकि बिंदु \(H\) कोण के किनारों से समान दूरी पर है)।

ध्यान दें कि इस तरह से हमने लाइनों \(a\) और \(c\) से बने समतल और रेखाओं \(b\) और \( से बने विमान से बनने वाले डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का भी निर्माण किया है। सी\) । यह कोण \(ACH\) है।

आइए इस कोने को खोजें। चूंकि हमने बिंदु \(A\) मनमाने ढंग से चुना है, तो चलिए इसे चुनते हैं ताकि \(OA=2\) । फिर आयताकार \(\त्रिकोण AOC\) में: \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]चूंकि \(OH\) ​​एक द्विभाजक है, तो \(\angle HOC=30^\circ\) , इसलिए, एक आयताकार \(\त्रिकोण HOC\) में: \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\]तब आयताकार \(\त्रिकोण ACH\) से : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

उत्तर: 3

टास्क 4 #2910

कार्य स्तर: परीक्षा से अधिक कठिन

विमान \(\pi_1\) और \(\pi_2\) रेखा \(l\) के साथ प्रतिच्छेद करते हैं, जिसमें बिंदु \(M\) और \(N\) होते हैं। खंड \(MA\) और \(MB\) रेखा \(l\) के लंबवत हैं और क्रमशः \(\pi_1\) और \(\pi_2\) विमानों में स्थित हैं, और \(MN = 15) \) , \(एएन = 39\), \(बीएन = 17\), \(एबी = 40\) । खोजें \(3\cos\alpha\) , जहां \(\alpha\) विमानों \(\pi_1\) और \(\pi_2\) के बीच का कोण है।

त्रिभुज \(AMN\) समकोण है, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), जहां से \ त्रिभुज \(BMN\) समकोण है, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , जहाँ \ हम त्रिभुज \(AMB\) के लिए कोज्या प्रमेय लिखते हैं: \ फिर \ चूँकि समतलों के बीच का कोण \(\alpha\) एक तीव्र कोण है, और \(\angle AMB\) कुंद निकला, तब \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) । फिर \

उत्तर: 1.25

टास्क 5 #2911

कार्य स्तर: परीक्षा से अधिक कठिन

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) एक समानांतर चतुर्भुज है, \(ABCD\) \(a\) भुजा वाला एक वर्ग है, बिंदु \(M\) बिंदु \(A_1\) से तल पर गिराए गए लंब का आधार है \(A_1\) ((ABCD)\), इसके अलावा, \(M\) वर्ग \(ABCD\) के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। यह जाना जाता है कि \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). समतल \((ABCD)\) और \((AA_1B_1B)\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्रियों में दें।

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, हम \(MN\) के लंबवत \(AB\) का निर्माण करते हैं।

चूँकि \(ABCD\) \(a\) और \(MN\perp AB\) और \(BC\perp AB\) वाला एक वर्ग है, तो \(MN\parallel BC\) । चूंकि \(M\) वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, तो \(M\) \(AC\) का मध्य बिंदु है, इसलिए, \(MN\) मध्य रेखा है और \(MN=\frac12BC=\frac(1)(2)a\).
\(MN\) समतल \((ABCD)\) पर \(A_1N\) का प्रक्षेपण है, और \(MN\) \(AB\) के लंबवत है, फिर, तीन लंबवत प्रमेय द्वारा, \( A_1N\) \(AB \) के लंबवत है और \((ABCD)\) और \((AA_1B_1B)\) के बीच का कोण \(\angle A_1NM\) है।
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

उत्तर : 60

टास्क 6 #1854

कार्य स्तर: परीक्षा से अधिक कठिन

वर्ग \(ABCD\) में : \(O\) विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है; \(S\) वर्ग के तल में नहीं है, \(SO \perp ABC\) । समतल \(ASD\) और \(ABC\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए, यदि \(SO = 5\) और \(AB = 10\) ।

समकोण त्रिभुज \(\त्रिकोण SAO\) और \(\त्रिकोण SDO\) दो भुजाओं में बराबर हैं और उनके बीच का कोण (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\कोण SOA = \कोण SOD = 90^\circ\); \(एओ = डीओ\), क्योंकि \(O\) वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, \(SO\) उभयनिष्ठ भुजा है) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) समद्विबाहु है। बिंदु \(K\) \(AD\) का मध्य बिंदु है, फिर \(SK\) त्रिभुज में ऊंचाई है \(\त्रिकोण ASD\), और \(OK\) त्रिकोण में ऊंचाई है \ (AOD\) \(\ Rightarrow\) समतल \(SOK\) समतलों के लंबवत है \(ASD\) और \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) एक रेखीय कोण के बराबर है आवश्यक डायहेड्रल कोण के लिए।

\(\त्रिकोण SKO\) में : \(ओके = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\त्रिकोण SOK\) समद्विबाहु है सही त्रिकोण\(\Rightarrow\) \(\कोण SKO = 45^\circ\) .

उत्तर : 45

टास्क 7 #1855

कार्य स्तर: परीक्षा से अधिक कठिन

वर्ग \(ABCD\) में : \(O\) विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है; \(S\) वर्ग के तल में नहीं है, \(SO \perp ABC\) । समतल \(ASD\) और \(BSC\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए यदि \(SO = 5\) और \(AB = 10\) ।

समकोण त्रिभुज \(\त्रिकोण SAO\), \(\त्रिकोण SDO\), \(\त्रिकोण SOB\) और \(\त्रिकोण SOC\) दो भुजाओं में बराबर हैं और उनके बीच का कोण (\(SO \perp ABC) \) \(\राइटएरो\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), क्योंकि \(O\) वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, \(SO\) उभयनिष्ठ भुजा है) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \(\त्रिकोण ASD\) और \(\त्रिकोण BSC\) समद्विबाहु हैं। बिंदु \(K\) \(AD\) का मध्य बिंदु है, फिर \(SK\) त्रिभुज में ऊंचाई है \(\त्रिकोण ASD\), और \(OK\) त्रिकोण में ऊंचाई है \ (AOD\) \(\ Rightarrow\) प्लेन \(SOK\) प्लेन \(ASD\) के लंबवत है। बिंदु \(L\) \(BC\) का मध्य बिंदु है, फिर \(SL\) त्रिकोण \(\त्रिकोण BSC\) में ऊंचाई है, और \(OL\) त्रिकोण में ऊंचाई है \ (बीओसी\) \(\ राइटएरो\) प्लेन \(एसओएल\) (उर्फ प्लेन \(एसओके\) ) प्लेन \(बीएससी\) के लंबवत है। इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं कि \(\angle KSL\) वांछित डायहेड्रल कोण के बराबर एक रैखिक कोण है।

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Rightarrow\) \(OL = 5\); \(SK = SL\) - समान समद्विबाहु त्रिभुजों में ऊँचाई, जिसे पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). यह देखा जा सकता है \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) एक त्रिभुज के लिए \(\triangle KSL\) व्युत्क्रम पाइथागोरस प्रमेय धारण करता है \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) एक समकोण त्रिभुज है \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90^\ circ\) .

उत्तर : 90

गणित में परीक्षा के लिए छात्रों की तैयारी, एक नियम के रूप में, बुनियादी सूत्रों की पुनरावृत्ति के साथ शुरू होती है, जिसमें वे भी शामिल हैं जो आपको विमानों के बीच के कोण को निर्धारित करने की अनुमति देते हैं। इस तथ्य के बावजूद कि ज्यामिति के इस खंड को स्कूल पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर पर्याप्त विस्तार से कवर किया गया है, कई स्नातकों को मूल सामग्री को दोहराने की जरूरत है। विमानों के बीच के कोण को कैसे खोजना है, यह समझने से, हाई स्कूल के छात्र समस्या को हल करने के दौरान सही उत्तर की गणना करने में सक्षम होंगे और एकीकृत राज्य परीक्षा के आधार पर अच्छे अंक प्राप्त करने पर भरोसा करेंगे।

मुख्य बारीकियाँ

डायहेड्रल कोण को खोजने का प्रश्न कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है, हम अनुशंसा करते हैं कि आप समाधान एल्गोरिदम का पालन करें जो आपको परीक्षा के कार्यों से निपटने में मदद करेगा।

पहले आपको उस रेखा को निर्धारित करने की आवश्यकता है जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं।

फिर इस रेखा पर आपको एक बिंदु चुनने और उस पर दो लंब खींचने की आवश्यकता है।

अगला चरण डायहेड्रल कोण के त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को खोजना है, जो लंबवत द्वारा बनता है। परिणामी त्रिकोण की मदद से ऐसा करना सबसे सुविधाजनक है, जिसमें से कोने एक हिस्सा है।

उत्तर कोण का मान या उसका त्रिकोणमितीय फलन होगा।

शकोल्कोवो के साथ मिलकर परीक्षा परीक्षा की तैयारी आपकी सफलता की कुंजी है

परीक्षा उत्तीर्ण करने की पूर्व संध्या पर अध्ययन करने की प्रक्रिया में, कई छात्रों को परिभाषाएँ और सूत्र खोजने की समस्या का सामना करना पड़ता है जो आपको 2 विमानों के बीच के कोण की गणना करने की अनुमति देता है। एक स्कूल की पाठ्यपुस्तक हमेशा ठीक उसी समय उपलब्ध नहीं होती है जब उसकी आवश्यकता होती है। और उनके आवश्यक सूत्र और उदाहरण खोजने के लिए सही आवेदन, इंटरनेट पर विमानों के बीच के कोण को खोजने सहित, कभी-कभी आपको बहुत समय बिताने की आवश्यकता होती है।

गणितीय पोर्टल "शकोल्कोवो" प्रदान करता है नया दृष्टिकोणराज्य परीक्षा की तैयारी के लिए। हमारी वेबसाइट पर कक्षाएं छात्रों को अपने लिए सबसे कठिन वर्गों की पहचान करने और ज्ञान के अंतराल को भरने में मदद करेंगी।

हमने सब कुछ तैयार कर लिया है और स्पष्ट रूप से बता दिया है आवश्यक सामग्री. मूल परिभाषाएँ और सूत्र "सैद्धांतिक संदर्भ" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

सामग्री को बेहतर ढंग से आत्मसात करने के लिए, हम संबंधित अभ्यासों का अभ्यास करने का भी सुझाव देते हैं। जटिलता की अलग-अलग डिग्री के कार्यों का एक बड़ा चयन, उदाहरण के लिए, कैटलॉग अनुभाग में प्रस्तुत किया गया है। सही उत्तर खोजने के लिए सभी कार्यों में एक विस्तृत एल्गोरिथम होता है। साइट पर अभ्यासों की सूची लगातार पूरक और अद्यतन की जाती है।

समस्याओं को हल करने का अभ्यास जिसमें दो विमानों के बीच के कोण को खोजने की आवश्यकता होती है, छात्रों के पास किसी भी कार्य को ऑनलाइन "पसंदीदा" में सहेजने का अवसर होता है। इसके लिए धन्यवाद, वे आवश्यक संख्या में उसके पास लौट सकेंगे और स्कूल शिक्षक या ट्यूटर के साथ उसके समाधान की प्रगति पर चर्चा कर सकेंगे।

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किसी भी के लिए दो अलग-अलग विमानों के बीच का कोण निर्धारित किया जा सकता है तुलनात्मक स्थितिविमानों।

मामूली मामला है अगर विमान समानांतर हैं। तब उनके बीच का कोण शून्य के बराबर माना जाता है।

यदि विमान प्रतिच्छेद करते हैं तो गैर-तुच्छ मामला। यह मामला और भी चर्चा का विषय है। पहले हमें डायहेड्रल कोण की अवधारणा की आवश्यकता है।

9.1 डायहेड्रल कोण

एक डायहेड्रल कोण एक सामान्य सीधी रेखा के साथ दो अर्ध-विमान होते हैं (जिन्हें डायहेड्रल कोण का किनारा कहा जाता है)। अंजीर पर। 50 अर्ध-विमानों द्वारा गठित एक डायहेड्रल कोण दिखाता है और; इस डायहेड्रल कोण का किनारा दिए गए आधे विमानों के लिए सामान्य रेखा है।

चावल। 50. डायहेड्रल कोण

डायहेड्रल कोण को एक शब्द में डिग्री या रेडियन में मापा जा सकता है, डायहेड्रल कोण का कोणीय मान दर्ज करें। यह निम्न प्रकार से किया जाता है।

अर्ध-विमानों द्वारा गठित डायहेड्रल कोण के किनारे पर और, हम एक मनमाना बिंदु एम लेते हैं। चलो इन अर्ध-विमानों में क्रमशः झूठ बोलने वाली किरणें एमए और एमबी खींचते हैं और किनारे पर लंबवत होते हैं (चित्र 51)।

चावल। 51. रैखिक कोण डायहेड्रल कोण

परिणामी कोण AMB डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है। कोण " = \AMB ठीक हमारे द्वितल कोण का कोणीय मान है।

परिभाषा। कोणीय मानडायहेड्रल कोण दिए गए डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का परिमाण है।

डायहेड्रल कोण के सभी रैखिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं (आखिरकार, वे एक समानांतर शिफ्ट द्वारा एक दूसरे से प्राप्त होते हैं)। इसीलिए यह परिभाषासही है: मूल्य " डायहेड्रल कोण के किनारे पर बिंदु एम की विशिष्ट पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

9.2 विमानों के बीच कोण का निर्धारण

जब दो तल प्रतिच्छेद करते हैं, तो चार द्वितल कोण प्राप्त होते हैं। यदि उन सभी का मान समान है (प्रत्येक 90), तो तलों को लंब कहा जाता है; विमानों के बीच का कोण तब 90 है।

यदि सभी डायहेड्रल कोण समान नहीं हैं (अर्थात, दो तीव्र और दो अधिक कोण हैं), तो विमानों के बीच का कोण तीव्र डायहेड्रल कोण (चित्र 52) का मान है।

चावल। 52. विमानों के बीच का कोण

9.3 समस्या समाधान के उदाहरण

आइए तीन कार्यों पर विचार करें। पहला सरल है, दूसरा और तीसरा गणित की परीक्षा में लगभग C2 के स्तर पर है।

कार्य 1। एक नियमित टेट्राहेड्रॉन के दो चेहरों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान। बता दें कि ABCD एक नियमित टेट्राहेड्रॉन है। आइए संबंधित चेहरों के एएम और डीएम के साथ-साथ टेट्राहेड्रॉन डीएच (चित्र 53) की ऊंचाई को आकर्षित करें।

चावल। 53. समस्या 1 के लिए

माध्यिकाएँ होने के कारण AM और DM समबाहु त्रिभुज ABC और DBC की ऊँचाइयाँ भी हैं। इसलिए, कोण " = \AMD फलकों ABC और DBC द्वारा निर्मित द्वितल कोण का रैखिक कोण है। हम इसे त्रिभुज DHM से ज्ञात करते हैं:

उत्तर: आर्ककोस 1 3।

समस्या 2. एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड SABCD (शीर्ष S के साथ) में पार्श्व पसलीआधार की भुजा के बराबर। बिंदु K किनारे SA का मध्यबिंदु है। विमानों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

समाधान। रेखा BC AD के समांतर है और इस प्रकार समतल ADS के समांतर है। इसलिए, केबीसी विमान एडीएस विमान को बीसी के समानांतर सीधी रेखा केएल के साथ काटता है (चित्र 54)।

चावल। 54. समस्या 2 के लिए

इस स्थिति में, KL भी रेखा AD के समांतर होगा; इसलिए KL त्रिभुज ADS की मध्य रेखा है, और बिंदु L DS का मध्य बिंदु है।

पिरामिड SO की ऊँचाई खींचिए। माना N, DO का मध्यबिंदु है। तब LN त्रिभुज DOS की मध्य रेखा है, और इसलिए LN k SO है। अतः LN समतल ABC के लंबवत है।

बिंदु N से हम लंब NM को रेखा BC पर गिराते हैं। सीधी रेखा एनएम विमान एबीसी पर तिरछे एलएम का प्रक्षेपण होगा। इसके बाद तीन लंब प्रमेय से पता चलता है कि LM, BC पर भी लंब है।

इस प्रकार, कोण " = \LMN अर्ध-तल KBC और ABC द्वारा निर्मित डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है। हम इस कोण को समकोण त्रिभुज LMN से देखेंगे।

बता दें कि पिरामिड का किनारा a है। सबसे पहले, पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करें:

समाधान। L को रेखाओं A1 K और AB का प्रतिच्छेदन बिंदु होने दें। फिर समतल A1 KC, समतल ABC को सरल रेखा CL के अनुदिश काटता है (चित्र 55)।

ए सी

चावल। 55. समस्या 3

त्रिभुज A1 B1 K और KBL पैर और तीव्र कोण में बराबर हैं। इसलिए, अन्य पैर भी बराबर हैं: A1 B1 = BL।

त्रिभुज ACL पर विचार करें। इसमें बीए = बीसी = बीएल। CBL कोण 120 है; इसलिए \BCL = 30। साथ ही, \BCA = 60। इसलिए \ACL = \BCA + \BCL = 90।

तो नियंत्रण रेखा? एसी। लेकिन रेखा AC रेखा A1 C का समतल ABC पर प्रक्षेपण है। तीन लंब प्रमेय द्वारा, हम तब यह निष्कर्ष निकालते हैं कि LC ? A1C।

इस प्रकार, कोण A1 CA अर्ध-तल A1 KC और ABC द्वारा निर्मित द्वितल कोण का रैखिक कोण है। यह आवश्यक कोण है। समद्विबाहु समकोण त्रिभुज A1 AC से हम देखते हैं कि यह 45 के बराबर है।

अंतरिक्ष में ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय, अक्सर वे होते हैं जहां विभिन्न स्थानिक वस्तुओं के बीच के कोणों की गणना करना आवश्यक होता है। इस लेख में, हम समतलों और उनके बीच और एक सरल रेखा के बीच के कोणों को ज्ञात करने के प्रश्न पर विचार करेंगे।

अंतरिक्ष में सीधी रेखा

यह ज्ञात है कि समतल में किसी भी सीधी रेखा को निम्नलिखित समानता द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

यहाँ a और b कुछ संख्याएँ हैं। यदि हम समान अभिव्यक्ति के साथ अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो हमें z अक्ष के समानांतर एक तल मिलता है। स्थानिक रेखा की गणितीय परिभाषा के लिए, द्वि-आयामी मामले की तुलना में एक अलग समाधान पद्धति का उपयोग किया जाता है। इसमें "डायरेक्टिंग वेक्टर" की अवधारणा का उपयोग करना शामिल है।

सीधी रेखा का दिशा वेक्टर अंतरिक्ष में अपना अभिविन्यास दिखाता है। यह पैरामीटर लाइन से संबंधित है। चूँकि अंतरिक्ष में समानांतर सदिशों का एक अनंत सेट है, विचाराधीन ज्यामितीय वस्तु को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए, इससे संबंधित बिंदु के निर्देशांक को जानना भी आवश्यक है।

मान लीजिए कि एक बिंदु P(x 0 ; y 0 ; z 0) और एक दिशा सदिश v¯(a; b; c) है, तो एक सीधी रेखा का समीकरण इस प्रकार दिया जा सकता है:

(x; y; z) = P + α * v¯ या

(एक्स; वाई; जेड) = (एक्स 0; वाई 0; जेड 0) + α * (ए; बी; सी)

इस व्यंजक को सरल रेखा का पैरामीट्रिक सदिश समीकरण कहते हैं। गुणांक α एक पैरामीटर है जो बिल्कुल वास्तविक मान ले सकता है। इस समानता का विस्तार करके एक सीधी रेखा के निर्देशांकों को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है:

एक्स \u003d एक्स 0 + α * ए;

वाई \u003d वाई 0 + α * बी;

जेड = जेड 0 + α * सी

समतल समीकरण

यहाँ समीकरण लिखने के कई रूप हैं, हम उनमें से एक पर विचार करेंगे, जो दो विमानों के बीच या उनमें से एक और एक सीधी रेखा के बीच के कोणों की गणना करते समय सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

यदि कोई सदिश n¯(A; B; C) ज्ञात है, जो वांछित तल के लंबवत है, और एक बिंदु P(x 0; y 0; z 0) इंगित किया गया है, जो इससे संबंधित है, तो इसके लिए सामान्य समीकरण उत्तरार्द्ध का रूप है:

ए * एक्स + बी * वाई + सी * जेड + डी = 0 जहां डी = -1 * (ए * एक्स 0 + बी * वाई 0 + सी * जेड 0)

हमने इस अभिव्यक्ति की व्युत्पत्ति को छोड़ दिया है, जो काफी सरल है। यहाँ हम केवल इस बात पर ध्यान देते हैं कि समतल के समीकरण में चरों के गुणांकों को जानने के बाद, कोई व्यक्ति आसानी से उन सभी सदिशों का पता लगा सकता है जो इसके लंबवत हैं। उत्तरार्द्ध को सामान्य कहा जाता है और झुकाव और विमान के बीच और मनमाना अनुरूपों के बीच कोणों की गणना करने में उपयोग किया जाता है।

समतलों की स्थिति और उनके बीच के कोण का सूत्र

मान लीजिए कि दो विमान हैं। अंतरिक्ष में उनकी सापेक्ष स्थिति के लिए क्या विकल्प हैं। चूंकि विमान के दो अनंत आयाम और एक शून्य है, उनके पारस्परिक अभिविन्यास के लिए केवल दो विकल्प संभव हैं:

• वे एक दूसरे के समानांतर होंगे;
• वे प्रतिच्छेद कर सकते हैं।

विमानों के बीच का कोण उनके बीच का सूचकांक है, अर्थात उनके सामान्य n 1 ¯ और n 2 ¯ के बीच।

जाहिर है, अगर वे विमान के समानांतर हैं, तो उनके बीच चौराहे का कोण शून्य है। यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं, तो यह शून्य नहीं है, लेकिन हमेशा तेज है। प्रतिच्छेदन का एक विशेष मामला 90 डिग्री का कोण होगा जब विमान एक दूसरे के परस्पर लंबवत होते हैं।

n 1 ¯ और n 2 ¯ के बीच का कोण आसानी से इन सदिशों के अदिश गुणनफल से निर्धारित किया जा सकता है। अर्थात् सूत्र है:

α = आर्ककोस((एन 1 ¯ * एन 2 ¯)/(|एन 1 ¯| * |एन 2 ¯|))

मान लीजिए कि इन वैक्टरों के निर्देशांक इस प्रकार हैं: n 1 ¯(a 1 ; b 1 ; c 1), n ​​2 ¯(a 2 ; b 2 ; c 2)। फिर, उनके निर्देशांक के माध्यम से वैक्टर के स्केलर उत्पाद और मॉड्यूल की गणना के लिए सूत्रों का उपयोग करके, उपरोक्त अभिव्यक्ति को फिर से लिखा जा सकता है:

α = आर्ककोस (|ए 1 * ए 2 + बी 1 * बी 2 + सी 1 * सी 2 | / (√(ए 1 2 + बी 1 2 + सी 1 2) * √(ए 2 2 + बी 2 2 + सी 2 2)))

अंश में मॉड्यूल दिखाई दिया, क्योंकि मूल्यों को बाहर करने के लिए

विमानों के चौराहे के कोण को निर्धारित करने के लिए समस्याओं को हल करने के उदाहरण

समतलों के बीच का कोण ज्ञात करने के बारे में जानने के बाद, हम निम्नलिखित समस्या का समाधान करेंगे। दो तल दिए गए हैं, जिनके समीकरण का रूप है:

3 * एक्स + 4 * वाई - जेड + 3 = 0;

एक्स - 2 * वाई + 5 * जेड +1 = 0

विमानों के बीच का कोण क्या है?

समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम याद करते हैं कि विमान के सामान्य समीकरण में वेरिएबल्स पर खड़े होने वाले गुणांक गाइड वेक्टर के निर्देशांक हैं। इन विमानों के लिए, हमारे पास उनके नॉर्मल के निम्नलिखित निर्देशांक हैं:

एन 1 ¯(3; 4; -1);

n 2 ¯(-1; -2; 5)

अब हम इन वैक्टरों और उनके मॉड्यूल के स्केलर उत्पाद को ढूंढते हैं, हमारे पास है:

(एन 1 ¯ * एन 2 ¯) \u003d -3 -8 -5 \u003d -16;

|एन 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;

|एन 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

अब आप पिछले पैराग्राफ में दिए गए फॉर्मूले में पाई गई संख्याओं को बदल सकते हैं। हम पाते हैं:

α = आर्ककोस (|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55.05 ओ

परिणामी मूल्य समस्या की स्थिति में निर्दिष्ट विमानों के चौराहे के तीव्र कोण से मेल खाता है।

अब एक और उदाहरण देखते हैं। दो विमान दिए गए हैं:

क्या वे प्रतिच्छेद करते हैं? आइए हम उनके दिशा वैक्टर के निर्देशांक के मान लिखें, गणना करें अदिश उत्पादउन्हें और मॉड्यूल:

एन 1 ¯(1; 1; 0);

एन 2 ¯(3; 3; 0);

(एन 1 ¯ * एन 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;

|एन 1 ¯| = √2;

|एन 2 ¯| = √18

तो प्रतिच्छेदन कोण है:

α = आर्ककोस(|6| / (√2 * √18) =0 ओ .

यह कोण इंगित करता है कि विमान प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, लेकिन समानांतर हैं। तथ्य यह है कि वे एक-दूसरे से मेल नहीं खाते हैं, यह जांचना आसान है। आइए इसके लिए उनमें से पहले से संबंधित एक मनमाना बिंदु लें, उदाहरण के लिए, P(0; 3; 2)। इसके निर्देशांकों को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

अर्थात्, बिंदु P केवल पहले तल से संबंधित है।

इस प्रकार, दो तल समानांतर होते हैं जब उनके सामान्य होते हैं।

विमान और रेखा

समतल और सीधी रेखा के बीच सापेक्ष स्थिति पर विचार करने के मामले में, दो तलों की तुलना में कई अधिक विकल्प हैं। यह तथ्य इस तथ्य से जुड़ा है कि सीधी रेखा एक आयामी वस्तु है। लाइन और प्लेन हो सकते हैं:

• परस्पर समानांतर, इस मामले में विमान रेखा को नहीं काटता है;
• उत्तरार्द्ध विमान से संबंधित हो सकता है, जबकि यह इसके समानांतर भी होगा;
• दोनों वस्तुएं किसी कोण पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं।

पहले अंतिम मामले पर विचार करें, क्योंकि इसके लिए प्रतिच्छेदन कोण की अवधारणा का परिचय आवश्यक है।

रेखा और तल, उनके बीच के कोण का मान

यदि एक सीधी रेखा किसी समतल को काटती है, तो वह उसके सापेक्ष झुकी हुई रेखा कहलाती है। चौराहे के बिंदु को ढलान का आधार कहा जाता है। इन ज्यामितीय वस्तुओं के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए, किसी भी बिंदु से विमान के सीधे लंब को कम करना आवश्यक है। तब समतल के साथ लंब के चौराहे का बिंदु और इसके साथ झुकी हुई रेखा के चौराहे का स्थान एक सीधी रेखा बनाता है। उत्तरार्द्ध को विचाराधीन विमान पर मूल रेखा का प्रक्षेपण कहा जाता है। तीव्र और इसका प्रक्षेपण वांछित है।

समतल और तिरछे कोण के बीच के कोण की कुछ भ्रमित करने वाली परिभाषा को नीचे दिए गए चित्र से स्पष्ट किया जाएगा।

यहाँ कोण ABO रेखा AB और समतल a के बीच का कोण है।

इसके लिए एक सूत्र लिखने के लिए, एक उदाहरण पर विचार करें। एक सीधी रेखा और एक समतल होने दें, जो समीकरणों द्वारा वर्णित हैं:

(एक्स; वाई; जेड) = (एक्स 0; वाई 0; जेड 0) + λ * (ए; बी; सी);

ए * एक्स + बी * एक्स + सी * एक्स + डी = 0

इन वस्तुओं के लिए वांछित कोण की गणना करना आसान है यदि आप लाइन और विमान के दिशा वैक्टर के बीच स्केलर उत्पाद पाते हैं। परिणामी तीव्र कोण को 90 o से घटाया जाना चाहिए, फिर इसे एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच प्राप्त किया जाता है।

ऊपर दिया गया चित्र विचाराधीन कोण को खोजने के लिए वर्णित एल्गोरिथम को प्रदर्शित करता है। यहाँ β सामान्य और रेखा के बीच का कोण है, और α रेखा और विमान पर इसके प्रक्षेपण के बीच है। यह देखा जा सकता है कि उनका योग 90 o के बराबर है।

ऊपर, एक सूत्र प्रस्तुत किया गया था जो इस सवाल का जवाब देता है कि विमानों के बीच का कोण कैसे खोजा जाए। अब हम एक सीधी रेखा और एक समतल के मामले के लिए संबंधित अभिव्यक्ति देते हैं:

α = आर्क्सिन (|ए * ए + बी * बी + सी * सी| / (√(ए 2 + बी 2 + सी 2) * √(ए 2 + बी 2 + सी 2)))

सूत्र में मापांक आपको केवल गणना करने की अनुमति देता है तेज मोड. के बीच संबंधित कमी सूत्र के उपयोग के कारण आर्ककोसाइन के बजाय आर्क्साइन फ़ंक्शन दिखाई दिया त्रिकोणमितीय फलन(cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).

समस्या: एक विमान एक रेखा को काटता है

अब हम दिखाएंगे कि उपरोक्त सूत्र के साथ कैसे काम करना है। आइए समस्या का समाधान करें: y-अक्ष और समतल के बीच के कोण की गणना करना आवश्यक है, समीकरण द्वारा दिया गया:

यह विमान चित्र में दिखाया गया है।

यह देखा जा सकता है कि यह y और z अक्षों को क्रमशः बिंदुओं (0; -12; 0) और (0; 0; 12) पर काटता है, और x अक्ष के समानांतर है।

सरल रेखा y के दिशा सदिश के निर्देशांक (0; 1; 0) हैं। किसी दिए गए समतल के लंबवत एक सदिश को निर्देशांक (0; 1; -1) द्वारा अभिलक्षित किया जाता है। हम एक सीधी रेखा और एक विमान के चौराहे के कोण के लिए सूत्र लागू करते हैं, हमें यह मिलता है:

α = आर्क्सिन(|1| / (√1 * √2)) = आर्क्सिन(1 / √2) = 45o

समस्या: विमान के समानांतर सीधी रेखा

अब आइए पिछले वाले के समान एक समस्या को हल करें, जिसका प्रश्न अलग तरीके से प्रस्तुत किया गया है। विमान और सीधी रेखा के समीकरण ज्ञात हैं:

एक्स + वाई - जेड - 3 = 0;

(एक्स; वाई; जेड) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)

यह पता लगाना आवश्यक है कि क्या ये ज्यामितीय वस्तुएँ एक दूसरे के समानांतर हैं।

हमारे पास दो वैक्टर हैं: डायरेक्टिंग लाइन (0; 2; 2) है और डायरेक्टिंग प्लेन (1; 1; -1) है। हम उनका अदिश गुणनफल पाते हैं:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

परिणामी शून्य इंगित करता है कि इन सदिशों के बीच का कोण 90 o है, जो सीधी रेखा और समतल की समानता को सिद्ध करता है।

अब देखते हैं कि यह रेखा केवल समांतर है या समतल में स्थित है। ऐसा करने के लिए, रेखा पर एक मनमाना बिंदु चुनें और जांचें कि क्या यह विमान से संबंधित है। उदाहरण के लिए, λ = 0 लेते हैं, तो बिंदु P(1; 0; 0) रेखा से संबंधित है। हम समतल P के समीकरण में स्थानापन्न करते हैं:

बिंदु P तल से संबंधित नहीं है, और इसलिए पूरी रेखा इसमें स्थित नहीं है।

मानी जाने वाली ज्यामितीय वस्तुओं के बीच के कोणों को जानना कहाँ महत्वपूर्ण है?

उपरोक्त सूत्र और समस्या समाधान के उदाहरण केवल सैद्धांतिक हित के नहीं हैं। वे अक्सर वास्तविक त्रि-आयामी आंकड़ों, जैसे प्रिज्म या पिरामिड की महत्वपूर्ण भौतिक मात्रा निर्धारित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। आकृतियों के आयतन और उनकी सतहों के क्षेत्रफल की गणना करते समय विमानों के बीच के कोण को निर्धारित करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। इसके अलावा, यदि सीधे प्रिज्म के मामले में संकेतित मात्रा निर्धारित करने के लिए इन सूत्रों का उपयोग नहीं करना संभव है, तो किसी भी प्रकार के पिरामिड के लिए उनका उपयोग अनिवार्य है।

नीचे हम एक वर्गाकार आधार वाले पिरामिड के कोणों को निर्धारित करने के लिए बताए गए सिद्धांत का उपयोग करने के एक उदाहरण पर विचार करेंगे।

पिरामिड और उसके कोने

नीचे दिया गया चित्र एक पिरामिड दिखाता है, जिसके आधार पर भुजा a वाला एक वर्ग स्थित है। आकृति की ऊंचाई h है। आपको दो कोने खोजने होंगे:

• पार्श्व सतह और आधार के बीच;
• पार्श्व किनारे और आधार के बीच।

समस्या को हल करने के लिए, आपको पहले समन्वय प्रणाली में प्रवेश करना होगा और संबंधित कोने के मापदंडों को निर्धारित करना होगा। आंकड़ा दिखाता है कि निर्देशांक की उत्पत्ति वर्ग आधार के केंद्र में बिंदु के साथ मेल खाती है। इस मामले में, बेस प्लेन को समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:

अर्थात्, किसी भी x और y के लिए, तीसरे निर्देशांक का मान हमेशा शून्य होता है। पार्श्व तल ABC z-अक्ष को बिंदु B(0; 0; h) पर और y-अक्ष को निर्देशांक (0; a/2; 0) वाले बिंदु पर काटता है। यह x-अक्ष को पार नहीं करता है। इसका अर्थ है कि ABC समतल के समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

वाई / (ए / 2) + जेड / एच = 1 या

2 * एच * वाई + ए * जेड - ए * एच = 0

सदिश AB¯ एक पार्श्व किनारा है। इसके प्रारंभ और अंत निर्देशांक हैं: A(a/2; a/2; 0) और B(0; 0; h)। फिर वेक्टर के निर्देशांक ही:

हमें सभी आवश्यक समीकरण और सदिश मिल गए हैं। अब यह विचाराधीन सूत्रों का उपयोग करने के लिए बना हुआ है।

सबसे पहले, पिरामिड में, हम आधार और पार्श्व के तलों के बीच के कोण की गणना करते हैं। संबंधित सामान्य वैक्टर हैं: n 1 ¯(0; 0; 1) और n 2 ¯(0; 2*h; a)। तो कोण होगा:

α = आर्ककोस (ए / √ (4 * एच 2 + ए 2))

समतल और किनारे AB के बीच का कोण बराबर होगा:

β = आर्क्सिन (एच / √ (ए 2/2 + एच 2))

यह आवश्यक कोण प्राप्त करने के लिए आधार के किनारे के विशिष्ट मूल्यों और ऊँचाई h को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है।

लेख विमानों के बीच के कोण को खोजने के बारे में बात करता है। परिभाषा लाने के बाद, हम एक ग्राफिक चित्रण सेट करेंगे, विधि द्वारा निर्देशांक खोजने के लिए एक विस्तृत विधि पर विचार करें। हम प्रतिच्छेदी समतलों के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं, जिसमें सामान्य सदिशों के निर्देशांक शामिल होते हैं।

Yandex.RTB R-A-339285-1

सामग्री डेटा और अवधारणाओं का उपयोग करेगी जो पहले अंतरिक्ष में विमान और रेखा के बारे में लेखों में पढ़ी गई थीं। आरंभ करने के लिए, तर्क पर आगे बढ़ना आवश्यक है जो दो अन्तर्विभाजक विमानों के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए एक निश्चित दृष्टिकोण रखने की अनुमति देता है।

दो अन्तर्विभाजक विमान γ 1 और γ 2 दिए गए हैं। उनका चौराहा पदनाम सी ले जाएगा। χ समतल का निर्माण इन तलों के प्रतिच्छेदन से जुड़ा हुआ है। विमान χ बिंदु M से एक सीधी रेखा c के रूप में गुजरता है। विमानों γ 1 और γ 2 को χ विमान का उपयोग करके प्रतिच्छेद किया जाएगा। हम रेखा a के लिए γ 1 और χ को प्रतिच्छेद करने वाली और रेखा b के लिए γ 2 और χ को प्रतिच्छेद करने वाली रेखा के पदों को स्वीकार करते हैं। हम पाते हैं कि रेखाओं a और b का प्रतिच्छेदन बिंदु M देता है।

बिंदु M का स्थान प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के बीच के कोण को प्रभावित नहीं करता है, और बिंदु M उस रेखा c पर स्थित है जिसके माध्यम से विमान χ गुजरता है।

लाइन सी के लंबवत और विमान χ से अलग एक विमान χ 1 का निर्माण करना आवश्यक है। χ 1 की मदद से विमानों γ 1 और γ 2 का प्रतिच्छेदन लाइनों a 1 और b 1 का पदनाम लेगा।

यह देखा जा सकता है कि χ और χ 1 का निर्माण करते समय, रेखाएँ a और b रेखा c के लंबवत होती हैं, फिर a 1, b 1 रेखा c के लंबवत होती हैं। समतल γ 1 में रेखाएँ a और a 1 को रेखा c के लंबवत के साथ ढूँढना, तब उन्हें समानांतर माना जा सकता है। इसी तरह, विमान γ 2 में रेखा सी की लंबवतता के साथ बी और बी 1 का स्थान उनके समांतरता को इंगित करता है। इसका मतलब यह है कि विमान χ 1 से χ के समानांतर स्थानांतरण करना आवश्यक है, जहां हमें दो संयोग रेखाएँ a और a 1 , b और b 1 मिलती हैं। हम पाते हैं कि प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b 1 के बीच का कोण प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के कोण के बराबर है।

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

यह निर्णय इस तथ्य से सिद्ध होता है कि प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के बीच एक कोण है जो बिंदु M के स्थान पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात चौराहे का बिंदु। ये रेखाएं विमानों γ 1 और γ 2 में स्थित हैं। वास्तव में, परिणामी कोण को दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच के कोण के रूप में माना जा सकता है।

आइए मौजूदा इंटरसेक्टिंग प्लेन γ 1 और γ 2 के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ें।

परिभाषा 1

दो अन्तर्विभाजक विमानों के बीच का कोण γ 1 और γ 2लाइनों ए और बी के चौराहे से बने कोण को कॉल करें, जहां विमान γ 1 और γ 2 विमान χ के साथ लाइन सी के लंबवत हैं।

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

परिभाषा दूसरे रूप में प्रस्तुत की जा सकती है। विमानों के चौराहे पर γ 1 और γ 2, जहां c वह रेखा है जिस पर वे प्रतिच्छेद करते हैं, बिंदु M को चिह्नित करें, जिसके माध्यम से रेखाएँ a और b खींचें, रेखा c के लंबवत और विमानों γ 1 और γ में झूठ बोलना 2, तो रेखाओं a और b के बीच का कोण विमानों के बीच का कोण होगा। व्यवहार में, यह विमानों के बीच कोण बनाने के लिए लागू होता है।

चौराहे पर, एक कोण बनता है जो मूल्य में 90 डिग्री से कम होता है, अर्थात कोण का डिग्री माप इस प्रकार के अंतराल (0, 90 ] पर मान्य होता है। इसी समय, इन विमानों को लंबवत कहा जाता है। यदि चौराहे पर एक समकोण बनता है। समानांतर विमानों के बीच का कोण शून्य के बराबर माना जाता है।

प्रतिच्छेदी तलों के बीच कोण ज्ञात करने का सामान्य तरीका अतिरिक्त निर्माण करना है। यह इसे सटीकता के साथ निर्धारित करने में मदद करता है, और यह त्रिभुज, साइन, कोण के कोसाइन की समानता या समानता के संकेतों का उपयोग करके किया जा सकता है।

ब्लॉक सी 2 की एकीकृत राज्य परीक्षा की समस्याओं से एक उदाहरण का उपयोग करके समस्याओं को हल करने पर विचार करें।

उदाहरण 1

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 दिया गया है, जहाँ भुजा A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7, बिंदु E 4: 3 के अनुपात में A A 1 को अलग करता है। समतल A B C और B E D 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान

स्पष्टता के लिए, आपको एक चित्र बनाने की आवश्यकता है। हमें वह मिल गया

विमानों के बीच के कोण के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए एक दृश्य प्रतिनिधित्व आवश्यक है।

हम एक सीधी रेखा की परिभाषा बनाते हैं जिसके साथ समतल A B C और B E D 1 प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु B एक सामान्य बिंदु है। कोई और ढूंढ़ना होगा आम बातचौराहों। रेखाओं D A और D 1 E पर विचार करें, जो एक ही तल A D D 1 में स्थित हैं। उनका स्थान समानता को इंगित नहीं करता है, जिसका अर्थ है कि उनके पास एक सामान्य चौराहा बिंदु है।

हालाँकि, रेखा D A समतल A B C में स्थित है, और D 1 E B E D 1 में स्थित है। इसलिए हमें वह रेखाएँ मिलती हैं डी एतथा डी 1 ईप्रतिच्छेदन का एक उभयनिष्ठ बिंदु है, जो समतल A B C और B E D 1 के लिए भी उभयनिष्ठ है। रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को इंगित करता है डी एऔर डी 1 ई पत्र एफ. यहाँ से हम पाते हैं कि B F एक सीधी रेखा है जिसके साथ समतल A B C और B E D 1 प्रतिच्छेद करते हैं।

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

एक उत्तर प्राप्त करने के लिए, A B C और B E D 1 विमानों में स्थित सीधी रेखाओं का निर्माण करना आवश्यक है, जो रेखा B F पर स्थित बिंदु से होकर गुजरती हैं और इसके लंबवत हैं। फिर इन रेखाओं के बीच के परिणामी कोण को विमानों A B C और B E D 1 के बीच वांछित कोण माना जाता है।

इससे यह देखा जा सकता है कि बिंदु A बिंदु E का विमान A B C पर प्रक्षेपण है। यह आवश्यक है कि रेखा B F को बिंदु M पर एक समकोण पर काटती हुई एक रेखा खींची जाए। यह देखा जा सकता है कि रेखा A M उन लंबों A M ⊥ B F के बारे में प्रमेय के आधार पर, समतल A B C पर रेखा E M का प्रक्षेपण है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

∠ A M E समतलों A B C और B E D 1 द्वारा बनाया गया वांछित कोण है। परिणामी त्रिभुज ए ई एम से हम कोण की साइन, कोसाइन या स्पर्शरेखा पा सकते हैं, जिसके बाद कोण ही, केवल इसके दो ज्ञात पक्षों के साथ। शर्त के अनुसार, हमारे पास यह है कि A E की लंबाई इस प्रकार पाई जाती है: रेखा A A 1 को बिंदु E द्वारा 4: 3 के अनुपात में विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि रेखा की कुल लंबाई 7 भाग है, फिर A E \u003d 4 भाग। हम ए.एम.

समकोण त्रिभुज A B F पर विचार करना आवश्यक है। हमारे पास ऊंचाई A M के साथ एक समकोण A है। स्थिति A B \u003d 2 से, तब हम त्रिभुजों D D 1 F और A E F की समानता से लंबाई A F का पता लगा सकते हैं। हम पाते हैं कि A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके त्रिभुज A B F से भुजा B F की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है। हम पाते हैं कि B F   = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 I त्रिभुज A B F के क्षेत्रफल से होकर A M भुजा की लंबाई ज्ञात होती है। हमारे पास यह है कि क्षेत्रफल दोनों के बराबर हो सकता है S A B C = 1 2 · A B · A F , और S A B C = 1 2 · B F · A M ।

हम पाते हैं कि AM = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

तब हम त्रिभुज A E M के कोण की स्पर्श रेखा का मान ज्ञात कर सकते हैं। हमें प्राप्त होता है:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

विमानों A B C और B E D 1 के प्रतिच्छेदन द्वारा प्राप्त वांछित कोण arc t g 5 के बराबर है, फिर, सरलीकृत होने पर, हमें a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 मिलता है।

उत्तर: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 ।

प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण को खोजने के कुछ मामले O x y z निर्देशांक तल और निर्देशांक विधि का उपयोग करके दिए गए हैं। आइए अधिक विस्तार से विचार करें।

यदि एक समस्या दी गई है जहाँ प्रतिच्छेदी तलों γ 1 और γ 2 के बीच के कोण को ज्ञात करना आवश्यक है, तो हम वांछित कोण को α द्वारा निरूपित करते हैं।

फिर दिए गए समन्वय प्रणाली से पता चलता है कि हमारे पास प्रतिच्छेदी विमानों γ 1 और γ 2 के सामान्य वैक्टरों के निर्देशांक हैं। तब हम निरूपित करते हैं कि n 1 → = n 1 x , n 1 y , n 1 z समतल γ 1 का एक सामान्य सदिश है, और n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) - के लिए विमान γ 2। वैक्टर के निर्देशांक के अनुसार इन विमानों के बीच स्थित कोण की विस्तृत खोज पर विचार करें।

उस सीधी रेखा को निर्दिष्ट करना आवश्यक है जिसके साथ विमान γ 1 और γ 2 अक्षर c के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। के साथ रेखा पर हमारे पास एक बिंदु M है, जिसके माध्यम से हम c के लंबवत एक समतल χ खींचते हैं। समतल χ रेखाओं a और b के अनुदिश समतलों γ 1 और γ 2 को बिंदु M पर प्रतिच्छेद करता है। यह इस परिभाषा से अनुसरण करता है कि अन्तर्विभाजक विमानों के बीच का कोण γ 1 और γ 2 क्रमशः इन विमानों से संबंधित अन्तर्विभाजक रेखाओं ए और बी के कोण के बराबर है।

χ विमान में, हम सामान्य वैक्टर को बिंदु M से अलग करते हैं और उन्हें n 1 → और n 2 → निरूपित करते हैं। वेक्टर n 1 → रेखा a के लंबवत रेखा पर स्थित है, और वेक्टर n 2 → रेखा b के लंबवत रेखा पर स्थित है। यहाँ से हम पाते हैं कि दिए गए समतल χ में सीधी रेखा a का एक सामान्य वेक्टर है जो n 1 → के बराबर है और सीधी रेखा b के लिए n 2 → के बराबर है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

यहाँ से हमें एक सूत्र प्राप्त होता है जिसके द्वारा हम सदिशों के निर्देशांकों का उपयोग करके प्रतिच्छेदी रेखाओं के कोण की ज्या की गणना कर सकते हैं। हमने पाया कि रेखाओं a और b के बीच के कोण की कोज्या वही है जो प्रतिच्छेदी तलों γ 1 और γ 2 के बीच की कोसाइन से ली गई है कॉस सूत्रα = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , जहाँ हमारे पास वह n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) और n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) के निर्देशांक हैं प्रतिनिधित्व किए गए विमानों के वैक्टर।

प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है

α = arc cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

उदाहरण 2

शर्त के अनुसार, एक समानांतर चतुर्भुज А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 दिया गया है , जहाँ A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7, और बिंदु E पक्ष A A 1 4: 3 को अलग करता है। समतल A B C और B E D 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान

यह इस स्थिति से देखा जा सकता है कि इसके किनारे जोड़ीदार लंबवत हैं। इसका मतलब यह है कि बिंदु C पर एक शीर्ष के साथ एक समन्वय प्रणाली O x y z को पेश करना आवश्यक है और कुल्हाड़ियों O x, O y, O z को समन्वयित करें। दिशा को उपयुक्त पक्षों पर रखना आवश्यक है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

अन्तर्विभाजक विमान ए बी सीतथा बी ई डी 1एक कोण बनाते हैं, जिसे सूत्र 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 द्वारा पाया जा सकता है, जहाँ n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) और n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z ) इन तलों के प्रसामान्य सदिश हैं। निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है। आकृति से, हम देखते हैं कि समन्वय अक्ष O xy विमान A B C में मेल खाता है, जिसका अर्थ है कि सामान्य वेक्टर k → के निर्देशांक मान n 1 → = k → = (0, 0, 1) के बराबर हैं।

समतल के सामान्य सदिश के लिए B E D 1 लिया जाता है वेक्टर उत्पादबी ई → और बी डी 1 → , जहां उनके निर्देशांक चरम बिंदु बी, ई, डी 1 के निर्देशांक द्वारा पाए जाते हैं, जो समस्या की स्थिति के आधार पर निर्धारित होते हैं।

हम B (0 , 3 , 0) , D 1 (2 , 0 , 7) प्राप्त करते हैं। चूँकि A E E A 1 = 4 3 बिंदुओं के निर्देशांक A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 से हम E 2 , 3 , 4 पाते हैं। हम पाते हैं कि B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12, - 6, - 6)

चाप कोसाइन के माध्यम से कोण की गणना के लिए सूत्र में पाए गए निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। हम पाते हैं

α = arc cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

समन्वय विधि समान परिणाम देती है।

उत्तर:ए आर सी कॉस 6 6 .

उपलब्ध के साथ प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच के कोण को खोजने के लिए अंतिम समस्या पर विचार किया जाता है ज्ञात समीकरणविमानों।

उदाहरण 3

दो अन्तर्विभाजक रेखाओं द्वारा गठित साइन, कोण की कोज्या और कोण के मान की गणना करें, जो O x y z समन्वय प्रणाली में परिभाषित हैं और समीकरण 2 x - 4 y + z + 1 = 0 और 3 y - द्वारा दिए गए हैं - जेड - 1 = 0।

समाधान

किसी विषय का अध्ययन करते समय सामान्य समीकरण A x + B y + C z + D = 0 के रूप की रेखा से पता चलता है कि A, B, C सामान्य सदिश के निर्देशांक के बराबर गुणांक हैं। इसलिए, n 1 → = 2 , - 4 , 1 और n 2 → = 0 , 3 , - 1 दी गई रेखाओं के प्रसामान्य सदिश हैं।

चौराहे वाले विमानों के वांछित कोण की गणना के लिए सूत्र में विमानों के सामान्य वैक्टर के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। तब हमें वह मिलता है

α = arc cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

इसलिए हमारे पास यह है कि कोण की कोसाइन cos α = 13 210 का रूप ले लेती है। तब प्रतिच्छेदी रेखाओं का कोण अधिक कोण नहीं होता है। में स्थानापन्न करना त्रिकोणमितीय पहचान, हम पाते हैं कि कोण की ज्या का मान व्यंजक के बराबर है। हम गणना करते हैं और प्राप्त करते हैं

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

उत्तर: sin α = 41 210 , cos α = 13 210 , α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210 ।

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