अवकलज ज्ञात करने की क्रिया को विभेदन कहते हैं।

तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा के रूप में व्युत्पन्न को परिभाषित करके सबसे सरल (और बहुत सरल नहीं) कार्यों के डेरिवेटिव खोजने की समस्याओं को हल करने के परिणामस्वरूप, डेरिवेटिव की एक तालिका और भेदभाव के सटीक परिभाषित नियम दिखाई दिए . आइजैक न्यूटन (1643-1727) और गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज (1646-1716) ने डेरिवेटिव खोजने के क्षेत्र में काम करने वाले पहले व्यक्ति थे।

इसलिए, हमारे समय में, किसी भी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की उपर्युक्त सीमा की गणना तर्क की वृद्धि के लिए करना आवश्यक नहीं है, लेकिन केवल तालिका का उपयोग करने की आवश्यकता है डेरिवेटिव और भेदभाव के नियम। निम्नलिखित एल्गोरिदम व्युत्पन्न खोजने के लिए उपयुक्त है।

व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको स्ट्रोक साइन के तहत एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता है सरल कार्यों को तोड़ोऔर निर्धारित करें कि क्या कार्रवाई (उत्पाद, योग, भागफल)ये कार्य संबंधित हैं। आगे डेरिवेटिव प्राथमिक कार्यहम डेरिवेटिव की तालिका में पाते हैं, और उत्पाद, योग और भागफल के डेरिवेटिव के लिए सूत्र - भेदभाव के नियमों में। पहले दो उदाहरणों के बाद व्युत्पन्न और विभेदन नियमों की तालिका दी गई है।

उदाहरण 1किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। विभेदन के नियमों से हम पाते हैं कि कार्यों के योग का व्युत्पन्न कार्यों के व्युत्पन्न का योग है, अर्थात।

डेरिवेटिव की तालिका से, हम पाते हैं कि "एक्स" का व्युत्पन्न एक के बराबर है, और साइन का व्युत्पन्न कोसाइन है। हम इन मानों को व्युत्पन्न के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक व्युत्पन्न पाते हैं:

उदाहरण 2किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। योग के व्युत्पन्न के रूप में अंतर करें, जिसमें एक स्थिर कारक के साथ दूसरा पद, इसे व्युत्पन्न के संकेत से निकाला जा सकता है:

यदि अभी भी प्रश्न हैं कि कुछ कहाँ से आता है, तो वे, एक नियम के रूप में, डेरिवेटिव की तालिका और भेदभाव के सबसे सरल नियमों को पढ़ने के बाद स्पष्ट हो जाते हैं। हम अभी उनके पास जा रहे हैं।

सरल कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका

1. एक स्थिरांक (संख्या) का व्युत्पन्न। कोई भी संख्या (1, 2, 5, 200...) जो फलन व्यंजक में है। हमेशा शून्य। यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसकी बहुत बार आवश्यकता होती है
2. स्वतंत्र चर का व्युत्पन्न। सबसे अधिक बार "एक्स"। हमेशा एक के बराबर। यह भी याद रखना जरूरी है
3. डिग्री का व्युत्पन्न। समस्याओं को हल करते समय, आपको गैर-वर्गमूलों को एक शक्ति में बदलने की आवश्यकता होती है।
4. -1 . की घात के लिए एक चर का व्युत्पन्न
5. वर्गमूल का व्युत्पन्न
6. साइन व्युत्पन्न
7. कोसाइन व्युत्पन्न
8. स्पर्शरेखा व्युत्पन्न
9. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न
10. आर्क्सिन का व्युत्पन्न
11. चाप कोज्या का व्युत्पन्न
12. चाप स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न
13. व्युत्क्रम स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न
14. प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न
15. एक लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न
16. घातांक का व्युत्पन्न
17. घातीय फलन का व्युत्पन्न

विभेदन नियम

1. योग या अंतर का व्युत्पन्न
2. उत्पाद का व्युत्पन्न
2ए. एक स्थिर कारक से गुणा किए गए व्यंजक का व्युत्पन्न
3. भागफल का व्युत्पन्न
4. एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न

नियम 1यदि कार्य

किसी बिंदु पर अलग-अलग होते हैं, फिर उसी बिंदु पर कार्य

इसके अतिरिक्त

वे। फलनों के बीजीय योग का अवकलज इन फलनों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।

परिणाम। यदि दो अवकलनीय फलन एक अचर से भिन्न हैं, तो उनके अवकलज हैं, अर्थात।

नियम 2यदि कार्य

किसी बिंदु पर अवकलनीय होते हैं, तो उनका गुणनफल भी उसी बिंदु पर अवकलनीय होता है

इसके अतिरिक्त

वे। दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न इन कार्यों में से प्रत्येक के उत्पादों के योग और दूसरे के व्युत्पन्न के बराबर है।

परिणाम 1. अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है:

परिणाम 2. कई अलग-अलग कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न प्रत्येक कारक और अन्य सभी के व्युत्पन्न के उत्पादों के योग के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, तीन गुणकों के लिए:

नियम 3यदि कार्य

किसी बिंदु पर अलग-अलग तथा , तो इस बिंदु पर उनका भागफल भी अवकलनीय है।यू/वी, और

वे। दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है जिसका अंश हर के उत्पादों और अंश और अंश के व्युत्पन्न और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और हर पूर्व अंश का वर्ग होता है .

अन्य पृष्ठों पर कहां देखें

वास्तविक समस्याओं में उत्पाद के व्युत्पन्न और भागफल को खोजने पर, एक ही बार में कई भेदभाव नियमों को लागू करना हमेशा आवश्यक होता है, इसलिए इन डेरिवेटिव पर अधिक उदाहरण लेख में हैं।"एक उत्पाद और एक भागफल का व्युत्पन्न".

टिप्पणी।आपको एक स्थिरांक (अर्थात एक संख्या) को योग में एक पद के रूप में और एक स्थिर गुणनखंड के रूप में भ्रमित नहीं करना चाहिए! एक पद के मामले में, इसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, और एक स्थिर कारक के मामले में, इसे व्युत्पन्न के चिह्न से निकाल दिया जाता है। यह सामान्य गलती, जो पर होता है आरंभिक चरणव्युत्पन्न सीखना, लेकिन जैसे ही वे कई एक-दो-घटक उदाहरणों को हल करते हैं, औसत छात्र अब यह गलती नहीं करता है।

और यदि, किसी उत्पाद या भागफल में अंतर करते समय, आपके पास एक पद है तुम"वी, जिसमें तुम- एक संख्या, उदाहरण के लिए, 2 या 5, यानी एक स्थिर, तो इस संख्या का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होगा और इसलिए, पूरा पद शून्य के बराबर होगा (ऐसे मामले का विश्लेषण उदाहरण 10 में किया गया है) .

अन्य सामान्य गलती- एक साधारण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का यांत्रिक समाधान। इसीलिए एक जटिल कार्य का व्युत्पन्नएक अलग लेख के लिए समर्पित। लेकिन पहले हम सरल फलनों के अवकलज ज्ञात करना सीखेंगे।

साथ ही, आप भावों के परिवर्तन के बिना नहीं कर सकते। ऐसा करने के लिए, आपको नए विंडोज़ मैनुअल में खोलने की आवश्यकता हो सकती है शक्तियों और जड़ों के साथ क्रियातथा भिन्न के साथ क्रिया .

यदि आप शक्तियों और जड़ों के साथ डेरिवेटिव के समाधान की तलाश में हैं, यानी, जब फ़ंक्शन जैसा दिखता है , फिर पाठ का पालन करें " शक्तियों और जड़ों के साथ अंशों के योग का व्युत्पन्न"।

यदि आपके पास कोई कार्य है जैसे , तो आप "सरल त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्न" पाठ में हैं।

चरण-दर-चरण उदाहरण - व्युत्पन्न कैसे खोजें

उदाहरण 3किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हम फ़ंक्शन अभिव्यक्ति के कुछ हिस्सों को निर्धारित करते हैं: संपूर्ण अभिव्यक्ति उत्पाद का प्रतिनिधित्व करती है, और इसके कारक योग होते हैं, जिनमें से दूसरे शब्दों में से एक में एक स्थिर कारक होता है। हम उत्पाद भेदभाव नियम लागू करते हैं: दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न इन कार्यों में से प्रत्येक के उत्पादों के योग और दूसरे के व्युत्पन्न के बराबर है:

इसके बाद, हम योग के विभेदन के नियम को लागू करते हैं: कार्यों के बीजीय योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्न के बीजीय योग के बराबर होता है। हमारे मामले में, प्रत्येक योग में, दूसरा पद ऋण चिह्न के साथ। प्रत्येक योग में, हम दोनों एक स्वतंत्र चर देखते हैं, जिसका व्युत्पन्न एक के बराबर होता है, और एक स्थिरांक (संख्या), जिसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है। तो, "x" एक में बदल जाता है, और माइनस 5 - शून्य में। दूसरे व्यंजक में, "x" को 2 से गुणा किया जाता है, इसलिए हम "x" के अवकलज के समान इकाई से दो गुणा करते हैं। हम पाते हैं निम्नलिखित मानडेरिवेटिव:

हम पाए गए डेरिवेटिव को उत्पादों के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक संपूर्ण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 4किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। हमें भागफल का अवकलज ज्ञात करना है। हम एक भागफल को अलग करने के लिए सूत्र लागू करते हैं: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है जिसका अंश हर के उत्पादों और अंश और अंश के व्युत्पन्न और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और भाजक पूर्व अंश का वर्ग है। हम पाते हैं:

हम पहले ही उदाहरण 2 में अंश में कारकों का व्युत्पन्न पा चुके हैं। आइए यह भी न भूलें कि उत्पाद, जो वर्तमान उदाहरण में अंश में दूसरा कारक है, को ऋण चिह्न के साथ लिया गया है:

यदि आप ऐसी समस्याओं के समाधान की तलाश में हैं जिनमें आपको किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की आवश्यकता है, जहां जड़ों और डिग्री का निरंतर ढेर होता है, जैसे कि, उदाहरण के लिए, फिर कक्षा में स्वागत है "शक्तियों और जड़ों के साथ अंशों के योग का व्युत्पन्न" .

यदि आपको ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और अन्य के व्युत्पन्नों के बारे में अधिक जानने की आवश्यकता है त्रिकोणमितीय फलन, यानी, जब फ़ंक्शन जैसा दिखता है , तो आपके पास एक सबक है "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव" .

उदाहरण 5किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। इस फ़ंक्शन में, हम एक उत्पाद देखते हैं, जिनमें से एक कारक स्वतंत्र चर का वर्गमूल है, जिसके व्युत्पन्न के साथ हमने खुद को डेरिवेटिव की तालिका में परिचित किया है। उत्पाद विभेदन नियम और वर्गमूल के व्युत्पन्न के सारणीबद्ध मान के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 6किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें

समाधान। इस फलन में, हम भागफल देखते हैं, जिसका लाभांश स्वतंत्र चर का वर्गमूल होता है। भागफल के विभेदन के नियम के अनुसार, जिसे हमने उदाहरण 4 में दोहराया और लागू किया, और वर्गमूल के व्युत्पन्न का सारणीबद्ध मान, हम प्राप्त करते हैं:

अंश में भिन्न से छुटकारा पाने के लिए अंश और हर को से गुणा करें।

व्युत्पन्न गणनाडिफरेंशियल कैलकुलस में सबसे महत्वपूर्ण ऑपरेशनों में से एक है। सरल कार्यों के व्युत्पन्न खोजने के लिए नीचे एक तालिका है। अधिक जटिल विभेदीकरण नियमों के लिए, अन्य पाठ देखें:

• घातीय और लघुगणकीय कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका

दिए गए सूत्रों को संदर्भ मानों के रूप में उपयोग करें। वे आपको निर्णय लेने में मदद करेंगे विभेदक समीकरणऔर कार्य। तस्वीर में, सरल कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका में, व्युत्पन्न को एक ऐसे रूप में खोजने के मुख्य मामलों की "धोखा शीट" है जो उपयोग के लिए समझ में आता है, इसके आगे प्रत्येक मामले के लिए स्पष्टीकरण हैं।

सरल कार्यों के व्युत्पन्न

1. किसी संख्या का अवकलज शून्य होता है
с´ = 0
उदाहरण:
5' = 0

व्याख्या:
व्युत्पन्न उस दर को दर्शाता है जिस पर तर्क बदलने पर फ़ंक्शन का मान बदलता है। चूँकि संख्या किसी भी स्थिति में किसी भी तरह से नहीं बदलती है, इसके परिवर्तन की दर हमेशा शून्य होती है।

2. एक चर का व्युत्पन्नएक के बराबर
एक्स' = 1

व्याख्या:
तर्क (x) के प्रत्येक वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन का मान (गणना परिणाम) उसी राशि से बढ़ता है। इस प्रकार, फलन y = x के मान के परिवर्तन की दर, तर्क के मान के परिवर्तन की दर के बिल्कुल बराबर है।

3. एक चर और एक कारक का व्युत्पन्न इस कारक के बराबर है
сx´ = с
उदाहरण:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
व्याख्या:
इस मामले में, हर बार फ़ंक्शन तर्क ( एक्स) इसका मान (y) बढ़ता है साथएक बार। इस प्रकार, तर्क के परिवर्तन की दर के संबंध में फ़ंक्शन के मूल्य के परिवर्तन की दर मूल्य के बिल्कुल बराबर है साथ.

जहां से यह इस प्रकार है
(सीएक्स + बी)" = सी
यानी अंतर रैखिक प्रकार्य y=kx+b सीधी रेखा (k) की ढलान के बराबर है।

4. एक चर के मॉड्यूलो व्युत्पन्नइस चर के भागफल और उसके मापांक के बराबर है
|x|"= एक्स / |एक्स| बशर्ते कि x 0
व्याख्या:
चूंकि चर का व्युत्पन्न (सूत्र 2 देखें) एक के बराबर है, मॉड्यूल का व्युत्पन्न केवल इस मायने में भिन्न होता है कि मूल बिंदु को पार करते समय फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का मान विपरीत में बदल जाता है (एक ग्राफ खींचने का प्रयास करें) फ़ंक्शन का y = |x| और स्वयं देखें। यह बिल्कुल मान है और x / |x| जब x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - एक। अर्थात्, चर x के ऋणात्मक मानों के साथ, तर्क में परिवर्तन में प्रत्येक वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन का मान ठीक उसी मान से घटता है, और सकारात्मक मानों के साथ, इसके विपरीत, यह बढ़ता है, लेकिन ठीक से एक ही मूल्य।

5. एक चर की शक्ति व्युत्पन्नइस शक्ति की संख्या और घात में चर के गुणनफल के बराबर है, जो एक से कम हो जाता है
(एक्स सी)"= सीएक्स सी-1, बशर्ते कि x c और cx c-1 परिभाषित हों और c 0
उदाहरण:
(एक्स 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
सूत्र याद करने के लिए:
चर "नीचे" के घातांक को गुणक के रूप में लें, और फिर घातांक को स्वयं एक से घटाएं। उदाहरण के लिए, x 2 के लिए - दो x से आगे थे, और फिर घटी हुई शक्ति (2-1 = 1) ने हमें केवल 2x दिया। एक्स 3 के लिए भी यही हुआ - हम ट्रिपल को कम करते हैं, इसे एक से कम करते हैं, और क्यूब के बजाय हमारे पास एक वर्ग होता है, यानी 3x 2 । थोड़ा "अवैज्ञानिक", लेकिन याद रखना बहुत आसान है।

6.भिन्न व्युत्पन्न 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
उदाहरण:
चूँकि भिन्न को तक बढ़ाने के रूप में दर्शाया जा सकता है नकारात्मक डिग्री
(1/x)" = (x -1)" , तो आप व्युत्पन्न तालिका के नियम 5 से सूत्र लागू कर सकते हैं
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. भिन्न व्युत्पन्न मनमानी डिग्री के चर के साथहर में
(1/x ग)" = - सी / एक्स सी+1
उदाहरण:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. मूल व्युत्पन्न(के अंतर्गत चर का व्युत्पन्न वर्गमूल)
(√x)" = 1 / (2√x)या 1/2 x -1/2
उदाहरण:
(√x)" = (x 1/2)" ताकि आप नियम 5 . से सूत्र लागू कर सकें
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. एक मनमाना डिग्री की जड़ के तहत एक चर का व्युत्पन्न
(एन एक्स)" = 1 / (एन एन √ एक्स एन -1)

दिनांक: 05/10/2015

व्युत्पन्न कैसे खोजें?

विभेदन नियम।

किसी भी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, आपको केवल तीन अवधारणाओं में महारत हासिल करने की आवश्यकता है:

2. विभेदीकरण के नियम।

3. व्युत्पन्न जटिल कार्य.

यह उस क्रम में है। यह एक संकेत है।)

बेशक, सामान्य रूप से व्युत्पन्न के बारे में एक विचार रखना अच्छा होगा)। व्युत्पन्न क्या है और डेरिवेटिव की तालिका के साथ कैसे काम करना है - यह पिछले पाठ में उपलब्ध है। यहां हम भेदभाव के नियमों से निपटेंगे।

विभेदीकरण एक व्युत्पन्न खोजने की क्रिया है। इस शब्द के पीछे और कुछ नहीं है। वे। भाव "एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें"तथा "अंतर समारोह"- यह बिल्कुल वैसा है।

अभिव्यक्ति "भेदभाव के नियम"व्युत्पन्न खोजने को संदर्भित करता है अंकगणितीय संचालन से।यह समझ सिर में दलिया से बचने में बहुत मदद करती है।

आइए ध्यान केंद्रित करें और सभी अंकगणितीय संक्रियाओं को याद करें। उनमें से चार हैं)। जोड़ (योग), घटाव (अंतर), गुणा (उत्पाद), और भाग (भागफल)। यहाँ वे हैं, भेदभाव के नियम:

प्लेट दिखाता है पांचनियम चार अंकगणितीय आपरेशनस. मैंने गलत गणना नहीं की।) यह सिर्फ नियम 4 नियम 3 का एक प्रारंभिक परिणाम है। लेकिन यह इतना लोकप्रिय है कि इसे एक स्वतंत्र सूत्र के रूप में लिखना (और याद रखना!) समझ में आता है।

नोटेशन के तहत यूतथा वीकुछ (बिल्कुल कोई!) कार्य निहित हैं यू (एक्स)तथा वी (एक्स)।

आइए कुछ उदाहरण देखें। सबसे पहले, सबसे सरल।

फलन y=sinx - x 2 . का अवकलज ज्ञात कीजिए

हमारे पास है अंतरदो प्राथमिक कार्य। हम नियम 2 लागू करते हैं। हम मान लेंगे कि sinx एक फलन है यू, और x 2 एक फलन है वीहमें लिखने का पूरा अधिकार है:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

पहले से ही बेहतर है, है ना?) यह ज्या के व्युत्पन्न और x के वर्ग को खोजने के लिए बनी हुई है। इसके लिए एक व्युत्पन्न तालिका है। हम केवल उन कार्यों के लिए तालिका में देखते हैं जिनकी हमें आवश्यकता है ( sinxतथा एक्स 2), उनके डेरिवेटिव को देखें और उत्तर लिखें:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

यही सब है इसके लिए। योग के विभेदन का नियम 1 ठीक उसी तरह काम करता है।

क्या होगा यदि हमारे पास कई शर्तें हैं? यह ठीक है।) हम फ़ंक्शन को शब्दों में तोड़ते हैं और प्रत्येक पद के व्युत्पन्न की तलाश करते हैं, भले ही दूसरे पद कुछ भी हों। उदाहरण के लिए:

फलन y=sinx - x 2 +cosx - x +3 . का अवकलज ज्ञात कीजिए

लिखने के लिए स्वतंत्र महसूस करें:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

पाठ के अंत में मैं अंतर करते हुए जीवन को आसान बनाने के टिप्स दूंगा।)

व्यावहारिक सुझाव:

1. विभेदन से पहले, हम यह देखना चाहते हैं कि क्या मूल कार्य को सरल बनाना संभव है।

2. भ्रमित उदाहरणों में, हम सभी कोष्ठक और स्ट्रोक के साथ समाधान को विस्तार से चित्रित करते हैं।

3. हर में एक स्थिर संख्या के साथ भिन्नों को अलग करते समय, हम विभाजन को गुणा में बदल देते हैं और नियम 4 का उपयोग करते हैं।

परिभाषा।मान लें कि फ़ंक्शन \(y = f(x) \) को कुछ अंतराल में परिभाषित किया जाता है जिसमें बिंदु \(x_0 \) अंदर होता है। आइए तर्क में वृद्धि \(\Delta x \) करें ताकि इस अंतराल को न छोड़ें। फ़ंक्शन की संगत वृद्धि खोजें \(\Delta y \) (बिंदु \(x_0 \) से बिंदु \(x_0 + \Delta x \) तक जाते समय) और संबंध लिखें \(\frac(\Delta y) ) (\ डेल्टा एक्स) \)। यदि इस संबंध की सीमा \(\Delta x \rightarrow 0 \) पर है, तो संकेतित सीमा कहलाती है व्युत्पन्न कार्य\(y=f(x) \) बिंदु \(x_0 \) पर और \(f"(x_0) \) को निरूपित करें।

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

प्रतीक y अक्सर व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए प्रयोग किया जाता है। ध्यान दें कि y" = f(x) एक नया फ़ंक्शन है, लेकिन स्वाभाविक रूप से फ़ंक्शन y = f(x) से जुड़ा हुआ है, जो सभी बिंदुओं x पर परिभाषित है जहां उपरोक्त सीमा मौजूद है। इस फ़ंक्शन को इस तरह कहा जाता है: फलन y = f(x) का अवकलज.

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थनिम्नलिखित से मिलकर बनता है। यदि एक स्पर्शरेखा जो y अक्ष के समानांतर नहीं है, को फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ़ में एब्सिसा x \u003d a के साथ एक बिंदु पर खींचा जा सकता है, तो f (a) स्पर्शरेखा के ढलान को व्यक्त करता है:
\(के = एफ"(ए)\)

चूँकि \(k = tg(a) \), समानता \(f"(a) = tg(a) \) सत्य है।

और अब हम व्युत्पन्न की परिभाषा की व्याख्या सन्निकट समानता के रूप में करते हैं। मान लें कि फलन \(y = f(x) \) का एक विशेष बिंदु \(x \) पर एक अवकलज है:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
इसका मतलब है कि बिंदु x के पास, लगभग समानता \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), यानी \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \डेलटैक्स\)। प्राप्त अनुमानित समानता का सार्थक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन की वृद्धि तर्क की वृद्धि के लिए "लगभग आनुपातिक" है, और आनुपातिकता का गुणांक व्युत्पन्न का मान है दिया गया बिंदुएक्स। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन \(y = x^2 \) के लिए अनुमानित समानता \(\Delta y \लगभग 2x \cdot \Delta x \) मान्य है। यदि हम व्युत्पन्न की परिभाषा का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करते हैं, तो हम पाएंगे कि इसमें इसे खोजने के लिए एक एल्गोरिथम शामिल है।

आइए इसे तैयार करें।

फ़ंक्शन y \u003d f (x) का व्युत्पन्न कैसे खोजें?

1. मान स्थिर करें \(x \), \(f(x) \) खोजें
2. वृद्धि \(x \) तर्क \(\Delta x \), एक नए बिंदु \(x+ \Delta x \) पर जाएं, \(f(x+ \Delta x) \) खोजें
3. फलन वृद्धि ज्ञात कीजिए: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. संबंध लिखें \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ की गणना करें
यह सीमा x पर फलन का अवकलज है।

यदि फलन y = f(x) का व्युत्पन्न बिंदु x पर है, तो इसे बिंदु x पर अवकलनीय कहा जाता है। फ़ंक्शन y \u003d f (x) के व्युत्पन्न को खोजने की प्रक्रिया को कहा जाता है भेदभावफलन y = f(x)।

आइए हम निम्नलिखित प्रश्न पर चर्चा करें: एक बिंदु पर एक फलन की निरंतरता और भिन्नता कैसे संबंधित हैं?

मान लीजिए फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है। फिर बिंदु M (x; f (x)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है और, याद रखें, स्पर्शरेखा का ढलान f "(x) के बराबर है। ऐसा ग्राफ "टूट" नहीं सकता है बिंदु M, अर्थात् फलन x पर सतत होना चाहिए।

यह "उंगलियों पर" तर्क कर रहा था। आइए अधिक कठोर तर्क प्रस्तुत करें। यदि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है, तो सन्निकट समानता \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) शून्य है, फिर \(\Delta y \ ) भी शून्य हो जाएगा, और यह एक बिंदु पर फ़ंक्शन की निरंतरता के लिए शर्त है।

इसलिए, यदि कोई फलन बिंदु x पर अवकलनीय है, तो वह उस बिंदु पर भी सतत होता है.

इसका उलट सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए: फ़ंक्शन y = |x| हर जगह निरंतर है, विशेष रूप से बिंदु x = 0 पर, लेकिन "संयुक्त बिंदु" (0; 0) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा खींचना असंभव है, तो इस बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है।

एक और उदाहरण। फ़ंक्शन \(y=\sqrt(x) \) बिंदु x = 0 सहित संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर है। और फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा बिंदु x = 0 सहित किसी भी बिंदु पर मौजूद है। । लेकिन इस बिंदु पर स्पर्शरेखा y- अक्ष के साथ मेल खाती है, अर्थात यह भुज अक्ष के लंबवत है, इसके समीकरण का रूप x \u003d 0 है। ढलानऐसी कोई रेखा नहीं है, जिसका अर्थ है कि \(f"(0) \) या तो मौजूद नहीं है

इस प्रकार, हम एक फलन के एक नए गुण - अवकलनीयता से परिचित हुए। आप कैसे बता सकते हैं कि कोई फ़ंक्शन किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से भिन्न है या नहीं?

उत्तर वास्तव में ऊपर दिया गया है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है जो x-अक्ष के लंबवत नहीं है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन भिन्न होता है। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है या यह x-अक्ष के लंबवत है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन अवकलनीय नहीं है।

विभेदन नियम

अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव. इस ऑपरेशन को करते समय, आपको अक्सर भागफल, योग, कार्यों के उत्पादों के साथ-साथ "फ़ंक्शन ऑफ़ फ़ंक्शंस", यानी जटिल फ़ंक्शंस के साथ काम करना पड़ता है। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम इस कार्य को सुविधाजनक बनाने वाले विभेदन नियम प्राप्त कर सकते हैं। यदि सी एक स्थिर संख्या है और f=f(x), g=g(x) कुछ अलग-अलग कार्य हैं, तो निम्नलिखित सत्य हैं भेदभाव नियम:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) "= \frac(f"g-fg")(g^2) $$$$ \left(\frac) (C)(g) \right) "= -\frac(Cg")(g^2) $$ कंपाउंड फंक्शन डेरिवेटिव:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

कुछ कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) "= a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \बाएं(ई^x \दाएं) " = ई^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) "= \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) "= \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

इस पाठ में हम सीखेंगे कि विभेदीकरण के सूत्रों और नियमों को कैसे लागू किया जाता है।

उदाहरण। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें।

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9। नियम लागू करना मैं, सूत्र 4, 2 और 1. हम पाते हैं:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1।

2. वाई=3x6 -2x+5. हम समान सूत्रों और सूत्रों का उपयोग करके समान रूप से हल करते हैं 3.

y'=3∙6x 5 -2=18x 5 -2।

नियम लागू करना मैं, सूत्र 3, 5 तथा 6 तथा 1.

नियम लागू करना चतुर्थ, सूत्र 5 तथा 1 .

पांचवें उदाहरण में, नियम के अनुसार मैंयोग का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग के बराबर है, और हमने अभी पहले पद का व्युत्पन्न पाया है (उदाहरण 4 ), इसलिए, हम व्युत्पन्न पाएंगे 2तथा 3निबंधन और 1st . के लिएशब्द, हम तुरंत परिणाम लिख सकते हैं।

फर्क 2तथा 3सूत्र के अनुसार शर्तें 4 . ऐसा करने के लिए, हम हर में तीसरी और चौथी डिग्री की जड़ों को नकारात्मक घातांक वाली शक्तियों में बदलते हैं, और फिर, के अनुसार 4 सूत्र, हम शक्तियों के व्युत्पन्न पाते हैं।

इस उदाहरण और परिणाम को देखें। क्या आपने पैटर्न पकड़ा? अच्छा। इसका मतलब है कि हमारे पास एक नया फॉर्मूला है और इसे हमारी डेरिवेटिव टेबल में जोड़ सकते हैं।

आइए छठे उदाहरण को हल करें और एक और सूत्र प्राप्त करें।

हम नियम का उपयोग करते हैं चतुर्थऔर सूत्र 4 . हम परिणामी अंशों को कम करते हैं।

हम इस फ़ंक्शन और इसके व्युत्पन्न को देखते हैं। आप, निश्चित रूप से, पैटर्न को समझ गए हैं और सूत्र का नाम देने के लिए तैयार हैं:

नए सूत्र सीखना!

उदाहरण।

1. तर्क वृद्धि और फ़ंक्शन वृद्धि खोजें y= एक्स 2यदि तर्क का प्रारंभिक मान था 4 , और नया 4,01 .

समाधान।

नया तर्क मान एक्स \u003d एक्स 0 + x. डेटा को प्रतिस्थापित करें: 4.01=4+Δx, इसलिए तर्क की वृद्धि x=4.01-4=0.01। किसी फ़ंक्शन की वृद्धि, परिभाषा के अनुसार, फ़ंक्शन के नए और पिछले मानों के बीच के अंतर के बराबर होती है, अर्थात। y \u003d f (x 0 + x) - f (x 0)। चूंकि हमारे पास एक फ़ंक्शन है वाई = x2, फिर у\u003d (x 0 + x) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · x+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

उत्तर: तर्क वृद्धि x=0.01; समारोह वृद्धि у=0,0801.

फ़ंक्शन वृद्धि को किसी अन्य तरीके से खोजना संभव था: y\u003d y (x 0 + x) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801।

2. फ़ंक्शन ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण का पता लगाएं वाई = एफ (एक्स)बिंदु पर एक्स 0, यदि च "(एक्स 0) \u003d 1.

समाधान।

संपर्क के बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्य एक्स 0और स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा का मान है ( ज्यामितीय अर्थव्युत्पन्न)। हमारे पास है: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °,इसलिये टीजी45°=1.

उत्तर: इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक कोण बनाती है, बराबर 45°.

3. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र प्राप्त करें वाई = एक्सएन.

भेदभावकिसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने का कार्य है।

डेरिवेटिव ढूंढते समय, व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर व्युत्पन्न सूत्रों का उपयोग किया जाता है, उसी तरह जैसे हमने व्युत्पन्न डिग्री के लिए सूत्र प्राप्त किया था: (एक्स एन)" = एनएक्स एन -1.

उसके सूत्र इस प्रकार हैं।

व्युत्पन्न तालिकामौखिक योगों का उच्चारण करके याद रखना आसान होगा:

1. एक स्थिर मान का व्युत्पन्न शून्य है।

2. एक्स स्ट्रोक एक के बराबर है।

3. अचर गुणनखंड को व्युत्पन्न के चिह्न से निकाला जा सकता है।

4. एक डिग्री का व्युत्पन्न एक ही आधार के साथ इस डिग्री के घातांक के गुणनफल के बराबर होता है, लेकिन घातांक एक कम होता है।

5. जड़ का व्युत्पन्न एक समान मूल के दो से विभाजित एक के बराबर होता है।

6. एकता का अवकलज x से भाग देने पर माइनस एक को x वर्ग से विभाजित किया जाता है।

7. ज्या का व्युत्पन्न कोज्या के बराबर होता है।

8. कोसाइन का व्युत्पन्न ऋण साइन के बराबर है।

9. स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न कोज्या के वर्ग द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है।

10. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न शून्य से एक है जिसे ज्या के वर्ग से विभाजित किया जाता है।

हम पढ़ाते हैं भेदभाव नियम.

1. बीजीय योग का व्युत्पन्न व्युत्पन्न पदों के बीजीय योग के बराबर होता है।

2. उत्पाद का व्युत्पन्न दूसरे कारक के पहले कारक के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर होता है और दूसरे के व्युत्पन्न द्वारा पहले कारक के उत्पाद के बराबर होता है।

3. "y" का व्युत्पन्न "ve" से विभाजित एक अंश के बराबर है, जिसके अंश में "y एक स्ट्रोक है जिसे "ve" माइनस "y, एक स्ट्रोक से गुणा" से गुणा किया जाता है, और हर में - "ve चुकता" "

4. विशेष मामलासूत्रों 3.

आइए एक साथ सीखें!

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