रैखिक समीकरणों की प्रणाली क्रैमर का नियम। क्रैमर का नियम. व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि

मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों की प्रणाली में उतने ही समीकरण होते हैं जितनी स्वतंत्र चर की संख्या होती है, अर्थात। रूप है

ऐसी प्रणालियाँ रेखीय समीकरणवर्ग कहलाते हैं. सिस्टम के स्वतंत्र चर (1.5) के गुणांकों से बने निर्धारक को सिस्टम का मुख्य निर्धारक कहा जाता है। हम इसे ग्रीक अक्षर D से निरूपित करेंगे। इस प्रकार,

. (1.6)

यदि मुख्य निर्धारक में एक मनमाना ( जेवें) कॉलम, इसे सिस्टम के मुक्त सदस्यों (1.5) के कॉलम से बदलें, फिर हम और अधिक प्राप्त कर सकते हैं एनसहायक निर्धारक:

(जे = 1, 2, …, एन). (1.7)

क्रैमर का नियमरैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणालियों को हल करना इस प्रकार है। यदि सिस्टम (1.5) का मुख्य निर्धारक डी गैर-शून्य है, तो सिस्टम में एक अद्वितीय समाधान है, जिसे सूत्रों द्वारा पाया जा सकता है:

(1.8)

उदाहरण 1.5.क्रैमर विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें

.

आइए हम सिस्टम के मुख्य निर्धारक की गणना करें:

D¹0 के बाद से, सिस्टम में एक अद्वितीय समाधान है जिसे सूत्रों (1.8) का उपयोग करके पाया जा सकता है:

इस प्रकार,

मैट्रिक्स क्रियाएँ

1. किसी मैट्रिक्स का किसी संख्या से गुणा करना।किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने की प्रक्रिया को इस प्रकार परिभाषित किया गया है।

2. किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको उसके सभी तत्वों को इस संख्या से गुणा करना होगा। वह है

. (1.9)

उदाहरण 1.6. .

मैट्रिक्स जोड़.

यह ऑपरेशन केवल समान क्रम के मैट्रिक्स के लिए पेश किया गया है।

दो आव्यूहों को जोड़ने के लिए, एक आव्यूह के तत्वों में दूसरे आव्यूह के संगत तत्वों को जोड़ना आवश्यक है:

(1.10)
मैट्रिक्स जोड़ के संचालन में साहचर्यता और क्रमविनिमेयता के गुण होते हैं।

उदाहरण 1.7. .

मैट्रिक्स गुणन.

यदि मैट्रिक्स कॉलम की संख्या एमैट्रिक्स पंक्तियों की संख्या से मेल खाता है में, तो ऐसे आव्यूहों के लिए गुणन की संक्रिया शुरू की जाती है:

2

इस प्रकार, मैट्रिक्स को गुणा करते समय ए DIMENSIONS एम´ एनमैट्रिक्स के लिए में DIMENSIONS एन´ कहमें एक मैट्रिक्स मिलता है साथ DIMENSIONS एम´ क. इस मामले में, मैट्रिक्स के तत्व साथनिम्नलिखित सूत्रों के अनुसार गणना की जाती है:

समस्या 1.8.यदि संभव हो तो आव्यूहों का गुणनफल ज्ञात कीजिए अबऔर बी ० ए:

समाधान। 1) काम ढूँढना अब, आपको मैट्रिक्स पंक्तियों की आवश्यकता है एमैट्रिक्स कॉलम से गुणा करें बी:

2) कलाकृति बी ० एमौजूद नहीं है, क्योंकि मैट्रिक्स के स्तंभों की संख्या बीमैट्रिक्स पंक्तियों की संख्या से मेल नहीं खाता ए.

उलटा मैट्रिक्स. रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को मैट्रिक्स तरीके से हल करना

आव्यूह ए- 1 को वर्ग मैट्रिक्स का व्युत्क्रम कहा जाता है एयदि समानता कायम रहे:

कहाँ के माध्यम से मैंमैट्रिक्स के समान क्रम के पहचान मैट्रिक्स को दर्शाता है ए:

.

एक वर्ग मैट्रिक्स में व्युत्क्रम होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसका सारणिक अशून्य हो। व्युत्क्रम मैट्रिक्स सूत्र द्वारा पाया जाता है:

, (1.13)

कहाँ ए आईजे- तत्वों में बीजगणितीय जोड़ ऐजमैट्रिक्स ए(ध्यान दें कि मैट्रिक्स की पंक्तियों में बीजीय जोड़ एव्युत्क्रम मैट्रिक्स में संगत स्तंभों के रूप में व्यवस्थित किए गए हैं)।

उदाहरण 1.9.व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें ए- 1 से मैट्रिक्स

.

हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स को सूत्र (1.13) द्वारा पाते हैं, जो मामले के लिए है एन= 3 जैसा दिखता है:

.

आइए इसका पता लगाएं ए = | ए| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. निर्धारक के बाद से मूल मैट्रिक्सशून्य से भिन्न है, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है।

1) बीजगणितीय योग ज्ञात कीजिए ए आईजे:

खोजने की सुविधा के लिए उलटा मैट्रिक्स, हमने मूल मैट्रिक्स की पंक्तियों में बीजीय जोड़ को संबंधित कॉलम में रखा है।

प्राप्त बीजगणितीय योगों से, हम एक नया मैट्रिक्स बनाते हैं और इसे निर्धारक डेट द्वारा विभाजित करते हैं ए. इस प्रकार, हमें व्युत्क्रम मैट्रिक्स मिलेगा:

एक गैर-शून्य प्रमुख निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणालियों को व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके हल किया जा सकता है। इसके लिए सिस्टम (1.5) को मैट्रिक्स रूप में लिखा गया है:

कहाँ

बायीं ओर समानता के दोनों पक्षों (1.14) को गुणा करने पर ए- 1, हमें सिस्टम का समाधान मिलता है:

, कहाँ

इस प्रकार, एक वर्ग प्रणाली का समाधान खोजने के लिए, आपको सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूंढना होगा और इसे दाईं ओर मुक्त पदों के कॉलम मैट्रिक्स से गुणा करना होगा।

समस्या 1.10.रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करना।

समाधान।हम सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं: ,

कहाँ सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स है, अज्ञात का स्तंभ है, और मुक्त सदस्यों का स्तंभ है। चूँकि व्यवस्था का मुख्य निर्धारक है , फिर सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स एएक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है ए-1 . व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए ए-1, मैट्रिक्स के सभी तत्वों के लिए बीजगणितीय पूरकों की गणना करें ए:

प्राप्त संख्याओं से हम एक मैट्रिक्स बनाते हैं (इसके अलावा, मैट्रिक्स की पंक्तियों में बीजीय जोड़ एउपयुक्त कॉलम में लिखें) और इसे सारणिक डी से विभाजित करें। इस प्रकार, हमने व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाया है:

हम सिस्टम का समाधान सूत्र (1.15) द्वारा पाते हैं:

इस प्रकार,

साधारण जॉर्डन अपवादों द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना

आइए रैखिक समीकरणों की एक मनमानी (जरूरी नहीं कि वर्गाकार) प्रणाली दी जाए:

(1.16)

सिस्टम का समाधान ढूंढना आवश्यक है, अर्थात। चरों का ऐसा समूह जो सिस्टम की सभी समानताओं को संतुष्ट करता है (1.16)। सामान्य स्थिति में, सिस्टम (1.16) में न केवल एक समाधान हो सकता है, बल्कि अनंत संख्या में समाधान भी हो सकते हैं। इसका कोई समाधान भी नहीं हो सकता है।

ऐसी समस्याओं को हल करते समय, स्कूल पाठ्यक्रम से ज्ञात अज्ञात को खत्म करने की विधि का उपयोग किया जाता है, जिसे सामान्य जॉर्डन उन्मूलन की विधि भी कहा जाता है। इस पद्धति का सार इस तथ्य में निहित है कि सिस्टम के समीकरणों (1.16) में से एक चर को अन्य चर के रूप में व्यक्त किया जाता है। फिर इस चर को सिस्टम के अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है। परिणाम एक ऐसी प्रणाली है जिसमें मूल प्रणाली की तुलना में एक समीकरण और एक कम चर होता है। जिस समीकरण से चर व्यक्त किया गया था वह याद रहता है।

यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक सिस्टम में एक आखिरी समीकरण शेष न रह जाए। उदाहरण के लिए, अज्ञात को ख़त्म करने की प्रक्रिया में, कुछ समीकरण वास्तविक पहचान में बदल सकते हैं। ऐसे समीकरणों को सिस्टम से बाहर रखा गया है, क्योंकि वे चर के किसी भी मान के लिए मान्य हैं और इसलिए, सिस्टम के समाधान को प्रभावित नहीं करते हैं। यदि, अज्ञात को खत्म करने की प्रक्रिया में, कम से कम एक समीकरण एक समानता बन जाता है जिसे चर के किसी भी मान के लिए संतुष्ट नहीं किया जा सकता है (उदाहरण के लिए,), तो हम निष्कर्ष निकालते हैं कि सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

यदि हल करने के क्रम में असंगत समीकरण उत्पन्न नहीं होते हैं, तो उसमें शेष बचे चरों में से एक अंतिम समीकरण से पाया जाता है। यदि अंतिम समीकरण में केवल एक चर बचता है, तो इसे एक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है। यदि अन्य चर अंतिम समीकरण में रहते हैं, तो उन्हें पैरामीटर माना जाता है, और उनके माध्यम से व्यक्त चर इन मापदंडों का एक कार्य होगा। फिर तथाकथित उलटा स्ट्रोक". पाए गए चर को अंतिम याद किए गए समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है और दूसरा चर पाया जाता है। फिर पाए गए दो चर को अंतिम याद किए गए समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है और तीसरा चर पाया जाता है, और इसी तरह, पहले याद किए गए समीकरण तक।

परिणामस्वरूप, हमें सिस्टम का समाधान मिलता है। यह समाधान एकमात्र होगा यदि पाए गए चर संख्याएँ हैं। यदि पहले पाया गया चर, और फिर अन्य सभी पैरामीटर पर निर्भर करते हैं, तो सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान होंगे (पैरामीटर का प्रत्येक सेट एक नए समाधान से मेल खाता है)। वे सूत्र जो मापदंडों के एक विशेष सेट के आधार पर सिस्टम का समाधान खोजने की अनुमति देते हैं, सिस्टम का सामान्य समाधान कहलाते हैं।

उदाहरण 1.11.

एक्स

पहला समीकरण याद करने के बाद और दूसरे और तीसरे समीकरण में समान पद लाते हुए, हम प्रणाली पर पहुंचते हैं:

अभिव्यक्त करना यदूसरे समीकरण से और इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

दूसरे समीकरण को याद रखें, और पहले से हम पाते हैं जेड:

उलटी चाल चलते हुए हम क्रमिक रूप से पाते हैं यऔर जेड. ऐसा करने के लिए, हम सबसे पहले अंतिम याद किए गए समीकरण में स्थानापन्न करते हैं, जिससे हम पाते हैं य:

.

फिर हम पहले याद किए गए समीकरण में 'और' को प्रतिस्थापित करते हैं जहां से हम पाते हैं एक्स:

समस्या 1.12.अज्ञात को हटाकर रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

. (1.17)

समाधान।आइए पहले समीकरण से चर को व्यक्त करें एक्सऔर इसे दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

.

पहला समीकरण याद रखें

इस प्रणाली में, पहला और दूसरा समीकरण एक दूसरे का खंडन करते हैं। वास्तव में, व्यक्त करना य , हम पाते हैं कि 14 = 17। यह समानता चर के किसी भी मान के लिए संतुष्ट नहीं है एक्स, य, और जेड. नतीजतन, सिस्टम (1.17) असंगत है, यानी, कोई समाधान नहीं है.

पाठकों को स्वतंत्र रूप से सत्यापित करने के लिए आमंत्रित किया जाता है कि मूल प्रणाली का मुख्य निर्धारक (1.17) शून्य के बराबर है।

एक ऐसी प्रणाली पर विचार करें जो प्रणाली (1.17) से केवल एक मुक्त पद से भिन्न है।

समस्या 1.13.अज्ञात को हटाकर रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

. (1.18)

समाधान।पहले की तरह, हम चर को पहले समीकरण से व्यक्त करते हैं एक्सऔर इसे दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

.

पहला समीकरण याद रखें और हम दूसरे और तीसरे समीकरण में समान पद प्रस्तुत करते हैं। हम सिस्टम पर पहुंचते हैं:

जताते यपहले समीकरण से और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करना , हमें पहचान 14 = 14 मिलती है, जो सिस्टम के समाधान को प्रभावित नहीं करती है, और इसलिए, इसे सिस्टम से बाहर रखा जा सकता है।

अंतिम स्मरणीय समानता में, चर जेडएक पैरामीटर के रूप में माना जाएगा. हमें यकीन है । तब

विकल्प यऔर जेडपहली याद की गई समानता में और खोजें एक्स:

.

इस प्रकार, सिस्टम (1.18) में समाधानों का एक अनंत सेट है, और पैरामीटर का एक मनमाना मान चुनकर कोई भी समाधान सूत्र (1.19) से पाया जा सकता है टी:

(1.19)
इस प्रकार, सिस्टम के समाधान, उदाहरण के लिए, चर के निम्नलिखित सेट हैं (1; 2; 0), (2; 26; 14), आदि। सूत्र (1.19) सिस्टम के सामान्य (किसी भी) समाधान को व्यक्त करते हैं (1.18) ).

उस स्थिति में जब मूल प्रणाली (1.16) में पर्याप्त हो एक बड़ी संख्या कीसमीकरण और अज्ञात, सामान्य जॉर्डनियन उन्मूलन की निर्दिष्ट विधि बोझिल लगती है। हालाँकि, ऐसा नहीं है. यह एक चरण में सिस्टम के गुणांकों की पुनर्गणना के लिए एक एल्गोरिदम प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है सामान्य रूप से देखेंऔर विशेष जॉर्डन तालिकाओं के रूप में समस्या के समाधान को औपचारिक रूप दें।

आइए रैखिक रूपों (समीकरणों) की एक प्रणाली दी जाए:

, (1.20)
कहाँ एक्सजे- स्वतंत्र (वांछित) चर, ऐज- स्थिर गुणांक
(मैं = 1, 2,…, एम; जे = 1, 2,…, एन). सिस्टम के सही हिस्से यी (मैं = 1, 2,…, एम) चर (आश्रित) और स्थिरांक दोनों हो सकते हैं। अज्ञात को ख़त्म करके इस प्रणाली का समाधान ढूंढना आवश्यक है।

आइए निम्नलिखित ऑपरेशन पर विचार करें, जिसे इसके बाद "सामान्य जॉर्डन अपवादों का एक चरण" कहा जाएगा। एक मनमाना से ( आरवें) समानता, हम एक मनमाना चर व्यक्त करते हैं ( एक्स एस) और अन्य सभी समानताओं में स्थानापन्न करें। निःसंदेह, यह तभी संभव है जब एक रु¹ 0. गुणांक एक रुसमाधानकर्ता (कभी-कभी मार्गदर्शक या मुख्य) तत्व कहा जाता है।

हमें निम्नलिखित प्रणाली मिलेगी:

. (1.21)

से एससिस्टम की वें समानता (1.21), हम बाद में वेरिएबल पाएंगे एक्स एस(अन्य चर पाए जाने के बाद)। एसवीं पंक्ति को याद रखा जाता है और बाद में सिस्टम से बाहर कर दिया जाता है। शेष प्रणाली में मूल प्रणाली की तुलना में एक समीकरण और एक कम स्वतंत्र चर होगा।

आइए हम मूल प्रणाली (1.20) के गुणांकों के संदर्भ में परिणामी प्रणाली (1.21) के गुणांकों की गणना करें। चलो साथ - साथ शुरू करते हैं आरवें समीकरण, जो, चर व्यक्त करने के बाद एक्स एसबाकी वेरिएबल इस तरह दिखेंगे:

इस प्रकार, नए गुणांक आरवें समीकरण की गणना निम्नलिखित सूत्रों द्वारा की जाती है:

(1.23)
आइए अब नए गुणांकों की गणना करें बी आईजे(मैं¹ आर) एक मनमाना समीकरण का। ऐसा करने के लिए, हम (1.22) में व्यक्त चर को प्रतिस्थापित करते हैं एक्स एसवी मैंसिस्टम का वां समीकरण (1.20):

समान पद लाने के बाद, हमें मिलता है:

(1.24)
समानता (1.24) से हमें सूत्र प्राप्त होते हैं जिनके द्वारा सिस्टम के शेष गुणांक (1.21) की गणना की जाती है (अपवाद के साथ) आरवें समीकरण):

(1.25)
सामान्य जॉर्डनियन विलोपन की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का परिवर्तन तालिकाओं (मैट्रिसेस) के रूप में प्रस्तुत किया गया है। इन तालिकाओं को "जॉर्डन तालिकाएँ" कहा जाता है।

इस प्रकार, समस्या (1.20) निम्नलिखित जॉर्डन तालिका से जुड़ी है:

तालिका 1.1

	एक्स 1	एक्स 2	…	एक्सजे	…	एक्स एस	…	एक्स एन
य 1 =	ए 11	ए 12		ए 1जे		ए 1एस		ए 1एन
…………………………………………………………………..
यी=	एक मैं 1	एक मैं 2		ऐज		एक है		एक में
…………………………………………………………………..
वाई आर=	एक आर 1	एक आर 2		एक आर.जे		एक रु		एक आर.एन
………………………………………………………………….
Y n=	पूर्वाह्न 1	पूर्वाह्न 2		एक एम.जे		एक एमएस		आम्न

जॉर्डन तालिका 1.1 में बायां शीर्ष स्तंभ है, जिसमें सिस्टम के दाहिने भाग (1.20) लिखे गए हैं, और शीर्ष शीर्ष रेखा, जिसमें स्वतंत्र चर लिखे गए हैं।

तालिका के शेष तत्व सिस्टम (1.20) के गुणांकों का मुख्य मैट्रिक्स बनाते हैं। यदि हम मैट्रिक्स को गुणा करते हैं एऊपरी हेडर पंक्ति के तत्वों से युक्त मैट्रिक्स में, फिर हमें बाएं हेडर कॉलम के तत्वों से युक्त मैट्रिक्स मिलता है। अर्थात्, संक्षेप में, जॉर्डन तालिका रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली लिखने का एक मैट्रिक्स रूप है:। इस मामले में, निम्नलिखित जॉर्डन तालिका सिस्टम (1.21) से मेल खाती है:

तालिका 1.2

	एक्स 1	एक्स 2	…	एक्सजे	…	वाई आर	…	एक्स एन
य 1 =	बी 11	बी 12		बी 1 जे		बी 1 एस		बी 1 एन
…………………………………………………………………..
य मैं =	बी मैं 1	बी मैं 2		बी आईजे		बी है		बी में
…………………………………………………………………..
एक्स एस =	बीआर 1	बीआर 2		बी आरजे		बीआरएस		बी आर.एन
………………………………………………………………….
य एन =	बी एम 1	बी एम 2		बीएमजे		बी एमएस		बीएमएन

अनुज्ञेय तत्व एक रु हम बोल्ड में हाइलाइट करेंगे. याद रखें कि जॉर्डन अपवादों के एक चरण को लागू करने के लिए, समाधान तत्व गैर-शून्य होना चाहिए। एक अनुज्ञेय तत्व वाली तालिका पंक्ति को अनुज्ञेय पंक्ति कहा जाता है। सक्षम तत्व वाले कॉलम को सक्षम कॉलम कहा जाता है। किसी दी गई तालिका से अगली तालिका में जाने पर, एक चर ( एक्स एस) तालिका की शीर्ष हेडर पंक्ति से बाएं हेडर कॉलम में ले जाया जाता है और, इसके विपरीत, सिस्टम के मुक्त सदस्यों में से एक ( वाई आर) को तालिका के बाएँ हेडर कॉलम से शीर्ष हेडर पंक्ति में ले जाया जाता है।

आइए हम जॉर्डन तालिका (1.1) से तालिका (1.2) तक जाने में गुणांकों की पुनर्गणना के लिए एल्गोरिदम का वर्णन करें, जो सूत्र (1.23) और (1.25) से अनुसरण करता है।

1. सक्षम तत्व को व्युत्क्रम संख्या से प्रतिस्थापित किया जाता है:

2. अनुज्ञेय रेखा के शेष तत्वों को अनुज्ञेय तत्व द्वारा विभाजित किया जाता है और चिह्न को विपरीत में बदल दिया जाता है:

3. सक्षम स्तंभ के शेष तत्वों को सक्षम तत्व में विभाजित किया गया है:

4. जो तत्व समाधान पंक्ति और समाधान कॉलम में शामिल नहीं हैं, उनकी पुनर्गणना सूत्रों के अनुसार की जाती है:

अंतिम सूत्र को याद रखना आसान है यदि आप ध्यान दें कि वे तत्व जो भिन्न बनाते हैं , चौराहे पर हैं मैं-ओह, और आर-वें पंक्तियाँ और जेवें और एस-वें कॉलम (पंक्ति को हल करना, कॉलम को हल करना और पंक्ति और स्तंभ जिसके चौराहे पर पुनर्गणना किया जाने वाला तत्व स्थित है)। अधिक सटीक रूप से, सूत्र को याद करते समय आप निम्नलिखित चार्ट का उपयोग कर सकते हैं:

-21 -26 -13 -37

जॉर्डनियन अपवादों का पहला चरण निष्पादित करते हुए, तालिका 1.3 का कोई भी तत्व कॉलम में स्थित है एक्स 1 ,…, एक्स 5 (सभी निर्दिष्ट तत्व शून्य के बराबर नहीं हैं)। आपको केवल अंतिम कॉलम में सक्षम तत्व का चयन नहीं करना चाहिए, क्योंकि स्वतंत्र चर खोजने की आवश्यकता है एक्स 1 ,…, एक्स 5 . उदाहरण के लिए, हम गुणांक चुनते हैं 1 एक चर के साथ एक्सतालिका 1.3 की तीसरी पंक्ति में 3 (सक्षम तत्व बोल्ड में दिखाया गया है)। तालिका 1.4 पर जाने पर, चर एक्सशीर्ष हेडर पंक्ति से 3 को बाएं हेडर कॉलम (तीसरी पंक्ति) के स्थिरांक 0 से बदल दिया जाता है। उसी समय, परिवर्तनशील एक्स 3 को शेष चरों के रूप में व्यक्त किया जाता है।

डोरी एक्स 3 (तालिका 1.4) को पहले से याद रखने पर, तालिका 1.4 से बाहर रखा जा सकता है। तालिका 1.4 में ऊपरी हेडर लाइन में शून्य वाला तीसरा कॉलम भी शामिल नहीं है। मुद्दा यह है कि इस कॉलम के गुणांकों की परवाह किए बिना बी मैं 3 प्रत्येक समीकरण के संगत सभी पद 0 बी मैं 3 सिस्टम शून्य होंगे. इसलिए, इन गुणांकों की गणना नहीं की जा सकती. एक चर को हटाना एक्स 3 और समीकरणों में से एक को याद करते हुए, हम तालिका 1.4 के अनुरूप एक प्रणाली पर पहुंचते हैं (रेखा काट दी गई है) एक्स 3). तालिका 1.4 में समाधान तत्व के रूप में चयन करना बी 14 = -5, तालिका 1.5 पर जाएँ। तालिका 1.5 में, हम पहली पंक्ति को याद रखते हैं और इसे चौथे कॉलम (शीर्ष पर शून्य के साथ) के साथ तालिका से बाहर कर देते हैं।

तालिका 1.5 तालिका 1.6

अंतिम तालिका 1.7 से हम पाते हैं: एक्स 1 = - 3 + 2एक्स 5 .

याद की गई पंक्तियों में पहले से पाए गए चर को क्रमिक रूप से प्रतिस्थापित करते हुए, हम शेष चर पाते हैं:

इस प्रकार, सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं। चर एक्स 5, आप मनमाना मान निर्दिष्ट कर सकते हैं। यह वेरिएबल एक पैरामीटर के रूप में कार्य करता है एक्स 5 = टी. हमने सिस्टम की अनुकूलता साबित की और इसका सामान्य समाधान पाया:

एक्स 1 = - 3 + 2टी

एक्स 2 = - 1 - 3टी

एक्स 3 = - 2 + 4टी . (1.27)
एक्स 4 = 4 + 5टी

एक्स 5 = टी

पैरामीटर दे रहा हूँ टी विभिन्न अर्थ, हमें मूल प्रणाली के लिए अनंत संख्या में समाधान मिलते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, सिस्टम का समाधान चर का निम्नलिखित सेट है (- 3; - 1; - 2; 4; 0)।

पहले भाग में, हमने कुछ सैद्धांतिक सामग्री, प्रतिस्थापन विधि, साथ ही सिस्टम समीकरणों के शब्द-दर-अवधि योग की विधि पर विचार किया। इस पृष्ठ के माध्यम से साइट पर आने वाले प्रत्येक व्यक्ति को मेरा सुझाव है कि आप पहला भाग पढ़ें। शायद, कुछ आगंतुकों को सामग्री बहुत सरल लगेगी, लेकिन रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के दौरान, मैंने समाधान के संबंध में कई महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ और निष्कर्ष निकाले गणित की समस्याओंआम तौर पर।

और अब हम क्रैमर नियम का विश्लेषण करेंगे, साथ ही व्युत्क्रम मैट्रिक्स (मैट्रिक्स विधि) का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान भी करेंगे। सभी सामग्रियों को सरलता से, विस्तार से और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया है, लगभग सभी पाठक उपरोक्त विधियों का उपयोग करके सिस्टम को हल करने का तरीका सीख सकेंगे।

हम पहले दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए क्रैमर के नियम पर विस्तार से विचार करते हैं। किसलिए? - आख़िरकार सबसे सरल प्रणालीस्कूल विधि द्वारा, शब्द जोड़ द्वारा हल किया जा सकता है!

तथ्य यह है कि भले ही कभी-कभी, लेकिन ऐसा कार्य होता है - क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना। दूसरे, एक सरल उदाहरण आपको यह समझने में मदद करेगा कि अधिक जटिल मामले के लिए क्रैमर के नियम का उपयोग कैसे करें - तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली।

इसके अलावा, दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ हैं, जिन्हें क्रैमर के नियम के अनुसार बिल्कुल हल करने की सलाह दी जाती है!

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

पहले चरण में, हम निर्धारक की गणना करते हैं, इसे कहा जाता है प्रणाली का मुख्य निर्धारक.

गॉस विधि.

यदि, तो सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है, और जड़ों को खोजने के लिए, हमें दो और निर्धारकों की गणना करनी होगी:
और

व्यवहार में, उपरोक्त निर्धारकों को भी निरूपित किया जा सकता है लैटिन अक्षर.

समीकरण के मूल सूत्रों द्वारा ज्ञात किये जाते हैं:
,

उदाहरण 7

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

समाधान: हम देखते हैं कि समीकरण के गुणांक काफी बड़े हैं, दाहिनी ओर हैं दशमलवअल्पविराम के साथ. गणित में व्यावहारिक कार्यों में अल्पविराम एक दुर्लभ अतिथि है; मैंने इस प्रणाली को एक अर्थमितीय समस्या से लिया है।

ऐसी व्यवस्था का समाधान कैसे करें? आप एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करने का प्रयास कर सकते हैं, लेकिन इस मामले में आपको निश्चित रूप से भयानक फैंसी अंश मिलेंगे, जिनके साथ काम करना बेहद असुविधाजनक है, और समाधान का डिज़ाइन बहुत ही भयानक लगेगा। आप दूसरे समीकरण को 6 से गुणा कर सकते हैं और पद दर पद घटा सकते हैं, लेकिन वही भिन्न यहां दिखाई देंगी।

क्या करें? ऐसे मामलों में, क्रैमर के सूत्र बचाव में आते हैं।

;

;

उत्तर: ,

दोनों जड़ों में अनंत पूँछें हैं और वे लगभग पाई जाती हैं, जो अर्थमिति समस्याओं के लिए काफी स्वीकार्य (और सामान्य भी) है।

यहां टिप्पणियों की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि कार्य तैयार फ़ार्मुलों के अनुसार हल किया गया है, हालाँकि, एक चेतावनी है। जब उपयोग करें यह विधि, अनिवार्यअसाइनमेंट का अंश निम्नलिखित अंश है: "तो सिस्टम के पास एक अनोखा समाधान है". अन्यथा, समीक्षक आपको क्रैमर प्रमेय का अनादर करने के लिए दंडित कर सकता है।

यह जांचना अतिश्योक्ति नहीं होगी कि कैलकुलेटर पर क्या करना सुविधाजनक है: हम सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर अनुमानित मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। परिणामस्वरूप, एक छोटी सी त्रुटि के साथ, दाईं ओर मौजूद संख्याएँ प्राप्त की जानी चाहिए।

उदाहरण 8

अपना उत्तर सामान्य रूप में व्यक्त करें अनुचित भिन्न. जाँच करें.

के लिए यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय(उदाहरण परिष्करणऔर पाठ के अंत में उत्तर दें)।

हम तीन अज्ञात वाले तीन समीकरणों की प्रणाली के लिए क्रैमर नियम पर विचार करते हैं:

हम सिस्टम का मुख्य निर्धारक पाते हैं:

यदि, तो सिस्टम में अनंत रूप से कई समाधान हैं या असंगत है (कोई समाधान नहीं है)। इस मामले में, क्रैमर का नियम मदद नहीं करेगा, आपको गॉस विधि का उपयोग करने की आवश्यकता है।

यदि, तो सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है, और जड़ों को खोजने के लिए, हमें तीन और निर्धारकों की गणना करनी होगी:
, ,

और अंत में, उत्तर की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, "तीन बटा तीन" मामला मूल रूप से "दो बटा दो" मामले से अलग नहीं है, मुक्त शब्दों का स्तंभ क्रमिक रूप से मुख्य निर्धारक के स्तंभों के साथ बाएं से दाएं "चलता" है।

उदाहरण 9

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

समाधान: आइए क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

, इसलिए सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।

उत्तर: .

दरअसल, यहां दोबारा टिप्पणी करने के लिए कुछ खास नहीं है, इस तथ्य को देखते हुए कि निर्णय तैयार फॉर्मूलों के अनुसार किया जाता है। लेकिन कुछ नोट हैं।

ऐसा होता है कि गणना के परिणामस्वरूप, "खराब" अपरिवर्तनीय अंश प्राप्त होते हैं, उदाहरण के लिए:।
मैं निम्नलिखित "उपचार" एल्गोरिदम की अनुशंसा करता हूं। यदि हाथ में कोई कंप्यूटर नहीं है, तो हम यह करते हैं:

1) गणना में गलती हो सकती है. जैसे ही आपका सामना किसी "खराब" शॉट से होता है, आपको तुरंत जांच करनी चाहिए कि क्या क्या शर्त सही ढंग से दोबारा लिखी गई है?. यदि स्थिति को त्रुटियों के बिना फिर से लिखा जाता है, तो आपको दूसरी पंक्ति (स्तंभ) में विस्तार का उपयोग करके निर्धारकों की पुनर्गणना करने की आवश्यकता है।

2) यदि जाँच के परिणामस्वरूप कोई त्रुटि नहीं पाई गई, तो सबसे अधिक संभावना है कि असाइनमेंट की स्थिति में कोई त्रुटि हुई हो। इस मामले में, शांति से और सावधानी से कार्य को अंत तक हल करें, और फिर जाँच करना सुनिश्चित करेंऔर निर्णय के बाद इसे एक साफ़ प्रतिलिपि पर तैयार करें। बेशक, भिन्नात्मक उत्तर की जाँच करना एक अप्रिय कार्य है, लेकिन यह शिक्षक के लिए एक निहत्था तर्क होगा, जो वास्तव में किसी भी बुरी चीज़ के लिए माइनस लगाना पसंद करता है। भिन्नों से कैसे निपटें, इसका विवरण उदाहरण 8 के उत्तर में दिया गया है।

यदि आपके पास कंप्यूटर है, तो इसे जांचने के लिए एक स्वचालित प्रोग्राम का उपयोग करें, जिसे पाठ की शुरुआत में ही मुफ्त में डाउनलोड किया जा सकता है। वैसे, प्रोग्राम का तुरंत उपयोग करना (समाधान शुरू करने से पहले भी) सबसे फायदेमंद है, आप तुरंत मध्यवर्ती चरण देखेंगे जिस पर आपने गलती की थी! वही कैलकुलेटर स्वचालित रूप से सिस्टम के समाधान की गणना करता है मैट्रिक्स विधि.

दूसरी टिप्पणी. समय-समय पर ऐसे सिस्टम होते हैं जिनके समीकरणों में कुछ चर गायब होते हैं, उदाहरण के लिए:

यहां पहले समीकरण में कोई चर नहीं है, दूसरे में कोई चर नहीं है। ऐसे मामलों में, मुख्य निर्धारक को सही ढंग से और सावधानीपूर्वक लिखना बहुत महत्वपूर्ण है:
- लुप्त चरों के स्थान पर शून्य लगा दिया जाता है।
वैसे, उस पंक्ति (स्तंभ) के अनुसार शून्य के साथ निर्धारकों को खोलना तर्कसंगत है जिसमें शून्य स्थित है, क्योंकि इसमें काफ़ी कम गणनाएँ होती हैं।

उदाहरण 10

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

यह स्व-निर्णय (पाठ के अंत में नमूना और उत्तर) का एक उदाहरण है।

4 अज्ञात वाले 4 समीकरणों की प्रणाली के मामले में, क्रैमर के सूत्र समान सिद्धांतों के अनुसार लिखे गए हैं। आप निर्धारक गुण पाठ में एक जीवंत उदाहरण देख सकते हैं। निर्धारक के क्रम को कम करना - पांच चौथे क्रम के निर्धारक काफी हल करने योग्य हैं। हालाँकि यह कार्य पहले से ही एक भाग्यशाली छात्र की छाती पर प्रोफेसर के जूते की याद दिलाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके सिस्टम का समाधान

व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि अनिवार्य रूप से है विशेष मामला मैट्रिक्स समीकरण(निर्दिष्ट पाठ का उदाहरण क्रमांक 3 देखें)।

इस अनुभाग का अध्ययन करने के लिए, आपको निर्धारकों का विस्तार करने, व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने और मैट्रिक्स गुणन करने में सक्षम होने की आवश्यकता है। स्पष्टीकरण आगे बढ़ने पर प्रासंगिक लिंक दिए जाएंगे।

उदाहरण 11

सिस्टम को मैट्रिक्स विधि से हल करें

समाधान: हम सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं:
, कहाँ

कृपया समीकरणों की प्रणाली और आव्यूहों को देखें। हम किस सिद्धांत से तत्वों को मैट्रिक्स में लिखते हैं, मुझे लगता है कि हर कोई समझता है। एकमात्र टिप्पणी: यदि समीकरणों में कुछ चर गायब थे, तो मैट्रिक्स में संबंधित स्थानों पर शून्य डालना होगा।

हम सूत्र द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स ज्ञात करते हैं:
, मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजगणितीय पूरकों का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स कहां है।

सबसे पहले, आइए निर्धारक से निपटें:

यहां सारणिक का विस्तार पहली पंक्ति द्वारा किया गया है।

ध्यान! यदि, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है, और सिस्टम को मैट्रिक्स विधि द्वारा हल करना असंभव है। इस मामले में, सिस्टम को अज्ञात (गॉस विधि) के उन्मूलन द्वारा हल किया जाता है।

अब आपको 9 अवयस्कों की गणना करने और उन्हें अवयस्कों के मैट्रिक्स में लिखने की आवश्यकता है

संदर्भ:रैखिक बीजगणित में दोहरे उपस्क्रिप्ट का अर्थ जानना उपयोगी है। पहला अंक वह पंक्ति संख्या है जिसमें तत्व स्थित है। दूसरा अंक उस कॉलम की संख्या है जिसमें तत्व स्थित है:

यानी, एक डबल सबस्क्रिप्ट इंगित करता है कि तत्व पहली पंक्ति, तीसरे कॉलम में है, जबकि, उदाहरण के लिए, तत्व तीसरी पंक्ति, दूसरे कॉलम में है

2. मैट्रिक्स विधि (व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके) द्वारा समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।
3. समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि।

क्रैमर विधि.

रैखिक की प्रणालियों को हल करने के लिए क्रैमर विधि का उपयोग किया जाता है बीजगणितीय समीकरण (टूटना).

दो चर वाले दो समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण पर सूत्र।
दिया गया:सिस्टम को क्रैमर विधि द्वारा हल करें

चर के संबंध में एक्सऔर पर.
समाधान:
सिस्टम के गुणांकों से बने मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं, निर्धारकों की गणना। :

हम क्रैमर के सूत्र लागू करते हैं और मान खोजेंचर:
और .
उदाहरण 1:
समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चरों के संबंध में एक्सऔर पर.
समाधान:


आइए इस निर्धारक में पहले कॉलम को सिस्टम के दाईं ओर से गुणांक के कॉलम से बदलें और इसका मान ढूंढें:

आइए पहले निर्धारक में दूसरे कॉलम को प्रतिस्थापित करते हुए एक समान क्रिया करें:

उपयुक्त क्रैमर के सूत्रऔर चरों के मान ज्ञात करें:
और ।
उत्तर:
टिप्पणी:इस विधि का उपयोग उच्च आयामों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

टिप्पणी:यदि यह पता चलता है कि, और इसे शून्य से विभाजित करना असंभव है, तो वे कहते हैं कि सिस्टम के पास कोई अद्वितीय समाधान नहीं है। इस मामले में, सिस्टम में या तो असीमित रूप से कई समाधान हैं या कोई समाधान नहीं है।

उदाहरण 2(समाधानों की अनंत संख्या):

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चरों के संबंध में एक्सऔर पर.
समाधान:
सिस्टम के गुणांकों से बने मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं:

प्रतिस्थापन विधि द्वारा सिस्टम को हल करना।

सिस्टम के समीकरणों में से पहला एक समानता है जो चर के किसी भी मान के लिए सत्य है (क्योंकि 4 हमेशा 4 के बराबर होता है)। तो अब केवल एक ही समीकरण बचा है. यह चरों के बीच एक संबंध समीकरण है।
हमने पाया कि सिस्टम का समाधान समानता से संबंधित चर के मूल्यों की कोई जोड़ी है।
सामान्य निर्णयइस प्रकार लिखा जाएगा:
विशेष समाधान y का एक मनमाना मान चुनकर और इस संबंध समीकरण से x की गणना करके निर्धारित किया जा सकता है।

वगैरह।
ऐसे अनगिनत समाधान हैं।
उत्तर:सामान्य निर्णय
निजी समाधान:

उदाहरण 3(कोई समाधान नहीं, सिस्टम असंगत है):

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान:
सिस्टम के गुणांकों से बने मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं:

आप क्रैमर के सूत्रों का उपयोग नहीं कर सकते. आइए इस प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि से हल करें

सिस्टम का दूसरा समीकरण एक समानता है जो चर के किसी भी मान के लिए मान्य नहीं है (बेशक, चूंकि -15 2 के बराबर नहीं है)। यदि सिस्टम का कोई एक समीकरण चर के किसी भी मान के लिए सत्य नहीं है, तो पूरे सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।
उत्तर:कोई समाधान नहीं

तीन अज्ञात वाले 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें

तीसरे क्रम के निर्धारकों का उपयोग करते हुए, ऐसी प्रणाली का समाधान उसी रूप में लिखा जा सकता है जैसे दो समीकरणों की प्रणाली के लिए, अर्थात।

(2.4)

यदि 0. यहाँ

यह है क्रैमर का नियम तीन अज्ञात में तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना.

उदाहरण 2.3.क्रैमर नियम का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान . सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाना

चूंकि 0, तो सिस्टम का समाधान खोजने के लिए, आप क्रैमर नियम लागू कर सकते हैं, लेकिन पहले तीन और निर्धारकों की गणना करें:

इंतिहान:

अत: समाधान सही पाया जाता है। 

क्रैमर के नियम किसके लिए व्युत्पन्न हैं? रैखिक प्रणालीदूसरा और तीसरा क्रम, सुझाव देता है कि किसी भी क्रम की रैखिक प्रणालियों के लिए समान नियम तैयार किए जा सकते हैं। सचमुच होता है

क्रैमर का प्रमेय. सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणाली (0) इसका एक और केवल एक ही समाधान है, और इस समाधान की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है

(2.5)

कहाँ  – मुख्य मैट्रिक्स निर्धारक,  मैं – मैट्रिक्स निर्धारक, मुख्य, प्रतिस्थापन से व्युत्पन्नमैंवां कॉलम मुक्त सदस्य कॉलम.

ध्यान दें कि यदि =0, तो क्रैमर का नियम लागू नहीं होता है। इसका मतलब यह है कि सिस्टम में या तो कोई समाधान नहीं है, या अनंत रूप से कई समाधान हैं।

क्रैमर प्रमेय तैयार करने के बाद, स्वाभाविक रूप से उच्च-क्रम निर्धारकों की गणना का प्रश्न उठता है।

2.4. nवाँ क्रम निर्धारक

अतिरिक्त लघु एम आईजेतत्व ए आईजेदिए गए को हटाकर प्राप्त किया गया निर्धारक कहलाता है मैं-वीं पंक्ति और जे-वाँ स्तंभ. बीजगणितीय जोड़ ए आईजेतत्व ए आईजेइस तत्व का लघु कहा जाता है, जिसे चिन्ह (-1) से लिया जाता है मैं + जे, अर्थात। ए आईजे = (–1) मैं + जे एम आईजे .

उदाहरण के लिए, आइए तत्वों के लघु और बीजगणितीय पूरक खोजें ए 23 और ए 31 निर्धारक

हम पाते हैं



बीजगणितीय पूरक की अवधारणा का उपयोग करके, हम तैयार कर सकते हैं निर्धारक विस्तार प्रमेयएन-पंक्ति या स्तंभ के अनुसार क्रम.

प्रमेय 2.1. मैट्रिक्स निर्धारकएकुछ पंक्ति (या स्तंभ) के सभी तत्वों और उनके बीजगणितीय पूरकों के उत्पादों के योग के बराबर है:

(2.6)

यह प्रमेय तथाकथित निर्धारकों की गणना के लिए मुख्य तरीकों में से एक को रेखांकित करता है। ऑर्डर कम करने की विधि. निर्धारक के विस्तार के परिणामस्वरूप एनकिसी भी पंक्ति या स्तंभ में वें क्रम पर, हमें n निर्धारक मिलते हैं ( एन-1)-वाँ क्रम। ऐसे कम निर्धारक होने के लिए, उस पंक्ति या स्तंभ को चुनने की सलाह दी जाती है जिसमें सबसे अधिक शून्य हों। व्यवहार में, सारणिक के लिए विस्तार सूत्र आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है:

वे। बीजगणितीय जोड़ स्पष्ट रूप से अवयस्कों के संदर्भ में लिखे जाते हैं।

उदाहरण 2.4.निर्धारकों को पहले किसी पंक्ति या स्तंभ में विस्तारित करके उनकी गणना करें। आमतौर पर ऐसे मामलों में, वह कॉलम या पंक्ति चुनें जिसमें सबसे अधिक शून्य हों। चयनित पंक्ति या स्तंभ को एक तीर से चिह्नित किया जाएगा.



2.5. निर्धारकों के मूल गुण

किसी भी पंक्ति या स्तंभ में सारणिक का विस्तार करने पर, हमें n सारणिक मिलते हैं ( एन-1)-वाँ क्रम। फिर इनमें से प्रत्येक निर्धारक ( एन–1)-वें क्रम को निर्धारकों के योग में भी विघटित किया जा सकता है ( एन-2)वाँ क्रम। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, व्यक्ति पहले क्रम के निर्धारकों तक पहुंच सकता है, अर्थात। मैट्रिक्स के उन तत्वों के लिए जिनके निर्धारक की गणना की जा रही है। तो, दूसरे क्रम के निर्धारकों की गणना करने के लिए, आपको दो पदों के योग की गणना करनी होगी, तीसरे क्रम के निर्धारकों के लिए - 6 पदों का योग, चौथे क्रम के निर्धारकों के लिए - 24 पदों की गणना करनी होगी। जैसे-जैसे निर्धारक का क्रम बढ़ेगा, पदों की संख्या तेजी से बढ़ेगी। इसका मतलब यह है कि बहुत उच्च कोटि के निर्धारकों की गणना एक श्रमसाध्य कार्य बन जाती है, यहां तक ​​कि एक कंप्यूटर की शक्ति से भी परे। हालाँकि, निर्धारकों के गुणों का उपयोग करके, निर्धारकों की गणना दूसरे तरीके से की जा सकती है।

संपत्ति 1 . यदि पंक्तियों और स्तंभों की अदला-बदली कर दी जाए तो निर्धारक नहीं बदलेगा, अर्थात। मैट्रिक्स को ट्रांसपोज़ करते समय:

.

यह गुण निर्धारक की पंक्तियों और स्तंभों की समानता को इंगित करता है। दूसरे शब्दों में, किसी सारणिक के स्तंभों के बारे में कोई भी कथन उसकी पंक्तियों के लिए सत्य है, और इसके विपरीत।

संपत्ति 2 . जब दो पंक्तियों (स्तंभों) को आपस में बदला जाता है तो निर्धारक का चिह्न बदल जाता है।

परिणाम . यदि सारणिक में दो समान पंक्तियाँ (स्तंभ) हैं, तो यह शून्य के बराबर है।

संपत्ति 3 . किसी भी पंक्ति (स्तंभ) में सभी तत्वों का सामान्य गुणनखंड सारणिक के चिह्न से निकाला जा सकता है.

उदाहरण के लिए,

परिणाम . यदि सारणिक की किसी पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो सारणिक स्वयं शून्य के बराबर है.

संपत्ति 4 . यदि एक पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों को दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों में किसी संख्या से गुणा करने पर जोड़ा जाए तो निर्धारक नहीं बदलेगा.

उदाहरण के लिए,

संपत्ति 5 . मैट्रिक्स उत्पाद का निर्धारक मैट्रिक्स निर्धारक के उत्पाद के बराबर है:

क्रैमर की विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में निर्धारकों के उपयोग पर आधारित है। इससे समाधान प्रक्रिया बहुत तेज़ हो जाती है.

क्रैमर विधि का उपयोग उतने रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि प्रत्येक समीकरण में अज्ञात हैं। यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो समाधान में क्रैमर विधि का उपयोग किया जा सकता है; यदि यह शून्य के बराबर है, तो इसका उपयोग नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, क्रैमर विधि का उपयोग उन रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनका एक अद्वितीय समाधान होता है।

परिभाषा. अज्ञात के गुणांकों से बना निर्धारक, सिस्टम का निर्धारक कहलाता है और इसे (डेल्टा) द्वारा दर्शाया जाता है।

निर्धारकों

संगत अज्ञात पर गुणांकों को मुक्त पदों से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:

;

.

क्रैमर का प्रमेय. यदि सिस्टम का निर्धारक शून्येतर है, तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक एकल समाधान होता है, और अज्ञात निर्धारकों के अनुपात के बराबर होता है। हर प्रणाली का निर्धारक है, और अंश, मुक्त पदों द्वारा अज्ञात के साथ गुणांक को प्रतिस्थापित करके सिस्टम के निर्धारक से प्राप्त निर्धारक है। यह प्रमेय किसी भी क्रम के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए लागू होता है।

उदाहरण 1रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

के अनुसार क्रैमर का प्रमेयअपने पास:

तो, सिस्टम का समाधान (2):

ऑनलाइन कैलकुलेटर, निर्णायक विधिक्रेमर.

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में तीन मामले

जैसा कि से प्रतीत होता है क्रैमर के प्रमेय, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, तीन मामले घटित हो सकते हैं:

पहला मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है

(प्रणाली सुसंगत और निश्चित है)

दूसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं

(प्रणाली सुसंगत और अनिश्चित है)

** ,

वे। अज्ञात और मुक्त पदों के गुणांक आनुपातिक हैं।

तीसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है

(सिस्टम असंगत)

तो सिस्टम एमके साथ रैखिक समीकरण एनवेरिएबल्स कहा जाता है असंगतयदि इसका कोई समाधान नहीं है, और संयुक्तयदि इसका कम से कम एक समाधान है. समीकरणों की एक संयुक्त प्रणाली जिसका केवल एक ही हल हो, कहलाती है कुछ, और एक से अधिक ढुलमुल.

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

चलो सिस्टम

.

क्रैमर प्रमेय पर आधारित

………….
,

कहाँ
-

सिस्टम पहचानकर्ता. शेष निर्धारक कॉलम को संबंधित चर (अज्ञात) के गुणांकों के साथ मुक्त सदस्यों के साथ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किए जाते हैं:

उदाहरण 2

.

अतः व्यवस्था निश्चित है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, (1; 0; -1) सिस्टम का एकमात्र समाधान है।

समीकरण 3 एक्स 3 और 4 एक्स 4 की प्रणालियों के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

यदि रैखिक समीकरणों की प्रणाली में एक या अधिक समीकरणों में कोई चर नहीं हैं, तो निर्धारक में उनके अनुरूप तत्व शून्य के बराबर होते हैं! यह अगला उदाहरण है.

उदाहरण 3क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

.

समाधान। हम सिस्टम का निर्धारक पाते हैं:

समीकरणों की प्रणाली और प्रणाली के निर्धारक को ध्यान से देखें और प्रश्न का उत्तर दोहराएं कि किन मामलों में सारणिक के एक या अधिक तत्व शून्य के बराबर हैं। अतः, सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए, प्रणाली निश्चित है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, सिस्टम का समाधान (2; -1; 1) है।

समीकरण 3 एक्स 3 और 4 एक्स 4 की प्रणालियों के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

पृष्ठ के सबसे ऊपर

हम साथ मिलकर क्रैमर विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना जारी रखते हैं

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर है, और अज्ञात के लिए निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो सिस्टम असंगत है, यानी इसका कोई समाधान नहीं है। आइए निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट करें।

उदाहरण 6क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम सिस्टम का निर्धारक पाते हैं:

निकाय का सारणिक शून्य के बराबर है, इसलिए रैखिक समीकरणों का निकाय या तो असंगत और निश्चित है, या असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। स्पष्ट करने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

अज्ञात के लिए निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, इसलिए, प्रणाली असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है।

समीकरण 3 एक्स 3 और 4 एक्स 4 की प्रणालियों के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर समस्याओं में, ऐसे भी होते हैं, जहां चर को दर्शाने वाले अक्षरों के अलावा, अन्य अक्षर भी होते हैं। ये अक्षर किसी संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं, अक्सर एक वास्तविक संख्या। व्यवहार में, ऐसे समीकरण और समीकरणों की प्रणालियाँ खोज समस्याओं को जन्म देती हैं सामान्य गुणकोई घटना या वस्तु। यानी क्या आपने कोई आविष्कार किया नई सामग्रीया एक उपकरण, और इसके गुणों का वर्णन करने के लिए, जो आकार या प्रतियों की संख्या की परवाह किए बिना सामान्य हैं, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है, जहां चर के लिए कुछ गुणांक के बजाय अक्षर होते हैं। आपको उदाहरणों के लिए दूर तक देखने की ज़रूरत नहीं है।

अगला उदाहरण एक समान समस्या के लिए है, केवल कुछ वास्तविक संख्या को दर्शाने वाले समीकरणों, चर और अक्षरों की संख्या बढ़ जाती है।

उदाहरण 8क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम सिस्टम का निर्धारक पाते हैं:

अज्ञात के लिए निर्धारक ढूँढना