पेस्ट कैसे करें गणितीय सूत्रवेबसाइट पर?

यदि आपको कभी भी किसी वेब पेज पर एक या दो गणितीय सूत्रों को जोड़ने की आवश्यकता होती है, तो ऐसा करने का सबसे आसान तरीका लेख में वर्णित है: गणितीय सूत्र आसानी से साइट में चित्रों के रूप में डाले जाते हैं जो वोल्फ्राम अल्फा स्वचालित रूप से उत्पन्न होते हैं। सादगी के अलावा, यह सार्वभौमिक तरीका खोज इंजन में साइट की दृश्यता में सुधार करने में मदद करेगा। यह लंबे समय से काम कर रहा है (और मुझे लगता है कि यह हमेशा के लिए काम करेगा), लेकिन यह नैतिक रूप से पुराना है।

यदि, दूसरी ओर, आप लगातार अपनी साइट पर गणितीय सूत्रों का उपयोग करते हैं, तो मैं अनुशंसा करता हूं कि आप MathJax का उपयोग करें, एक विशेष जावास्क्रिप्ट पुस्तकालय जो MathML, LaTeX, या ASCIIMathML मार्कअप का उपयोग करके वेब ब्राउज़र में गणितीय संकेतन प्रदर्शित करता है।

MathJax का उपयोग शुरू करने के दो तरीके हैं: (1) एक साधारण कोड का उपयोग करके, आप जल्दी से एक MathJax स्क्रिप्ट को अपनी साइट से जोड़ सकते हैं, जो एक दूरस्थ सर्वर से सही समय पर स्वचालित रूप से लोड हो जाएगी (सर्वर की सूची); (2) मैथजेक्स स्क्रिप्ट को रिमोट सर्वर से अपने सर्वर पर अपलोड करें और इसे अपनी साइट के सभी पेजों से कनेक्ट करें। दूसरी विधि अधिक जटिल और समय लेने वाली है और आपको अपनी साइट के पृष्ठों की लोडिंग को तेज करने की अनुमति देगी, और यदि किसी कारण से पैरेंट मैथजैक्स सर्वर अस्थायी रूप से अनुपलब्ध हो जाता है, तो यह आपकी अपनी साइट को किसी भी तरह से प्रभावित नहीं करेगा। इन फायदों के बावजूद, मैंने पहली विधि को चुना, क्योंकि यह सरल, तेज है और इसके लिए तकनीकी कौशल की आवश्यकता नहीं है। मेरे उदाहरण का अनुसरण करें, और 5 मिनट के भीतर आप अपनी वेबसाइट पर MathJax की सभी सुविधाओं का उपयोग करने में सक्षम होंगे।

आप मुख्य MathJax वेबसाइट या दस्तावेज़ीकरण पृष्ठ से लिए गए दो कोड विकल्पों का उपयोग करके किसी दूरस्थ सर्वर से MathJax लाइब्रेरी स्क्रिप्ट को कनेक्ट कर सकते हैं:

इन कोड विकल्पों में से एक को आपके वेब पेज के कोड में कॉपी और पेस्ट करने की आवश्यकता है, अधिमानतः टैग के बीच तथाया टैग के ठीक बाद . पहले विकल्प के अनुसार, MathJax तेजी से लोड होता है और पृष्ठ को कम धीमा करता है। लेकिन दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से MathJax के नवीनतम संस्करणों को ट्रैक और लोड करता है। यदि आप पहला कोड डालते हैं, तो इसे समय-समय पर अपडेट करने की आवश्यकता होगी। यदि आप दूसरा कोड पेस्ट करते हैं, तो पेज अधिक धीरे लोड होंगे, लेकिन आपको लगातार MathJax अपडेट की निगरानी करने की आवश्यकता नहीं होगी।

मैथजैक्स को कनेक्ट करने का सबसे आसान तरीका ब्लॉगर या वर्डप्रेस में है: साइट कंट्रोल पैनल में, थर्ड-पार्टी जावास्क्रिप्ट कोड डालने के लिए डिज़ाइन किया गया विजेट जोड़ें, इसमें ऊपर प्रस्तुत लोड कोड के पहले या दूसरे संस्करण को कॉपी करें, और विजेट को करीब रखें टेम्पलेट की शुरुआत में (वैसे, यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि MathJax स्क्रिप्ट को एसिंक्रोनस रूप से लोड किया गया है)। बस इतना ही। अब MathML, LaTeX, और ASCIIMathML मार्कअप सिंटैक्स सीखें और आप अपने वेब पेजों में गणित के फ़ार्मुलों को एम्बेड करने के लिए तैयार हैं।

कोई भी फ्रैक्टल एक निश्चित नियम के अनुसार बनाया जाता है, जिसे लगातार असीमित बार लागू किया जाता है। ऐसे प्रत्येक समय को पुनरावृति कहा जाता है।

मेन्जर स्पंज के निर्माण के लिए पुनरावृति एल्गोरिथ्म काफी सरल है: मूल घन 1 पक्ष के साथ इसके चेहरे के समानांतर विमानों द्वारा 27 बराबर क्यूब्स में विभाजित किया गया है। एक केंद्रीय घन और फलकों के साथ लगे 6 घन इसमें से हटा दिए जाते हैं। यह एक सेट निकलता है जिसमें 20 शेष छोटे क्यूब्स होते हैं। इन घनों में से प्रत्येक के साथ ऐसा करने पर, हमें 400 छोटे घनों का एक समुच्चय प्राप्त होता है। इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखते हुए, हमें मेंजर स्पंज मिलता है।

एक वर्ग मैट्रिक्स का एक eigenvector वह होता है, जब किसी दिए गए मैट्रिक्स से गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक कोलिनियर वेक्टर होता है। सरल शब्दों में, जब एक मैट्रिक्स को एक eigenvector से गुणा किया जाता है, तो बाद वाला वही रहता है, लेकिन कुछ संख्या से गुणा किया जाता है।

परिभाषा

एक eigenvector एक गैर-शून्य वेक्टर V है, जिसे एक वर्ग मैट्रिक्स M से गुणा करने पर, स्वयं बन जाता है, कुछ संख्या से बढ़ जाता है। बीजीय संकेतन में, ऐसा दिखता है:

एम × वी = λ × वी,

जहाँ आव्यूह M का eigenvalue है।

आइए एक संख्यात्मक उदाहरण पर विचार करें। लिखने की सुविधा के लिए, मैट्रिक्स में संख्याओं को अर्धविराम द्वारा अलग किया जाएगा। मान लें कि हमारे पास एक मैट्रिक्स है:

• एम = 0; चार;
• 6; 10.

आइए इसे कॉलम वेक्टर से गुणा करें:

• वी = -2;

मैट्रिक्स को कॉलम वेक्टर से गुणा करते समय, हमें कॉलम वेक्टर भी मिलता है। सख्त गणितीय भाषा में, कॉलम वेक्टर द्वारा 2 × 2 मैट्रिक्स को गुणा करने का सूत्र इस तरह दिखेगा:

• एम × वी = एम11 × वी11 + एम12 × वी21;
• M21 x V11 + M22 x V21।

M11 का अर्थ मैट्रिक्स M का तत्व है, जो पहली पंक्ति और पहले कॉलम में खड़ा है, और M22 दूसरी पंक्ति और दूसरे कॉलम में स्थित तत्व है। हमारे मैट्रिक्स के लिए, ये तत्व M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10 हैं। एक कॉलम वेक्टर के लिए, ये मान V11 = -2, V21 = 1 हैं। इस सूत्र के अनुसार, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं एक वेक्टर द्वारा एक वर्ग मैट्रिक्स के उत्पाद का परिणाम:

• एम × वी = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2।

सुविधा के लिए, हम कॉलम वेक्टर को एक पंक्ति में लिखते हैं। इसलिए, हमने वर्ग मैट्रिक्स को वेक्टर (-2; 1) से गुणा किया है, जिसके परिणामस्वरूप वेक्टर (4; -2) प्राप्त होता है। जाहिर है, यह वही वेक्टर है जिसे = -2 से गुणा किया जाता है। इस मामले में लैम्ब्डा मैट्रिक्स के एक eigenvalue को दर्शाता है।

मैट्रिक्स का eigenvector एक कोलिनियर वेक्टर है, यानी एक वस्तु जो मैट्रिक्स द्वारा गुणा करने पर अंतरिक्ष में अपनी स्थिति नहीं बदलती है। सदिश बीजगणित में संरेखता की अवधारणा ज्यामिति में समांतरता के पद के समान है। पर ज्यामितीय व्याख्यासंरेख सदिश विभिन्न लंबाई के समानांतर निर्देशित खंड होते हैं। यूक्लिड के समय से, हम जानते हैं कि एक एकल रेखा में अनंत संख्या में उसके समानांतर रेखाएँ होती हैं, इसलिए यह मान लेना तर्कसंगत है कि प्रत्येक मैट्रिक्स में अनंत संख्या में eigenvectors हैं।

पिछले उदाहरण से, यह देखा जा सकता है कि दोनों (-8; 4), और (16; -8), और (32, -16) eigenvectors हो सकते हैं। ये सभी eigenvalue = -2 के संगत संरेख सदिश हैं। इन वैक्टरों द्वारा मूल मैट्रिक्स को गुणा करते समय, हमें अभी भी एक वेक्टर मिलेगा, जो मूल से 2 गुना भिन्न होता है। इसलिए, जब एक आइजनवेक्टर खोजने के लिए समस्याओं को हल करते हैं, तो केवल रैखिक रूप से स्वतंत्र वेक्टर ऑब्जेक्ट खोजने की आवश्यकता होती है। सबसे अधिक बार, n × n मैट्रिक्स के लिए, eigenvectors की n-वें संख्या होती है। हमारे कैलकुलेटर को दूसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के विश्लेषण के लिए डिज़ाइन किया गया है, इसलिए परिणाम के रूप में लगभग हमेशा दो eigenvectors मिलेंगे, सिवाय इसके कि जब वे मेल खाते हों।

ऊपर के उदाहरण में, हम मूल मैट्रिक्स के आइजनवेक्टर को पहले से जानते थे और लैम्ब्डा संख्या को नेत्रहीन रूप से निर्धारित करते थे। हालांकि, व्यवहार में, सब कुछ दूसरे तरीके से होता है: शुरुआत में eigenvalues ​​होते हैं और उसके बाद ही eigenvectors होते हैं।

समाधान एल्गोरिथ्म

आइए मूल मैट्रिक्स M को फिर से देखें और इसके दोनों eigenvectors को खोजने का प्रयास करें। तो मैट्रिक्स इस तरह दिखता है:

• एम = 0; चार;
• 6; 10.

आरंभ करने के लिए, हमें eigenvalue निर्धारित करने की आवश्यकता है, जिसके लिए हमें निम्नलिखित मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है:

• (0 - ); चार;
• 6; (10 - )।

यह मैट्रिक्स मुख्य विकर्ण पर मौजूद तत्वों से अज्ञात घटाकर प्राप्त किया जाता है। निर्धारक मानक सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

• डीटीए = एम11 × एम21 - एम12 × एम22
• डीटीए = (0 - ) × (10 - λ) - 24

चूँकि हमारा सदिश शून्य नहीं होना चाहिए, हम परिणामी समीकरण को रैखिक रूप से आश्रित मानते हैं और अपने सारणिक डेटा को शून्य के बराबर करते हैं।

(0 - ) × (10 - λ) - 24 = 0

आइए कोष्ठक खोलें और मैट्रिक्स का अभिलक्षणिक समीकरण प्राप्त करें:

2 - 10λ - 24 = 0

यह मानक है द्विघात समीकरण, जिसे विवेचक के संदर्भ में हल किया जाना है।

डी \u003d बी 2 - 4ac \u003d (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 \u003d 100 + 96 \u003d 196

विभेदक की जड़ sqrt(D) = 14 है, इसलिए λ1 = -2, λ2 = 12. अब प्रत्येक लैम्ब्डा मान के लिए, हमें एक eigenvector खोजने की आवश्यकता है। आइए, = -2 के लिए निकाय के गुणांकों को व्यक्त करें।

• एम - × ई = 2; चार;
• 6; 12.

इस सूत्र में, E सर्वसमिका आव्यूह है। प्राप्त मैट्रिक्स के आधार पर, हम सिस्टम की रचना करेंगे रेखीय समीकरण:

2x + 4y = 6x + 12y

जहाँ x और y eigenvector के अवयव हैं।

आइए सभी X को बाईं ओर और सभी Y को दाईं ओर एकत्र करें। जाहिर है - 4x = 8y। व्यंजक को -4 से भाग दें और x = -2y प्राप्त करें। अब हम अज्ञात के किसी भी मान को ले कर मैट्रिक्स के पहले eigenvector का निर्धारण कर सकते हैं (रैखिक रूप से निर्भर eigenvectors की अनंतता के बारे में याद रखें)। आइए y = 1 लें, फिर x = -2। इसलिए, पहला eigenvector V1 = (-2; 1) जैसा दिखता है। लेख की शुरुआत पर लौटें। यह वेक्टर ऑब्जेक्ट था जिसे हमने एक आइजनवेक्टर की अवधारणा को प्रदर्शित करने के लिए मैट्रिक्स को गुणा किया था।

आइए अब = 12 के लिए eigenvector खोजें।

• एम - × ई = -12; चार
• 6; -2.

आइए हम रैखिक समीकरणों की एक ही प्रणाली की रचना करें;

• -12x + 4y = 6x -2y
• -18x = -6y
• 3x = वाई।

अब चलिए x = 1 लेते हैं, इसलिए y = 3। इस प्रकार, दूसरा eigenvector V2 = (1; 3) जैसा दिखता है। इस वेक्टर द्वारा मूल मैट्रिक्स को गुणा करते समय, परिणाम हमेशा एक ही वेक्टर को 12 से गुणा किया जाएगा। यह समाधान एल्गोरिथ्म को पूरा करता है। अब आप जानते हैं कि मैट्रिक्स के आइजनवेक्टर को मैन्युअल रूप से कैसे परिभाषित किया जाए।

• निर्धारक;
• ट्रेस, यानी मुख्य विकर्ण पर तत्वों का योग;
• रैंक, यानी रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों/स्तंभों की अधिकतम संख्या।

कार्यक्रम उपरोक्त एल्गोरिथम के अनुसार संचालित होता है, समाधान प्रक्रिया को न्यूनतम करता है। यह इंगित करना महत्वपूर्ण है कि कार्यक्रम में लैम्ब्डा को "सी" अक्षर द्वारा दर्शाया गया है। आइए एक संख्यात्मक उदाहरण देखें।

कार्यक्रम उदाहरण

आइए निम्नलिखित मैट्रिक्स के लिए eigenvectors को परिभाषित करने का प्रयास करें:

• एम = 5; 13;
• 4; 14.

आइए इन मानों को कैलकुलेटर की कोशिकाओं में दर्ज करें और निम्न रूप में उत्तर प्राप्त करें:

• मैट्रिक्स रैंक: 2;
• मैट्रिक्स निर्धारक: 18;
• मैट्रिक्स ट्रेस: ​​19;
• Eigenvector गणना: c 2 - 19.00c + 18.00 (विशेषता समीकरण);
• Eigenvector गणना: 18 (प्रथम लैम्ब्डा मान);
• Eigenvector गणना: 1 (दूसरा लैम्ब्डा मान);
• सदिश 1 के समीकरणों का निकाय: -13x1 + 13y1 = 4x1 - 4y1;
• वेक्टर 2 समीकरण प्रणाली: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• आइजेनवेक्टर 1: (1; 1);
• आइजेनवेक्टर 2: (-3.25; 1)।

इस प्रकार, हमने दो रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors प्राप्त किए हैं।

निष्कर्ष

इंजीनियरिंग में किसी भी नए व्यक्ति के लिए रैखिक बीजगणित और विश्लेषणात्मक ज्यामिति मानक विषय हैं। एक बड़ी संख्या कीवैक्टर और मैट्रिसेस भयानक हैं, और ऐसी बोझिल गणनाओं में गलती करना आसान है। हमारा कार्यक्रम छात्रों को उनकी गणना की जांच करने या एक eigenvector खोजने की समस्या को स्वचालित रूप से हल करने की अनुमति देगा। हमारे कैटलॉग में अन्य रैखिक बीजगणित कैलकुलेटर हैं, उन्हें अपने अध्ययन या कार्य में उपयोग करें।

eigenvalues ​​(संख्या) और eigenvectors।
समाधान उदाहरण

वास्तविक बने रहें

दोनों समीकरणों से यह इस प्रकार है।

आइए फिर डालते हैं: .

नतीजतन: दूसरा eigenvector है।

चलो दोहराते हैं महत्वपूर्ण बिंदुसमाधान:

- परिणामी प्रणाली निश्चित रूप से है सामान्य निर्णय(समीकरण रैखिक रूप से निर्भर हैं);

- "Y" को इस तरह से चुना जाता है कि यह पूर्णांक हो और पहला "x" निर्देशांक पूर्णांक, धनात्मक और यथासंभव छोटा हो।

- हम जांचते हैं कि विशेष समाधान प्रणाली के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करता है।

उत्तर .

इंटरमीडिएट "चौकियों" काफी पर्याप्त थे, इसलिए समानता की जांच, सिद्धांत रूप में, अतिश्योक्तिपूर्ण है।

सूचना के विभिन्न स्रोतों में, eigenvectors के निर्देशांक अक्सर स्तंभों में नहीं, बल्कि पंक्तियों में लिखे जाते हैं, उदाहरण के लिए: (और सच कहूं तो मैं खुद उन्हें पंक्तियों में लिखता था). यह विकल्प स्वीकार्य है, लेकिन विषय के आलोक में रैखिक परिवर्तनउपयोग करने के लिए तकनीकी रूप से अधिक सुविधाजनक कॉलम वैक्टर.

शायद समाधान आपको बहुत लंबा लग रहा था, लेकिन ऐसा इसलिए है क्योंकि मैंने पहले उदाहरण पर बहुत विस्तार से टिप्पणी की है।

उदाहरण 2

मैट्रिक्स

हम अपने दम पर प्रशिक्षण लेते हैं! नमूना नमूना परिष्करणपाठ के अंत में असाइनमेंट।

कभी-कभी आपको करने की ज़रूरत होती है अतिरिक्त कार्य, अर्थात्:

मैट्रिक्स का विहित अपघटन लिखें

यह क्या है?

यदि मैट्रिक्स eigenvectors बनते हैं आधार, तो इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

eigenvectors के निर्देशांक से बना एक मैट्रिक्स कहाँ है, - विकर्णसंबंधित eigenvalues ​​​​के साथ मैट्रिक्स।

इस मैट्रिक्स अपघटन को कहा जाता है कैनन काया विकर्ण.

पहले उदाहरण के मैट्रिक्स पर विचार करें। उसके अपने वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र(गैर-समरेखीय) और एक आधार बनाते हैं। आइए उनके निर्देशांक से एक मैट्रिक्स बनाएं:

पर मुख्य विकर्णमैट्रिक्स उचित क्रम में eigenvalues ​​​​स्थित हैं, और शेष तत्व शून्य के बराबर हैं:
- एक बार फिर मैं आदेश के महत्व पर जोर देता हूं: "दो" 1 वेक्टर से मेल खाता है और इसलिए 1 कॉलम में स्थित है, "तीन" - दूसरे वेक्टर के लिए।

खोजने के लिए सामान्य एल्गोरिथम के अनुसार उलटा मैट्रिक्सया गॉस-जॉर्डन विधिपाना . नहीं, यह एक टाइपो नहीं है! - आपके सामने दुर्लभ है, जैसे सूर्य ग्रहणघटना जब व्युत्क्रम मूल मैट्रिक्स से मेल खाता है।

यह मैट्रिक्स के विहित अपघटन को लिखना बाकी है:

प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके प्रणाली को हल किया जा सकता है और निम्नलिखित उदाहरणों में हम इसका सहारा लेंगे: यह विधि. लेकिन यहां "स्कूल" पद्धति बहुत तेजी से काम करती है। तीसरे समीकरण से हम व्यक्त करते हैं: - दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करें:

चूंकि पहला निर्देशांक शून्य है, हम प्रत्येक समीकरण से एक प्रणाली प्राप्त करते हैं, जिसके अनुसार यह इस प्रकार है।

और फिर एक रैखिक संबंध की अनिवार्य उपस्थिति पर ध्यान दें. यदि केवल एक तुच्छ समाधान प्राप्त होता है , तो या तो eigenvalue गलत पाया गया था, या सिस्टम को एक त्रुटि के साथ संकलित / हल किया गया था।

कॉम्पैक्ट निर्देशांक मूल्य देता है

आइजेनवेक्टर:

और एक बार फिर, हम जाँचते हैं कि मिला समाधान सिस्टम के हर समीकरण को संतुष्ट करता है. निम्नलिखित पैराग्राफों और बाद के कार्यों में, मैं अनुशंसा करता हूं कि इस इच्छा को अनिवार्य नियम के रूप में स्वीकार किया जाए।

2) इसी सिद्धांत का पालन करते हुए, आइजनवैल्यू के लिए, हम निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

सिस्टम के दूसरे समीकरण से हम व्यक्त करते हैं: - तीसरे समीकरण में स्थानापन्न करें:

चूंकि "ज़ीटा" निर्देशांक शून्य के बराबर है, हम एक प्रणाली प्राप्त करते हैं, जिसके प्रत्येक समीकरण से यह निम्नानुसार है रैखिक निर्भरता.

होने देना

हम जाँचते हैं कि समाधान सिस्टम के हर समीकरण को संतुष्ट करता है।

इस प्रकार, eigenvector:।

3) और, अंत में, सिस्टम अपने स्वयं के मूल्य से मेल खाता है:

दूसरा समीकरण सबसे सरल दिखता है, इसलिए हम इसे इससे व्यक्त करते हैं और इसे पहले और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

सब कुछ ठीक है - एक रैखिक निर्भरता का पता चला था, जिसे हम अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

परिणामस्वरूप, "X" और "Y" को "Z": के माध्यम से व्यक्त किया गया। व्यवहार में, केवल ऐसे संबंधों को प्राप्त करना आवश्यक नहीं है; कुछ मामलों में या और के माध्यम से व्यक्त करना अधिक सुविधाजनक होता है। या यहां तक ​​कि एक "ट्रेन" - उदाहरण के लिए, "X" के माध्यम से "Y", और "Y" के माध्यम से "Z"

आइए फिर डालते हैं:

हम जाँचते हैं कि मिला समाधान सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करता है और तीसरा आइजेनवेक्टर लिखता है

उत्तर: eigenvectors:

ज्यामितीय रूप से, ये वैक्टर तीन अलग-अलग स्थानिक दिशाओं को परिभाषित करते हैं ("वहाँ और वापस फिर से"), किसके अनुसार रैखिक परिवर्तनशून्येतर सदिशों (eigenvectors) को उनके समरेखीय सदिशों में बदल देता है।

यदि शर्त के अनुसार इसका विहित विस्तार ज्ञात करना आवश्यक था, तो यह यहाँ संभव है, क्योंकि विभिन्न eigenvalues ​​अलग रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors के अनुरूप हैं। हम एक मैट्रिक्स बनाते हैं उनके निर्देशांक से, विकर्ण मैट्रिक्स से से मिलता जुलता eigenvalues ​​​​और खोजें उलटा मैट्रिक्स .

यदि शर्त के अनुसार लिखना आवश्यक हो तो eigenvectors के आधार पर रैखिक परिवर्तन मैट्रिक्स, तो हम फॉर्म में उत्तर देते हैं। एक अंतर है, और एक महत्वपूर्ण अंतर है!इसके लिए मैट्रिक्स मैट्रिक्स "डी" है।

के लिए सरल गणनाओं के साथ एक समस्या स्वतंत्र निर्णय:

उदाहरण 5

मैट्रिक्स द्वारा दिए गए रैखिक परिवर्तन के eigenvectors खोजें

अपने स्वयं के नंबर ढूंढते समय, केस को 3 डिग्री के बहुपद में न लाने का प्रयास करें। इसके अलावा, आपके सिस्टम समाधान मेरे समाधानों से भिन्न हो सकते हैं - यहां कोई स्पष्ट नहीं है; और जो सदिश आप पाते हैं, वे नमूना सदिशों से उनके संबंधित निर्देशांकों के अनुपातिकता तक भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, और। उत्तर को के रूप में प्रस्तुत करना सौंदर्य की दृष्टि से अधिक सुखद है, लेकिन यदि आप दूसरे विकल्प पर रुकते हैं तो कोई बात नहीं। हालाँकि, हर चीज़ की उचित सीमाएँ हैं, संस्करण अब बहुत अच्छा नहीं लगता है।

पाठ के अंत में सत्रीय कार्य का एक अनुमानित अंतिम नमूना।

एकाधिक eigenvalues ​​​​के मामले में समस्या को कैसे हल करें?

सामान्य एल्गोरिथम समान रहता है, लेकिन इसकी अपनी ख़ासियतें होती हैं, और समाधान के कुछ हिस्सों को अधिक कठोर शैक्षणिक शैली में रखने की सलाह दी जाती है:

उदाहरण 6

eigenvalues ​​और eigenvectors खोजें

समाधान

बेशक, आइए शानदार पहले कॉलम को कैपिटलाइज़ करें:

और अपघटन के बाद वर्ग त्रिपदगुणकों के लिए:

परिणामस्वरूप, eigenvalues ​​प्राप्त होते हैं, जिनमें से दो गुणक होते हैं।

आइए आइजेनवेक्टर खोजें:

1) हम एक "सरलीकृत" योजना के अनुसार एक अकेले सैनिक से निपटेंगे:

पिछले दो समीकरणों से, समानता स्पष्ट रूप से दिखाई देती है, जिसे जाहिर है, सिस्टम के पहले समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए:

कोई बेहतर संयोजन नहीं है:
आइजेनवेक्टर:

2-3) अब हम कुछ संतरी हटाते हैं। इस मामले में, यह हो सकता है या तो दो या एकआइजेनवेक्टर जड़ों की बहुलता के बावजूद, हम निर्धारक में मान को प्रतिस्थापित करते हैं , जो हमें निम्नलिखित लाता है रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली:

Eigenvectors बिल्कुल वैक्टर हैं
मौलिक निर्णय प्रणाली

दरअसल, पूरे पाठ के दौरान, हम केवल मौलिक प्रणाली के वैक्टर खोजने में लगे हुए थे। केवल कुछ समय के लिए, इस शब्द की विशेष रूप से आवश्यकता नहीं थी। वैसे, वे निपुण छात्र जो छलावरण में हैं सजातीय समीकरण, अब इसे धूम्रपान करने के लिए मजबूर किया जाएगा।

केवल कार्रवाई अतिरिक्त लाइनों को हटाने की थी। परिणाम बीच में औपचारिक "चरण" के साथ "एक से तीन" मैट्रिक्स है।
- मूल चर, - मुक्त चर। दो मुक्त चर हैं, इसलिए मौलिक प्रणाली के दो वैक्टर भी हैं.

आइए मूल चर को मुक्त चर के रूप में व्यक्त करें: . "एक्स" के सामने शून्य कारक इसे बिल्कुल किसी भी मान पर लेने की अनुमति देता है (जो समीकरणों की प्रणाली से भी स्पष्ट रूप से दिखाई देता है)।

इस समस्या के संदर्भ में, सामान्य समाधान को एक पंक्ति में नहीं, बल्कि एक कॉलम में लिखना अधिक सुविधाजनक है:

जोड़ी एक eigenvector से मेल खाती है:
जोड़ी एक eigenvector से मेल खाती है:

टिप्पणी : परिष्कृत पाठक इन वैक्टर को मौखिक रूप से उठा सकते हैं - बस सिस्टम का विश्लेषण करके , लेकिन यहाँ कुछ ज्ञान की आवश्यकता है: तीन चर हैं, सिस्टम मैट्रिक्स रैंक- इकाई का अर्थ है मौलिक निर्णय प्रणाली 3 - 1 = 2 सदिशों से मिलकर बनता है। हालांकि, पाए गए वैक्टर इस ज्ञान के बिना भी पूरी तरह से सहज स्तर पर दिखाई दे रहे हैं। इस मामले में, तीसरा वेक्टर "और भी सुंदर" लिखा जाएगा: . हालांकि, मैं आपको चेतावनी देता हूं, एक अन्य उदाहरण में, एक साधारण चयन नहीं हो सकता है, यही वजह है कि आरक्षण अनुभवी लोगों के लिए है। इसके अलावा, तीसरे वेक्टर के रूप में क्यों नहीं लेते, कहते हैं, ? आखिरकार, इसके निर्देशांक सिस्टम के प्रत्येक समीकरण और वैक्टर को भी संतुष्ट करते हैं रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। यह विकल्प, सिद्धांत रूप में, उपयुक्त है, लेकिन "कुटिल", क्योंकि "अन्य" वेक्टर मौलिक प्रणाली के वैक्टरों का एक रैखिक संयोजन है।

उत्तर: eigenvalues: , eigenvectors:

स्वयं करें समाधान के लिए एक समान उदाहरण:

उदाहरण 7

eigenvalues ​​और eigenvectors खोजें

पाठ के अंत में परिष्करण का एक अनुमानित नमूना।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि 6वें और 7वें दोनों उदाहरणों में, रैखिक रूप से स्वतंत्र आइजेनवेक्टरों का एक तिहाई प्राप्त होता है, और इसलिए प्रारंभिक मैट्रिक्सविहित विस्तार में प्रतिनिधित्व योग्य। लेकिन ऐसे रसभरी सभी मामलों में नहीं होते हैं:

उदाहरण 8

समाधान: अभिलक्षणिक समीकरण बनाएं और हल करें:

हम पहले कॉलम द्वारा निर्धारक का विस्तार करते हैं:

हम तीसरी डिग्री के बहुपद से बचते हुए, विचार की गई विधि के अनुसार और सरलीकरण करते हैं:

आइजनवैल्यू हैं।

आइए आइजेनवेक्टर खोजें:

1) जड़ के साथ कोई कठिनाई नहीं है:

हैरान मत होइए, किट के अलावा वेरिएबल्स भी इस्तेमाल में हैं- यहां कोई फर्क नहीं है।

तीसरे समीकरण से हम व्यक्त करते हैं - हम पहले और दूसरे समीकरणों में स्थानापन्न करते हैं:

दोनों समीकरणों से निम्नानुसार है:

चलो फिर:

2-3) कई मानों के लिए, हमें सिस्टम मिलता है .

आइए हम सिस्टम के मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरणबद्ध रूप में लाएं:

आव्यूह A के साथ, यदि ऐसी कोई संख्या l है कि AX = lX है।

इस मामले में, संख्या l कहा जाता है eigenvalueवेक्टर एक्स के अनुरूप ऑपरेटर (मैट्रिक्स ए)।

दूसरे शब्दों में, एक eigenvector एक वेक्टर है, जो की कार्रवाई के तहत रैखिक ऑपरेटरएक संरेखीय सदिश में जाता है, अर्थात्। बस कुछ संख्या से गुणा करें। इसके विपरीत, अनुचित वैक्टर को बदलना अधिक कठिन होता है।

हम eigenvector की परिभाषा को समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखते हैं:

आइए सभी शर्तों को बाईं ओर ले जाएं:

अंतिम प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

(ए - एलई)एक्स \u003d ओ

परिणामी प्रणाली में हमेशा एक शून्य समाधान X = O होता है। ऐसे सिस्टम जिनमें सभी मुक्त पद शून्य के बराबर होते हैं, कहलाते हैं सजातीय. यदि ऐसी प्रणाली का मैट्रिक्स वर्गाकार है, और इसका निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो क्रैमर के सूत्रों के अनुसार, हमें हमेशा एक अनूठा समाधान मिलेगा - शून्य। यह साबित किया जा सकता है कि सिस्टम में गैर-शून्य समाधान हैं यदि और केवल अगर इस मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है, अर्थात।

|ए - एलई| = = 0

अज्ञात l के साथ इस समीकरण को कहा जाता है विशेषता समीकरण (विशेषता बहुपद) मैट्रिक्स ए (रैखिक ऑपरेटर)।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक रैखिक संकारक का अभिलक्षणिक बहुपद आधार के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है।

उदाहरण के लिए, आइए मैट्रिक्स A = द्वारा दिए गए रैखिक ऑपरेटर के eigenvalues ​​​​और eigenvectors खोजें।

ऐसा करने के लिए, हम विशेषता समीकरण की रचना करते हैं |А - lЕ| = \u003d (1 - एल) 2 - 36 \u003d 1 - 2l + एल 2 - 36 \u003d एल 2 - 2l - 35 \u003d 0; डी \u003d 4 + 140 \u003d 144; eigenvalues ​​l 1 = (2 - 12)/2 = -5; एल 2 \u003d (2 + 12) / 2 \u003d 7.

eigenvectors खोजने के लिए, हम समीकरणों की दो प्रणालियों को हल करते हैं

(ए + 5ई) एक्स = ओ

(ए - 7ई) एक्स = ओ

उनमें से पहले के लिए, विस्तारित मैट्रिक्स रूप लेगा

,

जहां से x 2 \u003d c, x 1 + (2/3) c \u003d 0; x 1 \u003d - (2/3) s, अर्थात्। एक्स (1) \u003d (- (2/3) एस; एस)।

उनमें से दूसरे के लिए, विस्तारित मैट्रिक्स रूप लेगा

,

जहां से x 2 \u003d c 1, x 1 - (2/3) c 1 \u003d 0; एक्स 1 \u003d (2/3) एस 1, यानी। एक्स (2) \u003d ((2/3) एस 1; एस 1)।

इस प्रकार, इस रैखिक संचालिका के eigenvectors फॉर्म के सभी वैक्टर हैं (-(2/3)c; c) eigenvalue (-5) के साथ और फॉर्म के सभी वैक्टर ((2/3)c 1 ; c 1) के साथ ईजेनवैल्यू 7.

यह साबित किया जा सकता है कि ऑपरेटर ए का मैट्रिक्स इसके eigenvectors के आधार पर विकर्ण है और इसका रूप है:

,

जहां मैं इस मैट्रिक्स के आइजनवैल्यू हैं।

इसका विलोम भी सत्य है: यदि मैट्रिक्स A किसी आधार पर विकर्ण है, तो इस आधार के सभी सदिश इस मैट्रिक्स के eigenvectors होंगे।

यह भी साबित किया जा सकता है कि यदि एक रैखिक ऑपरेटर के पास n जोड़ीदार विशिष्ट eigenvalues ​​​​है, तो संबंधित eigenvectors रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, और इसी आधार पर इस ऑपरेटर के मैट्रिक्स का एक विकर्ण रूप है।

आइए इसे पिछले उदाहरण से समझाते हैं। आइए हम मनमाना गैर-शून्य मान c और c 1 लें, लेकिन ऐसे कि वैक्टर X (1) और X (2) रैखिक रूप से स्वतंत्र हों, अर्थात। आधार बनेगा। उदाहरण के लिए, चलो c \u003d c 1 \u003d 3, फिर X (1) \u003d (-2; 3), X (2) \u003d (2; 3)।

आइए हम इन वैक्टरों की रैखिक स्वतंत्रता को सत्यापित करें:

12 0. इस नए आधार में मैट्रिक्स A, A * = का रूप लेगा।

इसे सत्यापित करने के लिए, हम सूत्र A * = C -1 AC का उपयोग करते हैं। आइए पहले सी -1 खोजें।

सी -1 = ;

द्विघात रूप

द्विघात रूप n चरों से f (x 1, x 2, x n) को योग कहा जाता है, जिसका प्रत्येक पद या तो किसी एक चर का वर्ग होता है, या दो भिन्न चरों का गुणनफल होता है, जिसे एक निश्चित गुणांक के साथ लिया जाता है: f (x 1 , एक्स 2, एक्स एन) = (एक ij = एक जी)।

इन गुणांकों से बना मैट्रिक्स A कहलाता है आव्यूहद्विघात रूप। यह हमेशा के लिए है सममितमैट्रिक्स (यानी, मुख्य विकर्ण के बारे में एक मैट्रिक्स सममित, एक ij = a ji)।

मैट्रिक्स नोटेशन में, द्विघात रूप का रूप f(X) = X T AX होता है, जहां

वास्तव में

उदाहरण के लिए, आइए द्विघात रूप को मैट्रिक्स रूप में लिखें।

ऐसा करने के लिए, हम द्विघात रूप का एक मैट्रिक्स पाते हैं। इसके विकर्ण तत्व चर के वर्गों पर गुणांक के बराबर होते हैं, और शेष तत्व द्विघात रूप के संबंधित गुणांक के आधे के बराबर होते हैं। इसीलिए

मान लें कि चर X का आव्यूह-स्तंभ आव्यूह-स्तंभ Y के एक गैर-अपक्षयी रैखिक रूपांतरण द्वारा प्राप्त किया जाता है, अर्थात्। X = CY, जहाँ C क्रम n का एक अपक्षयी मैट्रिक्स है। तब द्विघात रूप f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y।

इस प्रकार, एक गैर-पतित रैखिक परिवर्तन सी के तहत, द्विघात रूप का मैट्रिक्स रूप लेता है: ए * = सी टी एसी।

उदाहरण के लिए, आइए द्विघात रूप f(y 1, y 2) को द्विघात रूप f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 से रैखिक रूपांतर से प्राप्त करें।

द्विघात रूप कहलाता है कैनन का(यह है विहित दृश्य) यदि इसके सभी गुणांक a ij = 0 i j के लिए, अर्थात।
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 =।

इसका मैट्रिक्स विकर्ण है।

प्रमेय(सबूत यहां नहीं दिया गया है)। गैर-पतित रैखिक परिवर्तन का उपयोग करके किसी भी द्विघात रूप को एक विहित रूप में कम किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, आइए हम द्विघात रूप को विहित रूप में कम करें
एफ (एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 एक्स 2 - 3x 2 2 - एक्स 2 एक्स 3।

ऐसा करने के लिए, पहले चर x 1 के लिए पूर्ण वर्ग का चयन करें:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3।

अब हम चर x 2 के लिए पूर्ण वर्ग का चयन करते हैं:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) + (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

फिर गैर-पतित रैखिक परिवर्तन y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 + (1/10) x 3 और y 3 \u003d x 3 इस द्विघात रूप को विहित रूप में लाता है f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 ।

ध्यान दें कि द्विघात रूप के विहित रूप को अस्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है (उसी द्विघात रूप को विहित रूप में घटाया जा सकता है विभिन्न तरीके) हालांकि विभिन्न तरीकेविहित रूपों में एक संख्या होती है सामान्य गुण. विशेष रूप से, द्विघात रूप के धनात्मक (ऋणात्मक) गुणांक वाले पदों की संख्या इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि प्रपत्र को इस रूप में कैसे घटाया जाता है (उदाहरण के लिए, माना गया उदाहरण में हमेशा दो ऋणात्मक और एक धनात्मक गुणांक होगा)। इस संपत्ति को द्विघात रूपों की जड़ता का नियम कहा जाता है।

आइए हम एक ही द्विघात रूप को विहित रूप में एक अलग तरीके से कम करके इसे सत्यापित करें। आइए चर x 2 के साथ परिवर्तन शुरू करें:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 +
+ 2 * x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
+ 3y 2 2 + 2y 3 2, जहां y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) एक्स 3 और वाई 3 = एक्स 1। यहाँ, y 1 पर एक ऋणात्मक गुणांक -3 और y 2 और y 3 पर दो धनात्मक गुणांक 3 और 2 (और दूसरी विधि का उपयोग करके, हमें y 2 पर एक ऋणात्मक गुणांक (-5) और दो धनात्मक गुणांक प्राप्त हुए: 2 y 1 पर और y 3 के लिए 1/20)।

यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि द्विघात रूप के एक मैट्रिक्स की रैंक, जिसे कहा जाता है द्विघात रूप की रैंक, विहित रूप के गैर-शून्य गुणांक की संख्या के बराबर है और रैखिक परिवर्तनों के तहत नहीं बदलता है।

द्विघात रूप f(X) कहलाता है सकारात्मक (नकारात्मक) निश्चित, यदि चर के सभी मानों के लिए जो एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं, तो यह धनात्मक है, अर्थात्। f(X) > 0 (ऋणात्मक, अर्थात्।
एफ (एक्स)< 0).

उदाहरण के लिए, द्विघात रूप f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 धनात्मक निश्चित है, क्योंकि वर्गों का योग है, और द्विघात रूप f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ऋणात्मक निश्चित है, क्योंकि प्रतिनिधित्व करता है इसे f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2 के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अधिकांश व्यावहारिक स्थितियांद्विघात रूप की निश्चितता को स्थापित करना कुछ अधिक कठिन है, इसलिए इसके लिए निम्नलिखित प्रमेयों में से एक का उपयोग किया जाता है (हम उन्हें बिना प्रमाण के बनाते हैं)।

प्रमेय. एक द्विघात रूप धनात्मक (ऋणात्मक) निश्चित होता है यदि और केवल तभी जब इसके मैट्रिक्स के सभी eigenvalues ​​​​धनात्मक (ऋणात्मक) हों।

प्रमेय(सिलवेस्टर की कसौटी)। एक द्विघात रूप सकारात्मक निश्चित है यदि और केवल यदि इस रूप के मैट्रिक्स के सभी प्रमुख नाबालिग सकारात्मक हैं।

मेजर (कोने) माइनर n-वें क्रम के मैट्रिक्स A के k-वें क्रम को मैट्रिक्स का निर्धारक कहा जाता है, जो मैट्रिक्स A () की पहली k पंक्तियों और स्तंभों से बना होता है।

ध्यान दें कि ऋणात्मक-निश्चित द्विघात रूपों के लिए, मुख्य अवयस्कों के चिह्न वैकल्पिक होते हैं, और प्रथम-क्रम अवयस्क ऋणात्मक होने चाहिए।

उदाहरण के लिए, हम चिह्न-निश्चितता के लिए द्विघात रूप f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 की जांच करते हैं।

= (2 - एल)*
*(3 - एल) - 4 \u003d (6 - 2 एल - 3 एल + एल 2) - 4 \u003d एल 2 - 5 एल + 2 \u003d 0; डी = 25 - 8 = 17;
. इसलिए, द्विघात रूप सकारात्मक निश्चित है।

विधि 2. मैट्रिक्स के पहले क्रम का मुख्य नाबालिग A D 1 = a 11 = 2> 0. दूसरे क्रम का मुख्य नाबालिग D 2 = = 6 - 4 = 2> 0. इसलिए, सिल्वेस्टर मानदंड के अनुसार, द्विघात रूप सकारात्मक निश्चित है।

हम संकेत-निश्चितता के लिए एक और द्विघात रूप की जांच करते हैं, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2।

विधि 1. आइए द्विघात रूप = के एक मैट्रिक्स की रचना करें। विशेषता समीकरण का रूप होगा = (-2 - एल)*
*(-3 - एल) - 4 = (6 + 2 एल + 3 एल + एल 2) - 4 = एल 2 + 5 एल + 2 = 0; डी = 25 - 8 = 17;
. इसलिए, द्विघात रूप ऋणात्मक निश्चित है।

विधि 2. मैट्रिक्स के पहले क्रम का मुख्य नाबालिग ए डी 1 = ए 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. इसलिए, सिल्वेस्टर मानदंड के अनुसार, द्विघात रूप ऋणात्मक निश्चित है (प्रमुख अवयस्कों के चिन्ह वैकल्पिक रूप से, ऋण से प्रारंभ करते हुए)।

और एक अन्य उदाहरण के रूप में, हम साइन-निश्चितता के लिए द्विघात रूप f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 की जांच करते हैं।

विधि 1. आइए द्विघात रूप = के एक मैट्रिक्स की रचना करें। विशेषता समीकरण का रूप होगा = (2 - एल)*
*(-3 - एल) - 4 = (-6 - 2 एल + 3 एल + एल 2) - 4 = एल 2 + एल - 10 = 0; डी = 1 + 40 = 41;
.

इनमें से एक संख्या ऋणात्मक है और दूसरी धनात्मक है। eigenvalues ​​​​के संकेत अलग हैं। इसलिए, एक द्विघात रूप या तो ऋणात्मक या धनात्मक निश्चित नहीं हो सकता है, अर्थात। यह द्विघात रूप निश्चित चिह्न नहीं है (यह किसी भी चिन्ह का मान ले सकता है)।

विधि 2. मैट्रिक्स के पहले क्रम का मुख्य नाबालिग ए डी 1 = ए 11 = 2> 0. दूसरे क्रम का मुख्य नाबालिग डी 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

विकर्ण-प्रकार के मैट्रिसेस सबसे सरल रूप से व्यवस्थित होते हैं। सवाल यह उठता है कि क्या ऐसा आधार खोजना संभव है जिसमें रैखिक संचालिका के मैट्रिक्स का विकर्ण रूप हो। ऐसा आधार मौजूद है।
मान लीजिए कि एक रैखिक स्थान R n और इसमें कार्यरत एक रैखिक संकारक A दिया गया है; इस मामले में, ऑपरेटर A, R n को अपने आप में लेता है, अर्थात A:R n → R n।

परिभाषा। एक गैर-शून्य वेक्टर को ऑपरेटर ए का एक आइजनवेक्टर कहा जाता है यदि ऑपरेटर ए इसके लिए एक वेक्टर कॉललाइनर में अनुवाद करता है, अर्थात। संख्या को eigenvector के अनुरूप ऑपरेटर A का eigenvalue या eigenvalue कहा जाता है।
हम eigenvalues ​​और eigenvectors के कुछ गुणों पर ध्यान देते हैं।
1. eigenvectors का कोई रैखिक संयोजन एक ही eigenvalue के अनुरूप ऑपरेटर A का eigenvector समान eigenvalue वाला एक eigenvector है।
2. आइजनवेक्टर संचालिका A, जोड़ीवार भिन्न eigenvalues ​​1 , 2 , …, m के साथ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।
3. यदि eigenvalues ​​1 =λ 2 = m = , तो eigenvalue m से अधिक रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors से मेल नहीं खाता है।

इसलिए, यदि n रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors हैं विभिन्न eigenvalues ​​​​ 1, λ 2, …, n के अनुरूप, तो वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, इसलिए, उन्हें अंतरिक्ष R n के आधार के रूप में लिया जा सकता है। आइए हम रैखिक ऑपरेटर ए के मैट्रिक्स के रूप को उसके आइजेनवेक्टर के आधार पर खोजें, जिसके लिए हम ऑपरेटर ए के साथ वैक्टर के आधार पर कार्य करते हैं: फिर .
इस प्रकार, रैखिक ऑपरेटर ए के मैट्रिक्स में इसके eigenvectors के आधार पर एक विकर्ण रूप होता है, और ऑपरेटर ए के eigenvalues ​​​​विकर्ण पर होते हैं।
क्या कोई अन्य आधार है जिसमें मैट्रिक्स का विकर्ण रूप है? इस प्रश्न का उत्तर निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया है।

प्रमेय। आधार (i = 1..n) में एक रैखिक ऑपरेटर A के मैट्रिक्स का एक विकर्ण रूप होता है यदि और केवल यदि आधार के सभी वैक्टर ऑपरेटर A के आइजनवेक्टर हों।

eigenvalues ​​और eigenvectors खोजने के लिए नियम

चलो वेक्टर , जहाँ x 1 , x 2 ,…, x n - आधार के सापेक्ष सदिश के निर्देशांक और रेखीय संकारक A का eigenvector है जो eigenvalue के संगत है, अर्थात । इस संबंध को मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है

. (*)

समीकरण (*) को खोजने के लिए एक समीकरण के रूप में माना जा सकता है, और, अर्थात, हम गैर-तुच्छ समाधानों में रुचि रखते हैं, क्योंकि आइजेनवेक्टर शून्य नहीं हो सकता। यह ज्ञात है कि रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के गैर-तुच्छ समाधान मौजूद हैं यदि और केवल यदि det(A - E) = 0. इस प्रकार, λ के लिए ऑपरेटर A का एक आइजनवैल्यू होना आवश्यक और पर्याप्त है कि det(A - E) ) = 0.
यदि समीकरण (*) को निर्देशांक रूप में विस्तार से लिखा जाए, तो हमें रैखिक समांगी समीकरणों का एक निकाय प्राप्त होता है:

(1)
कहाँ पे रैखिक ऑपरेटर का मैट्रिक्स है।

सिस्टम (1) का एक गैर-शून्य समाधान है यदि इसका निर्धारक डी शून्य के बराबर है

हमें eigenvalues ​​खोजने के लिए एक समीकरण मिला है।
इस समीकरण को अभिलक्षणिक समीकरण कहा जाता है, और इसके बाईं ओर को मैट्रिक्स (ऑपरेटर) A का विशेषता बहुपद कहा जाता है। यदि विशेषता बहुपद की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, तो मैट्रिक्स A में कोई आइजनवेक्टर नहीं है और इसे विकर्ण रूप में कम नहीं किया जा सकता है।
मान लीजिए 1, λ 2 ,…, n वास्तविक मूल हैं विशेषता समीकरण, और उनके बीच गुणक हो सकते हैं। इन मूल्यों को बदले में सिस्टम (1) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम eigenvectors पाते हैं।

उदाहरण 12. रैखिक ऑपरेटर ए कानून के अनुसार आर 3 में कार्य करता है, जहां x 1, x 2, .., x n आधार में वेक्टर के निर्देशांक हैं , , . इस ऑपरेटर के eigenvalues ​​​​और eigenvectors खोजें।
समाधान। हम इस ऑपरेटर के मैट्रिक्स का निर्माण करते हैं:
.
हम eigenvectors के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए एक प्रणाली बनाते हैं:

हम विशेषता समीकरण बनाते हैं और इसे हल करते हैं:

.
1,2 = -1, 3 = 3।
सिस्टम में = -1 को प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:
या
इसलिये , तो दो आश्रित चर और एक मुक्त चर हैं।
मान लीजिए x 1 एक मुक्त अज्ञात है, तब हम इस प्रणाली को किसी भी तरह से हल करते हैं और इस प्रणाली का सामान्य समाधान ढूंढते हैं: समाधान की मौलिक प्रणाली में एक समाधान होता है, क्योंकि n - r = 3 - 2 = 1।
eigenvalue = -1 के अनुरूप eigenvectors के सेट का रूप है: , जहां x 1 शून्य के अलावा कोई भी संख्या है। आइए इस सेट से एक वेक्टर चुनें, उदाहरण के लिए, x 1 = 1 सेट करके: .
इसी तरह तर्क करते हुए, हम eigenvalue = 3 के अनुरूप eigenvector पाते हैं: .
अंतरिक्ष में आर 3 आधार में तीन रैखिक होते हैं स्वतंत्र वैक्टर, लेकिन हमने केवल दो रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors प्राप्त किए हैं, जिनसे R 3 में आधार नहीं बनाया जा सकता है। नतीजतन, एक रैखिक ऑपरेटर के मैट्रिक्स ए को एक विकर्ण रूप में कम नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण 13 एक मैट्रिक्स दिया गया .
1. सिद्ध कीजिए कि सदिश मैट्रिक्स A का एक eigenvector है। इस eigenvector के अनुरूप eigenvalue खोजें।
2. एक आधार खोजें जिसमें मैट्रिक्स A का विकर्ण रूप हो।
समाधान।
1. यदि , तो एक eigenvector है

.
सदिश (1, 8, -1) एक eigenvector है। आइजनवैल्यू = -1।
मैट्रिक्स के आधार में एक विकर्ण रूप है जिसमें eigenvectors शामिल हैं। उनमें से एक प्रसिद्ध है। चलिए बाकी ढूंढते हैं।
हम सिस्टम से eigenvectors की तलाश कर रहे हैं:

विशेषता समीकरण: ;
(3 + )[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
1 = -3, 2 = 1, 3 = -1।
eigenvalue = -3 के अनुरूप eigenvector खोजें:

इस प्रणाली के मैट्रिक्स की रैंक दो के बराबर है और अज्ञात की संख्या के बराबर है, इसलिए इस प्रणाली का केवल एक शून्य समाधान x 1 = x 3 = 0 है। x 2 यहां शून्य के अलावा कुछ भी हो सकता है, उदाहरण के लिए, x 2 = 1. इस प्रकार, सदिश (0,1,0) = -3 के संगत एक eigenvector है। चलो देखते है:
.
यदि = 1, तो हमें निकाय प्राप्त होता है
मैट्रिक्स की रैंक दो है। अंतिम समीकरण को पार करें।
मान लीजिए x 3 मुक्त अज्ञात है। फिर x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3.
x 3 = 1 मानते हुए, हमारे पास (-3,-9,1) - एक eigenvector है जो eigenvalue = 1 के अनुरूप है। जाँच करें:

.
चूंकि eigenvalues ​​​​वास्तविक और अलग हैं, उनके अनुरूप वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, इसलिए उन्हें R 3 में आधार के रूप में लिया जा सकता है। इस प्रकार, आधार में , , मैट्रिक्स ए का रूप है:
.
एक रैखिक संकारक A:R n → R n के प्रत्येक मैट्रिक्स को एक विकर्ण रूप में कम नहीं किया जा सकता है, क्योंकि कुछ रैखिक ऑपरेटरों के लिए n रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors से कम हो सकते हैं। हालाँकि, यदि मैट्रिक्स सममित है, तो बिल्कुल m रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर गुणन m के विशेषता समीकरण की जड़ के अनुरूप हैं।

परिभाषा। एक सममित मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण के संबंध में सममित तत्व समान होते हैं, अर्थात जिसमें .
टिप्पणियां। 1. एक सममित मैट्रिक्स के सभी eigenvalues ​​​​वास्तविक हैं।
2. एक सममित मैट्रिक्स के आइजेनवेक्टर जो जोड़ीवार विभिन्न eigenvalues ​​​​के अनुरूप हैं, ऑर्थोगोनल हैं।
अध्ययन किए गए उपकरण के कई अनुप्रयोगों में से एक के रूप में, हम दूसरे क्रम के वक्र के रूप को निर्धारित करने की समस्या पर विचार करते हैं।