समरूपता का अक्ष कैसे बनाएं. A.4 समतल की अक्षीय समरूपता की परिभाषा और गुण

अब त्रिभुज की भुजाओं की सममिति अक्षों पर विचार करें। याद रखें कि किसी खंड की समरूपता की धुरी उसके मध्य में खंड पर उठाया गया लंबवत है।

ऐसे लंब का कोई भी बिंदु खंड के सिरों से समान दूरी पर होता है। मान लीजिए कि अब त्रिभुज ABC (चित्र 220) की भुजाओं BC और AC के मध्य बिंदुओं से होकर इन भुजाओं पर, अर्थात् इन दोनों भुजाओं की सममिति अक्षों पर, लम्ब खींचे गए हैं। उनका प्रतिच्छेदन बिंदु Q त्रिभुज के शीर्ष B और C से समान रूप से दूर है, क्योंकि यह भुजा BC की समरूपता के अक्ष पर स्थित है, उसी प्रकार यह शीर्ष A और C से भी समान रूप से दूर है। इसलिए, यह समान रूप से है शीर्ष A और B सहित, त्रिभुज के सभी तीन शीर्षों से दूर। इसलिए, यह त्रिभुज की तीसरी भुजा AB की समरूपता अक्ष पर स्थित है। अतः, त्रिभुज की तीनों भुजाओं की सममिति अक्ष एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। यह बिंदु त्रिभुज के शीर्षों से समान दूरी पर है। इसलिए, यदि आप त्रिभुज के शीर्षों से इस बिंदु की दूरी के बराबर त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचते हैं, जिसका केंद्र पाए गए बिंदु पर है, तो यह त्रिभुज के तीनों शीर्षों से होकर गुजरेगा। ऐसे वृत्त (चित्र 220) को परिबद्ध वृत्त कहा जाता है। इसके विपरीत, यदि हम किसी त्रिभुज के तीन शीर्षों से होकर गुजरने वाले एक वृत्त की कल्पना करते हैं, तो इसका केंद्र त्रिभुज के शीर्षों से समान दूरी पर होना चाहिए और इसलिए त्रिभुज की भुजाओं की समरूपता के प्रत्येक अक्ष से संबंधित होता है।

इसलिए, एक त्रिभुज में केवल एक परिचालित वृत्त होता है: किसी दिए गए त्रिभुज के चारों ओर एक वृत्त परिचालित किया जा सकता है, और इसके अलावा, केवल एक; इसका केंद्र त्रिभुज की भुजाओं पर बने तीन लंबवतों के मध्यबिंदु पर प्रतिच्छेद बिंदु पर स्थित है।

अंजीर पर. 221 न्यून, समकोण और अधिक त्रिभुजों के चारों ओर परिबद्ध वृत्त दिखाता है; परिचालित वृत्त का केंद्र पहले मामले में त्रिकोण के अंदर स्थित है, दूसरे में - त्रिकोण के कर्ण के मध्य में, तीसरे में - त्रिकोण के बाहर। यह एक वृत्त के चाप पर आधारित कोणों के गुणों से सबसे सरल रूप से अनुसरण करता है (आइटम 210 देखें)।

चूँकि कोई भी तीन बिंदु जो एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, उन्हें त्रिभुज का शीर्ष माना जा सकता है, यह तर्क दिया जा सकता है कि एक एकल वृत्त किन्हीं तीन बिंदुओं से होकर गुजरता है जो एक सीधी रेखा से संबंधित नहीं हैं। इसलिए, दो वृत्तों में अधिकतम दो उभयनिष्ठ बिंदु होते हैं।

एक त्रिभुज में सममिति के कितने अलग-अलग अक्ष हो सकते हैं यह उसके ज्यामितीय आकार पर निर्भर करता है। यदि यह एक समबाहु त्रिभुज है, तो इसमें तुरंत समरूपता के तीन अक्ष होंगे।

और यदि यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है, तो इसमें समरूपता का केवल एक अक्ष होगा।

बहन का बेटा अभी स्कूल में ज्यामिति पाठ में इस विषय को पढ़ रहा है। समरूपता की धुरी एक सीधी रेखा है, जिसके चारों ओर एक विशिष्ट कोण पर घुमाए जाने पर, सममित आकृति अंतरिक्ष में वही स्थिति ले लेगी जो उसने घूमने से पहले ली थी, और इसके कुछ हिस्सों को उन्हीं अन्य हिस्सों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा। एक समद्विबाहु त्रिभुज में - तीन, एक आयताकार में - एक, बाकी में - नहीं, क्योंकि उनकी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर नहीं हैं।

यह किस त्रिभुज पर निर्भर करता है। एक समबाहु त्रिभुज में सममिति के तीन अक्ष होते हैं जो इसके तीन शीर्षों से होकर गुजरते हैं। एक समद्विबाहु त्रिभुज में क्रमशः समरूपता का एक अक्ष होता है। शेष त्रिभुजों में सममिति अक्ष नहीं है।



याद रखने वाली सबसे सरल बात यह है कि एक समबाहु त्रिभुज की तीन भुजाएँ बराबर होती हैं और इसमें सममिति के तीन अक्ष होते हैं

इससे निम्नलिखित को याद रखना आसान हो जाता है

कोई भी भुजाएँ समान नहीं हैं, अर्थात सभी भुजाएँ भिन्न हैं, जिसका अर्थ है कि समरूपता की कोई अक्ष नहीं हैं

एक समद्विबाहु त्रिभुज में केवल एक अक्ष होता है।



यह समझे बिना कि हम किस विशेष त्रिभुज के बारे में बात कर रहे हैं, बस यह उत्तर देना असंभव है कि एक त्रिभुज में सममिति के कितने अक्ष हैं।

एक समबाहु त्रिभुज में क्रमशः सममिति के तीन अक्ष होते हैं।

एक समद्विबाहु त्रिभुज में सममिति का केवल एक अक्ष होता है।

अलग-अलग लंबाई की भुजाओं वाले किसी भी अन्य त्रिभुज में समरूपता का कोई अक्ष नहीं होता है।

एक त्रिभुज, जिसकी सभी भुजाएँ आकार में भिन्न होती हैं, में समरूपता का कोई अक्ष नहीं होता है।

एक समकोण त्रिभुज में समरूपता का एक अक्ष हो सकता है यदि उसके पैर बराबर हों।

जिस त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर (समबाहु) हों, उसमें एक अक्ष खींचा जा सकता है और जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर (समबाहु) हों - तीन।

एक त्रिभुज में सममिति के कितने अक्ष होते हैं, इस प्रश्न का उत्तर देने से पहले, आपको सबसे पहले यह याद रखना होगा कि समरूपता का अक्ष क्या है।

तो, सीधे शब्दों में कहें तो, ज्यामिति में, समरूपता की धुरी एक रेखा है, यदि आप एक आकृति को जिसके अनुदिश मोड़ते हैं, तो हमें वही आधे हिस्से मिलते हैं।

लेकिन यह याद रखने योग्य है कि त्रिभुज भी भिन्न होते हैं।

तो यह यहाँ है समद्विबाहुएक त्रिभुज (दो समान भुजाओं वाला एक त्रिभुज) में समरूपता का एक अक्ष होता है।

समभुजत्रिभुज में क्रमशः सममिति के 3 अक्ष हैं, क्योंकि इस त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान हैं।

और यहां बहुमुखीत्रिभुज में सममिति का कोई अक्ष नहीं होता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप इसे कैसे मोड़ते हैं और कहीं भी सीधी रेखाएँ खींचते हैं, लेकिन चूँकि भुजाएँ अलग-अलग हैं, तो दो समान आधे काम नहीं करेंगे।



जहाँ तक मुझे ज्यामिति याद है, एक समबाहु त्रिभुज में सममिति के तीन अक्ष इसके शीर्षों से होकर गुजरते हैं, ये इसके समद्विभाजक हैं। पर सही त्रिकोण, साथ ही बहुमुखी, कुंठित और तीव्र त्रिकोणसममिति का कोई अक्ष नहीं होता, लेकिन समद्विबाहु में एक अक्ष होता है।

और इसे जांचना आसान है - बस एक रेखा की कल्पना करें जिसके साथ इसे दो भागों में काटा जा सकता है ताकि दो समान त्रिकोण प्राप्त हो सकें।

चूँकि त्रिभुज अलग-अलग होते हैं, इसलिए उनमें सममिति के अक्ष क्रमशः अलग-अलग मात्रा में होते हैं। उदाहरण के लिए, विभिन्न भुजाओं वाला एक त्रिभुज जिसमें सममिति अक्ष बिल्कुल नहीं है। और समबाहु में उनमें से तीन हैं। एक अन्य प्रकार का त्रिभुज है जिसमें सममिति का एक अक्ष होता है। इसकी दो बराबर भुजाएँ और एक समकोण है।

एक मनमाना त्रिभुज में सममिति का कोई अक्ष नहीं होता है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में समरूपता का एक अक्ष होता है - यह एक तरफ की माध्यिका है। एक समबाहु त्रिभुज में सममिति के तीन अक्ष होते हैं - ये इसकी तीन माध्यिकाएँ हैं।

फ्रेडरिक वी.ए. 1

डिमेंतिवा वी.वी. 1

1 नगरपालिका बजटीय शैक्षणिक संस्थान "माध्यमिक विद्यालय नंबर 6", अलेक्जेंड्रोव्स्क, पर्म टेरिटरी

कार्य का पाठ छवियों और सूत्रों के बिना रखा गया है।
पूर्ण संस्करणकार्य पीडीएफ प्रारूप में "कार्य की फ़ाइलें" टैब में उपलब्ध है

परिचय

“एक ब्लैक बोर्ड के सामने खड़े होकर उस पर चित्र बनाना

विभिन्न आकृतियों को चाक करें,

मैं अचानक इस विचार से दंग रह गया:

समरूपता आँख को क्यों अच्छी लगती है?

समरूपता क्या है?

यह एक सहज भावना है, मैंने स्वयं उत्तर दिया।

एल.एन. टालस्टाय

6वीं कक्षा की गणित की पाठ्यपुस्तक में, लेखक निकोलस्की एस.एम., पृष्ठ 132 - 133 अनुभाग पर अध्याय संख्या 3 के लिए अतिरिक्त कार्य, एक विमान पर आकृतियों का अध्ययन करने के लिए कार्य हैं जो एक सीधी रेखा के बारे में सममित हैं। मुझे इस विषय में दिलचस्पी थी, मैंने कार्यों को पूरा करने और इस विषय का अधिक विस्तार से अध्ययन करने का निर्णय लिया।

अध्ययन का उद्देश्य समरूपता है।

शोध का विषय ब्रह्मांड के मूलभूत नियम के रूप में समरूपता है।

मैं किस परिकल्पना का परीक्षण करूंगा?

मेरा मानना ​​है कि अक्षीय समरूपता केवल गणितीय नहीं है और ज्यामितीय अवधारणा, और इसका उपयोग केवल प्रासंगिक समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है, बल्कि यह सद्भाव, सौंदर्य, संतुलन और स्थिरता का आधार भी है। समरूपता का सिद्धांत हमारे यहां लगभग सभी विज्ञानों में प्रयोग किया जाता है रोजमर्रा की जिंदगीऔर यह "आधारशिला" कानूनों में से एक है जिस पर संपूर्ण ब्रह्मांड आधारित है।

विषय की प्रासंगिकता

समरूपता की अवधारणा मानव रचनात्मकता के पूरे सदियों पुराने इतिहास में चलती है। यह इसके विकास के मूल में पहले से ही पाया जाता है। हमारे समय में शायद ऐसे व्यक्ति को ढूंढना मुश्किल है जिसे समरूपता का कुछ भी अंदाज़ा न हो। जिस दुनिया में हम रहते हैं वह घरों, सड़कों, प्रकृति और मनुष्य की रचनाओं की समरूपता से भरी हुई है। हम वस्तुतः हर कदम पर समरूपता का सामना करते हैं: प्रौद्योगिकी, कला, विज्ञान में।

इसलिए, हमारे चारों ओर की दुनिया में समरूपता का ज्ञान और समझ अनिवार्य और आवश्यक है, जो भविष्य में अन्य वैज्ञानिक विषयों के अध्ययन के लिए उपयोगी होगी। यह मेरे द्वारा चुने गए विषय की प्रासंगिकता है।

लक्ष्य एवं कार्य

कार्य का लक्ष्य:पता लगाएं कि प्रकृति, वास्तुकला, रोजमर्रा की जिंदगी, संगीत और अन्य विज्ञानों में रोजमर्रा के मानव जीवन में समरूपता क्या भूमिका निभाती है।

इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, मुझे निम्नलिखित कार्य पूरे करने होंगे:

1. आवश्यक जानकारी, साहित्य और तस्वीरें ढूंढें। मेरे पास उपलब्ध स्रोतों का उपयोग करके, मेरे काम के लिए आवश्यक डेटा की अधिकतम मात्रा स्थापित करें: पाठ्यपुस्तकें, विश्वकोश या दिए गए विषय से संबंधित अन्य मीडिया।

2. देना सामान्य सिद्धांतसमरूपता, समरूपता के प्रकार और शब्द की उत्पत्ति के इतिहास के बारे में।

3. अपनी परिकल्पना की पुष्टि करने के लिए, शिल्प बनाएं और इन आकृतियों के साथ एक प्रयोग करें जिनमें समरूपता हो और असममित न हो।

4. अपने अध्ययन में अवलोकनों के परिणामों को प्रदर्शित और प्रस्तुत करें।

व्यावहारिक भाग के लिए अनुसंधान कार्यमुझे निम्नलिखित कार्य करने की आवश्यकता है, जिसके लिए मैंने एक कार्य योजना बनाई है:

1. निर्दिष्ट गुणों के साथ DIY शिल्प बनाएं - सममित और गैर-सममित मॉडल, रंगीन कागज, कार्डबोर्ड, कैंची, फेल्ट-टिप पेन, गोंद, आदि का उपयोग करके रचना;

2. दो समरूपता विकल्पों के साथ, अपने शिल्प के साथ प्रयोग करें।

3. एक तालिका संकलित करके प्राप्त परिणामों की जांच, विश्लेषण और व्यवस्थित करें।

4. प्राप्त ज्ञान के दृश्य और दिलचस्प समेकन के लिए, "पेंट 3 डी" एप्लिकेशन का उपयोग करके, स्पष्टता के लिए चित्र बनाएं, साथ ही चित्र बनाएं, कार्यों के साथ - एक सममित आधा बनाएं (से शुरू करें) सरल चित्रऔर जटिल लोगों के साथ समाप्त होता है) और एक ई-पुस्तक बनाकर उन्हें संयोजित करें।

तलाश पद्दतियाँ:

1. लेखों का विश्लेषण और समरूपता के बारे में सारी जानकारी।

2. कंप्यूटर मॉडलिंग (ग्राफिक संपादक के माध्यम से फोटो प्रोसेसिंग)।

3. प्राप्त आंकड़ों का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण।

मुख्य हिस्सा।

अक्षीय समरूपता और पूर्णता की अवधारणा

प्राचीन काल से ही मनुष्य ने सौंदर्य के बारे में विचार विकसित किए हैं और पूर्णता के अर्थ को समझने का प्रयास किया है। प्रकृति की सभी रचनाएँ सुन्दर हैं। लोग अपने तरीके से सुंदर हैं, जानवर और पौधे आनंददायक हैं। किसी कीमती पत्थर या नमक के क्रिस्टल का दृश्य आंख को भाता है, बर्फ के टुकड़े या तितली की प्रशंसा न करना कठिन है। लेकिन ऐसा क्यों हो रहा है? हमें ऐसा लगता है कि वस्तुओं का स्वरूप सही और पूर्ण है, जिसका दायां और बायां भाग एक जैसा दिखता है।

जाहिर है, कला के लोग सौंदर्य के सार के बारे में सोचने वाले पहले व्यक्ति थे।

इस अवधारणा को सबसे पहले कलाकारों, दार्शनिकों और गणितज्ञों द्वारा प्रमाणित किया गया था प्राचीन ग्रीस. प्राचीन मूर्तिकार जिन्होंने संरचना का अध्ययन किया मानव शरीर, 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व में। "समरूपता" की अवधारणा का उपयोग करना शुरू किया। यह शब्द है ग्रीक मूलऔर इसका अर्थ है घटक भागों की व्यवस्था में सामंजस्य, आनुपातिकता और समानता। प्राचीन यूनानी विचारक और दार्शनिक प्लेटो ने तर्क दिया कि केवल वही सुंदर हो सकता है जो सममित और आनुपातिक हो।

और वास्तव में, वे घटनाएँ और रूप जिनमें आनुपातिकता और पूर्णता है, "आंख के लिए सुखद" हैं। हम उन्हें सही कहते हैं.

समरूपता के प्रकार

ज्यामिति और गणित में, तीन प्रकार की समरूपता मानी जाती है: अक्षीय समरूपता (एक सीधी रेखा के संबंध में), केंद्रीय (एक बिंदु के संबंध में) और दर्पण (एक विमान के संबंध में)।

गणितीय अवधारणा के रूप में अक्षीय समरूपता

बिंदु एक निश्चित रेखा (समरूपता की धुरी) के बारे में सममित होते हैं यदि वे इस रेखा के लंबवत रेखा पर और समरूपता की धुरी से समान दूरी पर स्थित होते हैं।

एक आकृति को एक रेखा के संबंध में सममित माना जाता है यदि विचाराधीन आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए, दी गई रेखा के संबंध में सममित बिंदु भी इस आकृति पर स्थित है। इस मामले में सीधी रेखा आकृति की समरूपता का अक्ष है।

जो आकृतियाँ एक सीधी रेखा के प्रति सममित होती हैं वे बराबर होती हैं। अगर ज्यामितीय आकृतिअक्षीय समरूपता विशेषता है, दर्पण बिंदुओं की परिभाषा को केवल अक्ष के साथ झुकाकर और समान हिस्सों को "आमने-सामने" मोड़कर देखा जा सकता है। वांछित बिंदु एक दूसरे को स्पर्श करेंगे.

समरूपता अक्ष के उदाहरण: समद्विबाहु त्रिभुज के गैर-विस्तारित कोण का समद्विभाजक, वृत्त के केंद्र से होकर खींची गई कोई सीधी रेखा, आदि। यदि एक ज्यामितीय आकृति को अक्षीय समरूपता द्वारा चित्रित किया जाता है, तो दर्पण बिंदुओं की परिभाषा को केवल अक्ष के साथ झुकाकर और बराबर हिस्सों को "आमने-सामने" मोड़कर देखा जा सकता है। वांछित बिंदु एक दूसरे को स्पर्श करेंगे.

आकृतियों में समरूपता के कई अक्ष हो सकते हैं:

किसी कोण की समरूपता की धुरी वह सीधी रेखा होती है जिस पर उसका समद्विभाजक स्थित होता है;

एक वृत्त और एक वृत्त की समरूपता की धुरी उनके व्यास से गुजरने वाली कोई सीधी रेखा है;

एक समद्विबाहु त्रिभुज में समरूपता का एक अक्ष होता है, एक समबाहु त्रिभुज में समरूपता के तीन अक्ष होते हैं;

एक आयत में सममिति के 2 अक्ष होते हैं, एक वर्ग में 4 होते हैं, एक समचतुर्भुज में समरूपता के 2 अक्ष होते हैं।

समरूपता की धुरी एक काल्पनिक रेखा है जो किसी वस्तु को सममित भागों में विभाजित करती है। मेरे चित्र में, इसे स्पष्टता के लिए दिखाया गया है।

ऐसी आकृतियाँ हैं जिनमें समरूपता का कोई अक्ष नहीं है। ऐसी आकृतियों में एक समांतर चतुर्भुज, एक आयत और एक समचतुर्भुज से भिन्न, एक विषमबाहु त्रिभुज शामिल होता है।

प्रकृति में अक्षीय समरूपता

प्रकृति बुद्धिमान और तर्कसंगत है, इसलिए उसकी लगभग सभी रचनाओं में एक सामंजस्यपूर्ण संरचना है। यह बात जीवित प्राणियों और निर्जीव वस्तुओं दोनों पर लागू होती है।

ध्यान से देखने पर पता चलता है कि प्रकृति द्वारा निर्मित अनेक रूपों के सौन्दर्य का आधार समरूपता है। पत्तियों, फूलों, फलों में स्पष्ट समरूपता होती है। उनकी दर्पण, रेडियल, केंद्रीय, अक्षीय समरूपता स्पष्ट है। यह काफी हद तक गुरुत्वाकर्षण की घटना के कारण है।

अपनी सपाट सतहों के साथ क्रिस्टल की ज्यामितीय आकृतियाँ एक अद्भुत प्राकृतिक घटना हैं। हालाँकि, किसी क्रिस्टल की वास्तविक भौतिक समरूपता उसमें उतनी अधिक प्रकट नहीं होती है उपस्थिति, किसी क्रिस्टलीय पदार्थ की आंतरिक संरचना में कितना होता है।

पशु जगत में अक्षीय समरूपता

जीवित प्राणियों की दुनिया में समरूपता केंद्र या धुरी के सापेक्ष शरीर के समान हिस्सों की नियमित व्यवस्था में प्रकट होती है। अक्षीय समरूपता प्रकृति में अधिक सामान्य है। यह न केवल का कारण बनता है सामान्य संरचनाजीव, बल्कि इसके बाद के विकास की संभावना भी। प्रत्येक प्रकार के जानवर का एक विशिष्ट रंग होता है। यदि रंग में कोई पैटर्न दिखाई देता है, तो, एक नियम के रूप में, इसे दोनों तरफ दोहराया जाता है।

अक्षीय समरूपता और मनुष्य

यदि आप किसी को देखें जीवित प्राणी, शरीर की संरचना की समरूपता तुरंत ध्यान आकर्षित करती है। आदमी: दो हाथ, दो पैर, दो आंखें, दो कान, इत्यादि।

इसका मतलब यह है कि एक निश्चित रेखा है जिसके साथ जानवरों और लोगों को दृष्टि से दो समान हिस्सों में "विभाजित" किया जा सकता है, यानी, उनकी ज्यामितीय संरचना अक्षीय समरूपता पर आधारित है।

जैसा कि उपरोक्त उदाहरणों से देखा जा सकता है, प्रकृति किसी भी जीवित जीव को यादृच्छिक और संवेदनहीन रूप से नहीं, बल्कि विश्व व्यवस्था के सामान्य नियमों के अनुसार बनाती है, क्योंकि ब्रह्मांड में किसी भी चीज़ का विशुद्ध रूप से सौंदर्यवादी, सजावटी उद्देश्य नहीं है। यह प्राकृतिक आवश्यकता के कारण है।

बेशक, गणितीय परिशुद्धता शायद ही कभी प्रकृति में अंतर्निहित होती है, लेकिन किसी जीव के तत्वों की समानता अभी भी हड़ताली है।

वास्तुकला में समरूपता

प्राचीन काल से, वास्तुकार गणितीय अनुपात और समरूपता से अच्छी तरह परिचित रहे हैं, और वास्तुशिल्प संरचनाओं के निर्माण में उनका उपयोग करते थे। उदाहरण के लिए, रूसी वास्तुकला रूढ़िवादी चर्चऔर रूस के कैथेड्रल: क्रेमलिन, मॉस्को में कैथेड्रल ऑफ क्राइस्ट द सेवियर, सेंट पीटर्सबर्ग में कज़ान और सेंट इसाक कैथेड्रल, आदि।

साथ ही अन्य विश्व-प्रसिद्ध दर्शनीय स्थल, जिनमें से कई विश्व के सभी देशों में हैं, अब हम देख सकते हैं: मिस्र के पिरामिड, लौवर, ताज महल, कोलोन कैथेड्रल, आदि। जैसा कि हम देखते हैं, उन सभी में समरूपता है।

संगीत में समरूपता

मैं एक संगीत विद्यालय में पढ़ता हूं, मेरे लिए इस क्षेत्र में समरूपता के उदाहरण ढूंढना दिलचस्प था। न केवल संगीत वाद्ययंत्रइनमें स्पष्ट समरूपता होती है, लेकिन संगीत कार्यों के कुछ हिस्से स्कोर और संगीतकार के इरादे के अनुसार एक निश्चित क्रम में बजते हैं।

उदाहरण के लिए, रीप्राइज़ - (फ़्रेंच रीप्राइज़, रीप्रेंड्रे से - फिर से शुरू करने के लिए)। किसी विषय या विषयों के समूह की उसके (उनके) विकास या नई विषयगत सामग्री की प्रस्तुति के चरण के बाद पुनरावृत्ति।

इसके अलावा नियमित अंतराल पर समय में एक-आयामी पुनरावृत्ति में लय का संगीत सिद्धांत है।

इंजीनियरिंग में समरूपता

हम तेजी से बदलते हाई-टेक, सूचना समाज में रहते हैं, और हम इस बारे में नहीं सोचते हैं कि हमारे आस-पास की कुछ वस्तुएं और घटनाएं सुंदरता की भावना क्यों पैदा करती हैं, जबकि अन्य नहीं। हम उन पर ध्यान नहीं देते, हम उनकी संपत्तियों के बारे में सोचते भी नहीं।

लेकिन इसके अलावा, ये तकनीकी और यांत्रिक उपकरण, भाग, तंत्र, इकाइयां ठीक से काम करने और बिल्कुल भी कार्य करने में सक्षम नहीं होंगी यदि समरूपता नहीं देखी जाती है, या बल्कि, एक निश्चित धुरी, यांत्रिकी में यह गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है।

इस मामले में, केंद्र में संतुलन आवश्यक है तकनीकी आवश्यकता, जिसका पालन GOST या TU द्वारा कड़ाई से विनियमित है और इसका पालन किया जाना चाहिए।

समरूपता और अंतरिक्ष वस्तुएं

लेकिन, शायद, प्राचीन काल से कई लोगों के दिमाग में सबसे रहस्यमय, रोमांचक, अंतरिक्ष वस्तुएं हैं। जिनमें समरूपता भी है - सूर्य, चंद्रमा, ग्रह।

इस श्रृंखला को जारी रखा जा सकता है, लेकिन अब हम किसी एकल चीज़ के बारे में बात कर रहे हैं: अक्षीय समरूपता ब्रह्मांड का मौलिक नियम है, सौंदर्य, सद्भाव और आनुपातिकता का आधार है, और गणित के साथ इसका संबंध है।

व्यावहारिक भाग

आवश्यक जानकारी प्राप्त करने के बाद, साहित्य का अध्ययन करने के बाद, मैं अपनी परिकल्पना की सत्यता के प्रति आश्वस्त हो गया और निष्कर्ष निकाला कि किसी व्यक्ति की नज़र में, विषमता अक्सर अनियमितता या हीनता से जुड़ी होती है। इसलिए, मानव हाथों की अधिकांश रचनाओं में समरूपता और सामंजस्य एक आवश्यक और अनिवार्य आवश्यकता के रूप में पाया जा सकता है।

यह मेरे चित्र में स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है, जिसमें एक पिगलेट को शरीर के अनुपातहीन हिस्सों के साथ दर्शाया गया है, जो तुरंत आंख को पकड़ लेता है!

और जब आप लंबे समय तक उसके आदी हो जाएंगे तभी आप उसे प्यारा मानेंगे?

इस तथ्य के बावजूद कि यह विषय ज्ञात है और अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है, इन सभी आंकड़ों को प्रत्येक अनुशासन में अलग से माना जाता है। सामान्यीकृत डेटा कि समरूपता के सिद्धांत का उपयोग किया जाता है, और यह इस पर है कि कई अन्य विज्ञान आधारित हैं, और मुझे गणित के साथ उनका संबंध नहीं मिला है।

इसलिए, मैंने अपने लिए सबसे सरल और सबसे सुलभ तरीके का उपयोग करके अपने कथन को साबित करने का निर्णय लिया। मेरा मानना ​​है कि वह समाधान परीक्षणों के साथ एक प्रयोग करना होगा।

स्पष्ट रूप से यह साबित करने के लिए कि असममित मॉडल स्थिर नहीं हैं, उनमें आवश्यक आवश्यकताएं और महत्वपूर्ण कौशल नहीं हैं, और मेरी परिकल्पना की पुष्टि करने के लिए, मुझे शिल्प, चित्र और रचना बनाने की आवश्यकता है:

विकल्प 1 - अक्ष के बारे में सममित;

विकल्प 2 - समरूपता के स्पष्ट उल्लंघन के साथ।

चूँकि मेरा मानना ​​है कि ऐसा असंतुलन निम्नलिखित उदाहरणों में स्पष्ट रूप से दिखाई देगा, जिसके लिए मैंने रंगीन कागज से ओरिगेमी शिल्प (हवाई जहाज और मेंढक) बनाए। प्रयोग की शुद्धता के लिए इन्हें एक ही रंग के कागज से बनाया जाता है और उन्हीं परिस्थितियों में परीक्षण किया जाता है। और रचना "लाइटहाउस", जहां लाइटहाउस खाली से बना है प्लास्टिक की बोतल, रंगीन कागज से चिपकाया गया। रचना को सजाने के लिए, एक व्यक्ति की खिलौना आकृतियाँ, एक सेलबोट और एक नाव के मॉडल का उपयोग किया गया था, सजावटी पत्थर, और प्रकाश का अनुकरण करने के लिए, मैंने बैटरी से चमकने वाले एक तत्व का उपयोग किया।

मैंने इन शिल्पों के साथ परीक्षण किए, सभी संकेतक रिकॉर्ड किए और उन्हें एक तालिका में दर्ज किया (सभी संकेतक परिशिष्ट संख्या 1, पृष्ठ 18-21 में देखे जा सकते हैं)।

सभी शिल्प सुरक्षा नियमों के अनुपालन में बनाए गए थे। (परिशिष्ट क्रमांक 2 पृष्ठ 21)

मैंने प्राप्त सभी डेटा का विश्लेषण किया, यही मुझे मिला।

डेटा विश्लेषण

प्रयोग #1

परीक्षण- इस दूरी को नापते हुए मेंढकों की लंबी छलांग।

हरा (सममित) मेंढक समान रूप से, अधिक दूरी तक छलांग लगाता है, और लाल (सममित नहीं) मेंढक कभी भी सीधा नहीं कूदता, हमेशा एक मोड़ के साथ या किनारे की ओर पलटकर, 2 - 3 गुना कम दूरी पर कूदता है।

इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ऐसा जानवर जल्दी से शिकार नहीं कर पाएगा या, इसके विपरीत, भाग नहीं पाएगा, प्रभावी ढंग से भोजन प्राप्त नहीं कर पाएगा, जिससे जीवित रहने की संभावना कम हो जाती है, इससे साबित होता है कि प्रकृति में सब कुछ संतुलित, आनुपातिक, सही - सममित है .

प्रयोग #2

परीक्षण का प्रकार- विमान को उड़ान में लॉन्च करना और उड़ान की लंबाई की दूरी को मापना।

हवाई जहाज नंबर 1 "पिंक" (सममित) 10 बार, 8 बार सीधी और सीधी उड़ान भरता है, अधिकतम लंबाई तक, (यानी मेरे कमरे की पूरी लंबाई), और हवाई जहाज नंबर 2 "ऑरेंज" का उड़ान पथ ( सममित नहीं) 10 बार से - कभी भी सीधी उड़ान नहीं भरी, हमेशा एक मोड़ या पलटाव के साथ, कम दूरी के लिए। यानी अगर यह असली विमान होता तो सही दिशा में सुचारु रूप से उड़ान नहीं भर पाता. ऐसी उड़ान मनुष्यों (साथ ही पक्षियों) और कारों और अन्य लोगों के लिए बहुत असुविधाजनक या खतरनाक भी होगी वाहनोंआंदोलन, गाड़ी चलाने, तैरने आदि में सक्षम नहीं होगा। आवश्यक दिशा में.

प्रयोग #3

परीक्षण का प्रकार -सतह के सापेक्ष संरचना के झुकाव के कोण में कमी के साथ, मयंक भवन की स्थिरता की जाँच करना।

1. "लाइटहाउस" की रचना बनाने के बाद, मैंने इसे सीधे सेट किया, अर्थात। सतह पर संरचना की दीवारों के सापेक्ष लंबवत (90 0 के कोण पर)। यह डिज़ाइन बिल्कुल खड़ा है, स्थापित प्रकाश तत्व और किसी व्यक्ति की आकृति का सामना करता है।

2. आगे के प्रयोग के लिए, मुझे टावर का आधार 10 0 के बराबर कोण पर बनाना था।

उसके बाद मैंने आधार से 10 0 के बराबर का कोण काट दिया।

80 0 के कोण पर, इमारत टेढ़ी-मेढ़ी है, डगमगाती है, लेकिन अतिरिक्त भार सहन कर लेती है।

3. एक और 10 0 काटने पर, हमें 70 0 का झुकाव कोण मिला, जिस पर मेरी पूरी संरचना ढह जाती है।

यह अनुभव साबित करता है कि समकोण पर निर्माण करने और भवन की समरूपता बनाए रखने की ऐतिहासिक रूप से स्थापित परंपरा, आवश्यक शर्तवास्तुशिल्प भवनों और संरचनाओं के टिकाऊ, विश्वसनीय निर्माण और संचालन के लिए।

के लिए अच्छा उदाहरण अक्षीय समरूपताऔर इस दावे का प्रमाण कि एक व्यक्ति अपने आस-पास की किसी वस्तु, जानवरों की छवियों आदि को देखता है। केवल सममित रूप से, यानी, जब दोनों पक्ष, "आधे" समान होते हैं, बराबर होते हैं, तो मैंने एक इलेक्ट्रॉनिक रंग भरने वाली किताब बनाई जिसे बच्चों की रंग भरने वाली किताब संकलित करके मुद्रित किया जा सकता है। यह मैनुअल हर किसी को विषय को बेहतर ढंग से समझने, दिलचस्प ढंग से और आनंद के साथ खर्च करने में मदद करेगा खाली समय (शीर्षक पृष्ठ इस चित्र में दिखाया गया है, शेष चित्र परिशिष्ट संख्या 3, पृ. 21-24 में स्थित हैं)।

मेरे प्रयोग साबित करते हैं कि समरूपता न केवल एक गणितीय और ज्यामितीय अवधारणा है, बल्कि एक क्षेत्र है, हमारे रहने का वातावरण है, एक प्रकार की तकनीकी आवश्यकता है, साथ ही लोगों और जानवरों दोनों के लिए सामान्य रूप से जीवित रहने के लिए एक आवश्यक शर्त है। समरूपता इन सबको एक साथ लाती है, और पारंपरिक विज्ञान से कहीं आगे निकल जाती है!

निष्कर्ष

निष्कर्ष:

मुझे पता चला कि समरूपता किसी व्यक्ति के रोजमर्रा के जीवन में, घरेलू वस्तुओं में, वास्तुकला, प्रौद्योगिकी, प्रकृति, संगीत, विज्ञान आदि में मुख्य घटकों में से एक है।

परिणाम:

मुझे आवश्यक जानकारी मिली, अपनी परिकल्पना सिद्ध की, परीक्षण किया और अनुभवजन्य रूप से इसकी पुष्टि की। मैंने शिल्प, रचना, चित्र और इलेक्ट्रॉनिक रंग तैयार किए प्रदर्शनप्रयोग।

मुझे पता चला कि प्रकृति के सभी नियम - जैविक, रासायनिक, आनुवंशिक, खगोलीय - समरूपता से जुड़े हुए हैं। व्यावहारिक रूप से, जो कुछ भी हमें घेरता है, जो मनुष्य द्वारा बनाया गया है, हम सभी के लिए सामान्य समरूपता के सिद्धांतों के अधीन है, क्योंकि उनके पास एक ईर्ष्यापूर्ण प्रणाली है। इस प्रकार, एक सिद्धांत के रूप में संतुलन, पहचान का सार्वभौमिक दायरा है।

क्या हम कह सकते हैं कि समरूपता वह मौलिक नियम है जिस पर विज्ञान के बुनियादी नियम आधारित हैं? शायद हाँ।

मानव जाति के महान विचारकों ने इस रहस्य को समझने का प्रयास किया। आज हम इस रहस्य को सुलझाने में लग गए।

प्रसिद्ध गणितज्ञों में से एक हरमन वेइल ने लिखा है कि "समरूपता वह विचार है जिसके द्वारा मनुष्य सदियों से व्यवस्था, सौंदर्य और पूर्णता को समझने और बनाने की कोशिश कर रहा है।"

क्या हमने सुंदरता, पूर्णता या यहां तक ​​कि ब्रह्मांड के बुनियादी नियमों को बनाने का रहस्य ढूंढ लिया है? शायद यह समरूपता है?

अनुप्रयोग

परिशिष्ट संख्या 1 परीक्षण तालिका:

आवेदन क्रमांक 2

मेरे शिल्प के निर्माण में, सुरक्षा सावधानियों का पालन किया गया, अर्थात्:

कैंची या चाकू को अच्छी तरह से तेज और समायोजित किया जाना चाहिए।

इसे एक विशिष्ट एवं सुरक्षित स्थान या डिब्बे में संग्रहित किया जाना चाहिए।

कैंची (चाकू) का उपयोग करते समय, आपको विचलित नहीं होना चाहिए, आपको यथासंभव सावधान और अनुशासित रहने की आवश्यकता है।

कैंची (चाकू) पास करते समय, उन्हें बंद ब्लेड (बिंदु) से पकड़ें।

कैंची (चाकू) को अपने से दूर दिशा में बंद ब्लेड (बिंदु) के साथ दाईं ओर रखें।

काटते समय कैंची का संकीर्ण ब्लेड (चाकू की नोक) नीचे होना चाहिए।

गोंद का उपयोग करने के बाद अपने हाथ धो लें.

आवेदन क्रमांक 3

इलेक्ट्रॉनिक रंग भरने वाली किताब

समरूपता-

इसका मतलब यह है कि वस्तु का एक हिस्सा दूसरे के समान है।

अक्षीय समरूपता एक सीधी रेखा (रेखा) के बारे में समरूपता है।

समरूपता की धुरी एक काल्पनिक रेखा है जो किसी वस्तु को सममित भागों में विभाजित करती है। इसे स्पष्टता के लिए आंकड़ों में दिखाया गया है।

इस पुस्तक में, आपको बिंदुओं को जोड़कर चित्र पूरा करना होगा।

फिर आपको जो मिले उसे आप रंग सकते हैं।

इन चित्रों को पूरा करने का प्रयास करें:

दिल

त्रिकोण छोटे सा घर

तारांकन पत्रक

क्रिसमस ट्री चूहा

कुत्ताताला

कोअक्षीय समरूपता के अलावा, एक बिंदु के बारे में समरूपता भी होती है।

यह गेंद सममित है

और एक अन्य प्रकार की समरूपता - दर्पण समरूपता।

दर्पण समरूपता-

समतल के बारे में समरूपता है। उदाहरण के लिए, दर्पण के संबंध में।

समरूपता है -

प्रयुक्त पुस्तकें

2. हरमन वेइल "समरूपता" (प्रकाशन गृह "नौका" भौतिक और गणितीय साहित्य का मुख्य संस्करण, मॉस्को, 1968)

4. मेरे चित्र और तस्वीरें.

5. मशीन बिल्डर की हैंडबुक, खंड 1, (मशीन-निर्माण साहित्य का राज्य वैज्ञानिक और तकनीकी प्रकाशन गृह, मॉस्को, 1960)

6. इंटरनेट से तस्वीरें और चित्र।

लक्ष्य:

• शैक्षिक:
  • समरूपता का एक विचार दें;
  • समतल और अंतरिक्ष में मुख्य प्रकार की समरूपता का परिचय दे सकेंगे;
  • सममित आकृतियाँ बनाने में मजबूत कौशल विकसित करना;
  • प्रसिद्ध आकृतियों को समरूपता से जुड़े गुणों से परिचित कराकर उनके बारे में विचारों का विस्तार करें;
  • हल करने में समरूपता का उपयोग करने की संभावनाएँ दिखाएँ विभिन्न कार्य;
  • अर्जित ज्ञान को समेकित करें;
• सामान्य शिक्षा:
  • काम के लिए खुद को तैयार करना सीखें;
  • डेस्क पर स्वयं और पड़ोसी को नियंत्रित करना सिखाएं;
  • यह सिखाने के लिए कि अपने डेस्क पर अपना और अपने पड़ोसी का मूल्यांकन कैसे करें;
• विकसित होना:
  • स्वतंत्र गतिविधि सक्रिय करें;
  • संज्ञानात्मक गतिविधि विकसित करें;
  • प्राप्त जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत करना और व्यवस्थित करना सीखें;
• शैक्षिक:
  • छात्रों को "कंधे की भावना" शिक्षित करें;
  • संचार विकसित करें;
  • संचार की संस्कृति विकसित करें।

कक्षाओं के दौरान

प्रत्येक के सामने कैंची और कागज की एक शीट है।

अभ्यास 1(3 मिनट).

- कागज की एक शीट लें, इसे आधा मोड़ें और कुछ आकृति काट लें। अब शीट को खोलें और फोल्ड लाइन को देखें।

सवाल:इस लाइन का क्या कार्य है?

प्रस्तावित उत्तर:यह रेखा आकृति को आधे भाग में विभाजित करती है।

सवाल:आकृति के सभी बिंदु दो परिणामी हिस्सों पर कैसे स्थित हैं?

प्रस्तावित उत्तर:हिस्सों के सभी बिंदु गुना रेखा से समान दूरी पर और समान स्तर पर हैं।

- तो, ​​तह रेखा आकृति को आधे में विभाजित करती है ताकि 1 आधा 2 हिस्सों की एक प्रति हो, यानी। यह रेखा सरल नहीं है, इसमें एक उल्लेखनीय गुण है (इसके सापेक्ष सभी बिंदु समान दूरी पर हैं), यह रेखा समरूपता की धुरी है।

कार्य 2 (दो मिनट)।

- एक बर्फ के टुकड़े को काटें, समरूपता की धुरी ढूंढें, इसका लक्षण वर्णन करें।

कार्य 3 (5 मिनट)।

- अपनी नोटबुक में एक वृत्त बनाएं।

सवाल:निर्धारित करें कि समरूपता का अक्ष कैसे गुजरता है?

प्रस्तावित उत्तर:अलग ढंग से.

सवाल:तो एक वृत्त में सममिति के कितने अक्ष होते हैं?

प्रस्तावित उत्तर:बहुत ज़्यादा।

- यह सही है, वृत्त में सममिति के कई अक्ष हैं। वही अद्भुत आकृति है गेंद (स्थानिक आकृति)

सवाल:अन्य कौन सी आकृतियों में समरूपता के एक से अधिक अक्ष हैं?

प्रस्तावित उत्तर:वर्ग, आयत, समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज।

- त्रि-आयामी आकृतियों पर विचार करें: एक घन, एक पिरामिड, एक शंकु, एक सिलेंडर, आदि। इन आकृतियों में समरूपता का एक अक्ष भी होता है। निर्धारित करें कि एक वर्ग, आयत, समबाहु त्रिभुज और प्रस्तावित त्रि-आयामी आकृतियों में समरूपता के कितने अक्ष हैं?

मैं विद्यार्थियों को प्लास्टिसिन आकृतियों के आधे भाग वितरित करता हूँ।

कार्य 4 (3 मिनट).

- प्राप्त जानकारी का उपयोग करते हुए, आकृति के लुप्त भाग को समाप्त करें।

टिप्पणी: मूर्ति सपाट और त्रि-आयामी दोनों हो सकती है। यह महत्वपूर्ण है कि छात्र यह निर्धारित करें कि समरूपता की धुरी कैसे जाती है और लापता तत्व को भरें। प्रदर्शन की शुद्धता डेस्क पर बैठे पड़ोसी द्वारा निर्धारित की जाती है, यह मूल्यांकन करता है कि काम कितनी अच्छी तरह से किया गया है।

डेस्कटॉप पर एक ही रंग के फीते से एक लाइन बिछाई जाती है (बंद, खुली, सेल्फ-क्रॉसिंग के साथ, सेल्फ-क्रॉसिंग के बिना)।

कार्य 5 (समूह कार्य 5 मिनट)।

- समरूपता की धुरी को दृष्टिगत रूप से निर्धारित करें और, उसके सापेक्ष, दूसरे भाग को एक अलग रंग के फीते से पूरा करें।

किए गए कार्य की शुद्धता छात्रों द्वारा स्वयं निर्धारित की जाती है।

छात्रों को चित्र के तत्व प्रस्तुत किए जाते हैं

कार्य 6 (दो मिनट)।

इन रेखाचित्रों के सममित भाग खोजें।

कवर की गई सामग्री को समेकित करने के लिए, मैं 15 मिनट के लिए उपलब्ध निम्नलिखित कार्यों का प्रस्ताव करता हूं:

त्रिभुज KOR और KOM के सभी समान तत्वों के नाम बताइए। ये त्रिभुज कितने प्रकार के होते हैं?

2. एक नोटबुक में 6 सेमी के समान आधार वाले कई समद्विबाहु त्रिभुज बनाएं।

3. एक खंड AB खींचिए। खंड AB पर लंबवत और उसके मध्य बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा की रचना करें। इस पर बिंदु C और D अंकित करें ताकि चतुर्भुज ACBD रेखा AB के संबंध में सममित हो।

- रूप के बारे में हमारे शुरुआती विचार प्राचीन पाषाण युग - पैलियोलिथिक के बहुत दूर के युग से संबंधित हैं। इस अवधि के सैकड़ों-हजारों वर्षों तक, लोग गुफाओं में रहते थे, ऐसी स्थितियों में जो जानवरों के जीवन से बहुत अलग नहीं थीं। लोगों ने शिकार और मछली पकड़ने के लिए उपकरण बनाए, एक-दूसरे के साथ संवाद करने के लिए एक भाषा विकसित की और पुरापाषाण युग के उत्तरार्ध में, उन्होंने कला, मूर्तियाँ और चित्र बनाकर अपने अस्तित्व को सजाया, जो रूप की अद्भुत भावना को प्रकट करते हैं।
जब भोजन के साधारण संग्रह से उसके सक्रिय उत्पादन की ओर, शिकार और मछली पकड़ने से कृषि की ओर संक्रमण हुआ, तो मानवता एक नए पाषाण युग, नवपाषाण में प्रवेश करती है।
नवपाषाणकालीन मनुष्य को ज्यामितीय आकृतियों की गहरी समझ थी। मिट्टी के बर्तनों की फायरिंग और रंगाई, ईख की चटाई, टोकरियाँ, कपड़े का निर्माण और बाद में धातु प्रसंस्करण ने समतल और स्थानिक आकृतियों के बारे में विचार विकसित किए। नवपाषाणकालीन आभूषण आंखों को भाते थे, समानता और समरूपता प्रकट करते थे।
प्रकृति में समरूपता कहाँ पाई जाती है?

प्रस्तावित उत्तर:तितलियों के पंख, भृंग, पेड़ के पत्ते...

“समरूपता वास्तुकला में भी देखी जा सकती है। इमारतों का निर्माण करते समय, बिल्डर स्पष्ट रूप से समरूपता का पालन करते हैं।

इसीलिए इमारतें इतनी खूबसूरत हैं। समरूपता का एक उदाहरण मनुष्य, जानवर भी हैं।

गृहकार्य:

1. अपना स्वयं का आभूषण लेकर आएं, इसे A4 शीट पर चित्रित करें (आप इसे कालीन के रूप में बना सकते हैं)।
2. तितलियाँ बनाएँ, जहाँ समरूपता के तत्व हों, उन्हें चिह्नित करें।

« समरूपताग्रीक में इसका अर्थ है "अनुपात" (दोहराव)। सममित पिंड और वस्तुएं अंतरिक्ष में समतुल्य, सही ढंग से दोहराए गए भागों से बनी होती हैं। क्रिस्टल की समरूपता विशेष रूप से विविध है। विभिन्न क्रिस्टल कमोबेश सममित होते हैं। यह उनकी सबसे महत्वपूर्ण और विशिष्ट संपत्ति है, जो नियमितता को दर्शाती है आंतरिक संरचना.

अधिक सटीक परिभाषा से समरूपता- यह किसी आकृति या किसी पिंड के तत्वों (या भागों) की नियमित पुनरावृत्ति है, जिसमें कुछ परिवर्तनों (एक अक्ष के चारों ओर घूमना, एक विमान में प्रतिबिंब) के दौरान आकृति स्वयं के साथ जुड़ जाती है। अधिकांश क्रिस्टल सममित हैं।

समरूपता की अवधारणा में घटक शामिल हैं - समरूपता के तत्व। इसमे शामिल है समरूपता का तल, समरूपता की धुरी, समरूपता का केंद्र, या उलटा केंद्र.

समरूपता का तल क्रिस्टल को दो दर्पण जैसे समान भागों में विभाजित करता है। इसे अक्षर आर द्वारा निरूपित किया जाता है। जिन हिस्सों में समरूपता का विमान पॉलीहेड्रॉन को काटता है वे एक दूसरे से संबंधित होते हैं, जैसे दर्पण में अपनी छवि के लिए एक वस्तु, अलग-अलग क्रिस्टल में समरूपता विमानों की एक अलग संख्या होती है, जिसे सामने रखा जाता है अक्षर पी. सबसे बड़ी संख्याप्राकृतिक क्रिस्टल में ऐसे तल - नौ 9पी। सल्फर क्रिस्टल में 3P होते हैं, जबकि जिप्सम में केवल एक होता है। इसका मतलब यह है कि एक क्रिस्टल में समरूपता के कई तल हो सकते हैं। कुछ क्रिस्टलों में सममिति तल नहीं होता है।

बाधा तत्वों के संबंध में, समरूपता विमान निम्नलिखित स्थिति ले सकता है:

1. पसलियों से होकर गुजरता है;
2. पसलियों के मध्य बिंदु पर लंबवत लेटें;
3. इसके लंबवत चेहरे से गुजरें;
4. पहलू कोणों को उनके शीर्षों पर प्रतिच्छेद करें।

क्रिस्टल में सममिति तलों की निम्नलिखित संख्या संभव है: 9P, 7P, 6P, 5P, 4P, 3P, 2P, P, कोई सममिति तल नहीं।

समरूपता की धुरी

समरूपता की धुरी- एक काल्पनिक धुरी, जिसके चारों ओर एक निश्चित कोण पर घुमाने पर आकृति अंतरिक्ष में अपने आप से संयुक्त हो जाती है। इसे अक्षर L द्वारा निरूपित किया जाता है। क्रिस्टल में, जब एक पूर्ण मोड़ के लिए समरूपता के अक्ष के चारों ओर घूमते हैं, तो समान सीमित तत्वों (चेहरों, किनारों, कोनों) को केवल 2, 3, 4, 6 बार दोहराया जा सकता है। तदनुसार, अक्षों को दूसरे, तीसरे, चौथे और छठे क्रम की समरूपता के अक्ष कहा जाएगा और नामित किया जाएगा: L2, L3, L4 और L6। अक्ष का क्रम 360⁰С द्वारा घुमाए जाने पर संरेखण की संख्या से निर्धारित होता है .

पहले क्रम की समरूपता की धुरी को ध्यान में नहीं रखा गया है, क्योंकि इसमें विषम आकृतियों सहित बिल्कुल भी आकृतियाँ नहीं हैं। समान क्रम के धुरों की संख्या L अक्षर से पहले लिखी जाती है: 6L6, 3L4, आदि।

समरूपता का केंद्र

समरूपता का केंद्रक्रिस्टल के अंदर एक बिंदु है जिस पर रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं और आधे में विभाजित होती हैं, क्रिस्टल सीमा (चेहरे, किनारों, कोनों) के समान तत्वों को जोड़ती हैं। इसे अक्षर C द्वारा निरूपित किया जाता है। व्यवहार में, समरूपता के केंद्र की उपस्थिति इस तथ्य को प्रभावित करेगी कि पॉलीहेड्रॉन के प्रत्येक किनारे के समानांतर एक किनारा होता है, प्रत्येक चेहरे के समानांतर एक ही दर्पण-उलटा चेहरा होता है। यदि बहुफलक में ऐसे फलक हैं जिनमें आपस में समानताएं नहीं हैं, तो ऐसे बहुफलक में समरूपता का केंद्र नहीं होता है।

यह देखने के लिए कि क्या ऊपर से इसके समानांतर एक ही दर्पण-उलटा चेहरा है, बहुफलक को उसके चेहरे के साथ मेज पर रखना पर्याप्त है। बेशक, समानता के लिए सभी प्रकार के चेहरों की जाँच की जानी चाहिए।

ऐसे कई सरल पैटर्न हैं जिनके द्वारा समरूपता तत्वों को एक दूसरे के साथ जोड़ा जाता है। इन नियमों का अर्थ उन्हें ढूंढना आसान बनाता है।

1. दो या दो से अधिक तलों की प्रतिच्छेदन रेखा सममिति का अक्ष है। ऐसी धुरी का क्रम उसमें प्रतिच्छेद करने वाले विमानों की संख्या के बराबर होता है।
2. L6 क्रिस्टल में केवल एकवचन में मौजूद हो सकता है।
3. न तो L4 और न ही L3 को L6 के साथ जोड़ा जा सकता है, लेकिन L2 को L6 और L2 के लंबवत होने के साथ जोड़ा जा सकता है; इस स्थिति में, 6L2 मौजूद है।
4. L4 एकवचन या तीन परस्पर लंबवत अक्षों में हो सकता है।
5. L3 एकवचन में या 4L3 के साथ हो सकता है।

समरूपता की डिग्रीकिसी दिए गए क्रिस्टल में मौजूद सभी समरूपता तत्वों की समग्रता है।

घन के आकार का क्रिस्टल है एक उच्च डिग्रीसमरूपता इसमें चौथे क्रम (3L4) की समरूपता के तीन अक्ष हैं जो घन के फलकों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरते हैं, तीसरे क्रम (4L3) के समरूपता के चार अक्ष त्रिफलकीय कोणों के शीर्षों से गुजरते हैं, और दूसरे क्रम के छह अक्ष हैं (6एल2) किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजर रहा है। समरूपता के अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर घन (सी) की समरूपता का केंद्र है। इसके अलावा, एक घन में नौ सममिति तल (9P) खींचे जा सकते हैं। क्रिस्टल के समरूपता तत्वों को क्रिस्टलोग्राफिक सूत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है।

एक घन के लिए, सूत्र है: 9P, 3L4, 4L3, 6L2, C.

रूसी वैज्ञानिक ए.वी. गैडोलिन ने 1869 में दिखाया कि 32 विभिन्न संयोजनसमरूपता तत्व जो समरूपता के वर्ग (प्रकार) बनाते हैं। इस प्रकार, वर्ग समरूपता की समान डिग्री वाले क्रिस्टल के एक समूह को एकजुट करता है।