ठोस ज्यामिति के पाठ्यक्रम के लिए स्कूल के पाठ्यक्रम में, त्रि-आयामी आंकड़ों का अध्ययन आमतौर पर एक साधारण ज्यामितीय निकाय - एक प्रिज्म पॉलीहेड्रॉन से शुरू होता है। इसके आधारों की भूमिका समानांतर विमानों में पड़े 2 समान बहुभुजों द्वारा की जाती है। एक विशेष मामला एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म है। इसके आधार 2 समान नियमित चतुर्भुज हैं, जिनकी भुजाएँ लंबवत हैं, समांतर चतुर्भुजों के आकार (या प्रिज्म के झुकाव न होने पर आयतें) हैं।

प्रिज्म कैसा दिखता है

एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म एक हेक्साहेड्रॉन है जिसका आधार 2 वर्ग हैं, और पार्श्व चेहरेआयतों द्वारा दर्शाया गया। इसका दूसरा नाम है ज्यामितीय आकृति- एक सीधा समांतर चतुर्भुज।

एक चतुष्कोणीय प्रिज्म दिखाने वाला चित्र नीचे दिखाया गया है।

तस्वीर में आप भी देख सकते हैं आवश्यक तत्व, जो ज्यामितीय निकाय बनाते हैं. उन्हें आमतौर पर इस रूप में जाना जाता है:

कभी-कभी ज्यामिति की समस्याओं में आप एक खंड की अवधारणा पा सकते हैं। परिभाषा इस तरह सुनाई देगी: एक खंड एक वॉल्यूमेट्रिक बॉडी के सभी बिंदु हैं जो कटिंग प्लेन से संबंधित हैं। खंड लंबवत है (90 डिग्री के कोण पर आकृति के किनारों को पार करता है)। एक आयताकार प्रिज्म के लिए, एक विकर्ण खंड भी माना जाता है (अधिकतम खंड जो बनाए जा सकते हैं 2 हैं), 2 किनारों और आधार के विकर्णों से गुजरते हुए।

यदि खंड इस तरह से खींचा जाता है कि काटने वाला विमान या तो आधारों या पार्श्व चेहरों के समानांतर नहीं होता है, तो परिणाम एक छोटा प्रिज्म होता है।

कम प्रिज्मीय तत्वों को खोजने के लिए विभिन्न अनुपातों और सूत्रों का उपयोग किया जाता है। उनमें से कुछ को प्लैनिमेट्री के पाठ्यक्रम से जाना जाता है (उदाहरण के लिए, एक प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, यह एक वर्ग के क्षेत्रफल के सूत्र को याद करने के लिए पर्याप्त है)।

सतह क्षेत्र और मात्रा

सूत्र का उपयोग करके किसी प्रिज्म का आयतन निर्धारित करने के लिए, आपको इसके आधार और ऊँचाई का क्षेत्रफल जानना होगा:

वी = स्प्रीम एच

चूंकि नियमित चतुष्फलकीय प्रिज्म का आधार भुजा वाला एक वर्ग है ए,आप सूत्र को अधिक विस्तृत रूप में लिख सकते हैं:

वी = ए² एच

अगर हम घन के बारे में बात कर रहे हैं - एक नियमित प्रिज्म के साथ समान लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई, वॉल्यूम की गणना निम्नानुसार की जाती है:

यह समझने के लिए कि किसी प्रिज्म के पार्श्व सतह क्षेत्र को कैसे खोजा जाए, आपको इसकी व्यापकता की कल्पना करने की आवश्यकता है।

आरेखण से देखा जा सकता है कि पार्श्व सतह 4 समान आयतों से बनी है। इसके क्षेत्रफल की गणना आधार की परिधि और आकृति की ऊँचाई के गुणनफल के रूप में की जाती है:

साइड = पॉस एच

चूंकि एक वर्ग की परिधि है पी = 4ए,सूत्र रूप लेता है:

पक्ष = 4a घंटे

घन के लिए:

भुजा = 4a²

प्रिज्म के कुल सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, पार्श्व क्षेत्र में 2 आधार क्षेत्र जोड़ें:

एसफुल = साइड + 2एसबेस

चतुष्कोणीय नियमित प्रिज्म पर लागू होने पर, सूत्र का रूप है:

सफुल = 4a h + 2a²

घन के सतह क्षेत्र के लिए:

स्फुल = 6a²

आयतन या सतह क्षेत्र को जानने के बाद, आप एक ज्यामितीय निकाय के अलग-अलग तत्वों की गणना कर सकते हैं।

प्रिज्म तत्वों का पता लगाना

अक्सर ऐसी समस्याएं होती हैं जिनमें वॉल्यूम दिया जाता है या पार्श्व सतह क्षेत्र का मूल्य ज्ञात होता है, जहां आधार या ऊंचाई के पक्ष की लंबाई निर्धारित करना आवश्यक होता है। ऐसे मामलों में, सूत्र निकाले जा सकते हैं:

• आधार पक्ष की लंबाई: ए = साइड / 4 एच = √ (वी / एच);
• ऊंचाई या साइड रिब लंबाई: एच = साइड / 4ए = वी / ए²;
• आधार क्षेत्र: स्प्रीम = वी / एच;
• पार्श्व चेहरा क्षेत्र: ओर जीआर = साइड / 4.

यह निर्धारित करने के लिए कि विकर्ण खंड का कितना क्षेत्र है, आपको विकर्ण की लंबाई और आकृति की ऊंचाई जानने की आवश्यकता है। एक चौक के लिए डी = ए√2।इसलिए:

सदियाग = आह√2

प्रिज्म के विकर्ण की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग किया जाता है:

पुरस्कार = √(2a² + h²)

यह समझने के लिए कि उपरोक्त अनुपातों को कैसे लागू किया जाए, आप अभ्यास कर सकते हैं और कुछ सरल कार्यों को हल कर सकते हैं।

समाधान के साथ समस्याओं के उदाहरण

यहां कुछ कार्य दिए गए हैं जो गणित में राज्य की अंतिम परीक्षा में दिखाई देते हैं।

अभ्यास 1।

रेत को नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के आकार के बॉक्स में डाला जाता है। इसके स्तर की ऊँचाई 10 सेमी है। यदि आप इसे उसी आकार के एक कंटेनर में ले जाएँ, लेकिन आधार की लंबाई 2 गुना अधिक हो तो रेत का स्तर क्या होगा?

इसे निम्नानुसार तर्क दिया जाना चाहिए। पहले और दूसरे कंटेनर में रेत की मात्रा नहीं बदली, यानी उनमें इसकी मात्रा समान है। आप आधार की लंबाई को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं ए. इस स्थिति में, पहले डिब्बे के लिए पदार्थ का आयतन होगा:

वी₁ = हा² = 10a²

दूसरे बॉक्स के लिए, आधार की लंबाई है 2अ, लेकिन रेत के स्तर की ऊंचाई अज्ञात है:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

क्योंकि वी₁ = वी₂भावों की बराबरी की जा सकती है:

10a² = 4ha²

समीकरण के दोनों पक्षों को a² से कम करने के बाद, हम पाते हैं:

नतीजतन नया स्तरबालू होगा एच = 10/4 = 2.5सेमी।

कार्य 2।

ABCDA₁B₁C₁D₁ एक नियमित प्रिज्म है। यह ज्ञात है कि BD = AB₁ = 6√2। शरीर का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यह समझने में आसान बनाने के लिए कि कौन से तत्व ज्ञात हैं, आप एक आकृति बना सकते हैं।

चूंकि हम एक नियमित प्रिज्म के बारे में बात कर रहे हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि आधार 6√2 के विकर्ण वाला एक वर्ग है। पार्श्व फलक के विकर्ण का मान समान होता है, इसलिए पार्श्व फलक का आकार भी वर्गाकार होता है, आधार के बराबर. यह पता चला है कि तीनों आयाम - लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई - बराबर हैं। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ABCDA₁B₁C₁D₁ एक घन है।

किसी भी किनारे की लंबाई ज्ञात विकर्ण द्वारा निर्धारित की जाती है:

ए = डी / √2 = 6√2 / √2 = 6

कुल सतह क्षेत्र घन के सूत्र द्वारा पाया जाता है:

सफुल = 6a² = 6 6² = 216

कार्य 3।

कमरे का नवीनीकरण किया जा रहा है। यह ज्ञात है कि इसकी मंजिल 9 वर्ग मीटर के क्षेत्रफल के साथ एक वर्ग के आकार की है। कमरे की ऊंचाई 2.5 मीटर है अगर 1 वर्ग मीटर की लागत 50 रूबल है तो एक कमरे में दीवारपेयरिंग की न्यूनतम लागत क्या है?

चूँकि फर्श और छत वर्गाकार हैं, यानी नियमित चतुष्कोण हैं, और इसकी दीवारें क्षैतिज सतहों के लंबवत हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह एक नियमित प्रिज्म है। इसकी पार्श्व सतह का क्षेत्रफल निर्धारित करना आवश्यक है।

कमरे की लम्बाई है ए = √9 = 3एम।

वर्ग वॉलपेपर के साथ कवर किया जाएगा भुजा = 4 3 2.5 = 30 वर्ग मीटर.

इस कमरे के लिए वॉलपेपर की सबसे कम कीमत होगी 50 30 = 1500रूबल।

इस प्रकार, समस्याओं को हल करने के क्रम में आयताकार आयतायह एक वर्ग और एक आयत के क्षेत्रफल और परिधि की गणना करने में सक्षम होने के साथ-साथ आयतन और सतह क्षेत्र ज्ञात करने के सूत्रों को जानने के लिए पर्याप्त है।

घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

प्रिज्म। समानांतर खात

चश्मेएक पॉलीहेड्रॉन कहा जाता है जिसके दो चेहरे बराबर एन-गॉन होते हैं (मैदान) , समांतर तलों में स्थित है, और शेष n फलक समांतर चतुर्भुज हैं (पार्श्व किनारों) . साइड रिब प्रिज्म पार्श्व फलक का वह भाग है जो आधार से संबंधित नहीं है।

एक प्रिज्म जिसके पार्श्व किनारे आधारों के विमानों के लंबवत होते हैं, कहलाते हैं सीधा प्रिज्म (चित्र 1)। यदि साइड किनारे आधारों के विमानों के लंबवत नहीं हैं, तो प्रिज्म कहा जाता है परोक्ष . सही एक प्रिज्म एक सीधा प्रिज्म होता है जिसका आधार नियमित बहुभुज होते हैं।

ऊंचाईप्रिज्म को ठिकानों के विमानों के बीच की दूरी कहा जाता है। विकर्ण एक प्रिज्म दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही चेहरे से संबंधित नहीं है। विकर्ण खंड प्रिज्म का वह खंड जो एक ही फलक से संबंधित न होने वाले दो पार्श्व किनारों से होकर गुजरने वाले तल द्वारा होता है, कहलाता है। लंबवत खंड प्रिज्म के पार्श्व किनारे के लंबवत विमान द्वारा प्रिज्म का खंड कहा जाता है।

साइड सतह क्षेत्र प्रिज्म सभी पक्षों के क्षेत्रों का योग है। पूर्ण सतह क्षेत्र प्रिज्म के सभी फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहलाता है (अर्थात् पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों और आधारों के क्षेत्रफलों का योग)।

एक मनमाना प्रिज्म के लिए, सूत्र सत्य हैं:

कहाँ एलसाइड रिब की लंबाई है;

एच- ऊंचाई;

पी

क्यू

एस पक्ष

एस भरा हुआ

एस मुख्यठिकानों का क्षेत्र है;

वीप्रिज्म का आयतन है।

सीधे प्रिज्म के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पी- आधार की परिधि;

एलसाइड रिब की लंबाई है;

एच- ऊंचाई।

समानांतर खातएक प्रिज्म जिसका आधार समांतर चतुर्भुज कहलाता है। एक समानांतर चतुर्भुज जिसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत होते हैं, कहलाते हैं प्रत्यक्ष (अंक 2)। यदि किनारे के किनारे आधारों के लंबवत नहीं हैं, तो समांतर चतुर्भुज कहा जाता है परोक्ष . एक समांतर चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है, कहलाता है आयताकार। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज जिसमें सभी किनारे बराबर होते हैं, कहलाता है घन।

समानांतर चतुर्भुज के फलक जिनमें उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते हैं, कहलाते हैं विलोम . एक शीर्ष से निकलने वाले किनारों की लंबाई कहलाती है मापन समानांतर चतुर्भुज। चूंकि बॉक्स एक प्रिज्म है, इसके मुख्य तत्वों को उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे वे प्रिज्म के लिए परिभाषित होते हैं।

प्रमेय।

1. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसे समद्विभाजित करते हैं।

2. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज में, विकर्ण की लंबाई का वर्ग योग के बराबर हैइसके तीन आयामों के वर्ग:

3. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी चार विकर्ण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

एक मनमाना समांतर चतुर्भुज के लिए, निम्न सूत्र सत्य हैं:

कहाँ एलसाइड रिब की लंबाई है;

एच- ऊंचाई;

पीलम्बवत खंड की परिधि है;

क्यू– लम्बवत खंड का क्षेत्र;

एस पक्षपार्श्व सतह क्षेत्र है;

एस भरा हुआकुल सतह क्षेत्र है;

एस मुख्यठिकानों का क्षेत्र है;

वीप्रिज्म का आयतन है।

एक समांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पी- आधार की परिधि;

एलसाइड रिब की लंबाई है;

एचसही समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई है।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

(3)

कहाँ पी- आधार की परिधि;

एच- ऊंचाई;

डी- विकर्ण;

ए, बी, सी- एक समानांतर चतुर्भुज का माप।

एक घन के लिए सही सूत्र हैं:

कहाँ एरिब की लंबाई है;

डीघन का विकर्ण है।

उदाहरण 1एक आयताकार घनाभ का विकर्ण 33 डेसीमी है, और इसके माप 2:6:9 के रूप में संबंधित हैं।घनाभ का माप ज्ञात कीजिए।

समाधान।समांतर चतुर्भुज के आयामों को खोजने के लिए, हम सूत्र (3) का उपयोग करते हैं, अर्थात यह तथ्य कि एक घनाभ के कर्ण का वर्ग उसकी विमाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। द्वारा निरूपित करें कआनुपातिकता का गुणांक। तब समांतर चतुर्भुज का आयाम 2 के बराबर होगा क, 6कऔर 9 क. हम समस्या डेटा के लिए सूत्र (3) लिखते हैं:

के लिए इस समीकरण को हल करना क, हम पाते हैं:

इसलिए, समांतर चतुर्भुज के आयाम 6 dm, 18 dm और 27 dm हैं।

उत्तर: 6 डीएम, 18 डीएम, 27 डीएम।

उदाहरण 2एक झुके हुए त्रिकोणीय प्रिज्म का आयतन ज्ञात करें जिसका आधार 8 सेमी की भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज है, यदि पार्श्व किनारा आधार की भुजा के बराबर है और आधार से 60º के कोण पर झुका हुआ है।

समाधान . आइए एक चित्र बनाते हैं (चित्र 3)।

एक झुके हुए प्रिज्म का आयतन ज्ञात करने के लिए, आपको इसके आधार और ऊँचाई का क्षेत्रफल जानना होगा। इस प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल 8 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है। आइए इसकी गणना करें:

किसी प्रिज्म की ऊंचाई उसके आधारों के बीच की दूरी होती है। ऊपर से एऊपरी आधार के 1 हम निचले आधार के तल के लंबवत को कम करते हैं ए 1 डी. इसकी लंबाई प्रिज्म की ऊंचाई होगी। डी पर विचार करें ए 1 विज्ञापन: चूंकि यह साइड रिब के झुकाव का कोण है ए 1 एबेस प्लेन के लिए ए 1 ए= 8 सेमी. इस त्रिभुज से हम पाते हैं ए 1 डी:

अब हम सूत्र (1) का उपयोग करके आयतन की गणना करते हैं:

उत्तर: 192 सेमी3.

उदाहरण 3पार्श्व रिब सही हेक्सागोनल प्रिज्म 14 सेमी है। सबसे बड़े विकर्ण खंड का क्षेत्रफल 168 सेमी 2 है। प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाते हैं (चित्र 4)

सबसे बड़ा विकर्ण खंड एक आयत है आ 1 डीडी 1, विकर्ण के बाद से विज्ञापननियमित षट्भुज एबीसीडीईएफसबसे बडा। प्रिज्म के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, आधार के पक्ष और पार्श्व रिब की लंबाई को जानना आवश्यक है।

विकर्ण खंड (आयत) का क्षेत्रफल जानने के बाद, हम आधार का विकर्ण पाते हैं।

के बाद से

के बाद से अब= 6 सेमी.

तो आधार का परिमाप है:

प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

6 सेमी भुजा वाले एक नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल है:

प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

उत्तर:

उदाहरण 4एक समांतर चतुर्भुज का आधार एक समचतुर्भुज है। विकर्ण वर्गों का क्षेत्रफल 300 सेमी 2 और 875 सेमी 2 है। समांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाते हैं (चित्र 5)।

द्वारा समचतुर्भुज की भुजा को निरूपित करें ए, समचतुर्भुज के विकर्ण डी 1 और डी 2, बॉक्स की ऊंचाई एच. सीधे समांतर चतुर्भुज के पार्श्व सतह क्षेत्र को खोजने के लिए, आधार के परिधि को ऊंचाई से गुणा करना आवश्यक है: (सूत्र (2))। आधार परिधि p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, क्योंकि ए बी सी डी- रोम्बस। एच = ए.ए 1 = एच. वह। ढूंढना होगा एऔर एच.

विकर्ण वर्गों पर विचार करें। आ 1 एसएस 1 - एक आयत, जिसका एक भाग समचतुर्भुज का विकर्ण है एसी = डी 1, दूसरा - साइड एज आ 1 = एच, तब

इसी प्रकार अनुभाग के लिए बी बी 1 डीडी 1 हमें मिलता है:

एक समांतर चतुर्भुज के गुण का इस प्रकार उपयोग करने पर कि विकर्णों के वर्गों का योग उसकी सभी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, हमें समानता प्राप्त होती है। हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है।

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परिभाषा। चश्मे- यह एक पॉलीहेड्रॉन है, जिसके सभी कोने दो समानांतर विमानों में स्थित हैं, और उन्हीं दो विमानों में प्रिज्म के दो चेहरे हैं, जो क्रमशः समांतर भुजाओं वाले समान बहुभुज हैं, और सभी किनारे जो इनमें नहीं हैं विमान समानांतर हैं।

दो समान फलक कहलाते हैं प्रिज्म आधार(एबीसीडीई, ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1).

प्रिज्म के अन्य सभी फलक कहलाते हैं पार्श्व चेहरे(एए 1 बी 1 बी, बीबी 1 सी 1 सी, सीसी 1 डी 1 डी, डीडी 1 ई 1 ई, ईई 1 ए 1 ए)।

सभी पार्श्व फलक बनते हैं प्रिज्म की पार्श्व सतह .

एक प्रिज्म के सभी पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं .

किनारे जो आधारों पर नहीं होते हैं उन्हें प्रिज्म के पार्श्व किनारे कहा जाता है ( ए.ए. 1, बी बी 1, सीसी 1, डीडी 1, ईई 1).

प्रिज्म विकर्ण एक खंड कहा जाता है, जिसके सिरे प्रिज्म के दो शीर्ष होते हैं जो इसके किसी एक फलक पर स्थित नहीं होते हैं (AD 1)।

एक ही समय में प्रिज्म के आधारों और दोनों आधारों को लंबवत जोड़ने वाले खंड की लंबाई कहलाती है प्रिज्म ऊंचाई .

पद का नाम:एबीसीडीई ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1. (सबसे पहले, बायपास के क्रम में, एक आधार के शीर्षों को इंगित किया जाता है, और फिर, उसी क्रम में, दूसरे के शीर्षों को; प्रत्येक पार्श्व किनारे के सिरों को एक ही अक्षरों द्वारा इंगित किया जाता है, केवल कोने अंदर पड़े होते हैं एक आधार एक सूचकांक के बिना अक्षरों द्वारा इंगित किया गया है, और दूसरे में - एक सूचकांक के साथ)

प्रिज्म का नाम इसके आधार पर स्थित आकृति में कोणों की संख्या से जुड़ा है, उदाहरण के लिए, चित्र 1 में आधार एक पंचकोण है, इसलिए प्रिज्म कहलाता है पंचकोणीय प्रिज्म. लेकिन फिर ऐसे प्रिज्म के 7 चेहरे हैं, तो यह हेप्टाहेड्रोन(2 फलक प्रिज्म के आधार हैं, 5 फलक समांतर चतुर्भुज हैं, इसके पार्श्व फलक हैं)

सीधे प्रिज्मों के बीच खड़ा है निजी दृश्य: नियमित प्रिज्म।

सीधा प्रिज्म कहलाता है सही,यदि इसके आधार नियमित बहुभुज हैं।

एक नियमित प्रिज्म के सभी पार्श्व फलक समान आयत होते हैं। प्रिज्म का एक विशेष मामला समानांतर चतुर्भुज है।

समानांतर खात

समानांतर खात- यह एक चतुष्कोणीय प्रिज्म है, जिसके आधार पर एक समांतर चतुर्भुज (तिरछा समांतर चतुर्भुज) स्थित है। सही समानांतर चतुर्भुज- एक समानांतर चतुर्भुज जिसके पार्श्व किनारे आधार के विमानों के लंबवत हैं।

घनाभ- एक समांतर चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है।

गुण और प्रमेय:

समांतर चतुर्भुज के कुछ गुण समांतर चतुर्भुज के प्रसिद्ध गुणों के समान हैं। समान आयामों वाले एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज को कहा जाता है घनक्षेत्र एक घन के सभी फलक समान वर्ग के होते हैं। एक विकर्ण का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

,

जहाँ d वर्ग का विकर्ण है;
ए - वर्ग के किनारे।

प्रिज्म का विचार किसके द्वारा दिया गया है:

• विभिन्न वास्तु संरचनाएं;
• बच्चों के खिलौने;
• पैकिंग बक्से;
• डिजाइनर आइटम, आदि।

प्रिज्म का कुल और पार्श्व सतह क्षेत्र

प्रिज्म का कुल सतह क्षेत्रइसके सभी चेहरों के क्षेत्रों का योग है पार्श्व सतह क्षेत्रइसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है। प्रिज्म के आधार बराबर बहुभुज हैं, तो उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। इसीलिए

S पूर्ण \u003d S पक्ष + 2S मुख्य,

कहाँ एस भरा हुआ- कुल सतह क्षेत्रफल, एस पक्ष- साइड सतह क्षेत्र, एस मुख्य- आधार क्षेत्र

सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि के उत्पाद और प्रिज्म की ऊंचाई के बराबर होता है.

एस पक्ष\u003d पी मुख्य * एच,

कहाँ एस पक्षएक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्र है,

पी मुख्य - सीधे प्रिज्म के आधार की परिधि,

h सीधे प्रिज्म की ऊंचाई है, जो पार्श्व किनारे के बराबर है।

प्रिज्म वॉल्यूम

एक प्रिज्म का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

बहुकोणीय आकृति

स्टीरियोमेट्री के अध्ययन का मुख्य उद्देश्य त्रि-आयामी निकाय हैं। शरीरअंतरिक्ष का एक हिस्सा है जो किसी सतह से घिरा है।

बहुतलएक शरीर जिसकी सतह में समतल बहुभुजों की एक सीमित संख्या होती है, कहलाती है। एक पॉलीहेड्रॉन को उत्तल कहा जाता है यदि यह इसकी सतह पर प्रत्येक समतल बहुभुज के तल के एक तरफ स्थित होता है। ऐसे तल का उभयनिष्ठ भाग और बहुफलक की सतह कहलाती है किनारा. एक उत्तल बहुफलक के फलक समतल उत्तल बहुभुज होते हैं। चेहरों के किनारे कहलाते हैं पॉलीहेड्रॉन के किनारे, और शिखर पॉलीहेड्रॉन के शिखर.

उदाहरण के लिए, एक घन में छह वर्ग होते हैं जो उसके फलक होते हैं। इसमें 12 किनारे (वर्गों की भुजाएँ) और 8 शीर्ष (वर्गों के शीर्ष) होते हैं।

सबसे सरल बहुफलक प्रिज्म और पिरामिड हैं, जिनका अध्ययन हम आगे करेंगे।

चश्मे

प्रिज्म की परिभाषा और गुण

चश्मेएक पॉलीहेड्रॉन कहा जाता है जिसमें समांतर अनुवाद द्वारा संयुक्त समांतर विमानों में झूठ बोलने वाले दो फ्लैट बहुभुज होते हैं, और इन बहुभुजों के संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाले सभी खंड होते हैं। बहुभुज कहलाते हैं प्रिज्म आधार, और बहुभुजों के संबंधित शीर्षों को जोड़ने वाले खंड हैं प्रिज्म के किनारे.

प्रिज्म की ऊंचाईइसके ठिकानों के विमानों के बीच की दूरी () कहा जाता है। प्रिज्म के दो शीर्षों को जोड़ने वाला खंड जो एक ही फलक से संबंधित नहीं है, कहलाता है प्रिज्म विकर्ण()। प्रिज्म कहा जाता है एन-कोयलाअगर इसका आधार एन-गॉन है।

कोई भी प्रिज्म है निम्नलिखित गुण, इस तथ्य के बाद कि प्रिज्म के आधार समानांतर अनुवाद द्वारा संयुक्त होते हैं:

1. प्रिज्म के आधार बराबर होते हैं।

2. प्रिज्म के पार्श्व किनारे समांतर और बराबर होते हैं।

एक प्रिज्म की सतह आधारों और से बनी होती है पार्श्व सतह. पार्श्व सतहप्रिज्म में समांतर चतुर्भुज होते हैं (यह प्रिज्म के गुणों से अनुसरण करता है)। एक प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों का योग है।

सीधा प्रिज्म

प्रिज्म कहा जाता है सीधायदि इसके किनारे आधारों के लंबवत हैं। अन्यथा, प्रिज्म कहा जाता है परोक्ष.

एक सीधे प्रिज्म के फलक आयताकार होते हैं। एक सीधे प्रिज्म की ऊंचाई उसके पार्श्व फलकों के बराबर होती है।

पूरी सतहप्रिज्मपार्श्व सतह क्षेत्र और आधारों के क्षेत्रों का योग है।

सही प्रिज्म आधार पर एक नियमित बहुभुज के साथ एक सही प्रिज्म कहा जाता है।

प्रमेय 13.1. सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल परिधि के उत्पाद और प्रिज्म की ऊंचाई (या, समतुल्य, पार्श्व किनारे तक) के बराबर है।

सबूत। एक सीधे प्रिज्म के पार्श्व फलक आयत होते हैं जिनका आधार प्रिज्म के आधार पर बहुभुज की भुजाएँ होती हैं, और ऊँचाई प्रिज़्म के पार्श्व किनारे होती हैं। फिर, परिभाषा के अनुसार, पार्श्व सतह क्षेत्र है:

,

एक सीधे प्रिज्म के आधार की परिधि कहाँ है।

समानांतर खात

यदि समांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म के आधार पर स्थित होते हैं, तो इसे कहा जाता है समानांतर खात. समांतर चतुर्भुज के सभी फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं। इस मामले में, समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समानांतर और समान होते हैं।

प्रमेय 13.2. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित होता है।

सबूत। दो मनमाने विकर्णों पर विचार करें, उदाहरण के लिए, और । क्योंकि समांतर चतुर्भुज के चेहरे समांतर चतुर्भुज हैं, और , जिसका अर्थ है कि टी के अनुसार लगभग दो सीधी रेखाएँ तीसरी के समानांतर हैं। इसके अलावा, इसका मतलब है कि लाइनें और एक ही विमान (विमान) में स्थित हैं। यह तल समानांतर समतलों और समानांतर रेखाओं को काटता है और . इस प्रकार, एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, और एक समांतर चतुर्भुज की संपत्ति द्वारा, इसके विकर्ण और प्रतिच्छेद और प्रतिच्छेदन बिंदु को आधे में विभाजित किया जाता है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

एक समांतर चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है, कहलाता है घनाभ. घनाभ के सभी फलक आयत होते हैं। एक घनाभ के गैर-समानांतर किनारों की लंबाई को इसका कहा जाता है रैखिक आयाम(माप)। तीन आकार (चौड़ाई, ऊंचाई, लंबाई) हैं।

प्रमेय 13.3. एक घनाभ में, किसी भी विकर्ण का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है (पायथागॉरियन टी को दो बार लगाकर सिद्ध किया गया)।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज जिसमें सभी किनारे बराबर होते हैं, कहलाता है घनक्षेत्र.

कार्य

13.1 कितने विकर्ण करता है एन- कार्बन प्रिज्म

13.2 एक आनत त्रिभुजाकार प्रिज्म में पार्श्व किनारों के बीच की दूरी 37, 13 और 40 है। बड़े पार्श्व फलक और विपरीत पार्श्व किनारे के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

13.3 एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म के निचले आधार के किनारे के माध्यम से, एक विमान खींचा जाता है जो पक्षों को खंडों के साथ काटता है, जिसके बीच का कोण है। प्रिज्म के आधार पर इस तल के झुकाव का कोण ज्ञात कीजिए।