पहले क्रम के डिफ समीकरण। "डमी" के लिए विभेदक समीकरण। समाधान उदाहरण

डिफरेंशियल इक्वेशन एक ऐसा समीकरण होता है जिसमें एक फंक्शन और उसके एक या अधिक डेरिवेटिव शामिल होते हैं। अधिकांश व्यावहारिक समस्याओं में, कार्य भौतिक मात्राएँ हैं, व्युत्पन्न इन मात्राओं के परिवर्तन की दरों के अनुरूप हैं, और समीकरण उनके बीच के संबंध को निर्धारित करता है।

यह लेख कुछ प्रकार के साधारण को हल करने के तरीकों पर चर्चा करता है विभेदक समीकरण, जिनके समाधान के रूप में लिखा जा सकता है प्राथमिक कार्य , वह है, बहुपद, घातीय, लघुगणक और त्रिकोणमितीय कार्य, साथ ही साथ उनके व्युत्क्रम कार्य। इनमें से कई समीकरण में पाए जाते हैं वास्तविक जीवन, हालांकि अधिकांश अन्य अवकल समीकरणों को इन विधियों द्वारा हल नहीं किया जा सकता है, और उनके लिए उत्तर विशेष कार्यों के रूप में लिखा जाता है या बिजली की श्रृंखला, या संख्यात्मक तरीकों से पाया जाता है।

इस लेख को समझने के लिए, आपको डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस जानने की जरूरत है, साथ ही आंशिक डेरिवेटिव की कुछ समझ भी होनी चाहिए। विभेदक समीकरणों पर लागू रैखिक बीजगणित की मूल बातें जानने की भी सिफारिश की जाती है, विशेष रूप से दूसरे क्रम के अंतर समीकरण, हालांकि अंतर और अभिन्न कलन का ज्ञान उन्हें हल करने के लिए पर्याप्त है।

प्रारंभिक जानकारी

• विभेदक समीकरणों का एक व्यापक वर्गीकरण है। यह लेख के बारे में बात करता है सामान्य अवकल समीकरण, अर्थात्, उन समीकरणों के बारे में जिनमें एक चर का एक फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव शामिल हैं। साधारण अंतर समीकरणों को समझना और हल करना बहुत आसान है आंशिक अंतर समीकरण, जिसमें कई चर के कार्य शामिल हैं। यह लेख आंशिक अंतर समीकरणों पर विचार नहीं करता है, क्योंकि इन समीकरणों को हल करने के तरीके आमतौर पर उनके विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं।
  • नीचे साधारण अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • नीचे आंशिक अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\आंशिक y^(2)))=0)
    • u ∂ t - α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• गणअवकल समीकरण इस समीकरण में शामिल उच्चतम अवकलज के क्रम से निर्धारित होता है। उपरोक्त साधारण अंतर समीकरणों में से पहला पहले क्रम का है, जबकि दूसरा दूसरे क्रम का है। डिग्रीअवकल समीकरण कहलाता है उच्चतम डिग्री, जिसमें इस समीकरण की शर्तों में से एक को उठाया गया है।
  • उदाहरण के लिए, नीचे दिया गया समीकरण तीसरा क्रम और दूसरा घात है।
    • (डी 3 वाई डी एक्स 3) 2 + डी वाई डी एक्स = 0 (\displaystyle \बाएं((\frac ((\mathrm (डी)))^(3)y)((\mathrm (डी) )x^(3)))\ दाएँ)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• अंतर समीकरण है रैखिक अंतर समीकरणयदि फ़ंक्शन और उसके सभी डेरिवेटिव पहली शक्ति में हैं। अन्यथा, समीकरण है अरेखीय अंतर समीकरण. रैखिक अवकल समीकरण इस मायने में उल्लेखनीय हैं कि उनके समाधान से रैखिक संयोजन बनाए जा सकते हैं, जो इस समीकरण के समाधान भी होंगे।
  • नीचे रैखिक अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
  • नीचे अरैखिक अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। ज्या पद के कारण पहला समीकरण अरैखिक है।
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (जी)(एल))\sin \ थीटा = 0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \बाएं((\frac ((\mathrm (डी)) x)((\mathrm (डी)) टी))\दाएं)^(2)+tx^(2)=0)
• सामान्य निर्णयसाधारण अंतर समीकरण अद्वितीय नहीं है, इसमें शामिल है एकीकरण के मनमानी स्थिरांक. ज्यादातर मामलों में, मनमानी स्थिरांक की संख्या समीकरण के क्रम के बराबर होती है। व्यवहार में, इन स्थिरांकों के मान दिए गए द्वारा निर्धारित किए जाते हैं आरंभिक स्थितियां, अर्थात्, फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के मूल्यों द्वारा x = 0. (\displaystyle x=0.)खोजने के लिए आवश्यक प्रारंभिक स्थितियों की संख्या निजी निर्णयअवकल समीकरण, ज्यादातर मामलों में इस समीकरण के क्रम के बराबर भी होता है।
  • उदाहरण के लिए, यह लेख नीचे दिए गए समीकरण को हल करने पर विचार करेगा। यह एक द्वितीय कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है। इसके सामान्य समाधान में दो मनमानी स्थिरांक होते हैं। इन स्थिरांकों को ज्ञात करने के लिए, प्रारंभिक स्थितियों को जानना आवश्यक है: x (0) (\displaystyle x(0))तथा एक्स (0) । (\displaystyle x"(0)।)आमतौर पर प्रारंभिक शर्तें बिंदु पर दी जाती हैं x = 0 , (\displaystyle x=0,), हालांकि इसकी आवश्यकता नहीं है। यह लेख इस बात पर भी विचार करेगा कि दी गई प्रारंभिक स्थितियों के लिए विशेष समाधान कैसे खोजें।
    • डी 2 एक्स डी टी 2 + के 2 एक्स = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (डी)))^(2)x)((\mathrm (डी) )t^(2)))+k^(2 ) एक्स = 0)
    • x (t) = c 1 cos k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

कदम

भाग 1

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1. पहले क्रम के रैखिक समीकरण।यह खंड सामान्य और विशेष मामलों में प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरणों को हल करने के तरीकों पर चर्चा करता है जब कुछ शब्द शून्य के बराबर होते हैं। चलो दिखावा करते हैं कि y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))तथा q (x) (\displaystyle q(x))कार्य हैं एक्स । (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स।)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
   

   पी (एक्स) = 0. (\displaystyle पी(एक्स)=0.)गणितीय विश्लेषण के मुख्य प्रमेयों में से एक के अनुसार, किसी फलन के अवकलज का समाकलन भी एक फलन होता है। इस प्रकार, इसका समाधान खोजने के लिए केवल समीकरण को एकीकृत करना पर्याप्त है। हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गणना करते समय अनिश्चितकालीन अभिन्नएक मनमाना स्थिरांक प्रकट होता है।

   • y (x) = q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   क्यू (एक्स) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)हम विधि का उपयोग करते हैं चर का पृथक्करण. इस मामले में, विभिन्न चर समीकरण के विभिन्न पक्षों में स्थानांतरित किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, आप से सभी सदस्यों को स्थानांतरित कर सकते हैं y (\displaystyle y)एक में, और सभी सदस्यों के साथ एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)समीकरण के दूसरी तरफ। सदस्यों को भी स्थानांतरित किया जा सकता है d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)तथा d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), जो व्युत्पन्न के भावों में शामिल हैं, हालांकि, यह याद रखना चाहिए कि यह सिर्फ एक सम्मेलन है, जो अंतर करते समय सुविधाजनक है जटिल कार्य. इन शब्दों की चर्चा, जिन्हें कहा जाता है भिन्नता, इस लेख के दायरे से बाहर है।

   • सबसे पहले, आपको बराबर चिह्न के विपरीत पक्षों पर चरों को स्थानांतरित करने की आवश्यकता है।
     • 1 y d y = - p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • हम समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करते हैं। एकीकरण के बाद, दोनों पक्षों पर मनमाना स्थिरांक दिखाई देते हैं, जिन्हें समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित किया जा सकता है।
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • उदाहरण 1.1.अंतिम चरण में, हमने नियम का उपयोग किया e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))और बदला गया ई सी (\displaystyle ई^(सी))पर सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी), क्योंकि यह एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक भी है।
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos x + C ln ⁡ y = - 2 cos x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ गणित (डी) )y&=\sin x(\mathrm (डी) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aligned)))

   पी (एक्स) ≠ 0 , क्यू (एक्स) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)सामान्य समाधान खोजने के लिए, हमने पेश किया एकीकृत कारकके एक समारोह के रूप में एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)बाईं ओर को एक सामान्य व्युत्पन्न में कम करने और इस प्रकार समीकरण को हल करने के लिए।

   • दोनों पक्षों को से गुणा करें μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • बाईं ओर को एक सामान्य व्युत्पन्न में कम करने के लिए, निम्नलिखित परिवर्तन किए जाने चाहिए:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ फ़्रैक ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • अंतिम समानता का अर्थ है कि d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). यह एक समाकलन कारक है जो किसी भी प्रथम कोटि के रैखिक समीकरण को हल करने के लिए पर्याप्त है। अब हम के संबंध में इस समीकरण को हल करने के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं µ , (\displaystyle \mu ,)हालांकि प्रशिक्षण के लिए सभी मध्यवर्ती गणना करना उपयोगी है।
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • उदाहरण 1.2.इस उदाहरण में, हम देखते हैं कि दी गई प्रारंभिक स्थितियों के साथ एक अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान कैसे प्राप्त किया जाए।
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d))) )((\mathrm (डी) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   पहले क्रम के रैखिक समीकरणों को हल करना (Intuit - National Open University द्वारा रिकॉर्ड किया गया)।

2. नॉनलाइनियर फर्स्ट ऑर्डर समीकरण. इस भाग में प्रथम कोटि के कुछ अरैखिक अवकल समीकरणों को हल करने की विधियों पर विचार किया गया है। हालांकि ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए कोई सामान्य विधि नहीं है, उनमें से कुछ को नीचे दी गई विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

   डी y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   डी वाई डी एक्स = एच (एक्स) जी (वाई)। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)यदि समारोह f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))एक चर के फलनों में विभाजित किया जा सकता है, ऐसा समीकरण कहलाता है वियोज्य अंतर समीकरण. इस मामले में, आप उपरोक्त विधि का उपयोग कर सकते हैं:

   • d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )एक्स)
   • उदाहरण 1.3।
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3)))( वाई(1+x^(4)))))
     • y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ start(aligned)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ फ़्रैक (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(गठबंधन)))

   डी वाई डी एक्स = जी (एक्स, वाई) एच (एक्स, वाई)। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).)चलो दिखावा करते हैं कि g (x , y) (\displaystyle g(x, y))तथा h (x , y) (\displaystyle h(x, y))कार्य हैं एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)तथा वाई। (\ डिस्प्लेस्टाइल वाई।)फिर सजातीय अंतर समीकरणएक समीकरण है जिसमें जी (\ डिस्प्लेस्टाइल जी)तथा एच (\ डिस्प्लेस्टाइल एच)हैं सजातीय कार्यएक ही डिग्री। अर्थात्, कार्यों को शर्त को पूरा करना चाहिए g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)कहाँ पे k (\displaystyle k)समरूपता की डिग्री कहा जाता है। कोई भी समांगी अवकल समीकरण एक उपयुक्त द्वारा दिया जा सकता है चर का परिवर्तन (v = y / x (\displaystyle v=y/x)या v = x / y (\displaystyle v=x/y)) वियोज्य चर वाले समीकरण में बदलने के लिए।

   • उदाहरण 1.4.समरूपता का उपरोक्त विवरण अस्पष्ट लग सकता है। आइए इस अवधारणा को एक उदाहरण के साथ देखें।
     • d y d x = y 3 - x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • आरंभ करने के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह समीकरण के संबंध में गैर-रैखिक है वाई। (\ डिस्प्लेस्टाइल वाई।)हम यह भी देखते हैं कि इस मामले में चरों को अलग करना असंभव है। हालाँकि, यह अंतर समीकरण सजातीय है, क्योंकि अंश और हर दोनों 3 की शक्ति के साथ सजातीय हैं। इसलिए, हम चर का परिवर्तन कर सकते हैं। वी = वाई / एक्स। (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x - x 2 y 2 = v - 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x) ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (डी) )v)((\mathrm (डी) )x))x+v)
     • डी वी डी एक्स एक्स = - 1 वी 2। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)नतीजतन, हमारे पास . के लिए एक समीकरण है वी (\ डिस्प्लेस्टाइल वी)साझा चर के साथ।
     • v (x) = − 3 लॉग ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   डी वाई डी एक्स = पी (एक्स) वाई + क्यू (एक्स) वाई एन। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)यह बर्नौली अंतर समीकरण- पहली डिग्री का एक विशेष प्रकार का गैर-रेखीय समीकरण, जिसका समाधान प्राथमिक कार्यों का उपयोग करके लिखा जा सकता है।

   • समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करें (1 - n) y - n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 - n) y - n d d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • हम बाईं ओर एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियम का उपयोग करते हैं और समीकरण को . में बदलते हैं रेखीय समीकरणअपेक्षाकृत y 1 - n , (\displaystyle y^(1-n),)जिसे उपरोक्त विधियों द्वारा हल किया जा सकता है।
     • d y 1 - n d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (डी) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   एम (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm) (डी)) एक्स)) = 0।)यह कुल अंतर समीकरण. तथाकथित खोजने के लिए आवश्यक है संभावित कार्य (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), जो शर्त को संतुष्ट करता है d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • इस शर्त को पूरा करने के लिए जरूरी है कुल व्युत्पन्न. कुल व्युत्पन्न अन्य चर पर निर्भरता को ध्यान में रखता है। कुल व्युत्पन्न की गणना करने के लिए (\displaystyle \varphi )पर x , (\displaystyle x,)हम मानते हैं कि y (\displaystyle y)पर भी निर्भर हो सकता है एक्स । (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स।)
     • d φ d x = ∂ x + y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi) )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • शर्तों की तुलना हमें देता है एम (x , y) = ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))तथा एन (एक्स, वाई) = φ ∂ वाई। (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).)यह कई चर वाले समीकरणों के लिए एक विशिष्ट परिणाम है, जहां चिकनी कार्यों के मिश्रित डेरिवेटिव एक दूसरे के बराबर होते हैं। कभी-कभी इस मामले को कहा जाता है क्लैरॉट का प्रमेय. इस मामले में, अवकल समीकरण कुल अंतरों में एक समीकरण है यदि निम्न शर्त पूरी होती है:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • कुल अंतरों में समीकरणों को हल करने की विधि कई व्युत्पन्नों की उपस्थिति में संभावित कार्यों को खोजने के समान है, जिसकी हम संक्षेप में चर्चा करेंगे। पहले हम एकीकृत करें एम (\ डिस्प्लेस्टाइल एम)पर एक्स । (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स।)क्यों कि एम (\ डिस्प्लेस्टाइल एम)एक समारोह है और एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स), तथा y , (\displaystyle y,)एकीकृत करते समय, हमें एक अधूरा कार्य मिलता है , (\displaystyle \varphi ,)के रूप में लेबल किया गया ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). परिणाम में पर निर्भर भी शामिल है y (\displaystyle y)एकीकरण की निरंतरता।
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (डी) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • उसके बाद, प्राप्त करने के लिए c (y) (\displaystyle c(y))आप के संबंध में परिणामी फलन का आंशिक अवकलज ले सकते हैं y , (\displaystyle y,)परिणाम की बराबरी करें एन (एक्स, वाई) (\displaystyle एन(एक्स, वाई))और एकीकृत करें। कोई भी पहले एकीकृत कर सकता है एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन), और फिर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लें एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स), जो हमें एक मनमाना कार्य खोजने की अनुमति देगा डी (एक्स)। (\ डिस्प्लेस्टाइल डी (एक्स)।)दोनों विधियां उपयुक्त हैं, और आमतौर पर एकीकरण के लिए सरल कार्य को चुना जाता है।
     • N (x , y) = ∂ φ y = ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ आंशिक (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • उदाहरण 1.5.आप आंशिक व्युत्पन्न ले सकते हैं और सत्यापित कर सकते हैं कि नीचे दिया गया समीकरण कुल अंतर समीकरण है।
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (डी) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial) \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • यदि अंतर समीकरण कुल अंतर समीकरण नहीं है, तो कुछ मामलों में आप एक एकीकृत कारक पा सकते हैं जो आपको इसे कुल अंतर समीकरण में बदलने की अनुमति देगा। हालांकि, इस तरह के समीकरण शायद ही कभी व्यवहार में उपयोग किए जाते हैं, और हालांकि एकीकृत कारक मौजूद, खोजें ऐसा होता है आसान नहीं है, इसलिए इस लेख में इन समीकरणों पर विचार नहीं किया गया है।

भाग 2

1. निरंतर गुणांक वाले सजातीय रैखिक अंतर समीकरण।व्यवहार में इन समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, इसलिए उनका समाधान सर्वोपरि है। इस मामले में, हम सजातीय कार्यों के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, लेकिन इस तथ्य के बारे में कि समीकरण के दाईं ओर 0 है। अगले भाग में, हम दिखाएंगे कि कैसे संबंधित विजातीयविभेदक समीकरण। नीचे ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)तथा बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी)स्थिरांक हैं।

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+by=0)
   

   विशेषता समीकरण. यह अंतर समीकरण इस मायने में उल्लेखनीय है कि इसे बहुत आसानी से हल किया जा सकता है यदि आप ध्यान दें कि इसके समाधान में कौन से गुण होने चाहिए। समीकरण से देखा जा सकता है कि y (\displaystyle y)और इसके व्युत्पन्न एक दूसरे के समानुपाती होते हैं। पिछले उदाहरणों से, जिन्हें प्रथम-क्रम समीकरणों के अनुभाग में माना गया था, हम जानते हैं कि केवल घातांक प्रकार्य. इसलिए, सामने रखना संभव है अंसात्ज़(एक शिक्षित अनुमान) दिए गए समीकरण का हल क्या होगा।

   • समाधान एक घातीय कार्य का रूप ले लेगा ई आर एक्स , (\displaystyle ई^(आरएक्स),)कहाँ पे r (\displaystyle r)एक स्थिरांक है जिसका मान ज्ञात करना है। इस फ़ंक्शन को समीकरण में प्रतिस्थापित करें और निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त करें
     • ई आर एक्स (आर 2 + ए आर + बी) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • यह समीकरण इंगित करता है कि एक घातीय फलन और एक बहुपद का गुणनफल शून्य होना चाहिए। यह ज्ञात है कि डिग्री के किसी भी मान के लिए घातांक शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि बहुपद शून्य के बराबर है। इस प्रकार, हमने एक अवकल समीकरण को हल करने की समस्या को एक बीजीय समीकरण को हल करने की एक बहुत ही सरल समस्या में कम कर दिया है, जिसे किसी दिए गए अंतर समीकरण के लिए विशेषता समीकरण कहा जाता है।
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • हमारी दो जड़ें हैं। चूँकि यह अवकल समीकरण रैखिक है, इसका व्यापक हल आंशिक हलों का एक रैखिक संयोजन है। चूँकि यह द्वितीय कोटि का समीकरण है, हम जानते हैं कि यह है वास्तव मेंसामान्य समाधान, और कोई अन्य नहीं हैं। इसका एक अधिक कठोर औचित्य समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता पर प्रमेयों में निहित है, जो पाठ्यपुस्तकों में पाया जा सकता है।
   • यह जांचने का एक उपयोगी तरीका है कि क्या दो समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, गणना करना है व्रोनस्कियन. व्रोनस्कियन डब्ल्यू (\ डिस्प्लेस्टाइल डब्ल्यू)- यह मैट्रिक्स का निर्धारक है, जिसके स्तंभों में कार्य और उनके क्रमिक व्युत्पन्न हैं। रैखिक बीजगणित प्रमेय कहता है कि यदि व्रोनस्कियन शून्य के बराबर है, तो व्रोनस्कियन में कार्य रैखिक रूप से निर्भर हैं। इस खंड में, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि दो समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं या नहीं, यह सुनिश्चित करके कि व्रोनस्कियन गैर-शून्य है। पैरामीटर भिन्नता विधि द्वारा निरंतर गुणांक वाले गैर-समरूप अंतर समीकरणों को हल करने में व्रोनस्कियन महत्वपूर्ण है।
     • डब्ल्यू=| y 1 y 2 y 1 y 2 | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • रैखिक बीजगणित के संदर्भ में, किसी दिए गए अंतर समीकरण के सभी समाधानों का सेट एक वेक्टर स्थान बनाता है जिसका आयाम अंतर समीकरण के क्रम के बराबर होता है। इस स्थान में, कोई एक आधार चुन सकता है रैखिक रूप से स्वतंत्रएक दूसरे से निर्णय। यह इस तथ्य के कारण संभव है कि फ़ंक्शन y (x) (\displaystyle y(x))वैध रैखिक ऑपरेटर. यौगिक हैरैखिक ऑपरेटर, क्योंकि यह अलग-अलग कार्यों के स्थान को सभी कार्यों के स्थान में बदल देता है। समीकरणों को उन मामलों में सजातीय कहा जाता है जहां कुछ रैखिक संकारक के लिए एल (\ डिस्प्लेस्टाइल एल)समीकरण का हल खोजना आवश्यक है एल [ y ] = 0. (\displaystyle एल[y]=0.)

   आइए अब कुछ पर नजर डालते हैं ठोस उदाहरण. अभिलाक्षणिक समीकरण के बहुमूलों के मामले पर थोड़ी देर बाद, क्रम में कमी के खंड में विचार किया जाएगा।

   अगर जड़ें r ± (\displaystyle r_(\pm ))भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं, अवकल समीकरण का निम्नलिखित हल है:

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r - x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   दो जटिल जड़ें।यह बीजगणित के मूल प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि वास्तविक गुणांक वाले बहुपद समीकरणों के समाधान के मूल वास्तविक होते हैं या संयुग्मी जोड़े बनाते हैं। इसलिए, यदि सम्मिश्र संख्या r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )अभिलक्षणिक समीकरण का मूल है, तो r ∗ = α - i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )इस समीकरण की जड़ भी है। इस प्रकार, समाधान को रूप में लिखा जा सकता है c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α - i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)हालांकि, यह एक जटिल संख्या है और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में अवांछनीय है।

   • इसके बजाय, आप उपयोग कर सकते हैं यूलर सूत्र e i x = cos x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), जो आपको त्रिकोणमितीय कार्यों के रूप में समाधान लिखने की अनुमति देता है:
     • e α x (c 1 cos β x + i c 1 sin β x + c 2 cos β x - i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ बीटा x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • अब आप स्थिरांक के बजाय कर सकते हैं सी 1 + सी 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))लिखो c 1 (\displaystyle c_(1)), और अभिव्यक्ति मैं (सी 1 - सी 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))द्वारा प्रतिस्थापित ग 2। (\displaystyle c_(2).)उसके बाद हमें निम्नलिखित समाधान मिलता है:
     • y (x) = e α x (c 1 cos β x + c 2 sin β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • आयाम और चरण के संदर्भ में समाधान लिखने का एक और तरीका है, जो शारीरिक समस्याओं के लिए बेहतर अनुकूल है।
   • उदाहरण 2.1.आइए नीचे दी गई प्रारंभिक शर्तों के साथ दिए गए अवकल समीकरण का हल खोजें। इसके लिए प्राप्त समाधान लेना आवश्यक है, साथ ही इसके व्युत्पन्न, और उन्हें प्रारंभिक स्थितियों में प्रतिस्थापित करें, जो हमें मनमानी स्थिरांक निर्धारित करने की अनुमति देगा।
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )मैं)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos 31 2 t + c 2 sin 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • एक्स ′ (टी) = -3 2 ई -3 टी / 2 (सी 1 कॉस ⁡ 31 2 टी + सी 2 पाप ⁡ 31 2 टी) + ई -3 टी / 2 (- 31 2 सी 1 पाप ⁡ 31 2 टी + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_) (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = -3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   निरंतर गुणांकों के साथ nवें क्रम के अंतर समीकरणों को हल करना (Intuit - National Open University द्वारा रिकॉर्ड किया गया)।

2. डाउनग्रेडिंग ऑर्डर।जब एक रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान ज्ञात होता है, तो अवकल समीकरणों को हल करने के लिए ऑर्डर रिडक्शन एक विधि है। इस पद्धति में समीकरण के क्रम को एक से कम करना शामिल है, जो आपको पिछले अनुभाग में वर्णित विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करने की अनुमति देता है। समाधान ज्ञात होने दो। ऑर्डर को कम करने का मुख्य विचार नीचे दिए गए फॉर्म में समाधान ढूंढना है, जहां फ़ंक्शन को परिभाषित करना आवश्यक है वी (एक्स) (\displaystyle वी(एक्स)), इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करना और खोजना वी (एक्स)। (\ डिस्प्लेस्टाइल वी (एक्स)।)आइए विचार करें कि निरंतर गुणांक और कई जड़ों के साथ अंतर समीकरण को हल करने के लिए ऑर्डर कमी का उपयोग कैसे किया जा सकता है।

   
   

   एकाधिक जड़ेंनिरंतर गुणांक के साथ सजातीय अंतर समीकरण। याद रखें कि दूसरे क्रम के समीकरण में दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान होने चाहिए। यदि एक विशेषता समीकरणकई जड़ें हैं, कई समाधान हैं नहींएक स्थान बनाता है क्योंकि ये समाधान रैखिक रूप से निर्भर होते हैं। इस मामले में, दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान खोजने के लिए ऑर्डर कमी का उपयोग किया जाना चाहिए।

   • मान लें कि अभिलक्षणिक समीकरण के अनेक मूल हैं r (\displaystyle r). हम मानते हैं कि दूसरा समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), और इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करें। इस मामले में, फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न के साथ शब्द के अपवाद के साथ अधिकांश शर्तें वी , (\displaystyle वी,)कम कर दिया जाएगा।
     • वी ″ (एक्स) ई आर एक्स = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • उदाहरण 2.2.निम्नलिखित समीकरण को देखते हुए, जिसके कई मूल हैं r = - 4. (\displaystyle r=-4.)प्रतिस्थापित करते समय, अधिकांश शर्तें रद्द कर दी जाती हैं।
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\अंत (गठबंधन)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned) )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e) ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
   • स्थिर गुणांक वाले अवकल समीकरण के लिए हमारे ansatz की तरह, इस मामले में केवल दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर हो सकता है। हम दो बार एकीकृत करते हैं और वांछित अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं वी (\ डिस्प्लेस्टाइल वी):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • फिर अचर गुणांकों वाले अवकल समीकरण का सामान्य हल, यदि अभिलक्षणिक समीकरण के अनेक मूल हों, को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है। सुविधा के लिए, आप याद रख सकते हैं कि रैखिक स्वतंत्रता प्राप्त करने के लिए, बस दूसरे पद को गुणा करने के लिए पर्याप्त है एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स). समाधानों का यह सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और इस प्रकार हमें इस समीकरण के सभी समाधान मिल गए हैं।
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   डी 2 वाई डी एक्स 2 + पी (एक्स) डी वाई डी एक्स + क्यू (एक्स) वाई = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (डी)) )^(2)y)((\mathrm (डी) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)समाधान ज्ञात होने पर आदेश में कमी लागू होती है y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), जो समस्या कथन में पाया या दिया जा सकता है।

   • हम फॉर्म में समाधान ढूंढ रहे हैं y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))और इसे इस समीकरण में प्लग करें:
     • v y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v y 1 + v (y 1 + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • क्यों कि y 1 (\displaystyle y_(1))अवकल समीकरण का एक हल है, सभी पदों के साथ वी (\ डिस्प्लेस्टाइल वी)सिकुड़ रहे हैं। नतीजतन, यह रहता है पहला क्रम रैखिक समीकरण. इसे और स्पष्ट रूप से देखने के लिए, आइए हम चरों को बदलें w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = expक्स्प (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) फ्रैक (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • यदि इंटीग्रल की गणना की जा सकती है, तो हमें प्राथमिक कार्यों के संयोजन के रूप में सामान्य समाधान मिलता है। अन्यथा, समाधान को अभिन्न रूप में छोड़ा जा सकता है।

3. कॉची-यूलर समीकरण।कॉची-यूलर समीकरण दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का एक उदाहरण है चरगुणांक, जिनके सटीक समाधान हैं। इस समीकरण का प्रयोग अभ्यास में किया जाता है, उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक में लाप्लास समीकरण को हल करने के लिए।

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   विशेषता समीकरण।जैसा कि आप देख सकते हैं, इस अंतर समीकरण में, प्रत्येक पद में एक शक्ति कारक होता है, जिसकी डिग्री संबंधित व्युत्पन्न के क्रम के बराबर होती है।

   • इस प्रकार, कोई व्यक्ति प्रपत्र में समाधान खोजने का प्रयास कर सकता है y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)कहाँ परिभाषित करें n (\displaystyle n), जैसे हम स्थिर गुणांक वाले रैखिक अवकल समीकरण के लिए एक घातांक फलन के रूप में एक समाधान की तलाश कर रहे थे। विभेदन और प्रतिस्थापन के बाद, हम प्राप्त करते हैं
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • अभिलक्षणिक समीकरण का उपयोग करने के लिए, हमें यह मान लेना चाहिए कि x 0 (\displaystyle x\neq 0). दूरसंचार विभाग x = 0 (\displaystyle x=0)बुलाया नियमित एकवचन बिंदुअंतर समीकरण। घात श्रेणी का उपयोग करके अवकल समीकरणों को हल करते समय ऐसे बिंदु महत्वपूर्ण होते हैं। इस समीकरण के दो मूल हैं, जो भिन्न और वास्तविक, बहु या जटिल संयुग्मी हो सकते हैं।
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2))-4b )))(2)))

   दो अलग वास्तविक जड़ें।अगर जड़ें n ± (\displaystyle n_(\pm ))वास्तविक और भिन्न हैं, तो अवकल समीकरण के हल का निम्न रूप है:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n - (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   दो जटिल जड़ें।यदि अभिलक्षणिक समीकरण की जड़ें हैं n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), समाधान एक जटिल कार्य है।

   • समाधान को वास्तविक फलन में बदलने के लिए, हम चरों में परिवर्तन करते हैं एक्स = ई टी , (\displaystyle x=e^(t),)वह है t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)और यूलर सूत्र का उपयोग करें। मनमानी स्थिरांक को परिभाषित करते समय इसी तरह की कार्रवाइयां पहले की गई थीं।
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e - β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • तब सामान्य हल को इस प्रकार लिखा जा सकता है
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   एकाधिक जड़ें।दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान प्राप्त करने के लिए, क्रम को फिर से कम करना आवश्यक है।

   • यह काफी गणना लेता है, लेकिन सिद्धांत समान है: हम प्रतिस्थापित करते हैं y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))एक समीकरण में जिसका पहला हल है y 1 (\displaystyle y_(1)). कटौती के बाद, निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:
     • वी ″ + 1 एक्स वी ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • यह के संबंध में प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है वी (एक्स)। (\displaystyle v"(x).)उसका समाधान है वी (एक्स) = सी 1 + सी 2 एलएन ⁡ एक्स। (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)इस प्रकार, समाधान को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है। यह याद रखना बहुत आसान है - दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान प्राप्त करने के लिए, आपको बस एक अतिरिक्त शब्द की आवश्यकता है ln x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. निरंतर गुणांक वाले अमानवीय रैखिक अंतर समीकरण।गैर-समरूप समीकरणों का रूप होता है एल [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)कहाँ पे f (x) (\displaystyle f(x))- तथाकथित स्वतंत्र सदस्य. अवकल समीकरणों के सिद्धांत के अनुसार, इस समीकरण का सामान्य हल एक अध्यारोपण है निजी निर्णय y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))तथा अतिरिक्त समाधान वाई सी (एक्स)। (\displaystyle y_(c)(x).)हालांकि, इस मामले में, एक विशेष समाधान का मतलब प्रारंभिक स्थितियों द्वारा दिया गया समाधान नहीं है, बल्कि एक ऐसा समाधान है जो असमानता (मुक्त अवधि) की उपस्थिति के कारण होता है। पूरक समाधान संगत सजातीय समीकरण का समाधान है जिसमें f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)सामान्य समाधान इन दो समाधानों का एक सुपरपोजिशन है, क्योंकि एल [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), और तबसे एल [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,)ऐसा सुपरपोजिशन वास्तव में है सामान्य समाधान.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+by=f(x))
   

   अनिश्चित गुणांक की विधि।अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां मुक्त शब्द घातीय, त्रिकोणमितीय, अतिशयोक्तिपूर्ण या शक्ति कार्यों का संयोजन होता है। केवल इन कार्यों को रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव की एक सीमित संख्या की गारंटी है। इस खंड में, हम समीकरण का एक विशेष हल खोजेंगे।

   • शब्दों की तुलना करें f (x) (\displaystyle f(x))निरंतर कारकों की अनदेखी में शर्तों के साथ। तीन मामले संभव हैं।
     • कोई समान सदस्य नहीं हैं।इस मामले में, एक विशेष समाधान y p (\displaystyle y_(p))से पदों का एक रैखिक संयोजन होगा y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) सदस्य शामिल है x n (\displaystyle x^(n)) और से एक सदस्य y c , (\displaystyle y_(c),) कहाँ पे n (\displaystyle n) शून्य या एक धनात्मक पूर्णांक है, और यह पद अभिलक्षणिक समीकरण के एकल मूल से मेल खाता है।इस मामले में y p (\displaystyle y_(p))समारोह के संयोजन से मिलकर बनेगा x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव, साथ ही साथ अन्य शर्तें f (x) (\displaystyle f(x))और उनके रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव।
     • f (x) (\displaystyle f(x)) सदस्य शामिल है h (x) , (\displaystyle h(x),) जो एक काम है x n (\displaystyle x^(n)) और से एक सदस्य y c , (\displaystyle y_(c),) कहाँ पे n (\displaystyle n) 0 या एक धनात्मक पूर्णांक के बराबर है, और यह पद से मेल खाता है विभिन्नविशेषता समीकरण की जड़।इस मामले में y p (\displaystyle y_(p))फ़ंक्शन का एक रैखिक संयोजन है x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(कहाँ पे s (\displaystyle s)- जड़ की बहुलता) और इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र व्युत्पन्न, साथ ही फ़ंक्शन के अन्य सदस्य f (x) (\displaystyle f(x))और इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव।
   • आइए लिखते हैं y p (\displaystyle y_(p))उपरोक्त शर्तों के एक रैखिक संयोजन के रूप में। एक रैखिक संयोजन में इन गुणांकों के लिए धन्यवाद यह विधिअनिश्चित गुणांक की विधि कहा जाता है। में निहित लोगों की उपस्थिति पर y c (\displaystyle y_(c))में मनमानी स्थिरांक की उपस्थिति के कारण उनके सदस्यों को त्याग दिया जा सकता है वाई सी। (\displaystyle y_(c).)उसके बाद हम प्रतिस्थापित करते हैं y p (\displaystyle y_(p))एक समीकरण में और समान पदों को समान करें।
   • हम गुणांक निर्धारित करते हैं। इस स्तर पर, सिस्टम बीजीय समीकरण, जिसे आमतौर पर बिना हल किया जा सकता है विशेष समस्या. इस प्रणाली का समाधान प्राप्त करना संभव बनाता है y p (\displaystyle y_(p))और इस तरह समीकरण को हल करें।
   • उदाहरण 2.3।एक अमानवीय अंतर समीकरण पर विचार करें, जिसके मुक्त पद में रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव की एक सीमित संख्या होती है। इस तरह के समीकरण का एक विशेष समाधान अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा पाया जा सकता है।
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t - cos 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\ sqrt(6))टी)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 ए ई 3 टी -25 बी कॉस ⁡ 5 टी -25 सी पाप ⁡ 5 टी + 6 ए ई 3 टी + 6 बी कॉस 5 टी + 6 सी पाप ⁡ 5 टी = 2 ई 3 टी - क्योंकि 5 टी ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(संरेखित)))
     • ( 9 ए + 6 ए = 2 , ए = 2 15 - 25 बी + 6 बी = − 1 , बी = 1 19 − 25 सी + 6 सी = 0, सी = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ अंत (मामलों)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   लैग्रेंज विधि।लैग्रेंज विधि, या मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि अधिक है सामान्य विधिअमानवीय अंतर समीकरणों के समाधान, विशेष रूप से ऐसे मामलों में जहां मुक्त शब्द में रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव की सीमित संख्या नहीं होती है। उदाहरण के लिए, मुक्त सदस्यों के साथ तन ⁡ एक्स (\displaystyle \तन एक्स)या x - n (\displaystyle x^(-n))एक विशेष समाधान खोजने के लिए, लैग्रेंज विधि का उपयोग करना आवश्यक है। लैग्रेंज विधि का उपयोग चर गुणांकों के साथ अंतर समीकरणों को हल करने के लिए भी किया जा सकता है, हालांकि इस मामले में, कॉची-यूलर समीकरण के अपवाद के साथ, इसका उपयोग कम बार किया जाता है, क्योंकि अतिरिक्त समाधान आमतौर पर प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जाता है।

   • आइए मान लें कि समाधान का निम्न रूप है। इसका व्युत्पन्न दूसरी पंक्ति में दिया गया है।
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • चूंकि प्रस्तावित समाधान में शामिल हैं दोअज्ञात मात्रा, थोपना आवश्यक है अतिरिक्तस्थि‍ति। हम इस अतिरिक्त शर्त को निम्नलिखित रूप में चुनते हैं:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • अब हम दूसरा समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। सदस्यों को प्रतिस्थापित और पुनर्वितरित करने के बाद, आप सदस्यों को एक साथ समूहित कर सकते हैं v 1 (\displaystyle v_(1))और सदस्यों से वी 2 (\displaystyle v_(2)). ये शर्तें रद्द कर दी गई हैं क्योंकि y 1 (\displaystyle y_(1))तथा y 2 (\displaystyle y_(2))संगत समांगी समीकरण के हल हैं। नतीजतन, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(गठबंधन)))
   • इस प्रणाली को परिवर्तित किया जा सकता है मैट्रिक्स समीकरणमेहरबान A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)जिसका समाधान है एक्स = ए - 1 बी। (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ))मैट्रिक्स के लिए 2 × 2 (\displaystyle 2\बार 2) उलटा मैट्रिक्सनिर्धारक द्वारा विभाजित करके, विकर्ण तत्वों की अनुमति देकर, और ऑफ-विकर्ण तत्वों के संकेत को बदलकर पाया जाता है। वास्तव में, इस मैट्रिक्स का निर्धारक एक व्रोनस्कियन है।
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 - y 2 - y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • अभिव्यक्ति के लिए v 1 (\displaystyle v_(1))तथा वी 2 (\displaystyle v_(2))नीचे सूचीबद्ध हैं। जैसा कि क्रम में कमी विधि में है, इस मामले में, एकीकरण के दौरान एक मनमाना स्थिरांक दिखाई देता है, जिसमें अंतर समीकरण के सामान्य समाधान में एक अतिरिक्त समाधान शामिल होता है।
     • v 1 (x) = - ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (डी) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (एक्स) (\ गणित (डी)) एक्स)
   
   नेशनल ओपन यूनिवर्सिटी इंटुइट का व्याख्यान "निरंतर गुणांक के साथ एन-वें क्रम के रैखिक अंतर समीकरण" शीर्षक।

प्रायोगिक उपयोग

अवकल समीकरण किसी फलन और उसके एक या अधिक अवकलजों के बीच संबंध स्थापित करते हैं। चूंकि इस तरह के संबंध इतने सामान्य हैं, विभेदक समीकरणों को विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से लागू किया गया है, और चूंकि हम चार आयामों में रहते हैं, ये समीकरण अक्सर अंतर समीकरण होते हैं निजीडेरिवेटिव। यह खंड इस प्रकार के कुछ सबसे महत्वपूर्ण समीकरणों पर चर्चा करता है।

• घातीय वृद्धि और क्षय।रेडियोधर्मी क्षय। चक्रवृद्धि ब्याज। रफ़्तार रसायनिक प्रतिक्रिया. रक्त में दवाओं की एकाग्रता। असीमित जनसंख्या वृद्धि। न्यूटन-रिचमैन कानून। वास्तविक दुनिया में, ऐसी कई प्रणालियाँ हैं जिनमें किसी भी समय वृद्धि या क्षय की दर की मात्रा के समानुपाती होती है इस पलसमय या मॉडल द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है। इसका कारण यह है कि इस अंतर समीकरण का समाधान, घातीय फलन, सबसे अधिक में से एक है महत्वपूर्ण कार्यगणित और अन्य विज्ञानों में। अधिक आम तौर पर, नियंत्रित जनसंख्या वृद्धि के तहत, सिस्टम में अतिरिक्त शर्तें शामिल हो सकती हैं जो वृद्धि को सीमित करती हैं। नीचे दिए गए समीकरण में, स्थिरांक k (\displaystyle k)शून्य से अधिक या कम हो सकता है।
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• हार्मोनिक कंपन।शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी दोनों में, हार्मोनिक थरथरानवाला सबसे महत्वपूर्ण भौतिक प्रणालियों में से एक है क्योंकि इसकी सादगी और अधिक जटिल प्रणालियों जैसे कि एक साधारण पेंडुलम का अनुमान लगाने के लिए व्यापक अनुप्रयोग है। शास्त्रीय यांत्रिकी में हार्मोनिक कंपनएक समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है जो एक भौतिक बिंदु की स्थिति को हुक के नियम के माध्यम से उसके त्वरण से संबंधित करता है। इस मामले में, भिगोना और ड्राइविंग बलों को भी ध्यान में रखा जा सकता है। नीचे दी गई अभिव्यक्ति में x (\displaystyle (\dot (x)))- समय व्युत्पन्न x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \बीटा )एक पैरामीटर है जो अवमंदन बल का वर्णन करता है, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- प्रणाली की कोणीय आवृत्ति, एफ (टी) (\ डिस्प्लेस्टाइल एफ (टी))एक समय पर निर्भर प्रेरक शक्ति है। हार्मोनिक ऑसिलेटर इलेक्ट्रोमैग्नेटिक ऑसिलेटरी सर्किट में भी मौजूद होता है, जहां इसे मैकेनिकल सिस्टम की तुलना में अधिक सटीकता के साथ लागू किया जा सकता है।
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (टी) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x = एफ (टी))
• बेसेल समीकरण।बेसेल अंतर समीकरण का उपयोग भौतिकी के कई क्षेत्रों में किया जाता है, जिसमें तरंग समीकरण, लाप्लास समीकरण और श्रोडिंगर समीकरण का समाधान शामिल है, विशेष रूप से बेलनाकार या गोलाकार समरूपता की उपस्थिति में। चर गुणांकों वाला यह द्वितीय-क्रम अंतर समीकरण कॉची-यूलर समीकरण नहीं है, इसलिए इसके समाधानों को प्राथमिक कार्यों के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। बेसेल समीकरण के समाधान बेसेल फलन हैं, जिनका इस तथ्य के कारण अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है कि उनका उपयोग कई क्षेत्रों में किया जाता है। नीचे दी गई अभिव्यक्ति में α (\displaystyle \alpha )एक स्थिरांक है जो मेल खाता है गणबेसेल कार्य करता है।
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 - α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) वाई = 0)
• मैक्सवेल के समीकरण।लोरेंत्ज़ बल के साथ, मैक्सवेल के समीकरण शास्त्रीय विद्युतगतिकी का आधार बनते हैं। ये विद्युत के लिए चार आंशिक अवकल समीकरण हैं ई (आर, टी) (\displaystyle (\mathbf (ई) )((\mathbf (आर) ),टी))और चुंबकीय बी (आर, टी) (\displaystyle (\mathbf (बी) )((\mathbf (आर) ),टी))खेत। नीचे के भावों में ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- चार्ज का घनत्व, जे = जे (आर, टी) (\displaystyle (\mathbf (जे) )=(\mathbf (जे) )((\mathbf (आर)), टी))वर्तमान घनत्व है, और 0 (\displaystyle \epsilon _(0))तथा μ 0 (\displaystyle \mu _(0))क्रमशः विद्युत और चुंबकीय स्थिरांक हैं।
  • E = ρ ϵ 0 B = 0 × E = - ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf) (ई) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) )))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) )))(\partial t))\end(aligned)))
• श्रोडिंगर समीकरण।क्वांटम यांत्रिकी में, श्रोडिंगर समीकरण गति का मूल समीकरण है जो तरंग फ़ंक्शन में परिवर्तन के अनुसार कणों की गति का वर्णन करता है Ψ = Ψ (आर, टी) (\displaystyle \साई =\साई ((\mathbf (आर)),टी))समय के साथ। गति के समीकरण का वर्णन व्यवहार द्वारा किया जाता है हैमिल्टनियन एच ^ (\displaystyle (\टोपी(एच))) - ऑपरेटर, जो सिस्टम की ऊर्जा का वर्णन करता है। व्यापक रूप से एक प्रसिद्ध उदाहरणभौतिकी में श्रोडिंगर समीकरण एक गैर-सापेक्ष कण के लिए समीकरण है, जो संभावित के अधीन है वी (आर, टी) (\displaystyle वी((\mathbf (आर)),टी)). कई प्रणालियों को समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है, बाईं ओर समीकरण के साथ ई Ψ , (\displaystyle ई\साई ,)कहाँ पे ई (\ डिस्प्लेस्टाइल ई)कण की ऊर्जा है। नीचे के भावों में (\displaystyle \hbar )घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है।
  • मैं t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• तरंग समीकरण।तरंगों के बिना भौतिकी और प्रौद्योगिकी की कल्पना करना असंभव है, वे सभी प्रकार की प्रणालियों में मौजूद हैं। सामान्य तौर पर, तरंगों का वर्णन नीचे दिए गए समीकरण द्वारा किया जाता है, जिसमें u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))वांछित कार्य है, और सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी)- प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित स्थिर। डी'अलेम्बर्ट ने सबसे पहले यह खोजा था कि एक-आयामी मामले के लिए तरंग समीकरण का समाधान है कोईतर्क के साथ कार्य x - c t (\displaystyle x-ct), जो दाईं ओर फैलने वाली एक मनमाना लहर का वर्णन करता है। एक-आयामी मामले के लिए सामान्य समाधान इस फ़ंक्शन का एक दूसरे फ़ंक्शन के साथ एक तर्क के साथ एक रैखिक संयोजन है x + c t (\displaystyle x+ct), जो बाईं ओर फैलने वाली लहर का वर्णन करता है। यह समाधान दूसरी पंक्ति में प्रस्तुत किया गया है।
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x - c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• नेवियर-स्टोक्स समीकरण।नेवियर-स्टोक्स समीकरण तरल पदार्थों की गति का वर्णन करते हैं। चूंकि विज्ञान और प्रौद्योगिकी के लगभग हर क्षेत्र में तरल पदार्थ मौजूद हैं, इसलिए ये समीकरण मौसम की भविष्यवाणी, विमान डिजाइन, महासागरीय धाराओं और कई अन्य अनुप्रयोगों के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं। नेवियर-स्टोक्स समीकरण गैर-रैखिक आंशिक अंतर समीकरण हैं, और ज्यादातर मामलों में उन्हें हल करना बहुत मुश्किल है, क्योंकि गैर-रैखिकता अशांति की ओर ले जाती है, और संख्यात्मक तरीकों से एक स्थिर समाधान प्राप्त करने के लिए, यह आवश्यक है बहुत छोटी कोशिकाओं में विभाजन, जिसके लिए महत्वपूर्ण कंप्यूटिंग शक्ति की आवश्यकता होती है। हाइड्रोडायनामिक्स में व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, अशांत प्रवाह को मॉडल करने के लिए समय औसत जैसी विधियों का उपयोग किया जाता है। इससे भी अधिक बुनियादी प्रश्न, जैसे कि गैर-रैखिक आंशिक अंतर समीकरणों के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता, जटिल समस्याएं हैं, और तीन आयामों में नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता को साबित करना सहस्राब्दी की गणितीय समस्याओं में से एक है। . नीचे असंपीड्य द्रव प्रवाह समीकरण और निरंतरता समीकरण हैं।
  • u t + (u ) u - 2 u = - h , t + (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u) ))) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• कई अवकल समीकरणों को केवल उपरोक्त विधियों द्वारा हल नहीं किया जा सकता है, विशेष रूप से पिछले खंड में उल्लिखित। यह तब लागू होता है जब समीकरण में चर गुणांक होते हैं और कॉची-यूलर समीकरण नहीं होता है, या जब समीकरण गैर-रैखिक होता है, कुछ बहुत ही दुर्लभ मामलों को छोड़कर। हालाँकि, उपरोक्त विधियाँ आपको कई महत्वपूर्ण अंतर समीकरणों को हल करने की अनुमति देती हैं जो अक्सर विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में सामने आते हैं।
• भेदभाव के विपरीत, जो आपको किसी भी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की अनुमति देता है, कई अभिव्यक्तियों का अभिन्न अंग प्राथमिक कार्यों में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए, जहां यह असंभव है, वहां अभिन्न की गणना करने में समय बर्बाद न करें। इंटीग्रल की तालिका देखें। यदि किसी अवकल समीकरण के हल को प्राथमिक फलनों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, तो कभी-कभी इसे समाकलन रूप में निरूपित किया जा सकता है, और इस मामले में इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इस समाकल की गणना विश्लेषणात्मक रूप से की जा सकती है या नहीं।

चेतावनी

• दिखावटअंतर समीकरण भ्रामक हो सकता है। उदाहरण के लिए, नीचे दो प्रथम-क्रम अंतर समीकरण हैं। इस आलेख में वर्णित विधियों का उपयोग करके पहले समीकरण को आसानी से हल किया जाता है। पहली नज़र में मामूली बदलाव y (\displaystyle y)पर y 2 (\displaystyle y^(2))दूसरे समीकरण में इसे अरैखिक बनाता है और इसे हल करना बहुत कठिन हो जाता है।
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

6.1. बुनियादी अवधारणाएं और परिभाषाएं

निर्णय लेते समय विभिन्न कार्यगणित और भौतिकी, जीव विज्ञान और चिकित्सा अक्सर अध्ययन के तहत प्रक्रिया का वर्णन करने वाले चर को जोड़ने वाले सूत्र के रूप में एक कार्यात्मक संबंध स्थापित करने में विफल हो जाते हैं। आमतौर पर, किसी को स्वतंत्र चर और अज्ञात फ़ंक्शन के अलावा, इसके डेरिवेटिव वाले समीकरणों का उपयोग करना पड़ता है।

परिभाषा।एक स्वतंत्र चर, एक अज्ञात फलन और उसके विभिन्न कोटि के व्युत्पन्नों से संबंधित समीकरण कहलाता है अंतर।

अज्ञात फ़ंक्शन को आमतौर पर दर्शाया जाता है वाई (एक्स)या केवल वाई,और इसके डेरिवेटिव हैं वाई", वाई"आदि।

अन्य संकेतन भी संभव हैं, उदाहरण के लिए: if आप= एक्स (टी), फिर एक्स"(टी), एक्स""(टी)इसके डेरिवेटिव हैं, और टीएक स्वतंत्र चर है।

परिभाषा।यदि फलन एक चर पर निर्भर करता है, तो अवकल समीकरण को साधारण कहा जाता है। सामान्य फ़ॉर्म साधारण अंतर समीकरण:

या

कार्यों एफतथा एफहो सकता है कि इसमें कुछ तर्क न हों, लेकिन समीकरणों के विभेदक होने के लिए, एक व्युत्पन्न की उपस्थिति आवश्यक है।

परिभाषा।अवकल समीकरण का क्रमइसमें शामिल उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

उदाहरण के लिए, एक्स 2 वाई"- आप= 0, वाई" + पाप एक्स= 0 प्रथम-क्रम समीकरण हैं, और वाई"+ 2 वाई"+ 5 आप= एक्सद्वितीय कोटि का समीकरण है।

अंतर समीकरणों को हल करते समय, एकीकरण ऑपरेशन का उपयोग किया जाता है, जो एक मनमाना स्थिरांक की उपस्थिति से जुड़ा होता है। अगर एकीकरण कार्रवाई लागू की जाती है एनसमय, तो, जाहिर है, समाधान शामिल होगा एनमनमाना स्थिरांक।

6.2. पहला आदेश विभेदक समीकरण

सामान्य फ़ॉर्म पहला क्रम अंतर समीकरणअभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है

समीकरण में स्पष्ट रूप से शामिल नहीं हो सकता है एक्सतथा वाई,लेकिन आवश्यक रूप से y" शामिल है।

यदि समीकरण को के रूप में लिखा जा सकता है

तब हमें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया गया पहला-क्रम अंतर समीकरण मिलता है।

परिभाषा।प्रथम कोटि अवकल समीकरण (6.3) (या (6.4)) का सामान्य हल हलों का समुच्चय है , कहाँ पे सेएक मनमाना स्थिरांक है।

अवकल समीकरण को हल करने के लिए ग्राफ को कहा जाता है अभिन्न वक्र।

एक मनमाना स्थिरांक देना सेविभिन्न मूल्यों, विशेष समाधान प्राप्त करना संभव है। सतह पर xOyसामान्य समाधान प्रत्येक विशेष समाधान के अनुरूप अभिन्न वक्रों का एक परिवार है।

यदि आप एक बिंदु निर्धारित करते हैं ए (एक्स 0, वाई 0),जिसके माध्यम से अभिन्न वक्र पारित होना चाहिए, फिर, एक नियम के रूप में, कार्यों के सेट से एक को अलग किया जा सकता है - एक विशेष समाधान।

परिभाषा।निजी निर्णयएक अवकल समीकरण का वह हल होता है जिसमें स्वेच्छ अचर नहीं होते हैं।

यदि एक एक सामान्य समाधान है, तो स्थिति से

आप एक स्थायी पा सकते हैं से।हालत कहा जाता है आरंभिक दशा।

एक अवकल समीकरण (6.3) या (6.4) का एक विशेष समाधान खोजने की समस्या जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करती है पर बुलाया कॉची समस्या।क्या इस समस्या का हमेशा समाधान होता है? उत्तर निम्नलिखित प्रमेय में निहित है।

कॉची का प्रमेय(अस्तित्व का प्रमेय और समाधान की विशिष्टता)। चलो अवकल समीकरण में वाई"= एफ (एक्स, वाई)समारोह एफ (एक्स, वाई)और उसकी

आंशिक व्युत्पन्न कुछ में परिभाषित और निरंतर

क्षेत्रों डी,एक बिंदु युक्त फिर क्षेत्र में डीमौजूद

समीकरण का एकमात्र समाधान जो प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट करता है पर

कॉची के प्रमेय में कहा गया है कि कुछ शर्तों के तहत एक अद्वितीय अभिन्न वक्र होता है आप= एफ (एक्स),एक बिंदु से गुजरना वे बिंदु जहां प्रमेय की शर्तें संतुष्ट नहीं हैं

बिल्लियों को कहा जाता है विशेष।इन बिंदुओं पर टूटा एफ(एक्स, वाई) या।

या तो कई अभिन्न वक्र एकवचन बिंदु से गुजरते हैं, या कोई नहीं।

परिभाषा।यदि समाधान (6.3), (6.4) के रूप में पाया जाता है एफ(एक्स, वाई, सी)= 0 y के सन्दर्भ में अनुमत नहीं है, तो इसे कहते हैं सामान्य अभिन्नअंतर समीकरण।

कॉची का प्रमेय केवल इस बात की गारंटी देता है कि एक समाधान मौजूद है। चूँकि हल खोजने की कोई एकल विधि नहीं है, हम केवल कुछ प्रकार के प्रथम-कोटि अवकल समीकरणों पर विचार करेंगे जो कि समाकलनीय हैं। वर्ग

परिभाषा।अवकल समीकरण कहलाता है चतुर्भुज में एकीकृत,यदि इसके समाधान की खोज को कार्यों के एकीकरण तक सीमित कर दिया जाए।

6.2.1. वियोज्य चर के साथ पहले क्रम के अंतर समीकरण

परिभाषा।पहले क्रम के अंतर समीकरण को के साथ एक समीकरण कहा जाता है वियोज्य चर,

समीकरण का दायाँ पक्ष (6.5) दो फलनों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक केवल एक चर पर निर्भर करता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण अलग करने वाला एक समीकरण है

पासिंग वेरिएबल्स
और समीकरण

फॉर्म (6.5) में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

मान लें कि , हम (6.5) को फिर से लिखते हैं

इस समीकरण से हम अलग-अलग चर के साथ एक अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं, जिसमें अंतर में ऐसे कार्य होते हैं जो केवल संबंधित चर पर निर्भर करते हैं:

टर्म को टर्म से इंटीग्रेट करते हुए, हमारे पास है

जहां सी = सी 2 - सी 1 एक मनमाना स्थिरांक है। व्यंजक (6.6) समीकरण (6.5) का सामान्य समाकल है।

समीकरण (6.5) के दोनों भागों को से भाग देने पर, हम उन हलों को खो सकते हैं जिनके लिए, दरअसल, अगर पर

फिर स्पष्ट रूप से समीकरण (6.5) का एक हल है।

उदाहरण 1संतोषजनक समीकरण का हल खोजें

स्थि‍ति: आप= 6 पर एक्स= 2 (y(2) = 6).

समाधान।आइए बदलें पर"तब के लिए . दोनों पक्षों को से गुणा करें

डीएक्स,चूंकि आगे एकीकरण में छोड़ना असंभव है डीएक्सहर में:

और फिर दोनों भागों को विभाजित करके हमें समीकरण मिलता है,

जिसे एकीकृत किया जा सकता है। हम एकीकृत करते हैं:

फिर ; पोटेंशियेटिंग करने पर हमें y = C प्राप्त होता है। (एक्स + 1) - ओब-

समाधान।

प्रारंभिक डेटा के आधार पर, हम उन्हें सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करके एक मनमाना स्थिरांक निर्धारित करते हैं

अंत में हमें मिलता है आप= 2(x + 1) एक विशेष हल है। वियोज्य चरों वाले समीकरणों को हल करने के कुछ और उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 2समीकरण का हल खोजें

समाधान।मान लें कि , हम पाते हैं .

समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर, हमारे पास है

कहाँ पे

उदाहरण 3समीकरण का हल खोजें समाधान।हम समीकरण के दोनों भागों को उन कारकों से विभाजित करते हैं जो एक चर पर निर्भर करते हैं जो अंतर चिह्न के तहत चर के साथ मेल नहीं खाता है, अर्थात, द्वारा और एकीकृत करें। तब हमें मिलता है

और अंत में

उदाहरण 4समीकरण का हल खोजें

समाधान।यह जानकर कि हमें क्या मिलेगा। खंड-

लिम चर। फिर

एकीकृत करना, हमें मिलता है

टिप्पणी।उदाहरण 1 और 2 में, वांछित फलन आपस्पष्ट रूप से व्यक्त (सामान्य समाधान)। उदाहरण 3 और 4 में - परोक्ष रूप से (सामान्य समाकलन)। भविष्य में, निर्णय का रूप निर्दिष्ट नहीं किया जाएगा।

उदाहरण 5समीकरण का हल खोजें समाधान।

उदाहरण 6समीकरण का हल खोजें संतुष्टि देने वाला

स्थि‍ति वाई (ई)= 1.

समाधान।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं

समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करना डीएक्सऔर पर, हमें मिलता है

समीकरण के दोनों पक्षों को समाकलित करने पर (दाईं ओर का समाकल भागों द्वारा लिया जाता है), हम प्राप्त करते हैं

लेकिन शर्त आप= 1 पर एक्स= इ. फिर

पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें सेएक सामान्य समाधान में:

परिणामी व्यंजक अवकल समीकरण का विशिष्ट हल कहलाता है।

6.2.2 प्रथम कोटि के समांगी अवकल समीकरण

परिभाषा।प्रथम कोटि अवकल समीकरण कहलाता है सजातीययदि इसे के रूप में दर्शाया जा सकता है

हम एक सजातीय समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करते हैं।

1. इसके बजाय आपफिर एक नया फ़ंक्शन पेश करें और इसलिए

2. कार्य के संदर्भ में तुमसमीकरण (6.7) रूप लेता है

यानी, प्रतिस्थापन सजातीय समीकरण को वियोज्य चर वाले समीकरण में कम कर देता है।

3. समीकरण (6.8) को हल करने पर हम पहले u पाते हैं, और फिर आप= ux.

उदाहरण 1प्रश्न हल करें समाधान।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं

हम एक प्रतिस्थापन करते हैं:
फिर

आइए बदलें

डीएक्स से गुणा करें: से भाग एक्सऔर पर फिर

समीकरण के दोनों पक्षों को संगत चरों के संबंध में एकीकृत करने पर, हमारे पास है

या, पुराने चरों पर लौटने पर, हम अंत में प्राप्त करते हैं

उदाहरण 2प्रश्न हल करें समाधान।होने देना फिर

समीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें x2: आइए कोष्ठक खोलें और शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करें:

पुराने चरों पर चलते हुए, हम अंतिम परिणाम पर पहुँचते हैं:

उदाहरण 3समीकरण का हल खोजें इस शर्त पर

समाधान।एक मानक प्रतिस्थापन करना हम पाते हैं

या

या

तो विशेष समाधान का रूप है उदाहरण 4समीकरण का हल खोजें

समाधान।

उदाहरण 5समीकरण का हल खोजें समाधान।

स्वतंत्र काम

वियोज्य चर के साथ अंतर समीकरणों का हल खोजें (1-9).

सजातीय अंतर समीकरणों का हल खोजें (9-18).

6.2.3. प्रथम कोटि के अवकल समीकरणों के कुछ अनुप्रयोग

रेडियोधर्मी क्षय की समस्या

प्रत्येक क्षण में रा (रेडियम) की क्षय दर इसके उपलब्ध द्रव्यमान के समानुपाती होती है। रा के रेडियोधर्मी क्षय के नियम का पता लगाएं यदि यह ज्ञात है कि प्रारंभिक क्षण में रा था और रा का आधा जीवन 1590 वर्ष है।

समाधान।इस समय द्रव्यमान रा होने दें एक्स= एक्स (टी)जी, और तब रा की क्षय दर है

कार्य के अनुसार

कहाँ पे क

अंतिम समीकरण में चरों को अलग करने और समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

कहाँ पे

निर्धारण के लिए सीहम प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करते हैं: .

फिर और इसीलिए,

आनुपातिकता कारक कअतिरिक्त शर्त से निर्धारित:

हमारे पास है

यहाँ से और वांछित सूत्र

बैक्टीरिया के प्रजनन की दर की समस्या

जीवाणुओं के प्रजनन की दर उनकी संख्या के समानुपाती होती है। शुरुआती समय में 100 बैक्टीरिया थे। 3 घंटे के भीतर उनकी संख्या दोगुनी हो गई। समय पर जीवाणुओं की संख्या की निर्भरता ज्ञात कीजिए। 9 घंटे में बैक्टीरिया की संख्या कितनी गुना बढ़ जाएगी?

समाधान।होने देना एक्स- इस समय बैक्टीरिया की संख्या टी।फिर शर्त के मुताबिक,

कहाँ पे क- आनुपातिकता का गुणांक।

यहाँ से इस शर्त से पता चलता है कि . माध्यम,

अतिरिक्त शर्त से . फिर

आवश्यक कार्य:

तो, अत टी= 9 एक्स= 800, यानी 9 घंटे के भीतर बैक्टीरिया की संख्या 8 गुना बढ़ गई।

एंजाइम की मात्रा बढ़ाने का कार्य

शराब बनाने वाले के खमीर की संस्कृति में, सक्रिय एंजाइम की वृद्धि दर इसकी प्रारंभिक मात्रा के समानुपाती होती है। एक्स।एंजाइम की प्रारंभिक मात्रा एकएक घंटे के भीतर दोगुना हो गया। निर्भरता खोजें

एक्स (टी)।

समाधान।शर्त के अनुसार, प्रक्रिया के अंतर समीकरण का रूप होता है

यहाँ से

परंतु . माध्यम, सी= एकऔर फिर

यह भी ज्ञात है कि

फलस्वरूप,

6.3. दूसरे क्रम के अंतर समीकरण

6.3.1. मूल अवधारणा

परिभाषा।दूसरा क्रम अंतर समीकरणस्वतंत्र चर, वांछित फलन और उसके प्रथम और द्वितीय अवकलज को जोड़ने वाला संबंध है।

विशेष मामलों में, समीकरण में x अनुपस्थित हो सकता है, परया y"। हालांकि, दूसरे क्रम के समीकरण में आवश्यक रूप से y होना चाहिए"। सामान्य स्थिति में, दूसरे क्रम के अंतर समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है:

या, यदि संभव हो तो, दूसरे व्युत्पन्न के लिए अनुमत प्रपत्र में:

जैसा कि पहले क्रम के समीकरण के मामले में होता है, दूसरे क्रम के समीकरण का एक सामान्य और एक विशेष समाधान हो सकता है। सामान्य समाधान इस तरह दिखता है:

एक निजी समाधान ढूँढना

प्रारंभिक शर्तों के तहत - दिया गया

नंबर) कहा जाता है कॉची समस्या।ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि अभिन्न वक्र खोजने की आवश्यकता है पर= वाई (एक्स),किसी दिए गए बिंदु से गुजरना और इस बिंदु पर एक स्पर्शरेखा है, जो लगभग . है

सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ कांटे बैलदिया गया कोण। इ। (चित्र 6.1)। कॉची समस्या का एक अनूठा समाधान है यदि समीकरण का दाहिना पक्ष (6.10), पूर्व-

असंतत है और के संबंध में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न है तुम तुम"शुरुआती बिंदु के कुछ पड़ोस में

स्थिरांक खोजने के लिए किसी विशेष समाधान में शामिल, सिस्टम को अनुमति देना आवश्यक है

चावल। 6.1.अभिन्न वक्र

विभेदक समीकरण (DE) समीकरण है,
जहाँ स्वतंत्र चर हैं, y एक फलन है और आंशिक अवकलज हैं।

साधारण अंतर समीकरण एक अवकल समीकरण है जिसमें केवल एक स्वतंत्र चर है।

आंशिक विभेदक समीकरण एक अवकल समीकरण है जिसमें दो या दो से अधिक स्वतंत्र चर होते हैं।

"साधारण" और "आंशिक व्युत्पन्न" शब्दों को छोड़ा जा सकता है यदि यह स्पष्ट है कि किस समीकरण पर विचार किया जा रहा है। निम्नलिखित में, साधारण अंतर समीकरणों पर विचार किया जाता है।

अंतर समीकरण का क्रम उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

यहाँ पहले क्रम के समीकरण का एक उदाहरण दिया गया है:

यहाँ चौथे क्रम के समीकरण का एक उदाहरण दिया गया है:

कभी-कभी प्रथम-क्रम अवकल समीकरण को विभेदों के रूप में लिखा जाता है:

इस मामले में, चर x और y बराबर हैं। अर्थात्, स्वतंत्र चर या तो x या y हो सकता है। पहले मामले में, y x का एक फलन है। दूसरे मामले में, x, y का एक फलन है। यदि आवश्यक हो, तो हम इस समीकरण को एक ऐसे रूप में ला सकते हैं जिसमें व्युत्पन्न y′ स्पष्ट रूप से प्रवेश करता है।
इस समीकरण को dx से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
.
चूँकि और , यह इस प्रकार है
.

अवकल समीकरणों का हल

प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं। प्राथमिक कार्यों के अभिन्न अंग अक्सर प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किए जाते हैं। अंतर समीकरणों के साथ, स्थिति और भी खराब है। समाधान के परिणामस्वरूप, आप प्राप्त कर सकते हैं:

• एक चर पर एक समारोह की स्पष्ट निर्भरता;

  एक विभेदक समीकरण को हल करना फलन है y = u (एक्स), जिसे परिभाषित किया गया है, n गुना भिन्न है, और .

• . प्रकार के समीकरण के रूप में निहित निर्भरता (एक्स, वाई) = 0या समीकरणों की प्रणाली;

  अवकल समीकरण का समाकलन एक अंतर समीकरण का एक समाधान है जिसका एक निहित रूप है।

• प्रारंभिक कार्यों और उनसे अभिन्न के माध्यम से व्यक्त निर्भरता;

  द्विघात समीकरण का हल - यह प्राथमिक कार्यों और उनके अभिन्न के संयोजन के रूप में समाधान ढूंढ रहा है।

• समाधान को प्राथमिक कार्यों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

चूँकि अवकल समीकरणों के हल को समाकलों की गणना में घटा दिया जाता है, समाधान में स्थिरांकों का एक समुच्चय C 1, C 2, C 3, ... C n शामिल है। स्थिरांक की संख्या समीकरण के क्रम के बराबर होती है। अवकल समीकरण का आंशिक समाकलन स्थिरांक C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n के दिए गए मानों के लिए सामान्य समाकलन है।

सन्दर्भ:
वी.वी. स्टेपानोव, कोर्स ऑफ डिफरेंशियल इक्वेशन, एलकेआई, 2015।
एन.एम. गुंथर, आर.ओ. कुज़मिन, कार्यों का संग्रह उच्च गणित, "लैन", 2003।

यह लेख अंतर समीकरणों के सिद्धांत के अध्ययन में एक प्रारंभिक बिंदु है। यहां मुख्य परिभाषाएं और अवधारणाएं एकत्र की गई हैं जो पाठ में लगातार दिखाई देंगी। बेहतर आत्मसात और समझ के लिए, उदाहरण के साथ परिभाषाएँ प्रदान की जाती हैं।

विभेदक समीकरण (DE)- यह एक समीकरण है जिसमें व्युत्पन्न या अंतर के संकेत के तहत एक अज्ञात फ़ंक्शन शामिल होता है।

यदि अज्ञात फलन एक चर का फलन है, तो अवकल समीकरण कहलाता है साधारण(संक्षिप्त ओडीई - साधारण अंतर समीकरण)। यदि अज्ञात फलन अनेक चरों का फलन है, तो अवकल समीकरण कहलाता है आंशिक विभेदक समीकरण.

अवकल समीकरण में शामिल किसी अज्ञात फलन के अवकलज का अधिकतम क्रम कहलाता है अंतर समीकरण का क्रम.

यहां क्रमशः पहले, दूसरे और पांचवें क्रम के ओडीई के उदाहरण दिए गए हैं

दूसरे क्रम के आंशिक अवकल समीकरणों के उदाहरण के रूप में, हम प्रस्तुत करते हैं

इसके अलावा, हम फॉर्म के nवें क्रम के केवल साधारण अंतर समीकरणों पर विचार करेंगे या , जहां (x, y) = 0 एक अज्ञात फलन है जिसे परोक्ष रूप से परिभाषित किया गया है (जब संभव हो, हम इसे स्पष्ट प्रतिनिधित्व y = f(x) में लिखेंगे)।

अवकल समीकरण के हल खोजने की प्रक्रिया कहलाती है अंतर समीकरण का एकीकरण.

एक विभेदक समीकरण को हल करनाएक परोक्ष रूप से दिया गया फलन है (x, y) = 0 (कुछ मामलों में, फ़ंक्शन y को तर्क x के संदर्भ में स्पष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है), जो अंतर समीकरण को एक पहचान में बदल देता है।

टिप्पणी।

एक अवकल समीकरण का हल हमेशा एक पूर्व निर्धारित अंतराल X पर मांगा जाता है।

हम इसके बारे में अलग से क्यों बात कर रहे हैं? हां, क्योंकि कई समस्याओं की स्थितियों में अंतराल X का उल्लेख नहीं किया जाता है। यही है, समस्याओं की स्थिति आमतौर पर निम्नानुसार तैयार की जाती है: "साधारण अंतर समीकरण का समाधान खोजें" ". इस मामले में, यह समझा जाता है कि सभी x के लिए समाधान मांगा जाना चाहिए जिसके लिए वांछित कार्य y और मूल समीकरण दोनों समझ में आते हैं।

विभेदक समीकरण के हल को अक्सर कहा जाता है अंतर समीकरण अभिन्न.

फलन या अवकल समीकरण का हल कहा जा सकता है।

विभेदक समीकरण के समाधानों में से एक फलन है। वास्तव में, इस फ़ंक्शन को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम पहचान प्राप्त करते हैं . यह देखना आसान है कि इस ODE का एक अन्य समाधान है, उदाहरण के लिए, . इस प्रकार, अवकल समीकरणों के कई हल हो सकते हैं।

अवकल समीकरण का सामान्य हलबिना किसी अपवाद के इस अंतर समीकरण के सभी समाधानों वाले समाधानों का समूह है।

अवकल समीकरण के सामान्य हल को भी कहा जाता है अवकल समीकरण का सामान्य समाकलन.

आइए उदाहरण पर वापस जाएं। अवकल समीकरण के सामान्य हल का रूप या है, जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है। ऊपर, हमने इस ओडीई के दो समाधानों का संकेत दिया है, जो क्रमशः सी = 0 और सी = 1 को प्रतिस्थापित करके अंतर समीकरण के सामान्य अभिन्न से प्राप्त होते हैं।

यदि अवकल समीकरण का हल प्रारंभ में दिए गए को संतुष्ट करता है अतिरिक्त शर्त, तो इसे कहा जाता है अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान.

अवकल समीकरण का एक विशेष हल जो y(1)=1 शर्त को संतुष्ट करता है, वह है। सचमुच, तथा .

अवकल समीकरणों के सिद्धांत की मुख्य समस्याएँ कॉची समस्याएँ, सीमा मान समस्याएँ और किसी दिए गए अंतराल X पर किसी अवकल समीकरण का सामान्य हल ढूँढ़ने की समस्याएँ हैं।

कौची समस्याएक अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान खोजने की समस्या है जो दिए गए को संतुष्ट करता है आरंभिक स्थितियां, संख्याएं कहां हैं।

सीमा समस्याएक दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान खोजने की समस्या है जो सीमा बिंदुओं x 0 और x 1 पर अतिरिक्त शर्तों को पूरा करती है:
f (x 0) \u003d f 0, f (x 1) \u003d f 1, जहां f 0 और f 1 दिए गए नंबर हैं।

सीमा मूल्य समस्या को अक्सर कहा जाता है सीमा मूल्य समस्या.

nवें क्रम का एक साधारण अवकल समीकरण कहलाता है रैखिक, अगर इसका रूप है, और गुणांक एकीकरण अंतराल पर तर्क x के निरंतर कार्य हैं।

शैक्षिक संस्थान "बेलारूसी राज्य"

कृषि अकादमी"

उच्च गणित विभाग

पहला आदेश विभेदक समीकरण

लेखांकन छात्रों के लिए व्याख्यान सारांश

शिक्षा का पत्राचार प्रपत्र (NISPO)

गोर्की, 2013

पहले क्रम के अंतर समीकरण

विभेदक समीकरण की अवधारणा। सामान्य और विशेष समाधान

विभिन्न घटनाओं का अध्ययन करते समय, अक्सर ऐसा कानून खोजना संभव नहीं होता है जो स्वतंत्र चर और वांछित फ़ंक्शन को सीधे जोड़ता है, लेकिन वांछित फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के बीच संबंध स्थापित करना संभव है।

स्वतंत्र चर, वांछित फलन और उसके अवकलजों को जोड़ने वाला संबंध कहलाता है अंतर समीकरण :

यहां एक्सएक स्वतंत्र चर है, आपवांछित कार्य है,
- वांछित फ़ंक्शन के डेरिवेटिव। साथ ही, संबंध (1) के लिए कम से कम एक व्युत्पन्न की उपस्थिति की आवश्यकता होती है।

अवकल समीकरण का क्रम समीकरण में उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

अंतर समीकरण पर विचार करें

. (2)

चूँकि इस समीकरण में केवल प्रथम कोटि का अवकलज शामिल है, तो इसे कहा जाता है प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है।

यदि समीकरण (2) को व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है और लिखा जा सकता है

, (3)

तो ऐसे समीकरण को सामान्य रूप में प्रथम-कोटि अवकल समीकरण कहा जाता है।

कई मामलों में फॉर्म के समीकरण पर विचार करना समीचीन है

जिसे कहा जाता है अंतर रूप में लिखा गया पहला क्रम अंतर समीकरण।

इसलिये
, तो समीकरण (3) को के रूप में लिखा जा सकता है
या
, जहां कोई गिन सकता है
तथा
. इसका मतलब है कि समीकरण (3) को समीकरण (4) में बदल दिया गया है।

हम समीकरण (4) को रूप में लिखते हैं
. फिर
,
,
, जहां कोई गिन सकता है
, अर्थात। फॉर्म (3) का एक समीकरण प्राप्त होता है। इस प्रकार, समीकरण (3) और (4) समतुल्य हैं।

अवकल समीकरण को हल करके (2) या (3) कोई भी फलन कहलाता है
, जो इसे समीकरण (2) या (3) में प्रतिस्थापित करते समय, इसे एक पहचान में बदल देता है:

या
.

अवकल समीकरण के सभी हल ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है एकीकरण , और समाधान ग्राफ
अवकल समीकरण कहलाता है अभिन्न वक्र यह समीकरण।

यदि अवकल समीकरण का हल निहित रूप में प्राप्त किया जाता है
, तो इसे कहा जाता है अभिन्न दिया गया अंतर समीकरण।

सामान्य समाधान पहले क्रम का अंतर समीकरण रूप के कार्यों का एक परिवार है
, एक मनमाना स्थिरांक पर निर्भर करता है से, जिनमें से प्रत्येक एक मनमाना स्थिरांक के किसी भी स्वीकार्य मूल्य के लिए दिए गए अंतर समीकरण का एक समाधान है से. इस प्रकार, अवकल समीकरण के अनंत हल होते हैं।

निजी निर्णय अवकल समीकरण को एक मनमाना स्थिरांक के विशिष्ट मान के लिए सामान्य समाधान सूत्र से प्राप्त समाधान कहा जाता है से, समेत
.

कॉची की समस्या और उसके ज्यामितीय व्याख्या

समीकरण (2) के अनंत हल हैं। इस समुच्चय में से एक समाधान, जिसे एक विशेष समाधान कहा जाता है, को अलग करने के लिए, कुछ अतिरिक्त शर्तों को निर्दिष्ट किया जाना चाहिए।

दी गई शर्तों के तहत समीकरण (2) का एक विशेष हल खोजने की समस्या को कहा जाता है कौची समस्या . यह समस्या अवकल समीकरणों के सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण में से एक है।

कॉची समस्या निम्नानुसार तैयार की गई है: समीकरण (2) के सभी हलों में से एक ऐसा हल ज्ञात कीजिए
, जिसमें समारोह
एक दिया गया संख्यात्मक मान लेता है यदि स्वतंत्र चर एक्स एक दिया गया संख्यात्मक मान लेता है , अर्थात।

,
, (5)

कहाँ पे डीफ़ंक्शन का डोमेन है
.

अर्थ बुलाया फ़ंक्शन का प्रारंभिक मान , एक – स्वतंत्र चर का प्रारंभिक मान . दशा (5) कहलाती है आरंभिक दशा या कॉची की स्थिति .

ज्यामितीय दृष्टिकोण से, अवकल समीकरण (2) के लिए कॉची समस्या को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: समीकरण (2) के समाकल वक्रों के समुच्चय में से उस एक का चयन करें जो किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरता है
.

वियोज्य चर के साथ विभेदक समीकरण

सबसे सरल प्रकार के अंतर समीकरणों में से एक प्रथम-क्रम अंतर समीकरण है जिसमें वांछित कार्य नहीं होता है:

. (6)

मान लें कि
, हम समीकरण को रूप में लिखते हैं
या
. अंतिम समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
या

. (7)

इस प्रकार, (7) समीकरण (6) का एक सामान्य हल है।

उदाहरण 1 . अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं
या
. हम परिणामी समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं:
,
. आइए अंत में लिखते हैं
.

उदाहरण 2 . समीकरण का हल खोजें
इस शर्त पर
.

समाधान . आइए समीकरण का सामान्य हल खोजें:
,
,
,
. शर्त के अनुसार
,
. सामान्य समाधान में स्थानापन्न करें:
या
. हम सामान्य समाधान के लिए सूत्र में एक मनमाना स्थिरांक के पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं:
. यह अवकल समीकरण का विशेष हल है जो दी गई शर्त को पूरा करता है।

समीकरण

(8)

बुलाया एक प्रथम-क्रम अंतर समीकरण जिसमें एक स्वतंत्र चर शामिल नहीं है . हम इसे फॉर्म में लिखते हैं
या
. हम अंतिम समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं:
या
- समीकरण का सामान्य हल (8)।

उदाहरण . समीकरण का एक सामान्य हल खोजें
.

समाधान . हम इस समीकरण को इस रूप में लिखते हैं:
या
. फिर
,
,
,
. इस तरह,
इस समीकरण का सामान्य हल है।

समीकरण टाइप करें

(9)

चर के पृथक्करण का उपयोग करके एकीकृत। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं
, और फिर, गुणा और भाग के संचालन का उपयोग करके, हम इसे इस तरह के रूप में लाते हैं कि एक भाग में केवल कार्य शामिल होता है एक्सऔर अंतर डीएक्स, और दूसरे भाग में - का एक समारोह परऔर अंतर डीवाई. ऐसा करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा किया जाना चाहिए डीएक्सऔर विभाजित करें
. नतीजतन, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

, (10)

जिसमें चर एक्सतथा परअलग। हम समीकरण (10) के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं:
. परिणामी संबंध समीकरण (9) का सामान्य समाकलन है।

उदाहरण 3 . एकीकृत समीकरण
.

समाधान . समीकरण को रूपांतरित करें और चरों को अलग करें:
,
. आइए एकीकृत करें:
,
या इस समीकरण का सामान्य समाकलन है।
.

मान लीजिए समीकरण को रूप में दिया गया है

इस तरह के समीकरण को कहा जाता है वियोज्य चर के साथ प्रथम-क्रम अंतर समीकरण सममित रूप में।

चरों को अलग करने के लिए, आपको समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करना होगा
:

. (12)

परिणामी समीकरण कहलाता है पृथक अंतर समीकरण . हम समीकरण (12) को एकीकृत करते हैं:

.(13)

संबंध (13) अवकल समीकरण (11) का एक सामान्य समाकल है।

उदाहरण 4 . अंतर समीकरण को एकीकृत करें।

समाधान . हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं

और दोनों भागों को में विभाजित करें
,
. परिणामी समीकरण:
एक पृथक चर समीकरण है। आइए इसे एकीकृत करें:

,
,

,
. अंतिम समानता दिए गए अवकल समीकरण का सामान्य समाकल है।

उदाहरण 5 . अवकल समीकरण का एक विशेष हल ज्ञात कीजिए
, शर्त को संतुष्ट करना
.

समाधान . मान लें कि
, हम समीकरण को रूप में लिखते हैं
या
. आइए चर को अलग करें:
. आइए इस समीकरण को एकीकृत करें:
,
,
. परिणामी संबंध इस समीकरण का सामान्य समाकलन है। शर्त के अनुसार
. सामान्य समाकल में प्रतिस्थापित करें और खोजें से:
,से= 1। फिर अभिव्यक्ति
दिए गए अवकल समीकरण का एक विशेष हल है, जिसे एक विशेष समाकल के रूप में लिखा जाता है।

प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण

समीकरण

(14)

बुलाया प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण . अज्ञात कार्य
और इसके व्युत्पन्न इस समीकरण को रैखिक रूप से दर्ज करते हैं, और कार्य
तथा
निरंतर।

यदि एक
, फिर समीकरण

(15)

बुलाया रैखिक सजातीय . यदि एक
, तो समीकरण (14) कहा जाता है रैखिक अमानवीय .

समीकरण (14) का हल खोजने के लिए, आमतौर पर उपयोग किया जाता है प्रतिस्थापन विधि (बर्नौली) , जिसका सार इस प्रकार है।

हम दो फलनों के गुणनफल के रूप में समीकरण (14) का हल ढूंढ़ेंगे

, (16)

कहाँ पे
तथा
- कुछ निरंतर कार्य। स्थानापन्न
और व्युत्पन्न
समीकरण (14) में:

समारोह वीइस तरह से चुना जाएगा कि शर्त
. फिर
. इस प्रकार, समीकरण (14) का हल खोजने के लिए, अवकल समीकरणों के निकाय को हल करना आवश्यक है

सिस्टम का पहला समीकरण एक रैखिक सजातीय समीकरण है और इसे चर के पृथक्करण की विधि द्वारा हल किया जा सकता है:
,
,
,
,
. एक समारोह के रूप में
कोई व्यक्ति सजातीय समीकरण का एक विशेष हल ले सकता है, अर्थात्। पर से=1:
. सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें:
या
।फिर
. इस प्रकार, प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के सामान्य हल का रूप होता है
.

उदाहरण 6 . प्रश्न हल करें
.

समाधान . हम इस रूप में समीकरण के हल की तलाश करेंगे
. फिर
. समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

या
. समारोह वीइस तरह से चुनें कि समानता
. फिर
. हम इनमें से पहले समीकरण को चरों के पृथक्करण की विधि द्वारा हल करते हैं:
,
,
,
,. समारोह वीदूसरे समीकरण में रखें:
,
,
,
. इस समीकरण का सामान्य हल है
.

ज्ञान के आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

एक अंतर समीकरण क्या है?

अंतर समीकरण का क्रम क्या है?

किस अवकल समीकरण को प्रथम कोटि अवकल समीकरण कहा जाता है?

प्रथम-क्रम अवकल समीकरण को अवकल रूप में कैसे लिखा जाता है?

विभेदक समीकरण का हल क्या है?

एक अभिन्न वक्र क्या है?

प्रथम कोटि अवकल समीकरण का सामान्य हल क्या है?

अवकल समीकरण का विशेष हल क्या है?

कॉची समस्या को प्रथम-क्रम अवकल समीकरण के लिए कैसे तैयार किया जाता है?

कौची समस्या की ज्यामितीय व्याख्या क्या है?

वियोज्य चर के साथ सममित रूप में एक अंतर समीकरण कैसे लिखा जाता है?

किस समीकरण को प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण कहा जाता है?

प्रथम-क्रम रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के लिए किस विधि का उपयोग किया जा सकता है और इस पद्धति का सार क्या है?

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य

वियोज्य चर के साथ अंतर समीकरण हल करें:

एक)
; बी)
;

में)
; जी)
.

2. पहले कोटि के रैखिक अवकल समीकरणों को हल करें:

एक)
; बी)
; में)
;

जी)
; इ)
.