कैलक्यूलेटर ऑनलाइन प्रदर्शन करता है बीजगणितीय अंशों की कमीअंश घटाने के नियम के अनुसार: मूल अंश को एक समान अंश के साथ बदलना, लेकिन एक छोटे अंश और भाजक के साथ, अर्थात। किसी अंश के अंश और हर का एक साथ विभाजन उनके सामान्य महानतम सामान्य भाजक (GCD) द्वारा। कैलकुलेटर एक विस्तृत समाधान भी प्रदर्शित करता है जो आपको कमी के क्रम को समझने में मदद करेगा।

दिया गया:

समाधान:

फ्रैक्शन रिडक्शन करना

एक बीजगणितीय अंश की कमी को पूरा करने की संभावना का सत्यापन

1) भिन्न के अंश और हर के महत्तम समापवर्तक (GCD) का निर्धारण

एक बीजीय भिन्न के अंश और हर के महत्तम समापवर्तक (gcd) का निर्धारण

2) भिन्न के अंश और हर को कम करना

एक बीजगणितीय भिन्न के अंश और हर में कमी

3) अंश के पूर्णांक भाग का चयन

एक बीजगणितीय अंश के पूर्णांक भाग को निकालना

4) बीजगणितीय भिन्न को दशमलव भिन्न में बदलना

बीजगणितीय अंश का दशमलव अंश में रूपांतरण

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I. एक ऑनलाइन कैलकुलेटर के साथ एक बीजगणितीय अंश को कम करने की प्रक्रिया:

1. एक बीजगणितीय अंश को कम करने के लिए, उपयुक्त क्षेत्रों में अंश के अंश और हर के मान दर्ज करें। यदि भिन्न को मिलाया जाता है, तो भिन्न के पूर्णांक भाग के अनुरूप फ़ील्ड भी भरें। यदि अंश सरल है, तो पूर्णांक भाग फ़ील्ड को खाली छोड़ दें।
2. ऋणात्मक अंश निर्दिष्ट करने के लिए, भिन्न के पूर्णांक भाग में ऋण चिह्न लगाएं।
3. दिए गए बीजगणितीय अंश के आधार पर, क्रियाओं का निम्नलिखित क्रम स्वचालित रूप से किया जाता है:

• किसी भिन्न के अंश और हर का महत्तम समापवर्तक (GCD) ज्ञात करना;
• भिन्न के अंश और हर को gcd से घटाना;
• एक अंश के पूर्णांक भाग को निकालनायदि अंतिम अंश का अंश भाजक से बड़ा है।
• अंतिम बीजगणितीय अंश को दशमलव अंश में परिवर्तित करनासौवें हिस्से में गोल।

कमी का नतीजा एक अनुचित अंश हो सकता है। इस मामले में, अंतिम अनुचित अंश में एक पूर्णांक भाग का चयन किया जाएगा और अंतिम भिन्न को एक उचित अंश में बदल दिया जाएगा।

द्वितीय। संदर्भ के लिए:

एक अंश एक संख्या है जिसमें एक इकाई के एक या एक से अधिक भाग (अंश) होते हैं। एक साधारण अंश (साधारण अंश) को दो संख्याओं के रूप में लिखा जाता है (अंश का अंश और अंश का भाजक), एक क्षैतिज पट्टी (आंशिक पट्टी) द्वारा अलग किया जाता है, जो विभाजन के चिन्ह को दर्शाता है। भिन्न का अंश भिन्न बार के ऊपर की संख्या होती है। अंश दिखाता है कि कुल से कितने भाग लिए गए। भिन्न का हर, भिन्नात्मक बार के नीचे की संख्या होती है। भाजक दिखाता है कि पूरे को कितने बराबर भागों में बांटा गया है। एक साधारण अंश एक अंश है जिसमें पूर्णांक भाग नहीं होता है। एक साधारण अंश सही या गलत हो सकता है। एक उचित भिन्न वह भिन्न है जिसका अंश हर से छोटा होता है, इसलिए एक उचित भिन्न हमेशा एक से कम होता है। सही अंशों का उदाहरण: 8/7, 11/19, 16/17। एक अनुचित अंश वह अंश होता है जिसका अंश भाजक से अधिक या उसके बराबर होता है, इसलिए एक अनुचित अंश हमेशा एक से अधिक या उसके बराबर होता है। अनुचित अंशों का एक उदाहरण: 7/6, 8/7, 13/13। मिश्रित अंश - एक संख्या जिसमें एक पूर्णांक और एक उचित अंश शामिल होता है, और इस पूर्णांक और एक उचित अंश के योग को दर्शाता है। किसी भी मिश्रित भिन्न को एक अनुचित साधारण भिन्न में बदला जा सकता है। मिश्रित भिन्नों का उदाहरण: 1¼, 2½, 4¾।

तृतीय। टिप्पणी:

1. स्रोत डेटा ब्लॉक हाइलाइट किया गया पीला , मध्यवर्ती गणनाओं का ब्लॉक नीले रंग में हाइलाइट किया गया है, समाधान ब्लॉक हरे रंग में हाइलाइट किया गया.
2. साधारण या मिश्रित भिन्नों के जोड़, घटाव, गुणा और भाग के लिए, विस्तृत समाधान के साथ ऑनलाइन अंश कैलकुलेटर का उपयोग करें।

भिन्नों की सहायता से किसी वस्तु के एक ही भाग को भिन्न-भिन्न प्रकार से लिखा जा सकता है।

आकृति में वृत्त का आधा भाग छायांकित है

इस प्रकार, ये सभी अंश बराबर हैं।

सुविधा के लिए, भिन्न के ठीक ऊपर स्लैश पर एक अतिरिक्त गुणक लिखा जाता है।

आइए अपने अंशों पर वापस जाएं और उन्हें एक अलग क्रम में लिखें।

दिए गए अंश के बराबर एक अंश प्राप्त किया जा सकता है यदि भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित किया जाता है जो शून्य के बराबर नहीं है।

अंश के इस परिवर्तन को कहा जाता है अंश में कमी.

एक अंश की कमी को आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है।

अंश और भाजक को डैश के साथ पार किया जाता है, और उनके आगे अंश और भाजक को एक ही संख्या से विभाजित करने के परिणाम लिखे जाते हैं।

जिस संख्या से अंश और हर को विभाजित किया गया था, उसे ध्यान में रखा जाता है।

हमारे उदाहरण में, हमने भिन्न को दो से घटाया (अर्थात, अंश और हर दोनों को विभाजित किया), जिसे हमने ध्यान में रखा।

अंश में कमी क्रमिक रूप से की जा सकती है।

एक अंश की मूल संपत्ति

हम एक अंश की मुख्य संपत्ति तैयार करते हैं।

यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है जो शून्य के बराबर नहीं है, तो दिए गए भिन्न के बराबर एक भिन्न प्राप्त होगा।

आइए इस संपत्ति को शाब्दिक भावों के रूप में लिखें।

, जहां "ए", "बी" और "के" प्राकृतिक संख्याएं हैं।

अंशों की कमी, नियम और अंशों की कमी के उदाहरण।

इस लेख में, हम विस्तार से विश्लेषण करेंगे कि कैसे अंश में कमी. सबसे पहले, आइए बात करते हैं कि फ्रैक्शन रिडक्शन किसे कहते हैं। उसके बाद, एक कम करने योग्य अंश को एक अलघुकरणीय रूप में कम करने के बारे में बात करते हैं। इसके बाद, हम भिन्नों को घटाने का नियम प्राप्त करते हैं और अंत में, इस नियम के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार करते हैं।

पेज नेविगेशन।

अंश को कम करने का क्या अर्थ है?

हम जानते हैं कि साधारण अंशों को कम करने योग्य और अलघुकरणीय अंशों में विभाजित किया जाता है। नामों से, आप अनुमान लगा सकते हैं कि कम करने योग्य अंशों को कम किया जा सकता है, लेकिन अलघुकरणीय वाले नहीं कर सकते।

अंश को कम करने का क्या अर्थ है? अंश कम करेंइसके अंश और हर को उनके धनात्मक और गैर-एक उभयनिष्ठ भाजक से विभाजित करना है। यह स्पष्ट है कि अंश में कमी के परिणामस्वरूप, छोटे अंश और भाजक के साथ एक नया अंश प्राप्त होता है, और, अंश की मुख्य संपत्ति के कारण, परिणामी अंश मूल अंश के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, अंश और हर को 2 से विभाजित करके सामान्य अंश 8/24 को घटाते हैं। दूसरे शब्दों में, आइए भिन्न 8/24 को 2 से कम करें। चूंकि 8:2=4 और 24:2=12, इस कमी के परिणामस्वरूप, अंश 4/12 प्राप्त होता है, जो मूल अंश 8/24 के बराबर है (समान और असमान भिन्न देखें)। नतीजतन, हमारे पास है।

साधारण भिन्नों को अलघुकरणीय रूप में घटाना

आम तौर पर, अंश में कमी का अंतिम लक्ष्य एक अलघुकरणीय अंश प्राप्त करना है जो मूल कम करने योग्य अंश के बराबर है। यह लक्ष्य इसके अंश और भाजक के सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा मूल कम किए गए अंश को कम करके प्राप्त किया जा सकता है। यह कमी हमेशा एक अलघुकरणीय अंश में परिणत होती है। दरअसल, अंश इर्रेड्यूबल है, क्योंकि यह जीसीडी के गुणों से जाना जाता है और अपेक्षाकृत प्रमुख संख्याएँ हैं। यहाँ हम कहते हैं कि किसी भिन्न के अंश और हर का महत्तम समापवर्तक वह बड़ी से बड़ी संख्या है जिससे इस भिन्न को घटाया जा सकता है।

इसलिए, एक साधारण अंश को एक अप्रासंगिक रूप में घटानामूल घटे हुए अंश के अंश और हर को उनके जीसीडी द्वारा विभाजित करना शामिल है।

आइए एक उदाहरण का विश्लेषण करें, जिसके लिए हम अंश 8/24 पर लौटते हैं और इसे संख्या 8 और 24 के सबसे बड़े सामान्य भाजक से घटाते हैं, जो कि 8 के बराबर है। चूंकि 8:8=1 और 24:8=3, हम अलघुकरणीय अंश 1/3 पर पहुंचते हैं। इसलिए, ।

ध्यान दें कि वाक्यांश "अंश को कम करें" का अर्थ अक्सर मूल अंश को एक अलघुकरणीय रूप में कम करना होता है। दूसरे शब्दों में, अंश में कमी को अक्सर अंश और भाजक को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक (और उनके किसी भी सामान्य विभाजक द्वारा नहीं) के रूप में विभाजित करने के रूप में संदर्भित किया जाता है।

अंश कैसे कम करें? नियम और अंश में कमी के उदाहरण

यह केवल अंशों को कम करने के नियम का विश्लेषण करने के लिए बना हुआ है, जो बताता है कि इस अंश को कैसे कम किया जाए।

अंश कमी नियमदो चरण होते हैं:

• सबसे पहले, भिन्न के अंश और हर का GCD पाया जाता है;
• दूसरे, भिन्न के अंश और हर को उनके GCD से विभाजित किया जाता है, जो मूल अंश के बराबर एक अलघुकरणीय भिन्न देता है।

आइए विश्लेषण करते हैं अंश कमी उदाहरणदिए गए नियम के अनुसार।

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अंश में कमी। अंश को कम करने का क्या अर्थ है?

अंश को सरल रूप में लाने के लिए अंशों को कम करना आवश्यक है, उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति को हल करने के परिणामस्वरूप प्राप्त उत्तर में।

अंशों की कमी, परिभाषा और सूत्र।

फ्रैक्शन रिडक्शन क्या है? अंश को कम करने का क्या अर्थ है?

परिभाषा:
अंश में कमी- यह भिन्न अंश और भाजक का एक ही सकारात्मक संख्या से विभाजन है जो शून्य और एक के बराबर नहीं है। कमी के परिणामस्वरूप, एक छोटे अंश और भाजक के साथ एक अंश प्राप्त होता है, जो कि परिमेय संख्याओं की मुख्य संपत्ति के अनुसार पिछले अंश के बराबर होता है।

अंश कम करने का सूत्रतर्कसंगत संख्याओं की मूल संपत्ति।

एक उदाहरण पर विचार करें:
भिन्न कम करें \(\frac \)

समाधान:
हम एक अंश को प्रमुख कारकों में विभाजित कर सकते हैं और सामान्य कारकों को कम कर सकते हैं।

उत्तर: घटाने के बाद, हमें भिन्न \(\frac \) प्राप्त हुआ। परिमेय संख्याओं के मुख्य गुण के अनुसार, प्रारंभिक और परिणामी भिन्न समान होते हैं।

अंशों को कैसे कम करें? एक अंश को एक अप्रासंगिक रूप में घटाना।

परिणामस्वरूप हमें एक अलघुकरणीय अंश प्राप्त करने के लिए, हमें इसकी आवश्यकता है सबसे बड़ा सामान्य विभाजक खोजें (gcd)भिन्न के अंश और हर के लिए।

जीसीडी को खोजने के कई तरीके हैं, हम उदाहरण में संख्याओं के अपघटन को प्रमुख कारकों में उपयोग करेंगे।

अलघुकरणीय अंश \(\frac \) प्राप्त करें।

समाधान:
जीसीडी (48, 136) खोजें। आइए संख्या 48 और 136 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
जीसीडी(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

एक अंश को एक अलघुकरणीय रूप में कम करने का नियम।

1. अंश और भाजक के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें।
2. एक अलघुकरणीय अंश प्राप्त करने के लिए आपको अंश और भाजक को सबसे बड़े सामान्य विभाजक द्वारा विभाजित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण:
अंश कम करें \(\frac \)।

समाधान:
जीसीडी (152, 168) खोजें। 152 और 168 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखते हैं।
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
gcd(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

उत्तर: \(\frac \) एक अलघुकरणीय अंश है।

एक अनुचित अंश का संक्षिप्त रूप।

अनुचित अंश को कैसे कम करें?
उचित और अनुचित भिन्नों के लिए भिन्नों को घटाने के नियम समान हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें:
अनुचित अंश \(\frac \) को कम करें।

समाधान:
अंश और भाजक को अभाज्य गुणनखंडों में लिखते हैं। और फिर हम सामान्य कारकों को कम करते हैं।

मिश्रित अंशों में कमी।

मिश्रित अंश साधारण अंशों के समान नियमों का पालन करते हैं। फर्क सिर्फ इतना है कि हम कर सकते हैं पूरे भाग को स्पर्श न करें, लेकिन भिन्नात्मक भाग को कम करेंया मिश्रित अंशएक अनुचित अंश में परिवर्तित करें, कम करें और एक उचित भिन्न में परिवर्तित करें।

एक उदाहरण पर विचार करें:
मिश्रित अंश को कम करें \(2\frac \)।

समाधान:
आइए इसे दो तरह से हल करें:
पहला तरीका:
हम भिन्नात्मक भाग को प्रमुख कारकों में लिखेंगे, और हम पूर्णांक भाग को स्पर्श नहीं करेंगे।

दूसरा तरीका:
पहले हम एक अनुचित अंश में अनुवाद करते हैं, और फिर हम इसे प्रमुख कारकों में लिखते हैं और इसे घटाते हैं। परिणामी अनुचित अंश को उचित में बदलें।

संबंधित सवाल:
क्या भिन्न को जोड़ने या घटाने पर घटाया जा सकता है?
उत्तर: नहीं, आपको पहले नियमों के अनुसार अंशों को जोड़ना या घटाना होगा, और उसके बाद ही घटाना होगा। एक उदाहरण पर विचार करें:

समाधान:
वे अक्सर हमारे मामले में अंश और भाजक में समान संख्याओं को कम करने की गलती करते हैं, संख्या 20, लेकिन जब तक आप जोड़ और घटाव नहीं करते तब तक उन्हें कम नहीं किया जा सकता।

आप किस संख्या से भिन्न को कम कर सकते हैं?
उत्तर: आप अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक या सामान्य भाजक द्वारा एक अंश को कम कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, अंश \(\frac \).

आइए संख्याओं को 100 और 150 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
सबसे बड़ा सामान्य विभाजक gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50 की संख्या होगी

हमें अलघुकरणीय अंश \(\frac \) मिला है।

लेकिन यह आवश्यक नहीं है कि हमेशा GCD द्वारा विभाजित किया जाए, एक अलघुकरणीय अंश की हमेशा आवश्यकता नहीं होती है, आप अंश और भाजक के एक साधारण भाजक द्वारा अंश को कम कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 100 और 150 में एक सामान्य भाजक 2 है। आइए अंश \(\frac \) को 2 से कम करें।

हमें घटा हुआ अंश \(\frac \) मिला है।

किन अंशों को कम किया जा सकता है?
उत्तर: आप उन भिन्नों को कम कर सकते हैं जिनमें अंश और हर में एक उभयनिष्ठ भाजक हो। उदाहरण के लिए, अंश \(\frac \). संख्या 4 और 8 में एक संख्या है जिसके द्वारा वे दोनों इस संख्या 2 से विभाज्य हैं। इसलिए, इस तरह के अंश को संख्या 2 से घटाया जा सकता है।

उदाहरण:
दो भिन्नों \(\frac \) और \(\frac \) की तुलना करें।

ये दो अंश बराबर हैं। अंश \(\frac \) पर विस्तार से विचार करें:

दो भिन्न समान होती हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक को दूसरे भिन्न को अंश और हर के एक उभयनिष्ठ गुणनखंड से घटाकर प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण:
यदि संभव हो तो निम्नलिखित भिन्नों को कम करें: a) \(\frac \) b) \(\frac \) c) \(\frac \) d) \(\frac \)

सामान्य अंशों के साथ संचालन

अंश विस्तार। अंश में कमी। अंश तुलना।

एक आम भाजक में कमी। जोड़ना और घटाना अंश।

अंशों का गुणन। अंशों का विभाजन .

अंश विस्तार। किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा करने पर उसका मान नहीं बदलता है। अंश विस्तार. उदाहरण के लिए,



अंश में कमी। किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से विभाजित करने पर उसका मान नहीं बदलता है।. यह परिवर्तन कहलाता है अंश में कमी. उदाहरण के लिए,



अंश तुलना। दो अंशों से समान अंकबड़ा जिसका भाजक छोटा है:



दो अंशों से समान भाजकबड़ा जिसका अंश बड़ा है:



अलग-अलग अंश और हर वाले अंशों की तुलना करने के लिए, आपको उन्हें एक सामान्य भाजक में लाने के लिए उनका विस्तार करना होगा।

उदाहरण दो अंशों की तुलना करें:

हम पहले अंश को दूसरे के हर से और दूसरे को पहले के हर से बढ़ाते हैं:

यहाँ प्रयुक्त परिवर्तन कहा जाता है एक सामान्य भाजक के लिए अंशों को कम करना.

अंशों का जोड़ और घटाव। यदि भिन्नों के हर समान हैं, तो भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और भिन्नों को घटाने के लिए, आपको उनके अंशों को (उसी क्रम में) घटाना होगा। परिणामी योग या अंतर परिणाम का अंश होगा; भाजक वही रहेगा। यदि अंशों के हर अलग-अलग हैं, तो आपको पहले अंशों को एक सामान्य भाजक में कम करना होगा। मिश्रित संख्याओं को जोड़ते समय उनके पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग जोड़ा जाता है। मिश्रित संख्याओं को घटाते समय, हम अनुशंसा करते हैं कि आप पहले उन्हें अनुचित भिन्नों के रूप में परिवर्तित करें, फिर एक दूसरे से घटाएँ, और यदि आवश्यक हो, तो फिर परिणाम को मिश्रित संख्या के रूप में घटाएँ।



अंशों का गुणन। किसी संख्या को भिन्न से गुणा करने का अर्थ है अंश से गुणा करना और गुणनफल को हर से भाग देना। इसलिए हमारे पास है सामान्य नियमगुणन भिन्न: भिन्नों का गुणा करने के लिए, आपको उनके अंशों और हरों को अलग-अलग गुणा करना होगा और पहले गुणनफल को दूसरे गुणनफल से विभाजित करना होगा.

उदाहरण

अंशों का विभाजन। किसी संख्या को एक अंश से विभाजित करने के लिए, आपको उस संख्या को उसके व्युत्क्रम से गुणा करना होगा।. यह नियम विभाजन की परिभाषा से आता है (अनुभाग "अंकगणितीय संक्रियाएं" देखें)।

उदाहरण

गुणन और अंशों का विभाजन

पिछली बार हमने भिन्नों को जोड़ना और घटाना सीखा था (पाठ "भिन्नों को जोड़ना और घटाना" देखें)। उन क्रियाओं में सबसे कठिन क्षण भिन्नों को एक आम भाजक में लाना था।

अब गुणा और भाग से निपटने का समय आ गया है। अच्छी खबर यह है कि ये ऑपरेशन जोड़ और घटाव से भी आसान हैं। आरंभ करने के लिए, सबसे सरल मामले पर विचार करें, जब एक विशिष्ट पूर्णांक भाग के बिना दो सकारात्मक भिन्न होते हैं।

दो भिन्नों का गुणा करने के लिए, आपको उनके अंशों और हरों को अलग-अलग गुणा करना होगा। पहली संख्या नए अंश का अंश होगी, और दूसरी संख्या भाजक होगी।

दो अंशों को विभाजित करने के लिए, आपको पहले अंश को "उल्टे" दूसरे से गुणा करना होगा।

परिभाषा से यह इस प्रकार है कि अंशों का विभाजन गुणा करने के लिए घटाया जाता है। किसी भिन्न को फ़्लिप करने के लिए, केवल अंश और हर की अदला-बदली करें। इसलिए, पूरे पाठ में हम मुख्य रूप से गुणन पर विचार करेंगे।

गुणन के परिणामस्वरूप, एक घटा हुआ अंश उत्पन्न हो सकता है (और अक्सर उत्पन्न होता है) - बेशक, इसे कम किया जाना चाहिए। यदि, सभी कटौती के बाद, अंश गलत निकला, तो इसमें पूरे भाग को प्रतिष्ठित किया जाना चाहिए। लेकिन गुणा के साथ वास्तव में क्या नहीं होगा एक आम भाजक में कमी: कोई क्रॉसवाइड तरीके नहीं, अधिकतम कारक और कम से कम सामान्य गुणक।



एक पूर्णांक भाग और नकारात्मक अंशों के साथ अंशों का गुणन

यदि अंशों में एक पूर्णांक भाग है, तो उन्हें अनुचित में परिवर्तित किया जाना चाहिए - और उसके बाद ही ऊपर उल्लिखित योजनाओं के अनुसार गुणा किया जाना चाहिए।

यदि किसी भिन्न के अंश में, हर में या उसके सामने ऋण हो, तो उसे निम्नलिखित नियमों के अनुसार गुणन की सीमा से बाहर या पूरी तरह से हटाया जा सकता है:

1. प्लस बार माइनस माइनस देता है;
2. दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं।

अब तक, इन नियमों का सामना केवल जोड़ और घटाव में किया गया है। नकारात्मक अंशजब पूरे हिस्से से छुटकारा पाना जरूरी था। एक उत्पाद के लिए, उन्हें एक साथ कई मिन्यूज़ "बर्न" करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

3. जब तक वे पूरी तरह से गायब नहीं हो जाते, तब तक हम जोड़े में माइनस को पार करते हैं। में अखिरी सहारा, एक ऋण जीवित रह सकता है - वह जो एक जोड़ी नहीं मिला;
4. यदि कोई माइनस नहीं बचा है, तो ऑपरेशन पूरा हो गया है - आप गुणा करना शुरू कर सकते हैं। यदि अंतिम माइनस को पार नहीं किया गया है, क्योंकि उसे एक जोड़ी नहीं मिली, हम इसे गुणन की सीमा से बाहर कर देते हैं। आपको एक नकारात्मक अंश मिलता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

हम सभी अंशों को अनुचित में अनुवादित करते हैं, और फिर हम गुणन की सीमा से बाहर के ऋणों को निकालते हैं। जो बचता है उसे सामान्य नियमों के अनुसार गुणा किया जाता है। हम पाते हैं:



मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि हाइलाइट किए गए पूर्णांक भाग वाले अंश से पहले आने वाला माइनस विशेष रूप से पूरे अंश को संदर्भित करता है, न कि केवल इसके पूर्णांक भाग को (यह पिछले दो उदाहरणों पर लागू होता है)।

नकारात्मक संख्याओं पर भी ध्यान दें: जब गुणा किया जाता है, तो वे कोष्ठक में संलग्न होते हैं। ऐसा इसलिए किया जाता है ताकि माइनस को गुणन चिह्नों से अलग किया जा सके और पूरे अंकन को अधिक सटीक बनाया जा सके।

मक्खी पर अंशों को कम करना

गुणन एक बहुत ही श्रमसाध्य ऑपरेशन है। यहां संख्याएं काफी बड़ी हैं, और कार्य को आसान बनाने के लिए, आप अंश को और भी कम करने का प्रयास कर सकते हैं गुणन से पहले. वास्तव में, संक्षेप में, अंशों के अंश और भाजक सामान्य कारक हैं, और इसलिए, उन्हें भिन्न की मूल संपत्ति का उपयोग करके कम किया जा सकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:



परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:



सभी उदाहरणों में, जो संख्याएँ घटाई गई हैं और जो बची हैं उन्हें लाल रंग से चिह्नित किया गया है।

कृपया ध्यान दें: पहले मामले में, गुणक पूरी तरह से कम हो गए थे। इकाइयाँ अपने स्थान पर बनी रहीं, जिन्हें सामान्यतया छोड़ा जा सकता है। दूसरे उदाहरण में, पूर्ण कमी हासिल करना संभव नहीं था, लेकिन गणनाओं की कुल राशि अभी भी घट गई।

हालाँकि, किसी भी स्थिति में भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय इस तकनीक का उपयोग न करें! हां, कभी-कभी समान संख्याएं होती हैं जिन्हें आप केवल कम करना चाहते हैं। यहाँ, देखें:

आप ऐसा नहीं कर सकते!

त्रुटि इस तथ्य के कारण होती है कि अंश जोड़ते समय, योग भिन्न के अंश में दिखाई देता है, न कि संख्याओं के गुणनफल में। इसलिए, एक अंश की मुख्य संपत्ति को लागू करना असंभव है, क्योंकि यह संपत्ति विशेष रूप से संख्याओं के गुणन से संबंधित है।

भिन्नों को कम करने का कोई अन्य कारण नहीं है, इसलिए सही समाधानपिछला कार्य इस तरह दिखता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सही उत्तर इतना सुंदर नहीं निकला। सामान्य तौर पर, सावधान रहें।

भिन्न

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उनके लिए जो "बहुत अधिक ...")

हाई स्कूल में अंश बहुत कष्टप्रद नहीं होते हैं। उतने समय के लिए। जब तक आप परिमेय घातांकों और लघुगणकों वाले घातांकों से न मिलें। और वहाँ…। आप दबाते हैं, आप कैलकुलेटर दबाते हैं, और यह कुछ संख्याओं का पूरा स्कोरबोर्ड दिखाता है। आपको अपने सिर के साथ सोचना होगा, जैसे कि तीसरी कक्षा में।

आइए अंत में अंशों से निपटें! अच्छा, आप उनमें कितना भ्रमित हो सकते हैं !? इसके अलावा, यह सब सरल और तार्किक है। इसलिए, अंश क्या हैं?

अंशों के प्रकार। परिवर्तन।

अंश होते हैं तीन प्रकार.

1. सामान्य अंश , उदाहरण के लिए:

कभी-कभी, एक क्षैतिज रेखा के बजाय, वे एक स्लैश डालते हैं: 1/2, 3/4, 19/5, अच्छी तरह से, और इसी तरह। यहाँ हम अक्सर इस वर्तनी का प्रयोग करेंगे। शीर्ष संख्या कहा जाता है मीटर, निचला - भाजक।यदि आप इन नामों को लगातार भ्रमित करते हैं (ऐसा होता है ...), अपने आप को अभिव्यक्ति के साथ वाक्यांश बताएं: " ज़ज़्ज़्ज़याद करना! ज़ज़्ज़्ज़भाजक - बाहर zzzयू!" देखो, सब कुछ याद रखा जाएगा।)

एक डैश, जो क्षैतिज है, जो तिरछा है, का अर्थ है विभाजनशीर्ष संख्या (अंश) से नीचे की संख्या (भाजक)। और बस! एक डैश के बजाय, एक विभाजन चिन्ह - दो डॉट्स लगाना काफी संभव है।

जब विभाजन पूरी तरह से संभव हो, तो इसे अवश्य ही किया जाना चाहिए। इसलिए, "32/8" अंश के बजाय "4" संख्या लिखना अधिक सुखद है। वे। 32 को केवल 8 से विभाजित किया जाता है।

32/8 = 32: 8 = 4

मैं अंश "4/1" के बारे में बात नहीं कर रहा हूँ। जो सिर्फ "4" भी है। और अगर यह पूरी तरह विभाजित नहीं होता है, तो हम इसे भिन्न के रूप में छोड़ देते हैं। कई बार उल्टा भी करना पड़ता है। एक पूर्ण संख्या से एक अंश बनाओ। लेकिन उस पर बाद में।

2. दशमलव , उदाहरण के लिए:

यह इस रूप में है कि कार्यों "बी" के उत्तर लिखना आवश्यक होगा।

3. मिश्रित संख्या , उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में मिश्रित संख्या व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं की जाती है। उनके साथ काम करने के लिए, उन्हें साधारण अंशों में बदलना होगा। लेकिन आपको निश्चित रूप से यह जानना होगा कि इसे कैसे करना है! और फिर ऐसी संख्या पहेली में आ जाएगी और लटक जाएगी ... खरोंच से। लेकिन हमें यह प्रक्रिया याद है! थोड़ा नीचे।

सबसे बहुमुखी सामान्य अंश. आइए उनके साथ शुरू करें। वैसे, यदि अंश में सभी प्रकार के लघुगणक, साइन और अन्य अक्षर हैं, तो इससे कुछ भी नहीं बदलता है। इस अर्थ में कि सब कुछ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाली क्रियाएं साधारण भिन्न वाली क्रियाओं से भिन्न नहीं होती हैं!

एक अंश की मूल संपत्ति।

तो चलते हैं! सबसे पहले तो मैं आपको हैरान कर दूंगा। भिन्न रूपांतरणों की संपूर्ण विविधता एक ही गुण द्वारा प्रदान की जाती है! इसे यही कहा जाता है एक अंश की मूल संपत्ति. याद करना: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा (भाग) किया जाए तो भिन्न नहीं बदलेगा।वे:

यह स्पष्ट है कि आप तब तक आगे लिख सकते हैं, जब तक कि आपका चेहरा नीला न हो जाए। साइन और लघुगणक आपको भ्रमित न होने दें, हम उनसे आगे निपटेंगे। समझने वाली मुख्य बात यह है कि ये सभी विभिन्न भाव हैं समान अंश . 2/3.

और हमें इसकी आवश्यकता है, ये सभी परिवर्तन? और कैसे! अब आप खुद देख लेंगे। सबसे पहले, के लिए एक भिन्न के मूल गुण का उपयोग करते हैं अंश संक्षेप. ऐसा लगेगा कि बात प्राथमिक है। हम अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित करते हैं और बस! गलत होना असंभव है! लेकिन... मनुष्य एक रचनात्मक प्राणी है। आप हर जगह गलतियाँ कर सकते हैं! विशेष रूप से यदि आपको 5/10 जैसे अंश को कम नहीं करना है, लेकिन सभी प्रकार के अक्षरों के साथ एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति।

अनावश्यक काम किए बिना अंशों को सही ढंग से और तेज़ी से कैसे कम किया जाए, यह विशेष धारा 555 में पाया जा सकता है।

एक सामान्य छात्र अंश और भाजक को एक ही संख्या (या अभिव्यक्ति) से विभाजित करने से परेशान नहीं होता है! वह ऊपर और नीचे से सब कुछ समान रूप से पार कर जाता है! यहीं छिप जाता है सामान्य गलती, ब्लोपर अगर तुम चाहो तो।

उदाहरण के लिए, आपको अभिव्यक्ति को सरल बनाने की आवश्यकता है:

सोचने के लिए कुछ भी नहीं है, हम ऊपर से "ए" अक्षर और नीचे से ड्यूस को पार करते हैं! हम पाते हैं:

सब कुछ सही है। लेकिन वास्तव में आपने साझा किया पूरा अंश और पूरा भाजक "ए"। यदि आप केवल पार करने के आदी हैं, तो आप जल्दी में अभिव्यक्ति में "ए" को पार कर सकते हैं

और फिर से प्राप्त करें

जो सरासर गलत होगा। क्योंकि यहाँ पूरा"ए" पर अंश पहले से ही सांझा नहीं किया! इस अंश को कम नहीं किया जा सकता। वैसे, ऐसा संक्षिप्त नाम है, उम... शिक्षक के लिए एक गंभीर चुनौती। यह क्षमा नहीं है! याद करना? कम करते समय, विभाजित करना आवश्यक है पूरा अंश और पूरा भाजक!

अंशों को कम करने से जीवन बहुत आसान हो जाता है। आपको कहीं न कहीं एक अंश मिलेगा, उदाहरण के लिए 375/1000। और अब उसके साथ कैसे काम करें? बिना कैलकुलेटर के? गुणा करें, कहें, जोड़ें, वर्ग करें!? और यदि आप बहुत आलसी नहीं हैं, लेकिन ध्यान से पांच से कम करें, और पांच से भी, और यहां तक ​​​​कि ... जबकि इसे कम किया जा रहा है, संक्षेप में। हमें 3/8 मिलता है! बहुत अच्छा, है ना?

एक अंश की मूल संपत्ति आपको साधारण अंशों को दशमलव में बदलने की अनुमति देती है और इसके विपरीत कैलकुलेटर के बिना! यह परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण है, है ना?

भिन्नों को एक रूप से दूसरे रूप में कैसे परिवर्तित करें।

दशमलव के साथ यह आसान है। जैसा सुना जाता है, वैसा ही लिखा जाता है! मान लीजिए 0.25। यह शून्य बिंदु है, पच्चीस सौवां। अतः हम लिखते हैं: 25/100। हम घटाते हैं (अंश और भाजक को 25 से विभाजित करते हैं), हमें सामान्य अंश मिलता है: 1/4। सभी। होता है, और कुछ भी कम नहीं होता। 0.3 की तरह। यह तीन दसवां हिस्सा है, यानी 3/10।

क्या होगा यदि पूर्णांक शून्य नहीं हैं? कोई बात नहीं। पूरे अंश को लिखिए बिना किसी अल्पविराम केअंश में और भाजक में - जो सुना जाता है। उदाहरण के लिए: 3.17। यह तीन पूर्ण, सत्रह सौवां है। हम अंश में 317 और हर में 100 लिखते हैं। हमें 317/100 मिलता है। कुछ भी घटा नहीं है, यानी सब कुछ। यह उत्तर है। प्राथमिक वाटसन! उपरोक्त सभी से, एक उपयोगी निष्कर्ष: किसी भी दशमलव अंश को एक सामान्य अंश में बदला जा सकता है .

लेकिन रिवर्स रूपांतरण, साधारण से दशमलव तक, कुछ कैलकुलेटर के बिना नहीं कर सकते। और यह जरूरी है! आप परीक्षा में उत्तर कैसे लिखेंगे !? हम इस प्रक्रिया को ध्यान से पढ़ते हैं और इसमें महारत हासिल करते हैं।

दशमलव अंश क्या है? वह भाजक में है हमेशा 10 या 100 या 1000 या 10000 और इसी तरह के लायक है। यदि आपके सामान्य अंश में ऐसा भाजक है, तो कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, 4/10 = 0.4। या 7/100 = 0.07। या 12/10 = 1.2। और अगर खंड "बी" के कार्य के उत्तर में यह 1/2 निकला? हम जवाब में क्या लिखेंगे? दशमलव आवश्यक हैं ...

हम याद रखते हैं एक अंश की मूल संपत्ति ! गणित अनुकूल रूप से अंश और भाजक को समान संख्या से गुणा करने की अनुमति देता है। किसी के लिए, वैसे! शून्य को छोड़कर, बिल्कुल। आइए इस सुविधा का अपने लाभ के लिए उपयोग करें! भाजक को किससे गुणा किया जा सकता है, अर्थात 2 ताकि यह 10, या 100, या 1000 हो जाए (निश्चित रूप से छोटा बेहतर है...)? 5, जाहिर है। भाजक को बेझिझक गुणा करें (यह है हमआवश्यक) 5 से। लेकिन, फिर अंश को भी 5 से गुणा करना चाहिए। यह पहले से ही है अंक शास्त्रमांग! हमें 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0.5 मिलता है। बस इतना ही।

हालाँकि, सभी प्रकार के भाजक सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, अंश 3/16 गिर जाएगा। इसे आज़माएं, पता करें कि 100 या 1000 प्राप्त करने के लिए 16 को किससे गुणा करना है... काम नहीं करता? फिर आप केवल 3 को 16 से विभाजित कर सकते हैं। कैलकुलेटर की अनुपस्थिति में, आपको एक कोने में, कागज के एक टुकड़े पर विभाजित करना होगा, जैसा कि वे प्रारंभिक ग्रेड में पढ़ाते थे। हमें 0.1875 मिलता है।

और कुछ बहुत ही बुरे भाजक हैं। उदाहरण के लिए, अंश 1/3 को एक अच्छे दशमलव में नहीं बदला जा सकता है। एक कैलकुलेटर और कागज के एक टुकड़े पर, हमें 0.3333333 मिलता है ... इसका मतलब है कि 1/3 एक सटीक दशमलव अंश में अनुवाद नहीं करता. जैसे 1/7, 5/6 और इसी तरह। उनमें से कई अप्राप्य हैं। इसलिए एक और उपयोगी निष्कर्ष। प्रत्येक सामान्य अंश दशमलव में परिवर्तित नहीं होता है। !

वैसे, यह उपयोगी जानकारीआत्म परीक्षण के लिए। अनुभाग "बी" में प्रतिक्रिया में, आपको एक दशमलव अंश लिखने की आवश्यकता है। और आपको, उदाहरण के लिए, 4/3 मिला। यह अंश दशमलव में परिवर्तित नहीं होता है। इसका मतलब है कि कहीं न कहीं आपने गलती की है! वापस आओ, समाधान की जाँच करो।

तो, साधारण और दशमलव अंशों के साथ। यह मिश्रित संख्याओं से निपटने के लिए बनी हुई है। उनके साथ काम करने के लिए, उन सभी को साधारण भिन्नों में बदलने की आवश्यकता है। इसे कैसे करना है? आप छठे ग्रेडर को पकड़ सकते हैं और उससे पूछ सकते हैं। लेकिन छठा ग्रेडर हमेशा हाथ में नहीं होगा ... हमें इसे स्वयं करना होगा। यह मुश्किल नहीं है। भिन्नात्मक भाग के हर को पूर्णांक भाग से गुणा करें और भिन्नात्मक भाग के अंश को जोड़ें। यह एक सामान्य भिन्न का अंश होगा। भाजक के बारे में क्या? भाजक वही रहेगा। यह जटिल लगता है, लेकिन यह वास्तव में काफी सरल है। आइए एक उदाहरण देखें।

आपने जिस समस्या को डरावनी संख्या के साथ देखा है, उसे होने दें:

शांति से, बिना घबराए, हम समझते हैं। पूरा भाग 1. एक है। भिन्नात्मक भाग 3/7 है। इसलिए, भिन्नात्मक भाग का हर 7 है। यह भाजक साधारण भिन्न का हर होगा। हम अंश की गिनती करते हैं। हम 7 को 1 (पूर्णांक भाग) से गुणा करते हैं और 3 (भिन्नात्मक भाग का अंश) जोड़ते हैं। हमें 10 प्राप्त होता है। यह एक साधारण भिन्न का अंश होगा। बस इतना ही। गणितीय संकेतन में यह और भी सरल दिखता है:

स्पष्ट रूप से? फिर अपनी सफलता सुरक्षित करें! सामान्य अंशों में परिवर्तित करें। आपको 10/7, 7/2, 23/10 और 21/4 मिलना चाहिए।

रिवर्स ऑपरेशन - एक अनुचित अंश को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करना - हाई स्कूल में शायद ही कभी आवश्यक होता है। ठीक है, अगर... और अगर आप - हाई स्कूल में नहीं हैं - तो आप विशेष धारा 555 पर गौर कर सकते हैं। वहीं, वैसे, आप अनुचित भिन्नों के बारे में भी जानेंगे।

खैर, लगभग सब कुछ। आपने भिन्नों के प्रकारों को याद किया और समझा कैसे उन्हें एक प्रकार से दूसरे में परिवर्तित करें। सवाल बाकी है: किसलिए इसे करें? इस गहरे ज्ञान को कहाँ और कब लागू करें?

मेरे द्वारा जवाब दिया जाता है। कोई उदाहरण बताता है आवश्यक कार्रवाई. यदि उदाहरण में साधारण भिन्न, दशमलव, और यहाँ तक कि मिश्रित संख्याओं को एक गुच्छा में मिला दिया जाता है, तो हम हर चीज़ को साधारण भिन्न में बदल देते हैं। यह हमेशा किया जा सकता है. खैर, अगर 0.8 + 0.3 जैसा कुछ लिखा जाता है, तो हम ऐसा सोचते हैं, बिना किसी अनुवाद के। हमें अतिरिक्त काम की आवश्यकता क्यों है? हम वह समाधान चुनते हैं जो सुविधाजनक हो हम !

यदि कार्य पूरी तरह से है दशमलव, लेकिन उम... कुछ दुष्ट, सामान्य लोगों के पास जाओ, कोशिश करो! देखिए, सब ठीक हो जाएगा। उदाहरण के लिए, आपको संख्या 0.125 का वर्ग करना होगा। इतना आसान नहीं है अगर आपने कैलकुलेटर की आदत नहीं छोड़ी है! न केवल आपको एक कॉलम में संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है, बल्कि यह भी सोचें कि अल्पविराम कहाँ लगाना है! यह निश्चित रूप से मेरे दिमाग में काम नहीं करता है! और अगर आप एक साधारण अंश में जाते हैं?

0.125 = 125/1000। हम 5 कम करते हैं (यह शुरुआत के लिए है)। हमें 25/200 मिलता है। एक बार फिर 5 पर। हमें 5/40 मिलता है। ओह, यह सिकुड़ रहा है! वापस 5 पर! हमें 1/8 मिलता है। आसानी से स्क्वायर करें (आपके दिमाग में!) और 1/64 प्राप्त करें। सभी!

आइए इस पाठ को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं।

1. भिन्न तीन प्रकार की होती है। साधारण, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ।

2. दशमलव और मिश्रित संख्याएँ हमेशासामान्य भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है। उलटा अनुवाद हमेशा नहींउपलब्ध।

3. कार्य के साथ काम करने के लिए अंशों के प्रकार का चुनाव इसी कार्य पर निर्भर करता है। की उपस्थिति में अलग - अलग प्रकारएक कार्य में अंश, सबसे विश्वसनीय बात यह है कि साधारण अंशों पर स्विच किया जाए।

अब आप अभ्यास कर सकते हैं। सबसे पहले, इन दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलें:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

आपको इस तरह के उत्तर मिलने चाहिए (गड़बड़ में!):

इस पर हम समाप्त करेंगे। इस पाठ में, हमने अपनी याददाश्त को ताज़ा किया प्रमुख बिंदुअंशों द्वारा। हालाँकि, ऐसा होता है कि ताज़ा करने के लिए कुछ खास नहीं है ...) अगर कोई पूरी तरह से भूल गया है, या अभी तक इसमें महारत हासिल नहीं की है ... तो वे एक विशेष धारा 555 में जा सकते हैं। सभी मूल बातें वहां विस्तृत हैं। कई अचानक सब समज गयाशुरू कर रहे हैं। और वे मक्खी पर अंशों को हल करते हैं)।

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आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

पहली नज़र में बीजगणितीय अंशबहुत जटिल प्रतीत होते हैं, और एक अप्रस्तुत छात्र सोच सकता है कि उनके साथ कुछ भी नहीं किया जा सकता है। चरों, संख्याओं और यहां तक ​​कि शक्तियों का जमा होना भय को प्रेरित करता है। हालांकि, समान नियमों का उपयोग अंशों (जैसे 15/25) और बीजगणितीय अंशों को कम करने के लिए किया जाता है।

कदम

अंश में कमी

के लिए चरण देखें सरल अंश. साधारण और बीजगणितीय भिन्नों के साथ संक्रियाएँ समान होती हैं। उदाहरण के लिए, अंश 15/35 लें। इस अंश को सरल बनाने के लिए, एक सामान्य विभाजक खोजें. दोनों संख्याएँ पाँच से विभाज्य हैं, इसलिए हम अंश और हर में 5 निकाल सकते हैं:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

अब आप कर सकते हैं सामान्य कारकों को कम करेंअर्थात् अंश और हर में 5 को काट दें। नतीजतन, हमें एक सरलीकृत अंश मिलता है 3/7 . बीजगणितीय व्यंजकों में, सामान्य गुणनखंडों को उसी तरह से अलग किया जाता है जैसे कि सामान्य कारकों में। पिछले उदाहरण में, हम आसानी से 15 में से 5 चुन सकते थे - यही सिद्धांत अधिक पर लागू होता है जटिल अभिव्यक्तियाँ, जैसे कि 15x - 5. सार्व गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए। इस मामले में, यह 5 होगा, क्योंकि दोनों पद (15x और -5) 5 से विभाज्य हैं। पहले की तरह, हम सामान्य कारक का चयन करते हैं और इसे स्थानांतरित करते हैं। बांई ओर.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

यह जांचने के लिए कि क्या सब कुछ सही है, यह कोष्ठक में अभिव्यक्ति को 5 से गुणा करने के लिए पर्याप्त है - परिणाम वही संख्याएँ होंगी जो पहले थीं। जटिल शब्दों को सरल शब्दों की तरह ही पहचाना जा सकता है। बीजगणितीय भिन्नों के लिए, वही सिद्धांत सामान्य भिन्नों के लिए लागू होते हैं। अंश को कम करने का यह सबसे आसान तरीका है। निम्नलिखित अंश पर विचार करें:

(एक्स+2)(एक्स-3)(एक्स+2)(एक्स+10)

ध्यान दें कि अंश (शीर्ष) और भाजक (नीचे) दोनों में एक शब्द (x+2) है, इसलिए इसे उसी तरह घटाया जा सकता है जैसे 15/35 में सामान्य कारक 5:

(एक्स + 2) (एक्स -3) → (एक्स-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

नतीजतन, हमें एक सरल अभिव्यक्ति मिलती है: (x-3)/(x+10)

बीजगणितीय अंशों में कमी

अंश में उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कीजिए, जो कि भिन्न के शीर्ष पर है। एक बीजगणितीय अंश को कम करते समय, पहला कदम इसके दोनों भागों को सरल बनाना है। अंश से शुरू करें और जितना संभव हो उतने कारकों में कारक बनाने का प्रयास करें। इस खंड में निम्नलिखित अंश पर विचार करें:

9x-3 15x+6

चलिए अंश से शुरू करते हैं: 9x - 3. 9x और -3 के लिए, सामान्य कारक संख्या 3 है। चलिए 3 को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं, जैसा कि हम साधारण संख्या के साथ करते हैं: 3 * (3x-1)। इस परिवर्तन के परिणामस्वरूप, निम्न अंश प्राप्त होगा:

3(3x-1) 15x+6

अंश में सामान्य कारक खोजें। आइए उपरोक्त उदाहरण का निष्पादन जारी रखें और भाजक लिखें: 15x+6। पहले की तरह, हम पाते हैं कि दोनों भाग किस संख्या से विभाज्य हैं। और इस मामले में सामान्य भाजक 3 है, इसलिए हम लिख सकते हैं: 3 * (5x +2)। आइए अंश को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखें:

3(3x-1) 3(5x+2)

समान शब्दों को कम करें। इस चरण में, आप भिन्न को सरल बना सकते हैं। अंश और हर में समान शर्तों को रद्द करें। हमारे उदाहरण में, यह संख्या 3 है।

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

निर्धारित करें कि एक अंश क्या है सबसे सरल तरीका. अंश और हर में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होने पर भिन्न पूरी तरह से सरलीकृत हो जाती है। ध्यान दें कि आप उन शब्दों को संक्षिप्त नहीं कर सकते जो कोष्ठक के अंदर हैं - उपरोक्त उदाहरण में, 3x और 5x से x निकालने का कोई तरीका नहीं है, क्योंकि (3x -1) और (5x + 2) पूर्ण सदस्य हैं। इस प्रकार, अंश आगे सरलीकरण के लिए उत्तरदायी नहीं है, और अंतिम उत्तर इस प्रकार है:

(3x-1)(5x+2)

भिन्नों को स्वयं घटाने का अभ्यास करें। सबसे अच्छा तरीकाडाइजेस्ट विधि है स्वतंत्र निर्णयकार्यों। सही उत्तर उदाहरणों के नीचे दिए गए हैं।

4(x+2)(x-13)(4x+8)

उत्तर:(एक्स = 13)

2x 2-x 5x

उत्तर:(2x-1)/5

विशेष चालें

ऋण चिह्न को भिन्न से बाहर ले जाएँ। मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित अंश दिया गया है:

3(एक्स-4) 5(4x)

ध्यान दें कि (x-4) और (4-x) "लगभग" समान हैं, लेकिन उन्हें सीधे रद्द नहीं किया जा सकता क्योंकि वे "फ़्लिप" हैं। हालाँकि, (x - 4) को -1 * (4 - x) के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे (4 + 2x) को 2 * (2 + x) के रूप में लिखा जा सकता है। इसे "साइन रिवर्सल" कहा जाता है।

-1*3(4-x) 5(4x)

अब आप समान शर्तों को कम कर सकते हैं (4-x):

-1 * 3 (4-एक्स) 5 (4x)

तो यहाँ अंतिम उत्तर है: -3/5 . वर्गों के अंतर को पहचानना सीखें। वर्गों का अंतर तब होता है जब एक संख्या का वर्ग दूसरी संख्या के वर्ग से घटाया जाता है, जैसा कि अभिव्यक्ति (a 2 - b 2) में है। पूर्ण वर्गों के अंतर को हमेशा दो भागों में विभाजित किया जा सकता है - संगत का योग और अंतर वर्गमूल. तब अभिव्यक्ति निम्नलिखित रूप लेगी:

ए 2 - बी 2 = (ए+बी)(ए-बी)

बीजगणितीय भिन्नों में सामान्य शब्दों की खोज करते समय यह ट्रिक बहुत उपयोगी है।

• जांचें कि क्या आपने इस या उस अभिव्यक्ति का सही ढंग से आकलन किया है। ऐसा करने के लिए, कारकों को गुणा करें - परिणाम एक ही अभिव्यक्ति होना चाहिए।
• किसी भिन्न को पूरी तरह से सरल बनाने के लिए, हमेशा सबसे बड़े गुणनखंडों का चयन करें।

हम समझेंगे कि अंश में कमी क्या है, अंशों को क्यों और कैसे कम किया जाए, हम अंशों को कम करने के नियम और इसके उपयोग के उदाहरण देंगे।

Yandex.RTB R-A-339285-1

"अंश कमी" क्या है

अंश कम करें

एक अंश को कम करने का अर्थ है अंश और भाजक को एक सामान्य भाजक, धनात्मक और एक से भिन्न द्वारा विभाजित करना।

इस तरह की कार्रवाई के परिणामस्वरूप, मूल अंश के बराबर एक नया अंश और भाजक वाला एक अंश प्राप्त होगा।

उदाहरण के लिए, चलिए लेते हैं सामान्य अंश 6 24 और इसे छोटा करें। अंश और हर को 2 से विभाजित करें, परिणामस्वरूप 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 प्राप्त होता है। इस उदाहरण में, हमने मूल भिन्न को 2 से घटा दिया है।

भिन्नों को इर्रिड्यूसिबल रूप में घटाना

पिछले उदाहरण में, हमने भिन्न 6 24 को 2 से घटाया, जिसके परिणामस्वरूप भिन्न 3 12 प्राप्त हुआ। यह देखना आसान है कि इस अंश को और कम किया जा सकता है। आम तौर पर, अंशों को कम करने का लक्ष्य एक अलघुकरणीय अंश के साथ समाप्त होता है। एक अंश को एक अलघुकरणीय रूप में कैसे परिवर्तित करें?

अंश और भाजक को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक (GCD) से घटाकर ऐसा किया जा सकता है। फिर, सबसे बड़े सामान्य विभाजक की संपत्ति के द्वारा, अंश और भाजक सहअभाज्य संख्याएँ होंगी, और अंश अलघुकरणीय होगा।

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

एक अंश को एक अप्रासंगिक रूप में घटाना

एक अंश को एक अलघुकरणीय रूप में कम करने के लिए, आपको इसके अंश और हर को उनके gcd से विभाजित करना होगा।

पहले उदाहरण से अंश 6 24 पर वापस लौटते हैं और इसे एक अलघुकरणीय रूप में कम करते हैं। 6 और 24 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 6 है। आइए अंश को कम करें:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

बड़ी संख्या के साथ काम न करने के लिए अंशों को कम करना सुविधाजनक है। सामान्य तौर पर, गणित में एक अनकहा नियम है: यदि आप किसी अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं, तो आपको इसे करने की आवश्यकता है। एक अंश को कम करने से, अक्सर इसका मतलब है कि यह एक अलघुकरणीय रूप में कम हो जाता है, न कि केवल अंश और भाजक के एक सामान्य विभाजक द्वारा घटाना।

अंश कमी नियम

अंशों को कम करने के लिए, नियम को याद रखना पर्याप्त है, जिसमें दो चरण होते हैं।

अंश कमी नियम

अंश कम करने के लिए:

1. अंश और हर का gcd ज्ञात कीजिए।
2. अंश और हर को उनके gcd से विभाजित करें।

व्यावहारिक उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1. चलिए भिन्न को कम करते हैं।

एक भिन्न 182 195 दिया गया है। आइए इसे छोटा करें।

अंश और हर का GCD ज्ञात कीजिए। इसके लिए, इस मामले में, यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करना सबसे सुविधाजनक है।

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 एन ओ डी (182, 195) = 13

अंश और हर को 13 से विभाजित करें। हम पाते हैं:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

तैयार। हमें एक अलघुकरणीय अंश मिला है, जो मूल भिन्न के बराबर है।

आप और कैसे भिन्नों को कम कर सकते हैं? कुछ मामलों में, अंश और भाजक को सरल कारकों में विघटित करना सुविधाजनक होता है, और फिर अंश के ऊपरी और निचले हिस्सों से सभी सामान्य कारकों को हटा दें।

उदाहरण 2. अंश कम करें

एक अंश 360 2940 दिया गया है। आइए इसे छोटा करें।

ऐसा करने के लिए, हम मूल भिन्न को निम्न रूप में दर्शाते हैं:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

आइए अंश और भाजक में सामान्य कारकों से छुटकारा पाएं, जिसके परिणामस्वरूप हम प्राप्त करते हैं:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

अंत में, भिन्नों को कम करने के दूसरे तरीके पर विचार करें। यह तथाकथित अनुक्रमिक कमी है। इस पद्धति का उपयोग करते हुए, कमी कई चरणों में की जाती है, जिनमें से प्रत्येक में कुछ स्पष्ट आम विभाजक द्वारा अंश कम किया जाता है।

उदाहरण 3. अंश कम करें

चलिए 2000 4400 अंश को घटाते हैं।

यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि अंश और हर में 100 का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड होता है। हम अंश को 100 से घटाते हैं और प्राप्त करते हैं:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

परिणामी परिणाम फिर से 2 से कम हो जाता है और हमें एक अलघुकरणीय अंश मिलता है:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

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