भिन्नों के साथ जटिल भाव। प्रक्रिया। अंश, भिन्न के साथ संचालन

अंश साधारण और दशमलव हैं। जब छात्र को बाद वाले के अस्तित्व के बारे में पता चलता है, तो वह हर उस चीज़ का अनुवाद करना शुरू कर देता है जो दशमलव रूप में संभव है, भले ही इसकी आवश्यकता न हो।

अजीब तरह से, हाई स्कूल के छात्रों और छात्रों की प्राथमिकताएं बदल जाती हैं, क्योंकि साधारण अंशों के साथ कई अंकगणितीय संचालन करना आसान होता है। और जिन मूल्यों से स्नातक निपटते हैं, वे कभी-कभी बिना किसी नुकसान के दशमलव रूप में परिवर्तित करना असंभव हो सकते हैं। नतीजतन, दोनों प्रकार के अंश, एक तरह से या किसी अन्य, मामले के अनुकूल होते हैं और उनके अपने फायदे और नुकसान होते हैं। आइए देखें कि उनके साथ कैसे काम करना है।

परिभाषा

अंश समान शेयर हैं। यदि एक संतरे में दस टुकड़े हैं और आपको एक दिया गया है, तो आपके पास फल का 1/10 भाग आपके हाथ में है। इस तरह के अंकन के साथ, जैसा कि पिछले वाक्य में है, अंश को साधारण अंश कहा जाएगा। यदि आप 0.1 - दशमलव के समान लिखते हैं। दोनों विकल्प समान हैं, लेकिन उनके अपने फायदे हैं। पहला विकल्प गुणन और विभाजन के लिए अधिक सुविधाजनक है, दूसरा - जोड़, घटाव और कई अन्य मामलों में।

एक भिन्न को दूसरे रूप में कैसे बदलें

मान लीजिए कि आपके पास एक सामान्य अंश है और आप इसे दशमलव में बदलना चाहते हैं। मुझे क्या करना चाहिए?

वैसे, आपको पहले से तय करना होगा कि कोई भी संख्या बिना किसी समस्या के दशमलव रूप में नहीं लिखी जा सकती है। कभी-कभी आपको परिणाम को गोल करना पड़ता है, एक निश्चित संख्या में दशमलव स्थान खो देता है, और कई क्षेत्रों में - उदाहरण के लिए, में सटीक विज्ञान- यह एक अवहनीय विलासिता है। साथ ही, 5 वीं कक्षा में दशमलव और सामान्य अंशों के साथ क्रियाएं कम से कम प्रशिक्षण के रूप में हस्तक्षेप के बिना एक प्रकार से दूसरे में इस तरह के स्थानांतरण को संभव बनाती हैं।

यदि भाजक से, पूर्णांक से गुणा या भाग करके, आप एक मान प्राप्त कर सकते हैं जो 10 का एक गुणक है, तो स्थानांतरण बिना किसी कठिनाई के गुजर जाएगा: ¾ 0.75, 13/20 - 0.65 में बदल जाता है।

व्युत्क्रम प्रक्रिया और भी आसान है, क्योंकि आप सटीकता में हानि के बिना दशमलव अंश से हमेशा एक साधारण अंश प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 0.2 बन जाता है 1/5 और 0.08 बन जाता है 4/25।

आंतरिक रूपांतरण

साधारण अंशों के साथ संयुक्त क्रियाओं को करने से पहले, आपको संभावित गणितीय संक्रियाओं के लिए संख्याएँ तैयार करने की आवश्यकता है।

सबसे पहले, आपको उदाहरण के सभी अंशों को एक सामान्य रूप में लाने की आवश्यकता है। वे या तो साधारण या दशमलव होना चाहिए। तुरंत एक आरक्षण करें कि पहले के साथ गुणा और भाग करना अधिक सुविधाजनक है।

आगे की कार्रवाई के लिए संख्याओं को तैयार करने में, आपको उस नियम से मदद मिलेगी, जिसे विषय के अध्ययन के प्रारंभिक वर्षों में और दोनों में उपयोग किया जाता है। उच्च गणितजो विश्वविद्यालयों में पढ़ाया जाता है।

अंश गुण

मान लीजिए कि आपका कुछ मूल्य है। मान लीजिए 2/3। यदि आप अंश और हर को 3 से गुणा करते हैं तो क्या होता है? 6/9 प्राप्त करें। क्या होगा अगर यह एक लाख है? 2000000/3000000। लेकिन प्रतीक्षा करें, क्योंकि संख्या गुणात्मक रूप से बिल्कुल नहीं बदलती - 2/3 2000000/3000000 के बराबर रहती है। केवल रूप बदलता है, सामग्री नहीं। जब दोनों भागों को समान मान से विभाजित किया जाता है तो वही होता है। यह अंश की मुख्य संपत्ति है, जो आपको परीक्षणों और परीक्षाओं पर दशमलव और साधारण अंशों के साथ क्रिया करने में बार-बार मदद करेगी।

अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने को भिन्न का विस्तार करना कहते हैं, और विभाजित करना घटाना कहते हैं। मुझे कहना होगा कि भिन्नों को गुणा और विभाजित करते समय ऊपर और नीचे समान संख्याओं को पार करना आश्चर्यजनक रूप से सुखद प्रक्रिया है (गणित पाठ के भाग के रूप में, निश्चित रूप से)। ऐसा लगता है कि उत्तर पहले से ही करीब है और उदाहरण व्यावहारिक रूप से हल हो गया है।

अनुचित अंश

एक अनुचित अंश वह है जिसमें अंश भाजक से अधिक या उसके बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि एक पूरे भाग को इससे अलग किया जा सकता है, तो वह इस परिभाषा के अंतर्गत आता है।

यदि ऐसी संख्या (एक से अधिक या एक के बराबर) को साधारण अंश के रूप में दर्शाया जाता है, तो इसे अनुचित कहा जाएगा। और अगर अंश भाजक से छोटा है - सही। साधारण अंशों के साथ संभावित कार्यों के कार्यान्वयन में दोनों प्रकार समान रूप से सुविधाजनक हैं। उन्हें स्वतंत्र रूप से गुणा और विभाजित, जोड़ा और घटाया जा सकता है।

यदि एक ही समय में एक पूर्णांक भाग का चयन किया जाता है और एक ही समय में अंश के रूप में शेष रहता है, तो परिणामी संख्या को मिश्रित कहा जाएगा। भविष्य में आपको सामना करना पड़ेगा विभिन्न तरीकेचर के साथ ऐसी संरचनाओं का संयोजन, साथ ही साथ समीकरणों को हल करना जहाँ इस ज्ञान की आवश्यकता होती है।

अंकगणितीय आपरेशनस

यदि अंश के मूल गुण के साथ सब कुछ स्पष्ट है, तो भिन्नों को गुणा करते समय कैसे व्यवहार करें? ग्रेड 5 में सामान्य अंशों वाली क्रियाओं में सभी प्रकार के अंकगणितीय ऑपरेशन शामिल होते हैं जो दो अलग-अलग तरीकों से किए जाते हैं।

गुणा और भाग करना बहुत आसान है। पहले मामले में, दो भिन्नों के अंश और हर को सरलता से गुणा किया जाता है। दूसरे में - वही, केवल आड़ा। इस प्रकार, पहले अंश के अंश को दूसरे के भाजक से गुणा किया जाता है, और इसके विपरीत।

जोड़ और घटाव करने के लिए, आपको एक अतिरिक्त क्रिया करने की आवश्यकता है - अभिव्यक्ति के सभी घटकों को एक सामान्य भाजक में लाएँ। इसका मतलब है कि अंशों के निचले हिस्सों को बदलना होगा समान मूल्य- दोनों उपलब्ध भाजक का गुणक। उदाहरण के लिए, 2 और 5 के लिए यह 10 होगा। 3 और 6 के लिए - 6। लेकिन फिर शीर्ष के साथ क्या करना है? हम इसे वैसे ही नहीं छोड़ सकते जैसे कि अगर हम नीचे वाले को बदल दें। एक भिन्न के मूल गुण के अनुसार, हम अंश को भाजक के समान संख्या से गुणा करते हैं। यह ऑपरेशन प्रत्येक संख्या पर किया जाना चाहिए जिसे हम जोड़ना या घटाना चाहते हैं। हालाँकि, 6 वीं कक्षा में साधारण अंशों के साथ ऐसी क्रियाएँ पहले से ही "मशीन पर" की जाती हैं, और कठिनाइयाँ तभी उत्पन्न होती हैं आरंभिक चरणविषय का अध्ययन।

तुलना

यदि दो भिन्नों का हर समान है, तो बड़े अंश वाला भिन्न बड़ा होगा। यदि ऊपरी भाग समान हैं, तो छोटे भाजक वाला बड़ा होगा। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि तुलना के लिए ऐसी सफल स्थितियां शायद ही कभी होती हैं। सबसे अधिक संभावना है, भावों के ऊपरी और निचले दोनों हिस्से मेल नहीं खाएंगे। फिर आपको साधारण अंशों के साथ संभावित क्रियाओं को याद रखने और जोड़ और घटाव में उपयोग की जाने वाली तकनीक का उपयोग करने की आवश्यकता है। इसके अलावा, याद रखें कि यदि हम ऋणात्मक संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, तो मापांक में बड़ा अंश छोटा होगा।

सामान्य अंशों के लाभ

ऐसा होता है कि शिक्षक बच्चों को एक वाक्यांश बताते हैं, जिसकी सामग्री निम्नानुसार व्यक्त की जा सकती है: कार्य तैयार करते समय जितनी अधिक जानकारी दी जाएगी, समाधान उतना ही आसान होगा। क्या यह अजीब लगता है? लेकिन वास्तव में: कब बड़ी संख्या मेंज्ञात मान, आप लगभग किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन यदि केवल कुछ संख्याएँ प्रदान की जाती हैं, तो अतिरिक्त प्रतिबिंबों की आवश्यकता हो सकती है, आपको प्रमेयों को याद रखना और सिद्ध करना होगा, अपनी सत्यता के पक्ष में तर्क देना होगा ...

हम यह क्यों कर रहे हैं? हाँ क्या सामान्य अंशउनकी सभी बोझिलता के लिए, वे एक छात्र के जीवन को बहुत सरल बना सकते हैं, जिससे आप गुणा और विभाजन करते समय मूल्यों की संपूर्ण पंक्तियों को कम कर सकते हैं, और योग और अंतर की गणना करते समय, सामान्य तर्क निकाल सकते हैं और फिर से उन्हें कम कर सकते हैं .

जब सामान्य और के साथ संयुक्त कार्रवाई करने की आवश्यकता होती है दशमलव, परिवर्तन पूर्व के पक्ष में किए जाते हैं: आप 3/17 को दशमलव रूप में कैसे अनुवादित करते हैं? केवल जानकारी के नुकसान के साथ, अन्यथा नहीं। लेकिन 0.1 को 1/10 और फिर 17/170 के रूप में दर्शाया जा सकता है। और फिर दो परिणामी संख्याओं को जोड़ा या घटाया जा सकता है: 30/170 + 17/170 = 47/170।

दशमलव क्यों उपयोगी हैं?

यदि साधारण अंशों के साथ कार्य करना अधिक सुविधाजनक है, तो उनकी मदद से सब कुछ लिखना बेहद असुविधाजनक है, यहाँ दशमलव का एक महत्वपूर्ण लाभ है। तुलना करें: 1748/10000 और 0.1748। यह वही मूल्य है जो दो में प्रस्तुत किया गया है विभिन्न विकल्प. बेशक, दूसरा तरीका आसान है!

इसके अलावा, दशमलव का प्रतिनिधित्व करना आसान होता है क्योंकि सभी डेटा का एक सामान्य आधार होता है जो केवल परिमाण के क्रम से भिन्न होता है। मान लीजिए कि हम 30% छूट को आसानी से पहचान सकते हैं और इसे महत्वपूर्ण के रूप में मूल्यांकन भी कर सकते हैं। क्या आप तुरंत समझ जाएंगे कि कौन अधिक है - 30% या 137/379? इस प्रकार, दशमलव अंश गणनाओं का मानकीकरण प्रदान करते हैं।

हाई स्कूल में, छात्र द्विघात समीकरणों को हल करते हैं। यहां साधारण अंशों के साथ क्रिया करना पहले से ही बेहद समस्याग्रस्त है, क्योंकि चर के मूल्यों की गणना के सूत्र में शामिल हैं वर्गमूलराशि से। एक अंश की उपस्थिति में जो दशमलव के लिए कम नहीं होता है, समाधान इतना जटिल हो जाता है कि कैलकुलेटर के बिना सटीक उत्तर की गणना करना लगभग असंभव हो जाता है।

इसलिए, उपयुक्त संदर्भ में भिन्नों को दर्शाने के प्रत्येक तरीके के अपने फायदे हैं।

प्रवेश के फार्म

साधारण अंशों के साथ क्रियाओं को लिखने के दो तरीके हैं: एक क्षैतिज रेखा के माध्यम से, दो "स्तरों" में, और एक स्लैश (उर्फ "स्लैश") के माध्यम से - एक पंक्ति में। जब कोई छात्र नोटबुक में लिखता है, तो पहला विकल्प आमतौर पर अधिक सुविधाजनक होता है, और इसलिए अधिक सामान्य होता है। कोशिकाओं में कई संख्याओं का वितरण गणना और परिवर्तनों में सावधानी के विकास में योगदान देता है। स्ट्रिंग पर लिखते समय, आप अनजाने में क्रियाओं के क्रम को भ्रमित कर सकते हैं, कोई डेटा खो सकते हैं - यानी गलती करें।

हमारे समय में अक्सर कंप्यूटर पर नंबर प्रिंट करने की आवश्यकता होती है। आप Microsoft Word 2010 और उसके बाद के संस्करण में फ़ंक्शन का उपयोग करके पारंपरिक क्षैतिज पट्टी के साथ अंशों को अलग कर सकते हैं। तथ्य यह है कि सॉफ्टवेयर के इन संस्करणों में "सूत्र" नामक एक विकल्प है। यह एक आयताकार परिवर्तनीय क्षेत्र प्रदर्शित करता है जिसके भीतर आप किसी भी गणितीय प्रतीकों को जोड़ सकते हैं, दो- और "चार-कहानी" दोनों अंश बना सकते हैं। भाजक और अंश में, आप कोष्ठक, संचालन चिह्नों का उपयोग कर सकते हैं। नतीजतन, आप पारंपरिक रूप में सामान्य और दशमलव अंशों के साथ किसी भी संयुक्त क्रिया को लिखने में सक्षम होंगे, यानी जिस तरह से वे आपको स्कूल में सिखाते हैं।

यदि आप मानक नोटपैड पाठ संपादक का उपयोग करते हैं, तो सभी भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को स्लैश के माध्यम से लिखने की आवश्यकता होगी। दुर्भाग्य से, यहाँ कोई दूसरा रास्ता नहीं है।

निष्कर्ष

तो हमने सामान्य अंशों के साथ सभी बुनियादी क्रियाओं पर विचार किया है, जो कि इतने अधिक नहीं हैं।

यदि पहली बार में ऐसा लग सकता है कि यह गणित का एक जटिल खंड है, तो यह केवल एक अस्थायी छाप है - याद रखें, एक बार आपने गुणन तालिका के बारे में ऐसा सोचा था, और इससे भी पहले - सामान्य कॉपीबुक और एक से दस तक की गिनती के बारे में।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि अंशों का उपयोग किसमें किया जाता है रोजमर्रा की जिंदगीहर जगह। आप पैसे और इंजीनियरिंग की गणना, सूचना प्रौद्योगिकी और संगीत साक्षरता, और हर जगह - हर जगह से निपटेंगे! - भिन्नात्मक संख्याएँ दिखाई देंगी। इसलिए, आलसी मत बनो और इस विषय का अच्छी तरह से अध्ययन करो - खासकर जब से यह इतना कठिन नहीं है।

496. पाना एक्स, अगर:

497. 1) यदि आप किसी अज्ञात संख्या के 10 1/2 में 3/10 जोड़ते हैं, तो आपको 13 1/2 प्राप्त होता है। एक अज्ञात संख्या खोजें।

2) यदि आप किसी अज्ञात संख्या के 7/10 में से 10 1/2 घटाते हैं, तो आपको 15 2/5 प्राप्त होता है। एक अज्ञात संख्या खोजें।

498 *। यदि आप किसी अज्ञात संख्या के 3/4 में से 10 घटाते हैं और परिणामी अंतर को 5 से गुणा करते हैं, तो आपको 100 प्राप्त होता है। संख्या ज्ञात कीजिए।

499 *। यदि किसी अज्ञात संख्या को उसके 2/3 से बढ़ा दिया जाए तो 60 प्राप्त होता है। यह संख्या क्या है?

500 *। यदि हम उसी राशि को एक अज्ञात संख्या में जोड़ते हैं, और 20 1/3 भी, तो हमें 105 2/5 प्राप्त होता है। एक अज्ञात संख्या खोजें।

501. 1) एक वर्ग-घोंसले के रोपण के साथ आलू की उपज औसतन 150 सेंटीमीटर प्रति 1 हेक्टेयर है, और सामान्य रोपण के साथ इस राशि का 3/5 है। यदि आलू को वर्गाकार-घोंसले में लगाया जाए तो 15 हेक्टेयर क्षेत्र से कितने और आलू की फसल ली जा सकती है?

2) एक अनुभवी कार्यकर्ता ने 1 घंटे में 18 भाग बनाए, और एक अनुभवहीन कार्यकर्ता ने इस राशि का 2/3 भाग बनाया। एक अनुभवी कर्मचारी 7 घंटे के कार्य दिवस में और कितने पुर्जों का उत्पादन कर सकता है?

502. 1) पायनियर्स भीतर इकट्ठे हुए तीन दिन 56 किग्रा विभिन्न बीज। पहले दिन, कुल राशि का 3/14, दूसरे दिन डेढ़ गुना और तीसरे दिन, शेष अनाज एकत्र किया गया। अग्रदूतों ने तीसरे दिन कितने किलोग्राम बीज एकत्र किए?

2) गेहूँ पीसते समय, यह निकला: गेहूँ की कुल मात्रा का 4/5 आटा, सूजी - आटे से 40 गुना कम, और बाकी चोकर। 3 टन गेहूं पिसवाने पर आपको अलग से कितना आटा, सूजी और चोकर मिला?

503. 1) तीन गैरेज में 460 कारें फिट होती हैं। पहले गैरेज में फिट होने वाली कारों की संख्या दूसरे गैरेज में फिट होने वाली कारों की संख्या का 3/4 है, और तीसरे गैरेज में पहले की तुलना में 1 1/2 गुना अधिक कारें हैं। प्रत्येक गैरेज में कितनी कारें फिट होती हैं?

2) प्लांट, जिसमें तीन वर्कशॉप हैं, में 6,000 कर्मचारी काम करते हैं। दूसरी कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या पहली की तुलना में 1 1/2 गुना कम है, और तीसरी कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या दूसरी कार्यशाला में श्रमिकों की संख्या का 5/6 है। प्रत्येक दुकान में कितने कर्मचारी हैं?

504. 1) पहले, टैंक से 2/5 मिट्टी के तेल के साथ डाला गया, फिर कुल मिट्टी के तेल का 1/3 और उसके बाद 8 टन मिट्टी का तेल टैंक में रह गया। टैंक में मूल रूप से कितना मिट्टी का तेल था?

2) साइकिल चालकों ने तीन दिनों तक दौड़ लगाई। पहले दिन उन्होंने पूरी यात्रा का 4/15 भाग तय किया, दूसरे दिन उन्होंने 2/5 और तीसरे दिन शेष 100 किमी की दूरी तय की। तीन दिनों में साइकिल सवारों ने कितनी दूरी तय की?

505. 1) आइसब्रेकर ने तीन दिनों तक बर्फ के क्षेत्र में अपना रास्ता बनाया। पहले दिन उसने कुल दूरी का 1/2, दूसरे दिन शेष दूरी का 3/5 और तीसरे दिन शेष 24 किमी की दूरी तय की। आइसब्रेकर द्वारा तीन दिनों में तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

2) स्कूली बच्चों की तीन टुकड़ियों ने गाँव के भूनिर्माण के लिए पेड़ लगाए। पहली टुकड़ी ने सभी पेड़ों के 7/20, दूसरे ने शेष पेड़ों के 5/8 और तीसरे ने शेष 195 पेड़ लगाए। तीनों टीमों ने कुल कितने पेड़ लगाए?

506. 1) एक कंबाइन हार्वेस्टर ने तीन दिनों में एक भूखंड से गेहूं की कटाई की। पहले दिन उसने भूखंड के कुल क्षेत्रफल के 5/18 भाग से, दूसरे दिन शेष क्षेत्रफल के 7/13 भाग से और तीसरे दिन शेष 30 1/2 हेक्टेयर क्षेत्रफल से कटाई की। . प्रत्येक हेक्टेयर से औसतन 20 सेंटर गेहूं काटा गया। पूरे भूखंड में कितना गेहूं काटा गया?

2) पहले दिन, रैली के प्रतिभागियों ने पूरे पथ का 3/11, दूसरे दिन शेष पथ का 7/20, तीसरे दिन नए शेष का 5/13 और चौथे दिन शेष 320 कि.मी. रैली मार्ग कितना लंबा है?

507. 1) पहले दिन, कार ने पूरी दूरी का 3/8 भाग तय किया, दूसरे दिन उसने पहले दिन की दूरी का 15/17 और तीसरे दिन शेष 200 किमी की दूरी तय की। अगर कार 10 किमी की यात्रा के लिए 1 3/5 किलो गैसोलीन की खपत करती है तो कितना पेट्रोल खर्च हुआ?

2) शहर में चार जिले हैं। और पहले जिले में शहर के सभी निवासियों के 4/13, पहले जिले के निवासियों के दूसरे 5/6 में, पहले के निवासियों के तीसरे 4/11 में रहते हैं; दो जिले संयुक्त हैं, और चौथा जिला 18,000 लोगों का घर है। शहर की पूरी आबादी को 3 दिनों के लिए कितनी रोटी की आवश्यकता होती है, यदि औसतन एक व्यक्ति प्रति दिन 500 ग्राम की खपत करता है?

508. 1) पर्यटक पूरे रास्ते के पहले दिन 10/31 पर चला गया, दूसरे दिन 9/10 पर वह पहले दिन चला, और तीसरे दिन बाकी रास्ते पर, और तीसरे दिन वह चला गया 12 दूसरे दिन की तुलना में किमी अधिक। पर्यटक तीन दिनों में से प्रत्येक में कितने किलोमीटर चला?

2) कार ने तीन दिनों में शहर A से शहर B तक की यात्रा की। पहले दिन, कार पूरी दूरी का 7/20, दूसरे दिन शेष दूरी का 8/13 और तीसरे दिन, कार पहले दिन की तुलना में 72 किमी कम तय करती है। शहरों A और B के बीच की दूरी कितनी है?

509. 1) कार्यकारी समिति ने तीन कारखानों के श्रमिकों को भूमि आवंटित की उद्यान भूखंड. पहले संयंत्र को भूखंडों की कुल संख्या का 9/25 आवंटित किया गया था, दूसरे संयंत्र को पहले के लिए आवंटित भूखंडों की संख्या का 5/9 और तीसरा - शेष भूखंडों को आवंटित किया गया था। तीन कारखानों के श्रमिकों को कितने भूखंड आवंटित किए गए यदि पहले संयंत्र को तीसरे से 50 कम भूखंड दिए गए?

2) विमान ने तीन दिनों में मास्को से ध्रुवीय स्टेशन पर सर्दियों की शिफ्ट की। पहले दिन उसने पूरे रास्ते का 2/5 भाग उड़ाया, दूसरे दिन - 5/6 उसने पहले दिन यात्रा की, और तीसरे दिन उसने दूसरे दिन की तुलना में 500 किमी कम उड़ान भरी। तीन दिनों में विमान ने कितनी दूर उड़ान भरी?

510. 1) संयंत्र में तीन कार्यशालाएँ थीं। पहली वर्कशॉप में श्रमिकों की संख्या सभी फैक्ट्री श्रमिकों की संख्या का 2/5 है; दूसरी वर्कशॉप में पहली वर्कशॉप की तुलना में 1 1/2 गुना कम कर्मचारी हैं, और तीसरी वर्कशॉप में दूसरी वर्कशॉप की तुलना में 100 अधिक वर्कर्स हैं। कारखाने में कितने कर्मचारी हैं?

2) सामूहिक खेत में तीन पड़ोसी गांवों के निवासी शामिल हैं। सामूहिक खेत के सभी परिवारों के पहले गांव में परिवारों की संख्या 3/10 है; दूसरे गांव में परिवारों की संख्या पहले की तुलना में 1 1/2 गुना अधिक है, और तीसरे गांव में परिवारों की संख्या दूसरे की तुलना में 420 कम है। सामूहिक खेत पर कितने परिवार हैं?

511. 1) आर्टेल ने कच्चे माल के अपने स्टॉक के पहले सप्ताह में 1/3 और शेष के दूसरे 1/3 में खर्च किया। आर्टेल में कितना कच्चा माल बचा है यदि पहले सप्ताह में कच्चे माल की खपत दूसरे सप्ताह की तुलना में 3/5 टन अधिक थी?

2) पहले महीने में घर को गर्म करने के लिए आयातित कोयले में से 1/6 खर्च किया गया था, और दूसरे महीने में - शेष का 3/8। यदि पहले महीने की तुलना में दूसरे महीने में 1 3/4 अधिक उपयोग किया गया तो घर को गर्म करने के लिए कितना कोयला बचा?

512. सामूहिक खेत की पूरी भूमि का 3/5 भाग अनाज बोने के लिए आवंटित किया जाता है, शेष 13/36 पर वनस्पति उद्यानों और घास के मैदानों का कब्जा है, शेष भूमि पर वन हैं, और सामूहिक खेत का बोया गया क्षेत्र है वन क्षेत्र से 217 हेक्टेयर अधिक, बुवाई के लिए आवंटित भूमि का 1/3 भाग राई के साथ बोया जाता है, और शेष गेहूं है। सामूहिक खेत में कितनी हेक्टेयर भूमि पर गेहूँ और कितनी राई बोई गई?

513. 1) ट्राम मार्ग 14 3/8 किमी लंबा है। इस मार्ग के दौरान, ट्राम 18 स्टॉप बनाती है, प्रति स्टॉप औसतन 1 1/6 मिनट खर्च करती है। पूरे मार्ग पर औसत ट्राम गति 12 1/2 किमी प्रति घंटा है। ट्राम को एक यात्रा करने में कितना समय लगता है?

2) बस मार्ग 16 कि.मी. इस रूट के दौरान बस 3/4 मिनट के 36 स्टॉप बनाती है। प्रत्येक औसतन। औसत बस गति 30 किमी प्रति घंटा है। एक रूट बनाने में बस को कितना समय लगता है?

514 *। 1) अब 6 बजे हैं। शाम। दिन का शेष भाग भूतकाल से कितना बचा है और दिन का कितना भाग शेष है?

2) एक स्टीमबोट 3 दिनों में दो शहरों के बीच धारा के अनुकूल यात्रा करती है। और उतनी ही दूरी 4 दिनों में वापस कर देता है। एक शहर से दूसरे शहर में कितने दिनों तक राफ्ट तैरती रहेगी?

515. 1) एक कमरे में फर्श बिछाने के लिए कितने बोर्ड का उपयोग किया जाएगा जिसकी लंबाई 6 2/3 मीटर, चौड़ाई h 5 1/4 मीटर है, यदि प्रत्येक बोर्ड की लंबाई 6 2/3 मीटर है, और इसकी चौड़ाई 3 है /80 की लंबाई?

2) एक आयताकार मंच की लंबाई 45 1/2 मीटर है और इसकी चौड़ाई लंबाई का 5/13 है। यह क्षेत्र 4/5 मीटर चौड़े पथ से घिरा हुआ है। पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

516. संख्याओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए:

517. 1) दो संख्याओं 6 1/6 का अंकगणितीय माध्य। संख्या 3 3/4 में से एक। कोई अन्य संख्या ज्ञात कीजिए।

2) दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 14 1/4 है। इनमें से एक संख्या 15 5/6 है। कोई अन्य संख्या ज्ञात कीजिए।

518. 1) मालगाड़ी तीन घंटे तक सड़क पर थी। पहले घंटे में वह 36 1/2 किमी, दूसरे 40 किमी और तीसरे 39 3/4 किमी चले। ट्रेन की औसत गति ज्ञात कीजिए।

2) कार ने पहले दो घंटों में 81 1/2 किमी और अगले 2 1/2 घंटों में 95 किमी की यात्रा की। वह प्रति घंटे औसतन कितने किलोमीटर चला?

519. 1) ट्रैक्टर चालक ने तीन दिनों में जमीन की जुताई का कार्य पूरा किया। पहले दिन उन्होंने 12 1/2 हेक्टेयर, दूसरे दिन 15 3/4 हेक्टेयर और तीसरे दिन 14 1/2 हेक्टेयर जोता। एक ट्रैक्टर चालक ने प्रतिदिन औसतन कितनी हेक्टेयर भूमि जोतई?

2) स्कूली बच्चों की एक टुकड़ी, जो तीन दिवसीय पर्यटन यात्रा कर रही थी, पहले दिन 6 1/3 घंटे, दूसरे 7 घंटे रास्ते में थी। और तीसरे दिन, 4 2/3 घंटे। हर दिन औसतन कितने घंटे छात्र सड़क पर थे?

520. 1) घर में तीन परिवार रहते हैं। अपार्टमेंट को रोशन करने के लिए पहले परिवार में 3 लाइट बल्ब, दूसरे में 4 और तीसरे में 5 बल्ब हैं। प्रत्येक परिवार को बिजली के लिए कितना भुगतान करना चाहिए यदि सभी लैंप समान हैं और कुल बिजली बिल (पूरे घर के लिए) 7 1/5 रूबल है?

2) पॉलिश करने वाला उस अपार्टमेंट के फर्श को रगड़ता था जहाँ तीन परिवार रहते थे। पहले परिवार का रहने का क्षेत्र 36 1/2 वर्ग किमी था। मीटर, 24 1/2 वर्ग में दूसरा। मी, और तीसरा - 43 वर्गमीटर में। मीटर सभी काम के लिए 2 रूबल का भुगतान किया गया था। 08 कोप. प्रत्येक परिवार ने कितना भुगतान किया?

521. 1) बगीचे के भूखंड में, आलू को 50 झाड़ियों से काटा गया, 1 1/10 किलो एक झाड़ी से, 70 झाड़ियों से, 4/5 किलो एक झाड़ी से, 80 झाड़ियों से, 9/10 किलो एक झाड़ी से। प्रत्येक झाड़ी से औसतन कितने किलोग्राम आलू काटे जाते हैं?

2) 300 हेक्टेयर क्षेत्र में एक खेत में उगने वाली टीम को 20 1/2 सेंटर्स की फसल प्राप्त हुई सर्दियों का गेहूं 1 हेक्टेयर से, 80 हेक्टेयर से 24 केंद्र 1 हेक्टेयर से और 20 हेक्टेयर से - 28 1/2 केंद्र 1 हेक्टेयर से। एक ब्रिगेड में 1 हेक्टेयर से औसत उपज कितनी होती है?

522. 1) दो संख्याओं का योग 7 1/2 है। एक संख्या दूसरी से 4 4/5 अधिक है। इन नंबरों को खोजें।

2) यदि आप तातार की चौड़ाई और चौड़ाई को व्यक्त करने वाली संख्याओं को जोड़ते हैं केर्च जलडमरूमध्यसाथ में, हमें 11 7/10 किमी मिलते हैं। तातार जलडमरूमध्य केर्च जलडमरूमध्य से 3 1/10 किमी चौड़ा है। प्रत्येक जलडमरूमध्य की चौड़ाई कितनी है?

523. 1) तीन संख्याओं का योग 35 2/3 है। पहली संख्या दूसरी से 5 1/3 अधिक और तीसरी से 3 5/6 अधिक है। इन नंबरों को खोजें।

2) नोवाया ज़ेमल्या, सखालिन और सेवरनाया ज़ेमल्या के द्वीपों का कुल क्षेत्रफल 196 7/10 हजार वर्ग मीटर है। किमी। नोवाया जेमल्या का क्षेत्रफल 44 1/10 हजार वर्ग मीटर है। सेवरना ज़म्ल्या के क्षेत्रफल से अधिक किमी और 5 1/5 हजार वर्ग मीटर। किमी सखालिन के क्षेत्र से बड़ा है। सूचीबद्ध द्वीपों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल क्या है?

524. 1) अपार्टमेंट में तीन कमरे हैं। पहले कमरे का क्षेत्रफल 24 3/8 वर्ग मीटर है। मी और अपार्टमेंट के पूरे क्षेत्र का 13/36 है। दूसरे कमरे का क्षेत्रफल 8 1/8 वर्ग मीटर है। मी तीसरे के क्षेत्र से अधिक है। दूसरे कमरे का क्षेत्रफल कितना है?

2) पहले दिन तीन दिवसीय प्रतियोगिता के दौरान साइकिल चालक ने 3 1/4 घंटे की यात्रा की, जो कुल यात्रा समय का 13/43 था। दूसरे दिन उसने तीसरे दिन से 1 1/2 घंटे अधिक सवारी की। प्रतियोगिता के दूसरे दिन साइकिल सवार ने कितने घंटे की यात्रा की?

525. लोहे के तीन टुकड़ों का कुल भार 17 1/4 किग्रा है। यदि पहले टुकड़े का भार 1 1/2 किग्रा और दूसरे का भार 2 1/4 किग्रा कम कर दिया जाए, तो तीनों टुकड़ों का भार समान हो जाएगा। लोहे के प्रत्येक टुकड़े का वजन कितना था?

526. 1) दो संख्याओं का योग 15 1/5 है। यदि पहली संख्या में 3 1/10 की कमी की जाए और दूसरी संख्या में 3 1/10 की वृद्धि की जाए, तो ये संख्याएँ बराबर हो जाएँगी। प्रत्येक संख्या किसके बराबर है?

2) दो बक्सों में 38 1/4 किलो अनाज था। यदि एक पेटी से दूसरे डिब्बे में 4 3/4 किग्रा अनाज डाला जाए तो दोनों पेटियों में बराबर मात्रा में अनाज होगा। प्रत्येक डिब्बे में कितने अनाज हैं?

527 . 1) दो संख्याओं का योग 17 17/30 है। यदि आप पहली संख्या से 5 1/2 घटाते हैं और दूसरी संख्या में जोड़ते हैं, तो पहली संख्या दूसरी संख्या से 2 17/30 अधिक होगी। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

2) दो बक्सों में 24 1/4 किग्रा सेब हैं। यदि 3 1/2 किग्रा को पहले डिब्बे से दूसरे डिब्बे में स्थानांतरित किया जाता है, तो पहले डिब्बे में अभी भी दूसरे डिब्बे से 3/5 किग्रा अधिक सेब होंगे। प्रत्येक डिब्बे में कितने किलोग्राम सेब हैं?

528 *। 1) दो संख्याओं का योग 8 11/14 है, और उनका अंतर 2 3/7 है। इन नंबरों को खोजें।

2) नाव नदी के किनारे 15 1/2 किमी प्रति घंटे की गति से चल रही थी, और वर्तमान 8 1/4 किमी प्रति घंटे की गति के विपरीत। नदी की गति क्या है?

529. 1) दो गैरेज में 110 कारें हैं, और उनमें से एक में दूसरे की तुलना में 1 1/5 गुना अधिक है। प्रत्येक गैरेज में कितनी कारें हैं?

2) दो कमरों वाले एक अपार्टमेंट का रहने का क्षेत्र 47 1/2 वर्ग मीटर है। मी. एक कमरे का क्षेत्रफल दूसरे के क्षेत्रफल का 8/11 है। प्रत्येक कमरे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

530. 1) ताँबे और चाँदी से बनी मिश्रधातु का भार 330 ग्राम है। इस मिश्रधातु में ताँबे का भार चाँदी के भार का 5/28 है। मिश्रधातु में कितनी चाँदी और कितना ताँबा है?

2) दो संख्याओं का योग 6 3/4 है, और भागफल 3 1/2 है। इन नंबरों को खोजें।

531. तीन संख्याओं का योग 22 1/2 है। दूसरी संख्या 3 1/2 गुना है और तीसरी पहली संख्या का 2 1/4 गुना है। इन नंबरों को खोजें।

532. 1) दो संख्याओं का अंतर 7 है; बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करने का भागफल 5 2/3 है। इन नंबरों को खोजें।

2) दो संख्याओं का अंतर 29 3/8 है, और उनका गुणन अनुपात 8 5/6 है। इन नंबरों को खोजें।

533. एक कक्षा में अनुपस्थित छात्रों की संख्या उपस्थित छात्रों की संख्या का 3/13 है। सूची के अनुसार कक्षा में कितने छात्र हैं, यदि अनुपस्थित की तुलना में 20 अधिक लोग उपस्थित हैं?

534. 1) दो संख्याओं का अंतर 3 1/5 है। एक संख्या दूसरी संख्या का 5/7 है। इन नंबरों को खोजें।

2) पिता पुत्र से 24 वर्ष बड़ा है। पुत्र के वर्षों की संख्या पिता के वर्षों की संख्या का 5/13 है। पिता की उम्र कितनी है और बेटे की उम्र कितनी है?

535. एक भिन्न का हर उसके अंश से 11 अधिक है। एक भिन्न के बराबर क्या है यदि इसका हर अंश के 3 3/4 गुना है?

संख्या 536 - 537 मौखिक रूप से।

536. 1) पहली संख्या दूसरी का 1/2 है। दूसरी संख्या पहली से कितनी गुना बड़ी है?

2) पहली संख्या दूसरी का 3/2 है। पहली संख्या का कौन सा भाग दूसरी संख्या है?

537. 1) पहली संख्या का 1/2 दूसरी संख्या के 1/3 के बराबर है। पहली संख्या का कौन सा भाग दूसरी संख्या है?

2) पहली संख्या का 2/3 दूसरी संख्या के 3/4 के बराबर है। पहली संख्या का कौन सा भाग दूसरी संख्या है? दूसरी संख्या का कौन सा भाग पहली है?

538. 1) दो संख्याओं का योग 16 है। इन संख्याओं को ज्ञात करें यदि दूसरी संख्या का 1/3 पहले के 1/5 के बराबर है।

2) दो संख्याओं का योग 38 है। इन संख्याओं को ज्ञात कीजिए यदि पहली संख्या का 2/3 दूसरी संख्या के 3/5 के बराबर है।

539 *। 1) दो लड़कों ने मिलकर 100 मशरूम चुने। मशरूम की 3/8 संख्या, पहले एकत्र कियालड़का, संख्यात्मक रूप से दूसरे लड़के द्वारा एकत्र किए गए मशरूम की संख्या के 1/4 के बराबर। प्रत्येक लड़के ने कितने मशरूम एकत्र किए?

2) संस्था में 27 लोग कार्यरत हैं। कितने पुरुष और कितनी महिलाएं काम करती हैं यदि सभी पुरुषों का 2/5 सभी महिलाओं के 3/5 के बराबर है?

540 *। तीन लड़कों ने वॉलीबॉल खरीदा। प्रत्येक लड़के के योगदान का निर्धारण करें, यह जानते हुए कि पहले लड़के के योगदान का 1/2 दूसरे के योगदान के 1/3 के बराबर है, या तीसरे के योगदान का 1/4 है, और यह कि तीसरे का योगदान लड़का पहले के योगदान से 64 कोपेक अधिक है।

541 *। 1) एक संख्या दूसरी संख्या से 6 बड़ी है। इन संख्याओं को ज्ञात कीजिए यदि एक संख्या का 2/5 दूसरी संख्या के 2/3 के बराबर है।

2) दो संख्याओं का अंतर 35 है। इन संख्याओं को ज्ञात करें यदि पहली संख्या का 1/3 दूसरी संख्या के 3/4 के बराबर है।

542. 1) पहली ब्रिगेड किसी काम को 36 दिनों में और दूसरी 45 दिनों में पूरा कर सकती है। इस कार्य को पूरा करने के लिए दोनों टीमों को एक साथ काम करने में कितने दिन लगेंगे?

2) एक पैसेंजर ट्रेन दो शहरों के बीच की दूरी 10 घंटे में तय करती है और एक मालगाड़ी इस दूरी को 15 घंटे में तय करती है। दोनों ट्रेनें एक ही समय में इन शहरों से एक-दूसरे की ओर रवाना हुईं। वे कितने घंटे में मिलेंगे?

543. 1) एक तेज़ ट्रेन दो शहरों के बीच की दूरी 6 1/4 घंटे में तय करती है, और एक पैसेंजर ट्रेन 7 1/2 घंटे में। ये ट्रेनें कितने घंटे में मिलेंगी यदि वे दोनों शहरों से एक ही समय पर एक दूसरे की ओर प्रस्थान करती हैं? (निकटतम 1 घंटे का गोल उत्तर।)

2) दो मोटरसाइकिल सवार एक ही समय में दो शहरों से एक दूसरे की ओर निकले। एक मोटरसाइकिल सवार इन शहरों के बीच की पूरी दूरी 6 घंटे में और दूसरा 5 घंटे में तय कर सकता है। प्रस्थान के कितने घंटे बाद मोटरसाइकिल सवार मिलेंगे? (निकटतम 1 घंटे का गोल उत्तर।)

544. 1) अलग-अलग वहन क्षमता वाली तीन कारें अलग-अलग काम करते हुए कुछ माल ले जा सकती हैं: पहली 10 घंटे में, दूसरी 12 घंटे में। और तीसरे को 15 घंटे में एक साथ काम करके समान माल को कितने घंटे में ले जा सकते हैं?

2) दो ट्रेनें एक ही समय में दो स्टेशनों से एक-दूसरे की ओर निकलती हैं: पहली ट्रेन इन स्टेशनों के बीच की दूरी को 12 1/2 घंटे में तय करती है, और दूसरी 18 3/4 घंटे में। ट्रेन छूटने के कितने घंटे बाद मिलेगी?

545. 1) नहाने के लिए दो नल जुड़े हुए हैं। उनमें से एक के माध्यम से स्नान को 12 मिनट में भरा जा सकता है, दूसरे के माध्यम से 1 1/2 गुना तेजी से। यदि दोनों नलों को एक साथ खोल दिया जाए तो कुल स्नान का 5/6 भाग कितने मिनट में भर जाएगा?

2) दो टाइपिस्टों को पांडुलिपि को दोबारा टाइप करना होगा। पहली महिला यह काम 3 1/3 दिनों में कर सकती है, और दूसरी 1 1/2 गुना तेजी से। यदि दोनों टाइपिस्ट एक ही समय पर काम करते हैं तो कितने दिनों में दोनों टाइपिस्ट उस काम को पूरा कर लेंगे?

546. 1) पूल 5 घंटे में पहले पाइप से भर जाता है, और दूसरे पाइप के माध्यम से इसे 6 घंटे में खाली किया जा सकता है, यदि दोनों पाइप एक ही समय में खोले जाते हैं तो पूरा पूल कितने घंटे बाद भर जाएगा?

निर्देश। एक घंटे में, पूल भर जाता है (इसकी क्षमता का 1/5 - 1/6)।

2) दो ट्रैक्टरों ने 6 घंटे में खेत की जुताई की। पहला ट्रैक्टर अकेले कार्य करते हुए इस खेत को 15 घंटे में जोत सकता है, दूसरा ट्रैक्टर अकेले कार्य करते हुए इस खेत को जोतने में कितने घंटे का समय लेगा?

547 *। दो ट्रेनें दो स्टेशनों से एक ही समय पर एक दूसरे की ओर चलती हैं और 18 घंटे बाद मिलती हैं। इसके रिलीज होने के बाद। दूसरी ट्रेन स्टेशनों के बीच की दूरी तय करने में कितना समय लेती है यदि पहली ट्रेन 1 दिन और 21 घंटे में इतनी दूरी तय करती है?

548 *। पूल दो पाइपों से भरा हुआ है। पहले, पहला पाइप खोला गया, और फिर 3 3/4 घंटे के बाद, जब आधा पूल भर गया, तो दूसरा पाइप खोला गया। 2 1/2 घंटे के बाद संयुक्त कार्यपूल भरा हुआ था। यदि दूसरे पाइप से प्रति घंटे 200 बाल्टी पानी डाला जाता है तो पूल की क्षमता निर्धारित करें।

549. 1) एक कूरियर ट्रेन लेनिनग्राद से मास्को के लिए रवाना हुई, जो 3/4 मिनट में 1 किमी की यात्रा करती है। इस ट्रेन के जाने के 1/2 घंटे बाद, एक तेज़ ट्रेन मास्को से लेनिनग्राद के लिए रवाना हुई, जिसकी गति कूरियर की गति के 3/4 के बराबर थी। यदि मॉस्को और लेनिनग्राद के बीच की दूरी 650 किमी है, तो कूरियर ट्रेन के प्रस्थान के 2 1/2 घंटे बाद ट्रेनें एक दूसरे से कितनी दूर होंगी?

2) सामूहिक खेत से शहर तक 24 कि.मी. एक ट्रक सामूहिक खेत छोड़ देता है और 2 1/2 मिनट में 1 किमी की यात्रा करता है। 15 मिनट के बाद। इस कार के शहर से चले जाने के बाद, एक साइकिल चालक सामूहिक खेत से आधी गति से चला गया ट्रक. जाने के बाद साइकिल सवार को ट्रक से मिलने में कितना समय लगेगा?

550. 1) एक गाँव से एक पदयात्री निकला। पैदल यात्री के जाने के 4 1/2 घंटे बाद, एक साइकिल सवार उसी दिशा में निकलता है, जिसकी गति पैदल यात्री की गति की 2 1/2 गुना है। पैदल चलने वाले के जाने के कितने घंटे बाद, साइकिल सवार उससे आगे निकल जाएगा?

2) एक तेज़ ट्रेन 3 घंटे में 187 1/2 किमी और 6 घंटे में एक मालगाड़ी 288 किमी की यात्रा करती है। मालगाड़ी के प्रस्थान के 7 1/4 घंटे बाद, एक एंबुलेंस उसी दिशा में निकलती है। फास्ट ट्रेन को मालगाड़ी से आगे निकलने में कितना समय लगेगा?

551. 1) दो सामूहिक खेतों से, जिसके माध्यम से जिला केंद्र की सड़क गुजरती है, दो सामूहिक किसान एक साथ घोड़े पर जिले के लिए रवाना हुए। उनमें से पहले ने 8 3/4 किमी प्रति घंटे की यात्रा की, और दूसरे ने पहले की 1 1/7 बार यात्रा की। दूसरे सामूहिक किसान ने 3 4/5 घंटे में पहले को पीछे छोड़ दिया। सामूहिक खेतों के बीच की दूरी निर्धारित करें।

2) 26 1/3 घंटे मास्को-व्लादिवोस्तोक ट्रेन के प्रस्थान के बाद, जिसकी औसत गति 60 किमी प्रति घंटा है, टीयू-104 विमान ने उसी दिशा में उड़ान भरी, 14 1/6 गुना गति से ट्रेन का। उड़ान के कितने घंटे बाद विमान ट्रेन को ओवरटेक करेगा?

552. 1) नदी के किनारे बसे शहरों के बीच की दूरी 264 किमी है। इस दूरी को स्टीमर ने 18 घंटे में नीचे की ओर तय किया, इस समय का 1/12 स्टॉप पर खर्च किया। नदी की गति 1 1/2 किमी प्रति घंटा है। एक स्टीमर स्थिर जल में बिना रुके 87 किमी की यात्रा करने में कितना समय लेगा?

2) मोटरबोट ने 13 1/2 घंटे में धारा के अनुकूल 207 किमी की यात्रा की, उस समय का 1/9 स्टॉप पर खर्च किया। नदी की गति 1 3/4 किमी प्रति घंटा है। यह नाव शांत जल में 2 1/2 घंटे में कितने मील चल सकती है?

553. जलाशय पर नाव ने बिना रुके 52 किमी की दूरी 3 घंटे 15 मिनट में तय की। इसके अलावा, धारा के विपरीत नदी के साथ चलते हुए, जिसकी गति 1 3/4 किमी प्रति घंटा है, इस नाव ने 2 1/4 घंटे में 28 1/2 किमी की यात्रा की, इस प्रक्रिया में 3 बराबर स्टॉप बनाए। प्रत्येक पड़ाव पर नाव कितने मिनट रुकी?

554. दोपहर 12 बजे लेनिनग्राद से क्रोनस्टेड तक। अगले दिन एक स्टीमबोट रवाना हुई और इन शहरों के बीच की पूरी दूरी को 1 1/2 घंटे में तय किया। रास्ते में, उन्हें एक और स्टीमर मिला, जो 12:18 बजे क्रोनस्टेड से लेनिनग्राद के लिए रवाना हुआ। और पहले की तुलना में 1 1/4 गुना अधिक गति से चल रहा है। दोनों जहाज किस समय मिले थे?

555. ट्रेन को 14 घंटे में 630 किमी की दूरी तय करनी थी। इस दूरी का 2/3 भाग तय करने के बाद, वह 1 घंटे 10 मिनट के लिए विलंबित हो गया। बिना देर किए अपने गंतव्य पर पहुंचने के लिए उसे किस गति से अपनी यात्रा जारी रखनी चाहिए?

556. शाम 4 बजकर 20 मि. सुबह एक मालगाड़ी कीव से ओडेसा के लिए रवाना हुई औसत गति 31 1/5 किमी प्रति घंटा। कुछ समय बाद, एक मेल ट्रेन ओडेसा से मिलने के लिए रवाना हुई, जिसकी गति मालगाड़ी की गति की 1 17/39 गुना है, और प्रस्थान के 6 1/2 घंटे बाद मालगाड़ी से मिलती है। यदि कीव और ओडेसा के बीच की दूरी 663 किमी है, तो डाक ट्रेन ओडेसा से किस समय रवाना हुई थी?

557 *। घड़ी दोपहर दिखाती है। घंटे और मिनट की सुईयों को संपाती होने में कितना समय लगता है?

558. 1) कारखाने में तीन कार्यशालाएँ हैं। पहली वर्कशॉप में श्रमिकों की संख्या प्लांट के सभी श्रमिकों की संख्या का 9/20 है, दूसरी वर्कशॉप में पहली वर्कशॉप की तुलना में 1 1/2 गुना कम श्रमिक हैं, और तीसरी वर्कशॉप में 300 वर्कर्स कम हैं दूसरा। कारखाने में कितने कर्मचारी हैं?

2) शहर में तीन माध्यमिक विद्यालय हैं। पहले स्कूल में छात्रों की संख्या इन तीन स्कूलों के सभी छात्रों की संख्या का 3/10 है; दूसरे स्कूल में पहले की तुलना में 1 1/2 गुना अधिक छात्र हैं, और तीसरे स्कूल में दूसरे की तुलना में 420 छात्र कम हैं। तीन स्कूलों में कितने छात्र हैं?

559. 1) दो कंबाइन ऑपरेटर एक ही साइट पर काम करते थे। एक कंबाइनर द्वारा पूरे क्षेत्र के 9/16 और उसी क्षेत्र के दूसरे 3/8 की कटाई के बाद, यह पता चला कि पहले कंबाइनर ने दूसरे की तुलना में 97 1/2 हेक्टेयर अधिक काटा। प्रत्येक हेक्टेयर से औसतन 32 1/2 सेंटीमीटर अनाज की थ्रेशिंग की गई। प्रत्येक ने कितने क्विंटल अनाज की कूटाई की?

2) दो भाइयों ने एक कैमरा खरीदा। एक के पास 5/8 था, और दूसरे के पास कैमरे की लागत का 4/7 था, और पहले के पास 2 रूबल थे। 25 कोप। दूसरे से अधिक। प्रत्येक ने उपकरण की आधी लागत का भुगतान किया। प्रत्येक के पास कितना पैसा है?

560. 1) शहर A से शहर B तक, उनके बीच की दूरी 215 किमी है, एक कार 50 किमी प्रति घंटे की गति से चलती है। उसी समय, एक ट्रक शहर B से शहर A के लिए रवाना हुआ। यदि ट्रक की प्रति घंटे की गति कार की गति की 18/25 थी, तो ट्रक से मिलने से पहले कार ने कितने किलोमीटर की यात्रा की थी?

2) शहरों A और B के बीच 210 कि.मी. एक कार शहर A से शहर B के लिए रवाना होती है। उसी समय, एक ट्रक शहर B से शहर A के लिए रवाना हुआ। यदि कार 48 किमी प्रति घंटा की गति से चल रही थी और ट्रक की प्रति घंटे की गति कार की गति की 3/4 थी, तो कार से मिलने से पहले ट्रक ने कितने किलोमीटर की यात्रा की थी?

561. सामूहिक खेत ने गेहूं और राई की कटाई की। राई से 20 हेक्टेयर अधिक गेहूं बोया गया था। राई की कुल फसल गेहूं और राई दोनों के लिए प्रति हेक्टेयर 20 सेंटर्स की उपज के साथ गेहूं की कुल फसल का 5/6 थी। सामूहिक खेत ने गेहूं और राई की पूरी फसल का 7/11 हिस्सा राज्य को बेच दिया, और बाकी अनाज को अपनी जरूरतों को पूरा करने के लिए छोड़ दिया। राज्य को बेचे जाने वाले अनाज को बाहर ले जाने के लिए दो टन के ट्रकों को कितनी यात्राएँ करनी पड़ीं?

562. बेकरी में राई और गेहूँ का आटा लाया गया। गेहूं के आटे का वजन राई के आटे के वजन का 3/5 था, और राई के आटे को गेहूं से 4 टन अधिक लाया गया था। कितना गेहूं और कितना राई की रोटीइस आटे से बेकरी द्वारा बेक किया जाएगा, अगर बेक किया हुआ माल पूरे आटे का 2/5 है?

563. तीन दिनों के भीतर, दो सामूहिक खेतों के बीच राजमार्ग की मरम्मत के लिए श्रमिकों की एक टीम ने पूरे काम का 3/4 पूरा किया। पहले दिन, इस राजमार्ग के 2 2/5 किमी की मरम्मत की गई, दूसरे दिन पहले की तुलना में 1 1/2 गुना अधिक, और तीसरे दिन पहले दो दिनों में एक साथ मरम्मत की गई 5/8 किमी की मरम्मत की गई। सामूहिक खेतों के बीच राजमार्ग की लंबाई ज्ञात कीजिए।

564. तालिका में रिक्त स्थान भरें, जहाँ S आयत का क्षेत्रफल है, ए- आयत का आधार, ए एचआयत की ऊँचाई (चौड़ाई)।

565. 1) भूमि के एक आयताकार प्लॉट की लंबाई 120 मीटर है, और प्लॉट की चौड़ाई इसकी लंबाई का 2/5 है। भूखंड का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

2) आयताकार खंड की चौड़ाई 250 मीटर है, और इसकी लंबाई चौड़ाई का 1 1/2 गुना है। भूखंड का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

566. 1) एक आयत का परिमाप 6 1/2 dm है, इसका आधार ऊंचाई से 1/4 dm अधिक है। इस आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

2) एक आयत का परिमाप 18 सेमी है, इसकी ऊँचाई आधार से 2 1/2 सेमी कम है। आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

567. चित्र 30 में दिखाए गए आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना करें, उन्हें आयतों में विभाजित करें और माप कर आयत के आयामों का पता लगाएं।

568. 1) एक कमरे की छत जिसकी लंबाई 4 1/2 मीटर है और चौड़ाई 4 मीटर है, यदि प्लास्टर शीट का आयाम 2 मीटर x l 1/2 मीटर है, तो सूखे प्लास्टर की कितनी शीटों की आवश्यकता होगी?

2) 4 1/2 मीटर लंबा और 3 1/2 मीटर चौड़ा फर्श लगाने के लिए 4 1/2 एल लंबा और 1/4 मीटर चौड़ा कितने बोर्ड की आवश्यकता होगी?

569. 1) एक 560 मीटर लंबा और उसकी लंबाई का 3/4 चौड़ा एक आयताकार भूखंड फलियों के साथ बोया गया था। यदि 1 सेन्टर प्रति 1 हेक्टर बोया जाता है तो प्लॉट को बोने के लिए कितने बीजों की आवश्यकता होती है?

2) एक आयताकार खेत से 25 सेंटीमीटर प्रति 1 हेक्टेयर की दर से गेहूं की फसल काटी गई। यदि खेत 800 मीटर लंबा और उसकी लंबाई का 3/8 चौड़ा है तो पूरे खेत से कितना गेहूँ काटा गया?

570 . 1) भूमि का एक आयताकार भूखंड, जिसकी लंबाई 78 3/4 मीटर और चौड़ाई 56 4/5 मीटर है, का निर्माण किया जाता है ताकि इसके 4/5 क्षेत्र पर इमारतों का कब्जा हो। भवनों के नीचे भूमि का क्षेत्र निर्धारित करें।

2) भूमि के एक आयताकार भूखंड पर, जिसकी लंबाई 9/20 किमी है, और चौड़ाई इसकी लंबाई की 4/9 है, सामूहिक खेत में एक बगीचा लगाने का प्रस्ताव है। यदि प्रत्येक वृक्ष के लिए औसतन 36 वर्ग मीटर क्षेत्रफल की आवश्यकता हो तो इस उद्यान में कितने वृक्ष लगाये जायेंगे?

571. 1) कमरे के सामान्य दिन के उजाले के लिए, यह आवश्यक है कि सभी खिड़कियों का क्षेत्रफल फर्श क्षेत्र का कम से कम 1/5 हो। निर्धारित करें कि 5 1/2 मीटर लंबे और 4 मीटर चौड़े कमरे में पर्याप्त रोशनी है या नहीं। क्या कमरे में 1 1/2 मीटर x 2 मीटर की एक खिड़की है?

2) पिछली समस्या की स्थिति का उपयोग करके पता करें कि आपकी कक्षा में पर्याप्त रोशनी है या नहीं।

572. 1) खलिहान का माप 5 1/2 m x 4 1/2 m x 2 1/2 m है। मीटर घास का वजन 82 किलो है?

2) कठफोड़वा का आकार एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का होता है, जिसके आयाम 2 1/2 m x 3 1/2 m x 1 1/2 m होते हैं। कठघरे का वजन क्या होगा यदि 1 cu. मीटर जलाऊ लकड़ी का वजन 600 किलो है?

573. 1) एक आयताकार जलजीवशाला में 3/5 ऊँचाई तक जल भरा है। एक्वेरियम की लंबाई 1 1/2 मीटर, चौड़ाई 4/5 मीटर, ऊंचाई 3/4 मीटर है। एक्वेरियम में कितने लीटर पानी डाला जाता है?

2) एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के आकार वाले पूल की लंबाई 6 1/2 मीटर, चौड़ाई 4 मीटर और ऊंचाई 2 मीटर है। पूल अपनी ऊंचाई के 3/4 तक पानी से भरा है। पूल में डाले गए पानी की मात्रा की गणना करें।

574. 75 मीटर लंबे और 45 मीटर चौड़े एक आयताकार जमीन के चारों ओर एक बाड़ बनाई जानी है। यदि बोर्ड की मोटाई 2 1/2 सेमी है, और बाड़ की ऊंचाई 2 1/4 मीटर होनी चाहिए, तो उसके उपकरण में कितने घन मीटर बोर्ड जाने चाहिए?

575. 1) मिनट का कोण क्या है और घड़ी में घंटे की सूई 13 बजे? 15 बजे? 17 बजे? 21 बजे? 23:30 बजे?

2) घंटे की सुई 2 घंटे में कितने डिग्री घूमेगी? पांच बजे? आठ बजे? 30 मिनट।?

3) आधे वृत्त के बराबर एक चाप कितने डिग्री का होता है? 1/4 चक्र? 1/24 सर्कल? 5/24 मंडल?

576. 1) चाँदे से आरेखित करें: a) एक समकोण; बी) 30 डिग्री का कोण; ग) 60° का कोण; d) 150° का कोण; ई) 55 डिग्री का कोण।

2) एक चाँदे से आकृति के कोणों को मापें और प्रत्येक आकृति के सभी कोणों का योग ज्ञात करें (चित्र 31)।

577. क्रियाएँ चलाएँ:

578. 1) एक अर्धवृत्त को दो चापों में विभाजित किया जाता है, जिनमें से एक दूसरे से 100° बड़ा होता है। प्रत्येक चाप का परिमाण ज्ञात कीजिए।

2) एक अर्धवृत्त को दो चापों में विभाजित किया जाता है, जिनमें से एक दूसरे से 15° कम है। प्रत्येक चाप का परिमाण ज्ञात कीजिए।

3) अर्धवृत्त को दो चापों में बांटा गया है, जिनमें से एक दूसरे का दोगुना है। प्रत्येक चाप का परिमाण ज्ञात कीजिए।

4) अर्धवृत्त को दो चापों में विभाजित किया गया है, जिनमें से एक दूसरे से 5 गुना छोटा है। प्रत्येक चाप का परिमाण ज्ञात कीजिए।

579. 1) चार्ट "यूएसएसआर में जनसंख्या की साक्षरता" (चित्र 32) जनसंख्या के प्रति सौ लोगों की साक्षर संख्या को दर्शाता है। दिए गए प्रत्येक वर्ष के लिए आरेख और उसके पैमाने के अनुसार साक्षर पुरुषों और महिलाओं की संख्या निर्धारित करें।

तालिका में परिणाम रिकॉर्ड करें:

2) आरेख "अंतरिक्ष में सोवियत दूत" (चित्र 33) के डेटा का उपयोग करते हुए, कार्य करें।

580. 1) सेक्टर आरेख के अनुसार "ग्रेड वी के छात्र के लिए दैनिक दिनचर्या" (चित्र 34), तालिका भरें और प्रश्नों का उत्तर दें: दिन का कौन सा हिस्सा सोने के लिए समर्पित है? गृहकार्य के लिए? स्कूल को?

2) अपने दिन के मोड के बारे में एक पाई चार्ट बनाएं।

अंश विस्तार। अंश में कमी। अंश तुलना।
एक आम भाजक में कमी। अंशों का जोड़ और घटाव।
अंशों का गुणन। अंशों का विभाजन।
अंश विस्तार। किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा करने पर उसका मान नहीं बदलता है। इस परिवर्तन को अंश विस्तार कहा जाता है। उदाहरण के लिए,

अंश में कमी। किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से विभाजित करने पर उसका मान नहीं बदलता है। इस परिवर्तन को अंश में कमी कहा जाता है। उदाहरण के लिए,

अंश तुलना। दो अंशों से समान अंकबड़ा जिसका भाजक छोटा है:

समान हर वाली दो भिन्नों में से, बड़े अंश वाली भिन्न बड़ी होती है:

अलग-अलग अंश और हर वाले अंशों की तुलना करने के लिए, आपको उन्हें एक सामान्य भाजक में लाने के लिए उनका विस्तार करना होगा।
उदाहरण दो अंशों की तुलना करें:

यहाँ उपयोग किए गए परिवर्तन को अंशों को एक आम भाजक में कम करना कहा जाता है।
अंशों का जोड़ और घटाव। यदि भिन्नों के हर समान हैं, तो भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और भिन्नों को घटाने के लिए, आपको उनके अंशों को घटाना होगा (उसी क्रम में)। परिणामी योग या अंतर परिणाम का अंश होगा; भाजक वही रहेगा। यदि अंशों के हर अलग-अलग हैं, तो आपको पहले अंशों को एक सामान्य भाजक में कम करना होगा। मिश्रित संख्याओं को जोड़ते समय उनके पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग जोड़ा जाता है। मिश्रित संख्याओं को घटाते समय, हम अनुशंसा करते हैं कि आप पहले उन्हें अनुचित भिन्नों के रूप में परिवर्तित करें, फिर एक दूसरे से घटाएँ, और यदि आवश्यक हो, तो फिर परिणाम को मिश्रित संख्या के रूप में घटाएँ।
उदाहरण

अंशों का गुणन। किसी संख्या को भिन्न से गुणा करने का अर्थ है अंश से गुणा करना और गुणनफल को हर से भाग देना। इसलिए हमारे पास है सामान्य नियमभिन्नों का गुणन: भिन्नों का गुणा करने के लिए, आपको उनके अंशों और हरों को अलग-अलग गुणा करना होगा और पहले गुणनफल को दूसरे गुणनफल से विभाजित करना होगा।
उदाहरण

अंशों का विभाजन। किसी संख्या को एक अंश से विभाजित करने के लिए, आपको उस संख्या को उसके व्युत्क्रम से गुणा करना होगा। यह नियम विभाजन की परिभाषा से आता है (अनुभाग "अंकगणितीय संक्रियाएं" देखें)।
उदाहरण

महान रूसी आलोचक वी. जी. बेलिन्स्की ने कहा कि कविता का कार्य "जीवन के गद्य से जीवन की कविता निकालना और जीवन की सच्ची छवि के साथ आत्माओं को झकझोरना है।" यह वास्तव में ऐसा लेखक है, एक लेखक जो कभी-कभी दुनिया में मानव अस्तित्व की सबसे महत्वहीन तस्वीरों की छवि के साथ आत्मा को हिलाता है, वह एन.वी. गोगोल है। मेरी राय में, रूसी समाज के लिए गोगोल की सबसे बड़ी सेवा।

यह लेख सौर अवलोकन के प्रति उत्साही लोगों के बीच सबसे आम टेलीस्कोप के बारे में विषम जानकारी को एक साथ लाने का एक प्रयास है। एक डिग्री या किसी अन्य के लिए, यह रूसी और विदेशी खगोलीय इंटरनेट मंचों पर एकत्र किया गया है, और नीचे दी गई सभी तस्वीरें भी इंटरनेट पर एकत्र की गई हैं। तकनीकी निर्देश, डिजाइन सुविधाएँ, संभव।

दशमलव संख्या प्रणाली दशमलव संख्या प्रणाली आधार 10 में स्थितीय संख्या प्रणाली है। दुनिया में सबसे आम संख्या प्रणाली है। संख्याओं को लिखने के लिए सर्वाधिक प्रयुक्त होने वाले चिन्ह 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 कहलाते हैं। अरबी अंक. बेस 10 को किसी व्यक्ति की उंगलियों की संख्या से संबंधित माना जाता है। .

अंक शास्त्र। ग्रेड 1 - 4 इस खंड में आप जोड़, घटाव, गुणा और भाग जैसी अवधारणाओं और शब्दों से परिचित होंगे। आप गणितीय संक्रियाओं और उनके प्रदर्शन के क्रम, गणितीय परियों की कहानियों और बहुत कुछ से भी परिचित होंगे। .

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साधारण भिन्नों को जोड़ना इस प्रकार किया जाता है:

a) यदि भिन्नों के हर समान हैं, तो दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश में जोड़ दिया जाता है और समान हर को छोड़ दिया जाता है, अर्थात

बी) यदि अंशों के भाजक अलग-अलग हैं, तो अंशों को पहले एक सामान्य भाजक में घटाया जाता है, अधिमानतः सबसे छोटा, और फिर नियम ए) लागू किया जाता है।

उदाहरण 1. भिन्न और समाधान जोड़ें। अपने पास:

साधारण अंशों का घटाव निम्नानुसार किया जाता है:

a) यदि भिन्नों के हर समान हैं, तब

बी) यदि भाजक अलग हैं, तो पहले अंशों को एक सामान्य भाजक में घटाया जाता है, और फिर नियम ए) लागू किया जाता है।

साधारण अंशों का गुणन इस प्रकार किया जाता है:

अर्थात्, वे अंशों को अलग-अलग, हरों को अलग-अलग गुणा करते हैं, पहले उत्पाद को अंश बनाया जाता है, दूसरे को भाजक।

उदाहरण के लिए,

साधारण अंशों का विभाजन निम्नानुसार किया जाता है:

यानी लाभांश को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है

उदाहरण के लिए, ।

उदाहरण 2. एक अंकीय व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

समाधान। 1) अंश और हर को 3 से घटाकर (यह अंश और हर में गुणन संक्रियाओं को करने से पहले ऐसा करना उपयोगी होता है), हम प्राप्त करते हैं अर्थात।

3) व्यंजक का मान ज्ञात करते समय, जोड़ने और घटाने की क्रियाओं को एक साथ किया जा सकता है। संख्या 15, 20, 30 का लघुत्तम समापवर्तक संख्या 60 है। आइए, अतिरिक्त कारकों का उपयोग करते हुए, तीनों भिन्नों को भाजक 60 पर लाएँ: पहले भिन्न 4 के लिए, दूसरे के लिए - 3, तीसरे के लिए - 2. हम पाना:

उदाहरण 3. क्रियाएँ करें: a)

समाधान, ए) पहला तरीका। आइए इनमें से प्रत्येक मिश्रित संख्या को एक अनुचित अंश में बदल दें, और फिर जोड़ दें:

आइए अनुचित अंश को मिश्रित संख्या में बदल दें:

दूसरा तरीका। अपने पास

बी) मिश्रित संख्याओं के गुणन और विभाजन के मामले में, वे हमेशा अनुचित अंशों में जाते हैं:

तो 7 बजे

सामान्य अंशों के साथ संचालन

खंड:अंक शास्त्र

1) विषय पर छात्रों के ज्ञान का नियंत्रण और व्यवस्थितकरण;

2) कम्प्यूटेशनल कौशल, तर्क, गणितीय सतर्कता विकसित करना;

3) स्वतंत्रता, विषय में रुचि, शैक्षिक कार्यों के प्रति ईमानदार रवैया अपनाने के लिए।

उपकरण:कंप्यूटर क्लास, पीसी - 9 पीसी।

1) छात्र-केंद्रित शिक्षा;

2) स्तर भेदभाव;

3) गेमिंग तकनीक;

2. पाठ के लक्ष्य का विवरण।

आज, परीक्षण की पूर्व संध्या पर, हमें अपने विश्लेषण करने का अवसर मिलेगा शिक्षण गतिविधियांऔर इलेक्ट्रॉनिक सिमुलेटर पर साधारण अंशों के साथ सभी क्रियाओं को करने के कम्प्यूटेशनल कौशल का काम करते हैं।

छात्र विशेष रूप से तैयार शीट पर कार्य की संख्या और नाम लिखते हैं।

3. बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना

व्यक्तिगत कार्य में भर्ती होने के लिए, आपको मौखिक रूप से प्रश्नों का उत्तर देना होगा (सभी के पास टेबल पर ए.पी. एर्शोव, वी.वी. गोलोबोरोडको "मौखिक गणित" की उपदेशात्मक सामग्री है):

1. भिन्न के मुख्य गुण का निरूपण कीजिए।

2. दो भिन्नों का लघुतम समापवर्तक ज्ञात करने का नियम।

3. जोड़ो

4. किन संख्याओं को परस्पर प्रतिलोम कहा जाता है?

5. भिन्न को भिन्न में कैसे विभाजित करें?

छात्र सामान्य अंशों के साथ क्रिया करने के नियमों को सामने से दोहराते हैं और टिप्पणी के साथ कार्य पूरा करते हैं।

4. पाठ के चरणों को पूरा करने के लिए निर्देश

आज आपके पास 3 श्रेणियों में स्वयं को परखने का अवसर है: कंप्यूटर वैज्ञानिक, गणितज्ञ और विश्लेषक। छात्रों को 3 समूहों में विभाजित किया जाता है और उन्हें आत्म-विश्लेषण कार्ड (परिशिष्ट 1) प्राप्त होता है, जिसके अनुसार वे सभी चरणों से गुजरते हैं। (शिक्षक तीनों चरणों के ग्रेड तय करता है और टीम कार्ड परिशिष्ट 2 में अंकगणितीय माध्य सेट करता है)

कंप्यूटर पर, ग्रेड शीट पर, सुधार कार्ड या क्रिएटिव असाइनमेंट पर

5. प्रथम चरणइलेक्ट्रॉनिक सिमुलेटर (परिशिष्ट 3) - कंप्यूटर विज्ञान

सबसे पहले, इस स्तर पर आपकी सफलता इस बात पर निर्भर करती है कि आप बैथलॉन गेम के नियमों का कितनी सावधानी से पालन करते हैं।

प्रशिक्षण में तीन चरण होते हैं, जो कार्यों की जटिलता में एक दूसरे से भिन्न होते हैं। प्रत्येक चरण में एक "स्की रेस" और एक "फायरिंग लाइन" शामिल है। "क्रॉस-कंट्री स्कीइंग" मोड में, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि प्रस्तावित कथन सही है या गलत और स्क्रीन पर उपयुक्त बटन पर क्लिक करें।

"फायरिंग लाइन पर" मोड में, आपको दो अंशों के योग, अंतर, उत्पाद या निजी की गणना के लिए चार (चरण 1) या तीन (चरण 2 और 3) कार्यों को पूरा करना होगा। आपका जवाब लक्ष्य पर एक शॉट है। यदि आपका उत्तर एक अलघुकरणीय अंश है, तो आप सटीक निशाने पर हैं।

शिक्षक कंप्यूटर द्वारा दिए गए ग्रेड को रिकॉर्ड करता है। टीम के नक्शे पर।

मौखिक स्वतंत्र कामअध्ययन।

छात्र मौखिक रूप से सवालों के जवाब देते हैं, क्रियाएं करते हैं और कंप्यूटर पर परिणाम रिकॉर्ड करते हैं। और आत्मविश्लेषण मानचित्र में वे अपनी गलतियों को ठीक करते हैं।

(कंप्यूटर पर समूह का प्रत्येक छात्र)

खेल के अंत में, कंप्यूटर छात्र का मूल्यांकन करता है।

6. चरण 2थ्योरी क्रेडिट ( एपी एर्शोवा "मौखिक गणित"):— विश्लेषक

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साधारण अंश। साधारण अंशों पर क्रियाएँ

रेडीमेड ट्रांसपेरेंसी से प्रकाशन के लिए हस्ताक्षरित 12.02.01। प्रारूप 84x108/32। बाल्टिका हेडसेट। कागज़ का प्रकार। नंबर 2। ऑफसेट प्रिंटिंग। रूपा. तंदूर एल 25.1। परिसंचरण 5000 प्रतियां। आदेश संख्या 106।

कर लाभ - उत्पादों का अखिल रूसी वर्गीकरण OK-005-093, खंड 2; 953000 - किताबें, ब्रोशर।

GIPP "Uralsky Rabochiy", 620219, येकातेरिनबर्ग, सेंट में तैयार पारदर्शिता से मुद्रित। तुर्गनेव, 13।

विषय संख्या 1।

अंकगणितीय गणना। दिलचस्पी।

साधारण अंश। साधारण अंशों पर संचालन।

1º। पूर्णांकोंगिनती में उपयोग की जाने वाली संख्याएँ हैं। सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को N द्वारा निरूपित किया जाता है, अर्थात एन =।

गोली मारनाएक संख्या है जिसमें एक के कई अंश होते हैं। सामान्य अंशरूप की संख्या कहलाती है, जहाँ एक प्राकृत संख्या है एनदिखाता है कि एक इकाई कितने बराबर भागों में विभाजित है, और एक प्राकृतिक संख्या एमदिखाता है कि ऐसे कितने बराबर भाग लिए गए हैं। नंबर एमऔर एनक्रमशः कहलाते हैं मीटरऔर भाजकअंश।

यदि अंश हर से छोटा हो तो भिन्न कहलाती है सही; यदि अंश हर के बराबर या उससे बड़ा हो, तो भिन्न कहलाती है गलत. एक संख्या जिसमें एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है, कहलाती है मिश्रित संख्या.

उदाहरण के लिए, - उचित साधारण भिन्न, - अनुचित साधारण भिन्न, 1 - मिश्रित संख्या।

2º। साधारण अंशों पर संचालन करते समय, निम्नलिखित नियमों को याद रखें:

1) एक अंश की मूल संपत्ति. यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही प्राकृत संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो दिए गए भिन्न के बराबर भिन्न प्राप्त होता है।

उदाहरण के लिए, ए); बी) ।

किसी भिन्न के अंश और हर को उनके उभयनिष्ठ भाजक से भाग देना, जो एक से भिन्न हो, कहलाता है अंश में कमी.

2) एक मिश्रित संख्या को एक अनुचित अंश के रूप में दर्शाने के लिए, आपको इसके पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग के हर से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पाद में भिन्नात्मक भाग के अंश को जोड़ना होगा, परिणामी राशि को अंश के अंश के रूप में लिखें। अंश, और भाजक को वही छोड़ दें।

इसी प्रकार, किसी भी प्राकृत संख्या को किसी भी भाजक के साथ अनुचित भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण के लिए, क) , क्योंकि ; ख) आदि

3) मिश्रित संख्या के रूप में एक अनुचित अंश लिखने के लिए (यानी, एक अनुचित अंश से एक पूर्णांक भाग का चयन करें), आपको अंश को भाजक से विभाजित करने की आवश्यकता है, भागफल को पूर्णांक भाग के रूप में लें, शेष को अंश के रूप में लें, भाजक को वही रहने दें।

उदाहरण के लिए, ए), 200 के बाद से: 7 = 28 (शेष 4);
b), चूंकि 20: 5 = 4 (शेष 0)।

4) भिन्नों को निम्नतम सामान्य भाजक में लाने के लिए, आपको इन भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करना होगा (यह उनका लघुत्तम समापवर्तक होगा), इन भिन्नों के हरों से लघुतम समापवर्तक को विभाजित करें ( यानी भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणनखंड ज्ञात करें), प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को उसके अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें।

उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों को निम्नतम सामान्य भाजक में कम करें:

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

साधन, ; ; .

5) नियम अंकगणितीय आपरेशनससाधारण अंशों पर:

a) समान भाजक वाले अंशों का जोड़ और घटाव नियम के अनुसार किया जाता है:

बी) के साथ अंशों को जोड़ना और घटाना विभिन्न भाजकनियम ए के अनुसार किया जाता है), पहले अंशों को कम से कम सामान्य भाजक में घटा दिया।

ग) मिश्रित संख्याओं को जोड़ते और घटाते समय, आप उन्हें रूपांतरित कर सकते हैं अनुचित अंश, और फिर नियमों का पालन करें ए) और बी),

घ) भिन्नों को गुणा करते समय, नियम का उपयोग करें:

ई) एक अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको लाभांश को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा:

f) मिश्रित संख्याओं को गुणा और विभाजित करते समय, उन्हें पहले अनुचित अंशों में परिवर्तित किया जाता है, और फिर नियम d) और e) का उपयोग किया जाता है।

विषय पर "गणित" विषय पर प्रस्तुति: "पाठ के लिए प्रस्तुति" साधारण अंशों के साथ कार्य "गणित के शिक्षक कोल्बिना एवगेनिया विक्टोरोवना द्वारा किया गया।"। मुफ्त में और पंजीकरण के बिना डाउनलोड करें। - प्रतिलेख:

1 पाठ के लिए प्रस्तुति "साधारण अंशों के साथ क्रियाएँ" गणित की शिक्षिका कोल्बिना एवगेनिया विक्टोरोवना द्वारा बनाई गई

पाठ के 2 उद्देश्य। शैक्षिक: साधारण अंशों की तुलना, जोड़, घटाव, गुणा और भाग के नियमों की पुनरावृत्ति; सामान्य अंशों के बारे में ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण, साधारण अंशों के साथ क्रियाओं के कौशल का समेकन और सुधार; मौखिक गिनती कौशल विकसित करना और अधिक हल करते समय नियमों को लागू करने की क्षमता कठिन उदाहरण. विकासशील: शैक्षिक और संज्ञानात्मक गतिविधि के कौशल का विकास; मौखिक संस्कृति का विकास और लिखना; प्राप्त ज्ञान और कौशल के आत्म-नियंत्रण और आत्म-मूल्यांकन के कौशल का विकास। शैक्षिक: ध्यान, गतिविधि, स्वतंत्रता, जिम्मेदारी की शिक्षा।

3 किसके बिना गणितज्ञ, ढोल वादक और शिकारी भी नहीं कर सकते?

4 कौन सा महीना है? क्या मौसम है? आपको सर्दियों के बारे में क्या पसंद है?

5 आज के पाठ में हम एक हिममानव की मूर्ति बनाएंगे, लेकिन बर्फ से नहीं, बल्कि अपने ज्ञान से

6 मूल्यांकन शीट (छात्र का पूरा नाम) "स्नोड्रिफ्ट्स" "1 कॉम" "2 कॉम" "3 कॉम" "विशेषताएं" कुल ग्रेड

7 1. विभिन्न भिन्नों के साथ भिन्नों की तुलना (जोड़ना, घटाना) करने के लिए, आपको: 1) इन भिन्नों को लाना होगा; 2) परिणामी अंशों की तुलना करें (जोड़ें, घटाएं)। 2. मिश्रित संख्याओं को जोड़ने (घटाने) के लिए, आपको चाहिए: 1) भिन्नात्मक भागों को इसमें लाएँ; 2) अलग-अलग भागों और भिन्नात्मक भागों का जोड़ (घटाव) करें। 3. एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए, आपको इसे इस संख्या से गुणा करने की आवश्यकता है, और इसे अपरिवर्तित छोड़ दें। भाजक NOZ (कम से कम सामान्य भाजक) NOZ पूर्णांक अंश भाजक 4. एक अंश को एक भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको गुणनफल और गुणनफल ज्ञात करने की आवश्यकता है। 5. मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको उन्हें भिन्नों के रूप में लिखना होगा और फिर भिन्नों के नियम का उपयोग करना होगा। 6. एक अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको संख्या, भाजक से गुणा करना होगा। प्रत्येक सही नियम के लिए - 1 बिंदु

8 "1 कोम" प्रत्येक सही उत्तर के लिए - 1 अंक

10 I विकल्प 635 (ए) II विकल्प 635 (बी) "2 कॉम" प्रत्येक सही कार्रवाई के लिए - 1 अंक

12 घास छोटी, छोटी है। पेड़ ऊँचे होते हैं। हवा पेड़ों को हिलाती है। यह दाईं ओर झुकता है, फिर बाईं ओर। ऊपर, फिर वापस। वह झुक जाता है। पक्षी दूर उड़ रहे हैं। छात्र अपने डेस्क पर चुपचाप बैठते हैं। Fizminutka

13 समस्या पर्यटक हाइक पर चले गए। पहले दिन वे एक किलोमीटर चले, जो दूसरे दिन की तुलना में अधिक है। और तीसरे दिन वे पहले की तुलना में 2 गुना कम चले। इन तीन दिनों में पर्यटक कितने किलोमीटर पैदल चले? "3 कमरा"

14 1) पता करें कि दूसरे दिन कितने पर्यटकों ने यात्रा की, इसके लिए हम 2 घटाते हैं) तीसरे दिन कितने पर्यटकों ने यात्रा की, इसके लिए हम 2 से विभाजित करते हैं 3) 1 क्रिया का परिणाम और दूसरी क्रिया का परिणाम जोड़ें और पता करो कि उन्होंने इन तीन दिनों में कितनी यात्रा की। उत्तर: समाधान योजना प्रत्येक सही क्रिया के लिए - 1 अंक + 1 अंक सही उत्तर के लिए

16 टेस्ट "गुण" प्रत्येक सही उत्तर के लिए 1 अंक

18 27-30 अंक - "5" अंक - "4" अंक - "3" 0-14 अंक - "2"

19 गृहकार्य: 635 (डी), 643 इस विषय पर एक रिपोर्ट तैयार करें: साधारण अंशों की उत्पत्ति

20 पाठ सारांश मुझे सब कुछ अच्छा लगा! मुश्किल लेकिन दिलचस्प! थका हुआ!

21 महान रूसी लेखक एल.एन. टॉल्स्टॉय का मानना ​​\u200b\u200bथा ​​कि एक व्यक्ति एक अंश की तरह होता है, जिसका भाजक वह होता है जो वह अपने बारे में सोचता है, और अंश वह होता है जो वे उसके बारे में सोचते हैं। मेरी इच्छा है कि आपके जीवन में अंश भाजक से बड़ा हो।

अंशों के साथ क्रियाएँ।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उनके लिए जो "बहुत अधिक ...")

तो, अंश क्या हैं, भिन्न के प्रकार, परिवर्तन - हमने याद किया। आइए मुख्य प्रश्न से निपटें।

आप अंशों के साथ क्या कर सकते हैं?हां, सब कुछ वैसा ही है जैसा साधारण नंबरों के साथ होता है। जोड़ें, घटाएं, गुणा करें, विभाजित करें।

इन सभी क्रियाओं के साथ दशमलवभिन्नों के साथ संक्रियाएँ पूर्णांकों वाले संक्रियाओं से भिन्न नहीं हैं। वास्तव में, वे इसी के लिए अच्छे हैं, दशमलव। केवल एक चीज यह है कि आपको अल्पविराम को सही ढंग से लगाने की आवश्यकता है।

मिश्रित संख्या, जैसा कि मैंने कहा, अधिकांश क्रियाओं के लिए बहुत कम उपयोगी हैं। उन्हें अभी भी साधारण अंशों में परिवर्तित करने की आवश्यकता है।

और यहाँ क्रियाएँ हैं साधारण अंशहोशियार होगा। और भी बहुत कुछ महत्वपूर्ण! मैं तुम्हें याद दिलाना चाहता हूं: अक्षर, ज्या, अज्ञात आदि के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाली सभी क्रियाएं साधारण भिन्न वाली क्रियाओं से अलग नहीं हैं! साधारण भिन्नों के साथ संक्रियाएं सभी बीजगणित का आधार हैं। यही कारण है कि हम यहां इस सारे अंकगणित का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

अंशों का जोड़ और घटाव।

हर कोई एक ही भाजक के साथ अंशों को जोड़ (घटा) सकता है (मुझे वास्तव में आशा है!) ठीक है, मैं आपको याद दिला दूं कि मैं पूरी तरह से भुलक्कड़ हूं: जोड़ते (घटाना) करते समय, भाजक नहीं बदलता है। परिणाम का अंश देने के लिए अंशों को जोड़ा (घटाया) जाता है। प्रकार:

संक्षेप में, सामान्य शब्दों में:

क्या होगा यदि भाजक अलग हैं? फिर, अंश की मुख्य संपत्ति का उपयोग करते हुए (यहाँ यह फिर से काम आया!), हम भाजक को समान बनाते हैं! उदाहरण के लिए:

यहाँ हमें भिन्न 2/5 से भिन्न 4/10 बनाना था। केवल भाजक को समान बनाने के उद्देश्य से। मैं ध्यान देता हूं, केवल मामले में, कि 2/5 और 4/10 हैं समान अंश! केवल 2/5 हमारे लिए असुविधाजनक है, और 4/10 तो कुछ भी नहीं है।

वैसे, यह गणित में किसी भी कार्य को हल करने का सार है। जब हम बाहर हों असुविधाजनकभाव करते हैं वही, लेकिन हल करने के लिए और अधिक सुविधाजनक.

एक और उदाहरण:

स्थिति समान है। यहां हम 16 में से 48 बनाते हैं। सरल गुणन द्वारापर 3. यह सब स्पष्ट है। लेकिन यहाँ हम कुछ इस तरह देखते हैं:

हो कैसे?! सात में से नौ बनाना कठिन है! लेकिन हम होशियार हैं, हम नियम जानते हैं! कायापलट करते हैं प्रत्येकअंश ताकि भाजक समान हों। इसे "एक आम भाजक को कम करना" कहा जाता है:

कैसे! मुझे 63 के बारे में कैसे पता चला? बहुत सरल! 63 एक ऐसी संख्या है जो एक ही समय में 7 और 9 से समान रूप से विभाज्य है। ऐसी संख्या सदैव हरों को गुणा करके प्राप्त की जा सकती है। यदि हम किसी संख्या को 7 से गुणा करते हैं, उदाहरण के लिए, तो परिणाम निश्चित रूप से 7 से विभाजित होगा!

यदि आपको कई भिन्नों को जोड़ने (घटाने) की आवश्यकता है, तो इसे जोड़े में, चरण दर चरण करने की आवश्यकता नहीं है। आपको बस वह भाजक ढूंढना है जो सभी भिन्नों के लिए उभयनिष्ठ हो, और प्रत्येक भिन्न को उसी हर में लाना है। उदाहरण के लिए:

और उभयनिष्ठ भाजक क्या होगा? बेशक आप 2, 4, 8, और 16 का गुणा कर सकते हैं। हमें 1024 मिलता है। दुःस्वप्न। यह अनुमान लगाना आसान है कि संख्या 16 2, 4 और 8 से पूरी तरह से विभाज्य है। इसलिए, इन संख्याओं से 16 प्राप्त करना आसान है। यह संख्या सामान्य भाजक होगी। आइए 1/2 को 8/16 में, 3/4 को 12/16 में, और इसी तरह आगे बदलते हैं।

वैसे, अगर हम 1024 को एक सामान्य भाजक के रूप में लेते हैं, तो सब कुछ काम भी करेगा, अंत में सब कुछ कम हो जाएगा। गणनाओं के कारण केवल हर कोई इस अंत तक नहीं पहुंचेगा ...

उदाहरण को स्वयं हल करें। लघुगणक नहीं... यह 29/16 होना चाहिए।

तो, अंशों के जोड़ (घटाव) से स्पष्ट है, मुझे उम्मीद है? बेशक, अतिरिक्त मल्टीप्लायरों के साथ, संक्षिप्त संस्करण में काम करना आसान है। लेकिन यह आनंद उन लोगों के लिए उपलब्ध है जिन्होंने निचले ग्रेड में ईमानदारी से काम किया है ... और कुछ भी नहीं भूले।

और अब हम समान क्रियाएं करेंगे, लेकिन अंशों के साथ नहीं, बल्कि साथ आंशिक भाव. यहां मिलेंगे नए रेक, जी हां...

इसलिए, हमें दो भिन्नात्मक व्यंजकों को जोड़ने की आवश्यकता है:

हमें भाजक को समान बनाने की आवश्यकता है। और केवल मदद से गुणा! तो अंश की मुख्य संपत्ति कहती है। इसलिए, मैं हर के पहले भिन्न में x में एक नहीं जोड़ सकता। (लेकिन यह अच्छा होगा!)। लेकिन अगर आप हर को गुणा करते हैं, आप देखते हैं, सब कुछ एक साथ बढ़ेगा! इसलिए हम अंश की रेखा लिखते हैं, शीर्ष पर एक खाली जगह छोड़ते हैं, फिर इसे जोड़ते हैं, और हर के गुणनफल को नीचे लिखते हैं, ताकि भूल न जाएं:

और, ज़ाहिर है, हम दाईं ओर कुछ भी गुणा नहीं करते हैं, हम कोष्ठक नहीं खोलते हैं! और अब, दाईं ओर के सामान्य भाजक को देखते हुए, हम सोचते हैं: पहले भिन्न में भाजक x (x + 1) प्राप्त करने के लिए, हमें इस भिन्न के अंश और हर को (x + 1) से गुणा करना होगा। . और दूसरे अंश में - x। आपको यह मिलता है:

टिप्पणी! कोष्ठक यहाँ हैं! यह वह रेक है जिस पर बहुत से लोग कदम रखते हैं। कोष्ठक नहीं, बेशक, लेकिन उनकी अनुपस्थिति। कोष्ठक दिखाई देते हैं क्योंकि हम गुणा करते हैं पूराअंश और पूराभाजक! और उनके अलग-अलग टुकड़े नहीं ...

दाईं ओर के अंश में हम अंशों का योग लिखते हैं, सब कुछ संख्यात्मक अंशों के रूप में है, फिर हम दाईं ओर के अंश में कोष्ठक खोलते हैं, अर्थात। सब कुछ गुणा करें और पसंद करें। आपको भाजक में कोष्ठक खोलने की आवश्यकता नहीं है, आपको कुछ गुणा करने की आवश्यकता नहीं है! सामान्य तौर पर, भाजक (कोई भी) में उत्पाद हमेशा अधिक सुखद होता है! हम पाते हैं:

यहाँ हमें जवाब मिला। प्रक्रिया लंबी और कठिन लगती है, लेकिन यह अभ्यास पर निर्भर करती है। उदाहरण हल करें, इसकी आदत डालें, सब कुछ सरल हो जाएगा। जो लोग आवंटित समय में अंशों में महारत हासिल कर चुके हैं, वे इन सभी कार्यों को एक हाथ से मशीन पर करते हैं!

और एक और नोट। कई प्रसिद्ध रूप से भिन्नों के साथ व्यवहार करते हैं, लेकिन उदाहरणों पर टिके रहते हैं पूरानंबर। टाइप: 2 + 1/2 + 3/4= ? ड्यूस को कहाँ बांधना है? कहीं भी जकड़ने की जरूरत नहीं है, आपको ड्यूस से अंश बनाने की जरूरत है। यह आसान नहीं है, यह बहुत आसान है! 2=2/1। इस कदर। किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। अंश ही संख्या है, भाजक एक है। 7 है 7/1, 3 है 3/1 और इसी तरह। अक्षरों के साथ भी ऐसा ही है। (ए + बी) \u003d (ए + बी) / 1, एक्स \u003d एक्स / 1, आदि। और फिर हम इन अंशों के साथ सभी नियमों के अनुसार काम करते हैं।

खैर, जोड़ - घटाव पर, ज्ञान ताज़ा हो गया। भिन्नों का एक प्रकार से दूसरे प्रकार में रूपांतरण - बार-बार। आप चेक भी कर सकते हैं। क्या हम थोड़ा समझौता करें?)

गणना करें:

उत्तर (विवाद में):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

गुणन / अंशों का विभाजन - अगले पाठ में। भिन्नों वाली सभी क्रियाओं के लिए कार्य भी हैं।

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

यह लेख भिन्नों के साथ संक्रियाओं का एक सामान्य अवलोकन है। यहां हम जोड़, घटाव, गुणा, भाग और सामान्य रूप A/B के भिन्नों की घात के लिए नियम बनाते हैं और उन्हें सही ठहराते हैं, जहां A और B कुछ संख्याएं, संख्यात्मक अभिव्यक्तियां या चरों के साथ अभिव्यक्तियां हैं। हमेशा की तरह, हम व्याख्यात्मक उदाहरणों के साथ सामग्री की आपूर्ति करेंगे विस्तृत विवरणसमाधान।

पेज नेविगेशन।

सामान्य रूप के संख्यात्मक अंशों के साथ संचालन करने के नियम

आइए संख्याओं पर सहमत हों सामान्य रूप से देखेंउन अंशों को समझें जिनमें अंश और / या भाजक का न केवल प्रतिनिधित्व किया जा सकता है प्राकृतिक संख्या, बल्कि अन्य संख्याएँ या संख्यात्मक व्यंजक भी। स्पष्टता के लिए, यहाँ ऐसे अंशों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं: .

हम उन नियमों को जानते हैं जिनके द्वारा . उसी नियम से, आप सामान्य रूप के अंशों के साथ संचालन कर सकते हैं:

नियमों के लिए तर्क

सामान्य संख्यात्मक अंशों के साथ क्रिया करने के नियमों की वैधता को सही ठहराने के लिए, निम्न बिंदुओं से शुरू किया जा सकता है:

• एक भिन्नात्मक पट्टी अनिवार्य रूप से एक विभाजन चिन्ह है,
• कुछ गैर-शून्य संख्या से विभाजन को भाजक के व्युत्क्रम द्वारा गुणा के रूप में माना जा सकता है (यह तुरंत नियम की व्याख्या करता है अंशों का विभाजन),
• वास्तविक संख्या के साथ क्रियाओं के गुण,
• और इसकी सामान्यीकृत समझ,

वे आपको निम्नलिखित परिवर्तनों को पूरा करने की अनुमति देते हैं जो समान और अलग भाजक के साथ-साथ अंशों को गुणा करने के नियम को जोड़ने, घटाने के नियमों को सही ठहराते हैं:

उदाहरण

आइए हम पिछले पैराग्राफ में सीखे गए नियमों के अनुसार एक सामान्य रूप के अंशों के साथ एक क्रिया करने का उदाहरण दें। आइए हम तुरंत कहते हैं कि आमतौर पर, अंशों के साथ संचालन करने के बाद, परिणामी अंश को सरलीकरण की आवश्यकता होती है, और अंश को सरल बनाने की प्रक्रिया अक्सर पिछली क्रियाओं को करने की तुलना में अधिक कठिन होती है। हम अंशों के सरलीकरण पर ध्यान केन्द्रित नहीं करेंगे (संबंधित परिवर्तनों की चर्चा लेख में भिन्नों के परिवर्तन पर की गई है), ताकि हमारे लिए रुचि के विषय से विचलित न हों।

आइए समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के उदाहरणों से शुरू करें। आइए भिन्नों और को जोड़कर शुरू करें। स्पष्ट रूप से हर बराबर हैं। इसी नियम के अनुसार, हम एक अंश लिखते हैं जिसका अंश योग के बराबर हैमूल भिन्नों के अंश, और हर को वही रहने दें, हमारे पास है। जोड़ किया जाता है, यह परिणामी अंश को सरल बनाने के लिए बना रहता है: . इसलिए, .

निर्णय को एक अलग तरीके से करना संभव था: पहले, साधारण अंशों में परिवर्तन करें, और फिर जोड़ को पूरा करें। इस दृष्टिकोण के साथ, हमारे पास है .

अब अंश से घटाएं अंश . अंशों के भाजक समान होते हैं, इसलिए, हम समान भाजक वाले अंशों को घटाने के नियम के अनुसार कार्य करते हैं:

आइए अलग-अलग भाजक वाले अंशों को जोड़ने और घटाने के उदाहरणों पर चलते हैं। यहाँ मुख्य कठिनाई भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाने में है। एक सामान्य रूप के अंशों के लिए, यह एक व्यापक विषय है, हम इसे एक अलग लेख में विस्तार से विश्लेषण करेंगे। एक सामान्य भाजक के लिए अंशों को कम करना. अब हम खुद को एक जोड़े तक ही सीमित रखते हैं सामान्य सिफारिशें, क्योंकि इस पलहम अंशों के साथ संचालन करने की तकनीक में अधिक रुचि रखते हैं।

सामान्य तौर पर, प्रक्रिया साधारण अंशों के सामान्य भाजक में कमी के समान होती है। अर्थात्, भाजकों को उत्पादों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, फिर पहले भिन्न के हर से सभी गुणनखंड लिए जाते हैं और दूसरे भिन्न के हर से छूटे हुए गुणनखंडों को उनमें जोड़ दिया जाता है।

जब जोड़े या घटाए गए अंशों के हर में सामान्य कारक नहीं होते हैं, तो उनके उत्पाद को एक सामान्य भाजक के रूप में लेना तर्कसंगत है। आइए एक उदाहरण लेते हैं।

मान लीजिए कि हमें भिन्नों और 1/2 को जोड़ने की आवश्यकता है। यहाँ, एक सामान्य भाजक के रूप में, मूल भिन्नों के हरों के गुणनफल को लेना तर्कसंगत है, अर्थात . इस मामले में, पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त कारक 2 होगा। अंश और हर को इससे गुणा करने पर, भिन्न का रूप ले लेगा। और दूसरे भिन्न के लिए, अतिरिक्त कारक व्यंजक है। इसकी मदद से, अंश 1/2 को रूप में घटाया जाता है। यह परिणामी अंशों को समान भाजक के साथ जोड़ने के लिए बनी हुई है। यहाँ संपूर्ण समाधान का सारांश दिया गया है:

एक सामान्य रूप के अंशों के मामले में, हम अब कम से कम सामान्य भाजक के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, जिसमें साधारण अंश आमतौर पर कम हो जाते हैं। हालांकि इस मामले में अभी भी कुछ अतिसूक्ष्मवाद के लिए प्रयास करना वांछनीय है। इसके द्वारा हम यह कहना चाहते हैं कि मूल भिन्नों के हरों के गुणनफल को एक सामान्य भाजक के रूप में तुरंत लेना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, अंशों और उत्पाद के सामान्य भाजक को लेना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है . यहाँ, एक सामान्य भाजक के रूप में, हम ले सकते हैं।

हम एक सामान्य रूप के अंशों के गुणन के उदाहरणों की ओर मुड़ते हैं। भिन्नों को गुणा करें और। इस क्रिया को करने का नियम हमें एक अंश लिखने के लिए कहता है जिसका अंश मूल अंशों के अंशों का गुणनफल है, और भाजक हरों का गुणनफल है। अपने पास . यहाँ, कई अन्य मामलों की तरह जब अंशों को गुणा करते हैं, तो आप अंश को कम कर सकते हैं: .

भिन्नों को विभाजित करने का नियम आपको एक व्युत्क्रम द्वारा विभाजन से गुणा करने की अनुमति देता है। यहाँ आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि किसी दिए गए भिन्न का व्युत्क्रम भिन्न प्राप्त करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश और हर को अदला-बदली करने की आवश्यकता है। सामान्य भिन्नों को विभाजित करने से लेकर गुणा करने तक के संक्रमण का एक उदाहरण यहां दिया गया है: . यह गुणन करने और परिणामी अंश को सरल बनाने के लिए बनी हुई है (यदि आवश्यक हो, तो अपरिमेय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन देखें):

इस पैराग्राफ की जानकारी को समाप्त करते हुए, हम याद करते हैं कि किसी भी संख्या या संख्यात्मक अभिव्यक्ति को एक भाजक 1 के साथ एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए, किसी संख्या के जोड़, घटाव, गुणा और भाग और एक अंश को इसी क्रिया को करने के रूप में माना जा सकता है अंश, जिनमें से एक में भाजक में एक इकाई है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना तीन भिन्नों का मूल, हम एक भिन्न को एक संख्या से गुणा करके दो भिन्नों का गुणा करने के लिए आगे बढ़ेंगे: .

चर वाले अंशों के साथ संचालन करना

इस आलेख के पहले भाग के नियम चर वाले अंशों के साथ संचालन करने के लिए भी लागू होते हैं। आइए हम उनमें से पहले को सही ठहराएं - समान भाजक के साथ अंशों के जोड़ और घटाव का नियम, बाकी बिल्कुल उसी तरह सिद्ध होते हैं।

आइए हम सिद्ध करें कि किसी भी व्यंजक A, C और D (D समान रूप से गैर-शून्य है) के लिए हमारे पास समानता है चर के स्वीकार्य मूल्यों की अपनी सीमा पर।

आइए ODZ से वेरिएबल्स का कुछ सेट लें। चरों के इन मानों के लिए भाव A , C और D मान a 0 , c 0 और d 0 लें। फिर चयनित सेट से चर के मूल्यों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने से यह संख्यात्मक अंशों के योग (अंतर) में फॉर्म के समान भाजक के साथ बदल जाता है, जो संख्यात्मक अंशों के जोड़ (घटाव) के नियम के अनुसार समान हर, के बराबर है। लेकिन चयनित सेट से चर के मूल्यों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने से यह उसी अंश में बदल जाता है। इसका मतलब यह है कि ODZ से चर मानों के चयनित सेट के लिए, भावों के मान और बराबर हैं। यह स्पष्ट है कि संकेतित भावों के मान ODZ से चर के मूल्यों के किसी भी अन्य सेट के बराबर होंगे, जिसका अर्थ है कि भाव और समान रूप से समान हैं, अर्थात सिद्ध की जा रही समानता सत्य है .

चर के साथ अंशों के जोड़ और घटाव के उदाहरण

जब जोड़े या घटाए जाने वाले अंशों के भाजक समान होते हैं, तो सब कुछ काफी सरल होता है - अंशों को जोड़ा या घटाया जाता है, और भाजक समान रहता है। स्पष्ट है कि इसके बाद प्राप्त अंश को यदि आवश्यक और संभव हो तो सरलीकृत किया जाता है।

ध्यान दें कि कभी-कभी अंशों के हर पहली नज़र में ही भिन्न होते हैं, लेकिन वास्तव में वे समान रूप से समान भाव होते हैं, जैसे, उदाहरण के लिए, और , या और . और कभी-कभी यह प्रारंभिक अंशों को सरल बनाने के लिए पर्याप्त होता है ताकि उनके समान भाजक "दिखाई दें"।

उदाहरण।

, बी) , वी) .

समाधान।

a) हमें समान भाजक वाले भिन्नों को घटाने की आवश्यकता है। संगत नियम के अनुसार, हम हर को वही छोड़ देते हैं और अंशों को घटा देते हैं, जो हमारे पास है . कार्रवाई की गई। लेकिन आप अभी भी अंश में कोष्ठक खोल सकते हैं और समान शब्द ला सकते हैं: .

बी) जाहिर है, जोड़े गए भिन्नों के हर समान हैं। इसलिए, हम अंशों को जोड़ते हैं, और भाजक को वही छोड़ देते हैं: . जोड़ पूरा हुआ। लेकिन यह देखना आसान है कि परिणामी अंश को घटाया जा सकता है। वास्तव में, परिणामी भिन्न के अंश को (lgx+2) 2 के योग के वर्ग द्वारा कम किया जा सकता है (संक्षिप्त गुणन सूत्र देखें), इसलिए निम्नलिखित परिवर्तन होते हैं: .

ग) राशि में भिन्न अलग भाजक हैं। लेकिन, किसी एक भिन्न को परिवर्तित करके, आप समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए आगे बढ़ सकते हैं। हम दो समाधान दिखाते हैं।

पहला तरीका। वर्गों के सूत्र के अंतर का उपयोग करके पहले अंश के भाजक का गुणनखंड किया जा सकता है, और फिर इस अंश को कम करें: . इस प्रकार, । भिन्न के हर में अपरिमेयता से छुटकारा पाने में कोई हर्ज नहीं है: .

दूसरा तरीका। दूसरे अंश के अंश और भाजक को गुणा करना (मूल अभिव्यक्ति के लिए DPV से चर x के किसी भी मान के लिए यह अभिव्यक्ति गायब नहीं होती है) आपको एक ही बार में दो लक्ष्य प्राप्त करने की अनुमति देता है: तर्कहीनता से छुटकारा पाएं और जोड़ने के लिए आगे बढ़ें समान भाजक वाले अंश। अपने पास

उत्तर:

ए) , बी) , वी) .

पिछले उदाहरण ने हमें भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाने के प्रश्न पर ला खड़ा किया। वहाँ हम लगभग गलती से आ गए समान भाजक, जोड़े गए अंशों में से एक को सरल बनाना। लेकिन ज्यादातर मामलों में, अलग-अलग भाजक के साथ अंशों को जोड़ते और घटाते समय, किसी को उद्देश्यपूर्ण रूप से अंशों को एक सामान्य भाजक में लाना पड़ता है। ऐसा करने के लिए, अंशों के भाजकों को आमतौर पर उत्पादों के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, सभी कारकों को पहले अंश के भाजक से लिया जाता है, और दूसरे अंश के भाजक से लापता कारकों को उनमें जोड़ा जाता है।

उदाहरण।

भिन्नों के साथ क्रियाएं करें: a) , बी) , सी) .

समाधान।

क) भिन्नों के हरों के साथ कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है। एक आम भाजक के रूप में, हम उत्पाद लेते हैं . इस मामले में, पहले अंश के लिए अतिरिक्त कारक अभिव्यक्ति है, और दूसरे अंश के लिए - संख्या 3। ये अतिरिक्त कारक भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाते हैं, जो आगे हमें वह क्रिया करने की अनुमति देता है जिसकी हमें आवश्यकता है, हमारे पास है

बी) इस उदाहरण में, भाजक पहले से ही उत्पादों के रूप में प्रस्तुत किए गए हैं, और कोई अतिरिक्त परिवर्तन की आवश्यकता नहीं है। जाहिर है, भाजक में कारक केवल घातांक में भिन्न होते हैं, इसलिए, एक सामान्य भाजक के रूप में, हम सबसे बड़े घातांक वाले कारकों का गुणनफल लेते हैं, अर्थात, . तब पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त कारक होगा x 4 , और दूसरे के लिए - ln(x+1) । अब हम अंशों को घटाने के लिए तैयार हैं:

ग) और इस मामले में, शुरुआत करने के लिए, हम भिन्नों के हरों के साथ काम करेंगे। वर्गों के अंतर और योग के वर्ग के सूत्र आपको मूल योग से अभिव्यक्ति तक जाने की अनुमति देते हैं . अब यह स्पष्ट है कि इन भिन्नों को एक सामान्य भाजक में घटाया जा सकता है . इस दृष्टिकोण के साथ, समाधान इस तरह दिखेगा:

उत्तर:

ए)

बी)

वी)

भिन्नों को चरों से गुणा करने के उदाहरण

भिन्नों को गुणा करने पर एक भिन्न प्राप्त होता है जिसका अंश मूल भिन्नों के अंशों का गुणनफल होता है, और भाजक हरों का गुणनफल होता है। यहां, जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ परिचित और सरल है, और हम केवल यह जोड़ सकते हैं कि इस क्रिया के परिणामस्वरूप प्राप्त अंश अक्सर कम हो जाता है। इन मामलों में, यह कम हो जाता है, जब तक कि निश्चित रूप से, यह आवश्यक और उचित न हो।