|बीडी|- एक बिंदु पर केंद्रित वृत्त के चाप की लंबाई ए.
α रेडियन में व्यक्त कोण है।

साइन ( पाप) - ये है त्रिकोणमितीय फलन, कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है सही त्रिकोण, विपरीत पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर |BC| कर्ण की लंबाई तक |AC|.
कोसाइन ( cosα) एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांग के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न टांग की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| कर्ण की लंबाई तक |AC|.

स्वीकृत पदनाम

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ज्या फलन का ग्राफ, y = sin x

कोज्या फलन का ग्राफ, y = cos x

साइन और कोसाइन के गुण

दौरा

कार्य y= पाप xऔर y= क्योंकि xअवधि के साथ आवधिक 2.

समानता

साइन फ़ंक्शन विषम है। कोसाइन फ़ंक्शन सम है।

परिभाषा और मूल्यों का क्षेत्र, एक्स्ट्रेमा, वृद्धि, कमी

फलन साइन और कोसाइन अपनी परिभाषा के क्षेत्र पर निरंतर हैं, अर्थात सभी x के लिए (निरंतरता का प्रमाण देखें)। उनके मुख्य गुण तालिका (n - पूर्णांक) में प्रस्तुत किए गए हैं।

	वाई = पाप x	वाई = क्योंकि x
दायरा और निरंतरता	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
मूल्यों की श्रृंखला	-1 वाई 1	-1 वाई 1
आरोही
अवरोही
अधिकतम, y= 1
मिनिमा, वाई = - 1
शून्य, y= 0
y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु, x = 0	वाई = 0	वाई = 1

मूल सूत्र

वर्ग ज्या और कोज्या का योग

योग और अंतर के लिए साइन और कोसाइन सूत्र

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ज्या और कोज्या के गुणनफल के सूत्र

योग और अंतर सूत्र

कोज्या द्वारा ज्या का व्यंजक

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ज्या द्वारा कोज्या का व्यंजक

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स्पर्शरेखा के संदर्भ में अभिव्यक्ति

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के लिए, हमारे पास है:
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पर :
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ज्या और कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटांगेंट की तालिका

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए साइन और कोसाइन के मूल्यों को दर्शाती है।

जटिल चरों के माध्यम से व्यंजक

;

यूलर सूत्र

अतिपरवलयिक कार्यों के संदर्भ में व्यंजक

;
;

संजात

; . सूत्रों की व्युत्पत्ति > > >

nवें क्रम के व्युत्पन्न:
{ -∞ < x < +∞ }

सेकेंट, कोसेकेंट

उलटा कार्य

साइन और कोसाइन के व्युत्क्रम कार्य क्रमशः आर्क्साइन और आर्ककोसाइन हैं।

आर्कसिन, आर्क्सिन

आर्ककोसाइन, आर्ककोस

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।

यह सभी देखें:

कोज्याबुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों में से एक है। कोज्याओम तेज कोणएक समकोण त्रिभुज में आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात कहलाता है। कोसाइन की परिभाषा एक समकोण त्रिभुज से जुड़ी होती है, लेकिन अक्सर जिस कोण को कोसाइन निर्धारित करने की आवश्यकता होती है वह समकोण त्रिभुज में स्थित नहीं होता है। किसी की कोज्या का मान कैसे ज्ञात करें कोण ?

अनुदेश

1. कोणएक समकोण त्रिभुज में, आपको कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करने की आवश्यकता है और आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात ज्ञात करना है: कोस? = a/c, जहां a पैर की लंबाई है, c कर्ण की लंबाई है।

2. यदि आपको कोसाइन खोजने की आवश्यकता है कोणएक मनमाना त्रिभुज में, आपको कोसाइन प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता है: यदि कोण न्यून है: cos? = (a2 + b2 - c2)/(2ab); यदि कोण अधिक है: cos? = (c2 - a2 - b2)/(2ab), जहां a, b कोने से सटी भुजाओं की लंबाई हैं, c कोने के विपरीत भुजा की लंबाई है।

3. यदि आपको कोसाइन खोजने की आवश्यकता है कोणफ्री में ज्यामितीय आकृति, मूल्य निर्धारित करना आवश्यक है कोणडिग्री या रेडियन में, और कोसाइन कोणइंजीनियरिंग कैलकुलेटर, ब्रैडिस टेबल या किसी अन्य गणितीय एप्लिकेशन के समर्थन से इसके मूल्य का पता लगाएं।

कोज्याकोण का मूल त्रिकोणमितीय फलन है। विभिन्न अक्षों पर सदिशों के अनुमानों का निर्धारण करते समय कोज्या का निर्धारण करने का तरीका सदिश बीजगणित में फिट होगा।

अनुदेश

1. कोज्याकोण का ओम कर्ण के कोण से सटे पैर का अनुपात है। इसलिए, एक समकोण त्रिभुज ABC में (ABC एक समकोण है), कोण BAC की कोज्या, AB से AC के अनुपात के बराबर है। कोण ACB के लिए: cos ACB = BC/AC।

2. लेकिन कोण हमेशा त्रिभुज से संबंधित नहीं होता है; इसके अलावा, ऐसे अधिक कोण हैं जो स्पष्ट रूप से एक समकोण त्रिभुज का हिस्सा नहीं हो सकते हैं। आइए उस स्थिति पर विचार करें जब कोण किरणों द्वारा दिया गया हो। इस मामले में कोण की कोज्या की गणना करने के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें। एक समन्वय प्रणाली कोने से जुड़ी हुई है, समन्वय प्रस्तावना की गणना कोने के शीर्ष से की जाती है, एक्स अक्ष कोने के एक तरफ जाता है, वाई अक्ष एक्स अक्ष के लंबवत बनाया जाता है। उसके बाद, इकाई त्रिज्या का एक चक्र है कोने के शीर्ष पर केंद्र के साथ बनाया गया। कोण की दूसरी भुजा वृत्त को बिंदु A पर प्रतिच्छेद करती है। बिंदु A से X अक्ष पर लंबवत को गिराएं, अक्ष अक्ष के साथ लंबवत के प्रतिच्छेदन बिंदु को चिह्नित करें। तब आपको एक समकोण त्रिभुज AAxO मिलता है, और कोण की कोज्या AAx/AO है। इस तथ्य से कि वृत्त की एक इकाई त्रिज्या है, तो AO = 1 और कोण की कोज्या मूल रूप से AAx के बराबर है।

3. एक अधिक कोण के मामले में, सभी समान निर्माण किए जाते हैं। कोज्याअधिक कोण ऋणात्मक है, लेकिन यह भी कुल्हाड़ी के बराबर है।

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टिप्पणी!
कुछ कोणों के कोज्या को ब्रैडी की तालिकाओं में प्रस्तुत किया जाता है।

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा जैसे निरूपण अक्सर पाए जाने की संभावना नहीं है रोजमर्रा की जिंदगी. हालाँकि, यदि आप अपने हाई स्कूल के बेटे के साथ गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए बैठते हैं, तो यह याद रखना अच्छा होगा कि ये प्रतिनिधित्व क्या हैं और कोसाइन का पता कैसे लगाया जाए।

अनुदेश

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अक्सर ज्यामितीय (त्रिकोणमितीय) समस्याओं में इसका पता लगाना आवश्यक होता है कोज्याकोण में त्रिकोण, इसलिये कोज्याकोण आपको कोण के मूल्य को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

अनुदेश

1. खोज करना कोज्याकोण में त्रिकोण, जिसकी भुजा की लंबाई ज्ञात है, प्रमेय का उपयोग करना संभव है कोज्याओव। इस प्रमेय के अनुसार, एक मनमाना त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई का वर्ग, इन भुजाओं की लंबाई के गुणनफल को दोगुना किए बिना, इसकी 2 अन्य भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। कोज्याउनके बीच का कोण: a? = b? + c? -2 * b * c * cos?, जहाँ: a, b, c - त्रिभुज की भुजाएँ (या बल्कि उनकी लंबाई),? - भुजा a के विपरीत कोण (इसका मान)। उपरोक्त समानता से, сos?: сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c) उदाहरण 1 खोजना आसान है। एक त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ a, b, s, क्रमशः 3, 4, 5 मिमी के बराबर हैं कोज्याबड़े पक्षों के बीच का कोण। समाधान: समस्या की स्थिति के अनुसार, हमारे पास है: a \u003d 3, b \u003d 4, c \u003d 5. आइए हम भुजा के विपरीत कोण को a से निरूपित करें?, फिर , ऊपर व्युत्पन्न सूत्र के अनुसार, हमारे पास है: cos? = (b? + c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5 )=(16+25-9)/40=32/40=0, 8उत्तर: 0.8।

2. यदि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, तो ज्ञात करने के लिए कोज्याऔर कोण के प्रत्येक 2 पक्षों की लंबाई जानने के लिए पर्याप्त है ( कोज्या समकोणमान लीजिए कि भुजाओं a, b, c के साथ एक समकोण त्रिभुज है, जहां c कर्ण है। आइए सभी विकल्पों को देखें: उदाहरण 2. यदि भुजाओं a और b की लंबाई हो तो cos ज्ञात कीजिए। (त्रिभुज के पैर) ज्ञात हैं =b?+a?,c=v(b?+a?)cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b ?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?))=(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b /v(b?+a?) प्राप्त सूत्र की शुद्धता की जांच करने के लिए, हम इसमें उदाहरण 1 से मानों को प्रतिस्थापित करते हैं, अर्थात a \u003d 3, b \u003d 4. प्रारंभिक गणना करने के बाद, हमें मिलता है: क्योंकि? \u003d 0.8.

3. इसी तरह स्थित है कोज्याएक आयताकार में त्रिकोणअन्य मामलों में: उदाहरण 3. प्रसिद्ध ए और सी (कर्ण और विपरीत पैर), cos?b?=c?-a?,b=v(c?-a?)cos?=(b?+c?- हुह?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?))=(2*c?-2*a ?)/(2*c*v(c?-a?))=v(c?-a?)/c. पहले उदाहरण से मानों a=3 और c=5 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: cos ?=0.8.

4. उदाहरण 4. हम b और c (कर्ण और आसन्न पैर) को जानते हैं। कोज्यामें त्रिकोणएक भारी आसान सूत्र के अनुसार गणना की जाती है: cos?=b/s. व्युत्पन्न सूत्र की सादगी को प्राथमिक रूप से समझाया गया है: वास्तव में, कोने के निकट? पैर कर्ण का एक प्रक्षेपण है, इसलिए इसकी लंबाई कर्ण की लंबाई के बराबर है जिसे कॉस से गुणा किया जाता है?। पहले उदाहरण से बी = 4 और सी = 5 के मूल्यों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: cos?=0.8So , हमारे सभी सूत्र सही हैं।

टिप 5: समकोण त्रिभुज में न्यून कोण का पता कैसे लगाएं

सीधे कोयला कात्रिकोण, जाहिरा तौर पर, एक ऐतिहासिक दृष्टिकोण से, सबसे प्रसिद्ध में से एक है, ज्यामितीय आंकड़े। पाइथागोरस "पतलून" केवल "यूरेका!" के साथ प्रतिस्पर्धा कर सकता है। आर्किमिडीज।

आपको चाहिये होगा

• - एक त्रिकोण का चित्रण;
• - शासक;
• - प्रोट्रैक्टर।

अनुदेश

1. हमेशा की तरह, त्रिभुज के कोनों के कोने बड़े लैटिन अक्षरों (ए, बी, सी), और विपरीत पक्षों द्वारा छोटे लैटिन अक्षरों (ए, बी, सी) या त्रिभुज शिखर के नाम से इंगित किए जाते हैं जो बनाते हैं इस तरफ (एसी, बीसी, एबी)।

2. त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है। एक आयताकार में त्रिकोणएक कोण (दाएं) निरपवाद रूप से 90 डिग्री होगा, और शेष न्यूनकोण होगा, अर्थात। सभी 90 डिग्री से कम। एक आयताकार में कौन सा कोण निर्धारित करने के लिए त्रिकोणसीधा है, शासक के समर्थन से त्रिभुज की भुजा को मापें और सबसे बड़ा निर्धारित करें। इसे कर्ण (AB) कहा जाता है और यह समकोण (C) के विपरीत स्थित होता है। शेष दो भुजाएँ एक समकोण बनाती हैं और टाँगें (AC, BC) कहलाती हैं।

3. एक बार जब आप यह निर्धारित कर लें कि कौन सा कोण न्यून है, तो आप या तो कोण को प्रोट्रैक्टर से माप सकते हैं या गणितीय सूत्रों के समर्थन से गणना कर सकते हैं।

4. प्रोट्रैक्टर की मदद से कोण का मान निर्धारित करने के लिए, इसके शीर्ष (अक्षर ए द्वारा चिह्नित) को प्रोट्रैक्टर के केंद्र में शासक पर एक विशेष चिह्न के साथ संरेखित करें, एसी पैर को इसके ऊपरी किनारे से मेल खाना चाहिए। चांदा के अर्धवृत्ताकार भाग पर उस बिंदु को चिह्नित करें जिससे कर्ण AB गुजरता है। इस बिंदु पर मान डिग्री में कोण मान से मेल खाता है। यदि चाँदे पर 2 मात्राएँ अंकित हैं, तो के लिए न्यून कोणआपको एक छोटा चुनने की ज़रूरत है, एक कुंद के लिए - एक बड़ा।

6. ब्रैडिस संदर्भ तालिकाओं में परिणामी मान ज्ञात करें और निर्धारित करें कि परिणामी संख्यात्मक मान किस कोण से मेल खाता है। हमारी दादी-नानी इस तरीके का इस्तेमाल करती थीं।

7. आजकल, त्रिकोणमितीय सूत्रों की गणना के लिए फ़ंक्शन के साथ कैलकुलेटर लेना पर्याप्त है। मान लीजिए कि बिल्ट-इन विंडोज कैलकुलेटर है। "कैलकुलेटर" एप्लिकेशन लॉन्च करें, "व्यू" मेनू आइटम में, "इंजीनियरिंग" आइटम का चयन करें। वांछित कोण की ज्या परिकलित करें, मान लीजिए sin(A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

8. कैलकुलेटर को स्विच करें उलटा कार्य, कैलकुलेटर डिस्प्ले पर INV बटन पर क्लिक करके, फिर आर्क्सिन फ़ंक्शन की गणना के लिए बटन पर क्लिक करें (डिस्प्ले पर इसे माइनस फर्स्ट डिग्री के रूप में पाप के रूप में दर्शाया गया है)। गणना विंडो में एक और शिलालेख दिखाई देगा: asind (0.5) = 30. अर्थात्, वांछित कोण का मान 30 डिग्री है।

गणित में कोसाइन प्रमेय का उपयोग अक्सर उस स्थिति में किया जाता है जब आपको एक कोण और दो भुजाओं द्वारा तीसरी भुजा खोजने की आवश्यकता होती है। हालांकि, कभी-कभी समस्या की स्थिति विपरीत होती है: दिए गए 3 पक्षों के साथ कोण का पता लगाना आवश्यक है।

अनुदेश

1. कल्पना कीजिए कि आपको 2 भुजाओं की ज्ञात लंबाई और एक कोण के मान वाला एक त्रिभुज दिया गया है। इस त्रिभुज के सभी कोण एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं, और इसकी भुजाएँ भी आकार में भिन्न होती हैं। कोना? त्रिभुज की भुजा के विपरीत स्थित है, जिसे AB के रूप में नामित किया गया है, जो इस आकृति का आधार है। इस कोण के माध्यम से, साथ ही शेष भुजाओं AC और BC के माध्यम से, त्रिभुज के उस पक्ष को खोजना संभव है जो अज्ञात है, कोसाइन प्रमेय के अनुसार, इसके आधार पर निम्नलिखित सूत्र प्राप्त करना: a ^ 2 \u003d b ^ 2 + c ^ 2-2bc * cos?, जहाँ a=BC, b=AB, c=AC दूसरी ओर कोसाइन प्रमेय को सामान्यीकृत पाइथागोरस प्रमेय कहा जाता है।

2. अब कल्पना कीजिए कि आकृति की तीनों भुजाएँ दी गई हैं, लेकिन साथ ही उसका कोण क्या है? अनजान यह जानते हुए कि सूत्र का रूप है a^2=b^2+c^2-2bc*cos?, इस व्यंजक को इस प्रकार रूपांतरित करें कि कोण वांछित मान बन जाए: b^2+c^2=2bc*cos ?+a ^2। उसके बाद, ऊपर दिखाए गए समीकरण को थोड़ा अलग रूप में लाएं: b^2+c^2-a^2=2bc*cos?। उसके बाद, इस अभिव्यक्ति को निम्नलिखित में परिवर्तित किया जाना चाहिए: cos ?=?b^2+c ^2-a^2/2bc. यह सूत्र में संख्याओं को प्रतिस्थापित करने और गणना करने के लिए बनी हुई है।

3. एक त्रिभुज के कोण की कोज्या ज्ञात करने के लिए, जिसे ? के रूप में निरूपित किया जाता है, इसे व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए, जिसे व्युत्क्रम कोसाइन कहा जाता है। संख्या m का चापकोसाइन कोण का मान है, जिसके लिए कोण का कोज्या है? एम के बराबर है। फलन y=arccos m घट रहा है। कल्पना कीजिए, कहिए, कोण की कोज्या क्या है? एक 2 के बराबर है। फिर कोने? चाप कोज्या के रूप में निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है: \u003d arccos, m \u003d arccos 1/2 \u003d 60 °, जहाँ m \u003d 1/2। इसी तरह, 2 अन्य अज्ञात पक्षों के साथ त्रिभुज के शेष कोणों का पता लगाना संभव है।

4. यदि कोण रेडियन में हैं, तो उन्हें निम्न संबंध का उपयोग करके डिग्री में परिवर्तित करें:? रेडियन = 180 डिग्री। याद रखें कि इंजीनियरिंग कैलकुलेटर के विशाल बहुमत कोण इकाइयों को स्विच करने की क्षमता से लैस हैं।

साइन और कोसाइन दो त्रिकोणमितीय कार्य हैं जिन्हें "सीधी रेखाएं" कहा जाता है। यह वे हैं जिन्हें दूसरों की तुलना में अधिक बार गणना करना पड़ता है, और इस समस्या को हल करने के लिए आज हम में से प्रत्येक के पास है बड़ा विकल्पविकल्प। नीचे कुछ विशेष रूप से आदिम तरीके दिए गए हैं।

अनुदेश

1. यदि गणना के अन्य साधन उपलब्ध न हों तो एक चांदा, पेंसिल और कागज का प्रयोग करें। कोज्या की परिभाषाओं में से एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोणों के माध्यम से दी गई है - इसका मान इस कोण के विपरीत स्थित पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई के बीच के अनुपात के बराबर है। एक त्रिभुज बनाएं जिसमें एक कोण सम (90°) हो और दूसरा उस कोण के बराबर हो जिसकी कोज्या आप गणना करना चाहते हैं। इस मामले में पक्षों की लंबाई मायने नहीं रखती है - उन्हें इस तरह से ड्रा करें कि आप मापने में अधिक सहज हों। वांछित पैर और कर्ण की लंबाई को मापें और किसी भी आरामदायक विधि का उपयोग करके पहले को दूसरे से विभाजित करें।

2. यदि आपके पास इंटरनेट का उपयोग है, तो निगमा खोज इंजन में निर्मित कैलकुलेटर के समर्थन से त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को निर्धारित करने की क्षमता का लाभ उठाएं। मान लीजिए, यदि आप 20 ° के कोण के कोसाइन की गणना करना चाहते हैं, तो मुख्य सेवा पृष्ठ http://nigma.ru लोड करने के बाद, खोज क्वेरी फ़ील्ड "20 डिग्री की कोसाइन" टाइप करें और "डिटेक्ट! " बटन। इसे "डिग्री" शब्द को छोड़ने और "कोसाइन" शब्द को कॉस से बदलने की अनुमति है - किसी भी स्थिति में, खोज इंजन 15 दशमलव स्थानों (0.939692620785908) की सटीकता के साथ परिणाम दिखाएगा।

3. यदि इंटरनेट का उपयोग नहीं है तो विंडोज ऑपरेटिंग सिस्टम के साथ स्थापित मानक कैलकुलेटर प्रोग्राम खोलें। यह किया जा सकता है, कहते हैं, एक साथ जीत और आर कुंजी दबाकर, फिर कैल्क कमांड दर्ज करके और ओके बटन पर क्लिक करके। त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना करने के लिए, यहां "इंजीनियरिंग" या "वैज्ञानिक" (ओएस संस्करण के आधार पर) नाम के साथ एक इंटरफ़ेस प्रदान किया गया है - कैलकुलेटर मेनू के "व्यू" अनुभाग में आवश्यक आइटम का चयन करें। उसके बाद, कोण मान को डिग्री में दर्ज करें और प्रोग्राम इंटरफ़ेस में कॉस बटन पर क्लिक करें।

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टिप 8: समकोण त्रिभुज में कोणों का निर्धारण कैसे करें

एक समकोण त्रिभुज को कोणों और भुजाओं के बीच कुछ अनुपातों की विशेषता होती है। उनमें से कुछ के मूल्यों को जानने के बाद, दूसरों की गणना करने की अनुमति है। इसके लिए, सूत्रों का उपयोग, बदले में, ज्यामिति के स्वयंसिद्धों और प्रमेयों पर आधारित होता है।

अनुदेश

1. एक समकोण त्रिभुज के नाम से ही यह स्पष्ट हो जाता है कि इसका एक कोण समकोण है। भले ही एक समकोण त्रिभुज समद्विबाहु हो या न हो, इसमें हमेशा एक कोण 90 डिग्री के बराबर होता है। यदि एक समकोण त्रिभुज दिया गया है, जो एक ही समय और समद्विबाहु है, तो इस तथ्य के आधार पर कि आकृति में एक समकोण है, इसके आधार पर दो कोण ज्ञात कीजिए। ये कोण एक दूसरे के बराबर हैं, इसलिए इनमें से प्रत्येक का मान :? = 180 ° - 90 ° / 2 = 45 ° के बराबर है

2. उपरोक्त के अलावा, हम एक अन्य मामले को भी स्वीकार करते हैं जब त्रिभुज समकोण हो, लेकिन समद्विबाहु नहीं। कई समस्याओं में, एक त्रिभुज का कोण 30° और अन्य 60° होता है, इस तथ्य से कि त्रिभुज में सभी कोणों का योग 180° के बराबर होना चाहिए। यदि एक समकोण त्रिभुज और उसके पैर का कर्ण दिया गया है, तो इन दोनों पक्षों के पत्राचार से कोण ज्ञात किया जा सकता है: sin ?=a/c, जहां a त्रिभुज के कर्ण के विपरीत पैर है, c है त्रिभुज का कर्ण ) साथ ही, कोण को कोज्या ज्ञात करने के सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है: cos ?=b/c, जहाँ b त्रिभुज के कर्ण का आसन्न पैर है

3. यदि केवल दो पैर ज्ञात हों, तो कोण? स्पर्शरेखा सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है। इस कोण की स्पर्शरेखा विपरीत पैर के आसन्न एक के अनुपात के बराबर है: tg ?=a/bयह इस प्रकार है?=arctg(a/b) जब एक समकोण दिया जाता है और उपरोक्त विधि द्वारा ज्ञात कोणों में से एक पाया जाता है , दूसरा आगे पाया जाता है:?= 180°-(90°+?)

शब्द "कोसाइन" त्रिकोणमितीय कार्यों में से एक को संदर्भित करता है, जिसे जब लिखा जाता है, तो इसे कॉस के रूप में दर्शाया जाता है। ज्यामिति में सही आंकड़ों के मापदंडों को खोजने की समस्याओं को हल करते समय इससे निपटना विशेष रूप से आम है। ऐसी समस्याओं में, हमेशा की तरह, बहुभुजों के शीर्षों पर कोणों को निरूपित किया जाता है, बड़े अक्षरग्रीक वर्णमाला। अगर हम एक समकोण त्रिभुज की बात कर रहे हैं, तो इस एक अक्षर से कभी-कभी यह पता लगाना संभव हो जाता है कि कौन सा कोना है।

अनुदेश

1. यदि अक्षर द्वारा इंगित कोण का मान समस्या की स्थितियों से जाना जाता है, तो अल्फा के कोसाइन के अनुरूप मान ज्ञात करने के लिए, आप मानक विंडोज कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं। इसे ऑपरेटिंग सिस्टम के मुख्य मेनू के माध्यम से लॉन्च किया जाता है - विन बटन दबाएं, मेनू में "सभी प्रोग्राम" अनुभाग खोलें, "विशिष्ट" उपखंड पर जाएं, और फिर "उपयोगिताएं" अनुभाग पर जाएं। वहां आपको "कैलकुलेटर" लाइन मिलेगी - एप्लिकेशन लॉन्च करने के लिए इसे क्लिक करें।

2. एप्लिकेशन इंटरफ़ेस को "इंजीनियरिंग" (OS के अन्य संस्करणों में - "वैज्ञानिक") विकल्प पर स्विच करने के लिए कुंजी संयोजन Alt + 2 दबाएं। फिर कोण का मान दर्ज करें? और माउस पॉइंटर के साथ चिह्नित कॉस बटन पर क्लिक करें - कैलकुलेटर फ़ंक्शन की गणना करेगा और परिणाम प्रदर्शित करेगा।

3. यदि आप किसी कोण की कोज्या की गणना करते हैं? एक समकोण त्रिभुज में आवश्यक है, तो यह संभवतः 2 न्यून कोणों में से एक है। ऐसे त्रिभुज की भुजाओं के सही पदनाम के साथ, कर्ण (सबसे लंबी भुजा) को अक्षर c द्वारा निरूपित किया जाता है, और इसके विपरीत स्थित समकोण को ग्रीक अक्षर ? द्वारा दर्शाया जाता है। अन्य दो भुजाओं (पैरों) को a और b अक्षरों से निरूपित किया जाता है, और उनके विपरीत न्यून कोण होते हैं? तथा?। एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों के परिमाण के लिए, ऐसे संबंध हैं जो आपको कोण के परिमाण को जाने बिना भी कोज्या की गणना करने की अनुमति देंगे।

4. यदि एक समकोण त्रिभुज में भुजाओं की लंबाई b (कोने से सटे पैर?) और c (कर्ण) ज्ञात हैं, तो कोसाइन की गणना करने के लिए? इस पैर की लंबाई को कर्ण की लंबाई से विभाजित करें: cos(?)=b/c.

5. एक स्वेच्छ त्रिभुज में, कोण की कोज्या का मान? एक अपरिचित मूल्य की गणना की जा सकती है यदि शर्तों में सभी पक्षों की लंबाई दी गई हो। ऐसा करने के लिए, पहले सभी पक्षों की लंबाई का वर्ग करें, फिर कोने से सटे 2 पक्षों के लिए परिणामी मान? कुल से विपरीत पक्ष के लिए परिणामी मान जोड़ें और घटाएं। उसके बाद, परिणामी मान को कोने से सटे लंबाई के गुणनफल से दोगुने से विभाजित करें? भुजाएँ - यह कोण की वांछित कोज्या होगी?: cos(?)=(b?+c?-a?)/(2*b*c)। यह समाधान कोसाइन प्रमेय का अनुसरण करता है।

उपयोगी सलाह
कोज्या के लिए गणितीय संकेतन cos है। कोज्या मान 1 से अधिक और -1 से कम नहीं हो सकता।

4 के लिए उपयोग करें? क्या तुम खुशी से नहीं झूम रहे हो?

सवाल, जैसा कि वे कहते हैं, दिलचस्प है ... आप कर सकते हैं, आप 4 पास कर सकते हैं! और साथ ही फटे नहीं... मुख्य शर्त है नियमित रूप से अभ्यास करना। यहाँ गणित में परीक्षा के लिए बुनियादी तैयारी है। एकीकृत राज्य परीक्षा के सभी रहस्यों और रहस्यों के साथ, जिनके बारे में आप पाठ्यपुस्तकों में नहीं पढ़ेंगे... इस खंड का अध्ययन करें, विभिन्न स्रोतों से अधिक कार्यों को हल करें - और सब कुछ काम करेगा! यह माना जाता है कि मूल खंड "आपके लिए पर्याप्त और तीन!" आपके लिए कोई समस्या नहीं पैदा करता है। लेकिन अगर अचानक ... लिंक का पालन करें, आलसी मत बनो!

और हम एक महान और भयानक विषय से शुरू करेंगे।

त्रिकोणमिति

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

यह विषय छात्रों को बहुत सारी समस्याएं देता है। इसे सबसे गंभीर में से एक माना जाता है। साइन और कोसाइन क्या है? स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्या है? एक संख्या चक्र क्या है?यह हानिरहित प्रश्न पूछने लायक है, क्योंकि एक व्यक्ति पीला पड़ जाता है और बातचीत को किनारे करने की कोशिश करता है ... लेकिन व्यर्थ। ये सरल अवधारणाएं हैं। और यह विषय दूसरों की तुलना में अधिक कठिन नहीं है। आपको बस शुरुआत से ही इन सवालों के जवाबों को स्पष्ट रूप से समझने की जरूरत है। बहुत जरुरी है। यदि आपने इसे समझ लिया है, तो आपको त्रिकोणमिति पसंद आएगी। इसलिए,

साइन और कोसाइन क्या है? स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्या है?

आइए प्राचीन काल से शुरू करते हैं। चिंता न करें, हम 15 मिनट में सभी 20 सदियों की त्रिकोणमिति से गुजरेंगे। और, स्पष्ट रूप से अपने लिए, हम कक्षा 8 से ज्यामिति के एक टुकड़े को दोहराएंगे।

भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज बनाएं ए, बी, सीऔर कोण एक्स. यहां एक है।

मैं आपको याद दिला दूं कि एक समकोण बनाने वाली भुजाओं को टांगें कहते हैं। ए और सी- स्केट्स। उनमें से दो. दूसरे पक्ष को कर्ण कहा जाता है। साथ- कर्ण।

त्रिभुज और त्रिभुज, इसके बारे में सोचें! उसके साथ क्या करना है? लेकिन प्राचीन लोग जानते थे कि क्या करना है! आइए उनके कार्यों को दोहराएं। आइए भुजा को मापें में. चित्र में, कोशिकाओं को विशेष रूप से खींचा गया है, जैसे कि कार्य का उपयोग करेंहो जाता। पक्ष मेंचार कोशिकाओं के बराबर है। ठीक है। आइए भुजा को मापें एक।तीन कोशिकाएँ।

अब भुजा की लंबाई को विभाजित करते हैं एकप्रति पक्ष लंबाई में. या, जैसा कि वे कहते हैं, चलो अनुपात लेते हैं एकप्रति में. एसी= 3/4.

वैकल्पिक रूप से, आप साझा कर सकते हैं मेंपर एक।हमें 4/3 मिलता है। कर सकना मेंसे भाग साथ।कर्ण साथकोशिकाओं द्वारा नहीं गिना जाता है, लेकिन यह 5 के बराबर है एसी= 4/5। संक्षेप में, आप भुजाओं की लंबाई को एक दूसरे से भाग देकर कुछ संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं।

तो क्या? इस दिलचस्प गतिविधि का अर्थ क्या है? अब तक कोई नहीं। एक बेवकूफी भरा काम, ईमानदार होना।)

और अब यह करते हैं। आइए त्रिभुज को बड़ा करें। आइए पक्षों का विस्तार करें तक और से, लेकिन ताकि त्रिभुज समकोण बना रहे। कोना एक्स, ज़ाहिर है, नहीं बदलता है। इसे देखने के लिए, अपने माउस को चित्र पर घुमाएं, या इसे स्पर्श करें (यदि आपके पास टैबलेट है)। दलों ए, बी और सीमें बदलना एम, एन, के, और, ज़ाहिर है, पक्षों की लंबाई बदल जाएगी।

लेकिन उनका रिश्ता नहीं है!

रवैया एसीये था: एसी= 3/4, बन गया मी/एन= 6/8 = 3/4। अन्य संबंधित पक्षों के संबंध भी बदलेगा नहीं . आप एक समकोण त्रिभुज में भुजाओं की लंबाई को मनमाने ढंग से बदल सकते हैं, बढ़ा सकते हैं, घटा सकते हैं, कोण को बदले बिना x – संबंधित पक्षों के संबंध नहीं बदलेंगे . आप जाँच कर सकते हैं, या आप प्राचीन लोगों की बात मान सकते हैं।

अब यह बहुत महत्वपूर्ण है! एक समकोण त्रिभुज में भुजाओं का अनुपात किसी भी तरह से भुजाओं की लंबाई (समान कोण के लिए) पर निर्भर नहीं करता है। यह इतना महत्वपूर्ण है कि पार्टियों के संबंधों ने अपना विशेष नाम अर्जित किया है। उनके नाम, इसलिए बोलने के लिए।) परिचित हो जाओ।

कोण x . की ज्या क्या है ? यह विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है:

sinx = a/c

कोण x . की कोज्या क्या है ? यह आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है:

साथओएसएक्स= एसी

कोण x . की स्पर्श रेखा क्या है ? यह विपरीत पैर का आसन्न से अनुपात है:

टीजीएक्स =एसी

कोण x . का कोटैंजेंट क्या है ? यह आसन्न पैर का विपरीत अनुपात है:

सीटीजीएक्स = इन/ए

सब कुछ बहुत सरल है। साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट कुछ संख्याएं हैं। आयामहीन। बस नंबर। प्रत्येक कोने के लिए - उनका अपना।

मैं खुद को इतनी बोरियत से क्यों दोहराता हूँ? तो यह क्या है याद रखने की जरूरत है. विडंबना याद है। याद रखना आसान बनाया जा सकता है। वाक्यांश "चलो दूर से शुरू करते हैं ..." परिचित है? इसलिए शुरुआत दूर से करें।

साइनसकोण अनुपात है दूरस्थपैर के कोण से कर्ण तक। कोज्याकर्ण के निकटतम का अनुपात है।

स्पर्शरेखाकोण अनुपात है दूरस्थकैथेटर के कोण से निकटतम तक। कोटैंजेंट- विपरीतता से।

पहले से आसान है, है ना?

ठीक है, अगर आपको याद है कि केवल पैर स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट में बैठते हैं, और कर्ण साइन और कोसाइन में दिखाई देता है, तो सब कुछ काफी सरल हो जाएगा।

इस पूरे गौरवशाली परिवार - साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट को भी कहा जाता है त्रिकोणमितीय फलन.

और अब विचार के लिए एक प्रश्न।

हम साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्यों कहते हैं? कोना?हम पार्टियों के रिश्ते के बारे में बात कर रहे हैं, जैसे ... इसका क्या लेना-देना है कोना?

आइए देखते हैं दूसरी तस्वीर। बिल्कुल पहले वाले जैसा ही।

अपने माउस को चित्र पर घुमाएं। मैंने कोण बदल दिया एक्स. इसे से बड़ा किया एक्स से एक्स।सारे रिश्ते बदल गए! रवैया एसी 3/4 था, और संबंधित अनुपात टी/इन 6/4 हो गया।

और बाकी सभी रिश्ते अलग हो गए हैं!

इसलिए, पक्षों के अनुपात किसी भी तरह से उनकी लंबाई (एक कोण x पर) पर निर्भर नहीं करते हैं, लेकिन तेजी से इसी कोण पर निर्भर करते हैं! और केवल उससे।इसलिए, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट शब्द का उल्लेख करते हैं कोना।यहां का कोना मुख्य है।

यह विडंबना ही समझनी चाहिए कि कोण अपने त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ अटूट रूप से जुड़ा हुआ है। प्रत्येक कोण की अपनी साइन और कोसाइन होती है। और लगभग सभी की अपनी स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट होती है।क्या यह महत्वपूर्ण है। ऐसा माना जाता है कि यदि हमें एक कोण दिया जाए, तो उसकी ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट हम जानते हैं ! और इसके विपरीत। साइन या किसी अन्य त्रिकोणमितीय फलन को देखते हुए, हम कोण को जानते हैं।

ऐसी विशेष तालिकाएँ हैं जहाँ प्रत्येक कोण के लिए इसके त्रिकोणमितीय कार्य लिखे जाते हैं। ब्रैडी टेबल को कहा जाता है। वे बहुत लंबे समय से बने हैं। जब कैलकुलेटर या कंप्यूटर नहीं थे...

बेशक, सभी कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों को याद नहीं किया जा सकता है। आपको उन्हें केवल कुछ कोणों के लिए जानने की जरूरत है, उस पर और बाद में। लेकिन मंत्र मैं एक कोण जानता हूं, इसलिए मैं इसके त्रिकोणमितीय कार्यों को जानता हूं" -हमेशा काम करता है!

इसलिए हमने 8वीं कक्षा से ज्यामिति का एक टुकड़ा दोहराया। क्या हमें परीक्षा के लिए इसकी आवश्यकता है? ज़रूरी। यहाँ परीक्षा से एक विशिष्ट समस्या है। जिसके समाधान के लिए 8वीं कक्षा ही काफी है। चित्र दिया गया:

हर चीज़। अधिक डेटा नहीं है। हमें पैर BC की लंबाई ज्ञात करनी है।

कोशिकाएं थोड़ी मदद करती हैं, त्रिकोण किसी तरह गलत तरीके से स्थित है .... उद्देश्य पर, मुझे लगता है ... जानकारी से कर्ण की लंबाई है। 8 कोशिकाएं। किसी कारण से, एक कोण दिया जाता है।

यहां हमें त्रिकोणमिति के बारे में तुरंत याद रखना चाहिए। एक कोण होता है, इसलिए हम इसके सभी त्रिकोणमितीय फलनों को जानते हैं। चार में से किस कार्य को क्रियान्वित किया जाना चाहिए? आइए देखें कि हम क्या जानते हैं? हम कर्ण, कोण जानते हैं, लेकिन हमें खोजने की जरूरत है सटा हुआइस कोने के लिए! स्पष्ट रूप से, कोसाइन को क्रियान्वित करने की आवश्यकता है! यहां हम लॉन्च कर रहे हैं। हम सिर्फ कोसाइन की परिभाषा के अनुसार लिखते हैं (अनुपात सटा हुआपैर से कर्ण):

cosC = BC/8

कोण C 60 डिग्री है और इसकी कोज्या 1/2 है। आपको यह जानने की जरूरत है, बिना किसी टेबल के! वह है:

1/2 = सूर्य/8

प्राथमिक रेखीय समीकरण. अनजान - रवि. कौन भूल गया कि समीकरण कैसे हल करें, लिंक पर टहलें, बाकी हल करें:

सूर्य = 4

जब प्राचीन लोगों ने महसूस किया कि प्रत्येक कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों का अपना सेट होता है, तो उनके पास एक उचित प्रश्न था। क्या साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट किसी तरह एक दूसरे से संबंधित नहीं हैं?ताकि कोण के एक कार्य को जानकर, आप शेष को पा सकें? कोण की गणना किए बिना ही?

इस तरह वे बेचैन थे ...)

एक कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंध।

बेशक, एक ही कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट संबंधित हैं। व्यंजकों के बीच कोई संबंध गणित में सूत्रों द्वारा दिया जाता है। त्रिकोणमिति में बड़ी संख्या में सूत्र होते हैं। लेकिन यहां हम सबसे बुनियादी लोगों को देखेंगे। इन सूत्रों को कहा जाता है: बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान।वे यहाँ हैं:

इन सूत्रों को लोहे को जानने की जरूरत है। उनके बिना, त्रिकोणमिति में करने के लिए कुछ भी नहीं है। इन बुनियादी पहचानों से तीन और सहायक पहचानें निकलती हैं:

मैं आपको तुरंत चेतावनी देता हूं कि अंतिम तीन सूत्र जल्दी से स्मृति से बाहर हो जाते हैं। किसी कारण से।) बेशक, आप इन सूत्रों को से प्राप्त कर सकते हैं पहले तीन. लेकिन, मुश्किल घड़ी में... आप समझते हैं।)

नीचे दिए गए जैसे मानक कार्यों में, इन भूलने योग्य फ़ार्मुलों को प्राप्त करने का एक तरीका है। और त्रुटियों को काफी कम करेंविस्मृति से, और गणना में भी। यह अभ्यास धारा 555, पाठ "एक कोण के त्रिकोणमितीय फलनों के बीच संबंध" में है।

बुनियादी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग किन कार्यों में और कैसे किया जाता है? सबसे लोकप्रिय कार्य कोण का कोई फलन ज्ञात करना है, यदि कोई दूसरा दिया गया हो। परीक्षा में, ऐसा कार्य साल-दर-साल मौजूद होता है।) उदाहरण के लिए:

sinx का मान ज्ञात कीजिए यदि x एक न्यून कोण है और cosx=0.8 है।

कार्य लगभग प्राथमिक है। हम एक ऐसे फॉर्मूले की तलाश में हैं जहां साइन और कोसाइन हों। यहाँ वह सूत्र है:

पाप 2 x + cos 2 x = 1

हम यहां एक ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करते हैं, अर्थात् कोसाइन के बजाय 0.8:

पाप 2 x + 0.8 2 = 1

खैर, हम हमेशा की तरह मानते हैं:

पाप 2 x + 0.64 = 1

पाप 2 x \u003d 1 - 0.64

यहाँ, लगभग सब कुछ। हमने ज्या के वर्ग की गणना की है, यह वर्गमूल निकालना बाकी है और उत्तर तैयार है! 0.36 का मूल 0.6 है।

कार्य लगभग प्राथमिक है। लेकिन "लगभग" शब्द यहाँ व्यर्थ नहीं है ... तथ्य यह है कि उत्तर sinx = - 0.6 भी उपयुक्त है ... (-0.6) 2 भी 0.36 होगा।

दो अलग-अलग उत्तर प्राप्त होते हैं। और आपको एक चाहिए। दूसरा गलत है। हो कैसे!? हाँ, हमेशा की तरह।) असाइनमेंट को ध्यान से पढ़ें। किसी कारण से यह कहता है ... यदि x एक न्यून कोण है...और कार्यों में, प्रत्येक शब्द का एक अर्थ होता है, हाँ ... यह वाक्यांश समाधान के लिए अतिरिक्त जानकारी है।

न्यून कोण 90° से कम का कोण होता है। और ऐसे कोणों पर सबत्रिकोणमितीय कार्य - साइन और कोसाइन दोनों, और कोटैंजेंट के साथ स्पर्शरेखा - सकारात्मक।वे। हम यहां केवल नकारात्मक उत्तर को छोड़ देते हैं। हमें अधिकार है।

दरअसल, आठवीं कक्षा के छात्रों को ऐसी सूक्ष्मताओं की आवश्यकता नहीं होती है। वे केवल समकोण त्रिभुजों के साथ काम करते हैं, जहाँ कोने केवल तीव्र हो सकते हैं। और वे नहीं जानते, खुश लोग, कि नकारात्मक कोण हैं, और 1000 ° के कोण हैं ... और इन सभी दुःस्वप्न कोणों के प्लस और माइनस दोनों के साथ अपने स्वयं के त्रिकोणमितीय कार्य हैं ...

लेकिन हाई स्कूल के छात्रों के लिए साइन को ध्यान में रखे बिना - कोई रास्ता नहीं। कई ज्ञान दुखों को गुणा करते हैं, हाँ...) और के लिए सही निर्णयकार्य में अतिरिक्त जानकारी होनी चाहिए (यदि आवश्यक हो)। उदाहरण के लिए, इसे इस प्रकार दिया जा सकता है:

या किसी और तरीके से। आप नीचे दिए गए उदाहरणों में देखेंगे।) ऐसे उदाहरणों को हल करने के लिए, आपको जानना होगा दिया गया कोण x किस तिमाही में पड़ता है और इस तिमाही में वांछित त्रिकोणमितीय फलन का क्या चिह्न है।

त्रिकोणमिति की इन मूल बातों पर पाठों में चर्चा की गई है कि त्रिकोणमितीय वृत्त क्या है, इस वृत्त पर कोणों की गिनती, कोण का रेडियन माप। कभी-कभी आपको स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की कोज्या की ज्या की तालिका भी जाननी पड़ती है।

तो, आइए सबसे महत्वपूर्ण ध्यान दें:

व्यावहारिक सुझाव:

1. ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाएँ याद रखें। बहुत उपयोगी।

2. हम स्पष्ट रूप से आत्मसात करते हैं: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट कोणों से मजबूती से जुड़े हुए हैं। हम एक बात जानते हैं, इसलिए हम कुछ और जानते हैं।

3. हम स्पष्ट रूप से आत्मसात करते हैं: एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट मुख्य द्वारा परस्पर जुड़े होते हैं त्रिकोणमितीय पहचान. हम एक फ़ंक्शन को जानते हैं, जिसका अर्थ है कि हम (यदि हमारे पास आवश्यक अतिरिक्त जानकारी है) अन्य सभी की गणना कर सकते हैं।

और अब हमेशा की तरह फैसला करते हैं। सबसे पहले, 8 वीं कक्षा की मात्रा में कार्य। लेकिन हाई स्कूल के छात्र भी कर सकते हैं ...)

1. tgA के मान की गणना करें यदि ctgA = 0.4.

2. β - एक समकोण त्रिभुज में कोण। यदि sinβ = 12/13 हो तो tgβ का मान ज्ञात कीजिए।

3. एक न्यून कोण x की ज्या ज्ञात कीजिए यदि tgx \u003d 4/3।

4. एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

(1-cosx)(1+cosx), यदि sinx = 0.3

उत्तर (अर्धविराम से अलग, अव्यवस्था में):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

हो गई? उत्कृष्ट! आठवीं कक्षा के छात्र पहले से ही अपने ए का अनुसरण कर सकते हैं।)

क्या सब कुछ ठीक नहीं हुआ? कार्य 2 और 3 किसी तरह बहुत नहीं हैं ...? कोई बात नहीं! ऐसे कार्यों के लिए एक सुंदर तकनीक है। सब कुछ तय है, व्यावहारिक रूप से, बिना सूत्रों के! और, इसलिए, त्रुटियों के बिना। इस तकनीक को पाठ में वर्णित किया गया है: "एक कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंध" धारा 555 में। अन्य सभी कार्यों को भी वहां अलग किया जाता है।

ये यूनिफाइड स्टेट एग्जामिनेशन जैसी समस्याएं थीं, लेकिन एक स्ट्रिप-डाउन संस्करण में। उपयोग - प्रकाश)। और अब लगभग समान कार्य, लेकिन पूर्ण रूप में। ज्ञान के बोझ से दबे हाई स्कूल के छात्रों के लिए।)

6. tgβ का मान ज्ञात कीजिए यदि sinβ = 12/13 तथा

7. sinx निर्धारित करें यदि tgx = 4/3, और x अंतराल (- 540°; - 450°) से संबंधित है।

8. व्यंजक sinβ cosβ का मान ज्ञात कीजिए यदि ctgβ = 1 है।

उत्तर (अव्यवस्था में):

0,8; 0,5; -2,4.

यहाँ, समस्या 6 में, कोण किसी तरह दिया गया है, बहुत स्पष्ट रूप से नहीं... लेकिन समस्या 8 में, यह बिल्कुल भी सेट नहीं है! यह उद्देश्य पर है)। अतिरिक्त जानकारीन केवल कार्य से, बल्कि सिर से भी लिया जाता है।) लेकिन अगर आप तय करते हैं - एक सही कार्य की गारंटी है!

क्या होगा अगर आपने फैसला नहीं किया है? उम... ठीक है, धारा 555 यहाँ मदद करेगी। वहाँ, इन सभी कार्यों के समाधान विस्तार से वर्णित हैं, इसे समझना मुश्किल नहीं है।

इस पाठ में त्रिकोणमितीय फलनों की एक बहुत ही सीमित अवधारणा दी गई है। 8 वीं कक्षा के भीतर। सीनियर्स के सवाल...

उदाहरण के लिए, यदि कोण एक्स(इस पृष्ठ पर दूसरी तस्वीर देखें) - इसे गूंगा बनाओ!? तिरंगा टूट जाएगा! और कैसे हो? कोई पैर नहीं होगा, कोई कर्ण नहीं होगा ... साइन हो गया है ...

यदि प्राचीन लोगों को इस स्थिति से बाहर निकलने का रास्ता नहीं मिला होता, तो हमारे पास अब मोबाइल फोन, टीवी या बिजली नहीं होती। हाँ हाँ! त्रिकोणमितीय कार्यों के बिना इन सभी चीजों का सैद्धांतिक आधार बिना छड़ी के शून्य है। लेकिन प्राचीन लोगों ने निराश नहीं किया। वे कैसे निकले - अगले पाठ में।

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आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

इस लेख में, हम दिखाएंगे कि कैसे त्रिकोणमिति में कोण और संख्या के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाएं. यहां हम अंकन के बारे में बात करेंगे, अभिलेखों के उदाहरण देंगे, ग्राफिक चित्रण देंगे। अंत में, हम त्रिकोणमिति और ज्यामिति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं के बीच एक समानांतर रेखा खींचते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषा

आइए देखें कि स्कूल गणित पाठ्यक्रम में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटेंजेंट की अवधारणा कैसे बनती है। ज्यामिति के पाठों में, एक समकोण त्रिभुज में ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और एक न्यून कोण की कोटिज की परिभाषा दी गई है। और बाद में त्रिकोणमिति का अध्ययन किया जाता है, जो रोटेशन के कोण और संख्या के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को संदर्भित करता है। हम ये सभी परिभाषाएँ देते हैं, उदाहरण देते हैं और आवश्यक टिप्पणियाँ देते हैं।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण

ज्यामिति के पाठ्यक्रम से, समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाएँ ज्ञात होती हैं। उन्हें एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में दिया जाता है। हम उनके सूत्र प्रस्तुत करते हैं।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्याविपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की कोज्याआसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की स्पर्श रेखाविपरीत पैर का आसन्न पैर से अनुपात है।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण का कोटैंजेंटआसन्न पैर का विपरीत पैर का अनुपात है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट का अंकन भी वहां पेश किया जाता है - क्रमशः पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी।

उदाहरण के लिए, यदि ABC एक समकोण C वाला समकोण त्रिभुज है, तो न्यून कोण A की ज्या विपरीत पैर BC और कर्ण AB के अनुपात के बराबर है, अर्थात sin∠A=BC/AB।

ये परिभाषाएँ आपको एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की ज्ञात लंबाई के साथ-साथ साइन, कोसाइन के ज्ञात मानों से एक तीव्र कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के मूल्यों की गणना करने की अनुमति देती हैं। स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट और एक भुजा की लंबाई, अन्य भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए। उदाहरण के लिए, यदि हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में पैर AC 3 है और कर्ण AB 7 है, तो हम न्यून कोण A की कोज्या की गणना परिभाषा के अनुसार कर सकते हैं: cos∠A=AC/AB=3/7 ।

रोटेशन का कोण

त्रिकोणमिति में, वे कोण को अधिक व्यापक रूप से देखना शुरू करते हैं - वे रोटेशन के कोण की अवधारणा का परिचय देते हैं। एक तीव्र कोण के विपरीत, रोटेशन का कोण 0 से 90 डिग्री तक फ्रेम द्वारा सीमित नहीं है, डिग्री में रोटेशन का कोण (और रेडियन में) −∞ से +∞ तक किसी भी वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

इस प्रकाश में, ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाएँ अब एक न्यून कोण नहीं हैं, बल्कि मनमाने परिमाण का कोण हैं - रोटेशन का कोण। वे बिंदु A 1 के x और y निर्देशांक के माध्यम से दिए गए हैं, जिसमें तथाकथित प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) बिंदु O के चारों ओर एक कोण α से घूमने के बाद गुजरता है - एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की शुरुआत और यूनिट सर्कल का केंद्र।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की ज्याα बिंदु A 1 की कोटि है, अर्थात sinα=y ।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की कोज्याα को बिंदु A 1 का भुज कहा जाता है, अर्थात cosα=x ।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की स्पर्शरेखाα, बिंदु A 1 की कोटि का उसके भुज, यानी tgα=y/x से अनुपात है।

परिभाषा।

रोटेशन के कोण का कोटैंजेंटα, बिंदु A 1 के भुज का उसके कोटि से अनुपात है, अर्थात ctgα=x/y ।

साइन और कोसाइन को किसी भी कोण α के लिए परिभाषित किया जाता है, क्योंकि हम हमेशा बिंदु के भुज और कोटि को निर्धारित कर सकते हैं, जो कोण α द्वारा प्रारंभिक बिंदु को घुमाकर प्राप्त किया जाता है। और स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट किसी भी कोण के लिए परिभाषित नहीं हैं। स्पर्शरेखा ऐसे कोणों के लिए परिभाषित नहीं है α जिस पर प्रारंभिक बिंदु शून्य भुज (0, 1) या (0, -1) के साथ एक बिंदु पर जाता है, और यह कोणों पर होता है 90°+180° k , k∈Z (π /2+π के रेड)। वास्तव में, ऐसे घूर्णन कोणों पर व्यंजक tgα=y/x का कोई अर्थ नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से भाग होता है। कोटेंजेंट के लिए, यह ऐसे कोणों α के लिए परिभाषित नहीं है, जिस पर प्रारंभिक बिंदु शून्य कोटि (1, 0) या (-1, 0) के साथ एक बिंदु पर जाता है, और यह 180° k , k कोणों के लिए मामला है। Z (π k rad)।

तो, साइन और कोसाइन को किसी भी रोटेशन कोण के लिए परिभाषित किया गया है, स्पर्शरेखा को 90 ° + 180 ° k, k∈Z (π/2+π k rad) को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है, और कोटैंजेंट 180 को छोड़कर सभी कोणों के लिए है। ° · k , k∈Z (π·k rad)।

हमारे लिए पहले से ज्ञात संकेतन पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी की परिभाषाओं में प्रकट होते हैं, उनका उपयोग रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट को दर्शाने के लिए भी किया जाता है (कभी-कभी आप नोटेशन टैन और कोट को स्पर्शरेखा के अनुरूप पा सकते हैं और कोटैंजेंट)। तो 30 डिग्री के रोटेशन कोण की साइन को sin30° के रूप में लिखा जा सकता है, रिकॉर्ड tg(−24°17′) और ctgα रोटेशन कोण −24 डिग्री 17 मिनट के स्पर्शरेखा के अनुरूप होते हैं और रोटेशन कोण α के कोटेंजेंट के अनुरूप होते हैं। . याद रखें कि कोण के रेडियन माप को लिखते समय, अंकन "रेड" को अक्सर छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, तीन पाई रेड के घूर्णन कोण के कोज्या को आमतौर पर cos3 दर्शाया जाता है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, यह ध्यान देने योग्य है कि रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट के बारे में बात करते समय, वाक्यांश "रोटेशन का कोण" या "रोटेशन" शब्द अक्सर छोड़ा जाता है। यही है, "रोटेशन अल्फा के कोण की साइन" वाक्यांश के बजाय, वे आमतौर पर "अल्फा के कोण की साइन" या उससे भी कम - "अल्फा की साइन" वाक्यांश का उपयोग करते हैं। वही कोसाइन, और स्पर्शरेखा, और कोटैंजेंट पर लागू होता है।

आइए यह भी कहें कि एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषाएं 0 से 90 तक के रोटेशन कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के लिए दी गई परिभाषाओं के अनुरूप हैं। डिग्री। हम इसकी पुष्टि करेंगे।

नंबर

परिभाषा।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट t एक संख्या है जो क्रमशः t रेडियन में घूर्णन कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटांगेंट के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए, 8 की कोज्या, परिभाषा के अनुसार, 8 रेड के कोण के कोज्या के बराबर एक संख्या है। और 8 रेड में कोण की कोज्या एक के बराबर होती है, इसलिए संख्या 8 की कोज्या 1 के बराबर होती है।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषा के लिए एक और दृष्टिकोण है। यह इस तथ्य में समाहित है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या t को आयताकार समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्रित इकाई वृत्त का एक बिंदु सौंपा गया है, और साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट इस बिंदु के निर्देशांक के माध्यम से निर्धारित किए जाते हैं। आइए इस पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

आइए हम दिखाते हैं कि वास्तविक संख्याओं और वृत्त के बिंदुओं के बीच पत्राचार कैसे स्थापित होता है:

• संख्या 0 को प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) सौंपा गया है;
• एक धनात्मक संख्या t इकाई वृत्त पर एक बिंदु के साथ जुड़ा हुआ है, जो हमें तब मिलेगा जब हम वृत्त के चारों ओर प्रारंभिक बिंदु से वामावर्त दिशा में घूमते हैं और लंबाई t के पथ से गुजरते हैं;
• एक ऋणात्मक संख्या t इकाई वृत्त पर एक बिंदु के साथ जुड़ा हुआ है, जो हमें तब मिलेगा जब हम वृत्त के चारों ओर प्रारंभिक बिंदु से दक्षिणावर्त दिशा में घूमते हैं और लंबाई के पथ से गुजरते हैं |t| .

आइए अब हम संख्या t की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाओं पर चलते हैं। आइए मान लें कि संख्या टी सर्कल ए 1 (एक्स, वाई) के एक बिंदु से मेल खाती है (उदाहरण के लिए, संख्या &pi/2; बिंदु ए 1 (0, 1) से मेल खाती है)।

परिभाषा।

एक संख्या की ज्या t संख्या t के संगत इकाई वृत्त बिंदु की कोटि है, जो कि sint=y है।

परिभाषा।

एक संख्या की कोज्या t को संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु का भुज कहा जाता है, अर्थात लागत=x ।

परिभाषा।

एक संख्या की स्पर्शरेखा t, संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु के भुज से कोटि का अनुपात है, अर्थात tgt=y/x। एक अन्य समकक्ष सूत्रीकरण में, संख्या t की स्पर्शरेखा इस संख्या की ज्या का कोज्या से अनुपात है, जो कि tgt=sint/cost है।

परिभाषा।

किसी संख्या का स्पर्शज्या t संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु की कोटि से भुज का अनुपात है, अर्थात ctgt=x/y. एक अन्य सूत्रीकरण इस प्रकार है: संख्या t की स्पर्शरेखा संख्या t की कोज्या का संख्या t की ज्या से अनुपात है: ctgt=cost/sint.

यहां हम ध्यान दें कि अभी दी गई परिभाषाएं इस उपधारा की शुरुआत में दी गई परिभाषा से मेल खाती हैं। वास्तव में, संख्या t के संगत इकाई वृत्त का बिंदु t रेडियन के कोण के माध्यम से प्रारंभिक बिंदु को घुमाकर प्राप्त बिंदु के साथ मेल खाता है।

इस बिंदु को स्पष्ट करना भी उचित है। मान लें कि हमारे पास sin3 प्रविष्टि है। कैसे समझें कि संख्या 3 की ज्या या 3 रेडियन के घूर्णन कोण की ज्या प्रश्न में है? यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है, अन्यथा इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

कोणीय और संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

पिछले पैराग्राफ में दी गई परिभाषाओं के अनुसार, प्रत्येक रोटेशन कोण α sinα के एक अच्छी तरह से परिभाषित मान के साथ-साथ cosα के मान से मेल खाता है। इसके अलावा, 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) के अलावा सभी घूर्णन कोण tgα , और 180° k , k∈Z (π k rad ) के अलावा अन्य मानों के अनुरूप हैं। ctgα के मान हैं। इसलिए sinα, cosα, tgα और ctgα कोण α के कार्य हैं। दूसरे शब्दों में, ये कोणीय तर्क के कार्य हैं।

इसी तरह, हम एक संख्यात्मक तर्क के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के कार्यों के बारे में बात कर सकते हैं। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या t sint के सुपरिभाषित मान के साथ-साथ लागत से मेल खाती है। इसके अलावा, π/2+π·k , k∈Z के अलावा अन्य सभी संख्याएँ tgt के मानों से मेल खाती हैं, और ·k , k∈Z की संख्या ctgt के मानों से मेल खाती है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के कार्यों को कहा जाता है बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्य.

संदर्भ से यह आमतौर पर स्पष्ट है कि हम कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ काम कर रहे हैं। अन्यथा, हम स्वतंत्र चर को कोण के माप (कोण तर्क) और संख्यात्मक तर्क दोनों के रूप में मान सकते हैं।

हालांकि, स्कूल मुख्य रूप से संख्यात्मक कार्यों का अध्ययन करता है, यानी ऐसे कार्य जिनके तर्क, साथ ही साथ संबंधित फ़ंक्शन मान संख्याएं हैं। इसलिए, यदि हम कार्यों के बारे में बात कर रहे हैं, तो त्रिकोणमितीय कार्यों को संख्यात्मक तर्कों के कार्यों के रूप में मानने की सलाह दी जाती है।

ज्यामिति और त्रिकोणमिति से परिभाषाओं का कनेक्शन

यदि हम रोटेशन के कोण α को 0 से 90 डिग्री तक मानते हैं, तो रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषा के त्रिकोणमिति के संदर्भ में डेटा पूरी तरह से साइन, कोसाइन की परिभाषाओं के अनुरूप है। , समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की स्पर्श रेखा और कोटेंजेंट, जो ज्यामिति पाठ्यक्रम में दिए गए हैं। आइए इसकी पुष्टि करते हैं।

एक आयत में ड्रा करें कार्तीय प्रणालीऑक्सी यूनिट सर्कल का समन्वय करता है। प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) पर ध्यान दें। आइए इसे 0 से 90 डिग्री के कोण α से घुमाते हैं, हमें बिंदु A 1 (x, y) मिलता है। आइए बिंदु A 1 से ऑक्‍स अक्ष पर लंब A 1 H को छोड़ दें।

यह देखना आसान है कि एक समकोण त्रिभुज में कोण A 1 OH घूर्णन कोण α के बराबर होता है, इस कोण से सटे पैर OH की लंबाई बिंदु A 1 के भुज के बराबर होती है, अर्थात |OH |=x, कोण के विपरीत पैर A 1 H की लंबाई बिंदु A 1 की कोटि के बराबर है, अर्थात |A 1 H|=y, और कर्ण OA 1 की लंबाई एक के बराबर है , क्योंकि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है। फिर, ज्यामिति से परिभाषा के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज A 1 OH में एक न्यून कोण α की ज्या कर्ण के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर होती है, अर्थात sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= वाई/1 = वाई। और त्रिकोणमिति से परिभाषा के अनुसार, रोटेशन के कोण की ज्या α बिंदु A 1 की कोटि के बराबर है, जो कि sinα=y है। इससे पता चलता है कि समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या की परिभाषा 0 से 90 डिग्री के लिए α के रोटेशन के कोण की साइन की परिभाषा के बराबर है।

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि एक न्यून कोण α के कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाएं रोटेशन के कोण के कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की परिभाषाओं के अनुरूप हैं।

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कोसाइन एक प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय फलन है, जो त्रिकोणमिति के मुख्य कार्यों में से एक है। समकोण त्रिभुज में किसी कोण का कोज्या त्रिभुज के आसन्न पैर का त्रिभुज के कर्ण से अनुपात होता है। अक्सर, कोसाइन की परिभाषा बिल्कुल आयताकार प्रकार के त्रिभुज से जुड़ी होती है। लेकिन ऐसा भी होता है कि जिस कोण के लिए एक आयताकार प्रकार के त्रिभुज में कोसाइन की गणना करना आवश्यक है, वह इस आयताकार प्रकार के त्रिभुज में स्थित नहीं है। फिर क्या करें? त्रिभुज के कोण की कोज्या कैसे ज्ञात करें?

यदि आप समकोण त्रिभुज में किसी कोण की कोज्या की गणना करना चाहते हैं, तो सब कुछ बहुत सरल है। आपको बस कोसाइन की परिभाषा याद रखने की जरूरत है, जिसमें इस समस्या का समाधान निहित है। आपको बस के बीच सही संबंध खोजने की जरूरत है आसन्न पैर, साथ ही त्रिभुज का कर्ण। वास्तव में, यहाँ किसी कोण की कोज्या को व्यक्त करना कठिन नहीं है। सूत्र इस तरह दिखता है: - cosα = a/c, यहाँ "a" पैर की लंबाई है, और पक्ष "c", क्रमशः, कर्ण की लंबाई है। उदाहरण के लिए, इस सूत्र का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की कोज्या ज्ञात की जा सकती है।

यदि आप रुचि रखते हैं कि एक मनमाना त्रिभुज में कोण का कोज्या किसके बराबर है, तो कोसाइन प्रमेय बचाव के लिए आता है, जिसका उपयोग ऐसे मामलों में किया जाना चाहिए। कोज्या प्रमेय कहता है कि त्रिभुज की भुजा का वर्ग एक प्राथमिकता है योग के बराबर हैएक ही त्रिभुज की शेष भुजाओं के वर्ग, लेकिन उनके बीच स्थित कोण की कोज्या द्वारा इन भुजाओं के गुणनफल के दोगुने के बिना।

1. यदि आपको त्रिभुज में एक न्यून कोण की कोज्या खोजने की आवश्यकता है, तो आपको निम्न सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है: cosα \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / (2ab)।
2. यदि एक त्रिभुज में एक अधिक कोण के कोसाइन को खोजना आवश्यक है, तो आपको निम्न सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है: cosα \u003d (c 2 - a 2 - b 2) / (2ab)। सूत्र में पदनाम - ए और बी - पक्षों की लंबाई है जो वांछित कोण से सटे हुए हैं, सी उस पक्ष की लंबाई है जो वांछित कोण के विपरीत है।

इसके अलावा, एक कोण के कोज्या की गणना साइन प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है। यह कहता है कि त्रिभुज की सभी भुजाएँ विपरीत कोणों की ज्याओं के समानुपाती होती हैं। साइन प्रमेय का उपयोग करके, आप एक त्रिभुज के शेष तत्वों की गणना कर सकते हैं, केवल दो पक्षों और एक कोण के विपरीत जो एक तरफ, या दो कोण और एक तरफ है। एक उदाहरण पर विचार करें। समस्या की स्थिति: ए = 1; बी = 2; सी = 3। कोण जो पक्ष "ए" के विपरीत है, हम निरूपित करते हैं - α, फिर, सूत्रों के अनुसार, हमारे पास है: cosα \u003d (b² + c²-a²) / (2 * b * c) \u003d (2² + 3² -1²) / (2 * 2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. उत्तर 1।

यदि कोण के कोज्या की गणना त्रिभुज में नहीं, बल्कि किसी अन्य मनमानी ज्यामितीय आकृति में की जानी चाहिए, तो सब कुछ थोड़ा और जटिल हो जाता है। कोण का मान पहले रेडियन या डिग्री में निर्धारित किया जाना चाहिए, और उसके बाद ही इस मान से कोसाइन की गणना करें। संख्यात्मक मान द्वारा कोसाइन ब्रैडिस टेबल, इंजीनियरिंग कैलकुलेटर, या विशेष गणितीय अनुप्रयोगों का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।

विशेष गणितीय अनुप्रयोगों में दिए गए आंकड़े में कोणों के कोसाइन की स्वचालित गणना जैसे कार्य हो सकते हैं। ऐसे अनुप्रयोगों की खूबी यह है कि वे सही उत्तर देते हैं, और उपयोगकर्ता कभी-कभी काफी जटिल समस्याओं को हल करने में अपना समय नहीं लगाते हैं। दूसरी ओर, समस्याओं को हल करने के लिए विशेष रूप से अनुप्रयोगों के निरंतर उपयोग के साथ, समाधान के साथ काम करने के सभी कौशल खो जाते हैं। गणित की समस्यायेत्रिभुजों में कोणों की कोज्या, साथ ही अन्य मनमाना आकृतियों को खोजने के लिए।